Real Analysis - Part 22 - Cauchy Product - YouTube
より。
級数同士の積を考える。有限和から出発する。
有限和に関しては、例えば 3 項同士の乗算を考え、これを次のように区切る：
$$
\begin{aligned}
(a_0 + \dotsb + a_2) \cdots (b_0 + \dotsb + b_2)
&= a_0b_0 + a_1 b_0 + a_2 b_0 +
a_0b_1 + a_1 b_1 + a_2 b_1 +
a_0b_2 + a_1 b_2 + a_2 b_2\\
&= (a_0b_0) + (a_1 b_0 + a_2 b_0) +
(a_0b_1 + a_1 b_1 + a_2 b_1) +
(a_0b_2 + a_1 b_2) + (a_2 b_2).
\end{aligned}
$$
※ビデオの図をよく見て意図を理解すること。対角線に注目する。
これをヒントに無限の項同士の積に自然に拡張したいということで
Cauchy 積を定義する。二つの級数に関して $c_k$ を次で定義する：
$$
c_k \coloneqq \sum_{l = 0}^k a_l b_{k - l}.
$$
これを Cauchy 積という。この積に関する次の定理が知られている：
$\sum a_k$ が絶対収束し、 $\sum b_k$ が収束するならば、それらの
Cauchy 積からなる級数 $\sum c_k$ は絶対収束し、次が成り立つ：
$$
\sum_{k=0}^\infty c_k =
\left(\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\right)
\left(\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}\right).
$$
証明は $\varepsilon$ 論法による。
以下、Cauchy product - Wikipedia より抄録。
まず $A_n, B_n, C_n$ を級数 $\sum a_k, \sum b_k, \sum c_k$ の第 $n$ 項までの部分和とする：
$$
A_n \coloneqq \sum_{k=0}^n a_k,
B_n \coloneqq \sum_{k=0}^n b_k,
C_n \coloneqq \sum_{k=0}^n c_k.
$$
このとき
$$
C_n = \sum_{k = 0}^{n}a_{n-k}B_k
$$
に余分な項を挟んで次のように書き換える：
$$
\begin{equation}
C_n = \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}(B_k - B) + A_n B.
\end{equation}
$$
さらに $A, B, C$ を各級数の極限とおく。示したいことは $C = AB.$
勝手に $\varepsilon \gt 0$ をとる。
$\sum a_k$ に関する絶対収束性および
$B_n \to B;(n \to \infty)$ の仮定より、次のような番号 $N$ が存在する：
$$
\begin{equation}
\lvert B_n - B \rvert \le \frac{\varepsilon/3}{\sum \lvert a_k \rvert + 1},
\quad \forall n \ge N.
\end{equation}
$$
次に、数列 $(a_k)$ が 0 に収束することから次のような番号 $M$ が存在する：
$$
\begin{equation}
\lvert a_n \rvert \le \frac{\varepsilon}{3N(\max {\lvert B_k - B \rvert} + 1)},
\quad \forall n \ge M.
\end{equation}
$$
ここで $\max$ は $k = 0, \dotsc, N - 1$ でとる。
さらに $A_n \to A;(n \to \infty)$ から、次のような番号 $L$ が存在する：
$$
\begin{equation}
\lvert A_n - A \rvert \le \frac{\varepsilon/3}{\lvert B \rvert + 1},
\quad \forall n \ge L.
\end{equation}
$$
$n \ge \max\lbrace L, M + N\rbrace$ をみたす番号すべてにおいて、上記
$(1)$ から $(4)$ を用いれば次の評価が成り立つ：
$$
\begin{aligned}
\lvert C_n - AB \rvert
&= \left\lvert \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}(B_k - B) + (A_n - A)B\right\rvert\\
&\le \sum_{k=0}^{N-1}\lvert a_{n-k} \rvert \lvert B_k - B \rvert + \sum_{k=N}^{n} \lvert a_{n-k} \rvert \lvert B_k - B \rvert + \lvert A_n - A \rvert \lvert B \rvert\\
&\le \frac{\varepsilon}{3N} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3}\\
&\le \varepsilon.\\
\therefore C &= \lim_{n\to\infty} C_n = AB.
\quad\blacksquare
\end{aligned}
$$
証明中の分母に $+1$ がチラつくのは、各極限が $0$ の場合を牽制しているだけだ。気にすることはない。
例として $\exp(x)$ を挙げる：
$$
\exp(x) \coloneqq \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{x^k}{k!},
\quad \forall x \in \mathbb{R}.
$$
この級数は以前の回で Ratio 判定法により絶対収束することが示された。
Cauchy 積を $\exp(x)$ と $\exp(y)$ に適用すれば、
$$
\begin{aligned}
c_k = \sum_{l=0}^k \frac{x^l}{l!}\cdot\frac{y^{k-l}}{(k - l)!}
&= \frac{1}{k!}\sum_{l=0}^{k} {k \choose l} x^l y^{k-l}\\
&= \frac{1}{k!}(x + y)^k.
\end{aligned}
$$
したがって
$$
\begin{aligned}
\exp(x + y) &= \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{k!}(x + y)^k\\
&= \sum_{k=0}^{\infty}c_k
= \left(\sum_{k=0}^{\infty}a_k\right)
\left(\sum_{k=0}^{\infty}b_k\right)\\
&= \exp(x)\exp(y)
\quad \forall x \in \mathbb{R} \forall y \in \mathbb{R}.
\end{aligned}
$$
この等式を使いたいので、Cauchy 積が重要なのだと思う。
