File-based split of https://gist.github.com/anonymous/8182296

doc.tex

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% \nmid = \not \mid già definito e molto meglio di \not\mid!!!!
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%\bold already defined
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\newcommand{\sssecta}{\subsubsection*}
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\renewcommand{\]}{\right]}
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{\left \lbrace \begin{array}{@{}l@{}}}%l
{\end{array}\right.}
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\newtheorem{es}{Esempio}[subsection]
\newtheorem{ese}{Esercizio}[subsection]
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\newenvironment{ofq}%
{\begin{array}{c}}%
{\end{array}}
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\newcommand{\ed}{\\ \end{ofq}}
\newcommand{\scb}{\scalebox}
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\newcommand{\scbtt}{\scb{0.1}[1]}
\newcommand{\scbt}{\scb{10}[1]}
\newcommand{\of}[2]{\scalebox{0.1}[1]{$\begin{array}{c} \scalebox{10}[1]{#1}\\\\\end{array}$}\scalebox{0.7}[1]{$\frslash$}\scalebox{0.1}[1]{$\begin{array}{c} \\\scalebox{10}[1]{#2}\\\end{array}$}}
\newcommand{\ofof}[4]{\ffn{#1}{#2}\sffslash \ffd{#3}{#4}}
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\newcommand{\ffn}[2]{\scbtt{$\bn \scbt{\scbtt{$\bn \scbt{#1}\en$}\sfrslash \scbtt{$\bd \scbt{#2}\ed$}}\en$}}
\newcommand{\ffd}[2]{\scbtt{$\bd \scbt{\scbtt{$\bn \scbt{#1} \en$}\sfrslash \scbtt{$\bd \scbt{#2} \ed$}} \ed$}}
\newcommand{\ta}[2]{\scbtt{$\left.\begin{array}{c} \scbt{$#1$} \\ \scbt{$#2$} \\ \end{array}\right.$}}
\newcommand{\ben}{\begin{enumerate}}
\newcommand{\een}{\end{enumerate}}
\newcommand{\bde}{\begin{description}}
\newcommand{\ede}{\end{description}}
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\newcommand{\ei}{\end{itemize}}
\newcommand{\spr}{\scalebox{0}[1]{\whitea}}
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\newcommand{\spar}{\hsp{0.55cm}}
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\newcommand{\us}[2]{\scalebox{0.02}[0.2]{$\begin{array}{c} \scalebox{50}[5]{#1} \\ \scalebox{50}[5]{#2} \\\end{array}$}}
\newcommand{\sddot}[1]{\scalebox{0.001}[0.2]{$\begin{array}{c} \scalebox{1000}[5]{#1} \\ \scalebox{1000}[5]{..} \\\end{array}$}}
\newcommand{\stdot}[1]{\scalebox{0.001}[0.2]{$\begin{array}{c} \scalebox{1000}[5]{#1} \\ \scalebox{1000}[5]{...} \\\end{array}$}}
\newcommand{\os}[2]{\scalebox{0.001}[0.2]{$\begin{array}{c} \scalebox{1000}[5]{#2} \\ \scalebox{1000}[5]{#1} \\\\\\\end{array}$}}
\newcommand{\tdot}[1]{\scalebox{0.001}[0.2]{$\begin{array}{c} \scalebox{1000}[5]{...} \\ \scalebox{1000}[5]{#1} \\\\\\\end{array}$}}
\newtheorem{propo}{Proposizione}[subsection]
\newtheorem{oss}{Osservazione}[subsection]
\newtheorem{cor}{Corollario}[subsection]
\newtheorem{esecasa}{Esercizio svolto da me}[chapter]
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\newcommand{\dbfr}[2]{\dsib{\fr{#1}{#2}}}
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\newcommand{\mus}[2]{\us{$#1$}{$#2$}}
\newcommand{\mos}[2]{\os{$#1$}{$#2$}}
\newcommand{\sistbis}[4]{\left\lbrace\begin{array}{cl} #1 & #2 \\ #3 & #4 \\\end{array}\right.}
\newcommand{\sistbisdue}[6]{\left\lbrace\begin{array}{cl} #1 & #2 \\ #3 & #4 \\ #5 & #6 \\\end{array}\right.}
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\newcommand{\dws}[1]{_{\dsi{\di #1}}}
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\newcommand{\llb}{\left|}
\newcommand{\rr}{\right|}
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\newcommand{\rao}[1]{_{\vct{\quad#1\quad}}}
\newcommand{\lao}[1]{_{\iv{\quad#1\quad}}}
\newcommand{\sistbistre}[8]{\left\lbrace\begin{array}{cl} #1 & #2 \\ #3 & #4 \\ #5 & #6 \\ #7 & #8 \\\end{array}\right.}
\newcommand{\tsub}[1]{$_{\hbox{#1}}$}
\newcommand{\tsup}[1]{$^{\hbox{#1}}$}
\newcommand{\bk}{\Gr{ }}
\newcommand{\vet}{\et}
\newcommand{\musb}[2]{\us{$#1$}{$\dsi{#2}$}}
\newcommand{\mosb}[2]{\os{$#1$}{\scb{0.7}[0.7]{$#2$}}}
\newtheorem{lemma}{Lemma}[subsection]
\newcommand{\pa}[1]{\(#1\)}
\newcommand{\br}[1]{\{#1\}}
\newcommand{\sq}[1]{\[#1\]}
\newtheorem{fatto}{Fatto}[subsection]
\newcommand{\abs}[1]{\lb#1\rb}
\newcommand{\norm}[1]{\ldb#1\rdb}
\newtheorem{eseese}{Esercizio Soaviano}[section]
\newcommand{\blockmatLineVColVLetter}[8]{\scb{0.1}[1]{$\mat{c}%
\scb{10}[1]{$\mat{cccc}#1&#2&#3&#4\\\emat$}  \\%
\mat{ll}%
\scb{10}[1]{$\mat{l}#5\\#6\\#7\\\emat$}\scb{10}[1]{\hsp{0.3cm}}  &  \scb{0.625}[0.0625]{$\mat{l}\\\scalebox{48}[48]{$^{#8}$\hsp{0.2cm}}\\\emat$}\\%
\emat%
\emat$}} %Makes a block matrix much like the A at the beginning of page 62, with parameters #1 through #4 in the line vector which is the first line of the matrix, parameters #5 through #7 in the column vector which contains the three v^i in that A, and parameter #8 in the place of the maxi R of that A. It is advisable to use parameters similar to that of the A matrix above mentioned, because using parameters wider that those of that matrix may cause decentering and an ugly resulting output of the matrix.
\newcommand{\mf}[2]{^{#1}\scb{0.5}[1]{/}_{#2}}
\newtheorem{deficonn}{Definizione di Connessione}% %
\newcommand{\ang}[1]{\left\langle#1\right\rangle}
\newcommand{\centre}[1]{$$\hbox{\ital{#1}}$$}
\newcommand{\ous}[3]{\scb{1}[0.2]{$\begin{array}{c}\\\\\scb{0.75}[3.75]{#2}\\\scb{1}[5]{#1}\\\scb{0.75}[3.75]{#3}\end{array}$}}
\newcommand{\mous}[3]{\ous{$#1$}{$#2$}{$#3$}}
\newcommand{\lfeed}{\hsp{500cm}\whitea\hsp{1cm}}
\newcommand{\slfeed}{\hsp{500cm}}
\DeclareMathOperator{\mis}{mis}%
\newcommand{\fnt}{\footnotetext}
\newcommand{\fnm}{\footnotemark}
\newcommand{\ic}{\addtocounter}
\DeclareMathOperator{\cof}{cof}
\newcommand{\ouint}[2]{\mosb{\musb{\dint}{#1}}{#2}}
\newcommand{\uint}[1]{\musb{\dint}{#1}}
\newcommand{\diov}{{\color{white}a^2}}
\newcommand{\diun}{{\color{white}a_2}}
\DeclareMathOperator{\diam}{diam}%
\newcommand{\sumus}[2]{\mat{c}\\\scb{0}[1]{{\color{white}$\fr{\fr{}{}}{}_\whitea^\whitea$}}\musb{#1}{#2}\emat}
\newcommand{\pusher}{\scb{0}[1]{{\color{white}$\fr{}{}_\whitea$}}}
\newcommand{\sumusb}[2]{\scb{0.01}[1]{$\mat{c}\scb{0}[1]{{\color{white}$\fr{}{q}$}}\\\scb{100}[1]{\musb{#1}{#2}}\emat$}}
\newcommand{\ouintb}[2]{\scb{0.005}[1]{$\mat{c}\scb{140}[0.7]{$#2$}\\\scb{200}[1]{$\dint$}\\\scb{140}[0.7]{$#1$}\emat$}}
\newcommand{\ouintz}[4]{\scb{0.005}[1]{$\mat{c}\scb{140}[0.7]{$#2$}\\\scb{200}[1]{$#4\dint#3$}\\\scb{140}[0.7]{$#1$}\emat$}}
\newcommand{\high}[1]{\scb{0.01}[1]{$\mat{c}\scb{100}[1]{$#1$}\\\whitea\emat$}}
\newcommand{\diint}{\di\iint}
\newcommand{\diiint}{\di\iiint}
\newcommand{\ouintc}[2]{\scb{0.005}[1]{$\mat{r}\scb{140}[0.7]{$#2$}\\\scb{200}[1]{$\dint$}\\\scb{140}[0.7]{$#1$}\emat$}}
\newcommand{\eval}[2]{\scb{0.5}[1]{$\fvb$}_{#1}^{#2}}
\newcommand{\ouints}[2]{\ouint{#1\quad}{\quad#2}}
\newcommand{\ouintsb}[2]{\ouintb{#1\quad}{\quad#2}}
\newcommand{\xouint}{\ouintsb}
\newcommand{\uints}[1]{\uint{#1\quad}}
\newcommand{\dvect}[1]{\dot{\vct{#1}}}
\newcommand{\dlbar}[1]{\lbar{\lbar{#1}}}
\newcommand{\dubar}[1]{\ubar{\ubar{#1}}}
\newcommand{\uiint}[1]{\musb{\diint}{#1\quad}}
\newcommand{\uiiint}[1]{\musb{\diiint}{#1\quad}}
\newcommand{\uiintns}[1]{\musb{\diint}{#1}}
\newcommand{\uiiintns}[1]{\musb{\diiint}{#1}}
\newcommand{\low}[1]{\scb{0.01}[1]{$\mat{c}\\\scb{100}[1]{$#1$}\whitea\emat$}}
\newcommand{\ouintext}[2]{\xouint{\high{#1}}{\low{#2}}}
\newcommand{\ouintefa}[2]{\xouint{\high{#1}}{\scb{1}[0.2]{$\mat{c}\scb{1}[5]{$\dsi{#2}$}\\\\\emat$}}}
\newcommand{\ouinteff}[2]{\xouint{\dsi{#1}}{\scb{1}[0.2]{$\mat{c}\scb{1}[5]{$\dsi{#2}$}\\\\\emat$}}}
\newcommand{\ouintefb}[2]{\xouint{\dsi{#1}}{\low{#2}}}
\newcommand{\dpusher}{\scb{0}[1]{{\color{white}$\fr{}{}^\whitea$}}}
\DeclareMathOperator{\graf}{graf}
\newcommand{\Graf}[1]{\graf\pa{#1}}
\newcommand{\lowus}[1]{\scb{0.01}[0.1]{$\mat{c}#1\emat$}}
\newcommand{\lowers}{\scb{0}}
\newcommand{\down}[1]{\\\scb{100}[10]{#1}}
\newcommand{\xmus}[2]{\underset{\scb{0.7}[0.7]{$#2$}}{#1}}
\newcommand{\xmos}[2]{\overset{\scb{0.7}[0.7]{$#2$}}{#1}}
\newcommand{\xxouint}[2]{\di\int\limits_{#1}^{#2}}
\newcommand{\und}[2]{\underset{\scb{0.7}[0.7]{#2}}{#1}}
\newcommand{\dund}[3]{\underset{\scb{1}[0.65]{$\mat{c}\scb{0.7}[1.07692]{#2}\\\scb{0.7}[1.07692]{#3}\emat$}}{#1}}
\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\xouintefa}[2]{\xxouint{#1}{\dsi{#2}}}
\newcommand{\f}{\mathfrak}
\DeclareMathOperator{\kerr}{ker}
\makeatletter
\renewcommand\thmt@listnumwidth{3.5em}
\makeatother
%Comandi particolari alias abbreviazioni mascherate da comando.
\newcommand{\cu}{convergenza uniforme}
\newcommand{\CE}{Condizioni di Esistenza}
\newcommand{\CaE}{Campo di Esistenza}
\newcommand{\cp}{convergenza puntuale}
\newcommand{\ct}{convergenza totale}
\newcommand{\ca}{convergenza assoluta}
\newcommand{\spo}{serie di potenze}
\newcommand{\dep}{definita positiva}
\newcommand{\dn}{definita negativa}
%Tabbing environment: the first line defines the number of tab positions; every \= is a potential position which becomes effective only if there is something after it and before it. Then to align with one or another \= you put as many \> as there are \= to the desired position. The first line is considered to end with the \kill, whereas other lines are considered to end with \\. Of course, if you forget a \\ or the \kill or you put more \>s than the \=s of the first line, you won't be able to typeset anything. The last line needs not be ended with a \\, as the \end{tabbing} is sufficient for that. A LaTeX tab is about 0.26cm. If you exceed that with the text at one tab position, whatever you write at the next one will overlap with that text, so be careful. 
%Shorthands: If you want to define sequences of characters as shorthands (e.g. to avoid typing "derivative" you want LaTeX to turn "/d" into that), you must put the command \useshorthands{something} in the preamble. The "something" is a one-character sequence that MUST start EVERy shorthand you use. Let's say we use \useshorthands{/}. This means every shorthand has to start with /. After \begin{document}, you can define as many shorthands as you want, with the command \defineshorthand{shorthand}{expansion}. The "shorthand" is the shortened code (e.g. "/d") and the "expansion" is what it abbreviates (e.g. "derivative"). This way, every time you write "/d", typesetting turns it into "derivative". Note that the shorthand is always / plus at most ONE character; i.e., e.g., "/df" won't work as a shorthand, but "/d" will.
%The \scalebox command: \scalebox{number1}[number2]{text} is the syntax; what it does is scale the text, making it number1 times wider and number2 times higher than normal.
%For a nice oblique fraction, with the "magic formula" I've defined, you just type \of{N}{D} (N Numerator, D Denominator). For o.f.'s of o.f.'s, \ofof{nn}{nd}{dn}{dd}, where nn is the numerator's num., nd is the num.'s denominator, dn is the den.'s num., and dd is the den.'s den., while an oblique fraction reduces to \of{num.}{den.}. For o.f.'s of o.f.'s of o.f.'s, you use \ofofof{nnn}{nnd}{ndn}{ndd}{dnn}{dnd}{ddn}{ddd}. Btw, the definition of these commands uses the fact that, when a command is defined to take [number] (a certain number of characters), what is between {} (braces) is considered as one character. This is probably used in the \frac and \dfrac (\fr) commands too. Conversely, typing \fr ab or \fr{a}{b} is exactly identical.


