ProductosController.php

<?php
# Función llamada desde el controlador; es un ejemplo, tú puedes colocar el código donde gustes
public function index(Request $request)
{
    $busqueda = "";
    if ($request->get("busqueda")) {
        $busqueda = $request->get("busqueda");
    }
    # Exista o no exista búsqueda, los ordenamos
    $builder = Producto::orderBy("descripcion");
    if ($busqueda) {
        # Si hay búsqueda, agregamos el filtro
        $builder->where("descripcion", "LIKE", "%$busqueda%");
    }
    # Al final de todo, invocamos a paginate que tendrá todos los filtros
    $productos = $builder->paginate(5);
    return view("productos.productos_index", [
        "productos" => $productos,
    ]);
}