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Reordering for Series |
Real Analysis - Part 21 - Reordering for Series - YouTube
より。
有限級数は項の順序を並び替えても、和は変化したりしない。無限級数の場合にはどうか。
例 $1 + (-1) + 1 + (-1) + \dotsb.$
これはどう並び替えても収束しない。
例 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1}\frac{1}{k}.$
これは以前 Leibniz criterion の回で見た。収束する。
$$
\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dotsb = c \gt 0.
$$
これを次のように並び替えると、元の極限とは異なる値に収束するらしい：
$$
\frac{1}{1} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} +
\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} +
\frac{1}{9} + \frac{1}{11} - \frac{1}{6} + \dotsb
= \frac{3}{2}c
$$
写像 $\tau\colon\mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ を全単射とする。
級数 $\sum a_{\tau(k)}$ を $\sum a_k$ の並び替え (reordering) ということにする。
級数 $\sum a_k$ が絶対収束するならば、その並び替えもまた絶対収束し、両者の極限は等しい。
証明には Cauchy 条件を適用する：
$\varepsilon \gt 0$ を勝手に決める。
このとき、級数の絶対収束性から、ある番号 $N_1$ があって、どんな $n \ge m \ge N_1$ に対しても
$$
\sum_{k=m}^{n} \lvert a_k \rvert \lt \frac{\varepsilon}{2}.
$$
ここで、いつものように三角不等式に持ち込む：
$$
\begin{aligned}
\left\lvert \sum_{k=1}^{\infty} a_k - \sum_{k=1}^{n} a_{\tau(k)} \right\rvert
&= \left\lvert \sum_{k=1}^{\infty} a_k - \sum_{k=1}^{N_1 - 1} a_k
+ \sum_{k=1}^{N_1 - 1} a_k - \sum_{k=1}^{n} a_{\tau(k)} \right\rvert\\
&\le \left\lvert \sum_{k=1}^{\infty} a_k - \sum_{k=1}^{N_1 - 1} a_k \right\rvert
+ \left\lvert\sum_{k=1}^{N_1 - 1} a_k - \sum_{k=1}^{n} a_{\tau(k)} \right\rvert.
\end{aligned}
$$
この不等式の第一項は
$$
\begin{aligned}
\left\lvert \sum_{k=1}^{\infty} a_k - \sum_{k=1}^{N_1 - 1} a_k \right\rvert
&= \left\lvert \sum_{k=N_1}^{\infty} a_k \right\rvert\\
&\le \sum_{k=N_1}^{\infty} \lvert a_k \rvert\\
&\lt \frac{\varepsilon}{2}.
\end{aligned}
$$
第二項は写像 $\tau$ の全単射性から（ここはもっといい表現はないか？）
$$
{\tau(1), \dotsc, \tau(n)} \supset {1, \dotsc, N_1 - 1}
$$
であることに注意して、正確な番号は不定なので $?$ とでもしておくが、次の評価が成り立つ：
$$
\begin{aligned}
\left\lvert\sum_{k=1}^{N_1 - 1} a_k - \sum_{k=1}^{n} a_{\tau(k)} \right\rvert
&= \left\lvert\sum_{k=?}^{?} a_{\tau(k)} \right\rvert\\
&\le \sum_{k=?}^{?} \left\lvert a_{\tau(k)} \right\rvert\\
&\le \sum_{j=N_1}^{\infty} \left\lvert a_{j} \right\rvert\\
&\lt \frac{\varepsilon}{2}.
\end{aligned}
$$
これで、勝手な正の $\varepsilon$ に対して番号 $N_1$ があり、どんな $n \ge m \ge N_1$ に対しても次が成り立つことが示された：
$$
\left\lvert \sum_{k=1}^{\infty} a_k - \sum_{k=1}^{n} a_{\tau(k)} \right\rvert
\lt \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
$$
この不等式は、並び替えた級数と元の級数の双方の極限が等しいことを表している。
$\blacksquare$
