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Zusammenfassung

Formeln

Mechanik

$\vec{F}=m*\vec{a}$
$E=m*g*h$	Potenzielle Energie
$E=\frac{1}{2}*m*v^2$	Kinetische Energie
$E=\frac{1}{2}*D*s^2$	Federenergie / Spannenergie
$D=\frac{F}{s}$	Hooke’sche Gesetz
$s(t)=v_0 * t + s_0$	Gleichförmige Bewegung
$s(t)=\frac{1}{2}*a*t^2 + v_0 * t + s_0$	Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
$v(t)=\dot{s(t)}$
$a(t)=\dot{v(t)}$

Mechanische Schwingungen

$F_R = D * s$	$D$ ist die Direktionsgröße!
$s(t) = \hat{s} * sin \big( ω * t + \varphi \big)$
$ω = \sqrt{\frac{D}{m}}$
$ω = 2 π f$

Atomzerfall

$N(T_\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}N_0$
$λ = \frac{ln 2}{T\frac{1{2}}}$
$N(t)=N_0 * e-λ * t$

E-Feld

$Q=N*e$	Ladung ($N$ Anzahl der Elektronen)
$Q=I*t$	Ladung ($I=const$)
$Q=C*U$
$\overrightarrow{F}=Q*\overrightarrow{E}$
$E=\frac{1}{4π\varepsilon_0}*\frac{Q}{r^2}$	Radialsymmetrisches Feld
$F=\frac{1}{4π\varepsilon_0}*\frac{Q*q}{r^2}$	Radialsymmetrisches Feld
$U=E*s$	($s$ ist Abstand)
$W=U*q$
$W=F*s$
$W=\frac{1}{2}C*U_0^2$	Plattenkondensator
$C=ε_0*ε_r*\frac{A}{d}$
$ε_r=\frac{Cneu}{C0}$
$\varphi=\frac{Δ W}{q}$

Magnetismus

$F=B*I*l*sin α$
$F_L=B*e*v*sin α$
$U_H=\frac{1}{N_ve}*\frac{B*I}{d}$
$\frac{e}{m}=\frac{2*U_b}{r^2B^2}$
$B=μ_0*\frac{I}{2π r}$	$μ_0=4π *10-7$ \ \ (Leiter (nein nicht die zum Hochklettern))
$B=μ_0*I*\frac{n}{l}$	(lange Spule)
$B=μ_0*\frac{8}{\sqrt{125}}*\frac{I*n}{R}$	(Helmholtz Spulenpaar)

Induktion

$\varPhi=A*B*cos\alpha$	Magnetischer Fluss
$\dot{\varPhi}=A*\dot{B}+\dot{A}*B$
$UInd=-n*\dot{\varPhi}$	Faraday’sches Induktionsgesetz
$UL = n^2*A*μ_0*μ_r*\frac{1}{l}*\dot{I}(t)$	Selbsstinduktionsspannung
$UL = L*\dot{I}(t)$
$L = n^2*A*μ_0*μ_r*\frac{1}{l}$	Induktivität einer Spule

Elektromagnetismus

$\frac{λ ⋅ k}{g} = \frac{a_k}{\sqrt{L^2 + {a_k}^2}}$
$a_k = \sqrt{\frac{{λ}^2 ⋅ k^2 ⋅ L^2}{g^2 - k^2 ⋅ {λ}^2}}$	$g =$ Spaltabstand
$\frac{a_k}{L} = \frac{Δ s}{g}$	$L =$ Abstand Schirm
$ω = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
$f = \frac{1}{2 π \sqrt{LC}}$

Quantenmechanik

$v = λ * f$
$E = h * f$
$λ = \frac{h}{p} = \frac{h}{m*v}$
$E_n = - \frac{m_e*e^4}{8*ε_0^2*h^2} * \frac{1}{n^2}$
$f = \frac{m_e*e^4}{8*ε_0^2*h^3} * (\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2})$
$Δ\lambda = \frac{h}{m_e*c}(1-cos{\varphi})$
$Δ x * Δ p ≥ \frac{h}{4}$
$Δ E * Δ t ≥ \frac{h}{4}$

Mechanik

Allgemeine Gesetzmäßigkeiten

Für die Mechanik gelten drei grundlegende Gesetze:

• Das Ort-Zeit-Gesetz: $s(t)$
• Das Geschwindigkeites-Zeit-Gesetz: $v(t) = \frac{ds}{dt} = \dot{s}(t)$
• Das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz: $a(t) = \frac{dv}{dt} = \dot{v}(t) = \ddot{s}(t)$

Die Mechanik ist weiterhin deterministisch, d.h. man kann bei bekannten Anfangsbedingungen jeden zukünftigen Zustand eines Systems berechnen.

Die Grundgleichung der Mechanik lautet:

$$F = \frac{dp}{dt} = \frac{d}{dt} (m(t) * v(t)) = \dot{m} * \vec{v} + m * \dot{\vec{v}}$$

Ist die Masse zeitlich konstant gilt:

$$\vec{F} = m * \dot{\vec{v}} = m * \vec{a}$$

Energieerhaltungssatz

Die Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems ist immer konstant.

Die Mechanik besitzt drei Energiespeicher:

• Potenzielle Energie: $E = m * g * h$
• Kinetische Energie: $E = \frac{1}{2} * m * v^2$
• Federenergie: $E = \frac{1}{2} * D * s^2$

In einem nicht vollständig abgeschlossenem System kann es auftreten, dass Energie durch Reibung verliert (In Form von Entropie an die Umgebung abgibt). Dies nennt man Energiedissipation.

Die erzeugte Entropie lässt sich über $Δ S = \frac{Δ E_Dis}{T}$ berechnen.

Ein Körper nimmt Energie durch einwirkende Kräfte auf. Ist der Körper bewegt und erfährt er eine konstante Kraft, so lässt sich die Energie des Körpers mit der Formel $E = \vec{F} * \vec{s}$ beschreiben.

Das Hooke’sche Gesetz

Gilt, wenn die Verformung eines Körpers proportional zur einwirkenden Kraft ist ($F ∼{s}$)

Viele Federn erfüllen dieses Gesetz bei moderaten Kräften, wodurch für die Federhärte dieser Federn gilt: $D = \frac{F}{s}$

Die Newtonsche Gesetze

Das Trägheitsgesetz

Ein Objekt erfährt ohne einwirkende Kraft keine Impulsänderung

Das Aktionsprinzip

Die Kraft die auf ein Körper einwirkt ist gleich der Impulsänderung pro Zeit des Körpers ($F = \frac{dp}{dt} = \dot{p}(t)$)

Das Wechselwirkungsprinzip

Wirkt ein Körper A eine Kraft auf einen anderen Körper B aus, so wirkt Körper B eine entgegengesetzte Kraft des selben Betrags auf Körper A aus.

Das Superpositionsprinzip

Das Superpositionsprinzip beschreibt die Überlagerung mehrerer physikalischer Vektorgrößen ohne gegenseitige Beeinflussung untereinander. Dies gilt für alle physikalischen Vektorgrößen, somit nicht nur wie folgend hauptsächlich behandelt für Kräfte.

