Excavator.md

% Экскаватор. Формула Тейлора

Лемма о переразложении многочлена

Нулевой производной многочлена будем называть сам многочлен. Тогда для любого $P_n(x, x_0)$:

$P_n(x, x_0) = c_0 + c_1 (x - x_0) + c_2 (x - x_0) ^ 2 + c_3 (x - x_0) ^ 3 + \cdots + c_n (x - x_0) ^ n$, где $c_k = P^{(k)}(x_0)$.

Доказательство. Рассмотрим $P'(x)$:

$P'(x) = c_1 + 2 c_2 (x - x_0) + \cdots + n c_n (x - x_0) ^ {n-1}$

Найдем значение в точке $x_0$:

$P'(x_0) = c_1 = {P'(x_0) \over 1!}$

Аналогично с $P''(x)$:

$P''(x) = c_2 + 3 * 2 c_2 (x - x_0) + \cdots + n (n - 1) c_n (x - x_0) ^ {n-2}$

$P''(x_0) = c_2 = {P''(x_0) \over 2!}$

И так далее до $n$. Дополнительно рассмотрим "нулевую производную", т. е. сам многочлен $P(x)$:

$P^{(0)}(x, x_0) = c_0 + c_1 (x - x_0) + c_2 (x - x_0) ^ 2 + \cdots + c_n (x - x_0) ^ n$

$P^{(0)}(x_0) = c_0$

Многочлен Тейлора

Пусть $f$ задано на некотором интервале $I$ и $n$ раз диффиренцируемо на нем (обозначается как $\mathfrak{D}^n(I)$). Возьмем также точку $x_0 \in I$. Тогда многочленом Тейлора называется:

$P_n(x, x_0, f) = {\begin{matrix} n \ \sum \ k = 0 \end{matrix}} {f^{(k)}(x_0) \over k!}$

Многочлен Тейлора решает задачу, подобную задаче линеаризации, но для многочленов.

Остаток

Остатком называется $r_n(x, x_0) = f(x) - P(x, x_0)$, где $P(x, x_0)$ -- многочлен Тейлора.

Основная теорема

Пусть $f \in \mathbb{C}^n[x_0, x], \mathfrak{D}^n[x_0, x], \mathfrak{D}^{n+1}(x_0, x)$.

Под $\mathbb{C}^n$ мы понимаем то, что все производные с первой по $n$-ную непрерывны.