You signed in with another tab or window. Reload to refresh your session.You signed out in another tab or window. Reload to refresh your session.You switched accounts on another tab or window. Reload to refresh your session.Dismiss alert
Frappat & Sciarrino & Scorba – A Dictionary of Lie algebras and superalgebras
Folland, G. – Harmonic analysis on phase space
Warner, G. – Harmonic analysis on semisimple Lie groups I, II (+ teorie distribucí a reprezentace na distribucích)
Vilenkin & Klimyk – Representationtheory and special functions
Barnt, Rąnczka – Theory of groups & applications
Formánek, Jiří – Úvod do kvantové teorie (dotdatky v knihách)
Úvod
Příklad:
Konfigurační prostor $M =$ čtverec, grupa $G = \big{ \exp \frac{n \pi \mathrm i}{2} ; \big| ; n = 0,1,2,3 \big}$, uvažujeme ztotožnění $\mathbb R^2 \simeq \mathbb C$.
Zobrazení $T: G \times M \to M :: (g,m) \mapsto gm$ pro každé $g \in G$ zobrazuje $M$ na $M$.
Definice:
Buď $M$ množina. (Levá) akce grupy je zobrazení $T : G \times M \to M :: (g,m) \mapsto T_g(m) \equiv g \cdot m$, pokud $g \cdot h \cdot m = gh \cdot m, ; e \cdot m = m$. Pravá akce grupy je zobrazení $\varphi : G \times M \to M :: (g,m) \mapsto \varphi_g(m) \equiv m \cdot g^{-1}$, pokud $m \cdot g^{-1} \cdot h^{-1} = m \cdot (hg)^{-1}, ; m \cdot e = m$.
$\operatorname{Bij} M$ se skládáním tvoří grupu. Důkaz: triviální.
Definice:
Zobrazení $\phi: G \to H$ nazýváme homomorfismem grup, pokud $\phi(g) \phi(h) = \phi(gh)$.
Tvrzení:
$T_\bullet$ a $\varphi_\bullet$ jsou homomorfismy grup. Důkaz:$T_g \circ T_h = g \cdot h \cdot \bullet = gh \cdot \bullet = T_{gh}. ;; \varphi_g \circ \varphi_h = \bullet \cdot h^{-1} \cdot g^{-1} = \bullet \cdot (gh)^{-1} = \varphi_{gh}$.
Definice:
Buďte $M$, $X$ obecné množiny, $X^M$ množina všech zobrazení $M \to X ,$ a $, T: G\times M \to M$ akce grupy na $M$. Potom $\tilde T: G \times X^M \to X^M$ se nazývá regulární akce k $T$, pokud $\tilde T_g(f) = f \circ T_{g^{-1}}$.
Tvrzení:
Regulární akce je také akce grupy. Důkaz:$(\tilde T_g \circ \tilde T_h)(f) = \tilde T_g(\tilde T_h(f)) = f \circ T_{h^-1} \circ T_{g^-1} = f \circ T_{h^{-1} g^{-1}} = f \circ T_{(gh)^{-1}} = \tilde T_{gh}(f)$
Tvrzení:
Buď $T: G \times M \to M$ akce grupy a $\tilde T: G \times M^{!M} \to M^{!M}$ regulární akce k $T$. Potom $\operatorname{Im} \tilde T$ se skládáním je grupa. Důkaz:
Definice:
Buď M obecná množina a $\tau \subset 2^M$ systém podmnožin na ní. Platí-li
\begin{align*}
\emptyset &\in \tau, \
M &\in \tau, \
A \cup B &\in \tau \quad \text{for } A,B \in \tau, \
A \cap B &\in \tau \quad \text{for } A,B \in \tau,
\end{align*}
potom $\tau$ nazýváme topologií.
Domácí úkol:
Najděte všechny topologie na tříprvkové množině. Nakreslete jejich Hasseův diagram.
Definice:
Buď $\tau$ topologie na množině $M$ taková, že pro každé dva body $p_1, p_2$ existují okolí $U_1, U_2$ takové, že:
\begin{align*}
p_1 &\in U_1, & p_2 &\notin U_1, \
p_1 &\notin U_2, & p_2 &\in U_2.
\end{align*}
This file contains bidirectional Unicode text that may be interpreted or compiled differently than what appears below. To review, open the file in an editor that reveals hidden Unicode characters.
Learn more about bidirectional Unicode characters