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Ratio and Root Test |
Real Analysis - Part 20 - Ratio and Root Test - YouTube
より
ある番号 $n_0$ と $\lvert q \rvert \lt 1$ であるような実数 $q$ が存在して
すべての $k \ge n_0$ について
$$
\lvert a_k \rvert \lt q^k
$$
であるとする。このとき $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k$ は絶対収束する。
上の陳述を少し変えて、ある $C \in \mathbb{R}$ に対して
$$
\lvert a_k \rvert \lt C q^k
$$
であるとしても、絶対収束する。
ある番号 $n_0$ と実数 ${q \in [0, 1)}$ について、すべての $k \ge n_0$ に対して
$a_k \ne 0$ かつ
$$
\left\lvert\frac{a_{k+1}}{a_k}\right\rvert\le q
$$
ならば $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k$ は絶対収束する。
証明は以下のようにする。すべての $k \ge n_0$ に対して
$$
\begin{aligned}
\lvert a_{k+1} \rvert
&\le q \lvert a_{k} \rvert
\le q^2 \lvert a_{k-1} \rvert
\le \dotsb\\
&\le q^{k + 1 - n_0} \lvert a_{n_0} \rvert\\
&= q^{k+1}\frac{\lvert a_{n_0} \rvert}{q^{n_0}}.
\end{aligned}
$$
この不等式を見ると、本節の直前に記した条件を満たしているので、級数が絶対収束する。
例： $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!}$ は収束するか。
$$
\begin{aligned}
\left\lvert\frac{a_{k+1}}{a_k}\right\rvert
= \cfrac{\frac{1}{(k + 1)!}}{\frac{1}{k!}}
= \frac{1}{k + 1}
\le \frac{1}{2}.
\end{aligned}
$$
すべての $k \ge 1$ に対して成り立つので収束する。
ある番号 $n_0$ と実数 ${q \in [0, 1)}$ について、すべての $k \ge n_0$ に対して
$$
\sqrt[k]{\lvert a_k \rvert} \le q
$$
ならば、$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k$ は絶対収束する。
なぜならば、この不等式の両辺を $k$ 乗すれば Ratio test の条件が満たさているからだ。
-
$\displaystyle \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\lvert a_k \rvert} \lt 1 \implies \sum_{k=1}^{\infty}a_k$ は絶対収束する。
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$\displaystyle \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\lvert a_k \rvert} \gt 1 \implies \sum_{k=1}^{\infty}a_k$ は発散する。
