contar.java

// Recorremos la cadena letra por letra y vemos si es una vocal
for (int x = 0; x < cadena.length(); x++) {
    char letraActual = cadena.charAt(x);
    if (esVocal(letraActual)) {
        // La clave es la vocal en sí, pero en minúscula
        String clave = String.valueOf(letraActual).toLowerCase();
        // Aumentamos el conteo en esa clave
        hashMap.put(clave, hashMap.get(clave) + 1);
    }
}