S02T01

{
    "test": {
        "title": "S02T01",
        "slug": "S02T01",
        "description": "Přípravný test k státní maturitě.",
        "successfulLimit": 33,
        "tasks": [
            {
                "slug": "S02T01U01",
                "title": "S02T01U01",
                "taskText":
                    "Jsou dány množiny: $$A=\\{-2\\leq{x}\\lt5;x\\in\\mathbb{Z}\\}$$, $$B=\\{-3;-2;0;1;3;5\\}$$, $$C=\\{x\\geq2;x\\in\\mathbb{Z}\\}$$",
                "question": "Určete množinu ##M=(A\\cup{B})\\cap{C}##",
                "maxPoints": 2,
                "type": "options",
                "categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
                "options": [
                    {
                        "name": "opt1",
                        "problem": "##1\\leq{x}\\lt5;x\\in\\mathbb{Z}##"
                    },
                    {
                        "name": "opt2",
                        "problem": "##1\\leq{x};x\\in\\mathbb{Z}##"
                    },
                    {
                        "name": "opt3",
                        "problem": "##x\\leq{5};x\\in\\mathbb{Z}##"
                    },
                    {
                        "name": "opt4",
                        "problem": "##1\\lt{x}\\leq5;x\\in\\mathbb{Z}##"
                    },
                    {
                        "name": "opt5",
                        "problem": "##x\\geq{5};x\\in\\mathbb{Z}##"
                    }
                ],
                "correctAnswer": ["opt4"],
                "solutions": [
                    {
                        "step": 1,
                        "title": "Zakreslení množin do osy",
                        "content": [
                            {
                                "calculation":
                                    "##A=\\{-2\\leq{x}\\lt5;x\\in\\mathbb{Z}\\} \\\\ -2\\leq{x} ~~ \\{x}\\lt5## ",
                                "explanation":
                                    "Ze zápisu množiny ##A## lze vyčíst, že se jedná pouze o celá čísla, jelikož hodnoty spadají do oboru celých čísel \\mathbb{Z}. Vyjádření hodnot lze pro lepší přehlednost rozdělit na ##-2\\leq{x}## a  ##{x}\\lt5## "
                            },
                            {
                                "calculation":
                                    "##A=\\{-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4\\}##",
                                "explanation":
                                    "Vypíšeme si všechny hodnoty, které do množiny ##A## patří. Protože u výrazu ##-2\\leq{x}## je i rovnost, patří do ##A## i hodnota ##-2##. Hodnota ##5## sem již nepatří, pouze celá čísla menší než ##5## ale větší než ##-2##, včetně ##-2##."
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 2,
                        "title": "Sjednocení množin",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "##M=(A\\cup{B})\\cap{C}##",
                                "explanation":
                                    "Výslednou množinu vypočítáme po částech. Nejprve zjistíme hodnoty odpovídající ##(A\\cup{B})## a teprve tyto hodnoty spojíme s ##\\cap{C}##."
                            },
                            {
                                "calculation":
                                    "##(A\\cup{B})=\\{-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4\\} \\cup \\{-3;-2;0;1;3;5\\} \\\\ (A\\cup{B})=\\{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\\}##",
                                "explanation":
                                    "Symbol ##\\cup## označuje sjednocení množin. Výsledná množina tedy bude obsahovat všechny hodnoty z obou množin, ale bez duplicit."
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 3,
                        "title": "Množina ##C##",
                        "content": [
                            {
                                "calculation":
                                    "##C=\\{x\\geq2;x\\in\\mathbb{Z}\\}##",
                                "explanation":
                                    "Do množiny ##C## patří všechna celá čísla větší než hodnota 2, včetně hodnoty 2."
                            },
                            {
                                "calculation":
                                    "##C=\\{2; 3; 4; 5; 6; 7; \\dots \\}##",
                                "explanation":
                                    "Pro větší přehlednost si vypíšeme některé hodnoty, které do ##C## patří. Ve výčtu bychom mohli pokračovat donekonečna."
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 4,
                        "title": "Průnik množin",
                        "content": [
                            {
                                "calculation":
                                    "##(A\\cup{B})=\\{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\\} \\\\ C=\\{2; 3; 4; 5; 6; 7; \\dots \\}##",
                                "explanation":
                                    "Symbol ##\\cap## označuje průnik množin. Výsledná množina bude obsahovat všechny hodnoty, které mají obě množiny společné."
                            },
                            {
                                "calculation":
                                    "##(A\\cup{B})\\cap{C} = \\{ 2; 3; 4; 5\\}##",
                                "explanation":
                                    "Získali jsme výslednou množinu. Znovu si přečteme zadání a ujistíme se, že se opravdu jedná o cíl úlohy. Když se ale pokusíme zaškrtnout odpověď, vidíme že je požadovaný jiný tvar zápisu množiny."
                            },
                            {
                                "calculation":
                                    "##(A\\cup{B})\\cap{C} = \\{ 2; 3; 4; 5\\} = \\{ 2; 3; 4; 5\\}##",
                                "explanation":
                                    "Možných zápisů je mnoho, z  nabízených odpovídá tvar ##\\{1\\lt{x}\\leq5;x\\in\\mathbb{Z}\\}##"
                            }
                        ]
                    }
                ]
            },
            {
                "slug": "S02T01U02",
                "title": "S02T01U02",
                "question":
                    "Určete největší společný dělitel čísel 90;168;210.",
                "maxPoints": 1,
                "type": "options",
                "categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
                "options": [
                    {
                        "name": "opt1",
                        "problem": "##6##"
                    },
                    {
                        "name": "opt2",
                        "problem": "##30##"
                    },
                    {
                        "name": "opt3",
                        "problem": "##15##"
                    },
                    {
                        "name": "opt4",
                        "problem": "##3##"
                    },
                    {
                        "name": "opt5",
                        "problem": "##28##"
                    }
                ],
                "correctAnswer": ["opt1"],
                "solutions": [
                    {
                        "step": 1,
                        "title": "Rozklad čísel na součin prvočísel",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "##D=(168; 90; 210)##",
                                "explanation":
                                    "Největší společný dělitel čísel je největší hodnota, která dělí daná čísla beze zbytku. Nejsnažší způsob je zjistit, která prvočísla jsou děliteli. Každou hodnotu rozdělíme jako součin jeho dělitelů."
                            },
                            {
                                "calculation":
                                    "##\\eqalign{168 &= 2 \\cdot 84 \\\\ &= 2 \\cdot 2 \\cdot 42 \\\\ &=  2 \\cdot 2 \\cdot 2 \\cdot 21 \\\\ &=  2 \\cdot 2 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 7}##",
                                "explanation":
                                    "Pro rozkolad na prvočísla ideálně opakujeme postup, kdy jednu z větších hodnot zapíšeme jako součin dvou čísel a zbytek opíšeme. V prvním kroku není moc na výběr, takže vezmu 168 a zapíši jako ##2 \\cdot 84##. Nyní budu chtít rozložit 84 a tak opíši všechny ostatní hodnoty (nyní jen ta dvojka z minulého kroku) a 84 nahradím za ##2 \\cdot 42##. Opět opsat vše, až na 42 a to nahradit za ##2 \\cdot 21##. V poslením kroku už jen místo ##21## zapíšeme ##3 \\cdot 7. ##"
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 2,
                        "title": "Rozložení ostatních čísel",
                        "content": [
                            {
                                "calculation":
                                    "##\\eqalign{90 &= 3 \\cdot 30 \\\\ &= 3 \\cdot 3 \\cdot 10 \\\\ &=  3 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 5 }##",
                                "explanation":
                                    "Nezáleží, zda se uvede 90 jako ##3 \\cdot 30## nebo ##2\\cdot 45. Ve finále se vždy dostaneme ke stejnému rozkladu. Důležité je, aby součín vždy dával ve výsledku původní hodnotu. Tak si můžete kdykoli rozklad překontrolovat.##"
                            },
                            {
                                "calculation":
                                    "##\\eqalign{210 &= 5 \\cdot 42 \\\\ &= 5 \\cdot 2 \\cdot 21 \\\\ &=  5 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 7 }##",
                                "explanation":
                                    "Pro zjištění, zda je možné nějakou hodnotu vyjádřit jako součin jiných, je dobré znát kritéria dělitelnosti. Pokud se dá hodnota rozdělit na půlky, lze ji dělit ##2##. Pokud končí na 0 nebo 5, lze ji dělit ##5##. Pokud je součet cifer dělitelný třemi, je celá hodnoty dělitelná ##3## (číslo 168 je dělitelné 3, protože součet jeho cifer ##1+6+8=15## a 15 je dělitelné 3)."
