lidstina.tex

\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[colorinlistoftodos]{todonotes}
\usepackage{fullpage}

\title{Definice na lineární algebru v lidštině}
\author{Anarbekuly Zahni Bek}



\begin{document}


	\maketitle


	\begin{abstract}
		Autor neručí za nepřesnosti v jednotlivých definicích, čímžto by chtěl poprosit čtenáře, narazí-li na nějakou, aby mu zanechali vědění.
	\end{abstract}


	\section{Vektorový prostor}


		\subsection{Kartézský součin}

			$A×B$ je množina všech uspořádaných dvojic tvořených prvkem z $A$ a prvkem z $B$.


		\subsection{Zobrazení}

			$f: A \rightarrow B$ je podmnožina $A×B$ taková, že existuje pouze 1 uspořádaná dvojice pro každý prvek z $A$ (pokud vůbec existuje\ldots).

		\subsection{Číselné těleso}

			je podmnožina $\mathbb{C}$ o alespoň dvou prvcích uzavřená na sčítání a násobení taková, že ke každému jejímu prvku existuje prvek opačný i převrácený (kromě 0).


		\subsection{Vektorový prostor}

			je definován čtveřicí $(V, T, \oplus, \odot)$ a splňuje 8 následujících axiomů:

			\begin{enumerate}
				\item komutativita sčítání
				\item asociativita sčítání
				\item existence nulového prvku
				\item existence opačného vektoru
				\item asociativita násobení
				\item přenásobení jedničkou
				\item distributivita násobení vůči sčítání čísel
				\item distributivita násobení vůči sčítání vektorů
			\end{enumerate}


		\subsection{Vlastnosti vektorového prostoru}

			\begin{itemize}
				\item v celém prostoru existuje jediný nulový vektor
				\item ke každému vektoru existuje jediný opačný vektor
				\item rovnice $\vec{a} + \vec{x} = \vec{b}$ má jediné řešení, a sice $\vec{x} = -\vec{a} + \vec{b}$
				\item převoditelnost násobení nulou a nulovým vektorem
				\item násobkem vektoru je nulový vektor, když je koeficient nula, nebo se jedná o nulový vektor
				\item převoditelnost násobení $-1$ a opačným vektorem
			\end{itemize}


		\subsection{Lineární kombinace}

			\begin{enumerate}
				\item lineární kombinace je vektor vzniklý jako součet násobků $n$ vektorů.
				\item jsou-li všechny koeficienty nulové, mluvíme o triviální lineární kombinaci
				\item v opačném případě mluvíme o lineární kombinaci netriviální
			\end{enumerate}


		\subsection{Lineární obal}

			je množina všech lineárních kombinací.


		\subsection{Vlastnosti lineráního obalu}

			\begin{itemize}
				\item v každém lineárním obalu leží nulový vektor
				\item na pořadí prvků generujících lineární obal nezávisí
				\item přidání libovolného prvku z lineárního obalu do jeho generátorů tento obal nezmění
				\item lineární obal je uzavřený na sčítání vektorů a násobení vektorů číslem
				\item lineární obal tvoří vektorový prostor
			\end{itemize}


		\subsection{Lineárně závislé vektory}

			jsou takové, pro něž existuje netriviální lineární kombinace dávající nulový vektor.


		\subsection{Vlastnosti lineárně (ne)závislých vektorů}

			\begin{itemize}
				\item nulový vektor je lineárně závislý
				\item obsahuje-li soubor vektorů nulový vektor, pak je lineárně závislý
				\item je-li soubor lineárně závislý, je i libovolně zvětšený soubor lineárně závislý
				\item je-li soubor lineárně nezávislý, je i libovolně zmenšený soubor lineárně nezávislý
				\item vektory jsou lineárně závislé, leží-li některý v lineárním obalu těch ostatních
				\item vektory jsou lineárně závislé, je-li první nulový, nebo je mezi ostatními takový, který lze vyjádřit jako lineární kombinace předchozích
			\end{itemize}


		\subsection{Generátory vektorového prostoru}

			jsou takové vektory, jejichž lineární obal je tomuto prostoru roven.