Vektorzerlegung

Die Umkehrung dieses Prinzips ist die Zerlegung einer Vektorgröße in ihre einzelnen Bestandteile.

Als Beispiel für eine solche ist die Kräftezerlegung an der schiefen Ebene zu nennen:

Hierbei wird $\vec{F_G}$ in die Normalkraft $\vec{F_N}$ und eine Kraft parallel zu der schiefen Ebene eingeteilt. In Wirklichkeit wirkt hier, ohne Reibung, ausschließlich die Normalkraft entgegengesetzt derer, die aus der vorherigen Zerlegung hervorging, sowie die Gewichtskraft, wodurch sich die resultierende Kraft aus diesen beiden zusammensetzt.

Tritt Reibung auf, so wirkt dieser resultieren Kraft eine Rückstellkraft $\vec{F_R}$ entgegen; sie ist eine reale Kraft (Nicht durch Zerlegung erhalten)

Kräftegleichgewicht

Ein Sonderfall dieses Prinzips tritt auf wenn die Überlagerung aller Kräfte, die an einem Punkt angreifen, eine resultierende Kraft mit dem Betrag 0 erzeugt.

(Einfache) Bewegungstypen

Grundsätzlich gibt es drei einfach mathematisch beschreibbare Bewegungstypen:

Gleichförmige Bewegung

$$s(t) = v_0 * t + s_0$$ $$v(t) = v_0$$ $$a(t) = 0$$

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

$$s(t) = \frac{1}{2} * a_0 * t^2 + v_0 * t + s_0$$ $$v(t) = a_0 * t$$ $$a(t) = a_0$$

Harmonische Schwingung

$$s(t) = \frac{1}{2} * a_0 * t^2 + v_0 * t + s_0$$ $$v(t) = a_0 * t$$ $$a(t) = a_0$$

Mechanische Schwingungen

Eine Schwingung wird genau dann als harmonoisch bezeichnet, wenn die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung ist.

$F_R$	Rückstellkraft
$D$	Direktionsgröße
$s$	Auslenkung aus der Ruhelage

$$F_R ∼ s$$ $$F_R = D * s$$

Diese Formel(n) geleten für alle harmonischen Schwingungen.

Herleitung

Aufstellen der Differentialgleichung

$$F_R(t)=D*s(t)$$ $$m*a(t)=D*s(t)$$ $$m*\ddot{s(t)}=D*s(t)$$

Lösen der Differentialgleichung

Ansatz: $s(t)=\hat{s} * sin (ω * t)$

$$m * ω^2 * \hat{s} * sin (ω * t) = D * \hat{s} * sin (ω * t)$$ $$ ⇓ $$ $$ m * ω^2 = D $$ $$ ⇓ $$ $$ ω = \sqrt{\frac{D}{m}}$$

Formel

$$s(t) = \hat{s} * sin \Bigg(\sqrt{\frac{D}{m}} * t\Bigg)$$

\VS

Algemeiner

$$s(t) = \hat{s} * sin \big(ω * t + \varphi \big)$$

WICHTIG

Diese Formel gilt nur für harmonische Schwingungen. Das bedeutet das die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung sein muss!

\VS

Desweiteren ist wichtig, dass $D$ die Direktionsgröße ist. Es kann, muss aber nicht der Federhärte entsprechen. Die Direktionsgröße erhält man automatisch aus der Formel der resultierenden Kraft. $D$ ist dann quasi “alles was vor dem $s$ steht”.

\VS

Beispiel Fadenpendel:

$$ F_R = F_G * sin α = m * g * sin \Big(\frac{s}{l}\Big) = \frac{m*g}{l} * s $$

$$ ⇒ D = \frac{m*g}{l} $$ $$ ⇒ ω = \sqrt{\frac{D}{m}} = \sqrt{\frac{g}{l}} $$

Gilt nur für kleine $α$ !

Vergleich Kreisbewegung

Vergleicht man eine harmonische Schwingung mit einer Kreisbewegung, so offenbart sich ein weiterer Zusammenhang: $ω$ ist hierbei die Kreisfrequenz (oder auch Winkelgeschwindigkeit), weshalb sich folgender Zusammenhang aufstellen lässt:

$$ω = 2 π f$$

Mechanische Wellen

c	Phasengeschwindigkeit / Ausbreitungsgeschwindigkeit
v	Schnelle: Schwingung eines Teilchens
T	Periode: Dauer der Schwingung eines Teilchens
$λ$	Wellenlänge

Man unterscheidet generell zwischen 2 Arten von Wellen: Der Transversalwellen und der Longitudinalwelle. Bei der Transversalwellen ist die Ausbreitungsrichtung der Welle orthogonal zur Schwingung des Teilchens ($\overrightarrow{v} ⊥ \overrightarrow{c}$), während bei der Transversalwellen die beiden Komponenten parallel zueinenader sind ($\overrightarrow{v} \parallel \overrightarrow{c}$)

Zusammenhang von $c$, $T$, $λ$ und $f$

Damit die Welle eine Wellenlänge zurücklegen kann, muss das 1. Teilchen eine komplette Schwingung vollführt haben. Aus diesem Zusammenhang ergibt sich folgende Formel:

$$ c = \frac{λ}{T} = λ * f$$

Wellengleichung

Für Wellen gibt es eine allgemeine Wellengleichung. Dieser werden jedoch 2 Parameter übergeben: Die Zeit und der Ort. Deshalb ist es nur möglich eine Größe auf einmal zu betrachten, während die andere sich nicht verändert, es sei denn man trägt die Welle im dreidimensionalen Raum auf.

$$ y(x,t) = \hat{y} * sin{\bigg(2π * \bigg(\frac{t}{T}-\frac{x}{λ}\bigg)\bigg)}$$

Reflexion

Man unterscheidet in der Schule bei der Reflexion von Wellen zwischen der Reflexion am losen und am festen Ende. Bei der Reflexion am losen Ende können sich die Teilchen ungehindert in $y$ Richtung bewegen, während bei einem festen Ende das letzte Teilchen festgehalten wird.

\VS

Dies führt dazu, dass bei der Reflexion am festen Ende ein Phasensprung von $π$ stattfindet, während bei der Reflexion am losen Ende kein Phasensprung stattfindet.

\VS

Zeichnerisch kann man beide Reflexionen konstruieren indem man die Welle über die Barriere hinaus zeichnet und bei der Reflexion am festen Ende eine Punktspiegelung und bei der Reflexion am losen Ende eine Achsenspiegelung macht.

Stehende Wellen

Eine stehende Welle ist eine Welle die sich (scheinbar) nicht ausbreitet. Diese Wellen zeichnen sich auch dadurch aus, das sie Stellen aufweisen an denen sich die Teilchen nicht mehr bewegen. Diese Stellen liegen immer $\frac{λ}{2}$ auseinander und man nennt man sie Schwingungsknoten.

\VS

Eine stehende Welle entsteht immer durch eine einseitige Reflexion, da hier die reflektierte Welle immer mit der Ausgangswelle interferiert. Beim festen Ende ist immer ein Schwingungsknoten, während beim losen Ende immer ein Schwingungsbauch ist.