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 3,
                        "title": "Určení dělitele",
                        "content": [
                            {
                                "calculation":
                                    "##168 = 2 \\cdot 2 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 7 \\\\ 90 = 3 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 5 \\\\ 210 = 5 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 7##",
                                "explanation":
                                    "Pro určení největšího společného dělitele najdeme ty prvočísla, která se nacházejí ve všech rozkladech. "
                            },
                            {
                                "calculation":
                                    "##D=(168; 90; 210)=2 \\cdot 3 = 6##",
                                "explanation":
                                    "Ve všech rozkladech je obsažena jen ##2## a ##3##. Největší společný dělitel je tedy ##6##. "
                            }
                        ]
                    }
                ]
            },
            {
                "slug": "S02T01U03",
                "title": "S02T01U03",
                "taskText":
                    "Auto jedoucí rychlostí 75 km/hod dojede z místa A do místa B za 40 minut.",
                "question":
                    "Za jak dlouho tam dojede cyklista jedoucí rychlostí 25 km/hod.?",
                "maxPoints": 3,
                "type": "options",
                "categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
                "options": [
                    {
                        "name": "opt1",
                        "problem": "2 hodiny"
                    },
                    {
                        "name": "opt2",
                        "problem": "1 hodinu"
                    },
                    {
                        "name": "opt3",
                        "problem": "mezi 1 a 2 hodinami"
                    },
                    {
                        "name": "opt4",
                        "problem": "méně než hodinu"
                    },
                    {
                        "name": "opt5",
                        "problem": "déle než 2 hodiny"
                    }
                ],
                "correctAnswer": ["opt1"],
                "solutions": [
                    {
                        "step": 1,
                        "title": "Zápis informací ze zadání",
                        "content": [
                            {
                                "calculation":
                                    "Auto: ##v_A=75~{km\\over h};~~ t_A=40~min={40 \\over 60}~h={2 \\over 3}~h ##",
                                "explanation":
                                    "Ze zadání zjistíme rychlost jízdy a dobu po kterou jízda trvala. Jelikož je rychlost v kilometrech za hodinu, je třeba mít i čas ve stejných jednotkách. Proto převedeme minuty na hodiny. Hodina má 60 minut. "
                            },
                            {
                                "calculation":
                                    "##s=v \\cdot t \\\\ s_A=v_A \\cdot t_A = 75~{km\\over h} \\cdot {2 \\over 3}~h = 50~km##",
                                "explanation":
                                    "Po dosazení do vzorce pro výpočet dráhy ##s=v \\cdot v## zjistíme, jak daleko je od sebe cíl a start vzdálen. Vzdálenost bodů A a B je 50km. Auto za 40minut ujede 50km, za jak dlouho tuto vzdálenost ujede cyklista?"
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 2,
                        "title": "Kolo",
                        "content": [
                            {
                                "calculation":
                                    "Kolo: ##v_K=25~{km\\over h};~~ s_K=50~km \\\\ s=v \\cdot t##",
                                "explanation":
                                    "Rychlost kola známe ze zadání. Protože auto i kolo jedou stejnou trasu, je logické, že pokud auto ujelo 50 km, pak i kolo muselo ujet stejnou vzdálenost. Ujetá vzdálenost kola (##s_K##) je tedy také 50 km."
                            },
                            {
                                "calculation":
                                    "##s_K=v_K \\cdot t_K \\\\ 50 km= 25~{km\\over h} \\cdot t_K \\\\ t_K = 2~h##",
                                "explanation":
                                    "Veškeré známé hodnoty dosadíme do vzorce pro výpočet dráhy. Je to stále ten stejný vzorec, jen tentokrát neznáme čas. Před dosazením hodnot si také můžeme vzorec ##s=v \\cdot t## upravit tak, že vyjádříme neznámu ##t##. Tedy ##t=s \\over v## a až nyní dosadíme známé hodnoty. Vždy se ale dopočítáme ke stejnému výsledku. Kolu trvala cesta 2 hodiny, tedy 120 minut."
                            }
                        ]
                    }
                ]
            },
            {
                "slug": "S02T01U04",
                "title": "S02T01U04",
                "question":
                    "Vypočítejte: ##\\left({2\\over5}+{1\\over2}\\right)\\cdot\\left(1{1\\over6}-{1\\over3}\\right)=##.",
                "maxPoints": 1,
                "type": "options",
                "categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
                "options": [
                    {
                        "name": "opt1",
                        "problem": "##3\\over4##"
                    },
                    {
                        "name": "opt2",
                        "problem": "##-{3\\over20}##"
                    },
                    {
                        "name": "opt3",
                        "problem": "##3\\over2##"
                    },
                    {
                        "name": "opt4",
                        "problem": "##-{3\\over5}##"
                    },
                    {
                        "name": "opt5",
                        "problem": "jiná hodnota"
                    }
                ],
                "correctAnswer": ["opt1"],
                "solutions": [
                    {
                        "step": 1,
                        "title": "",
                        "content": [
                            {
                                "calculation":
                                    "##\\eqalign{\\left( {2\\over5}+{1\\over2}\\right)\\cdot\\left(1{1\\over6}-{1\\over3} \\right)&= {{4+5}\\over 10} \\cdot \\left({{7\\over6}-{1\\over3}}\\right) \\\\&= {9\\over10}\\cdot {{7-2}\\over 6} &= {9\\over10} \\cdot {5\\over6}##",
                                "explanation":
                                    "Před roznásobením si jednotlivé závroky trochu upravíme, ideláně do podoby s jedniným zlomkem."
                            },
                            {
                                "calculation":
                                    "##{9\\over10} \\cdot {5\\over6} = {\\cancel{9}^3\\over10} \\cdot {5\\over\\cancel{6}^2}={3\\over\\cancel{10}^2} \\cdot {\\cancel{5}^1\\over2}={3\\over2} \\cdot {1\\over2}={3 \\over4}##",
                                "explanation":
                                    "Před vynásobením zlomků můžeme přistoupit ke krácení. Pozor! Krácení je možné pouze v případě, že je mezi zlomky násobení nebo dělení, ale nelze využít pokud je mezi zlomky + nebo -. "
                            }
                        ]
                    }
                ]
            },
            {
                "slug": "S02T01U05",
                "title": "S02T01U05",
                "question":
                    "Určete neznámou ##x;~x\\in\\mathbb{R};x\\neq\\pm10##, $${{x-10}\\over{5}}:{{x+10}\\over{4}}=(x+10):\\{5\\cdot(x-10)\\}$$",
                "maxPoints": 3,
                "type": "options",
                "categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
                "options": [
                    {
                        "name": "opt1",
                        "problem": "##x_{1,2}={50\\over3}##"
                    },
                    {
                        "name": "opt2",
                        "problem": "##x_1={10\\over3};x_2=30##"
                    },
                    {
                        "name": "opt3",
                        "problem": "##x_{1,2}=-{50\\over3}##"
                    },
                    {
                        "name": "opt4",
                        "problem": "##x_1=10;x_2=90##"
                    },
                    {
                        "name": "opt5",
                        "problem": "jiná hodnota"
                    }
                ],
                "correctAnswer": ["opt2"],
                "solutions": [
                    {
                        "step": 1,
                        "title": "Zjednodušení rovnice",
                        "content": [
                            {
                                "calculation":
                                    "##{{x-10}\\over{5}} \\cdot {{4}\\over{x+10}}={(x+10)\\over {5\\cdot(x-10)}}##",
                                "explanation":
                                    "Levá část rovnice: Pokud máme dva zlomky a operace mezi nimi je dělení, je možné ji změnit za násobení, pokud druhý zlome obrátíme (zaměníme čitatel a jmenovatel). Pravou část jen přepíšeme do zlomku."
