Skip to content

Instantly share code, notes, and snippets.

@pufinek

pufinek/gist:52d71eaa76894842e576a6050138ece0

Last active February 27, 2018 20:35
Show Gist options
  • Save pufinek/52d71eaa76894842e576a6050138ece0 to your computer and use it in GitHub Desktop.
Save pufinek/52d71eaa76894842e576a6050138ece0 to your computer and use it in GitHub Desktop.
Download ZIP
S02T08
Raw
gistfile1.txt
{
"test": {
"title": "S02T08",
"slug": "S02T08",
"description": "Přípravný test k státní maturitě.",
"successfulLimit": 33,
"tasks": [
{
"slug": "S02T08U01",
"title": "S02T08U01",
"taskText":
"Najděte na ose umístění hodnoty ##1\\over6##. &&\\images\\tasks\\S02T08\\S02T08P01.jpg&&",
"question": "Kolik dílků od nuly je tato hodnota vzdálená?.",
"maxPoints": 1,
"type": "options",
"categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
"options": [
{
"name": "opt1",
"problem": "##1##"
},
{
"name": "opt2",
"problem": "##3##"
},
{
"name": "opt3",
"problem": "##4##"
},
{
"name": "opt4",
"problem": "##2##"
},
{
"name": "opt5",
"problem": "jiná hodnota"
}
],
"correctAnswer": ["opt1"],
"solutions": [
{
"step": 1,
"title": "",
"content": [
{
"calculation":
"$$ {-1-{4\\over 3} }={-3-4\\over 3}={-7\\over 3} \\implies 7\\over 3$$",
"explanation":
"Mezi ##4 \\ over 3## a ##-1## je dle obrázku v zadání 14 'chlívečků'. Vzdálenost mezi těmito čísly je absolutní hodnota rozdílu, tedy odečíst zadaná čísla ( na pořadí nezáleží) a poté vzít pouze číslo bez ohledu na znaménko."
},
{
"calculation": " $${7\\over3} = 14 dílů $$ ",
"explanation":
"Tedy platí, že tyto dvě hodnoty se musí rovnat. Teď již máme rovnici a potřebujeme vědět, kolika dílkům odpovídá hodnota 1."
},
{
"calculation":
"$$ 7 = 14 dílů \\cdot 3 \\\\ 7 = 42 dílů \\\\ 1 = 6 dílků\\\\implies 1\\over6= 1 dílek$$",
"explanation":
"Nejprve odstraníme jmenovatel vynásobením třemi. Vydělíme 7, abychom dostali hledanou hodnotu 1. Takže 6 dílků odpovídá hodnotě 1 na číselné ose a 1 dílek odpovídá hledané 1/6. Odpověď je tedy 1 dílek."
}
]
}
]
},
{
"slug": "S02T08U02",
"title": "S02T08U02",
"taskText":
"Množství krve v lidském těle je přibližně 7,6% hmotnosti těla.",
"question":
"Kolik kilogramů krve je v těle dospělého člověka o hmotnosti 75 kg?",
"maxPoints": 1,
"type": "options",
"categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
"options": [
{
"name": "opt1",
"problem": "jiná hodnota"
},
{
"name": "opt2",
"problem": "##4,6kg##"
},
{
"name": "opt3",
"problem": "##6,3kg##"
},
{
"name": "opt4",
"problem": "##5,2kg##"
},
{
"name": "opt5",
"problem": "##6,7kg##"
}
],
"correctAnswer": ["opt1"],
"solutions": [
{
"titleSolution": "Výpočet určením 1%",
"steps": [
{
"step": 1,
"title": "Určení základu",
"content": [
{
"calculation": "$$100%\\dots 75kg$$",
"explanation":
"Nejprve musíme určit základ, tedy 100%. Je to vždy celek, ze kterého počítáme nějakou část. V tomto případě je základ 75 kg. "
}
]
},
{
"step": 2,
"title": "Výpočet 1 procenta",
"content": [
{
"calculation":
"$$75: 100=0,75 \\\\ 1% \\cdots 0,75$$",
"explanation":
"Základ vydělíme 100, abych vypočítali ze 100% procento 1. ( 100%: 100 = 1%)"
}
]
},
{
"step": 3,
"title": "Výpočet procentové části",
"content": [
{
"calculation":
"$$0,75 \\cdot 7,6 = 5,7\\\\ Výsledek 5,7 kg$$",
"explanation":
"Protože známe hodnotu 1% a chceme 7,6%, stačí jen vynásobit číslem 7,6 a je hotovo. Dávejte si pozor na jednotky. Nyní je to zadané v kg a výsledek je hledán v kg, takže není potřeba převádět."
}
]
}
]
},
{
"titleSolution": "Trojčlenka",
"steps": [
{
"step": 1,
"title": "Určení základu",
"content": [
{
"calculation": "$$100%\\dots 75kg$$",
"explanation":
"Nejprve musíme určit základ, tedy 100%. Je to vždy celek, ze kterého počítáme nějakou část. V tomto případě je základ 75 kg. "
}
]
},
{
"step": 2,
"title": "Trojčlenka",
"content": [
{
"calculation":
"$$\\left\\uparrow~ \\matrix{75 ~kg & 100~ {\\%}\\cr x~kg & 7,6~ {\\%}} ~\\right\\uparrow$$",
"explanation":
"Nezapomeňte, že šipka musí jít vždy od neznámé a stejné veličiny pod sebou, hmotnosti pod sebou, procenta pod sebou atd."
},
{
"calculation":
"$${x \\over 75}={7,6 \\ 100}$$",
"explanation":
"Řešíme trojčlenku jak jste zvyklý. Pokud nevíte, jedna možnost: Kde šipka začíná, to píši do jmenovatele zlomku (pod zlomkovou čáru - dolů), kde šipka končí, to se píše do čitatele (nad zlomkovou čáru - nahoru), mezeru mezi veličinami nahrazujeme rovná se."
},
{
"calculation":
"$$x ={7,6 \\ 100}\\cdot 75 =5,7$$",
"explanation":
"Řešíme jako rovnici, tedy vynásobit číslem pod ##x##. Vyjde v tom, co jsme dosazovali v trojčlence, tedy ##kg##, není nutné převádět, vždy ale zkontrulujte."
}
]
}
]
}
]
},
{
"slug": "S02T08U03",
"title": "S02T08U03",
"taskText":
"Horizontální vzdálenost mezi vysazovanými stromky je stálá, a to ##3{1\\over2}m##. ",
"question":
"V jaké vzdálenosti ve směru svahu vykopeme jámy, je-li sklon stráně ##25°18´##? &&obrázek&&",
"maxPoints": 1,
"type": "options",
"categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
"options": [
{
"name": "opt1",
"problem": "##4,3m##"
},
{
"name": "opt2",
"problem": "##3,1m##"
},
{
"name": "opt3",
"problem": "##3,9m##"
},
{
"name": "opt4",
"problem": "##3,5m##"
},
{
"name": "opt5",
"problem": "jiná hodnota"
}
],
"correctAnswer": ["opt3"],
"solutions": [
{
"step": 1,
"title": "Vzorec",
"content": [
{
"calculation": "Nutno doplnit",
"explanation": "Nutno doplnit"
}
]
}
]
},
{
"slug": "S02T08U04",
"title": "S02T08U04",
"question":
"Vypočítejte rovnici pro ##xgeq5## $${{x-2}\\choose{x-4}}+{{x-3}\\choose{x-5}}=16$$",
"maxPoints": 2,
"type": "options",
"categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
"options": [
{
"name": "opt1",
"problem": "##20##"
},
{
"name": "opt2",
"problem": "##17##"
},
{
"name": "opt3",
"problem": "##22##"
},
{
"name": "opt4",
"problem": "##19##"
},
{
"name": "opt5",
"problem": "jiná hodnota"
}
],
"correctAnswer": ["opt4"],
"solutions": [
{
"step": 1,
"title": "Vzorec",
"content": [
{
"calculation":
"$${n\\choose k}= {{n!} \\over k{!} \\cdot (n-k){!} }$$",
"explanation":
"Nejprve použijeme vzorec a převedeme kombinační číslo na faktoriály.Tento vzorec není nutno si pamatovat, pouze si poznačte v tabulkách, kde jej najdete a naučte se jej správně používat. Pozor hlavně na část ##(n-k)!##, která nesmí být nikdy záporná. Faktoriál ze záporných čísel vytvořit nelze."
}
]
},
{
"step": 2,
"title": "Úprava pomocí vzorce",
"content": [
{
"calculation":
"$${{(x-2)!} \\over {(x-4)!} \\cdot {(x-2-[x-4])!} }-{{(x-3)!} \\over {(x-5)!} \\cdot {(x-3-[x-5])!} }=16$$",
"explanation":
"Často se zapomíná měnit znaménko, je užitečné použít závorky. Nyní tyto pomocné závorky odstraníme."
}
]
},
{
"step": 3,
"title": "Úprava",
"content": [
{
"calculation":
"$${{(x-2)!} \\over {(x-4)!} \\cdot {(x-2-x+4)!} }-{{(x-3)!} \\over {(x-5)!} \\cdot {(x-3-x+5)!} }=16$$",
"explanation":
"Po odstranění 'vypočteme' tyto závorky. "
},
{
"calculation":
"$${{(x-2)!} \\over {(x-4)!} \\cdot {(2)!} }-{{(x-3)!} \\over {(x-5)!} \\cdot {(2)!} }=16$$",
"explanation":
"##{(2)!} ## potom odpovídá ##2!=2\\cdot1##, můžeme tady psát pouze 2. "
}
]
},
{
"step": 4,
"title": "Odstranění faktoriálu",
"content": [
{
"calculation": "",
"explanation":
"Odstranit faktoriál z výrazu s neznámou se dá pouze zkrácením. To provedeme tak, že najdeme stejný výraz, ale pozor, oba musí naprosto stejné, včetně faktoriálu! Tedy ##(x-4)!## krátíme pouze s ##(x-4)!## nelze krátit s ##(x-4)##"
},
{
"calculation":
"$$x-2 \\cdots 20-2 = 18\\\\ x-4 \\cdots 20-4 = 16$$",
"explanation":
"Abychom našli stejné výrazy, musíme si je upravit, tedy rozepsat výrazy vyšší hodnot. Pokud si nejsme jistí, jak jej poznat, dosaďte si za neznámou libovolné číslo. Mě se líbí např. číslo 20. Vidíme, že vyššího hodnota, je u výrazu ##(x-2)!##, tedy musíme rozepsat tento faktoriál."
}
]
},
{
"step": 5,
"title": "Faktoriály",
"content": [
{
"calculation":
"$$5!=5\\cdot4\\cdot3\\cdot2\\cdot1\\cdot0! \\\\(x+2)!=(x+2)\\cdot(x+1)\\cdot(x)\\cdot(x-1)\\cdot(x-2)\\cdot(x-3)!",
"explanation":
"Faktoriály se rozepisují tak, že se snižuje hodnota o 1 až do nuly ##(0!=1)## a všechna tato čísla se mezi sebou násobí."
}
]
},
{
"step": 6,
"title": "",
"content": [
{
"calculation":
"$$5!=5\\cdot4\\cdot3\\cdot2\\cdot1\\cdot0! \\\\(x+2)!=(x+2)\\cdot(x+1)\\cdot(x)\\cdot(x-1)\\cdot(x-2)\\cdot(x-3)!$$",
"explanation":
"Faktoriály se rozepisují tak, že se snižuje hodnota o 1 až do nuly ##(0!=1)## a všechna tato čísla se mezi sebou násobí."
},
{
"calculation":
"$${{(x-2)(x-3)(x-4)!} \\over {(x-4)!} \\cdot {2} }-{{(x-3)(x-4)(x-5)!} \\over {(x-5)!} \\cdot {2} }=16$$",
"explanation": "Po rozepsání faktoriálů."
