tentando.php

/*
table client:
id
bairros_id
name

Table bairros
id
name
*/

class Client extends Model
{
	public function bairros()
	{
		return $this->belongsTo(Bairros::class);
	}
}

// ClientController
public function show($id)
{
	$cat = Client::where('id', $id)->firstOrFail();
	return response()->json($cat->bairros); // Aqui o bairros_id quero que ele exiba o nome do bairro
}

@Wpkenpachi, retornou o mesmo resultado.