                            },
                            {
                                "calculation":
                                    "##|~ \\cdot 5 \\cdot (x-10) \\cdot (x+10)##",
                                "explanation":
                                    "Obě strany rovnice vynásobíme výrazem z jmenovatelů tak, abychom zajistili odstranení všech zlomků. Kvůli prvnímu zlomku, musíme násobit pětkou, kvůli druhému ##(x+10)##, kvůli třetímu ##(x-10)## (pětkou již násobíme z prvního zlomku)."
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 2,
                        "title": "Zbavení se zlomků",
                        "content": [
                            {
                                "calculation":
                                    "##{{x-10}\\over\\cancel{5}} \\cdot {{4}\\over{x+10}} \\cdot 5 \\cdot (x-10) \\cdot (x+10)={{(x+10)\\over {5\\cdot(x-10)}} \\cdot 5 \\cdot (x-10) \\cdot (x+10)}##",
                                "explanation":
                                    "Násobíme obě strany rovnice, tak zajistíme že bude stále zachována rovnost. Jelikož stejné úpravy se konají na obou stranách."
                            },
                            {
                                "calculation":
                                    "{{x-10}\\over\\cancel{5}} \\cdot {{4}\\over\\cancel{x+10}} \\cdot \\cancel5 \\cdot (x-10) \\cdot \\cancel{(x+10)}={{(x+10)\\over {\\cancel{5}\\cdot\\cancel{(x-10)}}} \\cdot \\cancel{5} \\cdot \\cancel{(x-10)} \\cdot (x+10)}",
                                "explanation":
                                    "Pokud máme něco vydělit výrazem a pak znovu stejným výrazem vynásobit, dostaneme stejný výsledek, jako kdybychom neudělali nic. Tak proč to dělat? Tyto zbytečné operace jsme si tedy vyškrtli."
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 3,
                        "title": "Úpravy rovnice",
                        "content": [
                            {
                                "calculation":
                                    "##4 \\cdot (x-10) \\cdot (x-10) = (x+10) \\cdot (x+10) \\\\ 4 \\cdot (x-10)^2 = (x+10)^2##",
                                "explanation":
                                    "Sepíšeme co zůstalo a jelikož již není co upravovat, roznásobíme závorky. Při roznásobování můžeme použít vzorců ##(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2## a  ##(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2## nebo klasického zdlouhavého roznásobování závorek."
                            },
                            {
                                "calculation":
                                    "##\\eqalign{4 \\cdot (x^2 - 20x+10^2) &= x^2 + 20x+10^2 \\\\  4\\cdot (x^2 - 20x+100) &= x^2 + 20x+100  \\\\ 4x^2-80x+400 &= x^2+20x+100 \\\\ 3x^2-100x+300&=0}##",
                                "explanation":
                                    "Postupně upravíme rovnici tak, aby na jedné straně zůstala nula. Na konci nám zůstává kvadratická rovnice ##3x^2-100x+300=0.##"
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 4,
                        "title": "Kvadratická rovnice",
                        "content": [
                            {
                                "calculation":
                                    "##D=b^2-4ac=(-100)^2-4 \\cdot 3 \\cdot 300 = 6400 \\\\ \\sqrt{D}=\\sqrt{6400}=80##",
                                "explanation":
                                    "Pro výpočet kvadratické rovnice používáme dva vzorce ##D=b^2-4ac##. V obou vzorcích se používají písmenka ##a, b, c##. Kde ##a## je číselná hodnota před ##x^2##, ##b## je číslo před ##x## a ##c## je čísloce bez neznámé v kvadratické rovnici ##ax^2+bx+c=0##. Z toho plyne, že do vzorečků dosadíme ##a=3;~b=-100;~c=300##. Pokud by D vyšlo jako záporná hodnota, nelze v oboru ##\\mathbb{R}## počítat odmocninu. V takovém případě nemá kvadratická rovnice v množině reálných čísel řešení."
                            },
                            {
                                "calculation":
                                    "##\\eqalign{x_1,x_2 &= {{-b \\pm \\sqrt{D}}\\over 2a} \\\\ &= {{100 \\pm 80}\\over{2 \\cdot 3}} \\\\ &={{100 \\pm 80}\\over{6}} }##",
                                "explanation":
                                    "Pro výpočet kořenů kvadratické rovnice použijeme druhý z avizovaných vzorců za použití ##a, b, c##. Pokud by mělo D hodnotu 0, má kvadratická rovnice jeden dvojnásobný kořen. Nyni je D kladná hodnota, získáme tedy dva kořeny ##x_1, x_2.##"
                            },
                            {
                                "calculation":
                                    "##\\eqalign{x_1,x_2 &= {{100 + 80}\\over{6}}=30 \\\\ &={{100 - 80}\\over{6}}={20 \\over 6} = {10 \\over 3}  }##",
                                "explanation":
                                    "Když si projdeme posup výpočtu, můžeme stanovit, které hodnoty se za neznámou nesmí zadávat. V předchozích krocích se vyskytovaly zlomky s jmenovatelem ##(x-10)## nebo ##(x+10)##. Protože nikdy nesmíme dělit nulou, nesmí tyto závorky nikdy nabít této hodnoty. Tomu se vyhneme, pokud ##x \\neq \\pm 10##."
                            },
                            {
                                "calculation": "##K=\\{ 30; {10 \\over 3}\\}##",
                                "explanation":
                                    "Rovnice má dvě přípustná řešení."
                            }
                        ]
                    }
                ]
            },
            {
                "slug": "S02T01U06",
                "title": "S02T01U06",
                "taskText":
                    "V rovnosti mnohočlenů ##(2-3x)\\cdot(2+5a)=24x-16## je ##a## reálné číslo.",
                "question": "Určete hodnotu čísla ##a##.",
                "maxPoints": 2,
                "type": "options",
                "categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
                "options": [
                    {
                        "name": "opt1",
                        "problem": "##a=-1##"
                    },
                    {
                        "name": "opt2",
                        "problem": "##a=1##"
                    },
                    {
                        "name": "opt3",
                        "problem": "##a=2##"
                    },
                    {
                        "name": "opt4",
                        "problem": "##a=-2##"
                    },
                    {
                        "name": "opt5",
                        "problem": "jiná hodnota"
                    }
                ],
                "correctAnswer": ["opt4"],
                "solutions": [
                    {
                        "step": 1,
                        "title": "Roznásobení",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "##(2-3x)\\cdot(2+5a)=24x-16##",
                                "explanation":
                                    "Roznásobíme závorky. Při roznásobení dvou závorek je třeba vynásobit každý člen první závorky se všemi členy druhé."
