Higher and lower heating values of alkanes series C1-C20

alkanes_llv_hhv.py

from numpy import float,array,arange,ones,mean,linspace,linalg
from matplotlib import pyplot as plt

# source data: Poling, B. E., Prausnitz, J. M., & O'connell, J. P. (2001). The properties of gases and liquids (Vol. 5). New York: Mcgraw-hill.
data_source="""z_i;cas_no;phase;formula;formula_name_structure;ant_name;poling_no;poling_formula;poling_name;poling_molwt [g/mol] ;poling_tfp [K] ;poling_tb [K] ;poling_tc [K] ;poling_pc [bar] ;poling_vc [cm3/mol] ;poling_zc;poling_omega;poling_delhf0 [kJ/mol] ;poling_delgf0 [kJ/mol] ;poling_delhb [kJ/mol] ;poling_delhm [kJ/mol] ;poling_v_liq [cm3/mol] ;poling_t_liq [K] ;poling_dipole [Debye] ;p_ant_a;p_ant_b [K] ;p_ant_c [K] ;p_ant_tmin [K] ;p_ant_tmax [K] ;p_ant_pvpmin [bar] ;p_ant_pvpmax [bar] ;eant_to [K] ;eant_n;eant_e;eant_f;eant_tmin [K] ;eant_tmax [K] ;eant_pvpmin [bar] ;eant_pvpmax [bar] ;wagn_a;wagn_b;wagn_c;wagn_d;wagn_tmin [K] ;wagn_tmax [K] ;wagn_pvpmin [bar] ;wagn_pvpmax [bar] ;range_tmin_to_1000 [K] ;range_1000_to_tmax [K] ;molecular_weight [g/mol] ;hf298_div_r;a1_low;a2_low [K^-1] ;a3_low [K^-2] ;a4_low [K^-3] ;a5_low [K^-4] ;a6_low [K^-1] ;a7_low;a1_high;a2_high [K^-1] ;a3_high [K^-2] ;a4_high [K^-3] ;a5_high [K^-4] ;a6_high [K^-1] ;a7_high;reference;source;date;ant_no;ant_formula;ant_name;ant_a;ant_b;ant_c;ant_tmin [°C] ;ant_tmax [°C] ;ant_code
0;74-82-8;G;CH4   RRHO;CH4 METHANE SAME AS THE ANHARMONIC BUT CALCULATED USING THE RRHO METHOD RATHER THAN THE NRRAO2.;methane;26;CH4;methane;16,043;90,69;111,66;190,56;45,992;98,6;0,286;0,011;-74,52;-50,45;8,17;0,94;35,54;90,68;0;3,7687;395,744;266,681;92,64;120,59;0,15;2;;;;;;;;;-6,02242;1,26652;-0,5707;-1,366;;190,55;;45,99;200;6000;16,04246;-8972,26656;5,14825732;-0,013700241;4,93749414e-05;-4,91952339e-08;1,70097299e-11;-10245,3222;-4,63322726;1,911786;0,0096026796;-3,38387841e-06;5,3879724e-10;-3,19306807e-14;-10099,2136;8,48241861;;g;8/99;137;CH4;methane;6,84377;435,4534;271,361;-196,85;-82,59;1,2
0;74-84-0;G;C2H6;C2H6 ETHANE;ethane;65;C2H6;ethane;30,07;90,35;184,55;305,32;48,71;145,5;0,279;0,099;-83,82;-31,86;14,7;2,86;46,15;90,36;0;3,95405;663,72;256,681;133,8;198,16;0,02;2;;;;;;;;;-6,475;1,41071;-1,144;-1,859;;305,33;;48,71;200;6000;30,06904;-10084,9652;4,29142572;-0,00550154901;5,99438458e-05;-7,08466469e-08;2,68685836e-11;-11522,2056;2,66678994;4,04666411;0,0153538802;-5,47039485e-06;8,77826544e-10;-5,23167531e-14;-12447,3499;-0,968698313;CHAO WILHOIT & ZWOLINSKI JPCRD 2,(1973), 427;g;8/88;491;C2H6;ethane;6,95185;698,9298;260,264;-142,83;32,17;1,2