\VS

Hat man jedoch 2 Enden, so entsteht nicht immer eine stehende Welle. Hier müssen $λ$ und der Abstand der Enden $l$ ein bestimmtes Verhältnis aufweisen:

fest-fest	$l=(n+1)*\frac{λ}{2}$
frei-frei	$l=(n+1)*\frac{λ}{2}$
fest-frei	$l=(2n+1)*\frac{λ}{4}$

$n∈\mathbb{N}$

Atommodell

Atome bestehen kalssisch aus einem Kern und einer Hülle. Der Kern macht hierbei mit Abstand den Großteil der Masse eines Atoms, allerdings nur einen Bruchteil des Volumens aus. Im folgenden wird nur der Kern betrachtet.

Z:	Protonenzahl; Kernladungszahl (bestimmt das Element)
N:	Neutronenzahl
A:	Massezahl: Z+N

\VS

Beispiel: $²²⁶₈₈Ra$: $A=226$; $Z=88$

Zerfall

Sehr schwere Atome, d.h solche mit einer großen Massezahl, zerfallen mit der Zeit in min. 2 masseärmere Atome. Hierbei wird Energie in (hautzächlich) drei Formen frei:

• $α$ Strahlung
• $β$ Strahlung
• $γ$ Strahlung

$α$ Strahlung

$α$ Strahlung besteht aus Heliumkernen ($^4_2He$) und hat eine sehr hohe (kinetische) Energie im $MeV$ bereich. Diese Strahlung transportiert in der Regel die größte Energie.

\VS

Allerdings wird $α$ Strahlung schon von dünnem Papier (nahezu) volständig absorbiert. Auch ist die Reichweite in Luft nur sehr gering.

\VS

Desweiteren kann man $α$ Strahlung in dünnem Nebel sichtbar machen.

\VS

Die Energieverteilung von dieser Strahlung ist immer diskret.

$β$ Strahlung

$β$ Strahlung besteht aus Elektronen und hat eine relativ hohe (kinetische) Energie im $MeV$ bereich.

\VS

Allerdings wird $β$ Strahlung schon von $5mm$ dickem Aluminiumblech zum Großteil absorbiert.

\VS

Allerdings kann man $β$ Strahlung, anders als $α$ Strahlung, nur sehr schwer in Nebel sichtbar machen.

\VS

Die Energieverteilung von dieser Strahlung ist kontinuirlich.

$γ$ Strahlung

$γ$ Strahlen sind elektromagnetische Wellen mit einer sehr geringen Wellenlänge und haben deshlab im Vergleich zu normalem Licht eine eher hohe Energie ($E=h*f$).

\VS

Im Vergleich zu anderer Strahlung ist die Energie im Bereich von $0,01\,MeV$ eher gering.

\VS

Allerdings wird $β$ Strahlung schon von $5mm$ dickem Aluminiumblech zum Großteil absorbiert.

\VS

Allerdings kann man $β$ Strahlung, anders als $α$ Strahlung, nur sehr schwer in Nebel sichtbar machen.

\VS

Die Energieverteilung von dieser Strahlung ist sehr stark diskret (sehr klare Peaks).

Halbwertszeit

Die Halbwertszeit beschreibt nach welcher Zeit nur noch die Hälfte eines Materials übrig ist.

Sie lässt sich anhand der Formel $N(T_\frac{1{2}}) = \frac{1}{2} N_0$ berechnen.

$$λ=\frac{ln 2}{T\frac{1{2}}}$$

$$N(t) = N_0 * e-λ * t$$

Optik aus der Mittelstufe

Reflexionsgesetz

Wenn eine Lichtwelle auf einen Spiegel oder eine spiegelnde Oberfläche trifft, wird die Lichtwelle reflektiert.

Den Winkel zwischen der Einfallenden Welle und dem Spiegel misst man indem man den Winkel zwischen dem Normalenvektor - oder auch Lot - (senkrecht zur Ebene) und der Welle misst (natürlich am Auftreffpunkt). Die reflektierte Welle hat den selben Winkel wie die einfallende Welle. Allerdings befindet sich die reflektierte Welle auch auf der selben Ebene wie die einfallende Welle.

Die Gesetze:

\VS

$1$. Teil:
Einfallender Strahl, Lot auf Spiegel im Auftreffpunkt und reflektierter Strahl liegen in einer Ebene, der Einfallsebene.

\VS

$2$. Teil:
Einfallswinkel ist gleich Reflexionswinkel.

Brechungsgesetz

$$ \frac{sin{α}}{sin{β}} = \frac{n_2}{n_1} $$

\VS

Dabei stellt $α$ sowie $β$ den Winkel zwischen den Medien (1,2) und der Auftreffsfläche da. Die Brechungszahl $n = \frac{c}{c_ph}$ ist materialspezifisch und beschreibt das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit im betreffenden Material.

Herleitungen

Herleitungen über das Huygen’sche Prinzip

Das Heuygen’sche Prinzip besagt das an jedem Punkt einer Wellenfront eine neue Elementarwelle entsteht und das die Überlagerung aller neuen Elementarwellen die neue Wellenfront bildet.

Reflexionsgesetz

Trifft nun eine Wellenfront auf eine reflektierende Oberfläche, so kann jeder Punkt auf der Oberfläche wieder als Ausgangspunkt einer neuen Elementarwelle betrachtet werden.

Brechungsgesetz

Brechung entsteht durch den Übergang einer Lichtwelle von einem Material zu einem anderen. Dabei ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts im einen Material größer als die in dem anderen Material.

Dadurch breiten sich die Elementarwellen im anderen Material mit einer anderen Geschwindigkeit als in dem vorhergehenden Material aus.

Herleitung bei Leifi

Herleitungen über das Fermat’sche Prinzip

Das fermatsche Prinzip besagt, dass Licht immer den schnellsten Weg zwischen zwei Punkten wählt.

Bei den folgenden Herleitungen wird die Tatsache genutzt, dass der kürzeste Weg (bzw. die geringste Zeit) einen Extremwert von der Dauer, die das Licht benötigt um zu dem anderen Punkt zu gelangen , darstellt.