		\subsection{Soubor}

			je uspořádaná $n$-tice vektorů.


		\subsection{Báze}

			prostoru je soubor jeho lineárně nezávislých generátorů.


		\subsection{Dimenze}

			\begin{enumerate}
				\item pokud od určitého $n$, pro které v prostoru existuje $n$ lineárně nezávislých vektorů, je každý $(n + 1)$-členný soubor lineárně závislý, má vektorový prostor konečnou dimenzi $n$, jinak má nekonečnou dimenzi $+\infty$
				\item nulový prostor $\{\vec{0}\}$ má dimenzi $0$
			\end{enumerate}


		\subsection{Steinitzova věta o výměně}

			Pokud každý z $n$ lineárně nezávislých vektorů leží v lineárním obalu $m$ vektorů, pak $m \geq n$ a existuje skupina generátorů vzniklá přidáním $(m - n)$ vektorů z původní skupiny $m$ vektorů k původní skupině $n$ vektorů tak, že generují stejný prostor jako původní skupina $m$ vektorů.


		\subsection{Dimenze - alternativní definice}

			Vektorový prostor má dimenzi $n$, když v něm existuje $n$-členná báze.


		\subsection{Důsledky Steinitzovy věty o výměně}

			\begin{itemize}
				\item každá báze téhož prostoru má stejný počet členů
				\item každý $n$-členný lineárně nezávislý soubor prostoru $V$ dimenze $n$ už je souborem generátorů $V$, čili bází $V$
				\item každý $n$-členný soubor generátorů prostoru $V$ dimenze $n$ už je lineárně nezávislý, čili bází $V$
			\end{itemize}


		\subsection{Výběr báze z generátorů}

			Generuje-li skupina $m$ vektorů prostor $V$ o dimenzi $n$, jsme schopni z nich vybrat $n$ vektorů a prohlásit je za bázi $V$.


		\subsection{Doplnění lineárně nezávislých vektorů na bázi}

			Máme-li $k \in \hat{n}$ lineárně nezávislých vektorů z prostoru $V$ o dimenzi $n$, jsme schopni je doplnit $(n - k)$ vektory tak, že všechny tyto vektory tvoří bázi $V$.


		\subsection{Vektor jako lineární kombinace báze}

			Každý vektor lze zapsat jednoznačně jako lineární kombinaci vektorů báze.


		\subsection{Souřadnice}

			\begin{enumerate}
				\item koeficienty lineární kombinace bazických vektorů nazýváme souřadnice
				\item zobrazení přiřazující vektoru jeho $i$-tou souřadnici v bázi nazýváme souřadnicový funkcionál
				\item zobrazení přiřazující vektoru vektor všech jeho souřadnic v bázi nazýváme souřadnicový izomorfismus
			\end{enumerate}


		\subsection{Vlastnosti souřadnicového funkcionálu}

			\begin{itemize}
				\item aditivita
				\item homogenita
				\item vrací $0$ pro bazický vektor, který není sám sebou a $1$ pro ten, který je
			\end{itemize}


		\subsection{Důsledky vlastnosti souřadnicového isomorfismu}

			\begin{itemize}
				\item aditivita
				\item homogenita
				\item vrací vektor standardní báze pro bazický vektor, který je sám sebou
			\end{itemize}


	\section{Podprostory}


		\subsection{Podprostor}

			je neprázdná podmnožina rodiče uzavřená na sčítání vektorů a násobení vektoru číslem.


		\subsection{Podprostor - alternativní definice}

			$P$ je podprostor $V$, když součet všech násobků s libovolným vektorem stále leží v $P$, a také když libovolná lineární kombinace libovolných $n$ vektorů rovněž leží v $P$.