0;74-98-6;G;C3H8;C3H8 PROPANE CH3CH2CH3;propane;95;C3H8;propane;44,097;91,45;231,02;369,83;42,47;200;0,276;0,152;-104,68;-24,29;19,04;3,53;74,87;233,15;0;3,92828;803,997;247,04;168,9;247,76;0,02;2;;;;;;;;;-6,76368;1,55481;-1,5872;-2,024;;369,85;;42,47;200;6000;44,09562;-12590,0384;4,21093013;0,00170886504;7,06530164e-05;-9,20060565e-08;3,64618453e-11;-14381,0883;5,61004451;6,6691976;0,0206108751;-7,36512349e-06;1,18434262e-09;-7,0691463e-14;-16275,4066;-13,1943379;CHAO WILHOIT & ZWOLINSKI JPCRD 2, (1973),427;g;2/00;959;C3H8;propane;7,02022;889,8642;257,084;-109,27;96,74;1,2
0;106-97-8;G;C4H10 n-butane;N-C4H10 N-BUTANE ***THIS IS AN EQUILIBRIUM MIXTURE OF 1/3 TRANS AND 2/3 GAUCHE THROUGH STATWT.;butane;127;C4H19;butane;58,123;134,79;272,66;425,12;37,92;255;0,274;0,2;-125,79;-16,57;22,44;4,66;100,48;298,15;0;3,93266;935,773;238,789;200,5;292,03;0,02;2;;;;;;;;;-7,01763;1,6777;-1,9739;-2,172;;425,25;;37,92;200;6000;58,1222;-15128,9733;6,14474013;0,000164500242;9,67848789e-05;-1,25486208e-07;4,97846257e-11;-17598,9467;-1,08058878;9,44547835;0,025785662;-9,23613194e-06;1,48631762e-09;-8,87891206e-14;-20138,3773;-26,3477585;CHEN, WILHOIT & ZWOLINSKI JPCRD 4,(1975),859;g;12/00;1526;C4H10;butane;7,00908;1022,3862;248,145;-78;18,99;1,2
0;109-66-0;G;C5H12  n-pentane;C5H12 N-PENTANE;pentane;166;CsH!2;pentane;72,15;143,43;309,22;469,7;33,75;311;0,268;0,252;-146,76;-8,65;25,79;8,4;115,22;298,15;0;3,97786;1064,84;232,014;228,71;330,75;0,02;2;;;;;;;;;-7,30698;1,75845;-2,1629;-2,913;;469,8;;33,75;200;6000;72,14878;-18318,5963;10,0497596;-0,0193518827;0,000147547505;-1,69025747e-07;6,2897026e-11;-21454,0416;-12,1225373;8,65672621;0,0335941679;-1,19261233e-05;1,90508655e-09;-1,13196179e-13;-23506,8212;-16,9334289;BURCAT G3B3;T;4/10;2220;C5H12;pentane;7,00892;1134,1488;238,678;-49,93;57,67;1,2
0;110-54-3;G;C6H14,n-hexane;C6H14 N-HEXANE;hexane;216;c6hm;hexane;86,177;177,84;341,88;507,6;30,35;368;0,264;0,3;-166,92;0,15;28,85;13,07;131,59;298,15;0;4,00139;1170,875;224,317;254,24;365,25;0,02;2;;;;;;;;;-7,53998;1,83759;-2,5438;-3,163;;507,9;;30,35;200;6000;86,17536;-20075,7471;9,87121167;-0,00936699002;0,000169887865;-2,1501952e-07;8,45407091e-11;-23718,5495;-12,4999353;19,5158086;0,0267753942;-7,49783741e-06;1,19510646e-09;-7,51957473e-14;-29436,2466;-77,4895497;;g;6/01;3139;C6H14;hexane;6,98978;1216,9154;227,451;-24,29;92,12;1,2
0;142-82-5;C;C7H16(L) n-hept;C7H16 LIQUID N-HEPTANE;heptane;259;C7H16;heptane;100,204;182,59;371,57;540,2;27,35;428;0,261;0,35;-187,8;8,2;31,77;14,03;147,47;298,15;0;4,02023;1263,909;216,432;277,71;396,53;0,02;2;;;;;;;;;-7,77404;1,85614;-2,8298;-3,507;;540,15;;27,35;182,58;380;100,20194;-26982,9491;69,8058594;-0,630275879;0,00308862295;-6,40121661e-06;5,09570496e-09;-36823,8127;-261,086466;0;0;0;0;0;0;0;TRC 10/75;P;10/75;4297;C7H16;heptane;7,0467;1341,8887;223,733;-1,81;123,47;1,2