}
]
},
{
"step": 7,
"title": "Krácení",
"content": [
{
"calculation":
"$${{(x-2)(x-3)\\cancle{(x-4)!}} \\over\\cancle{ {(x-4)!}} \\cdot {2} }-{{(x-3)(x-4)\\cancle{(x-5)!}} \\over\\cancle{ {(x-5)!}} \\cdot {2} }=16$$",
"explanation": "Zkrátíme..."
},
{
"calculation":
"$${{(x-2)(x-3)} \\over {2} }-{{(x-3)(x-4)} \\over {2} }=16$$",
"explanation":
"Tímto jsme převedli rovnici s kombinačním číslem na rovnici bez větších problémů na první pohled. Takže se zbavíme zlomku a roznásobíme závorky."
}
]
},
{
"step": 8,
"title": "Úprava rovnice",
"content": [
{
"calculation":
"$${(x-2)(x-3)}-{(x-3)(x-4)}=16\\cdot 2$$",
"explanation": "Zbavíme se zlomku..."
},
{
"calculation":
"$$x^2-2x-3x+6-(x^2-3x-4x+12)=32$$",
"explanation":
"Roznásobíme závorky ... Pozor, pokud je před závorkami MÍNUS, je bezpečnější roznásobovat do závorky a poté měnit znaménko, hodně často se zde dělá chyba."
},
{
"calculation":
"$$x^2-2x-3x+6-x^2+3x+4x-12=32$$",
"explanation":
"Mínus před závorkou mění znaménka v závorce."
}
]
},
{
"step": 9,
"title": "Výpočet",
"content": [
{
"calculation": "$$2x-6=32$$",
"explanation":
"Vidíme, že se ##x^2## odečtou, zůstává tedy pouze ##x##, takže lineární rovnice. Tu vyřešíme tak, že dáme na jednu stranu rovnice všechny členy s ##x##, ty bez ##x## dáme na stranu druhou."
},
{
"calculation": "$$2x=38$$",
"explanation":
"Vydělíme číslem, které násobí neznámou (tady číslo 2)"
},
{
"calculation": "$$x=19$$",
"explanation":
"Nezapomeňte zkontrolovat s podmínkou jak v zadání. Číslo musí být větší rovno 5, což splňuje, je tedy řešením."
}
]
}
]
},
{
"slug": "S02T08U05",
"title": "S02T08U05",
"question":
"Vypočítejte: ##||2-\\sqrt{3}|+2\\cdot|1-\\sqrt{3}||=##",
"maxPoints": 2,
"type": "options",
"categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
"options": [
{
"name": "opt1",
"problem": "##-4+3\\sqrt{3}##"
},
{
"name": "opt2",
"problem": "##-\\sqrt{3}##"
},
{
"name": "opt3",
"problem": "##4-3\\sqrt{3}##"
},
{
"name": "opt4",
"problem": "##\\sqrt{3}##"
},
{
"name": "opt5",
"problem": "jiná hodnota"
}
],
"correctAnswer": ["opt4"],
"solutions": [
{
"step": 1,
"title": "Pořadí výpočtu",
"content": [
{
"calculation":
"$$\\left|\\left| 2-\\sqrt{3}\\right|+2\\cdot\\left| 1-\\sqrt{3}\\right|\\right|$$",
"explanation":
"Absolutní hodnota bez neznámé se nejlépe řeší směrem zevnitř ven. Absolutní hodnota je tzv. zabiják mínusů, ze záporného čísla dělá kladné, kladné nechává být. Potřebujeme tedy zjistit, jak jsou na tom naše absolutní hodnoty. Na kalkulačce zkuste naťukat jen a pouze vnitřek dvou menších absolutních hodnot a zjisťujte, jestli je vypočtená hodnota kladná či záporná."
}
]
},
{
"step": 2,
"title": "Odstranění odmocnin",
"content": [
{
"calculation":
"$$\\left| 2-\\sqrt{3}\\right| \\implies( 2-\\sqrt{3})$$",
"explanation":
"vnitřek této absolutní hodnoty vyjde kladně, absolutní hodnota je tedy zbytečná a má funkci pouhých závorek"
}
]
},
{
"step": 3,
"title": "Odstanění odmocniny",
"content": [
{
"calculation":
"$$\\left| 1-\\sqrt{3}\\right|\\implies(-1+\\sqrt{3})$$",
"explanation":
"Vnitřek této absolutní hodnoty vyjde záporný, čili absolutní hodnota jej změní na kladný. To ale stejně tak udělá i vynásobení číslem ##-1##. Tedy nahradíme absolutní hodnotu obyčejnou závorkou a její vnitřek vynásobíme ##-1##."
}
]
},
{
"step": 4,
"title": "Výpočet",
"content": [
{
"calculation":
"$$\\left|( 2-\\sqrt{3})+2\\cdot( -1+\\sqrt{3})\\right|$$",
"explanation":
"Těmito kroky jsme se zbavili vnitřních dvou absolutních hodnot. Můžeme odstranit závorky a obdobně postupovat při řešení vnější absolutní hodnoty. "
},
{
"calculation":
"$$\\left|2-\\sqrt{3} -2+2\\cdot\\sqrt{3}\\right|$$",
"explanation":
"Čísla ##2##a##-2## dají po výpočtu ##0##, proto jakoby v dalším kroku zmizí. "
},
{
"calculation":
"$$\\left|-\\sqrt{3} +2\\cdot\\sqrt{3}\\right|\\implies\\left|\\sqrt{3}\\right|$$",
"explanation":
"Pro jednodušší operaci s odmocninami, si ji můžeme představit jako neznámou, takže z výrazu ##-\\sqrt{3} +2\\cdot\\sqrt{3}## se stane ##-x +2\\cdotx##. Pak by mělo být lehčí vidět, že se dá pouze od sebe odečíst a dostáváme ##x##, tedy ##\\sqrt{3}##"
}
]
},
{
"step": 1,
"title": "Řešení",
"content": [
{
"calculation": "$$\\left|\\sqrt{3}\\right|$$",
"explanation":
"Nyní již máme jedno jediné číslo v absolutní hodnotě, takže by stačilo pouze odstranit mínus, máme ale kladné číslo, takže pouze odstraníme absolutní hodntou a je hotovo."
},
{
"calculation": "$$\\sqrt{3}$$",
"explanation":
"Pozn. Pokud není vyžadován postup řešení např. v maturitní zkoušce dá se celý příklad řešit pouze s kalkulačkou. Musíte být ale schopní ji použít. postup je obdobný, jen ve chvíli, kdy se sčítá vnitřek absolutní hodnoty po odstranění závorek to stačí naťukat a ona vám výsledek vyplivne ;) pokud byste neměli kalkulačku, která ukazuje i odmocniny, stačí si vypočítat i výsledky a hledat stejné numero, co předtím ukázala kalkulačka. Někdy je to ale časově náročnější nežli výpočet. "
}
]
}
]
},
{
"slug": "S02T08U06",
"title": "S02T08U06",
"taskText":
"Devátá třída je na celodenním výletě. Dopoledne se výletníci občerstvili v cukrárně. Sedli si po třech ke stolečkům a obsadili všechna místa. Při obědě seděli u stolů po čtyřech a opět obsadili všechna místa, i když tam bylo o dva stoly méně než v cukrárně.",
"question": "Kolik žáků je na výletě?",
"maxPoints": 2,
"type": "options",
"categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
"options": [
{
"name": "opt1",
"problem": "##27##"
},
{
"name": "opt2",
"problem": "##33##"
},
{
"name": "opt3",
"problem": "##30##"
},
{
"name": "opt4",
"problem": "##24##"
},
{
"name": "opt5",
"problem": "jiný počet"
}
],
"correctAnswer": ["opt4"],
"solutions": [
{
"step": 1,
"title": "Určení neznámých",
"content": [
{
"calculation": "$$$$",
"explanation":
"Nejdůležitější po určení způsobu řešení je určení neznámých. Takže zvolíme libovolná písmena ( nejčastěji se volí ##x## a ##y##), ale je to ze zvyku než z nutnosti. "
},
{
"calculation": "$$x$$",
"explanation": "Počet stolečků v cukrárně."
},
{
"calculation": "$$y$$",
"explanation": "Počet stolů na obědě."
}
]
},
{
"step": 2,
"title": "Sestavení rovnic",
"content": [
{
"calculation": "Počet žáků v cukrárně ##3x##",
"explanation":
"V cukrárně bylo u stolečků místo pro ##3## žáky, proto bude počet žáků v cukrárně vypočten jako počet žáků u stolu krát počet stolů."
},
{
"calculation": "Počet žáků na obědě ##4y##",
"explanation":
"Na obědě bylo u stolečků místo pro ##4## žáky. "
},
{
"calculation": "$$3x=4y$$",
"explanation":
"Protože žáků bylo stejně jak v cukrárně, tak na obědě. Bude počet žáků na obou místech stejný. "
}
]
},
{
"step": 3,
"title": "Sestavení rovnic",
"content": [
{
"calculation": "$$x=y+2$$",
"explanation":
"Máme dvě neznámé, potřebuje dvě rovnice."
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"Druhou rovnici sestavíme z informace, že stolečků při obědě bylo o dva méně než v cukrárně. Aby nedošlo ke špatnému určení znaménka, je možné si vymyslet vlastní pomocná čísla a podle nich rovnici sestavit. Např. V cukrárně bylo ##13## stolů, takže na obědě bylo o ##2## méně, což je ##11##. Sestavení rovnice je pak jasné. ##13=11+2## Převedeme na naše neznámé. "
}
]
},
{
"step": 4,
"title": "Řešení rovnic",
"content": [
{
"calculation": "$$3x=4y\\\\ x=y+2$$",
"explanation":
"Máme soustavu dvou rovnic o dvou rovnic a dvou neznámých. K řešení máme několik možností. Jejich vysvětlení najdete v kapitole řešení soustav lineárních rovnic. Tento tvar lze nejsnáze řešit metodou dosazovací, tedy vzít již vyjádřené ##x## z druhé rovnice a dosadit za stejnou neznámou z rovnice první."
}
]
},
{
"step": 5,
"title": "Řešení rovnice",
"content": [
{
"calculation": "$$3(y+2)=4y $$",
"explanation":
"Tímto jsme dostali rovnici s jednou neznámou. Odstraníme závorku roznásobením. "
},
{
"calculation": "$$3y+6=4y$$",
"explanation":
"A převedeme neznámou na jednu stranu, ostatní členy na druhou."
},
{
"calculation": "$$6=4y-3y$$",
"explanation": "Vypočteme."
}
]
},
{
"step": 6,
"title": "Odpověď",
"content": [
{
"calculation": "$$6=y$$",
"explanation":
"Máme vypočteno, ale ještě není konec."
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"Vypočítali jsme počet stolů na obědě, počet žáků u těchto stolů bylo ##4##."
},
{
"calculation": "$$6\\cdot4=24$$",
"explanation":
"Počet žáků na obědě bylo tedy počet žáků krát počet stolů. "
}
]
},
{
"step": 7,
"title": "Kontrola",
"content": [
{
"calculation": "$$x=6+2=8$$",
"explanation":
"Pro jistotu provedeme zkoušku. Počet stolů v cukrárně bylo o dva více. "
},
{
"calculation": "$$8\\cdot3=24$$",
"explanation":
"Počet žáků u stolu v cukrárně bylo ##3##. Počet žáků celkem pak počet žáků u stolu krát počet stolů. "
},
{
"calculation": "$$24$$",
"explanation":
"Počet žáků je stejný. Je to správně. "
}
]
}
]
},
{
"slug": "S02T08U07",
"title": "S02T08U07",
"taskText":
"Pravoúhlý trojúhelník KLM s pravým úhlem u vrcholu K má strany ##l=126cm; m=84cm##.",
"question": "Vypočtěte délku těžnice na stranu ##l##.",
"maxPoints": 1,
"type": "options",
"categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
"options": [
{
"name": "opt1",
"problem": "##96cm##"
},
{
"name": "opt2",
"problem": "##112cm##"
},
{
"name": "opt3",
"problem": "##105cm##"
},
{
"name": "opt4",
"problem": "##63cm##"
},
{
"name": "opt5",
"problem": "jiná hodnota"
}
],
"correctAnswer": ["opt3"],
"solutions": [
{
"step": 1,
"title": "Těžnice",
"content": [
{
"calculation":
"$$\\images\\tasks\\S02T08\\S02T08P07.png$$",
"explanation":
"Máme pravoúhlý trojúhelník, takže můžeme použít pythagorovu větu. Potřebujeme jen do trojúhelníku zaznamenat hledanou těžnici. Težnice je úsečka, která spojuje vrchol a střed protilehlé strany, v našem případě střed strany ##l## a vrchol ##L##."