                            },
                            {
                                "calculation": "##4+10a-6x-15ax=24x-16##",
                                "explanation":
                                    "Vezmeme tedy ##2## a vynásobíme postupně s každou hodnotou z druhé závorky. Dostaneme tak ##4+10a##. Stejný postup aplikujeme na výraz ##-3x##, který vysobíme s každým členem druhé závorky a dostaneme tak ##-6x-15ax##."
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 2,
                        "title": "Rozepsání",
                        "content": [
                            {
                                "calculation":
                                    "Bez neznámé: ##\\eqalign{4+10a &= -16 \\\\ 10a &= -20 \\\\ a &= -2}##",
                                "explanation":
                                    "Jedná se o rovnici. Součet hodnot na levé straně rovnice musí dát stejný výsledek, jako součet odpovídajících hodnot na pravé straně. Samozřejmě není možné sčítat jablka a hrušky, takže sčítáme vždy hodnoty, které mají stejné neznámé a se stejným exponentem. Rozepíšeme si zvlášť hodnoty bez neznámé a s neznámou ##x##. "
                            },
                            {
                                "calculation":
                                    "Neznámá x: ##\\eqalign{-6x-15ax &= 24x \\\\ -15ax &= -30x \\\\ a &= -2}##",
                                "explanation":
                                    "Toto je druhý možný postup výpočtu. Pokud bychom si z rovnice vybrali jen hodnoty s neznámou ##x##, dopátráme se stejného výsledku pro reálné číslo ##a## ajko v předcházejícím odstavci. "
                            }
                        ]
                    }
                ]
            },
            {
                "slug": "S02T01U07",
                "title": "S02T01U07",
                "taskText": "Hodnota výrazu ##m+n-{4mn\\over{m+n}}##",
                "question": "je pro ##m=-{1\\over2},n=-{2\\over3}## rovna :",
                "maxPoints": 1,
                "type": "options",
                "categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
                "options": [
                    {
                        "name": "opt1",
                        "problem": "##-7\\over6##"
                    },
                    {
                        "name": "opt2",
                        "problem": "##-4\\over3##"
                    },
                    {
                        "name": "opt3",
                        "problem": "##-1\\over7##"
                    },
                    {
                        "name": "opt4",
                        "problem": "##-1\\over42##"
                    },
                    {
                        "name": "opt5",
                        "problem": "žádná z uvedených možností"
                    }
                ],
                "correctAnswer": ["opt4"],
                "solutions": [
                    {
                        "step": 1,
                        "title": "Kalkulačka",
                        "content": [
                            {
                                "calculation":
                                    "##\\eqalign{m+n-{4mn\\over{m+n}} &= \\left(-{1 \\over 2}\\right)+\\left(-{2 \\over 3}\\right)-{4\\left(-{1 \\over 2}\\right)\\left(-{2 \\over 3}\\right)\\over{\\left(-{1 \\over 2}\\right)+\\left(-{2 \\over 3}\\right)}}}##",
                                "explanation":
                                    "V zadání se po nás nevyžaduje žádná úprava, pouze zjistit výsledek výrazu po zadání číselných hodnot za proměnné ##m## a ##n##. Nic nám tedy nebrání nacvakat vše do kalkulačky a počkat si na výsledek. Na většině moderních kalkulaček existuje režim pro počítání zlomků. Lze tam celý příklad jen opsat. "
                            },
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation":
                                    "Velmi často se ale i při takovémto cvakání udělá chyba v přecvaku, zapomenuté nutné závorce nebo znaménku. Zkuste si to. Neuškodí ani zkusit se cvičně dopočítat ke správnému výsledku jako procvičení práce se zlomky. "
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 2,
                        "title": "Úprava",
                        "content": [
                            {
                                "calculation":
                                    "##m+n-{4mn\\over{m+n}} = \\left(-{1 \\over 2}\\right)+\\left(-{2 \\over 3}\\right)-{4\\cdot{1 \\over 2}\\cdot{2 \\over 3}\\over{\\left(-{1 \\over 2}\\right)+\\left(-{2 \\over 3}\\right)}}=##",
                                "explanation":
                                    "Pokud nemáte nejmodernější kalkulačku, neb si chcete výsledek ověřit početně, neuškodí pár menších úprav. Jako první se nabízí redukce některých znamének. Pokud NÁSOBÍTE dvě záporná čísla, mínuska se navzájem vyruší a výsledek je kladný. K takové situaci dochází v horní části zlomku. Protože se mínuska vyruší, nemusíme je tedy nadále psát. A když už není mínus, nejsou třeba ani závorky, jelikož nyní se nám vedle sebe nenachází dvě znaménka (krát se občas nezapisuje, ale je tam). Toto lze provést jen u násobení nebo dělení, není možné jej tedy nyní upplatnit i na jiných částech příkladu. "
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 3,
                        "title": "Sčítání zlomů",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation":
                                    "Dvakrát se nám tam vyskytuje sčítání zlomů ##\\left(-{1 \\over 2}\\right)+\\left(-{2 \\over 3}\\right)##, takže je na čase součet provést. Při sčítání zlomů je třeba určit společný jmenovatel. To je honota, která půjde dělit všemi jmenovateli. Nyní máme ve jmenovateli 2 a 3 a nejmenší číslo, které je dělitelné oběma je ##2\\cdot3 = 6##. Společným jmenovatelem je 6."
                            },
                            {
                                "calculation":
                                    "## = \\left({{-1 \\cdot 3 + (-2) \\cdot 2} \\over 6 }\\right)-{4\\cdot{1 \\over 2}\\cdot{2 \\over 3}\\over{\\left(-{1 \\over 2}\\right)+\\left(-{2 \\over 3}\\right)} =}##",
                                "explanation":
                                    "Dvakrát se nám tam vyskytuje sčítání zlomů ##\\left(-{1 \\over 2}\\right)+\\left(-{2 \\over 3}\\right)##, takže je na čase součet provést. Při sčítání zlomků je třeba určit společný jmenovatel. To je honota, která půjde dělit všemi jmenovateli. Nyní máme ve jmenovateli 2 a 3 a nejmenší číslo, které je dělitelné oběma je ##2\\cdot3 = 6##. Společným jmenovatelem je 6. Když tedy zlomky zapíšeme se stejným jmenovatelem (vespod 6), musíme určit čím se bude násobit původní horní hodnota. Vypočteme tedy 6 děleno 2 (jmenovatel původního zlomku) a výsledkem vynásobíme čítatel původního zlomku. Opíšeme znaménku nezi zlomky a opět 6 děleno 3 je 2 a tím násobíme čitatel druhého zlomku. ##\\left({{-1 \\cdot 3 + (-2) \\cdot 2} \\over 6 }\\right)## "
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 4,
                        "title": "Krácení",
                        "content": [
                            {
                                "calculation":
                                    "##\\eqalign{ &= {{-3-4} \\over 6 }-{4\\cdot{1 \\over 2}\\cdot{2 \\over 3}\\over{{-3-4} \\over 6 }} \\\\ &={-7 \\over 6 }- {{4 \\over 1}\\cdot{1 \\over 2}\\cdot{2 \\over 3}\\over{-7 \\over 6 }} =} ##",
                                "explanation":
                                    "Dokončíme sečtení zlomků s výsledkem ##{-7 \\over 6 }##. Kromě toho si můžete všimnout, že jsme číslo ##4## také zapsali jako zlomek. Jakákoliv číslice se dá napsat jako zlomek se jmenovatelem 1. Je to kvůli větší přehlednosti při budoucím násobení."
