フェーザ表示を使った解法

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電源 e, 抵抗 R, コイル L, キャパシタ C が直列接続された回路があり、ここに電流 $i(t) = \sqrt{2} I \sin(ωt+θ)$ が流れている。 抵抗、コイル、キャパシタの電圧降下および電源電圧を求めよ。

定常状態なので、フェーザ表示を使って求めることができる。ここで虚数単位を $j$ とおく。

瞬時値が $x(t) = A \sin(ωt + θ)$ のときを複素数 $\dot{X} = A e^{jθ}$ で表すこととする。また、 $\frac{d}{dt} x(t)$ を $jω \dot{X}$ 、 $\int x(t) dt$ を $\frac{1}{jω} \dot{X}$ で表す。

• $i(t) = \sqrt{2} I \sin(ωt+θ)$ より、 $\dot{I} = \sqrt{2} I e^{jθ}$

• 抵抗の複素インピーダンス $\dot{Z}_R = R$

• コイルの複素インピーダンス $\dot{Z}_L = jωL$

• キャパシタの複素インピーダンス $\dot{Z}_C = -j \frac{1}{ωC}$

• 抵抗の電圧降下は $\dot{V}_R = \dot{I} \dot{Z}_R = \sqrt{2} I R e^{jθ}$ より $v_R(t) = \sqrt{2} IR \sin(ωt+θ)$

• コイルの電圧降下は $\dot{V}_L = \dot{I} \dot{Z}_L = \sqrt{2} I jωL e^{jθ} = \sqrt{2} IωL e^{j(θ+\fracπ2)}$ より $v_L(t) = \sqrt{2} IωL \cos(ωt+θ)$

• キャパシタの電圧降下は $\dot{V}_C = \dot{I} \dot{Z}_C = -\frac{\sqrt{2} I}{ωC} e^{j(θ+\fracπ2)}$ より $v_C(t) = -\frac{\sqrt{2} I}{ωC} \cos(ωt+θ)$

• 電源電圧は $\dot{E} = \dot{V}_R + \dot{V}_L + \dot{V}_C = \sqrt{2}I e^{jθ} \left( R + jωL - \frac{j}{ωC} \right)$ より $e(t) = \sqrt{2} I (R \sin(ωt+θ) + (ωL - \frac{1}{ωC}) \cos(ωt+θ))$

以下略