Brechungsgesetz

Liegt zwischen zwei Punkten ein Phasenübergang von zwei Medien mit unterschiedlichem Brechungsindex, so ist der direkte Weg nicht mehr der schnellste. Dies ist auf die unterschiedlichen Lichtgeschwindigkeiten in unterschiedlichen Medien zurückzuführen. Dies kann folgendermaßen beschrieben werden:

\VS

$$ t(x) = t_1 + t_2 = \frac{s_1}{c_1} + \frac{s_2}{c_2} $$ $$ = \frac{\sqrt{a^2+x^2}}{c_1} + \frac{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}{c_2}$$ $$ \frac{dt}{dx} = \frac{1}{2}\frac{1}{c_1}\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}2x + \frac{1}{2}\frac{1}{c_2}\frac{1}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}2(d-x)(-1) = 0$$ $$ 0 = \frac{1}{c_1}\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} - \frac{1}{c_2}\frac{d-x}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}$$

$$ sin{α} = \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}$$ $$ sin{β} = \frac{d-x}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}$$

$$ 0 = \frac{1}{c_1}sin{α} - \frac{1}{c_2}sin{β}$$ $$ \frac{c_2}{c_1} = \frac{sin{β}}{sin{α}}$$

\VS

Reflexionsgesetz

A_1(-a,a) P(x,0) A_2(a,a) [Skizze]

Wird für den Weg zwischen zwei Punkten ein dritter Punkt, in dem der Lichtstrahl reflektiert wird, benötigt, so gilt folgendes:

\VS

$$ t(x) = t_1 + t_2 = \frac{s_1}{c} + \frac{s_2}{c} $$ $$ = \frac{1}{c} (\sqrt{a^2+(a+x)^2} + \sqrt{a^2+(a-x)^2})$$ $$ \frac{dt}{dx} = \frac{1}{c} (\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{a^2+(a+x)^2}}2(a+x) + \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{a^2+(a-x)^2}}2(a-x)(-1)) = 0$$ $$ 0 = \frac{a+x}{\sqrt{a^2+(a+x)^2}} - \frac{a-x}{\sqrt{a^2+(a-x)^2}}$$

$$ sin{α} = \frac{a+x}{\sqrt{a^2+(a+x)^2}}$$ $$ sin{β} = \frac{a-x}{\sqrt{a^2+(a-x)^2}}$$

$$ 0 = sin{α} - sin{β}$$ $$ sin{α} = sin{β}$$ $$ α = β$$

\VS

Totalreflexion

Bei dem Übergang eines Lichtstrahls von einem Medium in ein Anderes wird immer auch Licht reflektiert. Je größer der Einfallswinkel, desto mehr Licht wird reflektiert und desto weniger wird gebrochen. Bei einem bestimmten Einfallswinkel wird das Licht nichtmehr gebrochen und ausschließlich reflektiert.

Planparalle Platte

Der Lichtstrahl verläuft nachdem er die planparallele Platte durchquert hat in der gleichen Richtung weiter wie vorher und ist nur seitlich verschoben.

Magnetismus

Magnete

• Magnete bestehen aus ferromagnetischen Metallen
  • Eisen
  • Kobalt
  • Nickel
• Magnete haben immer mindestens 2 Pole
  • Nord Pol (Rot)
  • Süd Pol (Grün)
• Magnete bestehen aus unendlich vielen Elementarmagneten
• Gleiche magnetische Pole stoßen sich ab
• Unterschiedliche Pole ziehen sich an
• Magnetische Feldlinien
  • Sie verlaufen vom Nord- zum Südpol
  • Sie haben keinen Anfang und kein Ende

Magnetisches Feld

Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetischen Feld

Linke Hand Regel:

• Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger stehen Senkrecht zueinenader
• Daumen zeigt in Richtung des physikalischen Stromes
• Zeigefinger zeigt in Richtung der Feldlinien
• Mittelfinger ziegt in Richtung der resultierenden Kraft.

Man erhält die Proportionalität:

\VS

$$F ∼ I$$ $$F ∼ l$$ $$F ∼ I * l$$

\VS

Man definiert $B$ als magnetische Feldstärke. Dann erhält man mit der Annahme $l ⊥ B$:

$$[B]=\frac{N}{A*m}=\frac{V*s}{m2}$$

\VS

$$F=B*I*l$$ $$B=\frac{F}{I*l}=1T$$

\VS

Lorenzkraft

$$ I =\frac{Δ Q}{Δ t} =\frac{N*e-}{Δ t}*\frac{l}{l} =\frac{N*e-}{l}*\frac{l}{Δ t} =\frac{N*e-}{l}*v_0 $$

Einsetzen in $F=B*I*l$:

$$ F =B*\frac{N*e-}{l}*v_0*l =B*N*e-*v_0 =B*q*v =F_l $$

HINWEIS: Gilt $l ⊥ B$ nicht dann muss man an die Formlen für die Kraft ($F=$) ein $sin{α}$ dranhängen.

Hall effect

\VS

• $d$ ist hier die Dicke des Metall-Stücks
• $l$ ist die Länge des Metall-Stücks
• $b$ ist die Höhe des Metall-Stücks

Ansatz:

$$ F_l = Fel $$ $$ B * e * v = e * E $$ $$ B * v = E $$

Einsetzen in $U_H = b * E$:

$$ U_H = b * B * v $$

Formel für $v$:

$$ v = \frac{I*l}{N*e} $$

Einsetzen in $U_H$:

$$ U_H = b * B * \frac{I*l}{N*e} $$

Formel für $b*l$:

$$ V = b*l*d $$ $$ b*l = \frac{V}{d} $$

Einsetzen in $U_H$:

$$ U_H = \frac{B*I}{N*e} * \frac{V}{d} $$

Ladungsträgerdichte $N_v=\frac{N}{V}$ einsetzen in $U_H$:

$$ U_H = \frac{1}{N_v * e} * \frac{B*I}{d} $$

$\frac{1}{N_v * e}$ Wird als $R_H$ definiert.

Magnetfeld um einen stromdurchflossenen Leiter

Um einen Stromdurchflossenen Leiter entsteht ein magnetisches Feld. Die Feldlinien verlaufen in konzentrischen Kreisen um den Leiter.

\VS

Für den Verlauf der Feldlinien gilt die Linke-Hand-Regel:

• Daumen Zeigt in die Richtung des Physikalischen Stroms
• Gekrümmte Finger geben die Richtung der Feldlinien an

\VS

Formeln:

$$ B ∼ I $$ $$ B ∼ \frac{1}{r} $$

$$ B = μ_0 * \frac{I}{2 π r} $$

$$ μ_0 = 4 π * 10-7 $$

Helmholz Spule

• Die 2 Spulen sind \emph{exakt} baugleich
• der Radius $R$ ist der Abstand der Spulen
• Der Radius der Spulen ist viel größer als die Länge der Spule

\VS

Formeln ($n$ ist die Windungszahl \emph{einer} Spule):

$$ B = μ_0 * \frac{8}{\sqrt{125}} * \frac{I*n}{R} $$

Induktion

Herleitung

Zur Herleitung der Induktion betrachten wir einen Schaltkreis ohne angeschlossener Stromquelle, die 2 entgegengerichtete Leuchtdioden und eine Spule enthält.

So wird ein Magnet an die Spule geführt; dabei leuchtet eine der LEDs auf. Bewegt man den Magnet weg, leuchtet die in die andere Richtung geschaltete LED. Bewegt man den Magnet nicht, leuchtete keiner der Dioden.

Hierbei ist zu sehen, dass sich durch die Bewegung des Magneten (und somit durch die Veränderung des Magnetfelds) ein elektrischer Strom entsteht. Der Magnet regt die Elektronen innerhalb der Spule zum Bewegen an und somit entsteht ein elektrischer Fluss. Die Bewegungsrichtung des Magneten bestimmt die Stromrichtung, was an den LEDs zu sehen ist.