0;111-65-9;C;C8H18(L),n-octan;N-OCTANE LIQUID, DATA TAKEN FROM TRC 10/84;octane;296;C8H18;octane;114,231;216,39;398,82;568,7;24,9;492;0,259;0,399;-208,75;16,27;34,41;20,65;163,53;298,15;0;4,05075;1356,36;209,635;299,42;425,23;0,02;2;;;;;;;;;8,04937;2,03865;-3,312;-3,648;;568,95;;24,9;216,37;400;114,22852;-30099,188;93,7687938;-0,858272117;0,00394831328;-7,58573055e-06;5,41151011e-09;-42354,6607;-354,100158;0;0;0;0;0;0;0;;P;10/84;5703;C8H18;octane;7,14535;1498,9589;225,874;18,04;152,32;1,2
0;111-84-2;L;C9H20(L);C9H20 LIQ NONANE;nonane;334;C9H20;nonane;128,258;219,66;423,97;594,6;22,9;555;0,257;0,445;-228,86;25;36,91;15,5;179,7;298,15;0;4,07356;1438,03;202,694;319,57;451,64;0,02;2;;;;;;;;;-8,32886;2,25707;-3,8257;-3,732;;594,9;;22,9;298,15;423,43;128,2578;-33131,8382;34,1721095;0,000258204426;-6,96987194e-07;6,20423745e-10;0;-43326,7971;-147,402676;0;0;0;0;0;0;0;I.BARIN 1987 HF298LIQ;B;01/00;7139;C9H20;nonane;7,18909;1607,7359;222,414;37,36;178,79;1,2
0;124-18-5;G;N-C10H22 DECANE;N-C10H22 N-DECANE BUREAU OF MINES BULL 666 1974 DATA TO 1500. K EXTRAPOLATED USING WILHOIT'S POLYNOMIALS;decane;360;;decane;142,285;243,49;447,3;617,7;21,05;624;0,256;0,49;-249,53;33,3;38,75;28,78;195,95;298,15;0;4,06853;1495,17;193,858;338,53;476,15;0,02;2;;;;;;;;;-8,60643;2,44659;-4,2925;-3,908;;617,65;;21,05;200;6000;142,28468;-30011,8419;15,4328173;-0,0132979232;0,000282480581;-3,65923298e-07;1,45372117e-10;-35863,2831;-27,9454341;29,4782956;0,0490518943;-1,70317179e-05;2,729193e-09;-1,63370772e-13;-44302,2624;-124,062121;;T;5/99;8711;C10H22;decane;7,22035;1694,6279;216,459;55,97;203,16;1,2
0;1120-21-4;G;N-UNDECANE;N-C11H24 UNDECANE;undecane;369;C11H24;undecane;156,312;247,57;469,08;639;19,55;689;0,257;0,537;-270,16;41,25;41,2;22,32;212,24;298,15;0;4,0971;1569,57;187,7;356,25;499;0,02;2;;;;;;;;;-8,85076;2,60205;-4,7305;-4,081;;638,85;;19,55;200;6000;156,31156;-32507,7966;16,7589055;-0,0135771822;0,000308216871;-4,00562662e-07;1,59274225e-10;-38907,6869;-31,5628516;34,1070654;0,0507865991;-1,73797396e-05;2,76048145e-09;-1,64248726e-13;-48848,625;-147,5466;TRC11/75 TO 1000 K. EXTRAPOLATED USING WILHOIT'S POLYNOMIALS.;T;5/99;10224;C11H24;undecane;7,18058;1706,2645;200,897;75,17;225,8;1,2
0;112-40-3;G;N-DODECANE;N-C12H26 DODECANE;dodecane;377;C12H26;dodecane;170,338;263,57;489,48;658;18,3;754;0,251;0,576;-290,79;49,53;43,4;36,58;228,59;298,15;0;4,12285;1639,27;181,84;372,89;520,24;0,02;2;;;;;;;;;-9,08593;2,77846;-5,1985;-4,173;;658,65;;18,3;200;6000;170,33844;-34983,6226;21,326448;-0,0386394002;0,000399476113;-5,06681097e-07;2,00697878e-10;-42247,5053;-48,58483;37,0187925;0,0554721488;-1,92079548e-05;3,08175574e-09;-1,84800617e-13;-52698,4458;-161,453501;TRC11/75 TO 1000 K. EXTRAPOLATED USING WILHOIT'S POLYNOMIALS.;T;5/99;11897;C12H26;dodecane;7,24104;1810,4995;199,381;90,72;246,64;1,2