                            },
                            {
                                "calculation":
                                    "&= {-7 \\over 6 }- {{4 \\over 1}\\cdot{1 \\over \\cancel{2}^1}\\cdot{\\cancel{2}^1 \\over 3}\\over{-7 \\over 6 } =}",
                                "explanation":
                                    "Zaměříme se na čitatel většího zlomku, kde máme nyní násobení tří zlomků. Před násobením můžeme provést krácení a to pouze 'do kříže' (horní číslice jednoho zlomku se spodní jiného) a nebo 'pod sebou' (hodnoty ve stejném zlomku). Nyní se nám zkrátily dvojky a místo nich se zde budou nacházet jedničky. Krácení je vlastně dělení a když provedete 2:2, dostanete přece 1."
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 5,
                        "title": "Krácení",
                        "content": [
                            {
                                "calculation":
                                    "##\\eqalign{ &= {-7 \\over 6 }- {{4 \\over 1}\\cdot{1 \\over 1}\\cdot{1 \\over 3}\\over{-7 \\over 6 }} &= {-7 \\over 6 }- {{4 \\over 3}\\over{-7 \\over 6 }} = } ##",
                                "explanation":
                                    "Provedeme násobení zlomků v čitateli. Sice se zápis jeví jako 3 nezávislé zlomky, ale je to stejný zápis, jako kdybychom zlomkovou čáru protáhli a vytvořili tak jediný zlomek. Jedná se totiž o jediný prvek. Podobně bychom mohli napsat číslo 6 jako 2*3 ale pořád je to stejný prvek, jen jinak zapsaný."
                            },
                            {
                                "calculation":
                                    "\\eqalign{ &= {-7 \\over 6 } - ({4 \\over 3})\\cdot (-{6 \\over 7 }) &=  ",
                                "explanation":
                                    "Získali jsme složený zlomek, tedy jeden velký zlomek, jehož čitatel i jmenovatel jsou další zlomky. Na první pohled to vypadá děsivě, ale nebojte, stačí si uvědomit, že zlomková čára je vlastně dělení. Pokud dělíme dva zlomky, můžeme dělení zaměnit za násobení, pokud druhý zlomek převrátíme. $${{4 \\over 3}\\over{-7 \\over 6 }} = {4 \\over 3}:{-7 \\over 6 }={4 \\over 3}:(-{7 \\over 6 }) = {4 \\over 3}\\cdot (-{6 \\over 7 })$$"
                            },
                            {
                                "calculation":
                                    "\\eqalign{ &= {-7 \\over 6} - ({4 \\over \\cancel{3}^1})\\cdot (-{\\cancel{6}^2 \\over 7 }) &= {-7 \\over 6} - ({4 \\over 1})\\cdot (-{2 \\over 7})&= {-7 \\over 6} - ({8 \\over 7}) &=  {{-49+48} \\over 42} &= {-1} \\over 42 }##",
                                "explanation":
                                    " Vidíme dva prvky oddělené znaménkem -, prvním prvkem je zlomek ##{-7 \\over 6}##. Ve druhém prvku se nachází opět násobení dvou zlomků, takže můžeme krátit a pak zbývající hodnoty vynásobit. Dostáváme se k tak už téměř nakonec a to k rozdílu dvou zlomků ##{-7 \\over 6} - ({8 \\over 7})##. Při odečítání musíme znovu určit společný jmenovatel ##6 \\cdot 7 = 42##. "
                            }
                        ]
                    }
                ]
            },
            {
                "slug": "S02T01U08",
                "title": "S02T01U08",
                "taskText":
                    "Chceme zhotovit kartonovou krabici tvaru čtyřbokého hranolu s kosočtvercovou podstavou. Kosočtverec má mít stranu délky 5 cm a jednu úhlopříčku o délce 8 cm. Výška krabice má být 12 cm.Krabice bde nahoře otevřená.",
                "question":
                    "Kolik ##m^2## kartonu budeme potřebovat, jestliže počítáme na překrytí a spoje 5 kartonu?",
                "maxPoints": 2,
                "type": "options",
                "categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
                "options": [
                    {
                        "name": "opt1",
                        "problem": "##264cm^2##"
                    },
                    {
                        "name": "opt2",
                        "problem": "##277cm^2##"
                    },
                    {
                        "name": "opt3",
                        "problem": "##302cm^2##"
                    },
                    {
                        "name": "opt4",
                        "problem": "##288cm^2##"
                    },
                    {
                        "name": "opt5",
                        "problem": "jiná hodnota "
                    }
                ],
                "correctAnswer": ["opt2"],
                "solutions": [
                    {
                        "step": 1,
                        "title": "",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            },
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 2,
                        "title": "",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            },
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            }
                        ]
                    }
                ]
            },
            {
                "slug": "S02T01U09",
                "title": "S02T01U09",
                "question":
                    "Zkraťte lomený výraz : $${{ax+ay-bx-by}\\over{ax-ay-bx+by}}~~~~~=$$",
                "maxPoints": 2,
                "type": "options",
                "categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
                "options": [
                    {
                        "name": "opt1",
                        "problem": "##1##"
                    },
                    {
                        "name": "opt2",
                        "problem": "##{x-y}\\over{x+y}##"
                    },
                    {
                        "name": "opt3",
                        "problem": "##-1##"
                    },
                    {
                        "name": "opt4",
                        "problem": "##{x+y}\\over{x-y}##"
                    },
                    {
                        "name": "opt5",
                        "problem": "jiná hodnota "
                    }
                ],
                "correctAnswer": ["opt4"],
                "solutions": [
                    {
                        "step": 1,
                        "title": "Vzorečky vs vytýkání",
                        "content": [
                            {
                                "calculation":
                                    "Zadání: ##{{ax+ay-bx-by}\\over{ax-ay-bx+by}} ##",
                                "explanation":
                                    "Při upravování výrazů si nejprve musíme odpovědět na otázky 1) je tam použit vzorec?? 2) dá se něco vytknout? Pokud na některou otázku odpovíme že ano, provedeme příslušné úpravy a postup opakujeme. Všichni bychom měli znát základní vzorce. Pokud si je nepamatujete, máte u sebe tabulky ale jak je pak chcete rozeznat v příkladu? Vzorce si zapamatujte a naučte se je používat, narazíte na ně všude."
