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}

\title{EL PRODUCTO TENSORIAL EN CONTRUCTOS TOPOLÓGICOS Y OTRAS CATEGORIAS}

\author{CARINA JULIO OLIVERA }

\date{June 20, 2023}

\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\section{Introduction}
¿Producto tensorial? ¿Constructos topológicos? ...
Al iniciar el semestre no podia siquiera imaginar de que se trataba teoría de categorías, mas sim embargo en medio en medio de tanta insertidumbre con respecto a lo que enfrentaba; la pasión por el nuevo conocimiento hizo posible que hoy esté presentando este trabajo...
El producto tensorial puede ser aplicado en diferentes contextos; a vectores, matrices, tensores, espacios de vectores, espacios topologicos del vector y modulos. En cada caso la significacion del simbolo se usa de la misma forma.
en este caso será aplicado a constructos topologicos y ptras categoria y el objetivo sera comprender las definiciones de bimorfismos, producto tensoriar aplicado a constructos topologícos y demostrar algunas propiedades que se derivan de estas definiciones.

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\section{Producto tensorial}
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Un producto tensorial se podria definir de una manera general como una operacion bilinial, es decir una multiplicacion generalizada que cumple con la propiedad distributiva.
ahora definamoslo de una manera mas formal desde la perpectiva de la teoria de categorias.

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\textbf{Definición.}

Sean X y Y objetos de una categoria $\textit{C}$.
El producto tensorial de X y Y es la pareja
$(Z, \textit{f})$ donde Z es un objeto de la categoria $\textit{C}$ y $\textit{f}:\xymatrix{ X \times Y :\ar[r] & Z }$ es un bimorfismo tal que si W es un objeto de la categoria $\textit{C}$ y $\textit{g}: \xymatrix{X \times Y \ar[r] & W}$ , entonces existe un único morfismo $\textit{h}:\xymatrix{Z \ar[r] & W}$ tal que $\textit {g} = \textit{h} \circ \textit{f}$
la condición $ \textit {g} = \textit{h} \circ \textit{f} $ se puede representar mediante el diagrama : [ \xymatrix{ X \times Y \ar [r]^f \ar[dr]_g& Z \ar[d]^h \& W } ]

Veamos ahora que si existe el producto tensorial de X y Y este es unico. Es decir $(\textit{Z,f})$ y $(\textit{Z}\prime,\textit{f}\prime)$ de X y Y
existe un isomorfismo entre $ \textit{Z} $ y $\textit{Z}\prime$ .
Esta es inmediata pues al ser $\textit{Z}$ un producto tensorial existe
$ \textit{h}: \xymatrix{\textit{Z} \ar[r] & \textit{Z}\prime }$ tal que $\textit{f} \prime = \textit{h} \circ \textit{f} $.
Analogamente como $\textit{Z}\prime$ es un producto tensorial existe $\textit{h}\prime: \xymatrix{\textit{Z}\prime \ar[r]& \textit{Z}}$ tal que $\textit{f}= \textit{h}\prime \circ \textit{f}\prime.$ Consideremos el siguiente diagrama:

[ \xymatrix{& X \times Y \ar[dl]f \ar[d]^{f\prime} \ar[dr]^f & &&X \times Y \ar[dl]{f\prime} \ar[d]^f \ar[dr]^{f\prime}\ Z\ & Z\prime \ar[l]^{h\prime} & Z\ar[l]^h & Z\prime & Z \ar[l]^h & Z\prime \ar[l]^{h\prime} } ]

Por ser Z un producto tensorial, y como $1_Z: \xymatrix{Z\ar[r]& Z}$ es tal que $1_Z\circ f = f$ y tambien $h \prime \circ h \circ f = f$ por la unicidad tenemos que $h\prime \circ h =1_Z.$ de manera semejante por ser $Z\prime$ un producto tensorial , y como $1_Z\prime : \xymatrix{Z\prime \ar[r] & Z\prime}$ es tal que $1_Z\prime \circ f\prime= f\prime$ y tambien
$ h \circ h\prime \circ f\prime = f\prime$, se tiene, por unicidad, que $h\circ h\prime = 1_Z\prime $ por lo tanto h es un isomorfismo.

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\textbf{Ejemplo:}

En la categoria de los conjuntos parcialmente ordenados el producto tensoria de dos objetos X y Y es la pareja $(X\otimes Y, i)$ , donde $X\otimes$ Y es el producto cartesiano X y Y, junto con la estructura de orden parcial definida por; $(X_1,Y_1) \leq (X_2,Y_2)$, si y solo si $ X_1\leq X_2$ y $Y_1 \leq Y_2$ e, $i:\xymatrix{X \times Y \ar[r] & X \times Y}$, es la funcion identidad la cual es un bimorfismo.
En efecto, para cada $x \in X$ , y para cada par de elementos $y_1, y_2 \in Y$, se tiene que $(x,y_1)\leq (x,y_2)$, lo cual implica que $i_x (y_1)\leq i_x(y_2)$ y por lo tanto , $i_x$ es un morfismo. Analogamente se prueba que para cada $y \in Y$ la función $i_y$ es un morfismo. Se concluye entonces que si $i:\xymatrix{X\times Y \ar[r] & X \times Y}$ es un bimorfismo. Ahora si g:\xymatrix{X\times Y \ar[r]& W} es un bimorfismo la función $\varnothing: \xymatrix{X\times Y \ar[r] & W}$ definida por $\varnothing(x,y)= g(x,y)$ $\forall(x,y) \in X\times Y$ es un morfismo esn esta categoria, y ademas es la unica que verifica la igualdad $ \varnothing \circ i=g $ puesto que i es un epimorfismo en esta categoria.