\title{Appunti di Analisi 2, Lezioni di Veronica Felli ed Esercitazioni di Nicola Soave}
\author{Michele Gorini}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\thispagestyle{empty}
\ic{page}{-1}\whitea\pagebreak

\incle
\chapter{\lez{2/10/2013}}

\sect{Note Operative}
Sito del corso: elearning.unimib.it.
\par Vari argomenti:
\ben
\item calcolo differenziale e integrale in pi\`u variabili,
\item equazioni differenziali,
\item curve
\item superfici
\item forme differenziali.
\een
Quindi studiar di volta in volta e fare prove parziali.
\par Testi.
\ben
\item Testo principale: Analisi Matematica II, Bollati-Boringhieri.
\item Altri:
\bde
\item[1)] uno molto bello il De Marco Analisi II Zanichelli,
\item[2)] uno abbastanza classico Pagani-Salsa soprattutto per le applicazioni pi\`u completo su equazioni differenziali sempre Analisi Matematica II Zanichelli,
\item[3)] poi Barutello-Conti-Ferrario-Terracini (Ferrario \`e QUEL Ferrario) Analisi Matematica Vol. 2 ed. Apogeo.
\ede
\een
\par Esercizi invece:
\ben
\item Giusti, Esami e complementi di Analisi Matematica Bollati-Boringhieri,
\item De Marco - Marconda Esercizi di Anali\verb"{"si\verb"}" Due Zanichelli.
\een

\sect{Un pochino di ripasso: richiami sugli spazi metrici}

\ssect{Definizione di spazio metrico ed esempio, definizione di palla aperta e chiusa, punto interno, aperto, chiuso, limitato, accumulazione, chiusura, frontiera, topologia, topologia più o meno fine}
\begin{defi}[name=Spazio Metrico,label=thm:defi:SM]
Sia $X$ un insieme non vuoto e $d:X\x X\to\R$. La coppia $(X,d)$ si dice \bemph{Spazio Metrico} se:
\ben
\item $d(x,y)\geq0 \,\,\,\, \VA x,y\in X$
\item $d(x,y)=0 \sse x=y$
\item $d(x,y)=d(y,x) \,\,\,\, \VA x,y\in X$
\item $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y) \,\,\,\, \VA x,y,z\in X$
\een
\end{defi}
\begin{es}[name=Metrica Euclidea Reale,label=thm:defi:$d_e$ reale]
Su $\R$ tipicamente $d(x,y)=|x-y|$.
\end{es}
\begin{defi}[name=Palla chiusa e palla aperta,label=thm:defi:Palle]
Dato $(X,d)$ metrico e $r>0$ indico con $B(x_0,r)$ la \emph{palla di centro} $x_0$ e raggio $r$, cio\`e $B(x_0,r)=\br{x\in X: d(x,x_0)<r}$.\lfeed
Invece la \emph{palla chiusa} la indichiamo come $\bar{B}(x_0,r)$ (quella col $\leq$ invece del $<$).
\end{defi}
Definizioni. Sia $(X,d)$ spazio metrico.
\begin{defi}[name=Punto interno,label=thm:defi:PtInt]
Dato $A\sbse X$ e $x_0\in A$, si dice che $x_0$ \`e interno ad $A$ se $\3r>0: B(x_0,r)\sbse A$.
\end{defi}
\begin{defi}[name=Insieme aperto,label=thm:defi:Aperto]
$A$ si dice \emph{aperto} se ogni suo punto \`e interno.
\end{defi}
\begin{defi}[name=Insieme chiuso,label=thm:defi:Chiuso]
Si dice \emph{chiuso} se il suo complementare $X\ssm A$ \`e aperto.
\end{defi}
\begin{defi}[name=Insieme limitato,label=thm:defi:limitato]
Si dice \emph{limitato} se $\3x_0\in X,r>0: A\sbse B(x_0,r)$.
\end{defi}
\begin{defi}[name=Punto di accumulazione,label=thm:defi:accum]
$A\sbse X$, $x_0\in X$; $x_0$ si dice \emph{punto di accumulazione per $A$} se ogni palla centrata in $x_0$ interseca $A$ in almeno un punto diverso da $x_0$ (contiene alm un punto di $A$ diverso da $x_0$).
\end{defi}
\begin{defi}[name=Chiusura di un insieme,label=thm:defi:Chiusura]
La \emph{chiusura in $X$ di un insieme $A\sbse X$} \`e il pi\`u piccolo chiuso che contiene $A$, e si indica con $\lbar{A}=\bint_{C\in\s{C}}C$, ove $\s{C}=\left\lbrace C\sbse X\,\,chiusi: A\sbse C\right\rbrace$; equivale a $A$ unito coi suoi punti di accumulazione.
\end{defi}
\begin{defi}[name=Frontiera di un insieme,label=thm:defi:Frontiera]
La \emph{frontiera di $A\sbse X$} \`e $\pd A=\lbar{A}\cap\overline{X\ssm A}$.
\end{defi}
\begin{propo}[name=Proprietà degli aperti e dei chiusi,label=thm:defi:PropApChiusi]
Fatti:
\ben
\item L\6unione di aperti \`e aperta;
\item L\6intersezione di aperti \`e aperta se \`e finita;
\item L\6intersezione di chiusi \`e chiusa;
\item L\6unione di chiusi \`e chiusa se \`e finita;
\item $A$ \`e chiuso $\sse A=\lbar{A}$ o $A$ contiene i suoi punti d'accumulazione.
\een
\end{propo}
\begin{defi}[name=Topologia di un insieme,label=thm:defi:Topologia]
La famiglia degli aperti di un insieme $X$ costituisce la \emph{topologia di $X$ indotta dalla struttura di spazio metrico}.
\end{defi}
Posso considerare sullo stesso insieme distanze diverse che indurranno in genere topologie diverse.
\begin{defi}[name=Maggior finezza di una topologia,label=thm:defi:FinezzaTopol]
Se ho due topologie $\tg_1$ e $\tg_2$, se $\tg_2\sbse\tg_1$, ovvero ci sono pi\`u aperti in $\tg_1$, si dice che $\tg_1$ \`e \emph{pi\`u fine} di $\tg_2$.
\end{defi}
\begin{oss}[name=Metrica Indotta,label=thm:oss:MetrInd]
Se $(X,d)$ \`e uno spazio metrico e $Y\sbse X$ non vuoto, si pu\`o definire una distanza indotta da $(X,d)$ su $Y$ considerando $d_Y$ la restrizione di $d$ a $Y\x Y$. Dunque $(Y,d_Y)$ \`e un \emph{sottospazio metrico} di $(X,d)$, e $d_Y$ \`e la \emph{distanza indotta da $d$ su $Y$}.
\end{oss}
\begin{oss}[name=Spazio Metrico Prodotto,label=thm:oss:SpProdCart]
Il prodotto cartesiano di spazi metrici \`e uno spazio metrico, con una metrica prodotto che adesso andiamo a definire: se $(X,d_X),(Y,d_Y)$sono  spazi metrici, definisco $d:(X\x Y)\x(X\x Y)\to\R$\, come $d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=d_X(x_1,x_2)+d_Y(y_1,y_2)$. Si verifica facilmente che $(X\x Y,d)$ \`e uno spazio metrico che si definisce \emph{spazio metrico prodotto}
\end{oss}

\ssect{Esempi di spazi metrici (due distanze sullo spazio di funzioni)}
\begin{es}[name=Metrica Discreta,label=thm:es:Discreta]
Un esempio banale \`e la \emph{metrica discreta} definita su un qualunque insieme: $d:X\x X\to\R$ definita da $d(x,y)=\begin{sistema} 0 \,\,\,\, se\,\,x=y \\ 1\,\,\,\,se\,\,x\neq y \end{sistema}$.
\end{es}
Magari non vi piace uno, ma se ci mettete un altro numero va bene uguale; tutto \`e aperto, quindi $\tg_{discr}=\s{P}(X)$, la topologia pi\`u fine che esista, esempio banale.
\begin{es}[name=Tre metriche per $\R^n$,label=thm:es:$R^n$3Metr]
$\R^n$ con $n\geq1$ insieme delle $n$-uple di numeri reali; solitamente si introducono:
\bde
\item[a)] $d:\R^n\x\R^n\to\R$ definita da $d((x_1,\dots,x_n),(y_1,\dots,y_n))=\rad{\dsum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}$, distanza euclidea;
\item[b)] $d_1:\R^n\x\R^n\to\R$ definita da $d_1((x_1,\dots,x_n),(y_1,\dots,y_n))=\dsum_{i=1}^n|x_i-y_i|$;
\item[c)] $d_\infty:\R^n\x\R^n\to\R$ definita da $d_\infty((x_1,\dots,x_n),(y_1,\dots,y_n))=\dmax_{i=1}^n\{|x_i-y_i|\}$
\ede
\end{es}
\begin{ese}[name=Le palle delle tre metriche di \ref{thm:es:$R^n$3Metr},label=thm:ese:Palle3Metr]
Disegnare le palle $B(\ubar{0},1)$ rispetto alle varie distanze definite su $\R^n$.
\end{ese}
Pausa.
\par Le palle sono:
\ben
\item un cerchio quella della distanza euclidea;
\item un quadrato con vertici in (0,1), (1,0), (0,-1), (-1,0) quella di $d_1$;
\item un quadrato ``dritto'' quella di $d_\8$.
\een
\par Dimostreremo pi\`u avanti che inducono la stessa topologia, anche se le palle parlano chiaro.
\begin{es}[name=Metrica Euclidea Complessa,label=thm:es:$(C^n,d_e)$]
Su $\Cm^n$ definiamo la \emph{metrica ``euclidea''} col modulo del numero complesso, ovvero $d(\ubar{x},\ubar{y})=\rad{\dsum_{i=1}^n|x_i-y_i|^2}$, ove $||$ indica il modulo di un numero complesso, ovvero $\rad{a\per\lbar{a}}$.
\end{es}
\begin{es}[name=Metrica Uniforme sullo spazio delle funzioni limitate,label=thm:es:$(L(D,X),d_{infinito})$]
Sia $(X,d_X)$ uno spazio metrico e sia $D\sbse X$ non vuoto; ricordo che $f:D\to X$ \`e limitata se $f(D)\sbse X$ \`e limitato in $X$; consideriamo $f(D,X)=\{f:D\to X: f \,\, limitata\}$; definiamo
$$d(f,g)=\dsup_{t\in D}\{d_X(f(t),g(t))\};$$
come son fatte le palle? Con $X=\R$, si scrivono\fn{In realt\`a, se \`e vero che la diseguaglianza col $\dsup$ implica quella per ogni $t$, non \`e vero il viceversa: per esempio se considero la successione degli $\fr{1}{n}$, per $n\to\8$ \`e sempre maggiore di 0, ma il suo $\dinf$ \`e proprio 0; quindi la seconda scrittura della bolla include funzioni che arrivano quasi a toccare gli estremi, che sono tratteggiati nel grafico, mentre la prima non le include. A quanto pare intendeva la palla chiusa, per cui $\dsup\leq...$; in quel caso sono equivalenti le due formulazioni.}:
$$B(f,r)=\{g\in f(D,\R)\,\,\,\,\dsup_{t\in D}\{|f(t)-g(t)|\}<r\}=$$$$=\{g\in f(D,\R)\,\,\,\,g(t)-r<f(t)<g(t)+r\}.$$
\end{es}
\begin{defi}[name=Si chiama Metrica Uniforme,label=thm:defi:$d_{infty}$]
Questa $d$ si chiama \tbold{\emph{norma uniforme}}.
\end{defi}
\includegraphics[width=12.15cm]{PallaNormaUniforme.jpg}
\begin{es}[name=Metrica Uniforme e Metrica Integrale per funzioni continue,label=thm:es:MetricheFunz]
 \whitea\quad\whitea\quad$X=C^0\(\[0,1\]\)$, lo spazio delle funzioni continue da $[0,1]$ in sé stesso;
\bde
\item[1)] $X\sbs\s{L}\(\[0,1\],\R\)$; quindi posso considerare la distanza restringendo da $\s{L}$, dove il $\sup$ diventa $\max$ perché parliamo di funzioni continue e in un intervallo chiuso e limitato \fn{Infatti sappiamo che una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato assume massimo e minimo; ora, se $f$ e $g$ sono continue (quindi stanno in $C^0$), lo \`e anche la loro differenza e quindi il modulo di tale differenza, che pertanto assume massimo e minimo, e quindi il valore della distanza \`e un massimo: questo massimo di cui abbiamo appena parlato.};
\item[2)] Non \`e l'unica: per esempio posso porre $d_1(f,g)=\dint_0^1|f(x)-g(x)|dx$;
\ede
\end{es}
\begin{ese}[name=La Metrica integrale di prima è una distanza?,label=MIèDist]
Verificare che la distanza $d_1$ del secondo punto dell\6Esempio \ref{thm:es:MetricheFunz} \`e una distanza;
\end{ese}
Confrontiamo ora le due metriche definite. Innanzitutto abbiamo che
$$d_1(f,g)\leq d(f,g) \,\,\,\,\,\,\,\, \VA f,g.$$
Questo vale perché
$$|f(x)-g(x)|\leq \dsup|f(x)-g(x)|,$$
da cui integrando si ha
$$\dint_0^1|f(x)-g(x)|dx\leq\dint_0^1\dsup|f(x)-g(x)|dx=\dsup|f(x)-g(x)|\per(1-0),$$
cio\`e la relazione delle distanze sopra scritta. Quindi:
$$B_d(f,r)\sbse B_{d_1}(f,r) \,\,\,\,\,\,\,\, \VA f\in C^0\(\[0,1\]\), r>0.$$
Pertanto, se $A$ aperto in $d_1$, lo \`e anche in $d$ per l\6inclusione delle palle.
\begin{propo}[name=Confronto tra M.I. e M.U. sullo spazio $C^0$ - dim,label=thm:propo:ConfrMetricheFunzCont]
Quindi:
$$\tg_1\sbse\tg.$$
Il viceversa \`e falso\fn{Si ponga attenzione alle inclusioni, su cui la Felli ha fatto confusione. Quella delle palle l\6ha enunciata in modo corretto. Infatti, dato che $d_1\leq d$, se prendo una palla di raggio, per es., 5 definita in $d_1$, alcuni punti di quella palla potrebbero avere $d$ maggiore di 5 e quindi non stare nella palla di $d$ di raggio 5; invece i punti di quella di $d$ hanno sicuramente $d_1$ minore di 5, e quindi stanno nella palla di $d_1$. L\6inclusione delle topologie \`e stata invece enunciata in modo errato. Infatti come l'ho enunciata io sopra \`e corretta, poiché gli aperti di $\tg_1$ lo sono anche in $\tg$; infatti presa una funzione $f$ di un aperto $A$ di $\tg_1$, so che esiste $r>0$ per cui $B_{d_1}(f,r)\sbse A$; in quella palla \`e inclusa quella di $d$, ossia $B_d(f,r)\sbse B_{d_1}(f,r)\sbse A$; da ci\`o si conclude $B_d(f,r)\sbse A$, ossia che $A$ \`e aperto in $\tg$.}:
$$\tg\nsbse\tg_1[,$$
[o, riassumendo,
$$\tg_1\sbs\tg].$$
Esistono cio\`e insieme aperti in $d$ che non lo sono in $d_1$.
\end{propo}
Ad esempio l\6insieme
$$B_d(0,1)=\{f:\[0,1\]\to\R \,\, continue:\dsup_{t\in\[0,1\]}|f(t)-0|=\dsup_{t\in\[0,1\]}|f(t)|<1\},$$
palla, quindi insieme aperto in $d$. Verifichiamo che non aperto rispetto a $d_1$. Se fosse aperto in $d_1$, 0 (la funzione costante identicamente nulla) sarebbe interna, quindi
$$\3r>0:B_{d_1}(0,r)\sbse B_d(0,1).$$
Consideriamo $\VA n$ la funzione $f_n$\fn{Noto fra parentesi che la retta un cui tratto definisce $f_n$ ha equazione $y=2-2nx$; infatti per $x=0$, $y=2$, e per $x=\fr{1}{n}$, $y=2-2n\fr{1}{n}=2-2=0$.} definita come
$$f_n(x)=\begin{sistema} 0 \,\,\,\,\,\,\,\, se\,\,x>\fr{1}{n} \\ retta\,\,con\,\,f(0)=2 \,\,\,\,\,\,\,\, se\,\,x<\fr{1}{n} \end{sistema}.$$
La $d_1$ \`e l\6integrale tra 0 e 1 di $f_n$, quindi l\6area del triangolino di vertici l'origine, (0,2) e $\pa{\fr{1}{n},0}$, che vale $\fr{1}{n}$; per $n$ grande $f_n\in B_{d_1}(0,r)$, qualsiasi sia $r$ Tuttavia, $d(f_n,0)=$ \, $=\dsup_{\[0,1\]}|f(x)|=2>1$, quindi sono all\6assurdo.

