Celestial mechanics cheat sheet

celestialcheatsheet.tex

% vim:nolist lbr tw=78 expandtab autoindent nocindent
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[landscape,top=1cm,bottom=1cm,left=1cm,right=1cm]{geometry}
%\usepackage{amsmath}

\pagestyle{empty}

\setcounter{secnumdepth}{0}

\title{Celestial mechanics cheatsheet}
\author{Riku Salminen}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{center}
\begin{tabular}{ l | c | c | c | c | c | c}

    &
    &
    Conic section ($f$) &
    Ellipse ($E$) &
    Hyperbola ($F$) &
    Parabola ($D$) &
    Universal ($s$) \\

    \hline

    &
    &
    $ \frac{p}{e} = x + \frac{r}{e} $ &
    $ \frac{\left( x + c \right) ^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $ &
    $ \frac{\left( x - c \right) ^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $ &
    $ 2p \left( x - q \right) = - y^2 $ &
    $ $ \\

    eccentricity &
    $ e $ &
    $ e = \sqrt{1 + \frac{2 \epsilon h^2}{\mu ^2}} $ &
    $ 0 < e < 1 $ &
    $ e > 1 $ &
    $ e = 1 $ &
    $ $ \\

    semi-major axis &
    $ a $ &
    $ \frac{p}{1 - e^2} $ &
    $ a > 0 $ &
    $ a < 0 $ &
    $ \infty $ &
    $ \alpha = \frac{\mu}{a} = \frac{2 \mu}{r} - v^2 $ \\

    semi-minor axis &
    $ b $ &
    $ $ &
    $ \frac{p}{\sqrt{1 - e^2}} = a \sqrt{1 - e^2} $ &
    $ \frac{p}{\sqrt{e^2 - 1}} = -a \sqrt{e^2 - 1} $ &
    $ \infty $ &
    $ $ \\

    focal distance &
    $ c $ &
    $ $ &
    $ c = \sqrt{a^2 - b^2} = a e $ &
    $ c = \sqrt{a^2 + b^2} = -a e $ &
    $ \infty $ &
    $ $ \\

    %pericenter distance &
    %$ q $ &
    %$ \frac{p}{1 + e} $ &
    %$ $ &
    %$ $ &
    %$ \frac{p}{2} $ &
    %$ $ \\

    \hline

    % angular momentum &
    angul. momentum & % XXX: doesn't fit in one page otherwise :(
    $ h $ &
    $ \vec{h} = \vec{r} \times \vec{v} = \sqrt{\mu p} = r^2 \dot{f}  $ &
    $ \sqrt{\mu a \left( 1 - e^2 \right)} $ &
    $ \sqrt{-\mu a \left( e^2 - 1 \right)} $ &
    $ \sqrt{\mu p} $ &
    $ $ \\

    orbital energy &
    $ \epsilon $ &
    $ \epsilon = - \frac{\mu}{2 a} = \frac{v^2}{2} - \frac{\mu}{r} $ &
    $ \epsilon < 0$ &
    $ \epsilon > 0$ &
    $ \epsilon = 0$ &
    $ \epsilon = - \frac{\alpha}{2} $ \\

    \hline

    true anomaly &
    $ f $ &
    $ $ &
    $
    \left\{
        \begin{array}{ll}
            \sin f &= \frac{\sqrt{1 - e^2} \sin E}{1 - e \cos E} \\
            \cos f &= \frac{\cos E - e}{1 - e \cos E} \\
            \tan \frac{f}{2} &=
                \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \tan \frac{E}{2} \\
        \end{array}
    \right.
    $ &
    $
    \left\{
        \begin{array}{ll}
            \sin f &= \frac{\sqrt{e^2 - 1} \sinh F}{e \cosh F - 1} \\
            \cos f &= \frac{e - \cosh F}{e \cosh F - 1} \\
            \tan \frac{f}{2} &=
                \sqrt{\frac{e+1}{e-1}} \tanh \frac{F}{2} \\
        \end{array}
    \right.
    $ &
    $
    \left\{
        \begin{array}{ll}
            \sin f &= \frac{2 D}{1 + D^2} \\
            \cos f &= \frac{1 - D^2}{1 + D^2} \\
            \tan \frac{f}{2} &= D \\
        \end{array}
    \right.
    $ &
    $ $ \\