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"Pozor, jak je vidět z obrázku neplatí v libovolném trojúhelníku, že těžnice půlí úhel či je kolmá na stranu. "
}
]
},
{
"step": 2,
"title": "Označení známého",
"content": [
{
"calculation":
"$$\\images\\tasks\\S02T08\\S02T08P07_a.png$$",
"explanation":
"Protože jde těžnice do středu, dělí úsečku na půl. když tedy tento trojúhelník načrtneme znovu. Co známe je černě, co neznáme, nebo nás nezajímá je čárkovaně a hledaná úsečka tučně a jak jinak než červeně."
}
]
},
{
"step": 3,
"title": "",
"content": [
{
"calculation":
"$$t^2=63^2+84^2\\\\ t^2=3969+7056\\\\ t^2=11025$$",
"explanation":
"Vidíme, že jsme dostali pravoúhlý trojúhelník, kde známe odvěsny a neznáme přeponu. Zapíšeme pythagorovu větu. Zkontrulujte, zda jsou zadané hodnoty ve stejných jednotkách, případně převeďte jednotky. Nyní není nutné."
},
{
"calculation": "$$t=\\sqrt{11025}\\\\ t=105$$",
"explanation":
"Potřebujeme vypočítat ##t## nikoliv ##t^2##, takže musíme odmocnit."
},
{
"calculation":
"$$Těžnice na stranu ##l## má délku ##105~cm##.$$",
"explanation": "Nezapomeňte na jednotky!"
}
]
}
]
},
{
"slug": "S02T08U08",
"title": "S02T08U08",
"taskText":
"Silnice z Brna dlouhá 6km byla na mapě znázorněna pomocí několika 1cm dílků. ",
"question":
"V jakém měřítku je mapa zakreslena? &&\\images\\tasks\\S02T08\\S02T08P08.jpg&&",
"maxPoints": 1,
"type": "options",
"categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
"options": [
{
"name": "opt1",
"problem": "##1:75~000##"
},
{
"name": "opt2",
"problem": "##1:80~000##"
},
{
"name": "opt3",
"problem": "##1:750~000##"
},
{
"name": "opt4",
"problem": "##1:100~000##"
},
{
"name": "opt5",
"problem": "##1:600~000##"
}
],
"correctAnswer": ["opt1"],
"solutions": [
{
"step": 1,
"title": "Rozměry",
"content": [
{
"calculation": "$$6km=6000m=600000cm$$",
"explanation":
"Jak můžeme vidět na obrázku, na mapě je vyznačena trasa pomoc ##8## centimetrových úseků. Chceme-li určit měřítko mapy, musíme si převést obě vzdálenosti na stejné jednotky. Abychom se nemuseli zatěžovat s desetinnými místy, převedu nyní ##km## na ##cm##, ale samozřejmě je pouze nutné, aby obě jednotky byly stejné, jaká to bude je pak úplně jedno."
}
]
},
{
"step": 2,
"title": "Měřítko",
"content": [
{
"calculation": "$$8cm~:~600~000cm$$",
"explanation":
"Měřítko na mapě je ve formátu MAPA : SKUTEČNOST a takto to zapíšeme i v číslech. Dejte pozor, aby jednotky byly u obou čísel stejné!"
},
{
"calculation": "$$1\\over75~000$$",
"explanation":
"Nu a teď jen stačí krátit... a k tomu pomůže kalkulačka. Zapište, co vidíte, jen bez jednotek, jsou stejné, čili zbytečné. "
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"Pozn. Pokud nemáte kalkulačku, která vám ukazuje zlomky, tak vydělte zadní číslo předním, čili ##600~000:8## a dostanete hledaný jmenovatel taktéž."
},
{
"calculation": "$$1~:~75~000$$",
"explanation":
"A protože zlomek je jinak zapsané děleno, jen je přepíšeme."
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"Máme hotovo. Tento zápis ukazuje, že ##1mm## na mapě je ##75~000mm## ve skutečnosti, ##1dm## na mapě je ##75~000dm## ve skutečnosti atd."
}
]
}
]
},
{
"slug": "S02T08U09",
"title": "S02T08U09",
"question":
"Určete objem trojbokého hranolu, jehož podstava má hrany ##a=7,75cm;b=5,19cm;c=3,65cm## a jehož výška je ##12,4cm##.",
"maxPoints": 2,
"type": "options",
"categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
"options": [
{
"name": "opt1",
"problem": "asi##127cm^3##"
},
{
"name": "opt2",
"problem": "asi##136cm^3##"
},
{
"name": "opt3",
"problem": "asi##178cm^3##"
},
{
"name": "opt4",
"problem": "asi##100cm^3##"
},
{
"name": "opt5",
"problem": "asi##157cm^3##"
}
],
"correctAnswer": ["opt4"],
"solutions": [
{
"step": 1,
"title": "Úvod",
"content": [
{
"calculation": "",
"explanation":
"Máme vypočítat objem hranolu. Vzorec v tabulkách je takový nejasný, protože záleží, jaká bude podstava (na čem to stojí). Pokud se to těleso směrem nahoru dále nemění (nerozšiřuje, neztenčuje), pak se počítá objem jako PODSTAVA ##\\cdot## VÝŠKA. \\\\Trojboký hranol pak vypadá jak krabička od čokolády Toblerone (pokud si to nedokážete představit, použijte google nebo jděte do obchodu :) ) Pro výpočet je vhodné si jej představit postavené na trojúhelníku, čili boční straně. "
},
{
"calculation":
"$$S=\\sqrt{s\\cdot(s-a)\\cdot(s-b)\\cdot(s-c)}\\\\s={{a+b+c}\\over2}$$",
"explanation":
"Potřebujeme tedy vypočítat obsah podstavy, tedy trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Nejjednodušší je použít Heronův vzorec - k naleznutí v tabulkách (doporučuji označit)"
}
]
},
{
"step": 2,
"title": "Použití vzorce",
"content": [
{
"calculation":
"$$s={{a+b+c}\\over2}={{7,75+5,19+3,65}\\over2}=8,295$$",
"explanation":
"Nyní máme vybraný postup i známe všechny strany, stačí dosadit. Před dosazením ale zkontrolujte, jestli jsou u všech stran stejné jednotky, pokud ne, musí se převést!"
},
{
"calculation":
"$$S=\\sqrt{s\\cdot(s-a)\\cdot(s-b)\\cdot(s-c)}=\\\\ =\\sqrt{8,295\\cdot(8,295-7,75)\\cdot(8,295-5,19)\\cdot(8,295-3,65)}=\\\\ =8,0748cm^2$$",
"explanation":
"Máme vypočítaný obsah trojúhelníka, ten stačí vynásobit výškou a je hotovo. V zájmu přesnosti nemažte číslo z displeje kalkulačky ale rovnou zmáčkněte krát a pokračujte, může se lišit až o desetiny, podle toho, na kolik míst jsme opisovali veškerá čísla předtím. "
}
]
},
{
"step": 3,
"title": "Výpočet objemu",
"content": [
{
"calculation":
"$$V = 8,0748\\cdot12,4cm^3=100,127cm^3$$",
"explanation":
"Obsah podstavy, čili obsah trojúhelníku, máme vypočítáné, nyní jen vynásobit výškou a případně převést, pokud je to nutné (nyní není). "
}
]
}
]
},
{
"slug": "S02T08U10",
"title": "S02T08U10",
"taskText": "V průběhu 8 roků chceme nastřádat 28 000 Kč.",
"question":
"Kolik je třeba uložit na začátku spoření při slíbeném úroku ##2{3\\over4}## procent ročně, abychom měli koncem 8. roku nastřádanou uvedenou částku? Získané úroky se připočítají k uložené částce a další rok se také úročí. Výsledek zaokrouhli na celé koruny.",
"maxPoints": 2,
"type": "options",
"categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
"options": [
{
"name": "opt1",
"problem": "##21~800##Kč"
},
{
"name": "opt2",
"problem": "##22~500##Kč"
},
{
"name": "opt3",
"problem": "##22~550##Kč"
},
{
"name": "opt4",
"problem": "##21~350##Kč"
},
{
"name": "opt5",
"problem": "##22~000##Kč"
}
],
"correctAnswer": ["opt3"],
"solutions": [
{
"step": 1,
"title": "Úvod",
"content": [
{
"calculation": "",
"explanation":
"Jedná se o úročení, kdy chceme vědět původní vloženou částku. jelikož je tam přímo zmíněno (což ale často nebývá), budou se úročit úroky. Jde o složené úročení (jednoduché se již téměř nepoužívá, nebudete-li vědět, sáhněte vždy po složeném). "
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"V tabulkách jsou tyto vklady popsány pomocí slova JISTINA, pokud používáte starší tabulky, je tam oddělení přímo na finanční matematiku a v tomto případě vybereme vzorec pro nárůst hodnoty."
},
{
"calculation":
"$$a_n=a_0\\cdot\\left( 1+{p\\over100}\\right)^n$$",
"explanation": "v tomto vzorci vyjadřují:"
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"##a_n## jakou částku budeme mít po určitém časovém období ( v našem případě ##28~000## po ##8##letech)"
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"##a_0## je hodnota, kterou jsme uložili ( v našem případě ta, co hledáme)"
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"##p## udává na kolik procent jsou peníze uloženy ( nyní ##2{3\\over4}## )"
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"##n## počet období vztahující se k ##p## - pokud je zadáno ročně, udáváme počet roků, pokud je zadáno měsíčně, udáváme počet měsíců atd."
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"U těch novějších tabulek je to stejně, jen místo ##a_0## je psáno ##J_0## atd."
}
]
},
{
"step": 2,
"title": "Použití vzorce",
"content": [
{
"calculation": "$$p=2{3\\over4}%=2,75%$$",
"explanation":
"Nejprve dosadíme, co známe. Ta procenta jsou zadána nesympaticky, každopádně kalkulačka to vyřeší. Stačí zadat ##3:4## a máme část za desetinnou čárkou, k tomu ##2## celé, takže na kalkulačce přidat ##+2##. "
}
]
},
{
"step": 3,
"title": "",
"content": [
{
"calculation":
"$$28~000=a_0\\cdot\\left( 1+{2,75\\over100}\\right)^8\\\\28~000=a_0\\cdot1,24238$$",
"explanation": "Dosadíme známé... "
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"Vypočítáme závorku na pravé straně. "
},
{
"calculation":
"$$28~000:1,24238=a_0\\\\ 22537,38=a_0\\\\ 22537Kč=a_0$$",
"explanation":
"A máme jednoduchou rovnici, takže stačí vydělit číslem, která násobí neznámou."
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"Teď jen stačí zaokrouhlit dle zadání, tedy na celé koruny. Zde to znamená odstranit desetinná místa. Protože je první číslo za des. čárkou 3, zaokrouhlujeme dolů a opravdu jen odstraníme."