\incle
\chapter{\lez{3/10/2013}}

\sect{Ancora ripasso: limiti di funzioni, unicità e limite di restrizioni, continuità: 3 definizioni equivalenti}

\ssect{Limiti e correlati}
\begin{defi}[name=Limite di una funzione,label=thm:defi:LimFunz]
Siano $(X,d_X)$ e $(Y,d_Y)$ spazi metrici, $A\sbse X$, $x_0\in X$ un punto di accumulazione per $A$ e $f:A\to Y$; si dice che
$$\dlim_{x\to x_0}f(x)=\scl\in A$$
se
$$\VA\eg>0\,\,\,\,\3\dg>0:\VA x\in A\ssm \{x_0\} d_X(x,x_0)<\dg => d_Y(f(x),\scl)<\eg.$$
\end{defi}
\begin{oss}[name=Unicità,label=thm:oss:UnicitLim]
Esiste al pi\`u un limite.
\end{oss}
\begin{oss}[name=Crucialità della accumulazione - ``dim'' in nota,label=thm:oss:CrucialAccum]
È cruciale che $x_0$ sia di accumulazione\fn{Infatti se non lo fosse, ad un certo punto di punti a distanza $<\dg$ non ne trovo più in $A\ssm\{x_0\}$, quindi qualsiasi sia $\scl$ non posso avvicinarmici più di un certo $\eg$, e la definizione di limite non si può applicare.}.
\end{oss}
\begin{oss}[name=Limite della restrizione,label=thm:oss:LimRestr]
Se considero $B\sbse A\sbse X$ e $f_B$ la restrizione di $f$ a $B$, e $x_0$ \`e di accumulazione per $B$, se $\dlim_{x\to x_0}f(x)=\scl$, $\scl$ \`e anche il limite della $f_B$.
\end{oss}

\ssect{Continuità}
\begin{defi}[name=Continuità di una funzione,label=thm:FunzCont]
$(X,d_X), (Y,d_Y)$ spazi metrici, $A\sbse X$, $f:A\to Y$, $x_0\in A$; si dice che $f$ \`e \emph{continua in $x_0$} se
$$\VA\eg>0\,\,\,\,\3\dg>0: d_X(x,x_0)<\dg => d_Y(f(x),f(x_0))<\eg;$$
si dice poi \emph{continua in un insieme $A\sbse X$} se \`e continua in ogni punto di $A$.
\end{defi}
\begin{oss}[{name=[Continuità nei punti isolati]},label=thm:oss:ContIsol]
$f$ \`E continua in ogni punto isolato $x_0$ (contrario di di punto d\6accumulazione, quindi $\3 r: B(x_0,r)\cap A=\{x_0\}$) di $A$.
\end{oss}
\begin{oss}[{name=[E nei punti di accumulazione]},label=thm:oss:ContAccum]
Nei punti di accumulazione, continuit\`a $\sse\dlim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$.
\end{oss}
\begin{propo}[name=Tre condizioni equivalenti di continuità,label=thm:propo:3CondizCont]
$(X,d_X), (Y,d_Y)$ spazi metrici $f:X\to Y$. Sono equivalenti le seguenti condizioni:
\ben
\item $f$ continua in $X$;
\item $\VA A$ aperto in $Y$ si ha $f^{-1}\(A\)$ aperto in X;
\item $\VA C$ aperto in $Y$ si ha $f^{-1}\(C\)$ chiuso in X;
\een
\end{propo}
\begin{oss}[name=La continuità è una proprietà topologica,label=thm:oss:ContPropTopol]
\quad[Questo ci dice che metriche diverse possono rendere continue o discontinue le stesse funzioni: la continuit\`a \`e una propriet\`a topologica e quindi, cambiando la topologia, si pu\`o ``compromettere'\6 o ``generare'\6 la continuit\`a di una medesima funzione.]
\end{oss}
\begin{defi}[name=Spazio $C^0$,label=thm:defi:SpFunzCont]
Dati due spazi metrici $(X,d_X), (Y,d_Y)$, definisco l\6in-sieme
$$C^0(X,Y)=\{f:X\to Y: f\,\,limitata\,\,e\,\,continua\,\,in\,\,X\}.$$
$C^0(X,Y)$, munito della metrica uniforme (quella del $\dsup$ di ieri), \`e uno spazio metrico.
\end{defi}
\begin{propo}[name=La metrica come funzione continua - dim ese,label=thm:propo:MetrFunzCont]
Sia $(X,d)$ uno spazio metrico. $d:X\x X\to\R$ si pu\`o vedere come funzione tra spazi metrici; \`e facile verificare che $d$ \`e continua da $(X\x X,\tilde{d})$ ($\tilde{d}$ la metrica prodotto) a $(\R,d_e)$.
\end{propo}
\begin{ese}[{name=[Dimostrare la Proposizione \, \ref{thm:propo:MetrFunzCont}]},label=thm:mu]
Dimostrare la Proposizione \ref{thm:propo:MetrFunzCont} di sopra.
\end{ese}
\begin{oss}[name=Continuità della restrizione,label=thm:oss:ContRestriz]
Se consideriamo due spazi metrici $(X,d_X), (Y,d_Y)$ e $B\sbse A\sbse X$, e $f:A\to Y$, possiamo considerare la restrizione $f|_B:B\to Y$; se $f$ \`e continua in $x_0\in B$, anche $f|_B$ lo \`e.
\end{oss}

\ssect{Esempi di continuit\`a}
\begin{es}[name=L'integrazione con la metrica uniforme,label=thm:es:IntegrMetrUnif]
Consideriamo la funzione $T:C^0([0,1])\to C^0([0,1])$ definita da
$$T(f)(x)=\dint_0^xf(t)dt,$$
ove $C^0$ si intende, come sempre, dotato della metrica uniforme.
\end{es}
\`E continua? Devo vedere se posso rendere piccola a piacere $d(T(f),T(f_0))$ pur di prendere $d(f,f_0)$ piccola.
$$d(T(f),T(f_0))=\dsup_{x\in\[0,1\]}\abs{T(f)(x)-T(f_0)(x)}=\dsup_{x\in\[0,1\]}\left\vert \dint_0^xf(t)dt-\dint_0^xf_0(t)dt\right\vert=$$
$$=\dsup_{x\in\[0,1\]}\abs{\dint_0^x\(f(t)dt-f_0(t)\)dt}\leq\dsup_{x\in\[0,1\]}\dint_0^x\abs{f(t)-f_0(t)}dt\leq$$
$$\leq\dsup_{x\in\[0,1\]}\dint_0^x\dsup_{x\in\[0,1\]}|f(t)-f_0(t)|dt=\dint_0^1\dsup_{x\in\[0,1\]}|f(t)-f_0(t)|dt,$$
quindi dato $\eg$ basta prendere $\dg=\eg$\fn{Giustifichiamo i passaggi.
\ben
\item Il primo passaggio \`e la definizione della $d$ uniforme.
\item Il secondo passaggio \`e l\6applicazione della definizione di $T$.
\item Il terzo passaggio \`e un\6applicazione della linearit\`a dell\6integrale.
\item Il quarto passaggio discende dal fatto che $\left|\dint_0^x f(t)dt\right|\leq\dint_0^x|f(t)|dt$, che \`e un\6estensione di $|a+b|\leq\,\leq|a|+|b|$.
\item Il quinto passaggio discende dal fatto che, immaginando un grafico come quello alla fine del capitolo, si vede chiaramente che per qualsiasi intervallo l\6integrale di una funzione \`e minore o uguale del-l'\Gr{}integrale della funzione costante pari al $\dsup$ dell\6integranda nel medesimo intervallo, che poi non \`e che il $\dsup$ in questione moltiplicato per la lunghezza dell\6intervallo; questo continua a valere anche se il $\dsup$ \`e negativo, poiché in quel caso i due valori sono negativi, quindi i moduli presentano la diseguaglianza opposta, ma il meno risolve il problema.
\item Il sesto passaggio \`e ovvio, poiché avendo l\6integrale di una costante il $\dsup$ non \`e che l\6integrale nel-l\6intervallo di ampiezza massima possibile, appunto quello dato da $x=1$; inoltre quell\6integrale \`e proprio il $\dsup$, cio\`e la distanza uniforme tra $f$ e $f_0$.
\een}.
\begin{es}[name=Mando ogni funzione in $0$,label=thm:es:OgniFunzIn0]
$T(f)(x)=f(0)$, ovvero la funzione $T$ manda la funzione $f$ nella funzione costante identicamente uguale al valore assunto da $f$ in $0$.
\end{es}
\begin{ese}[name=\ref{thm:es:OgniFunzIn0} è continua,label=thm:ese:TuttoIn0Cont]
Provare che la funzione di \ref{thm:es:OgniFunzIn0} \`e continua.
\end{ese}
\begin{es}
Su $X=C^0([0,1])$ consideriamo sia
$$d(f,g)=\dsup_{t\in[0,1]}|f(t)-g(t)|$$
che
$$d_1(f,g)=\dint_0^1|f(t)-g(t)dt.$$
La funzione identit\`a cambia in continuit\`a a seconda delle metriche. Infatti
$$Id:(X,d)\to(X,d_1)$$
\`e continua, mentre
$$Id:(X,d_1)\to(X,d)$$
non lo \`e. La prima cosa vale poiché
$$d_1(f,g)\leq d(f,g).$$
Invece se per assurdo non valesse la seconda, ossia l\6identit\`a definita come funzione $(X,d_1)\to (X,d)$ fosse continua, per $\seg=1$ dovrebbe esistere $\dg$ per cui, posto $f_0(x)=0$,
$$\VA x\in [0,1] \,\,\,\,\,\,\,\, d_1(f,f_0)<\dg => d(f,f_0)<\eg.$$
Prendiamo le $f_n$ di ieri: in quella successione, $d_1$ si pu\`o rendere piccola a piacere, $d$ non c'\`e verso, resta sempre 2.
\end{es}
\par Pausa.

\sect{Funzioni Reali di pi\`u Variabili Reali}
\begin{defi}[name=Funzione reale di più variabili reali,label=thm:defi:FunzRealePolivar]
Si dice \emph{\tbold{Funzione reale di pi\`u variabili reali}} una funzione $f:A\to\R$ con $A\sbse\R^n$ sottospazio di $\R^n$; solitamente si dota $A$ della metrica indotta da quella euclidea, e $\R$ di quella euclidea.
\end{defi}
\begin{propo}[name=Operazioni che mantengono la continuità - ``dim'' accenno,label=thm:propo:OpMantenCont]
Siano $f,g:A\to\R$.
\bde
\item[a)] Se $f,g$ sono continue in $x_0\in A$, $-f$, $f+g$ e $fg$ sono continue;
\item[b)] Se $f,g$ sono continue in $x_0\in A$, e se $g(x_0)\neq0$, \scalebox{0.9}[0.9]{$\fr{f}{g}$} \`e ben definita in un intorno di $x_0$ ed \`e continua in $x_0$
\ede
\end{propo}
La dimostrazione \`e identica a quella per le funzioni monovariate.
\begin{propo}[name=Continuità delle proiezioni - dim,label=thm:propo:ContProiez]
Le funzioni $\pg_k:\R^n\to\R$ definite da $(x_1,\dots,x_n)\mapsto x_k$ sono continue $\VA k=1\dots n$.
\end{propo}
Dim.
$$|\pg_k(x_1,\dots,x_n)-\pg_k(y_1,\dots,y_n)|=|x_n-y_n|\leq\rad{\dsum_{i=1}^n\(x_i-y_1\)^2}=$$
$$=d((x_1,\dots,x_n),(y_1,\dots,y_n));$$
quindi basta prendere $\dg=\eg$.
\begin{es}
$f:\R^2\to\R$ definita da
$$f(x_1,x_2)=e^{-x_1^2+x_2^2}$$
\`e continua perché composizione e prodotto di funzioni continue.
\end{es}
\begin{es}
Lo stesso vale per $f:\R^3\to\R$ definita da
$$f(x_1,x_2,x_3)=\sin\rad{x_1^2+x_2^2+x_3^2}.$$
\end{es}
\begin{es}
Studiamo ora la continuit\`a di $f:\R^2\to\R$ definita da
$$f(x,y)=\sistbis{\fr{x^3y^2}{x^6+|y|^3}}{se\,\,x>0\,\,e\,\,y>0}{0}{altrove}.$$
\end{es}
\ben
\item Nel I quadrante \`e definita da prodotto e composizine di funzioni continue e non ci sono punti di denominatore nullo, quindi \`e continua;
\item In tutto l'``altrove'\6 tranne la frontiera di questo ``altrove'\6 la funzione \`e costante e quindi continua;
\item I punti della frontiera sono di accumulazione, quindi guardo il limite; il limite \`e nullo $\sse$ lo \`e quello della restrizione al I quadrante;
\bde
\item[a)] Cominciamo dagli $(x_0,0)$ con $x_0>0$; studiamo
$$\dlim_{(x,y)\to(x_0,0)}f|_A(x,y)=\dlim_{(x,y)\to(x_0,0)}\fr{x^3y^2}{x^6+|y|^3};$$
il numeratore tende a 0, il denominatore a $x_0^6$, quindi tutto OK;
\item[b)] Guardiamo gli $(0,y_0)$ con $y_0>0$; stesso ragionamento, identico risultato;
\item[c)] Rimane fuori l\6origine; guardiamo la restrizione: $\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{x^3y^2}{x^6+|y|^3}$; siamo nel primo quadrante, quindi leviamo il modulo, poi scriviamo:
$$\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{x^3y^{\dsi{\fr{3}{2}}}y^{\dsi{\fr{1}{2}}}}{x^6+y^3}.$$
Ora, $2ab\leq a^2+b^2$ [in quanto $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\geq0$]; pertanto $x^3y^{\dsi{\fr{3}{2}}}<x^6+y^3$; dunque un pezzo della frazione tende a 0; l\6altro pezzo \`e $\rad{y}$, limitato; quindi \`e continua anche nell\6origine\fn{Qui o ho capito male io o ha detto una cazzata la Felli. In ogni caso direi che il limite \`e 0 perché un pezzo ($\rad{y}$) tende a 0, e l\6altro da qualunque curva arrivi all\6origine comunque ha un limite finito, per cui da qualunque curva arrivi il limite \`e $(finito)\per0=0$. Quella disuguaglianza serve per dire che il limite \`e finito: infatti per quella disuguaglianza la frazione \`e sempre minore di 1 e quindi non pu\`o arrivare all'infinito.}.
\ede
\een
\begin{es}
\par $f:\R^2\to\R$ con
$$f(x,y)=\{\begin{array}{cc} \fr{xy}{x^2+y^2} & se\,\,(x,y)\neq(0,0) \\ 0 & se\,\,(x,y)=0 \\\end{array}\right..$$
\end{es}
Fuori dall\6origine \`e continua, nell\6origine? Se restringo alla bisettrice, il limite \`e \scaleOpointnine{\fr{1}{2}}. Quindi il limite non pu\`o essere 0, per cui $f$ non \`e continua. Se restringo all\6asse $y$, il limite \`e 0, quindi il limite non esiste.