		\subsection{Vlastnosti podprostorů}

			\begin{itemize}
				\item obsahují nulový vektor
				\item nulový prostor je podprostorem každého prostoru a každý prostor je podprostorem sebe sama
				\item podprostor je zároveň prostor (při zúžení operací)
				\item vlastnost být podprostorem je tranzitivní
				\item podprostor má vždy dimenzi $\leq$ dimenzi rodiče
				\item rovná-li se dimenze podprostoru dimenzi rodiče a je konečná, pak jsou oba prostory stejné
			\end{itemize}


		\subsection{Typy podprostorů}

			Nulový a týž prostor nazýváme triviální podprostor. Podprostor, který není triviální, nazýváme vlastní.


		\subsection{Dimenze vlastního podprostoru}

			Vlastní podprostor má dimenzi $<$ rodič (mají-li oba konečnou dimenzi).


		\subsection{Součet množin}

			$A + B$ je množina všech součtů všech prvků z $A$ se všemi prvky z $B$.


		\subsection{Direktní součet}

			$A \oplus B$ je taková množina $A + B$, kde každý prvek vzniká jediným možným součtem prvku z $A$ s prvkem z $B$.


		\subsection{Vlastnosti součtu a průniku podprostorů}

			\begin{itemize}
				\item průnik je podmnožinou sjednocení, kterážto je podmnožinou součtu
				\item součet je podprostorem rodiče obou podprostorů
				\item součet je direktní, když je průnik obou podprostorů nulový prostor
				\item průnik je podprostorem rodiče obou podprostorů
				\item lineární obal skupiny vektorů je nejmenší podprostor, který je obsahuje
			\end{itemize}


		\subsection{Součet a sjednocení podprostorů}

			Součet je nejmenší podprostor obsahující sjednocení obou podprostorů.


		\subsection{Součet a rozšíření generátorů}

			\begin{enumerate}
				\item součet je roven lineárnímu obalu skupiny generátorů prvního podprostoru rozšířené o generátory toho druhého.
				\item jsou-li generátory prvního podprostoru lineárně nezávislé a toho druhého jakbysmet, pak jsou všechny dokupy lineárně nezávislé, když je průnikem obou podprostorů nulový prostor
			\end{enumerate}


		\subsection{První věta o dimenzi}

			Součet dimenzí dvou podprostorů je roven součtu dimenze jejich součtu s dimenzí jejich průniku.


		\subsection{Doplněk}

			\begin{enumerate}
				\item je-li direktní součet dvou podprostorů roven rodiči, pak je druhý podprostor doplňkem prvního do rodiče
				\item dimenzi doplňku nazýváme kodimenze dolpňovaného prostoru
			\end{enumerate}


		\subsection{Existence doplňku}

			Doplněk podprostoru konečné dimenze existuje.


	\section{Lineární zobrazení}


		\subsection{Lineární zobrazení}

			Zobrazení, jehož obraz součtu je součtem obrazů a obraz násobku je násobkem obrazu, nazýváme lineární.


		\subsection{Lineární zobrazení - alternativní definice}

			Zobrazení je lineární, když obraz součtu násobku s libovolným vektorem dává součet násobku obrazu s obrazem, a když obraz libovolné lineární kombinace $n$ vektorů dává lineární kombinaci obrazů těchto vektorů.


		\subsection{Součet a násobek zobrazení}
		\label{subsec:soucnaszob}

			\begin{enumerate}
				\item obraz součtu zobrazení je součtem dílčích obrazů zobrazení
				\item obraz násbku zobrazení je násobkem obrazu
			\end{enumerate}


		\subsection{Vektorový prostor lineárních zobrazení}

			Množina všech lineárních zobrazení se sčítáním a násobením definovaným v sekci \ref{subsec:soucnaszob} tvoří vektorový prostor.


		\subsection{Speciální zobrazení}

			\begin{enumerate}
				\item zobrazení z $V$ do $V$ nazýváme lineární operátor
				\item zobrazení z $V$ do $T$ nazýváme lineární funkcionál
			\end{enumerate}


		\subsection{Druhy zobrazení}

			\begin{enumerate}
				\item je-li zobrazení prosté, je monomorfní
				\item je-li zobrazení na, je epimorfní
				\item je-li zobrazení prosté i na, je izomorfní
				\item je-li zobrazení izomorfní a zobrazuje z $V$ do $V$, je regulárním operátorem
			\end{enumerate}


		\subsection{Inverzní zobrazení}

			existuje (nikoli pouze) pro každé izomorfní zobrazení a je rovněž izomorfní.