}
]
}
]
},
{
"slug": "S02T08U11",
"title": "S02T08U11",
"question":
"Vypočítejte poslední člen aritmetické posloupnosti, která má 12 členů, je-li rozdíl mezi sousedními členy 2 a součet všech členů posloupnosti je 168.",
"maxPoints": 2,
"type": "options",
"categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
"options": [
{
"name": "opt1",
"problem": "##32##"
},
{
"name": "opt2",
"problem": "##21##"
},
{
"name": "opt3",
"problem": "##25##"
},
{
"name": "opt4",
"problem": "##28##"
},
{
"name": "opt5",
"problem": "##29##"
}
],
"correctAnswer": ["opt3"],
"solutions": [
{
"step": 1,
"title": "Vzorec",
"content": [
{
"calculation":
"$$S_n=\\frac {n}2\\cdot(a_n+a_1)\\\\a_n=a_1+(n-1)\\cdot d$$",
"explanation":
"Jak je napsáno v zadání, jedná se o aritmetickou posloupnost. V tabulkách najdeme dva důležité vzorce, je vhodné si je označit. ## S_n## je součet prvních ##n## členů posloupnosti ( v našem případě ##12##, jak je psáno v zadání)"
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"##a_n## je ###n#-tý, tedy několikátý člen posloupnosti (nyní pro nás ##12##tý člen)"
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"##a_1## je první člen posloupnosti, tímto členem posloupnost začíná"
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"##d## je rozdíl mezi dvě vedlejšími členy, tento rozestup je stejný pro jakoukoliv dvojici členů stojící vedle sebe"
}
]
},
{
"step": 2,
"title": "",
"content": [
{
"calculation": "$$\\\\n=12\\\\d=2\\\\S_n=168$$",
"explanation": "Ze zadání:"
},
{
"calculation": "",
"explanation": "má ##12## členů"
},
{
"calculation": "",
"explanation": "rozdíl mezi sousedními členy"
},
{
"calculation": "",
"explanation": "součet všech členů je ##168##"
},
{
"calculation":
"$$S_n=\\frac {n}2\\cdot(a_n+a_1)\\\\a_n=a_1+(n-1)\\cdot d\\\\ 168=\\frac {12}2\\cdot(a_12+a_1)\\\\a_12=a_1+(12-1)\\cdot 2$$",
"explanation": "Dosadíme do našich vzorců."
}
]
},
{
"step": 3,
"title": "Dosadíme",
"content": [
{
"calculation":
"$$168=\\frac {12}2\\cdot(a_12+a_1)\\\\a_12=a_1+(12-1)\\cdot 2$$",
"explanation":
"Jak je vidět máme dvě rovnice o dvou neznámých. Nejsnadněji se tato soustava vyřeší tak, že je dosadí jedna neznámá z druhé rovnice do rovnice první. Neznámou ##a_n## máme sice vyjádřenou, ale též ji máme vypočítat. Máme tedy dvě možnosti, buď rovnou dosadit a vypočítat ##a_1##, poté dosadit do druhé rovnice vypočítanou hodnotu a zjistit ##a_n##, nebo vyjádřit z druhé rovnice ##a_1## a vypočítat přímo chtěnou hodnotu. Obě možnosti dají stejný výsledek. Ukáži druhou možnost, můžete zkusit i možnost první, tedy přímo dosazení."
},
{
"calculation":
"$$a_12 -(12-1)\\cdot 2 =a_1\\\\a_12 -22 =a_1$$",
"explanation":
"Vyjádřím tedy ##a_1## z druhé rovnice."
}
]
},
{
"step": 4,
"title": "Dosazení",
"content": [
{
"calculation":
"$$168=\\frac {12}2\\cdot(a_12+a_1) \\dots a_12 -22 =a_1\\\\ 168=\\frac {12}2\\cdot(a_12+a_12 -22) $$",
"explanation":
"Nyní dosadíme do první rovnice. "
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"Dostáváme rovnici o jedné neznámé. "
}
]
},
{
"step": 5,
"title": "Řešení",
"content": [
{
"calculation":
"$$168=\\frac {12}2\\cdot(a_12+a_12 -22)\\\\168=\\frac {12}2\\cdot(2\\cdot a_12 -22)$$",
"explanation": "A vypočítáme."
},
{
"calculation":
"$$28=2\\cdot a_12 -22\\\\50=2\\cdot a_12\\\\25=a_12$$",
"explanation":
"Vydělíme ##6(=\\frac {12}2)##, dělíme, protože na druhé straně ##=## je násobení."
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"Přičteme ##22##, přičítáme, protože na druhé straně je odčítání."
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"A opět vydělíme, tentokrát ##2##."
},
{
"calculation": "",
"explanation": "A hotovo."
}
]
}
]
},
{
"slug": "S02T08U12",
"title": "S02T08U12",
"question":
"Vypočítejte: $$\\log(x+2)+\\log(x-7)=2\\cdot\\log(x-4)$$ ",
"maxPoints": 2,
"type": "options",
"categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
"options": [
{
"name": "opt1",
"problem": "##10##"
},
{
"name": "opt2",
"problem": "##22##"
},
{
"name": "opt3",
"problem": "##14##"
},
{
"name": "opt4",
"problem": "##16##"
},
{
"name": "opt5",
"problem": "##32##"
}
],
"correctAnswer": ["opt1"],
"solutions": [
{
"step": 1,
"title": "Vzorce",
"content": [
{
"calculation":
"$$\\log {a}+\\log {b}=\\log{(a\\cdot b)} \\\\ n\\cdot \\log {a}=\\log {a^n}$$",
"explanation":
"Tyto vzorce najdeme v tabulkách, je dobré si je označit a naučit se je používat. Je jich tam více, takže je potřeba vybrat ty správné."
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"Vidíme součet logaritmů a číslo krát logaritmus."
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"Pokud není v testu napsané, že máte uvést celý postup řešení a umíte pracovat s kalkulačkou, můžete zkusit dosazovat jednotlivé výsledky a zkoušet, který vyjde. Někdy je to dokonce rychlejší, pokud ji umíte používat. Nespoléhejte však na tuto možnost, pokud tam bude uveďte celý postup řešení, ačkoliv vám to vyjde správně bez postupu jakobyste nic neudělali. "
}
]
},
{
"step": 2,
"title": "Užití vzorců",
"content": [
{
"calculation":
"$$\\log{[(x+2)\\cdot (x-7)]}=\\log{(x-4)^2}$$",
"explanation": "Použijeme zadané vzorce. "
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"Na levou stranu rovnice použijeme první ze zadaných vzorců, na pravou stravu rovnice pak ten druhý vzorec."
}
]
},
{
"step": 3,
"title": "Odlogaritmování",
"content": [
{
"calculation":
"$$\\log{[(x+2)\\cdot (x-7)]}=\\log{(x-4)^2}$$",
"explanation":
"Nyní máme na pravé i levé straně rovnice logaritmus něco = logaritmus cosi. Rovnost v tomto případě platí jen a pouze tehdy, pokud je něco = cosi, čili logaritmus je zbytečná funkce."
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"Zjednodušeně, když dávám např. nějaká čísla na třetí vyjde mi stejné číslo pokud umocňuji stejná čísla, jinak ne, stejně je to u logaritmu."
},
{
"calculation":
"$$[(x+2)\\cdot (x-7)]=(x-4)^2$$",
"explanation": "Odstraníme tedy logaritmus."
}
]
},
{
"step": 4,
"title": "Výpočet",
"content": [
{
"calculation": "$$x^2-7x+2x-14=x^2-8x+16$$",
"explanation":
"Dostáváme rovnici, kterou vyřešíme tak, že nejprve odstraníme závorky roznásobením."
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"Pozor! Na pravé straně máme vzorec! Pokud jej neumíte, napište si dvě stejné závorky vedle sebe a roznásobte je podle pravidla každý s každým."
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"Podle toho, co nám zbude, budeme řešit jak dál."
}
]
},
{
"step": 5,
"title": "Řešení rovnice",
"content": [
{
"calculation": "$$x^2-7x+2x-14=x^2-8x+16$$",
"explanation":
"Nyní zjistíme, jestli se nám ##x^2## odečte, pokud ne, jde o kvadratickou rovnici a řešíme pomocí diskriminantu. Pokud ano, převedeme neznámou na jednu stranu a zbytek na druhou."
},
{
"calculation": "$$-7x+2x-14=-8x+16$$",
"explanation": "Odečtou se."
},
{
"calculation": "$$-7x+2x+8x=16+14\\\\3x=30$$",
"explanation":
"Převedeme a dořešíme.Na kterou stranu dáme co je jedno."
},
{
"calculation": "$$x=10$$",
"explanation":
"Vydělíme ##3##, protože ##x## je tímto číslem násobené. (děláme opak než je momentálně psané, pokud to chce odstranit). Pozor! Měli bychom dosadit do zadání a zkusit, zda výsledek splňuje podmínky pro logaritmus, tedy že 'to v závorce' je vždy větší než nula."
}
]
}
]
},
{
"slug": "S02T08U13",
"title": "S02T08U13",
"question": "Vypočítejte: $$3^{2x}-12\\cdot3^x=-27$$",
"maxPoints": 2,
"type": "options",
"categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
"options": [
{
"name": "opt1",
"problem": "##\\{2;9\\}##"
},
{
"name": "opt2",
"problem": "##\\{1;3\\}##"
},
{
"name": "opt3",
"problem": "##\\{1;2\\}##"
},
{
"name": "opt4",
"problem": "##\\{3;9\\}##"
},
{
"name": "opt5",
"problem": "jiné hodnoty"
}
],
"correctAnswer": ["opt3"],
"solutions": [
{
"step": 1,
"title": "Vzorce",
"content": [
{
"calculation": "$$(3^x)^2=3^{2x}$$",
"explanation":
"Pokud by tu tento druh příkladu nebyl nadepsán formulkou 'Uveďte celý postup řešení' a bylo by na výběr z možností, je jednodušší výledky dosadit a zjistit, které jsou ty správné. V případě intervalů jako výsledků či celého řešení ale musíme příklad vyřešit, takže výpočet takto:\\\\K řešení tohoto typu příkladů, potřebujeme znám pravidla pro počítání s mocninami."
},
{
"calculation": "$$(3^x)^2=(3^2)^x$$",
"explanation":
"Pořadí ##x## a ##2## může být přehozeno, důležité je, že se násobení přepisuje jako postupné umocnění. "
}
]
},
{
"step": 2,
"title": "Substituce",
"content": [
{
"calculation":
"$$(3^x)^2-12\\cdot 3^x=-27\\\\p^2-12p=-27$$",
"explanation":
"Díky tomuto přepisu, pak můžeme nahradit ##3^x## jiným písmenkem než ##x##. Jeho volba pak záleží na vaší momentální náladě. Mě se právě teď líbí např. ##p##."
},
{
"calculation": "$$p^2-12p+27=0$$",
"explanation":
"Dostáváme kvadratickou rovnici. Převedeme vše na jednu stranu. "
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"Řešíme pomocí Vietových vztahů či diskriminantu. Protože je diskriminant univerzálnější, ukáži řešení tímto postupem. "
}
]
},
{
"step": 3,
"title": "Kvadratická rovnice",
"content": [
{
"calculation": "$$ax^2+bx+c=0",
"explanation": "Použijeme vzorec:"
},
{
"calculation": "$$ap^2+bp+c=0 $$",
"explanation":
"##x_{1,2}={{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}\\over2}##"
},
{
"calculation": "$$p^2-12p+27=0$$",
"explanation":
"V tomto vzorci pro dosazení platí:"
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"##a=1##, protože před ##p^2## není nic napsané, je tam jednička"
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"##b=-12## protože je to před samotným ##p##"
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"##c=27##, protože tu není žádné ##p##"
}
]
},
{
"step": 4,
"title": "Dosazení do vzorce",
"content": [
{
"calculation":
"$$p_{1,2}={{-(-12)\\pm\\sqrt{(-12)^2-4\\cdot 1 \\cdot 27}}\\over2}$$",
"explanation":
"Dosadíme do vzorce. Nezapomeňte na změnu znaménka, proto raději používám závorku, je to jistější a tak náročné to taky není. ;)"
},
{
"calculation":
"$$p_{1,2}={{12\\pm\\sqrt{144-108}}\\over2}=\\\\{{12\\pm\\sqrt{36}}\\over2}=\\\\{{12\\pm 6}\\over2}$$",
"explanation": "Vypočítáme."
