Real Analysis - Part 18 - Leibniz Criterion - YouTube
より。
本稿は Alternating series test, Leibniz criterion, Leipniz's test などと呼ばれる定理の証明の理解を確認するためのノートだ。
実数列 $(a_n)$ は 0 に収束するような単調減少列であると仮定する。
このとき $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k a_k$ は収束する。
これが本定理の主張だ。
次のように証明する。まず部分和 $s_n$ を取る：
$$
s_n \coloneqq \sum_{k=1}^n (-1)^k a_k.
$$
以下、これが収束することを示す。
次に考えることは、偶数番号と奇数番号とで和を分けることだ。
リンク先のビデオのイラストを描いて大小関係を納得すること
（仮定から $a_k \gt 0$ が成り立っていることに注意すること）：
$$
\begin{aligned}
s_{2l + 2} - s_{2l} &= -a_{2l + 1} + a_{2l + 2} &\le 0.\\
s_{2l + 3} - s_{2l + 1} &= a_{2l + 2} - a_{2l + 3} &\ge 0.\\
\end{aligned}
$$
これにより、偶数番号部分和と奇数番号部分和はそれぞれ単調減少列、単調増加列であることがわかる。
さらに、
$$
s_{2l + 1} - s_{2l} = -a_{2l+1} \le 0.\\
\therefore s_{2l + 1} \le s_{2l}.
$$
以上の評価をまとめると、次が得られて部分和 $s_n$ が有界であることが示される：
$$
s_1 \le \dotsb \le s_{2l + 1} \le s_{2l} \le \dotsb \le s_2.
$$
この不等式の鎖はビデオのイラストが示していることだ。
最後に、奇数番目までの部分和と偶数番目の部分和を調べる：
$$
\begin{aligned}
&\lim_{l \to \infty}(s_{2l + 1} - s_{2l})
= \lim_{l \to \infty}(-a_{2l+1})
= 0.\\
\therefore & \lim_{l \to \infty}s_{2l + 1} = \lim_{l \to \infty}s_{2l} \lt \infty.\\
\therefore & \lim_{n \to \infty}s_n \lt \infty.\\
\end{aligned}
$$
これで主張したいことが示された。
ビデオでは最後の不等式を示すことを演習にすると言っている。
$l \to \infty \implies n \coloneqq 2l + 1 \to \infty$ ということでいいだろう。偶数番号も同じ。