                            },
                            {
                                "calculation":
                                    "vzorečky: ##\\eqalign{ (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2 \\\\  (a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2 \\\\ (a+b) \\cdot (a-b) &= a^2-b^2 }##",
                                "explanation":
                                    "Když se koukneme na zadání, není tam žádná závorka co by se umocňovala, ale násobení závorek a ani žádné umocněné neznámé. Nelze tedy upravovat podle vzorců zleva doprava (od součinu závorek k rozkladu) ani zprava doleva. Všechny vzorce tedy můžeme vyloučit. "
                            },
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation":
                                    "Dalším krokem je vytýkání. Pokud nějaké výrazy obsahují stejné hodnoty nebo neznámé, lze tyto společné prvky vytknout. Např. ##6xa - 3ba## mají společnou ##3## a neznámou ##a##. Tyto společné prvky tedy zapíšeme před závorku a dovnitř závorky uvádíme výraz, který zůstane po vydělení původní hodnoty tou společnou. Např. ##6xa~/~3a = 2x## a ##-3ba~/~3a=-1b##. Proto bychom vytýkání zapsali jako ##3a \\cdot ( 2x-1b)##.  "
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 2,
                        "title": "Vytýkání",
                        "content": [
                            {
                                "calculation":
                                    "##\\eqalign{{{ax+ay-bx-by}\\over{ax-ay-bx+by}} &= {{a(x+y)+b(-x-y)}\\over{a(x-y)+b(-x+y)}} \\\\ &= {{a(x+y)-b(x+y)}\\over{a(x-y)-b(x-y)}} = }##",
                                "explanation":
                                    "V čitateli i jmenovati obsahují první dva prvky neznámou ##a## a druhé dva ##b##. Vytkneme tyto společné prvky. "
                            },
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation":
                                    "V čitateli nám v jedné závorce zůstaly dvě znamínka -. Místo ##b## jsme mohli vytknout ##-b## a tak by jsme v obou závorkách v čitateli získali stejný výraz. Podobně ve jmenovateli, kdybychom vytkli ##-b##, dostaneme i zde stejné závorky. Upravíme vytkutí v obou případech na ##-b##, což je vlastně dodatečné vytknutí -1. "
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 3,
                        "title": "Vytýkání závorky",
                        "content": [
                            {
                                "calculation":
                                    "##\\eqalign{ &= {a(x+y)-b(x+y)}\\over{a(x-y)-b(x-y)} \\\\ &= [~{a(x+y)~]~~[~-b(x+y)}~]\\over{a(x-y)-b(x-y)} = }##",
                                "explanation":
                                    "V čitateli (ve zlomku nahoře) jsou nyní dva výrazy, oddělené mínusem. Pro přehlednost jsme každý z nich obalila hranatou závorkou. Když se na tyto dva výrazy podíváme, opět mají něco společného a to je závorka ##(x+y)##. Nyní tedy vytkneme ji z obou výrazů. Zapíšeme společný prvek ##(x+y) \\cdot ( \\cdot ). Co zůstane uvnitř závorky zjistíme dělení původního výrazu se společnou částí. ##a(x+y)~/~ (x+y)=a##; ##-b(x+y)~/~ (x+y)=-b##  "
                            },
                            {
                                "calculation":
                                    "##\\eqalign{ &= {(x+y)(a-b)}\\over{(x-y)(a-b)} \\\\ &= {(x+y)\\cancel{(a-b)}}\\over{(x-y)\\cancel{(a-b)}} \\\\ &= {(x+y)} \\over {(x-y)} }##",
                                "explanation":
                                    "Stejně jako v čitateli, i ve jmenovateli je v obou výrazech společná závorka ##(x-y)##, kterou vytkneme. Získáváme tak v čitateli i jmenovateli součin dvou závorek. Provedeme krácení a získáváme výsledek. "
                            },
                            {
                                "calculation": "##x \\ neq y;~~a\\neq b##",
                                "explanation":
                                    "Dělení nulou je zakázané, tak jak zamezíme, aby se kdykoli vyskytla ve jmenovateli nula? Ve výsledku je ve jmenovateli výraz ##x-y##. Nulu získáme, pokud od sebe budeme odečítat stejné honoty, proto ##x## nesmí být stejné jako ##y##, proto podmínka ##x \\ neq y##.  Podobně v předposledním kroku máme ve jmenovateli ##(x-y)(a-b)##. Pokud by kterákoliv ze závorek měla hodnotu nula, je celý jmenovatel nulový( 0 * cokoliv je nula). Jedné závorce už jsme možnost dostat nulu zakázali, totéž uděláme s ##(a-b)## podmínkou ##a \\neq b##. "
                            }
                        ]
                    }
                ]
            },
            {
                "slug": "S02T01U10",
                "title": "S02T01U10",
                "question":
                    "Řešte rovnici v ##\\mathbb{R}## :$$\\log_2^2x-\\log_2x-2=0$$",
                "maxPoints": 2,
                "type": "options",
                "categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
                "options": [
                    {
                        "name": "opt1",
                        "problem": "##1;2##"
                    },
                    {
                        "name": "opt2",
                        "problem": "##2;4##"
                    },
                    {
                        "name": "opt3",
                        "problem": "##-1;2##"
                    },
                    {
                        "name": "opt4",
                        "problem": "##1\\over2;4##"
                    },
                    {
                        "name": "opt5",
                        "problem": "##-4;2##"
                    }
                ],
                "correctAnswer": ["opt4"],
                "solutions": [
                    {
                        "step": 1,
                        "title": "Substituce",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "##\\log_2^2x-\\log_2x-2=0##",
                                "explanation":
                                    "Prní, co by vás mělo na tomto zadání zaujmout, je fakt, že jeden logaritmus je umocněný, jeden není a u posledního výrazu není vůbec. Nepřipomíná vám to něco? Co takhle strukturu kvadratické rovnice?"
                            },
                            {
                                "calculation":
                                    "##substituce~~~log_2x=y \\\\ y^2-y-2=0##",
                                "explanation":
                                    "Aby byla zmíněná kvadratická rovnice viditelnější, uděláme substituci. Neboli jen pro naše očka si nahradíme výraz ##log_2x## za ##y##. Provedeme tedy substituci ##log_2x=y##. Pozor!! Pamatujte si, že cílem je zjistit hodnotu ##x## a nikoliv ##y##, proto se sem musíme později vrátit."
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 2,
                        "title": "Kvadratická rovnice",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "##y^2-y-2=0##",
                                "explanation":
                                    "Toto už více připomíná kvadratickou rovnici, kterou umíme řešit za použití vzorců. ##D=b^2-4ac;~~x_1, x_2 = {-b \\pm \\sqrt{D}}\\over {2a} ## kde uvedená písmenka pochází z univerzálního tvaru kvadratické rovnice ##ax^2+bx+c=0## z čehož poznáme, že ##a## je číslo před umocněnou neznámou, ##b## je číslo před neznámou a ##c## je samostatně stojící honota. "
                            },
                            {
                                "calculation": "##a=1,~b=-1,~c=-2",
                                "explanation":
                                    "Vypíšeme si zvlášť písmenka do vzorečků ať nikde neuděláme zbytečnou chybu a dosadíme."