		\subsection{Linearita složeného zobrazení}

			Zobrazení vzniklé složením dvou lineárních zobrazení je též lineární a zobrazuje z množiny vzorů vnějšího do množiny obrazů vnitřního zobrazení.


		\subsection{Obraz a vzor množiny}

			\begin{enumerate}
				\item obraz je množina všech obrazů
				\item vzor je množina  všech zobrazených prvků
			\end{enumerate}


		\subsection{Obraz a vzor podprostoru}

			\begin{enumerate}
				\item obraz podprostoru je podprostor prostoru obrazů
				\item vzor podprostoru je podprostor prostoru vzorů
			\end{enumerate}


		\subsection{Atributy lineárního zobrazení}

			\begin{enumerate}
				\item dimenzi prostoru obrazů nazýváme hodnost zobrazení
				\item množinu vektorů zobrazených na nulový vektor zase jádro zobrazení
				\item a konečně dimenzi jádra defekt
			\end{enumerate}


		\subsection{Obraz lineárního obalu}

			je lineárním obalem obrazů jeho generátorů.


		\subsection{Prostota lineárního zobrazení}

			Zobrazení je prosté, když je jeho jádrem nulový prostor.


		\subsection{Vlastnosti monomorfního zobrazení}

			\begin{enumerate}
				\item monomorfní zobrazení zachovává lineární nezávislost množiny vzorů a množiny jejich obrazů.
				\item dimenze prostoru obrazů monomorfního zobrazení je rovna dimenzi prostoru vzorů
			\end{enumerate}


		\subsection{Hodnost izomorfního zobrazení}

			je rovna dimenzi prostoru vzorů i dimenzi prostoru obrazů (tyto se totiž rovnají).


		\subsection{Hodnost složeného zobrazení}

			\begin{enumerate}
				\item hodnost složeného zobrazení je $\leq$ hodnosti vnějšího a rovna, je-li vnitřní zobrazení epimorfní
				\item hodnost složeného zobrazení je $\leq$ hodnosti vnitřního a rovna, je-li vnější zobrazení monomorfní
			\end{enumerate}


		\subsection{Zadání lineárního zobrazení}

			Zobrazení je jednoznačně určeno obrazy všech bazických vektorů prostoru vzorů.


		\subsection{Řešení rovnice $A\vec{x} = \vec{b}$}

			Řešením rovnice $A\vec{x} = \vec{b}$ je $A^{-1}\vec{b} = \vec{a} + \ker{A}$, kde $\vec{a}$ je vektor z prostoru vzorů zobrazení $A$ a platí, že $A\vec{a} = \vec{b}$.


		\subsection{Druhá věta o dimenzi}

			Součet hodnosti a defektu zobrazení je roven dimenzi prostoru vzorů (je-li tato konečná).


		\subsection{Izomorfní prostory}

			jsou takové prostory, pro které existuje izomorfní zobrazení z jednoho do druhého.


		\subsection{Izomorfismus a dimenze}

			Prostory jsou izomorfní, když mají stejnou konečnou dimenzi.


		\subsection{Jednodušší ověření izomorfnosti zobrazení}

			Zobrazení z prostoru vzorů do prostoru obrazů o stejné konečné dimenzi je izomorfní, když je monomorfní nebo epimorfní.


	\section{Frobeniova věta}


		\subsection{Součin matic}

			Prvek v $i$-tém sloupci a $j$-tém řádku matice součinu $\mathbb{AB}$ je roven součtu součinů prvků v $i$-tém sloupci matice $\mathbb{A}$ s prvky v $j$-tém řádku matice $\mathbb{B}$.


		\subsection{Vlastnosti násobení matic}

			Násobení matic je asociativní, distributivní vůči sčítání, nemusí být komutativní, a platí, že je-li matice čtvercová, pak přenásobení jednotkovou maticí zleva i zprava ji nezmění.


