phi-is-bijection.tex

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\newcommand{\transpose}[1]{{}^t\!{#1}}

\begin{document}

$K$を有限体, $V$を$d$次元$K$ベクトル空間とする。
$f: V \to V$線形写像をその最小多項式が原始的 (すなわち$f$による状態遷移の周期が$\#(K)^d-1$)であるものとする。
$b: V \to K$を線形写像で$b \ne 0$とする。

すると$\Phi: V \to K^d$線形写像を
\[\Phi(\bm v) = (b(\bm v), bf(\bm v), bf^2(\bm v), \dots, bf^{d-1}(\bm v))\]
で定めるとき、$\Phi$は全単射である。

証明。$V$の基底をとり、それに関する$f$と$b$の表現行列を$A, \transpose{\bm b}$とする。すると${\bm b} \ne {\bm 0}$。

$A$の転置$\transpose{A}$の最小多項式も原始的である。よって$\transpose{A}$の$\bm b$におけるAnnihilator多項式$\varphi_{\transpose{A},\bm b}(t)$は$d$次多項式である。

ここで$\transpose{A}$の$\bm b$におけるAnnihilator多項式とはイデアル
\[ \{F(t) \in K[t] \mid F(\transpose{A}) {\bm b} = {\bm 0} \} \]
を生成するモニックのこと。

実際、$\transpose{A}$の最小多項式を$\varphi_{\transpose{A}}$としたとき$\varphi_{\transpose{A},\bm b} | \varphi_{\transpose{A}}$であり$\varphi_{\transpose{A}}$が既約なので、$\varphi_{\transpose{A},\bm b}$は$1$または$\varphi_{\transpose{A}}$である。
${\bm b} \ne {\bm 0}$より$1$はありえないので$\varphi_{\transpose{A},\bm b} = \varphi_{\transpose{A}}$でその次数は$d$である。

よって、$\bm b, \transpose{A} \bm b, \dots, \transpose{A}^{d-1} \bm b$は線形独立。
その転置$\transpose{\bm b}, \transpose{\bm b} A, \dots, \transpose{\bm b} A^{d-1}$も線形独立だから、
\[ \begin{pmatrix} \transpose{\bm b} \\ \transpose{\bm b} A \\ \vdots \\ \transpose{\bm b} A^{d-1}  \end{pmatrix} \]
は正則。これは$\Phi$の表現行列である。 \hfill $\Box$


\end{document}