Zbieżność pochodnej z funkcji analitycznej i nieanalitycznej w przedostatnim punkcie siatki. Punkty oznaczają błąd bezwzględny (niebieski) i względny (fioletowy).

gistfile1.txt

$MaxExtraPrecision = 1000;
der[f_, k_, rk_, h_] := 
  NDSolve`FiniteDifferenceDerivative[Derivative[k], h Range[0, 100], 
   f /@ (h Range[0, 100]), DifferenceOrder -> rk];
abserr[f_, k_, rk_] := 
  Abs[der[f, k, rk, #][[2]] - 
      Derivative[k][f][#]] & /@ (2^-Range[1, 30]);
relerr[f_, k_, rk_] := 
  abserr[f, k, rk]/Abs@(Derivative[k][f] /@ (2^-Range[1, 30]));
graph[{f1_, f2_}, k_, rk_] := 
 GraphicsRow[
  ListPlot[N[Log[10, {abserr[#, k, rk], relerr[#, k, rk]}], 1000], 
     PlotLabel -> #["y"], AxesLabel -> {"n", "Error"}] & /@ {f1, f2}, 
  PlotLabel -> 
   StringForm[
    "Pochodna \!\(\*FractionBox[SuperscriptBox[\(d\), \(`1`\)], \
SuperscriptBox[\(dy\), \(`1`\)]]\) w punkcie \
\!\(\*SubscriptBox[\(y\), \(1\)]\)=\!\(\*SuperscriptBox[\(2\), \
\(-n\)]\) (dla \!\(\*SubscriptBox[\(y\), \(k\)]\)=kh, \
h=\!\(\*SuperscriptBox[\(2\), \(-n\)]\)), błąd metody to \
O(\!\(\*SuperscriptBox[\(h\), \(`2`\)]\))", k, rk], 
  ImageSize -> Large]

f = {Sin, Function[y, If[y == 0, 0, y^2 Log[y]]]};
graph[f, 1, 6]