\sect{Funzioni di pi\`u Variabili Reali a Valori in $\R^m$}

\ssect{Definizione, relazione tra continuit\`a di $f$ e continuit\`a delle componenti}
\begin{defi}[name=Funzione di più Variabili Reali a Valori in $\R^n$,label=thm:defi:FunzVettPolivar]
Si dice \emph{\tbold{funzione di più variabili reali a valori in $\R^m$}} una funzione $f:A\to\R^m$, ove $A\sbse\R^n$.
\end{defi}
\begin{defi}[name=Componenti di una funzione vettoriale,label=thm:defi:ComponFunzVett]
Definiamo ora le funzioni $f_k=\pg_k\circ f:A\to\R$: $A\xrightarrow{\quad f\quad}\R^n\xrightarrow{\quad\spg_k\quad}\R$ dove $f$ \`e quella della riga sopra; tali $f_k$ si dicono \emph{\tbold{componenti della funzione $f$}}.
\end{defi}
Verificare la continuit\`a di $f$ equivale a dimostrare la continuit\`a di tutte le $f_k$ (componenti di $f$). Infatti:
\begin{propo}[name=Continuità e continuità delle componenti - dim,label=thm:propo:ContEContCompon]
$f$ \`e continua in $x_0$ $\sse$ lo \`e ogni $f_k$.
\end{propo}
Dim.
\ben
\item Se $f$ \`e continua, le $f_k$ sono composizioni di funzioni continue [($f$ e le proiezioni)], quindi continue;
\item Se le $f_k$ sono continue, verifichiamo che lo \`e $f$.
$$d(f(\ubar{x}),f(\ubar{x_0}))=\rad{\dsum_{i=1}^n|f_i(x)-f_i(x_0)|^2}\leq\dsum_{i=1}^n|f_i(x)-f_i(x_0)|.$$
Ora, per ciascuna $f_i$ trovo $\dg_i>0$ tale che
$$d(\ubar{x},\ubar{x_0})<\dg_i => |f_i(\ubar{x})-f_i(\ubar{x_0})|<\fr{\eg}{m};$$
se $d(\ubar{x},\ubar{x_0})<\dmin_i\dg_i$, allora $d(f(\ubar{x}),f(\ubar{x_0}))<\eg$.
\een
\begin{es}
$f:\R^3\to\R^2$ definita da $f(x_1,x_2,x_3)=(x_2\cos x_1, x_1^2+x_3^4)$\fn{Qui con un colpo di genio aveva messo dominio $\R^2$ e poi aveva scritto $x_3$ nell\6arrivo, ragion per cui ha poi cambiato in $\R^3\to\R^2$.}. Le componenti sono continue.
\end{es}
\begin{es}
$f:[0,1]\to\R^3$ con $f(t)=(\cos t,\sin t,t)$. Ovviamente continua.
\end{es}
\begin{es}
$f:\R^2\ssm\{(0,0)\}\to\R^3$ con $f(x_1,x_2)=(x_2,x_1,\ln\(x_1^2+x_2^2\))$. Sempre continua.
\end{es}

\sect{Grafico aggiuntivo}
\includegraphics[width=11.15cm]{GraficoAggiuntivo3.10.jpg}


\incle
\chapter{\lez{4/10/2013}}

\sect{Successioni: alcuni richiami e varie novità}

\ssect{Definizione di convergenza, legame tra limiti di funzioni e di successioni, convergenza in $\R^n$}
Ripassiamo la convergenza in spazi metrici.
\begin{defi}[name=Convergenza di una successione in uno spazio metrico,label=thm:defi:Convergenza]
Dati \,\whitea\quad $(X,d)$ spazio metrico e $x_n$ successione in $X$ si dice che $x_n$ converge a $x_0$ (ovvero che $\dlim_{n\to+\8}x_n=x_0$) se
$$\3\,\lbar{n}:\VA n\geq\lbar{n} \,\,\,\,\,\,\,\, d(x_,,x_0)<\eg.$$
\end{defi}
\begin{propo}[name=Legame tra limiti di funzioni e di successioni,label=thm:propo:LimSuccessELimFunz]
Dati due spazi metrici $(X,d_X)$ e $(Y,d_Y)$, e una $f:X\to Y$, e $x_0\in X$, si ha che $f$ \`e continua in $x_0$ $\sse$ \, $\sse$ $\VA x_n\to x_0$ in $X$ si ha $f(x_n)\to f(x_0)$ in $Y$.
\end{propo}
\begin{es}[name=Convergenza in $\R^n$ con la metrica euclidea,label=thm:es:ConvRnMetrEucl]
$X=\R^N$ colla distanza euclidea.
$$\ubar{x}_n=\(x_{1n},x_{2n},\dots,x_{Nn}\)\to\scl=\(\scl_1,\dots,\scl_N\)\sse x_{jn}\to\scl_j \,\,\,\, \VA j=1,\dots,N.$$
\end{es}
\begin{ese}[name=Esempio \ref{thm:es:ConvRnMetrEucl}]
Verificare l'esempio \ref{thm:es:ConvRnMetrEucl}.
\end{ese}

\ssect{Convergenza in spazi di funzioni: puntuale e uniforme, legame e dimostrazione del legame}
\begin{es}[name=Convergenza Uniforme,label=thm:es:ConvUnif]
Sia $D\neq\0$. Consideriamo $\s{L}\(D,\R\)=\{f:D\to\R:f\,\,\hbox{\`e}\,\,limitata\}$ con $d(f,g)=\dsup_{t\in D}|f(t)-g(t)|$. $f_n\to f$ in $\s{L}$ con $d$ significa che:
$$\VA\eg>0\,\,\,\,\3\,\lbar{n}:\VA n>\lbar{n} \,\,\,\, \dsup_{t\in D}|f_n(t)-f(t)|<\eg,$$
ossia che
$$\VA\eg>0\,\,\,\,\3\,\lbar{n}:\VA n>\lbar{n}\,\,e\,\,\VA t\in D \,\,\,\, \dsup_{t\in D}|f_n(t)-f(t)|<\eg.$$
\end{es}
\begin{defi}[name=Convergenza Uniforme,label=thm:defi:ConvUnif]
Questo tipo di convergenza si chiama \emph{convergenza uniforme}.
\end{defi}
\begin{defi}[name=Convergenza Puntuale,label=thm:defi:ConvPunt]
Se invece
$$\VA t\in D\,\,e\,\,\VA \eg>0\,\,\,\,\3\,\lbar{n}:\VA n>\lbar{n} \,\,\,\, \dsup_{t\in D}|f_n(t)-f(t)|<\eg,$$
si dice che la funzione converge \emph{puntualmente} a $f$\fn{Secondo me in entrambe le convergenze dove c'\`e $\VA t\in D$ il $\dsup_{t\in D}$ \`e superfluo.}; questo equivale a chiedere che in $\R$ per ogni $t$
$$\dlim_{n\to+\8}f_n(t)=f(t).$$
\end{defi}
\begin{propo}[name=Convergenza Uniforme implica Puntuale - dim,label=thm:propo:UnifImplicaPunt]
Se $f_n$ converge a $f$ uniformemente, $f_n$ converge a $f$ puntualmente.
\end{propo}
Infatti la convergenza uniforme dato un $\seg$ produce un $\lbar{n}$ per cui vale quella cosa per ogni $t$, e quindi anche per il $t$ della convergenza puntuale.\lfeed\whitea\lfeed
Il viceversa \`e falso:
\begin{es}[name=Convergenza Puntuale non implica Uniforme,label=thm:es:PuntNonImplicaUnif]
Consideriamo \quad\whitea\quad $D=[0,1]$ e $f_n(t)=t^n$.
\end{es}
\ben
\item Converge puntualmente? Fissiamo $t$ e troviamo $\dlim_{n\to+\8}f_n(t)$. Questi limiti sono 0 per $t\in[0,1)$, e 1 per $t=1$. Quindi $f_n$ converge puntualmente a
$$f(t)=\begin{sistema}
0 \,\,\,\,\,\,\,\, t\in[0,1) \\
1\,\,\,\,\,\,\,\,t=1
\end{sistema}.$$
\item Converge uniformemente? Se s\`i, sicuramente converge a $f$, perché convergenza uniforme a qualcosa => convergenza puntuale allo stesso qualcosa. Quindi la domanda \`e: $f_n$ converge ad $f$ uniformemente? Ossia dobbiamo chiederci se \`e vero che:
$$\dsup_{t\in[0,1]}|f_n(t)-f(t)|\to0.$$
Ma quel $\dsup$ \`e sempre $1$\fn{Il $\dsup$ è sempre 1 perché qualsiasi sia $n$ se mi avvicino a 1 $f_n(t)-f(t)=f_n(t)=t^n$, quindi anche se il valore 1 non è mai assunto da tale differenza per via del salto, il $\sup$ è comunque quello. Graficamente, la differenza in questione è $f(t)=\sistbis{t^n}{t\neq1}{0}{t=1}$, quindi il suo $\dsup$ sarà $\dsup_{t\in[0,1)}t^n=1$, dato che se per assurdo fosse minore di 1 avrei sicuramente un valore $\dsup<a<1$ assunto per $t=\rad[n]{a}$ che contraddirebbe la definizione di $\dsup$. Tale $\dsup$ non è un massimo, e questo può indurre a pensare che non sia 1, specie perché dove potrebbe essere assunto la differenza si annulla per il salto nella $f$. Si ricordi che tale differenza non è continua, quindi non è detto che il suo $\dsup$ sia un massimo.}. Quindi non converge uniformemente.
\een
\begin{es}[name=Altro esempio di quanto nel \ref{thm:es:PuntNonImplicaUnif},label=thm:es:GemelloDelPreced]
$f_n:\R\to\R$ ($D=\R$) definita da:
$$f_n(t)=\sistbis
{\sin(t)}{se\,\,t\in[2\spg n, 2(n+1)\spg]}
{0}{altrimenti}.$$
\end{es}
\ben
\item Per $n\to\8$ abbiamo un'``ondina'\6 che si sposta verso destra. Quindi per $t$ fissato la cosa tende a 0, perché qualsiasi sia $t$ per $n$ abbastanza grande l\6intervallo in cui $f_n$ vale $\sin t$ cade tutto a destra.
\item Non converge a 0 uniformemente, perché il sup resta sempre 1. Quindi non converge uniformemente ad alcunché.
\een
\begin{es}[name=Un altro analogo a \ref{thm:es:PuntNonImplicaUnif},label=thm:es:SecGemello]
Consideriamo $f_n$ in $[0,1]$ definita da
$$f_n(t)=\sistbisdue
{nt}{per\,\,t\in\[0,\scaleOpointnine{\fr{1}{n}}\]}
{2-nt}{per\,\,t\in\[\scaleOpointnine{\fr{1}{n}},\scaleOpointnine{\fr{2}{n}}\]}
{0}{altrove}.$$
\end{es}
Il ragionamento \`e identico\fn{Cfr. anche il Giusti.}.\lfeed
Se come altezza anziché 1 prendo $\scaleOpointnine{\fr{1}{n}}$ o qualsiasi cosa che tenda a 0, converge anche uniformemente.

