gistfile1.py

In [1]: from sympy.integrals.heurisch import heurisch

In [2]: f = 1/((sin(x)+cos(x)+1)**2)

In [3]: heurisch(f, x)
Out[3]: 
                                                      2                     
       ⎛   ⎛x⎞    ⎞    ⎛x⎞        ⎛   ⎛x⎞    ⎞         ⎛x⎞             ⎛x⎞  
  2⋅log⎜tan⎜─⎟ + 1⎟⋅tan⎜─⎟   2⋅log⎜tan⎜─⎟ + 1⎟     tan ⎜─⎟        3⋅tan⎜─⎟  
       ⎝   ⎝2⎠    ⎠    ⎝2⎠        ⎝   ⎝2⎠    ⎠         ⎝2⎠             ⎝2⎠  
- ──────────────────────── - ───────────────── + ──────────── + ────────────
             ⎛x⎞                     ⎛x⎞              ⎛x⎞            ⎛x⎞    
        2⋅tan⎜─⎟ + 2            2⋅tan⎜─⎟ + 2     2⋅tan⎜─⎟ + 2   2⋅tan⎜─⎟ + 2
             ⎝2⎠                     ⎝2⎠              ⎝2⎠            ⎝2⎠    

In [4]: cancel(_)
Out[4]: 
 ⎛                                                  2              ⎞
 ⎜     ⎛   ⎛x⎞    ⎞    ⎛x⎞        ⎛   ⎛x⎞    ⎞       ⎛x⎞        ⎛x⎞⎟
-⎜2⋅log⎜tan⎜─⎟ + 1⎟⋅tan⎜─⎟ + 2⋅log⎜tan⎜─⎟ + 1⎟ - tan ⎜─⎟ - 3⋅tan⎜─⎟⎟
 ⎝     ⎝   ⎝2⎠    ⎠    ⎝2⎠        ⎝   ⎝2⎠    ⎠       ⎝2⎠        ⎝2⎠⎠
────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                 ⎛x⎞                                
                            2⋅tan⎜─⎟ + 2                            
                                 ⎝2⎠                                

In [5]: ratsimp(_)
Out[5]: 
                       ⎛x⎞                 
                    tan⎜─⎟                 
     ⎛   ⎛x⎞    ⎞      ⎝2⎠           1     
- log⎜tan⎜─⎟ + 1⎟ + ────── + 1 - ──────────
     ⎝   ⎝2⎠    ⎠     2             ⎛x⎞    
                                 tan⎜─⎟ + 1
                                    ⎝2⎠    

In [6]: diff(_, x)
Out[6]: 
                 2               2       
                  ⎛x⎞             ⎛x⎞    
   2          tan ⎜─⎟         tan ⎜─⎟    
    ⎛x⎞           ⎝2⎠   1         ⎝2⎠   1
tan ⎜─⎟       ─────── + ─   - ─────── - ─
    ⎝2⎠   1      2      2        2      2
─────── + ─ - ─────────── - ─────────────
   4      4       ⎛x⎞                   2
               tan⎜─⎟ + 1   ⎛   ⎛x⎞    ⎞ 
                  ⎝2⎠       ⎜tan⎜─⎟ + 1⎟ 
                            ⎝   ⎝2⎠    ⎠ 

In [7]: _.subs(tan(x/2), sin(x)/(1 + cos(x)))
Out[7]: 
               2                     2                             
    1       sin (x)       1       sin (x)                          
  - ─ - ───────────────   ─ + ───────────────                      
    2                 2   2                 2              2       
        2⋅(cos(x) + 1)        2⋅(cos(x) + 1)    1       sin (x)    
- ───────────────────── - ─────────────────── + ─ + ───────────────
                    2              sin(x)       4                 2
    ⎛      sin(x)  ⎞         1 + ──────────         4⋅(cos(x) + 1) 
    ⎜1 + ──────────⎟             cos(x) + 1                        
    ⎝    cos(x) + 1⎠                                               

In [8]: cancel(_)
Out[8]: 
                                   4           2       2           2                  2         4           3           2                  
                                sin (x) + 2⋅sin (x)⋅cos (x) + 4⋅sin (x)⋅cos(x) + 2⋅sin (x) + cos (x) + 4⋅cos (x) + 6⋅cos (x) + 4⋅cos(x) + 1
───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
     2       2           2                  2                  3                   2                                         4            3
4⋅sin (x)⋅cos (x) + 8⋅sin (x)⋅cos(x) + 4⋅sin (x) + 8⋅sin(x)⋅cos (x) + 24⋅sin(x)⋅cos (x) + 24⋅sin(x)⋅cos(x) + 8⋅sin(x) + 4⋅cos (x) + 16⋅cos 

                                
                                
────────────────────────────────
            2                   
(x) + 24⋅cos (x) + 16⋅cos(x) + 4

In [9]: ratsimp(_)
Out[9]: 
                               4         2       2           2                2                  3                  2                      
                          - sin (x) - sin (x)⋅cos (x) - 2⋅sin (x)⋅cos(x) - sin (x) + 2⋅sin(x)⋅cos (x) + 6⋅sin(x)⋅cos (x) + 6⋅sin(x)⋅cos(x) 
- ─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
       2       2           2                  2                  3                   2                                         4           
  4⋅sin (x)⋅cos (x) + 8⋅sin (x)⋅cos(x) + 4⋅sin (x) + 8⋅sin(x)⋅cos (x) + 24⋅sin(x)⋅cos (x) + 24⋅sin(x)⋅cos(x) + 8⋅sin(x) + 4⋅cos (x) + 16⋅co

                                      
+ 2⋅sin(x)                           1
────────────────────────────────── + ─
 3            2                      4
s (x) + 24⋅cos (x) + 16⋅cos(x) + 4    

In [10]: ratsimpmodprime(_, [sin(x)**2 + cos(x)**2 - 1], sin(x), cos(x))
Out[10]: 
                    1                    
─────────────────────────────────────────
2⋅sin(x)⋅cos(x) + 2⋅sin(x) + 2⋅cos(x) + 2

In [11]: factor(_)
Out[11]: 
             1             
───────────────────────────
2⋅(sin(x) + 1)⋅(cos(x) + 1)

In [12]: ratsimpmodprime(f, [sin(x)**2 + cos(x)**2 - 1], sin(x), cos(x))
Out[12]: 
                    1                    
─────────────────────────────────────────
2⋅sin(x)⋅cos(x) + 2⋅sin(x) + 2⋅cos(x) + 2

In [13]: factor(_)
Out[13]: 
             1             
───────────────────────────
2⋅(sin(x) + 1)⋅(cos(x) + 1)