目標：収束列同士の極限に関する基本定理各種の証明を己の頭に叩き込む

theorem-on-limits.md

title	date
Cauchy Product	2023-03-22 (Wed)

Real Analysis - Part 4 - Theorem on limits を視聴。簡単な命題は証明を自分で考える。やってみるとわかるが、紙にペンで書くよりもキーボードで数式を編集するのほうがやりやすい。 値 $\varepsilon$ の調整が見通しやすいのだ。

収束列の和および差の極限

命題 実数列 $(a_n)$ と $(b_n)$ は実数 $\alpha$ と $\beta$ にそれぞれ収束するとする。 このとき、実数列 ${(a_n + b_n)}$ と ${(a_n - b_n)}$ は ${\alpha + \beta}$ と ${\alpha - \beta}$ にそれぞれ収束する。

証明 $\varepsilon \gt 0$ とする。仮定から $N_1 \in \mathbb{N}$ および $N_2 \in \mathbb{N}$ が存在し次が成り立つ：

$$ \forall n \left(n \ge N_1 \implies \lvert a_n - \alpha \rvert \lt \frac{\varepsilon}{2}\right).\\ \forall n \left(n \ge N_2 \implies \lvert b_n - \beta \rvert \lt \frac{\varepsilon}{2}\right).\\ $$

自然数 $M \coloneqq \max{N_1, N_2}$ に対して $n \ge M$ ならば次が成り立つ（複号同順）：

$$ \begin{aligned} \lvert (a_n \pm b_n) - (\alpha \pm \beta)\rvert &= \lvert (a_n - \alpha) \pm (b_n - \beta) \rvert\\ &\le \lvert a_n - \alpha \rvert + \lvert b_n - \beta \rvert\\ &\lt \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2}\\ &= \varepsilon.\\ \therefore \lim_{n\to\infty}(a_n \pm b_n) &= \alpha \pm \beta. \qquad\blacksquare \end{aligned} $$

収束列の定数倍の極限

命題 実数列 $(a_n)$ は実数 $\alpha$ に収束するとする。 このとき、任意の実数 $c$ に対して実数列 ${c a_n}$ は $c\alpha$ に収束する。

証明 $\varepsilon \gt 0$ とする。場合分けをする。$c = 0$ のときは $0$ に収束することは明らか。

$c \ne 0$ とする。仮定から $N \in \mathbb{N}$ が存在し次が成り立つ：

$$ \forall n \left(n \ge N \implies \lvert a_n - \alpha \rvert \lt \frac{\varepsilon}{\lvert c \rvert}\right).\\ $$

この $n$ に対して次が成り立つ：

$$ \begin{aligned} \lvert ca_n - c\alpha \rvert &= \lvert c (a_n - \alpha) \rvert\\ &= \lvert c \rvert \lvert a_n - \alpha \rvert\\ &\lt \lvert c \rvert \cdot \frac{\varepsilon}{\lvert c \rvert }\\ &= \varepsilon.\\ \therefore \lim_{n\to\infty}ca_n &= c\alpha. \qquad\blacksquare \end{aligned} $$

収束列の積の極限

命題 実数列 $(a_n)$ と $(b_n)$ は実数 $\alpha$ と $\beta$ にそれぞれ収束するとする。 このとき、実数列 ${(a_nb_n)}$ は $\alpha\beta$ に収束する。

証明 $\varepsilon \gt 0$ とする。実数列 $(a_n)$ は収束するので有界だ。したがって $M \gt 0$ とすると $N_3 \in \mathbb{N}$ が存在して：

$$ \forall n \ge N_3 \implies \lvert a_n \rvert \le M. $$

$(a_n)$ の極限が $\alpha$ であることから、ある $N_2 \in \mathbb{N}$ が存在して次が成り立つ：

$$ \forall n \ge N_1 \implies \lvert a_n - \alpha \rvert \le \frac{\varepsilon}{2\lvert \beta \rvert}. $$