    eccentric anomaly &
    $ E $ &
    $ $ &
    $
    \left\{
        \begin{array}{ll}
            \sin E &= \frac{\sqrt{1 - e^2} \sin f}{1 + e \cos f} \\
            \cos E &= \frac{e + \cos f}{1 + e \cos f} \\
        \end{array}
    \right.
    $ &
    $
    \left\{
        \begin{array}{ll}
            \sinh F &= \frac{\sqrt{e^2 - 1} \sin f}{1 + e \cos f} \\
            \cosh F &= \frac{e + \cos f}{1 + e \cos f} \\
        \end{array}
    \right.
    $ &
    $ D = \tan \frac{1}{2} f $ &
    $ dt = r ds $ \\

    &
    $ $ &
    $ $ &
    $
    \left\{
        \begin{array}{ll}
            e \sin E &= \frac{\vec{r} \cdot \vec{v}}{\sqrt{\mu a}} \\
            e \cos E &= 1 - \frac{r}{a} \\
        \end{array}
    \right.
    $ &
    $
    \left\{
        \begin{array}{ll}
            e \sinh F &= \frac{\vec{r} \cdot \vec{v}}{\sqrt{- \mu a}} \\
            e \cosh F &= 1 - \frac{r}{a} \\
        \end{array}
    \right.
    $ &
    $
    \left\{
        \begin{array}{ll}
            D &= \frac{\vec{r} \cdot \vec{v}}{\sqrt{\mu p}} \\
            D^2 &= \frac{r}{q} - 1 \\
        \end{array}
    \right.
    $ &
    $ $ \\

    partial derivatives &
    $ \frac{d}{dt} $ &
    $ \dot{f} = \sqrt{\frac{\mu}{p^3}} \left( 1 + e \cos f \right) ^2 $ &
    $ \dot{E} = \frac{1}{r} \sqrt{\frac{\mu}{a}} $ &
    $ \dot{F} = \frac{1}{r} \sqrt{\frac{\mu}{- a}} $ &
    $ \dot{D} = \frac{1}{r} \sqrt{\frac{\mu}{p}} $ &
    $ \dot{s} = \frac{ds}{dt} = \frac{1}{r} $ \\

    &
    $ \frac{d}{dM} $ &
    $ \frac{df}{dM} = \frac{df}{dE} \frac{dE}{dM} $ &
    $ \frac{dE}{dM} = \frac{1}{1 - e \cos E} $ &
    $ \frac{dF}{dM} = \frac{1}{e \cosh F - 1} $ &
    $ \frac{dD}{dM} = \frac{2}{D^2 + 1} $ &
    $ \frac{d}{dt} = \frac{ds}{dt} \frac{d}{ds} = \frac{1}{r} \frac{d}{ds} $ \\

    &
    $ \frac{df}{dE} $ &
    $ $ &
    $ \frac{df}{dE} = \frac{\sqrt{1-e^2}}{1 - e \cos E} $ &
    $ \frac{df}{dF} = \frac{\sqrt{e^2 - 1}}{e \cosh F - 1} $ &
    $ \frac{df}{dD} = \frac{2}{D^2 + 1} $ &
    $ \frac{d}{ds} = r \frac{d}{dt} $ \\

    universal variable &
    $ s $ &
    $ $ &
    $ \sqrt{a} \left( E - E_0 \right) $ &
    $ \sqrt{-a} \left( F - F_0 \right) $ &
    $ \sqrt{p} \left( D - D_0 \right) $ &
    $ $ \\

