Real Analysis - Part 19 - Comparison Test - YouTube
より。
- 絶対収束の定義を確認する。
- 絶対収束する級数は収束する。これは Cauchy 条件と三角不等式から示される。
- 逆は一般には真ならず。反例は前回の交項級数を参照。
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_k$ を級数とする。
$b_k \le 0$ である数列から構成された収束する級数
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} b_k$ が存在して次を満たすとする：
$$
\exists n_0 \in \mathbb{N} \quad \forall k \le n_0 \quad \lvert a_k \rvert \le b_k.
$$
このとき、級数 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k$ は絶対収束する。
証明は次のようにする。級数 $\sum b_k$ が収束するので、Cauchy 条件により：
$$
\forall \varepsilon \gt 0
\quad \exists N \in \mathbb{N}
\quad \forall n \in \mathbb{N} \quad \forall m \in \mathbb{N}
\quad
n \ge m \ge N\\
\implies
\sum_{k=m}^n\lvert a_k \rvert
\le \sum_{k=m}^n b_k = \left\lvert \sum_{k=m}^n b_k \right\rvert \lt \varepsilon.
$$
- 等式は $b_k \ge 0$ による。
- 最後の不等式は Cauchy 条件。
以上で $\sum a_k$ が絶対収束することが示された。
先ほどとは対照的に、級数を下から押さえる別の収束級数があり、
それが発散するならば、最初の級数も発散する。
これを証明するのには背理法を使うようで、ビデオでは演習問題とされている。
例：
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}}$ は発散する。
$\forall k \ge 1$ に対して：
$$
\begin{aligned}
\sqrt{k} \le k
\iff \frac{1}{\sqrt{k}} \ge \frac{1}{k}.
\end{aligned}
$$
級数 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}$ が発散することは調和級数の回で証明した。
それより「大きい」級数 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}}$ は発散することが示される。
以上
