Ułamki dziesiętne i zwykłe

ulamki.md

Wstęp

Ułamek dziesiętny, co to właściwie jest? Pamiętamy co to ułamek zwykły, prawda? Były to dwie liczby, podzielone przez siebie.

Właśnie tak. A teraz skąd znamy ułamki dziesiętne? No zewsząd, choćby ze sklepów:

Przez chwilę przyjrzyjmy się historii Jacusia, który poszedł pewnego dnia do sklepu (powiedzmy, że doooo... Żuczka). Zajrzał doń i stanął przed stoiskiem z warzywami. Wszędzie ktoś ponapisywał dziwne znaki "3,99", "7,98", "2,50". Zastanowiło go to, no bo skąd się tak nagle wszyscy umówili, czy może to sprawka jednego pracowitego mężczyzny?

Poszedł do domu i spytał się tatusia, co to są te dziwne liczby z przecinkiem?

Ułamek dziesiętny

Tak w skrócie, ułamek dziesiętny to ułamek, w którym mianownik jest potęgą liczby 10.

Przykłady ułamków dziesiętnych

Nie przyzwyczajaj się tego pierwszego zapisu ułamków, baaaardzo rzadko się go spotyka. Zobaczmy jak to wygląda w drugą stronę, weźmy sobie przypadkowy ułamek dziesiętny, taki zwyczajny i zobaczmy jaki wyjdzie z niego ułamek zwykły...

Ale ułamek dziesiętny można też skrócić przy przemianie na ułamek zwykły:

Ułamki dziesiętny nieskończone

Istnieje też coś takiego jak ułamek dziesiętny nieskończony. Domyślasz się o co chodzi, bo Jacuś już wie!

Ułamek dziesiętny to taki ułamek, którego rozwinięcie dziesiętne (ten ciąg cyfr po przecinku) nie kończy się.

Przykładami takich liczb są:

Ale ale, czy naprawdę z tymi wszystkimi liczbami nie da się nic zrobić? Nie da się ich zapisać w postaci ułamków zwykłych? Otóż tutaj czeka Cię niespodzianka!

Przełożenie ułamków dziesiętnych o nieskończonym rozwinięciu na ułamki zwykłe

Najpierw wprowadzimy sobie pojęcie ułamka okresowego, bo tylko takie nas interesują w tym przypadku. Ułamek okresowy, to taki, w którego rozwinięciu dziesiętnym powtarza się jakiś ciąg znaków. Przykłady:

Wygląda ciężko, prawda? Ale algorytm przekładania takich ułamków na zwykłe jest bardzo proste.

Ważne spostrzeżenie numer 1: Ułamek dziesiętny o nieskończonym rozwinięciu da się zapisać jako ułamek zwykły tylko jeśli ułamek jest okresowy.

Magiczny sposób

Załóżmy, że chcemy jako ułamek zwykły zapisać liczbę 0,(6). Na początek zapiszmy ją sobie jako x.

Sprawdźmy jaką długość ma okres - w tym przypadku długość jest zwyczajnie równa 1. Teraz pomnóżmy liczbę x przez 10 do potęgi "długość okresu".

Prawda? Zapiszmy to sobie inaczej troszkę:

A z pierwszego równania mamy, że x = 0,(6), odejmijmy zatem z obu stron tą liczbę. Zostanie nam:

Przenieśmy 9 na drugą stronę:

A zatem ułamek zwykły równy naszemu 0,(6) równy jest 6/9. Zapiszmy sobie algorytm krok po kroku.

1. Zapisujemy ułamek wyjściowy jako x.
2. Liczymy długość okresu ułamka x.
3. Mnożymy obie strony równania przez 10 do potęgi długości okresu.
4. Odejmujemy z obu stron x.
5. Dzielimy obie strony tak, żeby z jednej strony pozostał nam tylko x.

I voila! Tyle wystarczy! Przejdźmy sobie jakiś przykład, trudniejszy, jeszcze raz...

Krok 1:

Krok 2:

Długość okresu: 3

Krok 3:

Krok 4:

Krok 5:

Proste, prawda? (oby...)

Dla przećwiczenia, proszę, spróbujcie zamienić te ułamki na ułamki zwykłe:

• 0.(9)
• 2.(13)