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数学の問題作った
[1] 3次方程式 x^3 - 5x^2 - x + 3 = 0 の解を、小さいほうからα, β, γとし、
非負整数nについてs_n = α^n + β^n + γ^n とおく。
(1) |α|,|β|の値を、小数第2位以下を切り捨てて小数点以下1桁まで求めよ。
(2) s_0, s_1, s_2 を求め、s_nを漸化式で表わせ。
(3) [γ^n]を12で割った余りを求めよ。ただし、[x]は床関数(x以下の最大の整数)である。
[2] 2点(4,-1),(4,2)を焦点とする長径5の楕円がある。
(1) この楕円の面積を求めよ。
(2) 行列Aによってこの楕円がこの楕円自身に写されるとき、Aとして考えられるものを全て挙げよ。
[3] 以下の2つの設問に答えよ。
(1) |θ| < π/4 のとき、x=tanθとおくと、
∫ _{0} ^{x} ( Σ _{n=0} ^{∞} (-t^2)^n ) dt = Σ _{n=0} ^{∞} ∫ _{0} ^{x} (-t^2)^n dt
であることが示せる。これを仮定して、両辺を計算せよ。
(2) 原点を中心とする半径2/πの円Cがあり、点Pははじめ(2/π,0)にあるものとする。
このとき、以下のようなゲームを行う。
1.まず一回サイコロを振ってその値をxとおく。
2.続いて、「PをCに沿って反時計回りに1だけ進めたあと、サイコロを振る」という
操作を、サイコロの目が0.3x+2.7以下になるまで繰り返す。
3.終了後に(Pのy座標)/(Pが動いた距離)を得点とする。
得点の期待値を求めよ。
[4] p,qを正整数, n を非負整数とする。実数関数 f_n(x) を
f_n(x) = Σ _{k=0} ^{n} ( px^(4k)/(4k)! - qx^(4k+1)/(4k+1)! - px^(4k+2)/(4k+2)! + qx^(4k+3)/(4k+3)! )
と定める。ただし、f_0(x)=0 かつ 0^0=1 とする。以下の設問に答えよ。
(1) 0 < x ≤ 1 のとき、
f_n(x) + px^(4n)/(4n)! - qx^(4n+1)/(4n+1)! - px^(4n+2)/(4n+2)!
< pcosx - qsinx
< f_n(x) + px^(4n)/(4n)!
を示せ。
(2) tan1 は有理数か。
[5] 平面上の点からなる有限集合Sがある。Sについて、以下のような条件が成立している。
(条件) Sの互いに異なる任意の元A,B,Cについて、A,B,Cとは異なるSの要素Dと、それらとは異なる平面上の点Pが
存在し、PA=PB=PC=PDである。
このとき、Sの全ての元が、ある一つの円周上に存在することを示せ。
[6] 正整数nについて、5^(2^n)を10進表記したときの下からn桁目をa_nとおく。
lim_{n→∞}a_n は収束しないことを証明せよ。
以下コメント↓
[1] ありがちな問題を3次方程式に広げてみた。誘導問題だけれど、(3)では(1)より細かい値が必要になるという問題点が。
[2] 焦点をそのまま一次変換して引っかかる人がいるかと思ったけれど、いなかった。(1)と(2)は無関係。
[3] コンセプトが先にあるので、若干作りが雑だったかも。誘導問題。
[4] もちろん京大の改題で、1はラジアン。誘導問題。
[5] 我ながら良い問題だと思う。ただ、反転を知らないときついのが問題。
[6] a_nは http://oeis.org/A018247 です。a_nを具体的に求めるなどして規則性を掴み、方程式に落としこんで矛盾を導くのは大変かも。
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