0;629-50-5;G;C13H28 TriDecane;C13H28 N-TRIDECANE;tridecane;380;C13H28;tridecane;184,365;267,76;508,63;675;17,1;823;0,246;0,618;-311,42;57,81;45,65;28,5;244,94;298,15;0;4,13246;1690,67;174,22;388,85;540,19;0,02;2;;;;;;;;;-9,32959;2,89925;-5,555;-4,47;;676;;17,1;298,15;5000;184,36142;-37464,6251;3,45572089;0,111282579;2,80831695e-05;-1,17430924e-07;5,80777932e-11;-43484,5746;26,3598264;35,0551301;0,0698462297;-2,56347486e-05;4,43792889e-09;-2,930932e-13;-55252,8723;-149,65608;NIST 94 EXTRAPOLATED USING WILHOIT'S POLYNOMIALS FROM 1600-5000 K.;T;8/06;13812;C13H28;tridecane;7,342;1958,0087;203,429;105,31;267,23;1,2
0;629-59-4;G;n-C14H30 Tetrade;C14H30 N-TETRADECANE CALCULATED FROM TRC/10/75 VALUES TO 1000 K, EXTRAPOLATED USING WILHOIT'S POLYNOMIALS TO 5000. K;tetradecane;385;C14H30;tetradecane;198,392;279,01;526,76;693;16,1;894;0,244;0,644;-332,05;66,09;47,61;45,61;261,32;298,15;0;4,1379;1740,88;167,72;403,69;559,15;0,02;2;;;;;;;;;-9,5447;3,06637;-6,007;-4,53;;693;;16,1;200;5000;198,388;-39942,2215;21,5069837;-0,0214808301;0,000407300016;-5,30537029e-07;2,114818e-10;-48049,6471;-45,47742;40,4003173;0,0708444774;-2,77400669e-05;5,1232612e-09;-3,57048031e-13;-59639,5764;-176,386929;PROSEN & ROSSINI J RES NBS (1945),263;T;2/10;15599;C14H30;tetradecane;7,38975;1954,0312;183,519;122,29;280,85;1,2
0;629-62-9;G;C15H32 n-PentaDe;C15H32 N-PENTADECANE FROM TRC TABLES 10/75;pentadecane;387;C15H32;pentadecane;212,419;283,08;543,83;708;15,15;966;0,243;0,685;-352,68;74,37;49,45;34,8;277,71;298,15;0;4,14849;1789,95;161,38;417,8;576,9;0,02;2;;;;;;;;;-9,80239;3,29217;-6,5317;-4,584;;708;;15,15;200;5000;212,41458;-42672,3884;23,0078383;-0,0250591511;0,000448515847;-5,90443253e-07;2,38352918e-10;-51326,6878;-49,5873206;42,2048667;0,0767209788;-2,95720517e-05;5,39289272e-09;-3,72487743e-13;-63265,1036;-183,862573;PROSEN & ROSSINI J RES NBS (1945),263 HF298(LIQ);T;2/10;17482;C15H32;pentadecane;7,42974;2026,6694;178,677;136,53;298,42;1,2
0;544-76-3;G;C16H34 Hexadecan;C16H34 N-HEXADECANE (CETANE);hexadecane;389;C16H34;hexadecane;226,446;291,32;559,98;723;14,35;1034;0,241;0,718;-373,31;82,65;51,21;51,84;294,11;298,15;0;4,15357;1830,51;154,45;431,47;593,8;0,02;2;;;;;;;;;-10,03664;3,41426;-6,8627;-4,863;;722;;14,35;298,15;5000;226,44596;-45042,9238;-2,281474;0,185127971;-9,91782207e-05;1,43398377e-08;3,73230542e-12;-51744,9265;56,0024917;39,3197519;0,0911470601;-3,3972114e-05;5,94437262e-09;-3,95796331e-13;-65166,5791;-166,160224;NIST 94 + THERGAS + THERM  1500 K 0.36;S;5/01;18600;C16H34;hexadecane;7,56621;2161,1732;180,407;148,73;312,52;1,2