\ssect{Condizione di Cauchy e convergenza, spazi completi, esempi, propriet\`a che assicura la completezza di sottospazi, completezza di $\s{L}(D,X)$ (se…) e chiusura di $C^0$}
\begin{defi}[name=Successione di Cauchy,label=thm:defi:SuccCauchy]
Una successione $x_n$ in uno spazio metrico $(X,d)$ si dice \emph{di Cauchy} se
$$\VA\eg>0\,\,\,\,\,\,\,\,\3\lbar{n}:\VA n,m>\lbar{n}\,\,\,\,\,\,\,\,d(x_n,x_m)<\eg.$$
\end{defi}
\begin{oss}[name=Convergenza e Cauchy,label=thm:oss:ConvECauchy]
Se una successione converge allora \`e di Cauchy; il viceversa in generale \`e falso.
\end{oss}
\begin{defi}[name=Spazio Metrico Completo,label=thm:defi:SMCompl]
Si dice \emph{Spazio Metrico Completo} uno spazio metrico $(X,d)$ in cui ogni successione di Cauchy converge\fn{Vale a dire in cui vale il viceversa dell\6Osservazione \ref{thm:oss:ConvECauchy}.}.
\end{defi}
\begin{es}[{name=[$\R^n$ con la euclidea]}]
$\R^n$ colla metrica euclidea \`e completo\fn{Cfr. Soardi.}.
\end{es}
\begin{es}[{name=[{$\Q$ e l'intervallo aperto $(0,1)$ con la metrica indotta}]}]
$\Q$ colla metrica indotta da $\R$ non \`e completo, cos\`i come (0,1) colla indotta\fn{Non sono chiusi, quindi posso creare una successione in essi che converga in $\R$ a un loro punto di accumulazione: per esempio una successione di frazioni che converga ad un irrazionale, tipo le troncate di $\rad{2}$, o la successione $x_n=\fr{1}{n}$ in (0,1) che converge a $0\nin(0,1)$.}.
\end{es}
\begin{propo}[name=Completezza dei chiusi - dim ese,label=thm:propo:ComplChiusi]
Un sottospazio chiuso di uno spazio completo \`e completo.
\end{propo}
\begin{ese}[{name=[Completezza dei chiusi]},label=thm:ese:ComplChiusi]
Verificare la Proposizione \ref{thm:propo:ComplChiusi}.
\end{ese}
\begin{teor}[name=Completezza delle funzioni limitate colla Metrica Uniforme - dim,label=thm:teor:ComplFunzLim]
Sia $D\neq\0$ e $X$ uno spazio metrico [completo] con distanza $d$; allora $\s{L}(D,X)$ \`e completo nella metrica uniforme.
\end{teor}
Dimostrazione dopo una pausa.\lfeed
Consideriamo una successione di Cauchy $f_n$ in $\s{L}(D,X)$. Questo significa che
$$\VA\eg>0\,\,\,\,\,\,\,\3\,\lbar{n}:\VA n,m>\lbar{n}\,\,\,\,\,\,\,\,\dsup_{t\in D}d_X(f_n(t),f_m(t))<\eg.$$
Questo equivale a chiedere che
\begin{eqnarray}
\VA\eg>0\,\,\,\,\,\,\,\,\3\,\lbar{n}:\VA n,m>\lbar{n}\et\VA t\in D\,\,\,\,\,\,\,\,d_X(f_n(t),f_m(t))<\eg
\end{eqnarray}
(3.1) implica che
$$\VA\eg>0\et\VA t\in D\,\,\,\,\,\,\,\,\3\,\lbar{n}:\VA n,m>\lbar{n}\,\,\,\,\,\,\,\,d_X(f_n(t),f_m(t))<\eg,$$
cio\`e
$$\VA t\in D\,\,\,\,\,\,\,\,f_n(t)\,\,\hbox{\`e}\,\,di\,\,Cauchy\,\,in\,\,X.$$
Per ipotesi $X$ \`e completo, e dunque
$$\VA t\in D\,\,\,\,\,\,\,\,f_n(t)\to\scl_t,$$
quindi $f_n$ converge puntualmente a
$$f(t)=\scl_t.$$
Ora in (3.1) faccio tendere $m\to\8$, e ottengo
$$\VA\eg>0\,\,\,\,\,\,\,\,\3\lbar{n}:\VA n>\lbar{n}\et\VA t\in D\,\,\,\,\,\,\,\,d_X(f_n(t),f(t))<\eg,$$
poiché passo al limite per la continuit\`a della funzione distanza\fn{La funzione distanza \`e continua da $X\x X$ colla metrica prodotto a $\R$ con quella euclidea: va dimostrato per esercizio. Questo significa che
$$\dlim_{m\to\8}d(f_n(t),f_m(t))=d(\dlim_{m\to\8}f_n(t),\dlim_{m\to\8}f_m(t))=d(f_n(t),\dlim_{m\to\8}f_m(t))=d(f_n(t),f(t)).$$
Tuttavia (GA docet) la disuguaglianza deve diventare larga. Infatti se $f(x)<0$ (o maggiore, il ragionamento \`e identico) in un opportuno intorno di $x_0$, il Teorema di Permanenza del Segno assicura che $\dlim_{x\to x_0}f(x)\leq0$, ma potrebbe anche essere 0 (vedi $\dlim_{x\to0}\(-x^2\)$, per esempio). Quindi, se consideriamo $\dlim_{m\to+\8}d_X(f_n(t),f_m(t))-\eg$, avremo che
$$\dlim_{m\to+\8}\(d_X(f_n(t),f_m(t))-\eg\)\leq0\implies\dlim_{m\to+\8}d_X(f_n(t),f_m(t))-\dlim_{m\to+\8}\eg\leq0\implies$$
$$\implies\dlim_{m\to+\8}d_X(f_n(t),f_m(t))-\eg\leq0\implies\dlim_{m\to+\8}d_X(f_n(t),f_m(t))\leq\eg.$$
Peraltro, stando a GA, la Felli avrebbe dato la disuguaglianza larga giustificandola sommariamente come passaggio al limite, cosa che io non ho segnato.}. Questo equivale a
\begin{eqnarray}
\VA\eg>0\,\,\,\,\,\,\,\,\3\lbar{n}:\VA n>\lbar{n}\,\,\,\,\,\,\,\,\dsup_{t\in D}\,d_X(f_n(t),f(t))<\eg.
\end{eqnarray}
Non resta che dimostrare che $f\in\s{L}(D,X)$, ossia che \`e limitata. Fissiamo $n_0>\lbar{n}$ dove $\lbar{n}$ \`e definito da (3.2) fissato un certo $\seg$. Ho che\fn{Questo segue dalla limitatezza di $f_{n_0}$, poiché una funzione limitata ha per definizione immagine limitata, e ogni insieme limitato \`e contenuto in una palla abbastanza grande, di centro e raggio genericamente detti $x_0$ e $R$. $f_{n_0}$ è limitata perché fa parte della successione $f_n$ che per ipotesi ha valori in $\s{L}(D,X)$.}
$$f_{n_0}(D)\sbse B(x_0,R).$$
Grazie alla disuguaglianza triangolare,
$$d_X(f(t),x_0)\leq d_X(f(t),f_{n_0}(t))+d_X(f_{n_0}(t),x_0)\leq\eg+R,$$
ossia $f$ \`e limitata perché $\VA t$ sta in $B(x_0,\seg+R)$\fn{Secondo me la disuguaglianza finale sopra dovrebbe essere stretta, poiché per (3.2) $d_X(f(t),f_{n_0}(t))<\eg$ strettamente; la disuguaglianza debole non danneggia per\`o la limitatezza di $f$: semplicemente $f(D)$, anziché contenuta in $B(x_0,\eg+R)$ strettamente, lo sar\`a debolmente (ossia non $\sbs$ ma $\sbse$). GA concorda. Tuttavia forse in (3.2) la disuguaglianza dovrebbe essere larga, poiché passando al $\dsup$ e non avendo necessariamente un $\dmax$ potrei trovare che il $\dsup$ \`e esattamente $\eg$; si veda l\6esempio del $\dsup_{t\in[0,1]}\lb t^n-f(t)\rb$ ove $f(t)=\sistbis{0}{t\neq1}{1}{t=1}$: il $\dsup$ \`e $1$ $\VA n$, ma $\nex t:\lb t^n-f(t)\rb=1$. E comunque GA docet che nella formula sopra c'è la disuguaglianza larga, che ovviamente passa a (3.2).}.\lfeed
Siano $(X,d_X)$ e $(Y,d_Y)$ due spazi metrici [con $Y$ completo], e
$$C^0(X,Y)=\{f\in\s{L}(X,Y):f\,\,\hbox{\`e}\,\,continua\}\sbse\s{L}(X,Y).$$
$C^0$ \`e completo? S\`i se \`e chiuso.
\begin{teor}[name=Chiusura di $C^0$ - dim vedi successivo,label=thm:teor:ContChiuse]
\`E chiuso.
\end{teor}
\par Ricordiamo che $A$ \`e chiuso in $X$ $\sse \VA x_n\to x\in X$ si ha che $x\in A$. In spazi metrici, in spazi topologici generici non \`e detto\fn{In spazi topologici generici può venire a mancare l\6unicità del limite, quindi un insieme chiuso può non essere completo perché una successione converge a più limiti di cui alcuni nell\6insieme ed altri nel complementare.}. Quindi il teorema equivale a:
\begin{teor}[name=Continuità del limite uniforme di funzioni continue - dim,label=thm:teor:ContLimUnif]
\quad Se \, $f_n\in C^0(X,Y)$ e $f\in\s{L}(X,Y)$, e $f_n\to f$ in $\s{L}$ (uniformemente), allora $f\in C^0$. Vale a dire che ogni successione di funzioni continue che converge uniformemente converge a una funzione continua\fn{Ovvero ``La convergenza uniforme mantiene la continuità delle funzioni''.}.
\end{teor}
Dim.
\par Fisso $x_0\in X$ non isolato (se fosse isolato sicuramente $f$ sarebbe continua in $x_0$). Sia $\eg>0$. So che
$$\3\,\lbar{n}:\VA n>\lbar{n}\et\VA x\in X\,\,\,\,\,\,\,\,d_Y(f_n(x),f(x))<\eg.$$
Ora, io so che $f_n$ \`e continua in $x_0$, quindi
$$\3\dg>0:d_X(x,x_0)<\dg=>d_Y(f_n(x),f_n(x_0))<\eg.$$
Questo \`e il $\dg$ della continuit\`a di $f$. Infatti\fn{Le tre minorazioni a destra valgono:
\ben
\item La prima perché lavoriamo con $n>\lbar{n}$, quindi vale $\VA x\in X$;
\item La seconda perché lavoriamo con $d_X(x,x_0)<\dg$ dove il $\dg$ viene dalla continuità di $f_n$;
\item La terza per lo stesso motivo della prima, essendo che $x_0\in X$.
\een}
$$d_Y(f(x),f(x_0))\leq\underset{<\eg}{d_Y(f(x),f_n(x))}+\underset{<\eg}{d_Y(f_n(x),f_n(x_0))}+\underset{<\eg}{d_Y(f_n(x_0),f(x_0))}\leq3\eg.$$
\begin{cor}[name=Completezza di $C^0$ - immediato,label=thm:cor:ComplCont]
Se $(X,d_X),(Y,d_Y)$ sono spazi metrici e $Y$ \`e completo, allora $C^0(X,Y)$ \`e completo.
\end{cor}
\ssect{Esercizi su convergenza puntuale e uniforme}
\begin{ese}
Studiare convergenza puntuale e convergenza uniforme della successione $f_n:[-1,1]\to\R$ definita da
$$f_n(x)=\fr{1}{n^2}\rad{1-x^{2n}}.$$
\end{ese}
\ben
\item\bde
\item[a)] Per $x\in(-1,1)$, $f_n(x)\to0$. (Minuto di Silenzio per Lampedusa).
\item[b)] Per $x=\pm1$, la radice \`e 0, quindi comunque tende a 0.
\ede
Pertanto $f_n$ converge puntualmente a $f(x)=0$.
\item Uniformemente? Ovvero:
$$\dsup_{x\in[-1,1]}|f_n(x)-0|=\dsup_{x\in[-1,1]}\fr{1}{n^2}\rad{1-x^{2n}}\to0?$$
Il $\dsup$ \`e $\fr{1}{n^2}$\fn{Infatti il $\sup$ del prodotto \`e il prodotto dei $\dsup$, essendo le due cose entrambe sempre positive, quindi $\fr{1}{n^2}$ per il $\dsup$ della radice, che è uno perché l'argomento è $1-$ un numero positivo, quindi il massimo che può raggiungere è $1$ per $x=0$.}, massimo assunto per $x=0$.
\par\includegraphics[width=5cm]{Grafico1.jpg}
\par Il $\dsup$ tende a 0, quindi la convergenza \`e anche uniforme.
\een
\begin{ese}
Studiamo ora
$$f_n(x)=\fr{nx}{1+n^2x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,per\,\,x\in[-1,1].$$
\end{ese}
\ben
\item Puntualmente converge a 0 perché fissato $x$ ottengo una frazione $\~\fr{1}{nx}\to0$.
\item Uniformemente? Valutiamo
$$\dsup_{[-1,1]}\left|\fr{nx}{1+n^2x^2}\right|=\dsup_{x\in[-1,1]}\fr{nx}{1+n^2x^2}.$$
Studiamo la derivata che \`e
$$\fr{n+n^3x^2-2n^3x^2}{\(1+n^2x^2\)}=\fr{n-n^3x^2}{\(1+n^2x^2\)}.$$
Quando \`e positiva? Per $n^2x^2<1$, quindi $x^2<\fr{1}{n^2}$ ossia a destra $x<\fr{1}{n}$, e poi \`e dispari.
\par\includegraphics[width=5cm]{Grafico2.jpg}
\par Il $\dsup$ quindi \`e in $\fr{1}{n}$. $f\(\fr{1}{n}\)=\fr{1}{2}$. Non varia, quindi non converge uniformemente.
\een
\begin{ese}[name=Non chiusura di $C^0$ colla Metrica Integrale,label=thm:ese:ContIntNonChiuse]
Verificare che $C^0([-1,1])$ colla metrica integrale $d_1(f,g)=\dint_{-1}^1|f(x)g(x)|dx$ non \`e completo.
\end{ese}
Suggerimento: considerare
$$f_n(t)=\begin{sistema}
1\,\,\,\,\,\,\,\,t\in\[\fr{1}{n},1\] \\[1em]
-1\,\,\,\,\,\,\,\,t\in\[-1,-\fr{1}{n}\] \\[1em]
retta\,\,\,\,\,\,\,\,t\in\[-\fr{1}{n},\fr{1}{n}\]
\end{sistema}.$$
\chapter{Esercizi a casa nel Weekend}
\begin{esecasa}
Verificare che dati $(X,d_X)$ e $(Y,d_Y)$ due spazi metrici, $X\x Y$ \`e uno spazio metrico colla distanza $d$ definita da $d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=d_X(x_1,x_2)+d_Y(y_1,y_2)$.
\end{esecasa}
Per verificare che $d$ \`e una metrica dobbiamo verificare:
\ben
\item Che \`e maggiore di 0 per ogni coppia;
\item Che \`e nulla $\sse$ $(x_1,y_1)=(x_2,y_2)$;
\item Che \`e simmetrica;
\item Che vale la disuguaglianza triangolare.
\een
Verifichiamo queste propriet\`a:
\ben
\item La prima discende direttamente da quella di $d_X$ e $d_Y$, essendo la metrica definita come la somma di quelle due applicate sugli elementi delle coppie che stanno nello stesso spazio;
\item Stesso discorso per la seconda
\item e per la terza;
\item Per la quarta ci vuole, come quasi sempre, un pochino più di tempo. Scriviamo:
$$d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=d_X(x_1,x_2)+d_Y(y_1,y_2)\leq d_X(x_1,x_3)+d_X(x_3,x_2)+$$
$$+d_Y(y_1,y_3)+d_Y(y_3,y_2)=d((x_1,y_1),(x_3,y_3))+d((x_3,y_3),(x_2,y_2)),$$
ove il primo passaggio \`e la definizione di $d$, il secondo \`e la triangolare applicata su $d_X$ e $d_Y$, e l'ultimo \`e di nuovo la definizione di $d$.
\een
\begin{esecasa}
Verificare che $C^0([0,1])$ \`e uno spazio metrico con la metrica $d_1$ definita da $d_1(f,g)=\dint_0^1|f(x)-g(x)|dx$.
\end{esecasa}
Cos\`i come prima, verifichiamo le tre propriet\`a:
\ben
\item Che sia positiva \`e ovvio: l\6integrale di una funzione positiva \`e positivo, e l\6integranda \`e un modulo, quindi sempre positivo;
\item Per avere due funzioni distinte con integrale del modulo della differenza nullo bisognerebbe che fossero uguali tranne al più in punti isolati; essendo funzioni continue, questo non \`e possibile, pertanto anche la seconda propriet\`a \`e verificata;
\item Grazie al modulo, la terza \`e verificata;
\item Scriviamo:
$$d_1(f,g)=\dint_0^1|f(x)-g(x)|dx=\dint_0^1\(|f(x)-h(x)+h(x)-g(x)|\)dx\leq$$
$$\leq\dint_0^1\(|f(x)-h(x)|+|h(x)-g(x)|\)dx=\dint_0^1\(|f(x)-h(x)|\)+$$
$$+\dint_0^1\(|h(x)-g(x)|\)dx=d_1(f,h)+d_1(h,g),$$
ove il primo passaggio \`e la definizione di $d_1$, il secondo \`e dovuto a una propriet\`a del modulo, il terzo alla linearit\`a dell\6integrale e il quarto \`e di nuovo la definizione di $d_1$.
\een
\begin{esecasa}
Dimostriamo che la metrica $d$, vista come funzione $X\x X\to\R$, \`e continua se $X^2$ \`e munito della metrica prodotto $\tilde{d}((x_1,x_2),(x_3,x_4))=d(x_1,x_3)+d(x_2,x_4)$ e $\R$ di quella euclidea $d(x,y)=|x-y|$.
\end{esecasa}
Proviamo a dimostrare che la controimmagine di un intervallo aperto $(a,b)\sbse\R$ \`e aperta in $(X^2,\tilde{d})$. Prendiamo un punto $(x_1,x_2)\in d^{-1}(a,b)$. Per la definizione di quella controimmagine so che:
$$a<d(x_1,x_2)<b.$$
Noi dobbiamo trovare un $r$ tale per cui
$$\tilde{d}((x_1,x_2),(x_3,x_4))<r\implies a<d(x_3,x_4)<b.$$
Ora,
$$\tilde{d}((x_1,x_2),(x_3,x_4))=d(x_1,x_3)+d(x_2,x_4).$$
Ovviamente sto supponendo $a,b\geq0$. Giochiamo coi triangoli per minorare quel $\tilde{d}$:
$$d(x_1,x_3)+d(x_2,x_4)\geq d(x_1,x_2)-d(x_2,x_3)+d(x_2,x_3)-d(x_3,x_4)=d(x_1,x_2)-d(x_3,x_4);$$
per simmetria avrò anche:
$$d(x_1,x_3)+d(x_2,x_4)\geq d(x_3,x_4)-d(x_1,x_2),$$
ossia
$$|d(x_3,x_4)-d(x_1,x_2)|\leq d(x_1,x_3)+d(x_2,x_4)<r.$$
In realtà quest\6ultimo passaggio non mi serve. Infatti da
$$r>d(x_1,x_3)+d(x_2,x_4)\geq d(x_3,x_4)-d(x_1,x_2)$$
ottengo
$$d(x_3,x_4)<d(x_1,x_2)+r,$$
e da
$$r>d(x_1,x_3)+d(x_2,x_4)\geq d(x_1,x_2)-d(x_3,x_4)$$
ottengo
$$d(x_3,x_4)>d(x_1,x_2)-r,$$
e riassumendo:
$$d(x_1,x_2)-r<d(x_3,x_4)<d(x_1,x_2)-r,$$
ossia $d(x_3,x_4)\in B(d(x_1,x_2),r)$ ove $B$ \`e la palla in $(\R,d_e)$. Essendo $(a,b)$ aperto in $(\R,d_e)$, esiste sicuramente un $r$ per cui vale quell\6equazione, e quindi ho trovato l'$r$ che mi serviva.
\begin{esecasa}
Provare che la funzione $T:C^0([0,1])\to C^0([0,1])$ definita da
$$T(f)(x)=f(0),$$
ossia la funzione che manda una funzione $f$ continua da $C^0$ in sé stesso nella funzione identicamente uguale al valore di $f$ in 0, \`e continua nella metrica uniforme.
\end{esecasa}
Cosa significa questa continuità? Vuol dire che
$$\VA\eg>0\,\,\,\,\,\,\,\,\3\dg>0:d(f,g)<\dg\implies d(f(0),g(0))<\eg.$$
Scriviamo meglio le due distanze:
$$d(f,g)=\dsup_{t\in[0,1]}|f(t)-g(t)|,$$
$$d(f(0),g(0))=|f(0)-g(0)|.$$
Se $\dsup_{t\in[0,1]}|f(t)-g(t)|<\dg$, sicuramente anche $|f(0)-g(0)|<\dg$, quindi basta porre $\dg=\eg$ e si ha la tesi.
\begin{esecasa}
Verificare che una successione $\ubar{x}_n\in\R^n$ converge a $\scl=(\scl_1,\dots,\scl_n)$ $\iff$ $\VA 1\leq i\leq n$ si ha $x_{ni}\to\scl_i$.
\end{esecasa}
\par Punto 1: $\implies$.
\par Se vale l\6ipotesi, per definizione di convergenza si ha che
$$\VA\eg>0\,\,\,\,\,\,\,\,\3 N:m>N\implies d(x_m,\scl)<\eg.$$
La distanza euclidea \`e
$$d(x_n,\scl)=\rad{\dsum_{i=1}^n|x_i-\scl_i|^2}.$$
Se quella distanza \`e minore di $\eg$, si ha
$$\rad{\dsum_{i=1}^n|x_i-\scl_i|^2}<\eg\implies\dsum_{i=1}^n|x_i-\scl_i|^2<\eg^2\implies\VA1\leq i\leq n\,\,\,\,|x_i-\scl_i|^2<\eg^2\implies$$
$$\implies\VA1\leq i\leq n\,\,\,\,|x_i-\scl_i|=d(x_i,\scl_i)<\eg,$$
ossia la tesi collo stesso $N$.
\par Punto 2: $\slse$.
Se vale la tesi, coll\6$N$ giusto ho:
$$\VA1\leq i\leq n\,\,\,\,d(x_i,\scl_i)=|x_i-\scl_i|<\eg\implies\VA1\leq i\leq n\,\,\,\,|x_i-\scl_i|^2<\eg^2\implies$$
$$\implies\dsum_{i=1}^n|x_i-\scl_i|^2<n\eg^2\implies\rad{\dsum_{i=1}^n|x_i-\scl_i|^2}=d(x_n,\scl)<\rad{n}\seg,$$
e per l\6arbitrarietà di $\seg$ segue la tesi.
\begin{esecasa}
Giusto per curiosità, lavoriamo su
$$f(x,y)=\fr{x^3y^2}{x^6+y^3},$$
ponendola nulla nell\6origine.
\end{esecasa}
\ben
\item Quando almeno una tra $x$ e $y$ è non nulla, è continua in quanto composizione di funzioni continue;
\item Nell'origine io so che da qualunque curva arrivi, se siamo nel I quadrante o sui semiassi positivi il limite è 0; se $x>0$ e $y<0$ (II quadrante), posso applicare il ragionamento fatto a lezione pur di mettere un modulo a $x^3$ e mettere un meno davanti alla frazione; se invece siamo per $y<0$, se $x>0$ scrivo:
$$f(x,y)=\fr{x^3y^2}{x^6-y^3}=\fr{x^3y^2}{x^6+y^3}\per\fr{x^6+y^3}{x^6-y^3};$$
la prima frazione tende a 0 per il ragionamento di sopra (con opportuni moduli quando scriviamo $y^{\dsi{\fr{3}{2}}}y^{\dsi{\fr{1}{2}}}$), mentre l\6altro pezzo ha un numeratore sempre minore del denominatore in modulo, quindi è limitato, e un limitato per uno 0 fa 0; nel IV quadrante posso fare un ragionamento analogo, pur di porre il modulo a $x^3$ e un meno davanti alla frazione; quindi concludo che $f$ è continua nell'origine.
\een
\begin{esecasa}
Verificare che un sottospazio chiuso di uno spazio completo è completo.
\end{esecasa}
Consideriamo una successione $x_n$ di Cauchy a valori in $A\sbse X$, con $A$ chiuso di $X$ e $X$ completo. Tale successione risulta di Cauchy, e quindi convergente, in $X$. Esiste quindi un punto $x_0$ tale che:
$$\VA\eg>0\,\,\,\,\,\,\,\,\3\,\lbar{n}:x\geq\lbar{n}\implies d(x_n,x_0)<\eg.$$
Preso un intorno di $B(x_0,r)$, risulta che per $\seg<r$ ci sono infiniti punti $x_n$ che stanno in $A\cap B(x_0,r)$, e di conseguenza $x_0$ è di accumulazione per $A$. Dato infine che $A$ è chiuso, $x_0\in A$ necessariamente, in quanto un chiuso contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
\begin{esecasa}
Verificare che $C^0([-1,1]),d_1$ ove $d_1(f,g)=\dint_{-1}^1|f(x)g(x)|dx$ non è uno spazio metrico completo.
Suggerimento: considerare la successione
$$f_n(t)=\sistbisdue
{1}  {t\in\[\fr{1}{n},1\]_\whitea}
{-1}  {t\in\[-1,-\fr{1}{n}\]_\whitea^\whitea}
{retta}  {t\in\[-\fr{1}{n},\fr{1}{n}\]^\whitea}.$$
\end{esecasa}
Prima di tutto temo di aver sbagliato a scrivere $d_1$, che sarebbe l\6integrale del modulo della \emph{differenza}, non del prodotto. Chiamiamo questa appena nominata $d_1$ e l\6altra sopra scritta $d_1^\1$, e proviamo con entrambe a cominciare da $d_1$.
\par La successione $f_n$ converge puntualmente ma non uniformemente a $f(x)=\sgn x$. Quindi uniformemente non converge. Giusto tra parentesi.
\par Sempre tra parentesi noto che $d_1^\1$ non è una distanza, poiché due funzioni uguali non hanno distanza nulla.
\par L\6integrale del modulo della differenza di due funzioni $f_n$ e $f_m$ è l\6area di due triangolini, che a occhio e croce si possono rendere piccoli a piacere aumentando $m$ e $n$, quindi è di Cauchy. Infatti pare converga a $\sgn x$ secondo questa metrica, e vedrò di provarlo. In quell\6ipotesi, dato che $\sgn x$ non è continua in 0, ho che la successione è di Cauchy e converge a qualcosa che sta fuori da $C^0$, quindi non converge in $C^0$, e ho finito.
\par Calcoliamo la distanza di $f_n$ da $f(x)=\sgn x$. Essa è l\6area dei due triangolini di base $\fr{1}{n}$ e altezza 1, quindi vale $\fr{1}{n}$. Di conseguenza per $n\to\8$ tende a 0, e quindi $f_n$ converge a $\sgn x$ in $d_1$.
\par\includegraphics[width=11cm]{GraficoEffeEnne.jpg}


