Hello!

adb

Ich verstehe nicht, warum die Umformung, die du markiert hast, nicht funktioniert. Du schreibst, dass man den Erwartungswert nicht reinziehen kann. Da stimme ich dir zu, aber m.E. ist das auch nicht nötig. Ich vermute, ich habe mir bei der Umformung damals Folgendes gedacht:

Aus Claim 1 wissen wir:
$  \sum\limits_{r=1}^t \left(\sum\limits_{c=1}^n ( \Pi_{r,c} \cdot x_c )^2 \right) $
$ = \sum\limits_{c=1}^n \left(\sum\limits_{r=1}^t ( \Pi_{r,c} \cdot x_c )^2 \right) $ 
$ = \sum\limits_{c=1}^n \left( x_c^2 \sum\limits_{r=1}^t \Pi_{r,c}^2 \right) $ 
$ = \sum\limits_{c=1}^n x_c^2 $

zusammengefasst:
$  \sum\limits_{r=1}^t \left(\sum\limits_{c=1}^n ( \Pi_{r,c} \cdot x_c )^2 \right) = \sum\limits_{c=1}^n x_c^2 $
Der Erwartungswert spielt hier keine Rolle. Diese Gleichung gilt in jedem Fall, nicht nur im Mittel.

Also können wir in folgendem Term problemlos $  \sum\limits_{r=1}^t \left(\sum\limits_{c=1}^n ( \Pi_{r,c} \cdot x_c )^2 \right) $ durch $ \sum\limits_{c=1}^n x_c^2 $ ersetzen:
$ \mathbb{E} \left( \left(\ \sum\limits_{r=1}^t \left(\sum\limits_{c=1}^n ( \Pi_{r,c} \cdot x_c )^2 \right) + \sum\limits_{r=1}^t \left( \sum\limits_{c,d \in \{1, ..., n\}, c \neq d } \Pi_{r,c} \cdot \Pi_{r,d} \cdot x_c \cdot x_d \right) - \sum\limits_{c=1}^n x_c^2\ \right) ^2 \right) $
wodurch wir Folgendes erhalten:
$ \mathbb{E} \left( \left(\ \sum\limits_{c=1}^n x_c^2 + \sum\limits_{r=1}^t \left( \sum\limits_{c,d \in \{1, ..., n\}, c \neq d } \Pi_{r,c} \cdot \Pi_{r,d} \cdot x_c \cdot x_d \right) - \sum\limits_{c=1}^n x_c^2\ \right) ^2 \right) $

Der Erwartungswert sollte also für die Umformung keine Rolle spielen. Ist die Umformung so nachvollziehbar oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht bzw. dich falsch verstanden?