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Geometric Series and Harmonic Series |
Real Analysis - Part 16 - Geometric Series and Harmonic Series - YouTube より。
以下 $q \in \mathbb{R}$ とする。
$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}q^n$ が収束 $\iff$ $\lvert q\rvert \lt 1$.
部分和 $(q \ne 1)$
$$
s_n = \sum_{k=1}^nq^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.
$$
$(s_n)$ が収束 $\iff$ $(q_n)$ が 0 に収束する $\iff$ $\lvert q\rvert \lt 1$.
For $q \lt 1$:
$$
\sum_{k=0}^{\infty}q^n = \lim_{n \to \infty}s_n = \frac{1}{1 - q}.
$$
目標：調和級数が発散することをどう証明するかを理解する。推論の詳細を忘れぬこと。
$$
\begin{aligned}
\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k}
&= \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \dotsb + \frac{1}{k} + \dotsb\\
&= \infty.
\end{aligned}
$$
$s_n \coloneqq \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}.$
$(s_n)$ は単調増加だ。だから上に有界でないことを示せば、
$(s_n)$ が発散することが示される。
そこで 2 のべき乗項の部分和を検討する。次のように変形して考える：
$$
\begin{aligned}
s_{2^m}
&= s_1 + (s_2 - s_1) + (s_3 - s_2) + \dotsb + (s_{2^m} - s_{2^{m - 1}})\\
&= s_1 + \sum_{j = 1}^{m}(s_{2^k} - s_{2^{k - 1}}).
\end{aligned}
$$
ここが急所だが、シグマの括弧内を次のように評価できることに注意する：
$$
\begin{aligned}
s_{2^k} - s_{2^{k - 1}}
&= \sum_{j = 2^{k - 1} + 1}^{2^k}\frac{1}{j}\\
&\gt \sum_{j = 2^{k - 1} + 1}^{2^k}\frac{1}{2^{k}} = 2^{k - 1}\cdot\frac{1}{2^{k}}
= \frac{1}{2}.
\end{aligned}
$$
例えば：
$$
\begin{aligned}
s_2 - s_1 &= \frac{1}{2},\\
s_4 - s_2 &= \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \gt \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2},\\
s_8 - s_4 &= 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2},\\
&\dots
\end{aligned}
$$
したがって
$$
s_{2^m} \gt s_1 + \frac{m}{2}.
$$
この評価から $m \to \infty$ のときに $s^{2m}$ は発散することが示される。
以上