}
]
},
{
"step": 5,
"title": "Rozdělení řešení",
"content": [
{
"calculation":
"$$p_{1,2}={{12\\pm 6}\\over2}$$",
"explanation":
"Rozdělíme na dvě řešení, jedno s plusem a jedno s mínusem."
},
{
"calculation":
"$$p_1={{12+ 6}\\over2}\\\\p_2={{12- 6}\\over2}$$",
"explanation":
"Jestli bude ##p_1## s plusem nebo mínusem je jedno."
}
]
},
{
"step": 6,
"title": "Řešení kvadratické rovnice",
"content": [
{
"calculation":
"$$p_1={{12+ 6}\\over2}={18\\over2}=9$$",
"explanation":
"Vyřešíme. Obě řešení.Nejprve ##p_1##."
},
{
"calculation":
"$$p_2={{12- 6}\\over2}={6\\over2}=3$$",
"explanation": "Nyní ##p_2##."
}
]
},
{
"step": 7,
"title": "Řešení logaritmické rovnice",
"content": [
{
"calculation": "$$3^x=p$$",
"explanation": "Pozor!!! toto není vše!!"
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"Vypočítali jsme kvadratickou rovnici a neznámou ##p##, ale ta nás v podstatě nezajímá. Potřebujeme vypočítat ##x##. Vrátíme se do kroku, kdy jsme nahrazovali."
},
{
"calculation": "$$3^x=9$$",
"explanation":
"za ##p## dosadíme postupně vypočtená řešení. Nejprve ##p_1##."
},
{
"calculation": "$$9=3^2$$",
"explanation":
"Dostáváme exponenciální rovnici. Potřebujeme stejný základ (to číslo dole)."
},
{
"calculation": "$$9=3^2$$",
"explanation":
"Protože ##3\\cdot 3## je ##9##, to číslo 'nahoře' = exponent ukazuje, kolikrát se tam to číslo 'dole' = základ vyskytuje. Trojka je dvakrát, proto na druhou."
}
]
},
{
"step": 8,
"title": "Závěrečný výpočet",
"content": [
{
"calculation": "$$3^x=3^2$$",
"explanation":
"Základy jsou stejné, exponenty musí být stejné (kdy je to dole stejné, musí být stejné i to nahoře)"
},
{
"calculation": "$$x=2$$",
"explanation":
"A máme jedno řešení. Obdobně u druhého."
}
]
},
{
"step": 9,
"title": "Druhé řešení",
"content": [
{
"calculation": "$$3^x=3\\\\ 3^x=3^1$$",
"explanation":
"##p_2## vyšlo ##3##. Protože tam není žádný exponent (číslo nahoře) je tam vždy jednička., jen se nepíše."
},
{
"calculation": "$$x=1$$",
"explanation":
"Rovnají-li se základy, rovnají se exponenty."
}
]
},
{
"step": 10,
"title": "Výsledek",
"content": [
{
"calculation": "$$x=1\\\\x=2$$",
"explanation":
"Takže jsme vypočítali, dvě řešení. Nyní musíme zkusit, zda naše řešení nekolidují s podmínkami, ale žádný zlomek, odmocnina či logaritmus tu není. Obě řešení jsou správné výsledky."
}
]
}
]
},
{
"slug": "S02T08U14",
"title": "S02T08U14",
"question":
"Pro které hodnoty má smysl výraz: $$\\sqrt{x^2-20x+91}$$",
"maxPoints": 2,
"type": "options",
"categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
"options": [
{
"name": "opt1",
"problem": "##\\langle7;13\\rangle##"
},
{
"name": "opt2",
"problem":
"##(-\\infty;-7\\rangle\\cup\\langle13;\\infty)##"
},
{
"name": "opt3",
"problem": "##\\langle-7;13\\rangle##"
},
{
"name": "opt4",
"problem":
"##(-\\infty;7\\rangle\\cup\\langle13;\\infty)##"
},
{
"name": "opt5",
"problem": "jiný interval"
}
],
"correctAnswer": ["opt4"],
"solutions": [
{
"step": 1,
"title": "Úvod",
"content": [
{
"calculation": "$$x^2-20x+91\\geq 0$$",
"explanation":
"Pokud zjišťujeme kdy má výraz smysl, popř. definiční obor, postupujeme stejně. Hlídáme si základní tři 'problémy'."
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"První: zlomek - ve jmenovateli nesmí být nula. "
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"Druhý: logaritmus - logaritmovat se dá číslo pouze větší něž nula."
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"Třetí: sudá odmocnina - pod odmocninou nesmí být záporné místo (musí být nula nebo větší)"
}
]
},
{
"step": 2,
"title": "",
"content": [
{
"calculation":
"$$x^2-20x+91= 0; \\\\ a=1, b= -20, c=91$$",
"explanation":
"Dostáváme kvadratickou nerovnici. Řešíme jako rovnici nejprve. Takže pomocí diskriminantu."
},
{
"calculation":
"$$x_{1,2}={{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}\\over2}$$",
"explanation":
"Pokud vám dělá tento vzorec potíže, vypište si vždy jednotlivé písmenka ##a,b,c##, je to přehlednější a snižuje to riziko výskytu chyb."
},
{
"calculation":
"$$x_{1,2}={{-(-20)\\pm\\sqrt{(-20)^2-4\\cdot 1 \\cdot 91}}\\over2}$$",
"explanation":
"Dosadíme čísla. Pozor na mínusy."
}
]
},
{
"step": 3,
"title": "",
"content": [
{
"calculation":
"$$x_{1,2}={{20\\pm\\sqrt{400-364}}\\over2}=\\\\{{20\\pm\\sqrt{36}}\\over2}$$",
"explanation": "Vypočítáme. "
},
{
"calculation":
"$$x_1={{20+\\sqrt{36}}\\over2}={{20+6}\\over2}=13\\\\ x_2={{20-\\sqrt{36}}\\over2}={{20-6}\\over2}=7$$",
"explanation": "Rozdělíme na dvě řešení."
}
]
},
{
"step": 4,
"title": "Číselná osa",
"content": [
{
"calculation":
"&&\\images\\tasks\\S02T08\\S02T08P14.png&&",
"explanation":
"Toto bohužel není ještě vše. Nyní jsme vypočítali, kdy je výraz pod odmocninou roven nule. potřebujeme ještě zjistit, kdy je kladný. To uděláme tak, že vypočtené body naneseme na číselnou osu. Od nejmenších zleva po největší vpravo."
}
]
},
{
"step": 5,
"title": "Intervaly",
"content": [
{
"calculation": "$$x^2-20x+91=\\dots $$",
"explanation":
"Abychom zjistili, která část je kladná, nejjednodušeji to uděláme tak, že si vybere libovolné číslo (kromě vypočtených) a dosadíme do rovnice. Vybrala jsem Např. čísla ##0, 10, 20##. "
},
{
"calculation": "$$0\\\\ 0^2-20\\cdot 0+91=91$$",
"explanation":
"Po dosazení nuly dostáváme ##91##, tedy kladné číslo. "
},
{
"calculation":
"$$10\\\\ 10^2-20\\cdot 10+91=100-200+91=-9$$",
"explanation":
"Stačí nám, že je to číslo záporné."
},
{
"calculation":
"$$20\\\\ 20^2-20\\cdot 20+91=400-400+91=91$$",
"explanation": "Opět kladné číslo."
},
{
"calculation":
"&&\\images\\tasks\\S02T08\\S02T08P14_a.png&&",
"explanation":
"Když to dáme dohromady na již namalovanou osu, dostáváme tento obrázek. "
}
]
},
{
"step": 6,
"title": "Zápis výsledku",
"content": [
{
"calculation": "$$(-\\infty;7\\rangle$$",
"explanation":
"Jak je z obrázku vidět, kladně vyšla část od mínus nekonečna do ##7##, kdy sedmička tam patří, protože dovolujeme rovno nule, proto špičatá závorka. U nekonečna bude vždy závorka kulatá. "
},
{
"calculation": "$$\\langle 13;\\infty)$$",
"explanation":
"Obdobně zapíšeme druhou část, tedy od ##13##, která tam patří (špičatá závorka) do nekonečna (vždy kulatá)"
},
{
"calculation":
"$$(-\\infty;7\\rangle\\cup\\langle13;\\infty)$$",
"explanation":
"Protože platí buď první nebo druhý interval, spojíme to pomocí symbolu pro sjednoceno - spojení (vypadá jako když se díváte pár držící se za ruce)"
}
]
}
]
},
{
"slug": "S02T08U15",
"title": "S02T08U15",
"question":
"Zjistěte, které z bodů ##A[-1;1],~B[3;2],~C[-{5\\over2};-{2\\over3}],~D[{3\\over4};-{4\\over7}]## leží na grafu funkce? $$y={1\\over{x+1}}$$",
"maxPoints": 2,
"type": "options",
"categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
"options": [
{
"name": "opt1",
"problem": "pouze bod D"
},
{
"name": "opt2",
"problem": "body C,D"
},
{
"name": "opt3",
"problem": "pouze bod C"
},
{
"name": "opt4",
"problem": "pouze bod A"
},
{
"name": "opt5",
"problem": "body A,D"
}
],
"correctAnswer": ["opt3"],
"solutions": [
{
"step": 1,
"title": "Úvod",
"content": [
{
"calculation": "$$y={1\\over x+1}$$",
"explanation":
"Jestliže bod leží na grafu funkce, musí jeho souřadnice splňovat rovnici funkce. Každý bod je popsán souřadnicemi, které se zapisují v pořadí ##x## pak ##y##. Takže bod ##U[x,y]##"
},
{
"calculation":
"$$A: x=-1\\\\y={1\\over -1+1}={1\\over 0}$$",
"explanation":
"Když tedy zkoušíme, zda daný bod leží na grafu dané funkce, vezmeme jednu souřadnici (jedno kterou) a dosadíme, musí nám vyjít druhá. Teď máme tvar ##y=\\dots##v takže je nejjednodušší dosadit za ##x## a kontrolovat zda je výsledné ##y## stejné. Výpočty můžeme provádět na kalkulačce. "
},
{
"calculation": "$$y={1\\over 0}$$",
"explanation":
"Nulou dělit nelze, bod A na grafu neleží."
}
]
},
{
"step": 2,
"title": "další body",
"content": [
{
"calculation":
"$$B: x=3\\\\y={1\\over 3+1}={1\\over 4}$$",
"explanation":
"Zkusíme další body. V bodu ##B## je souřadnice ##y=2##, nám vyšla ##y={1\\over 4}##, nejsou stejné, neleží na grafu."
}
]
},
{
"step": 3,
"title": "další body",
"content": [
{
"calculation":
"$$C: x={-5\\over 2}\\\\y={1\\over {-5\\over 2}+1}={-2\\over 3}$$",
"explanation":
"Pomocí kalkulačky vypočítáme další bod. Hodnota vyšla stejně jako zadaná. Bod C leží na grafu."
}
]
},
{
"step": 4,
"title": "další body",
"content": [
{
"calculation":
"$$D: x={3\\over 4}\\\\y={1\\over {3\\over 4}+1}={4\\over 7}$$",
"explanation":
"Pomocí kalkulačky vypočítáme další bod, bod D. Číslo vyšlo stejně, ale znaménko je jiné. Bod neleží na grafu zadané funkce."
}
]
},
{
"step": 5,
"title": "Poznámka",
"content": [
{
"calculation": "",
"explanation":
"Pouze bod C leží na grafu zadané funkce."
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"Další možností je dosadit obě souřadnice a pravá a levá strana rovnice se musí rovnat. Toto se používá hlavně ve chvíli, kdy je tvar funkce např. ##3x+2y-8=0##. Abychom nemuseli vyjadřovat neznámou (jedno písmeno). Zde bychom dosadili obě souřadnice a musí vyjít ##0##, jinak neleží."
