###Magic Index
####Question A magic index in an array A[1...n-1] is defined to be an index such that A[i] = i. Given a sorted array of distinct integers, write a method to find a magic index, if one exists, in array A. FOLLOW UP What if the values are not distinct?
给定一个数组A，其中有一个位置被称为Magic Index，含义是：如果i是Magic Index，则A[i] = i。假设A中的元素递增有序、且不重复，请给出方法，找到这个Magic Index。更进一步，当A中允许有重复的元素，该怎么办呢？
####Solution for distinct value
一些同学在遇到这个题目的时候，往往会觉得比较简单。扫描一遍，不就ok了么？O(n)的。很简单呀。可是，大家要注意到，还有一个条件没有用：A中的元素是有序递增的。这个条件，并不是放在这里迷惑大家的，而是有更大的作用的。这个时候，该如何想呢？O(n)不是最好的方法，更好的是什么呢？怎么利用数组有序呢？在有序的数组中查找一个满足特定元素的条件，我们通常会想到二分查找。 我们来回顾一下二分查找，对于要查找的目标t，我们首先与数组中间的元素比较，如果t大于中间的元素，则在右半部分继续查找；如果t小于中间的元素，则在左半部分，继续查找。
那么，我们的题目能够利用上述的思想呢？我们来看一个具体的例子：
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| -10 | -5 | 1 | 2 | 4 | 10 | 12 |
mid=3，A[mid] = 2，即A[mid] < mid。接下来，我们应该在哪一边查找呢？我们知道数组的元素是递增有序，且不重复的，也就是说，在A[mid]左边的元素，比A[mid]都要小，没有重复，意味着什么呢？每向左移动一位，至少减1。所以，在mid左边，不可能有一个i，A[i]=i的。如果有，根据前面的分析，我们知道A[mid] - A[i] >= mid - i, 如果A[i] = i，则，A[mid] >= mid, 这与事实A[mid] < mid相悖。所以，接下来，只能在右边进行查找。代码与二分查找也很像。
####Solution for not distinct value
如果数组A中，有重复元素，是什么情况呢？经过前面的分析，我们知道，是否有重复的主要差别在，数组的元素从右到左进行递减，每次不一定至少是1了，有可能是0了。让我们直观的看一下影响吧。
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| -10 | 2 | 2 | 2 | 9 | 10 | 12 |
看上面的数组，同样A[mid] < mid。我们应该继续查右边么？显然，右边并不存在Magic Index。查找右边，就会找不到这样的Magic Index。此时，应该如何处理呢？我们无法确定，Magic Index是在左边，还是在右边了。那就两边都递归进行处理吧。
在这里还有一个小技巧，我们就是要分别递归处理[0, mid - 1]和[mid + 1， end]（end是数组长度-1）么？我们看一个具体的例子：
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| -10 | 2 | 2 | 2 | 2 | 10 | 12 | 13 | 20 |
这个例子，当我们进行左半部分递归处理的时候，需要考虑的范围是[0, 3]。可实际上，我们只需要考虑[0, 2]。原因是，数组元素在mid=4的左边的值都要小于或者等于A[mid]=2，所以最大的一个有可能是Magic Index的，就是index为A[mid]的情况。所以，这时右边的边界应该是min(mid - 1, A[mid])。
那么，右边的情况呢？如下例子：
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| -10 | 2 | 2 | 2 | 9 | 10 | 12 | 13 | 20 |
此时，要在右半部分进行查找，范围一般是[5, 8]。但是，由于数组有序，后面的值，一定是大于等于A[mid]=9的。所以，有可能是Magic Index的最小Index是9，也就是说右边的递归，应该是从索引为9的位置开始。此例，就意味着，无需处理右边了。
#####perl code
#!/usr/bin/perl
#
=comment
A magic index in an array A[1...n-1] is defined to be an index such
that A[i] = i. Given a sorted array of distinct integers, write a
method to find a magic index, if one exists, in array A.
FOLLOW UP
What if the values are not distinct?
=cut
use strict;
use warnings;
# distinct
my @arr = (-40, -20, -1, 1, 2, 3, 5, 7, 9, 12, 13);
#my @arr = (-40, -20, -1, 1, 2, 3, 5, 7, 8, 12, 13);
#my @arr = (-40, -20, -1, 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 13);
my $index = -1;
my ($left, $right) = (0, $#arr);
while(1) {
last if ($left > $right);
my $mid = int(($left + $right) / 2);
if ($arr[$mid] == $mid) {
$index = $mid;
last;
}
if ($arr[$mid] > $mid) {
$right = $mid - 1;
} else {
$left = $mid + 1;
}
}
print "find $index\n";
my @arr = (-40, -20, 2, 2, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 13);
# not distinct
sub magic_fast{
my ($arr_ref, $start, $end) = @_;
return -1 if ($start > $end);
my $mid = int(($start + $end) / 2);
return $mid if ($arr_ref->[$mid] == $mid);
my $left_end = $arr_ref->[$mid];
$left_end = $mid - 1 if ($mid - 1 < $arr_ref->[$mid]);
my $left_index = magic_fast($arr_ref, $start, $left_end);
return $left_index if ($left_index > 0);
my $right_start = $arr_ref->[$mid];
$right_start = $mid + 1 if ($mid + 1 > $arr_ref->[$mid]);
return magic_fast($arr_ref, $right_start, $end);
}
print "find ", magic_fast(\@arr, 0, $#arr),"\n";