Für die auftretende Induktionsspannung gilt:

\VS

$$Uind ∼ \frac{Δ B}{Δ t}$$

\VS

Systemaufbau

In einem Aufbau zur Induktion wird zum Einen eine lange Spule benötigt, die das magnetische Feld erzeugt. Diese nennt man felderzeugende Spule oder \emph{Feldspule}.

Des Weiteren wird eine Spule benötigt, in der durch das magnetische Feld der Feldspule eine Induktionsspannung erzeugt wird. Diese nennt man \emph{Induktionsspule}.

Für die Feldspule gilt:

\VS

$$B = μ_0 * I * \frac{n}{l}$$

\VS

Hierbei stellt n die Anzahl an Windungen und l die Länge der Feldspule dar. $\frac{n}{l}$ nennt man die Windungsdichte.

Ist I hierbei konstant (Gleichstrom), so ergibt sich keine Induktionsspannung, da sonst das Ergebnis der Gleichung und somit die magnetische Feldstärke konstant ist.

Induktionsspannung

Aus dem vorherigen Abschnitt ergibt sich für die Induktionsspule:

\VS

$$Uind ∼ n$$ $$Uind ∼ A$$ $$Uind ∼ \frac{Δ B}{Δ t} * n * A$$ $$Uind ∼ μ_0 * \dot{I}Feldspule * \frac{nFeldspule}{lFeldspule} * n * A$$

\VS

Hierbei stellt n die Anzahl an Windungen und A die Querschnittsfläche der Induktionsspule dar.

Somit ergibt sich dann letztendlich die Formel:

\VS

$$Uind = - μ_0 * \dot{I}Feld * \frac{nFeld}{lFeld} * n * A$$

$$Uind = - B * n * \frac{δ{A}}{δ{t}}$$

\VS

Die Induktionsspannung ist negativ, da nach der \emph{Lenz’schen Regel} die induzierte Spannung ihrer Ursache entgegenwirken muss.

Magnetischer Fluss

Aus der Formel $U_ind = - B * n * \frac{δ{A}}{δ{t}}$ ergibt sich letztlich, dass Induktion nur durch eine zeitliche Veränderung von B oder A auftreten kann.

Für die Abhängigkeit von A ist hierfür noch zu klären, dass damit die vom Magnetfeld durchsetzte Fläche gemeint ist. Eine Fläche ist dann maximal durchsetzt, wenn die Magnetfeldlinien orthogonal zur Fläche auftreten. Laufen die Feldlinien entlang der Fläche, ist diese nicht durchsetzt.

Beide Ursachen der Induktion werden in dem magnetischen Fluss festgehalten:

\VS

$$\varPhi = \vec{B} * \vec{A} $$

$$\varPhi = B * A * cos{α}$$

$$[\varPhi] = 1 Wb = 1 Weber$$

\VS

$α$ ist hierbei der Winkel zwischen $B$ und $A$

Faraday’sches Induktionsgesetz

Für die Herleitung wird $α = 0$ definiert.

\VS

$$\varPhi = B * A$$

$$\varPhi(t) = B(t) * A(t)$$

$$\frac{δ{\varPhi}}{δ{t}} = \frac{δ{B}}{δ{t}} * \frac{δ{A}}{δ{t}}$$

$$\dot{\varPhi} = A * \dot{B} + B * \dot{A}\ \text{(Partielle Ableitung)}$$

$$Uind = - n * B * \frac{δ{A}}{δ{t}}\ \text{(A verändert sich)}$$ $$Uind = - n * A * \frac{δ{B}}{δ{t}}\ \text{(B verändert sich)}$$

$$Uind = - n * A * \frac{δ{B}}{δ{t}} - n * B * \frac{δ{A}}{δ{t}}$$ $$Uind = - n * (A * \frac{δ{B}}{δ{t}} + * B * \frac{δ{A}}{δ{t}})$$ $$Uind = - n * (\frac{δ{\varPhi}}{δ{t}})\ \text{(Einsetzen von [1])}$$

$$Uind = - n * \dot{\varPhi}$$

\VS

Erzeugung von Wechselspannung

\VS

$$Uind = - n * \dot{\varPhi}$$

$$Uind = - n * \frac{δ}{δ{t}}\ (B * A_0 * cos{\varphi})$$

$$Uind = - n * B * A_0 * \frac{δ}{δ{t}}\ cos{\varphi(t)}$$

$$Uind = - n * B * A_0 * \frac{δ}{δ{t}}\ cos{\varphi(ω*t)}$$

$$Uind = n * B * A_0 * ω * sin{\varphi(ω t)}$$

$$\hat{U} = n * B * A_0 * ω$$

\VS

$\hat{U}$ bezeichnet die Scheitelspannung.

Selbstinduktion

An eine Spule wird eine Spannung angelegt, die Stromstärke ändert sich anfangs mit der Zeit von $$I(0s) = 0\ \ \text{bis zu}\ \ I(∞) = \frac{U}{R} \text{.}$$

Dadurch baut sich um und in der Spule ein magnetisches Feld auf von $$B(0s) = 0\ \ \text{bis zu}\ \ B(∞) = μ_0 * μ_r * I(∞) * \frac{n}{l}\ \text{.}$$

Durch diese Veränderung von B wird schlussendlich eine Selbstinduktionspannung U_L erzeugt.

\VS

$$UL = - UInd$$

$$UL = - (- n * \frac{d\varPhi}{dt})$$

$$UL = n * \frac{δ}{δ t} (A * B)$$

$$UL = n * A * \frac{δ}{δ t} B + n * B * \frac{d}{dt} A\ \text{(Da die Spule fest ist, verändert sich A nicht)}$$

$$UL = n * A * \frac{δ}{δ t} (n * μ_0 * μ_r * I(t) * \frac{1}{l}$$

$$UL = n^2 * A * μ_0 * μ_r * \frac{δ}{δ t} I * \frac{1}{l}$$

$$UL = n^2 * A * μ_0 * μ_r * \frac{1}{l} * \dot{I}(t)$$

\VS

Induktivität

Durch U_L ergibt sich für die Induktivität der Spule:

\VS

$$L = n^2 * A * μ_0 * μ_r * \frac{1}{l}$$

$$[L] = 1 H = 1 Henry$$

\VS

Phasenbeziehung zwischen Strom und Spannung

An 3 Systemen werden zu jedem Zeitpunkt Spannung und Stromstärke bestimmt und ihre Phase verglichen.

Am ohmschen Widerstand

\VS

$$U = R * I$$

$$I = \frac{U}{R} = \frac{\hat{U} * sin{ω t}}{R} = \hat{I} * sin{ω t}$$

\VS

=> Strom und Spannung sind in Phase

An einer Spule

Hierbei wird von einer idealen Spule mit R = 0 ausgegangen. Die Gesamtspannung in dem System ergibt sich durch U_G = U_Quelle + U_Ind.