$(b_n)$ の極限が $\beta$ であることから、ある $N_3 \in \mathbb{N}$ が存在して次が成り立つ：

$$ \forall n \ge N_2 \implies \lvert b_n - \beta \rvert \le \frac{\varepsilon}{2M}. $$

この三つの不等式を利用して、自然数 $N \coloneqq \max{N_1, N_2, N_3}$ に対して $n \ge N$ ならば：

$$ \begin{aligned} \lvert a_nb_n - \alpha\beta \rvert &= \lvert a_nb_n - a_n\beta + a_n\beta - \alpha\beta \rvert\\ &\le \lvert a_nb_n - a_n\beta \rvert + \lvert a_n\beta - \alpha\beta \rvert\\ &= \lvert a_n \rvert \lvert b_n - \beta \rvert + \lvert \beta \rvert \lvert a_n - \alpha \rvert\\ &\le M \cdot \frac{\varepsilon}{2M} + \lvert \beta \rvert \cdot\frac{\varepsilon}{2\lvert \beta \rvert}\\ &\lt \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2}\\ &= \varepsilon.\\ \therefore \lim_{n\to\infty}a_n b_n &= \alpha \beta. \qquad\blacksquare \end{aligned} $$

収束列の逆数の極限

命題 非ゼロ値からなる実数列 $(a_n)$ は $\alpha \ne 0$ に収束するとする。 このとき、実数列 ${(1/a_n)}$ は $1/\alpha$ に収束する。

証明 $\varepsilon \gt 0$ とする。 $(a_n)$ が $\alpha$ に収束することから $\dfrac{\varepsilon\lvert \alpha \rvert^2}{2} \gt 0$ に対してある $N_1 \in \mathbb{N}$ が存在して次が成り立つ：

$$ \forall n \ge N_1 \implies \lvert a_n - \alpha \rvert \lt \frac{\varepsilon\lvert \alpha \rvert^2}{2}. $$

また、 $\dfrac{\lvert \alpha \rvert}{2} \gt 0$ に対してある $N_2 \in \mathbb{N}$ が存在して次が成り立つ：

$$ \forall n \ge N_2 \implies \lvert a_n \rvert \gt \frac{\lvert \alpha \rvert}{2}. $$

$N \coloneqq \max{N_1, N_2}$ に対して、$n \ge N$ ならば：

$$ \begin{aligned} \left\lvert \frac{1}{a_n} - \frac{1}{\alpha} \right\rvert &= \left\lvert \frac{a_n - \alpha}{a_n \alpha} \right\rvert\\ &= \lvert a_n - \alpha \rvert \cdot \frac{1}{\lvert a_n \rvert} \cdot \frac{1}{\lvert \alpha\rvert}\\ &\lt \frac{\varepsilon\lvert \alpha \rvert^2}{2} \cdot \frac{2}{\lvert \alpha \rvert} \cdot\frac{1}{\lvert \alpha \rvert}\\ &= \varepsilon.\\ \therefore \lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n} &= \frac{1}{\alpha}. \qquad\blacksquare \end{aligned} $$

補足

ざっと書き殴ったので、細かい記述ミスがある可能性が高い。 しかし、自分用のメモとしては役に立つので Gist かどこかに保存しておく。 こういうのは若い時分に真面目にクリアしておかないと老いてから気を揉むことになるようだ。

どの証明でも、最終的な三角不等式を評価する数式を最初に書き始めるのがコツだ。 それから仮定の収束列の正数を不等式ごとに調整して、最終的に素の $\varepsilon$ で押さえる形に持ち込む。

収束列が有界であることについては前回ビデオ Part 3 - Bounded sequences and unique limits 参照。

収束列の逆数については real analysis - Proof of convergence for reciprocal of convergent sequence - Mathematics Stack Exchange がたいへんわかりやすい。

以上