AreasController.php

<?php

namespace App\Http\Controllers;

use App\Area; # Nuestro modelo
class AreasController extends Controller
{
    public function agregar(GuardarArea $peticion)
    {
        $area = new Area; # Crear nuevo modelo
        # Ponerle los datos para guardar
        $area->nombre = $peticion->nombre; 
        # Guardar en BD
        $area->save();
        # ==================================
        # Aquí tenemos el id recién guardado :)
        # ==================================
        $idAreaRecienGuardada = $area->id;
        # Y podemos obtener cualquier propiedad, pues está refrescado
        # Aquí ya puedes hacer lo que quieras con el id
    }
}