比がなるべく1に近い2つの指数表現を探す問題

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手習（比が1に近い2つの指数表現）

指数表現（(a/b)^c の形で表される数）に関する数学パズルを Python で強引に解く.

問題

a,b,c,d,e,f は 1 以上 10 以下の相異なる整数とする.
(a/b)^c / (d/e)^f ができるだけ 1 に近くなる a,b,c,d,e,f を求めよ.

（元の問題： "Simplifying Exponential Expressions" https://twitter.com/hyuki/status/1105380734699679744 ）

解答

Python で全 ₁₀P₆ 通り（＝151200 通り）をすべて計算した.
解答は以下の 40 通りあり, すべて 1 に等しい.

(6/3)¹⁰ / (4/1)⁵ = 1
(3/6)¹⁰ / (1/4)⁵ = 1
(4/1)⁵ / (6/3)¹⁰ = 1
(1/4)⁵ / (3/6)¹⁰ = 1
(6/3)¹⁰ / (8/2)⁵ = 1
(3/6)¹⁰ / (2/8)⁵ = 1
(8/2)⁵ / (6/3)¹⁰ = 1
(2/8)⁵ / (3/6)¹⁰ = 1
(10/5)⁶ / (4/1)³ = 1
(5/10)⁶ / (1/4)³ = 1
(4/1)³ / (10/5)⁶ = 1
(1/4)³ / (5/10)⁶ = 1
(10/5)⁶ / (8/2)³ = 1
(5/10)⁶ / (2/8)³ = 1
(8/2)³ / (10/5)⁶ = 1
(2/8)³ / (5/10)⁶ = 1
(4/2)⁹ / (8/1)³ = 1
(2/4)⁹ / (1/8)³ = 1
(8/1)³ / (4/2)⁹ = 1
(1/8)³ / (2/4)⁹ = 1
(10/5)⁶ / (8/1)² = 1
(5/10)⁶ / (1/8)² = 1
(8/1)² / (10/5)⁶ = 1
(1/8)² / (5/10)⁶ = 1
(10/5)⁹ / (8/1)³ = 1
(5/10)⁹ / (1/8)³ = 1
(8/1)³ / (10/5)⁹ = 1
(1/8)³ / (5/10)⁹ = 1
(6/2)⁸ / (9/1)⁴ = 1
(2/6)⁸ / (1/9)⁴ = 1
(9/1)⁴ / (6/2)⁸ = 1
(1/9)⁴ / (2/6)⁸ = 1
(6/2)¹⁰ / (9/1)⁵ = 1
(2/6)¹⁰ / (1/9)⁵ = 1
(9/1)⁵ / (6/2)¹⁰ = 1
(1/9)⁵ / (2/6)¹⁰ = 1
(3/2)¹⁰ / (9/4)⁵ = 1
(2/3)¹⁰ / (4/9)⁵ = 1
(9/4)⁵ / (3/2)¹⁰ = 1
(4/9)⁵ / (2/3)¹⁰ = 1

解説

任意の a,b,c,d,e,f について, (a/b)^c / (d/e)^f = (e/d)^f / (b/a)^c が成り立つ（単純な例：2/3 = (1/3)/(1/2)）.
また, X/Y = 1 なら Y/X = 1 である.
したがって, (a/b)^c / (d/e)^f = 1 が成り立つとき
(b/a)^c / (e/d)^f = 1,
(d/e)^f / (a/b)^c = 1,
(e/d)^f / (b/a)^c = 1
はすべて成り立つ.
上記の 40 通りにこれらが含まれることを考慮すると, 解答は以下の 4 型, 計 10 通りに大別される.

第 1 型: 「4ⁿ = 2²ⁿ」型（4 通り）

(4/1)³ / (10/5)⁶ = 1
(4/1)⁵ / (6/3)¹⁰ = 1
(8/2)³ / (10/5)⁶ = 1
(8/2)⁵ / (6/3)¹⁰ = 1

第 2 型: 「8ⁿ = 2³ⁿ」型（3 通り）

(8/1)² / (10/5)⁶ = 1
(8/1)³ / (4/2)⁹ = 1
(8/1)³ / (10/5)⁹ = 1

第 3 型: 「9ⁿ = 3²ⁿ」型（2 通り）

(9/1)⁴ / (6/2)⁸ = 1
(9/1)⁵ / (6/2)¹⁰ = 1

第 4 型: 「(9/4)ⁿ = (3/2)²ⁿ」型（1 通り）

(9/4)⁵ / (3/2)¹⁰ = 1

余談

その1: ぴったり 1 にはならないが最も 1 に近い答は

(8/2)¹ / (7/6)⁹ = 0.9989388...

である（複数の別解がある）.
これは (7/6)⁹ が 4 に非常に近い値を取る（= 4.004249...）ことによる.

その2: 逆に最も 1 から遠い答は

(8/1)¹⁰ / (2/7)⁹ = 84627647627264.05...

である. 分子をなるべく大きく, 分母をなるべく小さくすることで得られる.

exp_exp.py

i = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]
h = {}

for a in i:
  for b in i:
    for c in i:
      for d in i:
        for e in i:
          for f in i:
            if len(set([a,b,c,d,e,f])) == 6:
              k = '({}/{})**{} / ({}/{})**{}'.format(a,b,c,d,e,f)
              v = (a/b)**c / (d/e)**f
              h[k] = v

s = sorted(h.items(), key=lambda x:x[1])
for x in s:
  print('{} = {}'.format(x[0],x[1]))

output[part].txt

(2/7)**9 / (8/1)**10 = 1.1816469298596399e-14
(1/8)**10 / (7/2)**9 = 1.1816469298596405e-14
(1/9)**10 / (7/2)**8 = 1.2735926697953054e-14
(2/7)**8 / (9/1)**10 = 1.2735926697953054e-14
(1/7)**10 / (8/2)**9 = 1.3504536341253028e-14

...(151190 行省略) ...

(8/2)**9 / (1/7)**10 = 74049191673856.03
(7/2)**8 / (1/9)**10 = 78518039850270.36
(9/1)**10 / (2/7)**8 = 78518039850270.36
(7/2)**9 / (1/8)**10 = 84627647627264.0
(8/1)**10 / (2/7)**9 = 84627647627264.05