\incee
\chapter{\eserc{7/10/2013}}
n.soave@campus.unimib.it

\sect{Limiti}

\ssect{Teoria: definizione di limite, restrizione a curve e coordinate polari}

\sssect{Definizione e restrizione}
\begin{defi}[name=Richiamo: limite]
Si dice che
$$\dlim_{x,y\to x_0,y_0}f(x,y)=\scl$$
se
$$\VA\eg>0\,\,\,\,\,\,\,\,\3\dg>0:||(x,y)-(x_0,y_0||<\dg\implies||f(x)-\scl||<\eg.$$
\end{defi}
\begin{teor}[name=Richiamo: Limite della restrizione]
Se $\dlim_{x,y\to x_0,y_0}f(x,y)=\scl$,
$$\VA g:0\in I\sbse\R\to\R\,\,continua\,\,in\,\,0\,\,\,\,si\,\,ha\,\,\,\,\dlim_{x\to0}f(x,g(x))=\scl.$$
\end{teor}

\sssect{Coordinate polari}
Un altro strumento utile per limiti nel piano sono le coordinate polari. Diciamo che vogliamo calcolare
$$\dlim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y).$$
Considero il segmento che unisce $(x,y)$ e $(x_0,y_0)$. Chiamo $\rg$ la lunghezza di quel segmento. Se considero un asse orizzontale che passa per $(x_0,y_0)$ forma un angolo con l\6origine, univocamente determinato se tra $0$ e $2\pg$. Il limite diventa per $\rg\to0$, perché $\rg=||(x,y)-(x_0,y_0)||$. Quindi il limite diventa
$$\dlim_{\rg\to0}f(\srg\cos\qg,\srg\sin\qg).$$
\begin{defi}[name=Coordinate Polari,label=thm:defi:Pol]
$\rg$ e $\qg$ definiti come sopra si dicono \emph{coordinate polari}.
\end{defi}
\begin{teor}[name=Limite in Coordinate Polari: uniforme in $\qg$,label=thm:teor:LimPol]
Il limite di una funzione in più variabili calcolato in coordinate polari è quello della funzione in coordinate cartesiane se è uniforme, ossia se\fn{Secondo me l\`i sotto, oltre agli $x_0$ e $y_0$ scomparsi segnalati pi\`u avanti, doveva essere
$$\left|\dsup_{\qg\in[0,2\pg)}\left|f(x_0+\srg\cos\qg,y_0+\srg\sin\qg)-\scl\right|\right|<\eg.$$}
$$\VA\eg>0\,\,\,\,\,\,\,\,\3\dg>0:0<|\rg|<\dg\implies\dsup_{\qg\in[0,2\pg)}|f(\srg\cos\qg,\srg\sin\qg)|<\scl.$$
\end{teor}

\sect{Qualche limite}.

\begin{eseese}
$$\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{x^2y^2}{\sin\(x^4+y^4\)}.$$
\end{eseese}

\sssect{Il trucco dell\6asintotico con dimostrazione}
Innanzitutto \`e una forma indeterminata. Ricordiamo che $\fr{\sin x}{x}\to1$ per $x\to0$, quindi riscrivo il limite:
$$\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{x^2y^2}{x^4+y^4}\fr{x^4+y^4}{\sin\(x^4+y^4\)},$$
e osserviamo che la seconda frazione \`e simile a $\fr{\sin x}{x}$ quindi siam tentati di dire $\to1$. Dimostriamolo in maniera rigorosa:
\begin{teor}[name=Asintotico del seno esteso ad argomenti polivariati - dim,label=thm:teor:AsintPoliv]
$$\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{\sin\(x^4+y^4\)}{x^4+y^4}=1.$$
\end{teor}
So che $x^4+y^4\to0$ per $(x,y)\to(0,0)$, ossia che:
$$\VA\eg>0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\3\dg>0:||(x,y)||<\dg\implies\lf|x^4+y^4\rt|<\eg.$$
So il limite di $\fr{\sin x}{x}$, che significa\fn{Secondo me dovrebbe essere $\left|\fr{\sin x}{x}-1\right|<\eg$, come sotto $\left|\fr{x^4+y^4}{\sin\(x^4+y^4\)}-1\right|<\eg$.}:
$$\VA\eg>0\,\,\,\,\,\,\,\,\3\dg>0:|x|<\dg\implies\lf|\fr{\sin x}{x}\rt|<\eg.$$
Se le accoppiamo, otteniamo $\dg(\dg^\1),\dg^\1$ per cui
$$||(x,y)||<\dg(\dg^\1)\implies x^4+y^4<\dg^\1\implies \fr{x^4+y^4}{\sin\(x^4+y^4\)}<\eg.$$

\sssect{Finiamo il limite}
Torniamo ora al limite iniziale. Andiamo lungo la curva $y=0$ e otteniamo un limite 0, lungo $y=x$ otteniamo $\fr{1}{2}$, quindi il limite non esiste. Si pu\`o anche calcolare (Zucca docet) lungo $y=kx$.
\par NB Questo metodo va bene solo per dimostrare che un limite non esiste, non per dimostrare che esiste.

\begin{eseese}
$$\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{x^2y^2}{x^2+y^6}.$$
\end{eseese}
Innanzitutto \`e abbastanza facile dimostrare che esiste. Riscriviamo la funzione:
$$\fr{x^2y^2}{x^2+y^6}=\fr{x^2}{x^2+y^6}y^2;$$
il primo pezzo \`e ovviamente $\leq1$ perché $y^6>0$, quindi la funzione \`e minore di $y^2$, che tende a 0 per $y\to0$.

\begin{eseese}
$$\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{1-\cos(xy)}{\ln\(1+x^2+y^2\)}.$$
\end{eseese}

\sssect{Estensione dell\6asintotico di prima}
\`E uno 0/0. Riscriviamo:
$$\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{1-\cos(xy)}{x^2y^2}\fr{x^2y^2}{\ln\(1+x^2+y^2\)}.$$
Si dimostra ovviamente che la prima frazione tende a $\fr{1}{2}$. Quindi dobbiamo vedere:
$$\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{x^2y^2}{\ln\(1+x^2+y^2\)}.$$
Per lo stesso motivo, elimino il logaritmo e mi tengo l\6infinitesimo, finendo cos\`i a studiare:
$$\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{x^2y^2}{x^2+y^2}.$$
\begin{ese}[name=Asintotici vari estesi alla composizione con funzioni polivariate,label=thm:ese:AnsintPoliv]
Prendiamo una $g(x,y)$ continua nell'origine e supponiamo $g(0,0)=0$. Dimostrate che
$$\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{\sin(g(x,y))}{g(x,y)}=1$$
e lo stesso con $\ln(1+g)$ e $\fr{1-\cos(g)}{g^2}\to\fr{1}{2}$. In sintesi, dimostriamo che gli asintotici monovariati si estendono immediatamente alla composizione con funzioni multivariate continue con limiti opportuni.
\end{ese}

\sssect{Minorazione della cosa in polari}
Torniamo al limite di prima, e usiamo le coordinate polari. Il limite diventa:
$$\dlim_{\rg\to0}\fr{\rg^4\cos^2\qg\sin^2\qg}{\rg^2\cos^2\qg+\rg^2\sin^2\qg}=\dlim_{\rg\to0}\fr{\rg^4\cos^2\qg\sin^2\qg}{\rg^2}=\dlim_{\rg\to0}\(\rg^2\cos^2\qg\sin^2\qg\)\leq\rg^2$$
$$\VA\qg\in[0,2\pg) \implies \dsup_{\qg\in[0,2\pg)}\(\rg^2\cos^2\qg\sin^2\qg\)\leq\rg^2\to0.$$

\sect{Esercizi sulla continuit\`a: definizione e studi}
\begin{defi}[name=Richiamo: continuità in un punto di accumulazione]
Una funzione $f:D\sbse\R^n\to\R$ \`e continua in $\ubar{x}_0$ se $\ubar{x}_0\in D$ e
$$\dlim_{(\ubar{x}\to\ubar{x}_0)}f(\ubar{x})=f(\ubar{x}_0).$$
\end{defi}

\begin{eseese}
$$f(x,y)=\sistbis{\fr{x^2y}{x^4+y^2}}{(x,y)\neq(0,0)}{0}{(x,y)=(0,0)}.$$
\end{eseese}
Fuori dall\6origine tutto bene perché \`e composizione di funzioni continue. Nell\6origine vediamo il limite. Valutiamolo per $y=mx$:
$$\dlim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,mx)=\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{x^2mx}{x^4+m^2x^2}=\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{mx}{x^2+m^2},$$
che va ovviamente tende a 0. Quindi qualsiasi retta prenda vado a 0. Per\`o attenti che se consideriamo il fascio di parabole $y=mx^2$ otteniamo:
$$\dlim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,mx)=\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{x^2m^2x^2}{x^4+m^2x^4}=\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{x^2m^2x^2}{x^4+m^2x^4}=$$
$$=\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{m^2}{1+m^2},$$
che dipende da $m$, quindi il limite non esiste e $f$ non \`e continua. Se lo fate in polari, il limite puntuale c'\`e ed \`e 0 $\VA\qg$, ma non \`e uniforme.
\par Pausa.

