logarithmusregel

Logarithmusregel

# Beweis Logarithmusregel
## Logarithmisch Differenzieren

**zz:**     $ log_a(x) = \frac 1{x * ln(a)} $

### teil 1:
##### sonderfall $ a = e $ → $ log_a = ln $
**zz:** $ ln(x) = \frac1x$

$$ e^{ln(x)} = x \ \ | \frac d{dx}$$
$$ \frac d{dx}e^{ln(x)} = \frac {dx}{dx}$$
$$ e^{ln(x)} \frac {d \ ln(x)}{dx} = 1 \ \ | : e^{ln(x)}$$ 
$$ \frac {d \ ln(x)}{dx} = \frac1{e^{ln(x)}}$$

### teil 2:
##### erweiterung auf beliebige basis a

$$ log_a(x) = \frac{ln(x)}{ln(a)} \ \ | \frac d{dx}$$
$$ \frac {d\ log_a(x)}{dx} = \frac{ln(x)}{ln(a)}$$
$$ \frac {d\ log_a(x)}{dx} = \frac{1}{x\ ln(a)}$$

$q.e.d$

> Written with [StackEdit](https://stackedit.io/).

logarithmusregel

# Beweis Logarithmusregel
## Logarithmisch Differenzieren

**zz:**     $ log_a(x) = \frac 1{x * ln(a)} $

### teil 1:
##### sonderfall $ a = e $ → $ log_a = ln $
**zz:** $ ln(x) = \frac1x$

$$ e^{ln(x)} = x \ \ | \frac d{dx}$$
$$ \frac d{dx}e^{ln(x)} = \frac {dx}{dx}$$
$$ e^{ln(x)} \frac {d \ ln(x)}{dx} = 1 \ \ | : e^{ln(x)}$$ 
$$ \frac {d \ ln(x)}{dx} = \frac1{e^{ln(x)}}$$

### teil 2:
##### erweiterung auf beliebige basis a

$$ log_a(x) = \frac{ln(x)}{ln(a)} \ \ | \frac d{dx}$$
$$ \frac {d\ log_a(x)}{dx} = \frac{ln(x)}{ln(a)}$$
$$ \frac {d\ log_a(x)}{dx} = \frac{1}{x\ ln(a)}$$

$q.e.d$

> Written with [StackEdit](https://stackedit.io/).