		\subsection{Matice zobrazení}

			$j$-tý sloupec matice zobrazení v bázích $X$ a $Y$ definujeme jako souřadnice obrazu $j$-tého vektoru báze $X$ v bázi $Y$.


		\subsection{Vlastnosti matice zobrazení}

			Platí, že matice zobrazení součtu v bázích $X$ a $Y$ je rovna součtu matic zobrazení v bázích $X$ a $Y$, a že matice zobrazení násobku v bázích $X$ a $Y$ je rovna násobku matice v bázích $X$ a $Y$.


		\subsection{Výpočet obrazu vektoru}

			Souřadnice obrazu vektoru v bázi $X$ v bázi $Y$ jsou rovny součinu matice zobrazení v bázích $X$ a $Y$ se souřadnicemi tohoto vektoru v bázi $X$.


		\subsection{Matice složeného zobrazení}

			Matice složeného zobrazení v bázích $X$ a $Z$ je rovna součinu matice vnějšího zobrazení v bázích $Y$ a $Z$ s maticí vnitřního zobrazení v bázích $X$ a $Y$.


		\subsection{Matice přechodu od báze k bázi}

			Vynásobením matice přechodu od báze $X$ k bázi $Y$ s vektorem v bázi $X$ získáme souřadnice tohoto vektoru v bázi $Y$.


		\subsection{Hodnost matice}

			je rovna počtu jejích lineárně nezávislých sloupců.


		\subsection{Hodnost zobrazení a hodnost matice}

			Hodnost zobrazení je rovna hodnosti matice tohoto zobrazení v bázích $X$ a $Y$.


		\subsection{(Reg$\mid$sing)ulární matice}

			\begin{enumerate}
				\item matice je regulární, když má hodnost rovnu počtu řádků i sloupců (musí tedy býti čtvercová)
				\item matice je singulární, když není regulární
			\end{enumerate}


		\subsection{Izomorfismus a regulární matice}

			\begin{enumerate}
				\item zobrazení je izomorfní, když je jeho matice regulární
				\item zobrazení je regulárním operátorem, když je jeho matice zobrazení z báze $X$ do $X$ regulární
			\end{enumerate}


		\subsection{Frobeniova věta}

			Pro soustavu $\mathbb{A}\vec{x} = \vec{b}$ platí, že má řešení, když je hodnost matice $\mathbb{A}$ rovna hodnosti matice $\mathbb{A}\mid\vec{b}$, dále že množina vektorů, které vynásobením s maticí $\mathbb{A}$ zleva dávají nulový vektor, je řešením homogenní soustavy a tvoří podprostor všech vektorů z tělesa o počtu složek rovných počtu řádků matice $\mathbb{A}$ a dimenze tohoto podprostoru je rovna rozdílu počtu řádků matice $\mathbb{A}$ a její hodnosti. Pokud se hodnost matice $\mathbb{A}$ a matice $\mathbb{A}\mid\vec{b}$ rovnají, pak je množina řešení tvořena vektorem $\vec{a}$ splňujícím $\mathbb{A}\vec{a} = \vec{b}$ sečteným s řešením homogenní soustavy.


		\subsection{Triviální řešení homogenní soustavy}

			Homogenní soustava tvořená čtvercovou maticí má pouze triviální řešení, když je tato matice regulární.


		\subsection{Jediné řešení soustavy $\mathbb{A}\vec{x} = \vec{b}$}

			Soustava $\mathbb{A}\vec{x} = \vec{b}$ má pro čtvercovou matici $\mathbb{A}$ jediné řešení, když je $\mathbb{A}$ regulární.


		\subsection{Hodnost součinu matic}

			\begin{enumerate}
				\item hodnost součinu matic je $\leq$ hodnosti levé matice
				\item jsou-li matice čtvercové a pravá je regulární, pak se hodnost součinu rovná hodnosti levé matice
				\item jsou-li matice čtvercové a levá je regulární, pak se hodnost součinu rovná hodnosti pravé matice
			\end{enumerate}


\end{document}