We fourier-transform eight complex data sampled at eight points (X=0a, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a, 7a, where a is the unit cell length). Answer following questions.
Here, $ indicates the command-line prompt.
Keywords: Born-von Karman boundary condition, first Brillouin zone, phonon, k-point
Using the command git(1),
$ git clone https://gist.github.com/831940161039db8a9da6.git fft8exercise
you can download 6+ files of Makefile, fft8.dat, fft8.f, fft8.gp,
fft8_fwd.f, fft8_inv.f in fft8exercise/.
The command make(1) comiles and executes files according to the
dependences written in Makefile.
$ make clean
$ make -n
shows
gfortran -g -Wall -ffree-form -c -o fft8.o fft8.f
gfortran -g -Wall -ffree-form -c -o fft8_fwd.o fft8_fwd.f
gfortran -g -Wall -ffree-form -c -o fft8_inv.o fft8_inv.f
gfortran -o fft8 -g -Wall -ffree-form fft8.o fft8_fwd.o fft8_inv.o
./fft8 < fft8.dat > fft8.coefficients
gnuplot fft8.gp
Describe the meanings of each lines and roles of 6 files.
Describe each lines in main program fft8.f.
You can
$ make
fft8.coefficients and fft8.eps. Then,
$ gv fft8.eps &
$ lpr fft8.eps
$ epstopdf fft8.eps
you can preview or print out the figure of fft8.eps.
You can also convert fft8.eps into fft8.pdf (Fig.1).
Describe each lines in fft8.gp.
Why c5 is not the coefficient for exp(i (5/8) (2π/a) x) but for
exp(-i (3/8) (2π/a) x).
Fig.1: Periodic eight complex data, which is connected with a linear combination of sin and cos.
Compare the input file fft8.dat and the output file fft8.coefficients.
フーリエ係数 c0 はデータの平均値になっていることを確認せよ．また，それはなぜか．
exp(i k x) (where k/(2π/a) = -3/8, -2/8, -1/8, 0, 1/8, 2/8, 3/8, 4/8)
の線形結合で作った曲線（図１）はfft8.dat中の８つのデータを再現している．
しかしながら，fft8.dat中のデータの虚部は偶関数（x=0で対称）でかつx=4aで対称なのに，
曲線はそのようになっていない．改善せよ．
入力ファイルfft8.dat中のデータの虚部をすべてゼロにしてから，もういちど
$ make
とせよ．新しいfft8.coefficientsを見て，c4の虚部が０であることを確認せよ．
conjg(c(-k)) = c(k)
であることを確認せよ．データが実数の場合，上の式が成り立つことを証明せよ．
サンプリング点が９個や１６個のときに同様のことができるプログラムを作れ． 高速フーリエ変換のサブルーチンは自分で作るなり，ネットでみつけてくるなり工夫せよ． 「高速フーリエ変換 (fast Fourier transform)」「FFT」「FFTW」などを キーワードとして検索すると見つかるかもしれない．
FFTの準備として sin(2πi/N) と cos(2πi/N) を 0<=i<N について計算しておく必要がある． しかし，浮動小数点演算の性質から sin(π/2)=1, cos(π/2)=0, sin(π/4)=cos(π/4) 等が必ずしも保障されない．よって、0<=i<=N/8，すなわち 0<=θ<=π/４のsinθ, cosθ と 三角関数の対称性を使って計算するほうが，直截に（straight forwardに）計算するより， 速くてよい精度が得られることを説明せよ．