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 2,
                        "title": "Dosazení do vzorců",
                        "content": [
                            {
                                "calculation":
                                    "##\\eqalign{D&=b^2-4ac \\\\ &= (-1)^2-4\\cdot 1\\cdot(-2) \\\\ &=  1+8 \\\\ &=9}##",
                                "explanation": ""
                            },
                            {
                                "calculation": "##a=1,~b=-1,~c=-2 \\\\ ##",
                                "explanation":
                                    "Vypíšeme si zvlášť písmenka do vzorečků ať nikde neuděláme zbytečnou chybu a dosadíme. "
                            }
                        ]
                    }
                ]
            },
            {
                "slug": "S02T01U11",
                "title": "S02T01U11",
                "question":
                    "Vypočítejte :$$\\log_5{1\\over25}-3\\cdot\\log_{1\\over2}{1\\over64}=$$",
                "maxPoints": 1,
                "type": "options",
                "categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
                "options": [
                    {
                        "name": "opt1",
                        "problem": "##-20##"
                    },
                    {
                        "name": "opt2",
                        "problem": "##2##"
                    },
                    {
                        "name": "opt3",
                        "problem": "##-2##"
                    },
                    {
                        "name": "opt4",
                        "problem": "##-16##"
                    },
                    {
                        "name": "opt5",
                        "problem": "jiná hodnota"
                    }
                ],
                "correctAnswer": ["opt1"],
                "solutions": [
                    {
                        "step": 1,
                        "title": "",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            },
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 2,
                        "title": "",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            },
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            }
                        ]
                    }
                ]
            },
            {
                "slug": "S02T01U12",
                "title": "S02T01U12",
                "question":
                    "Vypočítejte: ##2x\\cdot(8x+5)-4\\cdot(2x-3)\\cdot(3+2x)\\lt=-{8\\over2}##",
                "maxPoints": 2,
                "type": "options",
                "categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
                "options": [
                    {
                        "name": "opt1",
                        "problem": "##x\\in\\langle-4;\\infty)##"
                    },
                    {
                        "name": "opt2",
                        "problem": "##x\\in(-\\infty;-{1\\over4}\\rangle##"
                    },
                    {
                        "name": "opt3",
                        "problem": "##x\\in(-{1\\over4};{\\infty}\\rangle##"
                    },
                    {
                        "name": "opt4",
                        "problem": "##x\\in(-\\infty;-4\\rangle##"
                    },
                    {
                        "name": "opt5",
                        "problem": "jiný interval"
                    }
                ],
                "correctAnswer": ["opt4"],
                "solutions": [
                    {
                        "step": 1,
                        "title": "",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            },
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 2,
                        "title": "",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            },
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            }
                        ]
                    }
                ]
            },
            {
                "slug": "S02T01U13",
                "title": "S01T02U13",
                "taskText":
                    "Jsou dány rovnice přímek, na kterých leží strany trojúhelníka ABC: $$a:x-2y-6=0$$; $$b:7x+6y-42=0$$; $$c:x+2y-14=0$$. (Zadání je stejné i pro další úkol)",
                "question": "Určete rovnici přímky, na které leží ##v_c##.",
                "maxPoints": "3",
                "type": "options",
                "categories": ["5a8a0688bf5e07c5af6d5fbd"],
                "correctAnswer": "opt5",
                "options": [
                    {
                        "name": "opt1",
                        "problem": "##x-y-6=0##"
                    },
                    {
                        "name": "opt2",
                        "problem": "##x-y+6=0##"
                    },
                    {
                        "name": "opt3",
                        "problem": "##2x+y-12=0##"
                    },
                    {
                        "name": "opt4",
                        "problem": "##x-2y+6=0##"
                    },
                    {
                        "name": "opt5",
                        "problem": "##2x-y-12=0##"
                    }
                ],
                "solutions": [
                    {
                        "step": 1,
                        "title": "",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            },
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 2,
                        "title": "",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            },
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            }
                        ]
                    }
                ]
            },
            {
                "slug": "S02T01U14",
                "title": "S01T02U14",
                "taskText":
                    "Jsou dány rovnice přímek, na kterých leží strany trojúhelníka ABC: $$a:x-2y-6=0$$; $$b:7x+6y-42=0$$; $$c:x+2y-14=0$$.",
                "question": "Určete souřadnici vrcholu C trojúhelníku.",
                "maxPoints": "2",
                "type": "options",
                "categories": ["5a8a0680bf5e07c5af6d5fbc"],
                "correctAnswer": "opt5",
                "options": [
                    {
                        "name": "opt1",
                        "problem": "C[-2;0]"
                    },
                    {
                        "name": "opt2",
                        "problem": "C[6;0]"
                    },
                    {
                        "name": "opt3",
                        "problem": "C[3;2]"
                    },
                    {
                        "name": "opt4",
                        "problem": "C[0;-1]"
                    },
                    {
                        "name": "opt5",
                        "problem": "C[0;-2]"
                    }
                ],
                "solutions": [
                    {
                        "step": 1,
                        "title": "",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            },
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 2,
                        "title": "",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            },
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            }
                        ]
                    }
                ]
            },
            {
                "slug": "S02T01U15",
                "title": "S02T01U15",
                "taskText":
                    "Mezi čísla ##3\\over2## a ##8\\over27## vložte tři čísla tak, aby s danými tvořila geometrickou posloupnost.",
                "question": "Jaký je kvocient ##q## této posloupnosti?.",
                "maxPoints": "3",
                "type": "options",
                "categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
                "options": [
                    {
                        "name": "opt1",
                        "problem": "##q={4\\over3}##"
                    },
                    {
                        "name": "opt2",
                        "problem": "##q={1\\over3}##"
                    },
                    {
                        "name": "opt3",
                        "problem": "##q={2\\over3}##"
                    },
                    {
                        "name": "opt4",
                        "problem": "##q={3\\over4}##"
                    },
                    {
                        "name": "opt5",
                        "problem": "jiná hodnota"
                    }
                ],
                "correctAnswer": ["opt2"],
                "solutions": [{}]
            },
            {
                "slug": "S02T01U16",
                "title": "S02T01U16",
                "question":
                    "Určete součet všech přirozených dvojciferných čísel, která při dělení čtyřmi dávají zbytek 1.",
                "maxPoints": 2,
                "type": "options",
                "categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
                "options": [
                    {
                        "name": "opt1",
                        "problem": "##1210##"
                    },
                    {
                        "name": "opt2",
                        "problem": "##1265##"
                    },
                    {
                        "name": "opt3",
                        "problem": "##1155##"
                    },
                    {
                        "name": "opt4",
                        "problem": "##1100##"
                    },
                    {
                        "name": "opt5",
                        "problem": "jiná hodnota"
                    }
                ],
                "correctAnswer": ["opt1"],
                "solutions": [
                    {
                        "step": 1,
                        "title": "",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            },
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 2,
                        "title": "",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            },
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            }
                        ]
                    }
                ]
            },
            {
                "slug": "S02T01U17",
                "title": "S02T01U17",
                "taskText":
                    "Hokejové družstvo má 20 hráčů, a to 13 útočníků, 5 obránců a 2 brankáře.",
                "question":
                    "Kolik různých sestav může trenér vytvořit?(Sestava má 3 útočníky, 2 obránce a 1 brankáře).",
                "maxPoints": 1,
                "type": "options",
                "categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
                "options": [
                    {
                        "name": "opt1",
                        "problem": "##298##"
                    },
                    {
                        "name": "opt2",
                        "problem": "##1716##"
                    },
                    {
                        "name": "opt3",
                        "problem": "##5720##"
                    },
                    {
                        "name": "opt4",
                        "problem": "##2682##"
                    },
                    {
                        "name": "opt5",
                        "problem": "jiná hodnota"
                    }
                ],
                "correctAnswer": ["opt3"],
                "solutions": [{}]
            },
            {
                "slug": "S02T01U18",
                "title": "S02T01U18",
                "taskText":
                    "Máme k dispozici 36 dobrých výrobků a 4 zmetky. Vybereme namátkou 9 výrobků. Která tvrzení jsou pravdivá?",
                "maxPoints": 3,
                "partPoints": [0, 0, 1, 2, 3],
                "type": "yes-no",
                "categories": ["5a8a06e4bf5e07c5af6d5fbe"],
                "options": [
                    {
                        "name": "opt1",
                        "problem": "PMáme  % šanci, že nevybereme žádný zmetek."
                    },
                    {
                        "name": "opt2",
                        "problem": "Máme  % šanci, že nevybereme žádný zmetek."