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\textbf{3. El producto tensorial en contructos topologicos }

De forma general un contructo esta definido como una construccion teorica que se desarrolla para resolver un cierto problema cientifico; lo que nos llevaria a pensar
en la categoria topologica y el privilegio del que goza dicha categoria de la construccion de estructuras iniciales. En este orden de ideas intuitivamente se podria decir que un contructo es una categoria cuyos objetos son conjuntos extructurados y sus morfismos son funciones que respetan dichas extructuras.
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\textbf{Definicion:}

Sea F:\xymatrix{C\ar[r]& Conj.} un funtor que va de la categoria C a la categoria de los conjuntos. Si X es un conjunto, la colección de objetos de X de C tales que F(X)=X sem llaman estructuras sobre X. Si X es una extructura sobre X notaremos$ X=(X,\delta)$ y diremos que tiene como conjunto subyacente a X y como estructura a $ \delta.$
Si f:\xymatrix{(X,d)\ar[r]&(Y, \alpha)} es un morfismo en C,entonces F(f) es una funcion de X en Y . A los morfismos en C se les llama funcion admisible. Es de anotar que la categoria C es un \textbf{constructo}

Un constructo C es llamado Un \textbf{constructo topológico} si y solamente si satisface las siguientes condiciones:

1. Existencia de extructuras iniciales. Para cada conjunto $X$ y cada familia ${X_i,\xi_i}i\in I$ de objetos de C indizada con la clase I y una familia ${f:\xymatrix{X\ar[r]& X}}_{i\in I}$ de funciones indizadas por I, existe una unica extructura $ \xi sobre X $ , la cual es inicial con respecto a $(X,f_i, (X_i,\xi),I)$ , es decir, tal que para $(Y,n)$ objeto de C de una funcion $g: \xymatrix{(Y,n)\ar[r]&(X,\xi)} $ es un morfismo , si y solo si, para cada $ i\in I, f $ $ \circ \ g: \xymatrix{(Y,n)\ar[r]&(X, \xi)} $ es un morfismo es c.

2. Para cada conjunto X, la clase de C- estructuras sobre X, es un conjunto.

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$ \bullet \ \textbf{Construcción del producto tensorial en la categoria de los espacios topologicos}$

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Sean X y Y espacios topologicos con topologia $\alpha \ y \ \beta$ respectivamente, elproducto tensorial de X e Y está dado por la pareja $(X \otimes Y, i)$ , donde
$ X \otimes Y $ es un espacio topologico con conjunto subyacente X e Y y una topologia
$ \tau$ que se va a determinar:

Se sabe que la funcion identidad $i: \xymatrix{X\times Y
\ar[r]& X\times Y}$ debe ser un bimorfismo por definicion de producto tensorial, es decir que para cada
$ x\in X $ la función $i_x:\xymatrix{Y\ar[r]&X \times Y}$ debe ser continua y para cada $ Y \in Y$ la función $i_y:\xymatrix{X \ar[r]& X\times Y}$ debe ser continuo, siendo$ X\times Y $ el producto cartesiano de los conjuntos X y Y. Entonces la topologia $\tau$ se define de la siguiente manera $"\textit{U} \in \tau$ si y solamente si, para cada $x\in X, \ {i_x}^-1 (\textit{U}) = {y/ (x,y) \in \textit{U}}$ $\in \alpha$ y para cada $y \in Y$ , ${i_y}^-1(\textit{U}) = {x / (x,y) \in \textit{U}}\in \beta.$
Entonces la pareja $(X \otimes Y, i ) = [(X \times Y, \tau),i]$ es el producto tensorial de los $X =(X, \alpha)$ y $Y= (Y, \beta)$ , siendo $i:\xymatrix{X \times Y \ar[r]& X\times Y}$.

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\textbf{CONCLUCIÓN}
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Al finalizar este trabajo se pudo concluir que efectivamente que los constructos topologicos respetan las estructuras de los objetos de las categorias que en el caso de los espacios topologicos son conjuntos.

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\textbf{REFERENCIAS}
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\textbf{Hernandez,A.; Julio,C.}\textit{ curso basico de topologia general}.Universidad de Cartagena.146p.p.
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\textbf{Hernandez, J.; Montañez, J.; Ruiz,C.} (2023/20/6).\textit{producto tensorial en construtos topologicos y otras categorias.}https://revistas.udistrital.edu.co/index.php/Tecnura/article/download/6102/7626/27801
\vspace{0,5cm}

\textbf{Leon M, Jose L.}(2015)\textit{Estudio algebraico de la teoria de conjumtos.}Tesis para obtener el grado de Licenciado en matematicas.Benemerita universidad autonoma de puebla.
\vspace{0,5cm}

\textbf{Lluis p, Emiliano.}(2008).\textit{Algebra lineal, algebra multilinial y K-tegoria algebraica clasica.} Universidad Nacional autonoma de mexico. 191p.p

\end{document}

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