0;629-78-7;;;;heptadecane;392;C17H36;heptadecane;240,473;295,13;574,56;736;13,7;1103;0,242;0,753;-393,94;90,93;52,89;40,5;310,45;298,15;0;4,1392;1865,1;149,2;443,5;610;0,02;2;;;;;;;;;-10,236;3,54177;-7,1898;-5;;735;;13,7;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;19734;C17H36;heptadecane;7,25896;2028,1139;161,086;162,95;336,35;1,2
0;593-45-3;G;C18H38 n-Octadeca;C18H38 N-OCTADECANE;octadecane;397;;octadecane;254,5;301,32;588,3;747;13;1189;0,247;0,8;-414,57;99,21;54,46;61,39;326,66;298,15;0;4,1271;1894,3;143,3;455;625;0,02;2;;;;;;;;;-10,4723;3,69655;-7,5779;-5,109;;746;;13;200;5000;254,49432;-49858,7072;26,7546979;-0,0228050981;0,000512378584;-6,72132856e-07;2,6826799e-10;-60147,2323;-59,5926489;53,3793539;0,0873248162;-3,41007724e-05;6,29918051e-09;-4,39260715e-13;-75543,619;-239,366693;TRC-10/75 TABLES TO 1000 K EXTRAPOLATED USING WILHOIT'S POLYNOMIALS.  HF298(LIQ);T;4/07;20943;C18H38;octadecane;7,41111;2195,8987;168,564;173,95;350,65;1,2
0;629-92-5;G;n-C19H40 NanoDec;C19H40 N-NANODECANE CALCULATED FROM TRC 10/75 TABLES TO 1000 K AND EXTRAPOLATED TO 5000 K USING WILHOIT'S POLYNOMIALS.;nonadecane;399;C19H40;nonadecane;268,527;305,25;602,34;755;12,3;;;0,845;-435,2;107,49;56,02;45,82;343,25;298,15;0;4,1402;1932,8;137,6;466,5;639;0,02;2;;;;;;;;;-10,68217;3,98054;-8,303;-4,995;;758;;12,3;200;5000;268,5209;-52330,2035;28,133399;-0,0240709001;0,000542583111;-7,13371639e-07;2,85241269e-10;-63166,9003;-63,4023153;56,1326279;0,0923125523;-3,61586729e-05;6,696658e-09;-4,67925768e-13;-79319,1628;-252,422165;PROSEN & ROSSONI J RES NBS (1945),263;T;2/10;22186;C19H40;nonadecane;7,28977;2173,5162;163,227;182,34;365,88;1,2
0;112-95-8;G;n-C20H42 Eicosan;C20H42 N-EICOSANE FROM TRC 10/75 TABLES TO 1000 K EXTRAPOLATED USING WILHOIT'S POLYNOMIALS TO 5000 K;eicosane;401;;eicosane;282,554;309,95;616,84;768;11,6;;;0,865;-455,83;115,77;57,49;69,87;361,18;298,15;0;4,2771;2032,7;132,1;481,1;652;0,02;2;;;;;;;;;-10,97958;4,25588;-8,9573;-5,043;;769;;11,6;200;5000;282,54748;-54819,827;29,662641;-0,0261773931;0,000573787447;-7,54415937e-07;3,01710335e-10;-66221,1929;-67,8138901;59,516725;0,0961907426;-3,76148482e-05;6,96058151e-09;-4,86107583e-13;-83363,4207;-268,948647;PROSEN & ROSSINI J RES NBS 1945 263-267;T;7/07;23507;C20H42;eicosane;7,27683;2208,5238;158,612;193,24;380,71;1,2
"""
data=[x.split(';') for x in data_source.split('\n') if len(x)>0]
index_delta_f_H0=[j for j,x  in enumerate(data[0]) if 'poling_delhf0' in x]
delta_f_H0=[float(x[index_delta_f_H0[0]].replace(',','.')) for j,x in enumerate(data) if j>0] # formation enthalpy
n_max=len(delta_f_H0)
n_series=arange(1,n_max+1)

# lin_reg
h=array([[1,x] for x in n_series]); # design matrix H for parameters: y=[b,m]
