Ejercicio_24.txt

24.
  x² + 2dx + d² = 0
Se reescribe de otra forma equivalente
  (1)x² + (2d)x + (d²) = 0
La ecuación tiene la forma:
  (a)x² + (b )x + (c ) = 0.
Donde:
  a es 1
  b es 2d
  c es d²
Se usa la ecuación:
  x = (-b ± √(b² - 4ac))/2a
  x = (-(b) ± √((b)² - 4(a)(c))) / 2(a)
Se reemplazan los valores
  x = (-(2d) ± √((2d)² - 4(1)(d²))) / 2(1)
  x = (-2d ± √(4d² - 4d²)) / 2
  x = (-2d ± √(0)) / 2
  x = (-2d ± 0) / 2
  x = (-2d) / 2
  x = -2d / 2
  x = -d
Solución: x = -d
Prueba:
Se reemplaza x en x² + 2dx + d² = 0 por el valor encontrado
  ( x)² + 2d( x) + d² = 0
  (-d)² + 2d(-d) + d² = 0
      d² - 2d(d) + d² = 0
        d² - 2d² + d² = 0
        d² + d² - 2d² = 0
            2d² - 2d² = 0
                    0 = 0
0 es igual a 0 entonces el resultado es correcto.

Ejercicio_26.txt

26.
  (x + c)² = d²
Se expande la parte izquierda de la igualdad
           (x + c)² = d²
     (x + c)(x + c) = d²
  x² + cx + cx + c² = d²
      x² + 2cx + c² = d²
Se resta d² en ambas partes de la igualdad
       x² + 2cx + c² = d²
  x² + 2cx + c² - d² = d² - d²
  x² + 2cx + c² - d² = 0
Se reescribe de otra forma equivalente
  (1)x² + (2c)x + (c² - d²) = 0
La ecuación tiene la forma:
  (a)x² + (b )x + (c ) = 0.
Donde:
  a es 1
  b es 2c
  c es c² - d²
Se usa la ecuación:
  x = (-b ± √(b² - 4ac))/2a
  x = (-(b) ± √((b)² - 4(a)(c))) / 2(a)
Se reemplazan los valores
  x  = (-(2c) ± √((2c)² - 4(1)(c² - d²))) / 2(1)
  x  = (-(2c) ± √((2c)² - 4(c² - d²))) / 2
  x  = (-2c ± √(4c² - 4(c² - d²))) / 2
  x  = (-2c ± √(4c² - 4c² + 4d²)) / 2
  x  = (-2c ± √(0 + 4d²)) / 2
  x  = (-2c ± √(4d²)) / 2
  x  = (-2c ± 2√(d²)) / 2
  x  = (-2c ± 2d) / 2
  x  = (-2c / 2) ± (2d / 2)
  x  = (-c) ± (d)
  x  = -c ± d
Solución: x₁ = -c + d
          x₂ = -c - d
Prueba:
Se reemplaza x en (x + c)² = d² por los valores encontrados, es decir: x₁ y x₂
En el caso de x₁
  (    x₁    + c)² = d²
   ((-c + d) + c)² = d²
     (-c + d + c)² = d²
      (d + c - c)² = d²
              (d)² = d²
                d² = d²
d² es igual a d² entonces el resultado es correcto para x₁

Ejercicio_66.txt

66.
  ax² + bx + c = 0
  Donde x₁ y x₂ son raices
Si x₁ y x₂ son raices, entonces
  ax₁² + bx₁ + c = 0
  ax₂² + bx₂ + c = 0

Para probar que x₁ + x₂ = -b/a
Se pueden igualar
  ax₁² + bx₁ + c = ax₂² + bx₂ + c
Se resta c en ambas partes de la igualdad
  ax₁² + bx₁ + c - c = ax₂² + bx₂ + c - c
          ax₁² + bx₁ = ax₂² + bx₂
Se resta ax₂² + bx₂ en ambas partes de la igualdad
  ax₁² + bx₁ - (ax₂² + bx₂)   = ax₂² + bx₂ - (ax₂² + bx₂)
    ax₁² + bx₁ - ax₂² - bx₂   = ax₂² + bx₂ - ax₂² - bx₂
    ax₁² + bx₁ - ax₂² - bx₂   = ax₂² - ax₂² - bx₂ + bx₂
    ax₁² + bx₁ - ax₂² - bx₂   = 0
    ax₁² - ax₂² + bx₁ - bx₂   = 0
    a(x₁² - x₂²) + b(x₁ - x₂) = 0
    
Se resta b(x₁ - x₂) en ambas partes de la igualdad
  a(x₁² - x₂²) + b(x₁ - x₂) - b(x₁ - x₂) = -b(x₁ - x₂)
                            a(x₁² - x₂²) = -b(x₁ - x₂)
Se divide por a en ambas partes de la igualdad
                        a(x₁² - x₂²) / a = -b(x₁ - x₂) / a
                             (x₁² - x₂²) = -b(x₁ - x₂) / a
Se divide por (x₁ - x₂) en ambas partes de la igualdad
                 (x₁² - x₂²) / (x₁ - x₂) = -b(x₁ - x₂)/a(x₁ - x₂)
                 (x₁² - x₂²) / (x₁ - x₂) = -b/a
Se factoriza (x₁² - x₂²) en (x₁ + x₂)(x₁ - x₂)
          (x₁ + x₂)(x₁ - x₂) / (x₁ - x₂) = -b/a
          (x₁ + x₂) = -b/a

Se prueba que x₁ + x₂ = -b/a


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Para probar que x₁x₂ = c/a

Usando la solución anterior
  x₁ + x₂ = -b/a
Se multiplica por -a en ambos lados de la igualdad
  -a(x₁ + x₂) = -a(-b/a)
  -a(x₁ + x₂) = ab/a
  -a(x₁ + x₂) = b
Reemplazamos b en ax₁² + bx₁ + c = 0
  ax₁²  + (     b     )x₁ + c = 0
   ax₁² + (-a(x₁ + x₂))x₁ + c = 0
    ax₁² + (-ax₁ - ax₂)x₁ + c = 0
   ax₁² + (-ax₁² - ax₁x₂) + c = 0
      ax₁² - ax₁² - ax₁x₂ + c = 0
           0      - ax₁x₂ + c = 0
                   -ax₁x₂ + c = 0
Sumamos ax₁x₂ en ambos lados de la igualdad
           -ax₁x₂ + c + ax₁x₂ = ax₁x₂
           -ax₁x₂ + ax₁x₂ + c = ax₁x₂
                  0       + c = ax₁x₂
                            c = ax₁x₂
Dividimos por a en ambos lados de la igualdad
                        c / a = ax₁x₂ / a
                        c / a = x₁x₂
Se prueba que x₁x₂ = c/a