}
]
}
]
},
{
"slug": "S02T08U16",
"title": "S02T08U16",
"question":
"Zjednodušte za předpokladu přípustných hodnot výraz: $${7-8y\\over6y+12}~-{2y-5\\over{10y+20}}~+{4y-2\\over{2y+4}}=$$",
"maxPoints": 2,
"type": "options",
"categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
"options": [
{
"name": "opt1",
"problem": "##{7y+10\\over{15(y+2)}}##"
},
{
"name": "opt2",
"problem": "##{7y-5\\over{15y+30}}##"
},
{
"name": "opt3",
"problem": "##{7y+12\\over{3(5y+10)}}##"
},
{
"name": "opt4",
"problem": "##{7y-1\\over{3(y+10)}}##"
},
{
"name": "opt5",
"problem": "jiná hodnota"
}
],
"correctAnswer": ["opt1"],
"solutions": [
{
"step": 1,
"title": "Společný jmenovatel",
"content": [
{
"calculation":
"$$6y+12 = 6(y+2)\\\\ 10y+20 = 10(y+2)\\\\ 2y+4=2(y+2)$$",
"explanation":
"Nejprve musíme upravit výrazy ve jmenovateli (ten výraz pod zlomkovou čarou). Z každého výrazu můžeme něco vytknout, takže vytkneme, co je možné. "
},
{
"calculation":
"$${7-8y}\\over{6(y+2)}-{2y-5}\\over{10(y+2)}+{4y-2}\\over{2(y+2)}$$",
"explanation":
"Po dosazení do výrazu dostaneme: "
}
]
},
{
"step": 2,
"title": "Společný jmenovatel",
"content": [
{
"calculation":
"##30(y+2)## nebo\\\\##60(y+2)## nebo \\\\##12(y+2)##",
"explanation":
"Nyní máme upravené jmenovatele na součin (násobení) jednodušších výrazů a uděláme z nich násobek. Potřebujeme najít výraz, ze kterého bychom mohli seskládat jednotlivé jmenovatele. Ve všech se opakuje závorka ##(y+2)##, nikde není na druhou ani v jednom jmenovateli vícekrát za sebou, takže nám stačí pouze jedenkrát. Nyní čísla: Potřebujeme najít číslo, které se dá dělit čísly ##6,10,2##, pokud žádné takové číslo nevidíte, prostě ta čísla mezi sebou vynásobte, později budete muset krátit, ale k výsledku se dopracujete. Nejmenší možné číslo je ##30##, můžete ale použít i ##60## nebo ##120##. Čím menší číslo, tím snažší úprava a následné dělení, ale máte kalkulačky, takže ;)."
}
]
},
{
"step": 3,
"title": "Převedení na společného jmenovatele",
"content": [
{
"calculation": "",
"explanation":
"Nyní vydělíme společný jmenovatel jmenovatelem u jednotlivých zlomků a tím, co nám zbude vynásobíme čitatel daného zlomku (nad zlomkovou čarou)."
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"Pokud jsme čísla pouze vynásobili, můžeme použít zakrývací metodu, tedy zakryji, co mam v původním zlomku, co mam ve v novém (v tom společném) jmenovateli a co mi zbude, tím násobím původní jmenovatel."
},
{
"calculation":
"$${5\\cdot (7-8y)}\\over{30(y+2)}...$$",
"explanation":
"Nejmenší společný jmenovatel je tedy ##30(y+2)##, pokud jej vydělíme ##6(y+2)##, závorky 'zmizí' -protože jsou stejné, tedy budeme dělit pouze čísla. ##30:6=5##. Tímto číslem násobíme původní čitatel ##7-8y##"
}
]
},
{
"step": 4,
"title": "Doplnění zbytku...",
"content": [
{
"calculation":
"$$30(y+2) : 10(y+2)=3 \\\\ {3\\cdot (2y-5)}\\over{30(y+2)}$$",
"explanation":
"Pokud výše popsaným způsobem budeme postupovat dále, dostaneme výrazy: "
},
{
"calculation":
"$$30(y+2) : 2(y+2)=15 \\\\ {15\\cdot (4y-2)}\\over{30(y+2)}$$",
"explanation":
"Sepíšeme všechny nově sestavené do jednoho výrazu"
},
{
"calculation":
"$$ {5\\cdot (7-8y)-3\\cdot (2y-5)+15\\cdot (4y-2)}\\over{30(y+2)}$$",
"explanation":
"Nyní NESMÍME krátit. Muselo by se v čitateli (nahoře) vyskytovat pouze násobení, popř. násobení závorek a to tu není. Takže roznásobit čitatel."
}
]
},
{
"step": 5,
"title": "Úprava čitatele roznásobením",
"content": [
{
"calculation":
"$$ {35-40y-6y+15+60y-30}\\over{30(y+2)}$$",
"explanation":
"Roznásobujeme tak, že vynásobíme číslo před závorkou každým číslem v závorce. \\\\ Nezapomeňte, že mínus před závorkou mění všechna znaménka v závorce."
},
{
"calculation":
"##35+15-30 = 20\\\\ -40y-6y+60y=14y##",
"explanation":
"Nyní sečteme/odečteme stejné členy, tedy ty s ##y## a potom ty bez."
},
{
"calculation": "$${20+14y}\\over{30(y+2)}$$",
"explanation": "Dostáváme..."
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"Můžeme vytknout z čitatele číslo ##2##."
}
]
},
{
"step": 6,
"title": "Závěr",
"content": [
{
"calculation": "$${2(10+7y)}\\over{30(y+2)}=$$",
"explanation":
"Teď máme násobení jak v čítateli, tak i ve jmenovateli. Můžeme tedy krátit. Závorky se krátit nedají, takže pouze čísla. "
},
{
"calculation": "$$={(10+7y)}\\over{15(y+2)}$$",
"explanation": "A máme hotovo. "
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"V zadání je za předpokladu přípustných hodnot, což znamená, že nemusíme dělat podmínky. "
},
{
"calculation":
"$$15(y+2) \\neq 0 \\\\ y+2\\neq 0:15\\\\ y+2\\neq 0\\\\ y\\neq 0-2\\\\ y\\neq -2\\\\$$",
"explanation":
"Kdyby se podmínky děla měly, dělají se tak, že se jmenovatel nesmí rovnat nule (nulou se dělit nedá - můžete zkusit na kalkulačce). A Upravíme jako rovnici, jen 'škrtáme' rovnítko."
}
]
}
]
},
{
"slug": "S02T08U17",
"title": "S02T08U17",
"taskText":
"V první slosovací urně je 6 bílých a 4 černé kuličky, ve druhé 7 bílých a 5 černých kuliček.",
"question":
"Vytáhneme-li z každé urny po jedné kuličce, jaká je pravděpodobnost, že budou obě černé?",
"maxPoints": 2,
"type": "options",
"categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
"options": [
{
"name": "opt1",
"problem": "##1\\over6##"
},
{
"name": "opt2",
"problem": "##2\\over5##"
},
{
"name": "opt3",
"problem": "##1\\over9##"
},
{
"name": "opt4",
"problem": "##5\\over12##"
},
{
"name": "opt5",
"problem": "##2\\over11##"
}
],
"correctAnswer": ["opt1"],
"solutions": [
{
"step": 1,
"title": "Vzorec",
"content": [
{
"calculation": "",
"explanation":
"Pravděpodobnost, že něco nastane se počítá podle vzorce: počet příznivých možností (co chci aby se stalo) lomeno počtem všech možností"
},
{
"calculation": "$$4 \\over 10$$",
"explanation":
"První urna. Chceme černé, ty jsou ##4##, takže v čitateli (nad zlomkovou čarou), celkově vybíráme z ##10## kuliček (##6+4##) - jmenovatel (pod zlomkovou čarou)"
}
]
},
{
"step": 2,
"title": "Druhá urna",
"content": [
{
"calculation": "$$5 \\over 12$$",
"explanation":
"Podobně druhá urna. Černých je #5# - čitatel. Celkově ##12## (##7+5##) - jmenovatel "
}
]
},
{
"step": 3,
"title": "Společně...",
"content": [
{
"calculation":
"$${4\\over 10} \\cdot {5\\over12}$$",
"explanation":
"Protože vybrání kuličky z první urny jinak neovlivní vybrání kuličky z urny druhé, budeme vypočtené výsledky násobit."
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"kdyby se navzájem ovlivnily, pak by se výsledky sčítaly.. např jako výběr cest, vystoupit na stanici metra A nebo B... nejde oboje.. vylučují se.. počet cest se sčítá."
},
{
"calculation": "$$1\\over 6$$",
"explanation":
"Nyní buď krátíme do kříže a pod sebou, nebo pomocí kalkulačky."
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"Pokud Vaše kalkulačka neukazuje zlomky, zkuste zapsané možnosti napsat na kalkulačce a hledej tu možnost, která se shoduje s Vaší vypočtenou."
}
]
}
]
},
{
"slug": "S01T01U18",
"title": "S02T08U18",
"taskText":
"&&\\images\\tasks\\S02T08\\S02T08P18_krychle.jpg&&",
"question":
"Jaké nejmenší množství kostek je potřeba přidat, aby vznikl kvádr?",
"maxPoints": 3,
"type": "option",
"categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
"options": [
{
"name": "opt1",
"problem": "66 krychlí"
},
{
"name": "opt2",
"problem": "69 krychlí"
},
{
"name": "opt3",
"problem": "59 krychlí"
},
{
"name": "opt4",
"problem": "73 krychlí"
},
{
"name": "opt5",
"problem": "63 krychlí"
}
],
"correctAnswer": ["opt5"],
"solutions": [
{
"step": 1,
"title": "Počet krychlí",
"content": [
{
"calculation":
"Půdorys útvaru: &&\\images\\tasks\\S02T08\\S02T08P18_pudorys.jpg&&",
"explanation":
"Nejprve potřebujeme spočítat, kolik těch kosteček již máme vyskládáno. Buď budete klasicky počítat, nebo si raději udělejte takovou síť, abyste na nějakou nezapomněli. "
}
]
},
{
"step": 2,
"title": "Vyplnění sítě",
"content": [
{
"calculation":
"Půdorys útvaru: &&\\images\\tasks\\S02T08\\S02T08P18_pudorys_vyplneny.png&&",
"explanation":
"Nyní podle počtu kosteček doplňujeme do půdorysu."
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"Vlevo dole je vidět jedna kostečka, vedle ní dvě atd.. po vyplnění by měla tabulka vypadat takto:"
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"Zadnější části počítejte podle toho, kolik jich je navíc nad těmi přednějšími a to přičtěte k předním částem.. tedy první vlevo dole je ##1##, hned za ní jsou vidět ##3##, takže tak budou ##4## kostečky. "
}
]
},
{
"step": 3,
"title": "Počet kosteček",
"content": [
{
"calculation": "$$V=3\\cdot 7\\cdot5=105$$",
"explanation":
"Když sečteme všechny kostečky již postavené, dostaneme číslo ##42##."
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"Abychom dostali kvádr, musíme vzít největší rozměry ze všech stran. Objem kvádru je ##V=a\\cdot b\\cdot c##. Směrem 'dozadu' máme maximálně ##3## kostečky, směrem vpravo vlevo zabírají celkem ##7## políček (musíme počítat i ta ##2## prázdná, protože jsou mezi obsazenými), směrem nahoru pak máme nejvýše 5 na sobě naskládanych kosteček."
},
{
"calculation": "$$105-42=63$$",
"explanation":
"##42## jich máme poskládaných, ##105## jich celkem potřebujeme. Po odečtení získáme počet, který chybí."
