Rozszerzanie ułamków

gistfile1.tex

# Rozszerzanie ułamków

### Czym ułamek jest?

* **Ułamek** – wyrażenie postaci $\frac{a}{b}$, gdzie $a$, nazywane licznikiem, oraz $b$, nazywane mianownikiem, są dowolnymi wyrażeniami algebraicznymi. Linię oddzielającą licznik od mianownika nazywa się kreską ułamkową. (via Wikipedia)*

Na potrzeby tego tematu uprośćmy pojęcie ułamka do tego:

* **Ułamek** – to liczba podzielona przez liczbę postaci $\frac{a}{b}$, gdzie $a$ jest nazywane licznikiem, a $b$ mianownikiem. Mianownik nie może być równy 0.*

### Abstrakcja ułamka

Wyobraźmy sobie ciasto, pyszne mniam ciasto. Owocowe, owocowe ciasta są dobre. Takie tarty z malinami na przykład. I paru kolesi chce się do takiej jednej dobrać, bo wiadomo - dobre ciasto, to i fajnie zjeść. Ale jak tu je zjeść, jak jest niepokrojone, a głodnych chłopaków paru, do tego silnych?

Na szczęście mają nóż! I tym nożem mogą sobie pokroić ciasto, dali ten nóż sprawiedliwemu Salomkowi, (skrót od Salomona) i on pokroił to mniam ciasto na równe kawałki.

Dodajmy trochę szczegółów. Gości było pięciu, włączając Salomka. Pokroił on ciasto na 5 równych części (bo był sprawiedliwy, w końcu imię zobowiązuje). Więc jaką część ciasta dostał każdy z kolesi?

Ano jedną piątą $= \frac15$.

A teraz wyobraźmy sobie, że Salomek miał Alzheimera i zapomniał ilu jest kolesi w bandzie. W przypływie weny twórczej pokroił ciasto na 10 kawałków. Cóż zrobić w takiej sytuacji?

Zdzisiek, głowa bandy zafrapował się i podrapał w głowę (łysą co prawda, bo jest dresem, ale i tak się podrapał). (A jako że jest dresem, to inteligencją nie grzeszył.) Postanowił zadzwonić do swojego kolegi Elronda, żeby spytać, co zrobić w takiej sytuacji.

Elrond powiedział mu: *Chłopcze, nie martw się. Niech każdy jeden z pięciu weźmie dwa kawałki ciasta. Wyjdzie po równo, zaufaj mi!*

I takoż zrobili. Teraz czas na szybkie zadanie.

**Salomek pokroił ciasto na 20 kawałków, bo oprócz Alzheimera kiedyś go kopnął prąd i mu się ręcę trzęsą. Po ile kawałków powinni zjeść Zdzisiowi Gangsterzy, żeby każdy zjadł po równo pysznych malinek?**

Popatrz na to:

$$\frac15 = \frac2{10} = \frac4{20}$$

Zgodzisz się pewnie ze mną, że wszystkie te trzy ułamki są równe (Elrond też by się zgodził). Teraz zajrzyjmy pod maskę (znaczy się kreskę ułamkową) ułamkom i sprawdźmy jaka magia za tym stoi.

$$\frac15 = \frac15\cdot 1 = \frac15\cdot\frac22 = \frac{1\cdot2}{5\cdot2} = \frac2{10}$$

$$\frac15 =  \frac15\cdot 1 = \frac15\cdot\frac44 = \frac{1\cdot4}{5\cdot4} = \frac4{20}$$

Widzicie co się stało?

**Rozszerzyliśmy ułamek!** W pierwszym przypadku przez dwa, w drugim przez cztery.