$$\dlim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=\scl\sse\dlim_{\rg\to0}f(\srg\cos\qg,\srg\sin\qg)=\scl \,\,\,\,uniforme\,\,\,\,in\,\,\,\,\qg,$$
ci vuole $x_0$ e $y_0$ nell\6argomento di $f$ a destra\fn{Ossia doveva essere $f(x_0+\rg\cos\qg,y_0+\rg\sin\qg)$.}.
\begin{eseese}
$$f(x,y)=\sistbis{\fr{x}{y}}{y>|x|^\ag}{[1em]0}{altrimenti}.$$
\end{eseese}
Studiamo i grafici di $y=|x|^\ag$. Dentro il grafico ho la prima definizione, la seconda fuori. A seconda di $\sag$ cambiano le curve da cui posso avvicinarmi.
\par\includegraphics[width=10.7cm]{GraficiTanti.png}
\par Per $\ag<1$ niente rette, altrimenti s\`i.
\par Vediamo allora per $y=mx$:
$$\dlim_{x\to0}f(x,mx),$$
ovviamente se $\sag\leq1$, e $m>1$ cos\`i tratto tutti gli $\sag$ OK. Il limite diventa:
$$\dlim_{x\to0}\fr{x}{mx}.$$
Dipende da $m$, quindi se $\sag\leq1$ $f$ non \`e continua in 0 perché non esiste il limite. Vediamo se troviamo il limite. Innanzitutto se $y>|x|^\ag$, abbiamo
$$\left|\fr{x}{y}\right|<\left|\fr{x}{|x|^\ag}\right|=|x|^{1-\ag}\to0.$$
Quindi il limite c'\`e, \`e 0, e la funzione \`e continua\fn{Qui qualcosa non quadra. Se $\sag\leq1$ non posso usar le rette, quindi semmai era per $\sag\geq1$. In quel caso il limite \`e $\fr{1}{m}$ e dipende da $m$, quindi non esiste. Se invece siamo per $\sag\leq1$, facciamo il ragionamento sotto.}.

\sect{Altri limiti}

\begin{eseese}
$$\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{\(x^2+y^4\)^\ag}{x^4+y^2}.$$
\end{eseese}

\sssect{Cominciamo restringendo e trovando dei candidati limite}
Ovviamente indecisione. Cominciamo dall\6asse $x$:
$$\dlim_{x\to0}\fr{\(x^2\)^\ag}{x^4}=x^{2\ag-4}.$$
Per $2\ag-4>0\implies\ag>2$ il limite \`e 0. Per $\sag=2$ il limite \`e 1. Se $\sag<2$ il limite \`e $+\8$. \`E comunque positivo perché esponente sempre pari. Quindi abbiamo dei candidati limite. Ora proviamo $x=0$:
$$\dlim_{y\to0}\fr{\(y^4\)^\ag}{y^2}=\dlim_{y\to0}y^{4\ag-2}.$$
Per $\sag>\fr{1}{2}$ il limite \`e 0. Se $\sag=\fr{1}{2}$ ho 1. Per $\sag<\fr{1}{2}$ invece fa $+\8$.
\par Quindi sicuramente per $\fr{1}{2}\leq\ag\leq2$ il limite non esiste, perché i candidati limite sono diversi.
\sssect{Ora usiamo un trucchetto di maggiorazione/minorazione}
Vediamo altrove. Coordinate polari. Per $\ag>2$. In coordinate polari il limite \`e:
$$\dlim_{\rg\to0}\fr{\(\rg^2\cos^2\qg+\rg^4\sin^4\qg\)^\ag}{\rg^4\cos^4\qg+\rg^2\sin^2\qg}.$$
Consideriamo il modulo. Raccogliamo $\rg^{2\ag}$ a numeratore:
$$\left|\fr{\(\rg^2\cos^2\qg+\rg^4\sin^4\qg\)^\ag}{\rg^4\cos^4\qg+\rg^2\sin^2\qg}\right|=\left|\fr{\rg^{2\ag}\(\cos^2\qg+\rg^2\sin^4\qg\)^\ag}{\rg^4\cos^4\qg+\rg^2\sin^2\qg}\right|.$$
Sarei tentato di raccogliere $\rg^2$ sotto e semplificare, ottenendo:
$$\left|\fr{\rg^{2\ag-2}\(\cos^2\qg+\rg^2\sin^4\qg\)^\ag}{\rg^2\cos^4\qg+\sin^2\qg}\right|.$$
Il coso raccolto tende a 0 perché $\ag>2$, quindi vediamo se l\6altro pezzo \`e sempre limitato: un casino, perché ho $\rg$ sia al denominatore che al numeratore. Allora supponiamo $\rg\ll1$, quindi $\rg^2>\rg^4$ (possiamo farlo perché $\rg\to0$). Quindi posso maggiorare:
$$\left|\fr{\rg^{2\ag}\(\cos^2\qg+\rg^2\sin^4\qg\)^\ag}{\rg^4\cos^4\qg+\rg^2\sin^2\qg}\right|\leq\left|\fr{\rg^{2\ag}\(\cos^2\qg+\rg^2\sin^4\qg\)^\ag}{\rg^4\cos^4\qg+\rg^4\sin^2\qg}\right|=$$
$$\left|\fr{\rg^{2\ag-4}\(\cos^2\qg+\rg^2\sin^4\qg\)^\ag}{\cos^4\qg+\sin^2\qg}\right|,$$
e al den. \`e sparito il $\rg$. Vediamo se riusciamo a provare che:
$$\left|\fr{\(\cos^2\qg+\rg^2\sin^4\qg\)^\ag}{\cos^4\qg+\sin^2\qg}\right|<C$$
uniformemente in $\qg$, cos\`i limitato per 0 fa 0 e sono a posto. Sopra maggioro con $\(1+1\)^\ag$:
$$\left|\fr{\(\cos^2\qg+\rg^2\sin^4\qg\)^\ag}{\cos^4\qg+\sin^2\qg}\right|<\left|\fr{\(1+1\per1\)^\ag}{\cos^4\qg+\sin^2\qg}\right|=\left|\fr{2^\ag}{\cos^4\qg+\sin^2\qg}\right|.$$
Ora bisogna vedere se il denominatore \`e $\geq$ di una costante. Lo \`e, perché \`e una funzione continua di $\qg$ e quindi per Weierstrass assume massimo e minimo in un compatto come $[0,2\pg]$. Supponiamo per assurdo che sia 0. Allora devo avere:
$$\begin{sistema}
\cos^4\qg=0 \\
\sin^2\qg=0
\end{sistema}.$$
Dalla prima discende
$$\cos\qg=0\implies\qg=\fr{(2k+1)}{2}\pg,$$
dalla seconda
$$\sin\qg=0\implies\qg=2k\pg,$$
in contrasto. Quindi:
$$\left|\fr{\rg^{2\ag}\(\cos^2\qg+\rg^2\sin^4\qg\)^\ag}{\rg^4\cos^4\qg+\rg^2\sin^2\qg}\right|\leq\left|\rg^{2\ag-4}\fr{2^\ag}{C}\right|.$$
Notare che $\qg$ \`e sparito, quindi il limite \`e uniforme ed \`e 0. Adesso manca $\sag<\fr{1}{2}$. Riguardiamo il limite riscritto:
$$\dlim_{\rg\to0}\fr{\(\rg^2\cos^2\qg+\rg^4\sin^4\qg\)^\ag}{\rg^4\cos^4\qg+\rg^2\sin^2\qg}$$
e dimostriamo che \`e $+\8$. Vediamo di provare che
$$\fr{\(\rg^2\cos^2\qg+\rg^4\sin^4\qg\)^\ag}{\rg^4\cos^4\qg+\rg^2\sin^2\qg}\geq\fg(\rg)$$
con $\fg(\rg)\to+\8$ per $\rg\to0$. Uniformit\`a rispetto a $\qg$:
$$\VA M>0\,\,\,\,\,\,\,\,\3\dg>0:0<\rg<\dg\implies\VA\qg\,\,\,\,\,\,\,\,\left|\fr{\(\rg^2\cos^2\qg+\rg^4\sin^4\qg\)^\ag}{\rg^4\cos^4\qg+\rg^2\sin^2\qg}\right|\geq M,$$
ovvero
$$\VA M>0\,\,\,\,\,\,\,\,\3\dg>0:0<\rg<\dg\implies\left|\dinf_{\qg\in[0,2\pg)}\fr{\(\rg^2\cos^2\qg+\rg^4\sin^4\qg\)^\ag}{\rg^4\cos^4\qg+\rg^2\sin^2\qg}\right|\geq M\fnm[4]\fnt[4]{Non l'inf del modulo? Perché il modulo dell'inf?}.$$
Per $\rg\ll1$, $\rg^4<\rg^2$, quindi
$$\left|\fr{\(\rg^2\cos^2\qg+\rg^4\sin^4\qg\)^\ag}{\rg^4\cos^4\qg+\rg^2\sin^2\qg}\right|\geq\left|\fr{\(\rg^4\cos^2\qg+\rg^4\sin^4\qg\)^\ag}{\rg^2\cos^4\qg+\rg^2\sin^2\qg}\right|=$$
$$=\left|\rg^{4\ag-2}\fr{\(\cos^2\qg+\sin^4\qg\)^\ag}{\cos^4\qg+\sin^2\qg}\right|.$$
A sinistra $\sag<\fr{1}{2}\implies\rg^{4\ag-2}\to+\8$. Dimostriamo che la frazione \`e limitata.

\sect{Esercizi a casa il pomeriggio stesso}

\ssect{Finiamo quel limite}
Facendo dei grafici con Geogebra pare che
$$\VA\qg\,\,\,\,\,\,\,\,\cos^2\qg+\sin^4\qg=\cos^4\qg+\sin^2\qg.$$
Vediamo di provarlo. Dunque, innanzitutto l\6eguaglianza sopra si riscrive come:
$$\cos^2\qg-\sin^2\qg=\cos^4\qg-\sin^4\qg,$$
che grazie al prodotto notevole $(a+b)(a-b)$ si riscrive come:
$$\cos^2\qg-\sin^2\qg=\(\cos^2\qg-\sin^2\qg\)\(\cos^2\qg+\sin^2\qg\).$$
Se $\cos\qg\neq\pm\sin\qg$, quindi se $\qg\neq\fr{2k+1}{4}\pg$, casi per cui l\6eguaglianza si verifica, possiamo dividere ambo i membri per il termine comune, ottenendo:
$$\cos^2\qg+\sin^2\qg=1.$$
Questa è l\6uguaglianza fondamentale della trigonometria, quindi la cosa di sopra è vera. Questo significa che la frazione sopra si riduce a
$$\(\cos^2\qg+\sin^4\qg\)^{\ag-1},$$
cosa che si mantiene limitata in quanto la base di questa potenza:
\bde
\item[a.] è funzione continua di $\qg$ e quindi assume massimo e minimo su $[0,2\pg]$ per il Teorema di Weierstrass;
\item[b.] è sempre positiva e quindi il suo minimo sarà al più 0;
\item[c.] non ha minimo 0 per il ragionamento fatto da Soave in un esercizio analogo (v. sopra).
\ede
Essendo la frazione limitata, il limite da calcolare è proprio $+\8$.

\ssect{Esercizio 10 generalizzato}
In questo esercizio mi propongo di dimostrare una cosa un po\6 più generale di quella chiesta da Soave, ossia che data una funzione da $I\sbse\R^n\to\R$ definita e continua nell\6origine $\ubar{0}$ con $f(\ubar{0})=0$, valgono:
\ben
\item $\dlim_{\ubar{x}\to\ubar{0}}\fr{\sin\(f(\ubar{x})\)}{f(\ubar{x})}=1$;
\item $\dlim_{\ubar{x}\to\ubar{0}}\fr{1-\cos\(f(\ubar{x})\)}{f(\ubar{x})^2}=\fr{1}{2}$;
\item $\dlim_{\ubar{x}\to\ubar{0}}\fr{\ln\(1+f(\ubar{x})\)}{f(\ubar{x})}=1$;
\item $\dlim_{\ubar{x}\to\ubar{0}}\fr{a^{\(f(\ubar{x})\)}-1}{f(\ubar{x})}=1$,
\een
il che equivale ad estendere i principali limiti notevoli monovariati a comporre la funzione nel limite con funzioni multivariate qualsiasi con qualsiasi numero di variabili, purché siano continue e nulle nell\6origine.
\par Io lo farò solo per il primo, tanto la dimostrazione è identica per gli altri. Dal limite notevole
$$\dlim_{x\to0)}\fr{\sin x}{x}=1,$$
ricaviamo che:
\begin{eqnarray}
\VA\eg>0\,\,\,\,\,\,\,\,\3\dg>0:|x|<\dg\implies\left|\fr{\sin x}{x}-1\right|<\eg;
\end{eqnarray}
dal fatto invece che
$$\dlim_{\ubar{x}\to\ubar{0}}f(\ubar{x})=0$$
per la continuità e nullità della $f$ nell\6origine, otteniamo:
\begin{eqnarray}
\VA\eg>0\,\,\,\,\,\,\,\,\3\dg>0:\left||\ubar{x}\rt||=\rad{\dsum_{i=1}^nx_i^2}<\dg\implies\lf||f(\ubar{x})\rt||<\eg.
\end{eqnarray}
Combinando, come ha fatto Soave, (5.1) con (5.2), otteniamo $\dg(\dg^\1)$ e $\dg^\1$ per cui:
$$\left||\ubar{x}\rt||<\dg\implies\left||f(\ubar{x})\rt||<\dg^\1\implies\lf|\fr{\sin\(f(\ubar{x})\)}{f(\ubar{x})}-1\rt|<\eg,$$
cio\`e il limite da provare.


\incle
\chapter{\lez{9/10/2013}}

\sect{Riprendiamo il discorso sulla convergenza uniforme}

\ssect{Limite uniforme di integrali}
\begin{teor}[name=Integrale del limite uniforme e limite uniforme dell'integrale - dim,label=thm:teor:IntLim]
Siano $f_n$ ed $f$ delle funzioni continue ad esempio su un intervallo chiuso e limitato [a,b] con $a,b\in\R\et a<b$ tale che $f_n\to f$ uniformemente.
$$\dlim_{n\to\8}\dint_a^bf_n(t)dt=\dint_a^bf(t)dt.$$
\end{teor}
Dim.
\par Si tratta di studiare la continuit\`a della funzione $T:C^0([a,b])\to\R$ definita da
$$T(f)=\dint_a^bf(t)dt.$$
Osserviamo che se su $C^0$ mettiamo la metrica uniforme (del $\dsup$) e su $\R$ quella euclidea e a questo punto otteniamo una funzione $T$ continua, il risultato \`e il teorema da dimostrare.
$$\left|T(g)-T(f)\right|=\left|\dint_a^b\(f(t)-g(t)\)dt\right|\leq\dint_a^b\usb{$|f(t)-g(t)|$}{$\leq\dsup_{[a,b]}|f(t)-g(t)|$}dt\leq\dsup_{[a,b]}|f-g|\per\(b-a\)=$$
$$=d(f,g)(b-a).$$
Dato $\eg$ qualunque posto $\dg=\fr{\eg}{b-a}$ grazie alla catena di disuguaglianze sopra si ha $d(f,g)<\dg\implies |T(g)-T(f)|<\eg$.
\par A questo punto se $f_n\to f$ uniformemente, essendo $T$ continua da uniforme a euclidea, abbiamo la tesi.