}
]
}
]
},
{
"slug": "S02T08U20",
"title": "S02T08U20",
"question":
"Určete obecnou rovnici přímky ##q## procházející bodem ##A[-{1\\over4};{2\\over3}]## a rovnoběžné s přímkou ##p:x=1-2t;y=2+3t;t\\in\\mathbb{R}##",
"maxPoints": 2,
"type": "options",
"categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
"options": [
{
"name": "opt1",
"problem": "jiný tvar"
},
{
"name": "opt2",
"problem": "##3x-2y+7=0##"
},
{
"name": "opt3",
"problem": "##4x-6y+3=0##"
},
{
"name": "opt4",
"problem": "##2x+3y-1=0##"
},
{
"name": "opt5",
"problem": "##6x-4y+3=0##"
}
],
"correctAnswer": ["opt1"],
"solutions": [
{
"step": 1,
"title": "Dosadit bod",
"content": [
{
"calculation": "",
"explanation":
"Má-li přímka procházet bodem, musí splňovat rovnici po dosazení souřadnic daného bodu. Zkuste dosadit souřadnice bodu do rovnic. Kdy první souřadnice bodu je vždy ##x##, druhá ##y##. "
},
{
"calculation":
"$$3\\cdot (-1\\over 4)-2\\cdot (2\\over 3)+7 =$$",
"explanation":
"Pro rovnici ##3x-2y+7=0## a bod##A[-1\\over 4;2\\over 3]##"
},
{
"calculation": "$$\\neq 0$$",
"explanation":
"Vy dosazení a vypočtení nevyjde ##0##, takže daný bod na přímce neleží. Zkusíme všechny ostatní přímky a zjistíme totéž, žádná přímka neprochází daným bodem nemusíme řešit rovnoběžnost. Kdyby ale náhodou, ukážeme si i tuto možnost... "
}
]
},
{
"step": 2,
"title": "Vektory",
"content": [
{
"calculation":
"$$x=1-2t\\\\y=2+3t\\\\ \\vec{s}=(-2,3)$$",
"explanation":
"Rovnoběžné přímky mají násobné vektory (jeden je násobek druhého). Původní přímka je v parametrickém tvaru, kde se vyskytuje směrový vektor (čísla, která násobí písmeno). Ta ostatní čísla jsou bod, kterým ta přímka prochází a ta nás nezajímají. "
}
]
},
{
"step": 3,
"title": "Normálový vektory",
"content": [
{
"calculation": "$$\\vec{s}=(-2,3)$$",
"explanation":
"Potřebujeme obecnou rovnici přímky, ta je ve tvaru: ##ax+by+c=0## (najdete v tabulkách), kde ##\\vec{n}=(a,b)## je vektor normálový, tedy kolmý k vektoru směrovému."
},
{
"calculation":
"$$\\vec{s}=(-2,3)\\\\\\vec{n}=(3,2)=(-3,-2)$$",
"explanation":
"Ze směrového vektoru uděláme normálový tak, že přehodíme souřadnice a změníme jedno znaménko. Obě možnosti jsou možné a správné, jde jen o to, co se Vám víc líbí. Mě možnost první."
}
]
},
{
"step": 4,
"title": "Rovnice přímky",
"content": [
{
"calculation": "$$3x+2y+c=0$$",
"explanation":
"Máme vektor, který dosadíme do rovnice. "
},
{
"calculation":
"$$c+7\\over 12=0\\\\c=-7\\over 12$$",
"explanation":
"Za ##x## a ##y## dosadíme souřadnice bodu a tím vypočítáme ##c##. Použijeme kalkulačku."
},
{
"calculation": "$$3x+2y-7\\over 12=0$$",
"explanation": "Dosadíme do rovnice."
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"Jak již bylo jasné z dosazení bodu, žádná taková rovnice tu není."
}
]
}
]
},
{
"slug": "S02T08U21",
"title": "S02T08U21",
"question":
"Vyberte správný graf k funkci ##y={{3x+2}\\over{1-x}}##",
"maxPoints": 2,
"type": "options",
"categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
"options": [
{
"name": "opt1",
"problem": "&&\\images\\tasks\\S02T08\\S02T08P21a.jpg&&"
},
{
"name": "opt2",
"problem": "&&\\images\\tasks\\S02T08\\S02T08P21b.jpg&&"
},
{
"name": "opt3",
"problem": "&&\\images\\tasks\\S02T08\\S02T08P21c.jpg&&"
},
{
"name": "opt4",
"problem": "&&\\images\\tasks\\S02T08\\S02T08P21d.jpg&&"
},
{
"name": "opt5",
"problem": "jiný graf"
}
],
"correctAnswer": ["opt1"],
"solutions": [
{
"step": 1,
"title": "Dosazení bodů",
"content": [
{
"calculation":
"&&\\images\\tasks\\S02T08\\S02T08P21a_bod.png&&",
"explanation":
"Pokud toho o funkcích moc nevíte, nejlépe prostudujte tomu určenou kapitolu. Popř. Zkuste alternativní postup. Vyberte si bod na grafu, který musí mít souřadnici ##x## a ##y## a dosaďte ##x## do předpisu funkce (do té rovnice), pokud vyjde nalezené ##y##, bingo je to ten správný pár, pokud ne, dosadit do jiné rovnice. Nejlépe vybírat body, které další graf nemá."
},
{
"calculation": "$$K[0;2]$$",
"explanation":
"Tento označený bod ##K## má souřadnice:"
},
{
"calculation": "$$$$",
"explanation":
"Za ##x## dosadíme číslo ##0## a pokud vyjde číslo ##2## je to správný graf, pokud ne, hledáme dál."
}
]
}
]
},
{
"slug": "S02T08U22",
"title": "S02T08U22",
"question":
"Určete pátý člen posloupnosti ##a_{n+2}=3\\cdot{a_{n+1}}-2\\cdot{a_n}##, jestliže ##a_1=-3;a_2=-4##",
"maxPoints": 2,
"type": "options",
"categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
"options": [
{
"name": "opt1",
"problem": "##-20##"
},
{
"name": "opt2",
"problem": "##-10##"
},
{
"name": "opt3",
"problem": "##-18##"
},
{
"name": "opt4",
"problem": "##-15##"
},
{
"name": "opt5",
"problem": "jiná hodnota "
}
],
"correctAnswer": ["opt3"],
"solutions": [
{
"step": 1,
"title": "Dosazení",
"content": [
{
"calculation":
"##a_n, a_n+1, a_n+2## Z těchto členů posloupnosti je nejmenší právě ##a_n##, tedy v zadání ##a_1##",
"explanation":
"Takto zadaný příklad se nedá řešit jinak, než postupným dosazováním. Tady je důležité si uvědomit, co který údaj vyjadřuje. "
},
{
"calculation": "##a_2=a_n+1##",
"explanation":
"Tedy první člen, který můžeme vypočítat je ##a_3=a_n+2##"
}
]
},
{
"step": 2,
"title": "Dosazaní",
"content": [
{
"calculation":
"$$a_{3}=3\\cdot{a_{2}}-2\\cdot{1}\\\\a_{3}=3\\cdot{a_{2}}-2\\cdot{a_1}\\\\a_{3}=3\\cdot {-4}-2\\cdot{-3}=-6$$",
"explanation":
"##a_{n+2}=3\\cdot{a_{n+1}}-2\\cdot{a_n}## Dosadíme pro ##n=1## a dosadíme zadaná čísla."
},
{
"calculation":
"$$a_{4}=3\\cdot{a_{3}}-2\\cdot{a_2}\\\\ a_{4}=3\\cdot{-6}-2\\cdot{-4}=-10$$",
"explanation":
"Uděláme to samé, ale pro ##n=2## a opět dosadíme."
}
]
},
{
"step": 3,
"title": "",
"content": [
{
"calculation":
"$$a_{5}=3\\cdot{a_{4}}-2\\cdot{a_3}\\\\ a_{5}=3\\cdot{-10}-2\\cdot{-6}=-18$$",
"explanation":
"A naposledy dosadíme pro ##n=3##. Dostaneme ##a_{5}##, což je hledaná hodnota a máme hotovo."
}
]
}
]
},
{
"slug": "S02T08U23",
"title": "S02T08U23",
"question":
"Určete definiční obor funkce inverzní k funkci ##y={3\\over{x-1}}##",
"maxPoints": 2,
"type": "options",
"categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
"options": [
{
"name": "opt1",
"problem": "##x\\neq1##"
},
{
"name": "opt2",
"problem": "##x\\neq2##"
},
{
"name": "opt3",
"problem": "##x\\neq-1##"
},
{
"name": "opt4",
"problem": "##x\\neq0##"
},
{
"name": "opt5",
"problem": "##x\\neq-2##"
}
],
"correctAnswer": ["opt4"],
"solutions": [
{
"step": 1,
"title": "Inverzní funkce",
"content": [
{
"calculation":
"$$y = {3\\over {x-1}} => x = {3\\over {y-1}}$$",
"explanation":
"Inverzní funkci vytvoříme tak, že zaměníme ##x## za ##y##. "
},
{
"explanation":
"Nyní upravíme tak, abychom dostali výraz ##y=##, poté vyhodíme z definičního oboru vše, co by mohlo ve jmenovateli zlomku (pod zlomkovou čarou) vytvořit nulu po dosazení.",
"calculation": "$$x = {3\\over {y-1}}$$"
}
]
},
{
"step": 2,
"title": "Úprava",
"content": [
{
"calculation": "$$x = {3\\over {y-1}}$$",
"explanation":
"Nyní vynásobíme výrazem ve jmenovateli, tedy ##y-1##"
},
{
"calculation": "$$x \\cdot (y-1) = {3}$$",
"explanation":
"Potřebujeme pouze ##y##, takže vydělíme x."
}
]
},
{
"step": 3,
"title": "Vyjadření",
"content": [
{
"calculation": "$$y-1 = {3\\over {x}}$$",
"explanation":
"Po vydělení neznámou ##x## se zbývá už jen zbavit čísla ##1##, protože se na levé straně odčítá, na pravé se bude přičítat."
},
{
"calculation": "$$y = {3\\over {x}}+1$$",
"explanation":
"Máme inverzní funkci. Teď určit definiční obor."
}
]
},
{
"step": 1,
"title": "Definiční obor",
"content": [
{
"calculation": "$$y = {3\\over {x}}+1$$",
"explanation":
"Definiční obor zjišťujeme tak, že hledáme čísla, která po dosazení do jmenovatele zlomku (pod zlomkovou čáru) dají výsledek ##0##. "
},
{
"calculation": "$$x \\neq 0$$",
"explanation":
"V tomto případě, protože máme ve jmenovateli pouze ##x##, nesmí být právě nule rovna."
}
]
}
]
},
{
"slug": "S02T08U24",
"title": "S02T08U24",
"question":
"Vyjádřete v podobě jedné odmocniny: $$\\sqrt[3]{2}\\cdot\\sqrt[4]{2}\\cdot\\sqrt[6]{2}\\cdot\\sqrt[12]{2}=$$",
"maxPoints": 2,
"type": "options",
"categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
"options": [
{
"name": "opt1",
"problem": "##\\sqrt[5]{6}##"
},
{
"name": "opt2",
"problem": "##\\sqrt[6]{5}##"
},
{
"name": "opt3",
"problem": "##\\sqrt[7]{4}##"
},
{
"name": "opt4",
"problem": "##\\sqrt[3]{2}##"
},
{
"name": "opt5",
"problem": "jiná hodnota"
}
],
"correctAnswer": ["opt5"],
"solutions": [
{
"titleSolution": "Zadání do kalkulačky",
"steps": [
{
"step": 1,
"title": "Kalkulačka",
"content": [
{
"calculation": "",
"explanation":
"Naprosto nejjednodušší způsob je vzít do ruky kalkulačku a naklikat to na ni. To stejné udělejte s výsledky a hledejte, kdy se rovnají."
}
]
}
]
},
{
"titleSolution": "Úprava",
"steps": [
{
"step": 1,
"title": "Přepis na mocniny",
"content": [
{
"calculation":
"$$\\sqrt[3]{2}=2^{1 \\over 3}\\\\ \\sqrt[4]{2}=2^{1 \\over 4}\\\\ \\sqrt[6]{2}=2^{1 \\over 6}\\\\ \\sqrt[12]{2}=2^{1 \\over 12}$$",
"explanation":
"Pokud se vám to nechce klikat na kalkulačce, popř to s ní neumíte, lze tento příklad i spočítat. Nejjednodušší způsob je převést odmocniny na mocniny."