\VS

$$U_G = UQ + UInd = UQ - L * \dot{I}$$

$$I * RSystem = UQuelle - L * \dot{I}$$

$$0 = UQ - L * \dot{I}$$

$$UQ = L * \dot{I}$$

$$\dot{I} = \frac{\hat{U} * sin{ω t}}{L}$$

$$I = - \frac{\hat{U}}{L*ω} * cos{ω t}$$

$$I = - \hat{I} * cos{ω t}$$

\VS

=> Strom und Spannung sind um $\frac{π}{2}$ verschoben. An Induktivitäten, Ströme sich verspäten

An einem Kondensator

\VS

$$ U(t) = \hat{U} * sin{ω t}$$

$$ Q(t) = L * U(t) = L * \hat{U} * sin{ω t}$$

$$ I(t) = \dot{Q}(t) = ω * L * \hat{U} * cos{ω t} = \hat{I} * cos{ω t}$$

\VS

=> Strom und Spannung sind um $\frac{π}{2}$ verschoben. Der Strom eilt vor, im Kondensator

Stromstärke beim Einschalten einer Spule

Differenzialgleichung:

$$\frac{dI}{dt} = \frac{U_q - I(t) * Rsp}{L}$$

Maxwell Gleichungen

Die Maxwell Gleichungen beschreiben die Elektrostatik und die Elektrodynamik.

Alle Gleichungen im Überblick:

1. Gleichung:

Diese Gleichung beschreibt die Elektromagnetischen Wellen.

$$\oint \overrightarrow{B} * d \overrightarrow{s} = μ_0 * ε_0 * \frac{δ}{δ t} ∫A \overrightarrow{E} * d \overrightarrow{A} + μ_0 ∫A \overrightarrow{j} * d \overrightarrow{A}$$

oder

$$rot \overrightarrow{B} = μ_0 * ε_0 * \frac{δ \overrightarrow{E}}{δ t} + μ_0 * \overrightarrow{j}$$

2. Gleichung:

Diese Gleichung beschreibt die Induktion.

$$\oint \overrightarrow{E} * d \overrightarrow{s} = - \frac{δ}{δ t} ∫A \overrightarrow{B} * d \overrightarrow{A}$$

oder

$$rot \overrightarrow{E} = - \frac{δ \overrightarrow{B}}{δ t}$$

Man kann die 1. Gleichung (der 1. Maxwell Gleichung) auch anders aufschreiben:

$$u = - \frac{δ}{δ t} ∫A \varPhi$$

3. Gleichung:

Das elektrische Feld ist ein Vektorfeld, d.h. jedem Punkt im Raum kann ein Vektor zugeordnet werden, welcher die Richtung und die Stärke des Feldes angibt.

$$∫A \overrightarrow{E} * d \overrightarrow{A} = \frac{1}{ε_0} ∫V p * V$$

oder

$$div \overrightarrow{E} = \frac{1}{ε_0} ˆ p$$

4. Gleichung:

Diese Gleicung besagt das es keine magnetischen Monopole gibt.

$$∫A \overrightarrow{B} * d \overrightarrow{A} = 0$$

oder

$$div \overrightarrow{B} = 0$$

Elektromagnetische Wellen

Elektrische Schwingungen strahlen bei hohen Frequenzen elektromagnetische Wellen ab, diese sind Transversalwellen, bei denen das elektrische Feld senkrecht zu dem magnetischen Feld steht. Beispiele für elektromagnetische Wellen sind: Licht, Mikrowellen, Radiowellen, uvm. . Sie unterscheiden sich in ihrer Frequenz, breiten sich allerdings alle mit Lichtgeschwindigkeit aus.

\VS

$$ E ∼ B $$ $$ E = B ⋅ c $$ $$ c = \frac{1}{\sqrt{εr ε0 μr μ0}} $$

\VS

In Vakuum/Luft gilt annähernd $c₀ = \frac{1}{\sqrt{ε₀ μ₀}} ≈ 3 ⋅ 10⁸ \frac{m}{s}$.

Schwingkreis

Der Lichtstrahl verläuft nachdem er die planparallele Platte durchquert hat in der gleichen Richtung weiter wie vorher und ist nur seitlich verschoben.

Ein Kreis aus Kondensator und Spule heißt elektrischer Schwingkreis (auch LC-Schwingkreis). Bei der darin entstehenden Schwingung findet eine periodische Umwandlung von elektrischer und magnetischer Feldenergie statt.

\VS

\VS

Herleitung Thomson’sche Gleichung

Spannung am Kondensator: $$ U_c(t) = \frac{Q(t)}{C} $$

\VS

induzierte Spannung an der Spule: $$ U_ind(t) = -L ⋅ \dot{I}(t) $$

\VS

$$ Uind = UC $$ $$ -L ⋅ \dot{I}(t) = \frac{Q(t)}{C} $$ $$ -L ⋅ \ddot{Q}(t) = \frac{Q(t)}{C} $$ $$ \ddot{Q} + \frac{1}{LC} ⋅ Q(t) = 0 $$

\VS

Folgender Lösungsansatz für die Differenzialgleichung:

\VS

$$ Q(t) = \hat{Q} ⋅ sin(ω ⋅ t) $$ $$ \dot{Q}(t) = ω \hat{Q} ⋅ cos(ω ⋅ t) $$ $$ \ddot{Q}(t) = - ω2 \hat{Q} ⋅ sin(ω ⋅ t) $$

\VS

$$ - ω2 \hat{Q} ⋅ sin(ω ⋅ t) + \frac{1}{LC} ⋅ \hat{Q} ⋅ sin(ω ⋅ t) = 0 $$ $$ \frac{1}{LC} ⋅ \hat{Q} ⋅ sin(ω ⋅ t) = ω2 \hat{Q} ⋅ sin(ω ⋅ t) $$ $$ \frac{1}{LC} = ω2 $$

\VS

$$ ω = \frac{1}{\sqrt{LC}} $$

\VS

Da für Schwingkreise $T = \frac{2 π}{ω}$ gilt, ergibt sich für die Eigenfrequenz $f$:

\VS

$$ f = \frac{1}{2 π \sqrt{LC}} $$

Sendedipol

Ein stark minimalisierter Schwingkreis führt schließlich zu dem Hertz’schen Dipol, welcher nur aus einem Stück Leiter besteht. Die Spule hat sich auf eine Windung reduziert, die Enden bilden die Kondensatorenplatten.

Für den Zusammenhang zwischen Dipollänge $l$ und der Wellenlänge $λ$ gilt:

\VS

$$ l = \frac{λ}{2} $$

Interferenz

Einfachspalt

Hilfreich bei der Betrachtung des Interferenzmusters bei einem Einfachspalt ist die Betrachtung in mehreren Teilbündeln. Somit heben sich Teilbereich 1 und 2 bei einem Gangunterschied von $λ$ vollständig auf, da jeder Strahl einen Entgegengerichteten im anderen Teilbereich hat. Es liegt folglich eine Dunkelstelle vor. Dieses Phänomen ist für alle Gangunterschiede $δ = k ⋅ λ$ zu finden.

Für das Minimum $k$ -ter Ordnung mit der Spaltbreite $D$ und der Wellenlänge $λ$ ergibt sich daraus: $$ sin{α_k} = \frac{λ ⋅ k}{D} \ \text{für}\ k < \frac{D}{λ} $$

Nebenmaxima treten bei einem Gangunterschied von $δ = \frac{2k + 1}{2} λ$ auf.