    \hline

    time of flight &
    $ t $ &
    $ \frac{1}{n} M $ &
    $ \sqrt{\frac{a^3}{\mu}} \left( E - e \sin E \right) $ &
    $ \sqrt{\frac{-a^3}{\mu}} \left( e \sinh F - F \right) $ &
    $ \sqrt{\frac{p^3}{\mu}} \left( \frac{1}{6} D^3 + \frac{1}{2} D \right) $ &
    $ r_0 s c_1 + r_0 \dot{r_0} s^2 c_2 + \mu s^3 c_3 $ \\

    radius &
    $ r $ &
    $ \frac{p}{1 + e \cos f} $ &
    $ a \left( 1 - e \cos E \right) $ &
    $ a \left( 1 - e \cosh F \right) $ &
    $ q \left( D^2 + 1 \right) $ &
    $ r_0 c_0 + r_0 \dot{r_0} s c_1 + \mu s^2 c_2 $ \\

    radial velocity &
    $ \dot{r} $ &
    $ \sqrt{\frac{\mu}{p}} e \sin f $ &
    $ \sqrt{\frac{\mu}{a}} \frac{e \sin E}{1 - e \cos E} $ &
    $ \sqrt{\frac{\mu}{-a}} \frac{e \sinh F}{e \cosh F - 1} $ &
    $ \sqrt{\frac{\mu}{p}} \frac{2 D}{D^2 + 1} $ &
    $ $ \\

    horizontal velocity &
    $ r \dot{f} $ &
    $ \sqrt{\frac{\mu}{p}} \left( 1 + e \cos f \right) $ &
    $ \sqrt{\frac{\mu}{a}} \frac{\sqrt{1 - e^2}}{1 - e \cos E} $ &
    $ \sqrt{\frac{\mu}{-a}} \frac{\sqrt{e^2 - 1}}{e \cosh F - 1} $ &
    $ \sqrt{\frac{\mu}{p}} \frac{2}{D^2 + 1} $ &
    $ $ \\

    orbital speed &
    $ v $ &
    $ \sqrt{\frac{\mu}{p} \left( e^2 + 2 e \cos f + 1 \right) } $ &
    $ \sqrt{\frac{\mu}{a} \frac{1 + e \cos E}{1 - e \cos E}}$ &
    $ \sqrt{\frac{\mu}{-a} \frac{e \cosh F + 1}{e \cosh F - 1}} $ &
    $ \sqrt{\frac{\mu}{p} \frac{4}{D^2 + 1}} $ &
    $ $ \\

    flight path angle &
    $ \phi $ &
    $ \tan \phi = \frac{\dot{r}}{r \dot{f}} = \frac{e \sin f}{1 + e \cos f} $ &
    $ \tan \phi = \frac{e \sin E}{\sqrt{1 - e^2}} $ &
    $ \tan \phi = \frac{e \sinh F}{\sqrt{e^2 - 1}} $ &
    $ \tan \phi = D $ &
    $ $ \\

    \hline

    position &
    $x$ &
    $ \frac{p \cos f}{1 - e \cos f} $ &
    $ a \left( \cos E - e \right) $ &
    $ a \left( \cosh F - e \right) $ &
    $ q \left( 1 - D^2 \right) $ &
    $ $ \\

    &
    $y$ &
    $ \frac{p \sin f}{1 - e \cos f} $ &
    $ b \sin E $ &
    $ b \sinh F $ &
    $ p D $ &
    $ $ \\


    velocity &
    $ \dot{x} $ &
    $ - \sqrt{\frac{p}{\mu}} \sin f $ &
    $ \sqrt{\frac{\mu}{a^3}} \frac{-a \sin E}{1 - e \cos E} $ &
    $ \sqrt{\frac{\mu}{- a^3}} \frac{a \sinh F}{e \cosh F - 1} $ &
    $ \sqrt{\frac{\mu}{p}} \frac{-2 D}{D^2 + 1} $ &
    $ $ \\

    %&
    %$ $ &
    %$ $ &
    %$ - \frac{1}{r} \sqrt{\mu a} \sin E $ &
    %$ - \frac{1}{r} \sqrt{- \mu a} \sinh F $ &
    %$ - \frac{1}{r} \sqrt{\mu p} D $ &
    %$ $ \\