},
{
"calculation":
"$$2^{1 \\over 3}\\cdot 2^{1 \\over 4}\\cdot 2^{1 \\over 6}\\cdot 2^{1 \\over 12}$$",
"explanation": "Dostáváme tedy..."
}
]
},
{
"step": 2,
"title": "Úprava",
"content": [
{
"calculation":
"$$2^{1 \\over 3}\\cdot 2^{1 \\over 4}\\cdot 2^{1 \\over 6}\\cdot 2^{1 \\over 12}$$",
"explanation":
"Pokud máme násobení čísel se stejným základem (to velké číslo dole), tak je spojit tak, že sečteme exponenty (ta malá čísla nahoře)."
},
{
"calculation":
"$${1 \\over 3}+{1 \\over 4}+{1 \\over 6}+{1 \\over 12}$$",
"explanation":
"Buď použijeme kalkulačku, nebo je převedeme na společného jmenovatele, tedy číslo, které je lze dělit každým číslem pod zlomkovou čarou v původních zlomcích. (nyní číslo ##12##)."
},
{
"calculation":
"$$10 \\ over 12 = 5 \\ over 6$$",
"explanation":
"Nesmíme zapomenout krátit (vydělit čitatele i jmenovatele zlomku stejným číslem, tedy horní i spodní číslo stejným číslem)"
}
]
},
{
"step": 3,
"title": "Převod na odmocninu",
"content": [
{
"calculation":
"$$2^{5 \\over 6}=sqrt[6]{5}$$",
"explanation":
"A převedeme zpět na odmocninu."
}
]
}
]
}
]
},
{
"slug": "S02T08U25",
"title": "S02T08U25",
"taskText":
"Petr si napsal na ruku číslo o 7 cifrách. Číslo se mu z ruky smazalo, ale pamatuje si, že se žádná cifra neopakovala a že číslo začínalo na 735.",
"question": "Kolik takových čísel existuje?",
"maxPoints": 1,
"type": "options",
"categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
"options": [
{
"name": "opt1",
"problem": "##6!-3!##"
},
{
"name": "opt2",
"problem": "##7!\\over{3!}##"
},
{
"name": "opt3",
"problem": "##7!-3!##"
},
{
"name": "opt4",
"problem": "##6!\\over{3!}##"
},
{
"name": "opt5",
"problem": "jiná hodnota"
}
],
"correctAnswer": ["opt2"],
"solutions": [
{
"step": 1,
"title": "Počet možností",
"content": [
{
"calculation": "",
"explanation":
"Jelikož se žádné číslo nemá opakovat, a již spotřebovaná čísla jsou ##7,3,5##, zbývají nám čísla ##0,1,2,4,6,8,9##, což dává dohromady ##7## možností."
}
]
},
{
"step": 2,
"title": "Cifry",
"content": [
{
"calculation": "$$7~3~5~_~_~_~_$$",
"explanation":
"V zadání máme, že zapsané číslo je ##7## cifrách, ##3## již máme obsazeny, protože je to telefonní číslo, záleží na pořadí. Nejde čísla jen tak rozházet, dovolali bychom se někomu jinému. "
}
]
},
{
"step": 3,
"title": "Počet možností",
"content": [
{
"calculation": "$$7~3~5~_~_~_~_$$",
"explanation":
"Na první místo za číslem ##5## máme celkem ##7##možností, protože jedno číslo již použijeme, na další místo máme ##6##možností atd."
}
]
},
{
"step": 4,
"title": "Spojení možností",
"content": [
{
"calculation":
"$$7 \\cdot 6 \\cdot 5 \\cdot 4$$",
"explanation":
"Jelikož se mi výběr možností neovlivňuje ve smyslu, že pokud vyberu prvně ##1##, pak musím nebo nesmím vybrat číslo ##0##, budou se možnosti násobit. Dostáváme: "
}
]
},
{
"step": 5,
"title": "Faktoriál",
"content": [
{
"calculation":
"$$3! = 3\\cdot 2\\cdot 1\\\\ 5! = 5\\cdot 4\\cdot 3\\cdot 4\\cdot 2\\cdot 1$$",
"explanation":
"Tomu vykřičníku se říká faktoriál. Rozepisuje se tak, že od daného čísla se postupně odčítá číslo jedna až do jedničky a všechna takto vzniklá čísla se násobí. např. "
},
{
"calculation":
"$$12! = 12\\cdot 11\\cdot 10\\cdot 9!\\\\ 105! = 105\\cdot 104!$$",
"explanation":
"Můžeme kdykoliv 'přestat',pokud je pro nás vhodné či výhodné. "
}
]
},
{
"step": 6,
"title": "Která z možností?",
"content": [
{
"calculation":
"$$6!-3!=6 \\cdot 5\\cdot4\\cdot3\\cdot2\\cdot1-3\\cdot2\\cdot1$$",
"explanation":
"Tato možnost ale není nikde v řešeních, takže musíme upravit řešení, buď pomocí kalkulačky, kde se vyskytuje tlačítko s 'vykřičníkem' a hledáme stejné řešení. Pro jistotu..."
}
]
},
{
"step": 7,
"title": "Možnost B",
"content": [
{
"calculation":
"$${{7!}\\over{3!}}={{7\\cdot6 \\cdot 5\\cdot4\\cdot3\\cdot2\\cdot1}\\over {3\\cdot2\\cdot1}}$$",
"explanation":
"Možnost A, to není, mlžeme zkusit i vyťukat na kalkulačce. Zkusíme další možnost... "
},
{
"calculation":
"$${{7!}\\over{3!}}={{7\\cdot6 \\cdot 5\\cdot4\\cdot3\\cdot2\\cdot1}\\over {3\\cdot2\\cdot1}}={{7\\cdot6 \\cdot 5\\cdot4}\\over{1}}$$",
"explanation":
"Opět můžeme zkusit na kalkulačce, popř. lze krátit. po zkrácení dostáváme...A máme to!"
}
]
}
]
},
{
"slug": "S02T08U26",
"title": "S02T08U26",
"taskText":
"Z krychle o hraně 6cm byla vysoustruhována koule o poloměru ##r=3cm##.",
"question": "Vypočítejte, kolik procent byl odpad.",
"maxPoints": 2,
"type": "options",
"categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
"options": [
{
"name": "opt1",
"problem": "##47,7%##"
},
{
"name": "opt2",
"problem": "##32,3%##"
},
{
"name": "opt3",
"problem": "##28,6%##"
},
{
"name": "opt4",
"problem": "##35,3%##"
},
{
"name": "opt5",
"problem": "jiná hodnota"
}
],
"correctAnswer": ["opt1"],
"solutions": [
{
"titleSolution": "Způsob 1",
"steps": [
{
"step": 1,
"title": "Objem krychle",
"content": [
{
"calculation": "$$V=a^3$$",
"explanation":
"Vzorce na objemy krychle a koule najdeme v tabulkách, není potřeba si je pamatovat."
},
{
"calculation":
"$$V=6^3~ cm^3= 216~cm^3$$",
"explanation":
"Dosadíme zadanou hodnotu ##6cm##."
}
]
},
{
"step": 2,
"title": "Objem koule",
"content": [
{
"calculation":
"$${V} ={4\\over3} \\cdot \\pi \\cdot r^3$$",
"explanation":
"Opět najdeme v tabulkách, zde se vyskytuje ##r##, což je poloměr."
},
{
"calculation": "$${r}={a\\over2}=3cm$$",
"explanation":
"Pokud uděláme řez krychlí s koulí uvnitř, uvidíme, že poloměr koule je polovina hrany (strany) krychle. &&\\images\\tasks\\S02T08\\S02T08P26.npg&&"
},
{
"calculation":
"$${V} ={4\\over3} \\cdot \\pi \\cdot 3^3 ~cm^3 \\doteq 113 cm^3$$",
"explanation": "Po dosazení..."
}
]
},
{
"step": 3,
"title": "Přes 1%",
"content": [
{
"calculation":
"$$216~ \\cdots~ 100~{\\%}$$",
"explanation":
"Objem krychle je základ, celek, takže ##100~%##. "
},
{
"calculation":
"$$2,16~ \\cdots~ 1~{\\%}$$",
"explanation":
"Abychom vypočetli ##1~%##, vydělíme vše ##100##."
},
{
"calculation":
"$${113\\over2,16}=52,3~{\\%}$$",
"explanation":
"Protože chceme vědět, kolik procent je objem koule z objemu krychle, počítáme, kolikrát se vypočtené ##1~%## 'vejde' do objemu koule. Toto zjistíme vydělením. "
},
{
"calculation":
"$$100~{\\%}-52,3~{\\%}= 47,7{\\%}$$",
"explanation":
"Víme, že ##52,3~%## je objem koule v krychli, my potřebujeme znát ale odpad, což je zbytek do ##100~%##, takže odečteme"
}
]
}
]
},
{
"titleSolution": "Způsob 2",
"steps": [
{
"step": 1,
"title": "Objem krychle",
"content": [
{
"calculation": "$$V=a^3$$",
"explanation":
"Vzorce na objemy krychle a koule najdeme v tabulkách, není potřeba si je pamatovat."
},
{
"calculation":
"$$V=6^3~ cm^3= 216~cm^3$$",
"explanation":
"Dosadíme zadanou hodnotu ##6cm##."
}
]
},
{
"step": 2,
"title": "Objem koule",
"content": [
{
"calculation":
"$${V} ={4\\over3} \\cdot \\pi \\cdot r^3$$",
"explanation":
"Opět najdeme v tabulkách, zde se vyskytuje ##r##, což je poloměr."
},
{
"calculation": "$${r}={a\\over2}=3cm$$",
"explanation":
"Pokud uděláme řez krychlí s koulí uvnitř, uvidíme, že poloměr koule je polovina hrany (strany) krychle. &&\\images\\tasks\\S02T08\\S02T08P26.npg&&"
},
{
"calculation":
"$${V} ={4\\over3} \\cdot \\pi \\cdot 3^3 ~cm^3 \\doteq 113 cm^3$$",
"explanation": "Po dosazení..."
}
]
},
{
"step": 3,
"title": "Výpočet procent pomocí trojčlenky",
"content": [
{
"calculation":
"$$\\left\\uparrow~ \\matrix{216 & 100~ {\\%}\\cr 113 & x~ {\\%}} ~\\right\\uparrow$$",
"explanation":
"Máme objem koule a krychle, kdy objem krychle je celek, tedy ##100%##. Šipky by měli jít vždy směrem od ##x##, je to jednodušší na úpravu."
},
{
"calculation": "",
"explanation":
"Pokud víte jak na to, upravte trojčlenku jak jste zvyklý."
}
]
},
{
"step": 4,
"title": "Přepis trojčlenky",
"content": [
{
"calculation":
"$${113\\over 216}={x\\over 100}$$",
"explanation":
"Pokud nevíte, jak na to, tak jedna z možností je psát podle šipek. Kde šipka začíná, to je v jmenovateli zlomku (dole), kde šipka končí, to je v čitateli zlomku (nahoře). Místo mezery píšeme rovná se."
},
{
"calculation":
"$${113\\over 216}\\cdot 100 = x\\\\x=52,3~{\\%}$$",
"explanation":
"Teď již řešíme jako rovnici, takže vynásobit ##100## a kalkulačka."
},
{
"calculation":
"$$100~{\\%}-52,3~{\\%}= 47,7{\\%}$$",
"explanation":
"Víme, že ##52,3~%## je objem koule v krychli, my potřebujeme znát ale odpad, což je zbytek do ##100~%##, takže odečteme"
}
]
}
]
}
]
}
]
}
}
Sign up for free to join this conversation on GitHub. Already have an account? Sign in to comment