Doppelspalt

ungenaue Herleitung

Für die Entfernung zum Schirm $L$, dem Spaltabstand $g$ und dem Gangunterschied $Δ s$ gilt: $$ tan{α_k} = \frac{a_k}{L} \ \text{und}\ sin{α_k} = \frac{Δ s}{g} $$

\VS

Für kleine Winkel gilt: $$ sin{α} ≈ α $$ $$ tan{α} ≈ α $$

\VS

… und somit gilt: $\frac{Δ s}{g} = \frac{a_k}{L}$

\VS

In $a_k$ maximal konstruktive Interferenz für: $Δ s = λ ⋅ k$ $$ a_k = \frac{λ ⋅ k}{g} ⋅ L $$

In $a_k$ maximal destruktive Interferenz für: $Δ s = \frac{1}{2} λ + λ ⋅ k$ $$ a_k = \frac{\frac{1}{2} λ + λ ⋅ k}{g} ⋅ L $$

genaue Herleitung

Da die vorige Herleitung nur für kleine Winkel gilt, hier eine allgemein gültigere Herleitung auf Basis des Satz des Pythagoras. Für die Entfernung zum Schirm $L$, dem Spaltabstand $g$ und dem Gangunterschied $Δ s$ gilt: $$ sin{α_k} = \frac{a_k}{\sqrt{L^2 + {a_k}^2}} \ \text{und}\ sin(α_k) = \frac{Δ s}{g} $$

\VS

$$ \frac{λ ⋅ k}{g} = \frac{a_k}{\sqrt{L^2 + {a_k}^2}} $$ $$ Δ s = \frac{a_k ⋅ g}{\sqrt{L^2 + {a_k}^2}} $$ $$ {a_k} = \sqrt{\frac{{λ}^2 ⋅ k^2 ⋅ L^2}{g^2 - k^2 ⋅ {λ}^2}} $$

\VS

Damit ein Hauptmaxima theoretisch auftreten kann muss die Bedingung $d^2 &gt; k^2 ⋅ {λ}^2$ erfüllt sein.

Mehrfachspalt und Gitter

Für Mehrfachspalte (Spaltanzahl $&gt;2$) gelten die gleichen Formeln wie für den Doppelspalt, da die Hauptmaxima, unabhängig von der Spaltanzahl, immer an der selben Stelle liegen. Dabei muss der Spaltabstand $d$ allerdings immer konstant sein.

Für die Nebenmaxima und Minima gilt diese Formel allerdings \emph{NICHT}. Ausschließlich füt Hauptmaxima ist diese Formel gültig!

An dünnen Schichten

Unterschieden wird in den geometrischen Gangunterschied $Δ s_G = \overline{AB}+\overline{BC}-\overline{AP}$ und dem optischen Gangunterschied $Δ s_O = n*\overline{AB}+n*\overline{BC}-\overline{AP}$ (λ ist im Medium anderst). Der letztere stellt den von uns benutzten dar.

Im folgenden wird $ε$ durch $β$ und $ε’$ durch $α$ ersetzt.

\VS

$$\overline{AB} = \overline{BC}$$ $$Δ s = 2n*\overline{AB}-\overline{AP}$$

$$cos{α} = \frac{\overline{AD}}{\overline{AB}} = \frac{d}{\overline{AB}}$$ $$\overline{AB} = \frac{d}{cos{α}}$$

$$Δ s = 2n*\frac{d}{cos{α}}-\overline{AP}$$

$$sin{β} = \frac{\overline{AP}}{\overline{AC}}$$ $$\overline{AP} = \overline{AC}*sin{β}$$

$$Δ s = 2n*\frac{d}{cos{α}}-\overline{AC}*sin{β}$$

$$tan{α} = \frac{\frac{1}{2}\overline{AC}}{d}$$ $$\overline{AC} = 2*d*tan{α}$$

$$Δ s = 2n*\frac{d}{cos{α}}-2*d*tan{α}*sin{β}$$ $$Δ s = 2d*(n*\frac{1}{cos{α}}-tan{α}*sin{β})$$

$$\text{Brechungsgesetz: } n = \frac{sin{β}}{sin{α}}$$ $$ sin{β} = n*sin{α}$$

$$Δ s = 2d*(n*\frac{1}{cos{α}}-n*tan{α}*sin{α})$$ $$Δ s = 2nd*(\frac{1}{cos{α}}-tan{α}*sin{α})$$ $$Δ s = 2nd*(\frac{1}{cos{α}}-\frac{sin{α}}{cos{α}}*sin{α})$$ $$Δ s = \frac{2nd}{cos{α}}*(1-sin{α}^2)$$

$$1-sin{α} = cos{α}$$

$$Δ s = 2ndcos{α}$$ $$Δ s = 2nd\sqrt{1-sin{α}^2}$$ $$Δ s = 2nd\sqrt{1-\frac{sin{β}^2}{n^2}} \text{ (Brechungsgesetz)}$$

$$Δ s = 2d\sqrt{n^2 - sin{β}^2}$$

\VS

Wichtig: $n’ &gt; n$ => Reflektierte Welle ist im Vergleich zur einfallenden Welle um $\frac{λ}{2}$ verschoben (“Phasensprung”).

\VS

Daraus folgt: $$Δ s = 2d\sqrt{n^2 - sin{β}^2} - \frac{λ}{2}$$

Quantenmechanik

Lichtelektrischer Effekt

Der lichtelektrische Effekt, hier auch äußerer Fotoeffekt genannt (der innere wird hier nicht bearbeitet), bezeichnet grundlegend, dass Licht oberhalb einer bestimmten Grenzfrequenz, bzw. unterhalb einer Grenzwellenlänge, Elektronen aus Metall herauslöst. Die Grenzfrequenz hängt von dem Material der Metallplatte ab.

Hallwachs-Effekt

Bereits Heinrich Hertz stellte dieses Phänomen fest, sein Schüler Heinrich Hallwachs führte das folgende Experiment zum Nachweis dessen durch:

Eine Zinkplatte, die an ein Elektroskop angeschlossen ist, wird mit Licht einer Quecksilberlampe beleuchtet. Es ergeben sich folgende drei Fälle:

1. Die Platte ist positiv geladen. (Elektronenmangel)
2. Die Platte ist negativ geladen. (Elektronenüberschuss)
3. Eine Glasplatte wird zwischen die negativ geladene Platte und die Lampe gesetzt.

Beobachtungen:

1. Das Elektroskop schlägt nach der positiven Aufladung aus, nach Bestrahlung durch die Lampe geschieht nichts.
2. Das Elektroskop schlägt nach der negativen Aufladung aus, nach Bestrahlung durch die Lampe geht das Elektroskop in den Anfangszustand zurück.
3. Das Elektroskop schlägt nach der negativen Aufladung aus, nach Bestrahlung durch die Lampe geschieht nichts.

\VS

Deutung:

\VS

Das Licht löst Elektronen aus der Zinkplatte heraus, die Glasplatte verhindert diesen Effekt, da der hochenergetische Teils des Lichts gefiltert wird. Die Intensität des Lichts hat keinen Einfluss auf dieses Ergebnis. (Qualitativ)

Quantitative Untersuchung

Einfluss der Intensität

Je höher die Intensität der einfallenden Strahlung, umso höher die Zahl der herausgelösten Elektronen.