                    },
                    { "name": "opt3", "problem": "##f_3:y=-{1\\over3}x^2-3##" },
                    { "name": "opt4", "problem": "##f_4:x-3y=0##" }
                ],
                "correctAnswer": [
                    { "name": "opt1", "correct": true },
                    { "name": "opt2", "correct": false },
                    { "name": "opt3", "correct": true },
                    { "name": "opt1", "correct": true }
                ],
                "solutions": [
                    {
                        "step": 1,
                        "title": "",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            },
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 2,
                        "title": "",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            },
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            }
                        ]
                    }
                ]
            },
            {
                "slug": "S02T01U19",
                "title": "S02T01U19",
                "taskText":
                    "Řešte v ##\\mathbb{R}## rovnici. Zapiště pouze výslednou hodnotu. ",
                "question": "$${{5x-4}\\over{2}}-{{16x+1}\\over 1}=0$$",
                "maxPoints": 1,
                "type": "write",
                "correctAnswer": ["10"],
                "solutions": [{}]
            },
            {
                "slug": "S02T01U20",
                "title": "S02T01U20",
                "taskText": "Z výrazu vyjádřete proměnnou ##l##.",
                "question": "##T=2\\pi\\sqrt{l\\overg}##",
                "maxPoints": 2,
                "type": "options",
                "categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
                "options": [
                    {
                        "name": "opt1",
                        "problem": "##l={\\pi^2\\over{4T^2g}}##"
                    },
                    {
                        "name": "opt2",
                        "problem": "##l={T^2\\over{2g\\pi^2}}##"
                    },
                    {
                        "name": "opt3",
                        "problem": "##l={Tg\\over{2\\pi^2}}##"
                    },
                    {
                        "name": "opt4",
                        "problem": "##l={T^2g\\over{4\\pi^2}}##"
                    },
                    {
                        "name": "opt5",
                        "problem": "##l={\\pi\\over{T^2g}}##"
                    }
                ],
                "correctAnswer": ["opt4"],
                "solutions": [
                    {
                        "step": 1,
                        "title": "",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            },
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 2,
                        "title": "",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            },
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            }
                        ]
                    }
                ]
            },
            {
                "slug": "S02T01U21",
                "title": "S02T01U21",
                "taskText":
                    "Vlak má 18 vagónů a je tažený lokomotivou vážící 12 tun.",
                "question":
                    "Kolik váží vlak, jestliže prázdný vagón váží 7 tun a na polovině vagónů po 9 tunách nákladu, na každém z pěti vagónů 12 tun a každý ze zbývajícíchvagónů veze dvakrát větší náklad než je hmotnost prázdného vagónu. ",
                "maxPoints": 1,
                "type": "options",
                "categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
                "options": [
                    {
                        "name": "opt1",
                        "problem": "##13##tun"
                    },
                    {
                        "name": "opt2",
                        "problem": "##15##tun"
                    },
                    {
                        "name": "opt3",
                        "problem": "##11##tun"
                    },
                    {
                        "name": "opt4",
                        "problem": "##18##tun"
                    },
                    {
                        "name": "opt5",
                        "problem": "##17##tun"
                    }
                ],
                "correctAnswer": ["opt3"],
                "solutions": [
                    {
                        "step": 1,
                        "title": "",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            },
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 2,
                        "title": "",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            },
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            }
                        ]
                    }
                ]
            },
            {
                "slug": "S02T01U22",
                "title": "S02T01U22",
                "taskText":
                    "Doplňte chybějící číslice. &&\\images\\tasks\\S02T01\\S02T01P022.jpg&&",
                "question":
                    "Aritmetický průměr dosazených hodnot je řešením nerovnice:",
                "maxPoints": 2,
                "type": "options",
                "categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
                "options": [
                    {
                        "name": "opt1",
                        "problem": "##3\\lt{x}\\leq5##"
                    },
                    {
                        "name": "opt2",
                        "problem": "##x\\leq-5##"
                    },
                    {
                        "name": "opt3",
                        "problem": "##x\\in(5;7)##"
                    },
                    {
                        "name": "opt4",
                        "problem": "##x\\in\\langle7;+\\infty)##"
                    },
                    {
                        "name": "opt5",
                        "problem": "##(x\\leq3)\\wedge(x\\geq-5)##"
                    }
                ],
                "correctAnswer": ["opt1"],
                "solutions": [{}]
            },
            {
                "slug": "S02T01U23",
                "title": "S02T01U23",
                "taskText": "&&\\images\\tasks\\S02T01\\S02T01P023.jpg&&",
                "question": "##\\alpha=33°12´;~~\\beta=18°17´;~~\\gamma=?##",
                "maxPoints": 2,
                "type": "options",
                "categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
                "options": [
                    {
                        "name": "opt1",
                        "problem": "##\\gamma=108°17´##"
                    },
                    {
                        "name": "opt2",
                        "problem": "##\\gamma=146°48´##"
                    },
                    {
                        "name": "opt3",
                        "problem": "##\\gamma=138°29´##"
                    },
                    {
                        "name": "opt4",
                        "problem": "##\\gamma=142°34´##"
                    },
                    {
                        "name": "opt5",
                        "problem": "\\gamma=jiná hodnota"
                    }
                ],
                "correctAnswer": ["opt2"],
                "solutions": [
                    {
                        "step": 1,
                        "title": "",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            },
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 2,
                        "title": "",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            },
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            }
                        ]
                    }
                ]
            },
            {
                "slug": "S02T01U24",
                "title": "S02T01U24",
                "question":
                    "Kolik litrů se vejde do hrnku s průměrem 9,6cm a výškou 7 cm?",
                "maxPoints": 2,
                "type": "options",
                "categories": ["59eba1833ed54d1200c8d3f1"],
                "options": [
                    {
                        "name": "opt1",
                        "problem": "##0,5l##"
                    },
                    {
                        "name": "opt2",
                        "problem": "##1l##"
                    },
                    {
                        "name": "opt3",
                        "problem": "##2l##"
                    },
                    {
                        "name": "opt4",
                        "problem": "##1,5l##"
                    },
                    {
                        "name": "opt5",
                        "problem": "##2,5l##"
                    }
                ],
                "correctAnswer": ["opt1"],
                "solutions": [
                    {
                        "step": 1,
                        "title": "",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            },
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 2,
                        "title": "",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            },
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            }
                        ]
                    }
                ]
            },
            {
                "slug": "S02T01U25",
                "title": "S02T01U25",
                "taskText": "&&\\images\\tasks\\S02T01\\S02T01P025.jpg&&",
                "question":
                    "Na obrázku jsou znázorněny grafy funkcí pro která ##x## platí: ##f_1:y=2^x; f_2:y=\\left({1\\over2}\\right)^x ## . Vytvořte dvojce, určují pro který intervali platí uvedená nerovnost?",
                "maxPoints": 2,
                "partPoints": [0, 0, 1, 1, 2],
                "type": "pairs",
                "categories": ["5a8a0532bf5e07c5af6d5fad"],
                "options": [
                    {
                        "name": "opt1",
                        "problem": "##f_1(x)\\gt{f_2(x)}##",
                        "part": "opt"
                    },
                    {
                        "name": "opt2",
                        "problem": "##f_2(x)\\gt{f_1(x)}##",
                        "part": "opt"
                    },
                    {
                        "name": "opt3",
                        "problem": "##f_1(x)\\lt4##",
                        "part": "opt"
                    },
                    {
                        "name": "opt4",
                        "problem": "##f_2(x)\\geq{1\\over4}##",
                        "part": "opt"
                    },
                    {
                        "name": "ans1",
                        "problem": "##x\\in(2;\\infty)##",
                        "part": "ans"
                    },
                    {
                        "name": "ans2",
                        "problem": "##x\\in(-\\infty;0)##",
                        "part": "ans"
                    },
                    {
                        "name": "ans3",
                        "problem": "##x\\in(0;\\infty)##",
                        "part": "ans"
                    },
                    {
                        "name": "ans4",
                        "problem": "##x\\in(-\\infty;2\\rangle##",
                        "part": "ans"
                    },
                    {
                        "name": "ans5",
                        "problem": "##x\\in(-\\infty;2)##",
                        "part": "ans"
                    }
                ],
                "correctAnswer": [
                    {
                        "name": "opt1",
                        "correct": "ans3"
                    },
                    {
                        "name": "opt2",
                        "correct": "ans2"
                    },
                    {
                        "name": "opt3",
                        "correct": "ans5"
                    },
                    {
                        "name": "opt4",
                        "correct": "ans4"
                    }
                ],
                "solutions": [
                    {
                        "step": 1,
                        "title": "",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            },
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            }
                        ]
                    },
                    {
                        "step": 2,
                        "title": "",
                        "content": [
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            },
                            {
                                "calculation": "",
                                "explanation": ""
                            }
                        ]
                    }
                ]
            }
        ]
    }
}