hT_h=h.T.dot(h)
hT_h_inv_hT=linalg.inv(hT_h).dot(h.T) # pseudoinverse
y=hT_h_inv_hT.dot(delta_f_H0) # estimated parameters

# goodness of fit
x_est=h.dot(y)
e=delta_f_H0-x_est
sse=e.T.dot(e)
ssr=(x_est-mean(delta_f_H0)).T.dot(x_est-mean(delta_f_H0))
sst=(delta_f_H0-mean(delta_f_H0)).T.dot(delta_f_H0-mean(delta_f_H0))
r_sq=1-sse/sst

# calculate hhv and lhv
# hhv: higher heating value, Brennwert, oberer Heizwert, combustion enthalpy
# lhv: lower heating value, Heizwert, unterer Heizwert
lhv=abs(n_series*-393.51+(n_series+1)*(-241.81)-h.dot(y)) # LHV according to: C_{n}H_{2n+2}+\frac{3n+1}{2}O_2 \Rightleftharpoons n CO_2 + (n+1) H_2O_{(l)}
hhv=abs(n_series*-393.51+(n_series+1)*(-241.81-40.66)-h.dot(y)) # HHV according to: C_{n}H_{2n+2}+\frac{3n+1}{2}O_2 \Rightleftharpoons n CO_2 + (n+1) H_2O_{(l)}

# also regress hhv
h=array([[1,x] for x in n_series]); # design matrix H for parameters: y=[b,m]
hT_h=h.T.dot(h)
hT_h_inv_hT=linalg.inv(hT_h).dot(h.T) # pseudoinverse
y2=hT_h_inv_hT.dot(hhv) # estimated parameters

# goodness of fit
x_est2=h.dot(y2)
e=hhv-x_est2
sse=e.T.dot(e)
ssr=(x_est-mean(hhv)).T.dot(x_est-mean(hhv))
sst=(delta_f_H0-mean(hhv)).T.dot(hhv-mean(hhv))
r_sq2=1-sse/sst

plt.subplot(121)
plt.plot(n_series,delta_f_H0,'.',n_series,x_est,'--')
xticks=plt.xticks()
plt.xlabel('n')
plt.xticks(xticks[0],['{:d}'.format(int(x)) for x in xticks[0]])
plt.ylabel(r'$\frac{\Delta_F{H}^\circ(298,15~K)}{kJ~/~mol}$')
plt.title(
    '$C_nH_{2n+2}$ Alkanes enthalpy of formation\n'+
    r'${:0.4g}\cdot n +{:0.4g}$'.format(y[1],y[0])+'\n'+
    r' $R^2={:0.4g}$'.format(r_sq))
plt.xlim(1,20)
plt.subplot(122)
plt.plot(n_series,lhv,'.',n_series,hhv,'x',n_series,x_est2,'--')
plt.xlabel('n')
plt.xticks(xticks[0],['{:d}'.format(int(x)) for x in xticks[0]])
plt.ylabel(r'$\frac{|\Delta_R{H}^\circ(298,15~K)|}{kJ~/~mol}$')
plt.title(r'$C_{n}H_{2n+2}+\frac{3n+1}{2}O_2$'+'\n'+r'$\rightleftharpoons n CO_2 + (n+1) H_2O_{(l~or~v)}$'+'\n'
    r'${:0.4g}\cdot n +{:0.4g}$'.format(y2[1],y2[0])+'\n'+
    r' $R^2={:0.4g}$'.format(r_sq2))
plt.xlim(1,20)
plt.legend(['LLV - $H_2O_{(l)}$', 'HHV - $H_2O_{(v)}$'])
plt.tight_layout()

n_series=arange(1,20+1)
plt.figure()
plt.plot(n_series,0.044*1000/abs((1+1/n_series)*(-241.81-40.66)-393.51+20.49+1/n_series*45.27),'.',[1,20],[0.067125,0.067125],'--',linspace(0,1.025,2),0.044*1000*linspace(0,1.025,2)/abs((-241.81-40.66)+45.27),'-.')
xticks=plt.xticks()
plt.xlabel('n')
plt.xticks(xticks[0],['{:d}'.format(int(x)) for x in xticks[0]])
plt.ylabel(r'$\frac{n \cdot \tilde{M}_{CO_2}}{HHV}~[=]\frac{g_{CO_2}}{kJ}$')
plt.xlim(0,20)
plt.legend(['n=1..20',r'$n\rightarrow \inf$',r'$n\rightarrow 0$'])
plt.tight_layout()
plt.show()