    &
    $ \dot{y} $ &
    $ \sqrt{\frac{p}{\mu}} \left( e + \cos f \right) $ &
    $ \sqrt{\frac{\mu}{a^3}} \frac{b \cos E}{1 - e \cos E} $ &
    $ \sqrt{\frac{\mu}{- a^3}} \frac{b \cosh F}{e \cosh F - 1} $ &
    $ \sqrt{\frac{\mu}{p}} \frac{2}{D^2 + 1} $ &
    $ $ \\

    %&
    %$ $ &
    %$ $ &
    %$ \frac{1}{r} \sqrt{\mu a \left( 1 - e^2 \right) } \cos E $ &
    %$ \frac{1}{r} \sqrt {- \mu a \left( e^2 - 1 \right) } \cosh F $ &
    %$ \frac{1}{r} \sqrt {\mu p} $ &
    %$ $ \\

    \hline

    f \& g functions &
    $ f $ &
    $ 1 - \frac{r}{p} \left( 1  - \cos \hat{f} \right) $ &
    $ 1 - \frac{a}{r_0} \left( 1 - \cos \hat{E} \right) $ &
    $ 1 - \frac{a}{r_0} \left( 1 - \cosh \hat{F} \right) $ &
    $ 1 - \frac{q}{r_0} \hat{D}^2 $ &
    $ 1 - \frac{\mu}{r_0} s^2 c_2 $ \\

    &
    $ g $ &
    $ \frac{r r_0}{\sqrt{\mu p}} \sin \hat{f}$ &
    $
        \sqrt{\frac{a}{\mu}} r_0 \sin \hat{E} +
        \frac{a r_0 \dot{r_0} \left(1 - \cos \hat{E} \right)}{\mu}
    $ &
    $
        \sqrt{\frac{-a}{\mu}} r_0 \sinh \hat{F} +
        \frac{a r_0 \dot{r_0} \left(1 - \cosh \hat{F} \right)}{\mu}
    $ &
    $
        \sqrt{\frac{p}{\mu}} r_0 \hat{D} +
        \frac{q r_0 \dot{r_0} \hat{D}^2}{\mu}
    $ &
    $ r_0 s c_1 + r_0 \dot{r_0} s^2 c_2 $ \\

    &
    &
    &
    $ \hat{t} - \sqrt{\frac{a^3}{\mu}} \left( \hat{E} - \sin \hat{E} \right) $ &
    $ \hat{t} - \sqrt{\frac{-a^3}{\mu}} \left( \sinh \hat{F} - \hat{F} \right) $ &
    $ \hat{t} - \sqrt{\frac{p^3}{\mu}} \frac{1}{6} \hat{D}^3 $ &
    $ \hat{t} - \mu s^3 c_3 $ \\

    &
    $ \dot{f} $ &
    $
        \sqrt{\frac{\mu}{p}} \tan \frac{\hat{f}}{2}
        \left( \frac{1 - \cos \hat{f}}{p} - \frac{1}{r} - \frac{1}{r_0} \right)
    $ &
    $ - \frac{\sqrt{\mu a}}{r r_0} \sin \hat{E} $ &
    $ - \frac{\sqrt{- \mu a}}{r r_0} \sinh \hat{F} $ &
    $ - \frac{\sqrt{\mu p}}{r r_0} \hat{D} $ &
    $ - \frac{\mu}{r r_0} s c_1 $ \\

    &
    $ \dot{g} $ &
    $ 1 - \frac{r_0}{p} \left( 1 - \cos \hat{f} \right) $ &
    $ 1 - \frac{a}{r} \left( 1 - \cos \hat{E} \right) $ &
    $ 1 - \frac{a}{r} \left( 1 - \cosh \hat{F} \right) $ &
    $ 1 - \frac{q}{r} \hat{D}^2 $ &
    $ 1 - \frac{\mu}{r} s^2 c_2  $ \\

\end{tabular}
\end{center}

\end{document}