Einfluss der Wellenlänge

Je kleiner die Wellenlänge, desto höher ist die maximale kinetische Energie der Elektronen. Dies gilt allerdings nur, wie bereits beschrieben, oberhalb einer bestimmten Frequenz, bzw. unterhalb einer bestimmten Wellenlänge.

Bestimmung der maximalen kinetischen Energie

Zur Bestimmung der kinetischen Energie wird die Gegenfeldmethode angewandt. Entgegen der Bewegungsrichtung der herausgelösten Elektronen wird nun ein elektrisches Feld angelegt, welches diese “ausbremst”. Da die Elektronen nach dem Herauslösen unterschiedliche Geschwindigkeiten haben (sehr geringer Unterschied), wird dieses Feld so eingestellt, dass Elektronen gerade so das Gegenfeld nicht mehr überwinden können. Dies wird durch Messen der Spannung in Bewegungsrichtung der Elektronen durchgeführt, mit der sich durch Einsetzen dieser in die Formel für die elektrische Energie ($E = eU$) letztlich ein Weg zur Bestimmung der kinetischen Energie ergibt (Gleichsetzen el. und kin. Energie).

Diese stellt auch gleichzeitig die Ablösearbeit des Materials dar. Somit bezeichnet sie die Energie, die mindestens aufgebracht werden muss, um ein Elektron aus dem Material zu lösen. Ein Photon gibt seine gesamte Energie an ein Elektron ab. Es ergeben sich drei Fälle:

1. Energie Photon < Ablösearbeit -> Kein Elektron wird herausgelöst
2. Energie Photon = Ablösearbeit -> Elektron wird gerade so herausgelöst
3. Energie Photon > Ablösearbeit -> Elektron wird herausgelöst und hat die kinetische Energie $E = E_Photon - E_Ablöse

Teilchen-Wellen-Dualismus

Für alles, was wir bisher klassisch als Teilchen betrachtet haben, sehen wir, dass für diese bei Gittern mit geeignetem Spaltabstand (Atomgitter als Beispiel) Interferenzmuster entstehen, wodurch sie Wellencharakter enthalten. Wir sehen auch, dass Wellen wie z.B. Licht Teilchencharakter zeigen (Siehe Photoeffekt). In der klassischen Physik ist dies unvereinbar, darum gibt die Quantenmechanik den Teilchen-Wellen-Dualismus vor, nachdem alle Teilchen als Welle und alle Wellen als Teilchenströme angesehen werden können.

Teilchenströme bestehen dabei aus sehr kleinen Teilchenpaketen (Quanten). Ein solcher Teilchenstrom ist demnach gequantelt.

Compten-Effekt

Als Compten-Effekt bezeichnet man den Zusammenstoß eines Photons mit einem Teilchen (bei uns ein Elektron) unter einem Winkel $\varphi$, bei dem ein \glqq{}neues\grqq{} Photon mit geringerer Energie und größerer Wellenlänge in die eine Richtung austritt und das Teilchen in eine andere Richtung weggestoßen wird.

Dabei gilt der Zusammenhang (nicht von uns hergeleitet):

$$ Δ\lambda = \frac{h}{m_e*c}(1-cos{\varphi}) $$

Heisenberg’sche Unschärferelation

Die Heisenberg’sche Unschärferelation besagt, dass man zwei komplementäre Eigenschaften eines Teilchens (z.B. Ort und Impuls, Energie und Zeit) nicht gleichzeitig beide beliebig genau bestimmen kann. Es gilt nämlich:

$$ Δ x * Δ p ≥ \frac{h}{4π} $$ $$ Δ E * Δ t ≥ \frac{h}{4π} $$

Dabei kann $4π$ je nach Herleitung etwas Anderes sein, es geht hier nur um die Größenordnung ($≈ h$).

Atom-Schalen-Energieniveaus

Die unterschiedlichen Energieniveaus werden mit $n$ (beginnend bei $n=1$, dem Grundzustand), durchnummeriert. $n$ wird als Hauptquantenzahl bezeichnet. Jedes Atom kann, wenn es Energie aufnimmt, nur so viel Energie aufnehemen das es auf genau ein Energieniveau kommt. Reicht die Energie nicht aus, um auf ein höheres Energieniveau zu kommen, so nimmt es überhaupt keine Energie auf.

\VS

Die Energie eines Niveaus (bei Wasserstoff) kann mit folgender Formel berechnet werden:

$$ E_n = - \frac{m_e*e^4}{8*ε_0^2*h^2} * \frac{1}{n^2} $$

Zur Berechnung des Energieunterschiedes zweier Energiezustände: ($m &gt; n$)

$$ Δ E = E_m - E_n $$ $$ Δ E = h * f = \frac{m_e*e^4}{8*ε_0^2*h^2} (\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}) $$ $$ f = \frac{m_e*e^4}{8*ε_0^2*h^3} * (\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}) $$

\VS

Diese Formel ist leider nur für Wasserstoff gültig, da es das einfachste Element ist (nur ein Proton und ein Elektron). Für andere Atomsorten ist die analytische Berechnung noch nicht möglich.

Franck-Hertz-Versuch

In einer Röhre werden Elektronen aus einem Glühdraht (Kathode) freigesetzt und mittels der Spannung $U_a$ auf die Anode hin beschleunigt. Im Gegemsatz zur Vakuumdiode sei die Röhre mit einem Gas (z.B. Queckssilberdampf) gefüllt. Dann stoßen die Elektronen auf ihrem Weg mit Gasatomen (Hg) zusammen. Zur Erhebung von guten Messdaten, wird ein Gegenfeld konstanter Größe angelegt und die Anzahl der ankommenden Elektronen mit Hilfe eines Amperemeters bestimmt. (Gegenfeld nur zur besseren Abgrenzung der Maximas) Betrachten wir diesen Versuch klassisch so vermutet man, das die Stromstärke zu Beginn ansteigt und danach ihr Maximum hält.

Bei der Durchführung dieses Versuch tritt allerdings folgendes Phänomen auf:

Die Photonen werden bei einem Wechsel des Energiezustandes eines Atoms emmitiert. Ein Atom kann, durch den Aufprall eines Elektrons, auf ein anderes Energieniveau angehoben werden. Dabei muss sowohl der richtige Winkel getroffen werden, als auch die notwendige Energie (kinetisch) vorliegen. Die sich wiederholenden Muster ergeben sich an den Stellen, wo die Elektronen bedingt durch Startgeschwindigkeit (die zu vernachlässigen ist) und Beschleunigungsspannung genügend Energie besitzen um ein weiteres Energieniveau der Atome aufbringen zu können.

Impuls, Energie und Masse von Photonen

Photonen haben keine Masse! Man darf hierbei nicht über die allgemein bekannte Formel $E=m*c^2$ Argumentieren, da dies nur eine Vereinfachung der Formel $E^2=m^2*c^4 + p^2*c^2$ ist.

\VS

Für Photonen gilt deshalb $E=p*c=h*f$