Código para pegar a localização atual do usuário, nesse exemplo eu peguei apenas dados de coordenadas, tem o outro gist que tem o código do componente MapView

index.js

  // State para guardar a latitude e longitude
  const [localizacao, setLocalizacao] = useState([-23.5500991,-46.633321]);

    // PEGA A LOCALIZAÇÃO DO USUÁRIO
    useEffect(() => {
      // Função para pegar a permissão e as coordenadas
      async function loadPosition() {
        // Pedir permissão para o usuário
        const { status } = await Location.requestPermissionsAsync();
        // verificar se está ok ou não o acesso a localização
        if (status !== "granted") {
          // Aviso caso seja negada
          Alert.alert(
            "Opsss...",
            "Precisamos de sua permissão para obter a localização"
          );
          return;
        } else {
          // guardar os dados da localização
          const location = await Location.getCurrentPositionAsync();
          // pega os dados que você quiser, no caso aqui latitude e longitude
          const { latitude, longitude } = location.coords;

          // Verificar se está chegando certinho os dados que você pegou..
          console.log(`
            Coordenadas: 
            
            latidude=${latitude} 
            longitude=${longitude}
              
          `);

          // Setar esses valores no state
          setLocalizacao([latitude, longitude]);
        }
      }

      // Executa a função
      loadPosition();
    }, []);