\ssect{Controesempio sul caso analogo puntuale}
\begin{oss}[name=Colla convergenza puntuale il limite non passa sotto integrale,label=thm:oss:IntLimPunt]
Se $f_n\to f$ puntualmente non posso concludere la stessa cosa.
\end{oss}
\begin{es}[name=Il limite dell'integrale non è l'integrale del limite solo puntuale,label=thm:es:ControesLimPunt]
Consideriamo:
$$f_n(t)=\sistbisdue{n^2x}{0<t<\fr{1}{n}}{[1em]2-n^2x}{\fr{1}{n}<t<\fr{2}{n}}{[1em]0}{altrove}.$$
Queste convergono puntualmente a 0, ma uniformemente il $\dsup$ \`e sempre $n$ che $\to\8$. Il limite dell\6integrale \`e 1 perché vale sempre 1 quell\6integrale, mentre l\6integrale del limite \`e 0.
\end{es}

\sect{Spazi normati}

\ssect{Definizione; spazi di Banach; successioni in $C^0$ e derivata del limite}
\begin{defi}[name=Spazio normato (quindi norma),label=thm:defi:SpNorm]
Si dice \emph{Spazio Normato} una coppia $(X,\norm{\per})$ dove $X$ \`e uno spazio vettoriale (solitamente reale, ma magari anche complesso) e $\norm{\per}$ \`e una funzione $X\to\R$ detta norma verificante le seguenti propriet\`a:
\ben
\item $\left\|x\right\|\geq0\,\,\,\,\,\,\,\,\VA x\in X$;
\item $\left\|x\right\|=0\sse x=\ubar{0}$;
\item $\left\|\lgr x\right\|=\left|\lgr\right|\left\|x\right\|\,\,\,\,\,\,\,\,\VA \lgr\in\R(\in\Cm)$;
\item $\left\|x+y\right\|\leq\left\|x\right\|+\left\|y\right\|$.
\een
\end{defi}
\begin{oss}[name=Metrica indotta dalla norma,label=thm:oss:MetrIndNorm]
Se $(X,\norm{\per})$ \`e uno spazio normato si pu\`o definire una distanza $d$ ponendo:
$$d(x,y)=\left\|x-y\right\|;$$
questa \`e una distanza e si dice \emph{metrica indotta dalla norma}.
\end{oss}
\begin{oss}[name=La norma come funzione continua,label=thm:oss:NormCont]
Se $(X,\norm{\per})$ \`e uno spazio normato, allora la funzione $\norm{\per}:X\to\R$ \`e una funzione continua da $X$ colla metrica indotta a $\R$ con quella euclidea.
\end{oss}
\begin{defi}[name=Spazio di Banach,label=thm:defi:SpBanach]
Se $(X,\norm{\per})$ \`e uno spazio normato e $(X,d_{indotta})$ è uno spazio metrico completo, diciamo che $X$ \`e uno \emph{spazio di Banach}.
\end{defi}
\begin{es}[name=$\R^n$ con la norma euclidea,label=thm:es:RnEucl]
$\R^n$ colla norma euclidea
$$\left\|\ubar{x}\right\|=\left\|\(x_1,x_2,\dots,x_N\)\right\|=\rad{\dsum_{i=1}^Nx_i^2}$$
\`e uno spazio di Banach.
\end{es}
\begin{es}[name=Funzioni limitate con la Norma Uniforme,label=thm:es:LNormUnif]
Consideriamo $X$ spazio metrico e $(Y,\norm{\per}_Y)$ spazio normato. Considero $\s{L}(X,Y)$ con la norma uniforme
$$\left\|f\right\|_\8=\dsup_{x\in X}\left\|f(x)\right\|_Y.$$
Questa norma induce nient\6altro che la metrica uniforme, e quindi abbiamo uno spazio di Banach se $Y$ \`e di Banach.
\end{es}
\begin{es}[name=$C^0$ con la Norma Uniforme,label=thm:es:ContNormUnif]
$C^0$ eredita da $\s{L}$ una struttura di spazio vettoriale, essendo un sottospazio vettoriale; se $Y$ \`e di Banach, lo \`e anche $C^0$. Quindi la norma diventa
$$\left\|f\right\|_\8=\dmax_{t\in[a,b]}\norm{f(t)}.$$
\end{es}
\begin{es}[name=$C^0$ con la Norma Integrale: non è di Banach,label=thm:es:ContNormInt]
Se invece introduco
$$\left\|f\right\|_1=\dint_a^b\norm{f(t)}dt,$$
non ottengo uno spazio di Banach; infatti la metrica indotta \`e la distanza integrale $d_1$, con cui abbiamo dimostrato che $C^0$ non risulta completo.
\end{es}
\begin{es}[name=$C^1$ con la Norma Unfiorme: non è completo,label=thm:es:C1Unif]
Consideriamo su \,\whitea\, $C^1([a,b])$ la norma uniforme. Non \`e completo. Consideriamo $y=|x|$ e cerchiamo di approssimarlo in norma uniforme con funzioni $C^1$: smussiamo l\6angolo. Per un\6espres-sione analitica considero:
$$f_n(x)=\rad{x^2+\fr{1}{n}}.$$
Queste son derivabili perché al pi\`u avrei problemi con l\6argomento della radice nullo, ma c'\`e $\fr{1}{n}$. Uniformemente convergono a $f(x)=|x|$:
$$0\leq f_n(x)-f(x)\leq\fr{1}{\rad{n}}.$$
Di conseguenza \`e di Cauchy in norma uniforme, ma non converge in $C^1$.
\end{es}
Per far convergere uniformemente funzioni derivabili a una funzione derivabile bisogna che convergano anche le derivate.
\begin{teor}[name=Derivata di un Limite Uniforme $C^1$,label=thm:teor:LimDeriv-DerivLim]
Siano $f_n\in C^1([a,b])$ una successione, e $f,g\in C^0([a,b])$ due funzioni per cui $f_n\to f$ uniformemente in $[a,b]$ e $f_n^\1\to g$ uniformemente in $[a,b]$, allora $f\in C^1([a,b])$ e $f^\1=g$.
\end{teor}
Dim.
\par Per il TFCI abbiamo
$$f_n(t)-f_n(a)=\dint_a^tf_n^\1(x)dx\,\,\,\,\,\,\,\,\VA t\in[a,b],\VA n.$$
Per ipotesi abbiamo la convergenza uniforme, quindi il limite per $n\to\8$ si porta nel- l\6integrale:
$$f(t)-f(a)=\dint_a^tg(x)dx\,\,\,\,\,\,\,\,\VA t\in[a,b],$$
ossia
$$f(t)=f(a)+\dint_a^tg(x)dx,$$
quindi per il TFCI $f$ \`e derivabile e $f^\1=g$.
\begin{oss}
Sotto le ipotesi del teorema precedente avete $f^\1=g$, ossia
$$D(\dlim f_n(x))=\dlim D(f_n).$$
\end{oss}
Che norma posso mettere su $C^1$ perché sia completo? Per esempio:
$$\left\|f\right\|=\dsup_{[a,b]}\{\norm{f(t)}+\norm{f^\1(t)}\}.$$
Con questa norma abbiamo uno spazio di Banach. Infatti con quella norma se una successione \`e di Cauchy lo \`e nella norma uniforme e lo \`e anche la successione delle derivate\fn{Ho cambiato un po\6 di $\abs{f(t)}$ in $\norm{f(t)}$ perché mi pare che stiamo parlando di funzioni a valori in un generico spazio di Banach $Y$, e non a valori reali, quindi il valore assoluto non ha senso, la norma s\`i.}.
\par Pausa.

\sect{Topologie indotte dalle norme: definizione di norme equivalenti ed equivalenza di tutte le norme su spazi di dimensione finita}
\begin{defi}[name=Norme Equivalenti,label=thm:defi:NormEquiv]
Si dicono \emph{equivalenti} due norme $\norm{\per}_1$ e $\norm{\per}_2$ su uno stesso spazio vettoriale $X$ per cui esistono due costanti $C_1,C_2>0$ tali che
$$\left\|x\right\|_1\leq C_1\left\|x\right\|_2\,\,\,\,\,\,\,\,(*)$$
e
$$\left\|x\right\|_2\leq C_2\left\|x\right\|_1.\,\,\,\,\,\,\,\,(**)$$
\end{defi}
Se vale (*), significa che
$$B_{\norm{\per}_1}(x_0,\fr{R}{C_1})\sbse B_{\norm{\per}_2}(x_0,R).$$
Se vale (**), significa che\fn{Perché queste inclusioni enunciate dalla Felli siano corrette bisogna o scambiare i pedici delle norme o scambiar quelli delle $C$. Infatti se la norma 2 \`e minore di $\fr{R}{C_1}$ si ha che
$$\lllb\rrr_1\leq C_1\lllb\rrr_2\leq C_1\fr{R}{C_1}=R,$$
da cui la prima inclusione corretta. Analogamente per la seconda.}
$$B_{\norm{\per}_2}(x_0,\fr{R}{C_2})\sbse B_{\norm{\per}_1}(x_0,R).$$
Combinandole otteniamo che
\begin{oss}[name=Topologie di norme equivalenti,label=thm:oss:TopolNormEquiv]
Se due norme sono equivalenti hanno la stessa famiglia di aperti\fn{Segue dall\6inclusione delle palle (cf. sopra dove c\6erano le due metriche su $\s{L}$).}.
\end{oss}
\begin{teor}[name=Spazio finito-dimensionale: solo norme equivalenti  - dim,label=thm:teor:DimFin]
Su uno spazio vettoriale di dimensione finita tutte le norme sono necessariamente equivalenti.
\end{teor}
Dim.
\par Sia $X$ di dimensione finita. Sia $\{e_1,e_2,\dots,e_3\}$ una base di $X$. Possiamo definire:
$$\left\|\ubar{x}\right\|=\left\|x_1e_1\+x_ne_n\right\|=\rad{\left|x_1\right|+\left|x_1\right|^2+\left|x_2^2\right|\+\left|x_n\right|^2}.$$
Sia $\left\|\left|\right|\right\|$ un\6altra norma. Dimostriamo che \`e equivalente a quella di prima.
$$\left\|\left|\ubar{x}\right|\right\|=\left\|\left|x_1e_1\+x_ne_n\right|\right\|=\leq\left|x_1\right|\left\|\left|e_1\right|\right\|\+ecc\leq$$
$$\leq\(\dmax_{i=1,\dots,n}\left\|\left|e_i\right|\right\|\)\(\left|x_1\right|\+\left|x_n\right|\)\leq$$
$$\leq\(\dmax_{i=1,\dots,n}\left\|\left|e_i\right|\right\|\)C\rad{\left|x_1\right|^2\+\left|x_n\right|^2}.$$
Dimostrare per esercizio l\6ultimo passaggio. A questa punto abbiamo una delle costanti:
$$\left\|\left|\ubar{x}\right|\right\|\leq C_1\left\|\ubar{x}\right\|$$
con
$$C_1=\(\dmax_{i=1,\dots,n}\left\|\left|e_i\right|\right\|\)C.$$
Ora il secondo punto. Consideriamo l\6insieme
$$K=\{\ubar{x}\in X:\left\|\ubar{x}\right\|=1\}.$$
Proviamo che $K$ \`e compatto in $(X,\norm{\per})$. Con quella norma, $X$ \`e isomorfo a $\R^n$ colla norma euclidea\fn{Qui dovrei dimostrare che l\6isomorfismo mantiene Heine-Borel. L\6isomorfismo \`e certamente continuo, dato che le norme sono sostanzialmente la stessa cosa da una parte e dall\6altra. Inoltre \`e biiettivo, e ha l'\Gr{}inversa continua per il medesimo motivo sopra detto. Quindi \`e un omeomorfismo. Dunque preso un chiuso e limitato di $X$, questo va in un chiuso e limitato di $\R^n$ per la chiusura (continuit\`a dell\6inversa) dell\6isomorfismo con cui sto andando in $\R^n$, ivi quel chiuso \`e compatto per Heine-Borel, al che lo rimando indietro e torna in sé stesso, e per la continuit\`a dell\6inversa so che l\6immagine di un compatto \`e compatta. Dunque Heine-Borel \`e valido in $X$.}. Quindi usiamo Heine-Borel: $K$ \`e chiuso \`e limitato\fn{\`E chiuso in quanto controimmagine del chiuso $\{1\}\sbs\R$ tramite la funzione continua $\lllb\rrr$; \`e limitato perché
$$\lllb\ubar{x}-\ubar{y}\rrr\leq\lllb\ubar{x}\rrr+\lllb-\ubar{y}\rrr=2,$$
cio\`e
$$\dsup_{\ubar{x},\ubar{y}\in K}\lllb\ubar{x}-\ubar{y}\rrr\leq2.$$}. La norma a tre sbarre \`e continua anche da $X$ con la norma a due sbarre a $\R$ con $d_e$. Quindi ha massimo e minimo in un compatto:
$$\3\R\ni\tilde{c}=\dmin_{\ubar{x}\in K}\left\|\left|\ubar{x}\right|\right\|=\left\|\left|\ubar{x_0}\right|\right\|;$$
ora, $\ubar{x_0}\in K\implies\ubar{x_0}\neq0$, quindi
$$\tilde{c}>0.$$
$$\VA \ubar{x}\neq\ubar{0},\,\,\,\,\,\,\,\,\left\|\left|\ubar{x}\right|\right\|=\left\|\left|\left\|\ubar{x}\right\|\fr{\ubar{x}}{\left\|\ubar{x}\right\|}\right|\right\|=\left\|\ubar{x}\right\|\left\|\left|\fr{\ubar{x}}{\left\|\ubar{x}\right\|}\right|\right\|\geq\tilde{c}\left\|\ubar{x}\right\|,$$
ove l\6ultimo passaggio \`e dovuto al fatto che $\fr{\ubar{x}}{\left\|\ubar{x}\right\|}\in K$. Quindi abbiamo la seconda disuguaglianza.

\sect{Introduciamo la somma in spazi normati: convergenza di serie di funzioni}

\ssect{Convergenza semplice in spazi normati e necessit\`a che il termine generale tenda a 0}
\begin{defi}[name=Convergenza Semplice e Somma della Serie,label=thm:defi:SommaSerie]
Siano $X$ uno spazio di Banach e $\{x_n\}$ una successione in $X$. La successione
$$S_n=\dsum_{k=0}^nx_k$$
si dice \emph{successione delle somme parziali}. Dir\`o che la serie di $x_n$ converge (semplicemente) nello spazio di Banach $X$ se la successione $S_n$ \`e ivi convergente, ossia se
$$\3S\in X:S_n\to S\,\,\,\,in\,\,\,\,X.$$
Si scrive:
$$\dsum_{n=0}^\8x_n=S,$$
e $S$ si dice \emph{somma della serie}.
\end{defi}
Ci sono alcune analogie colle serie numeriche ma anche molte differenze: per esempio i criteri per serie a termini positivi non si possono definire perché ``positivo'\6 non ha senso. Una prima analogia \`e:
\begin{propo}[name=Il termine generale tende a $0$,label=thm:propo:TermGenTo0]
Se una serie $\dsum_{n=0}^\8x_n$ converge si ha che
$$x_n\to\ubar{0},$$
dove $\ubar{0}$ \`e lo 0 dello spazio di Banach, il vettore nullo.
\end{propo}
\begin{ese}[name=Il termine generale tende a $0$ - dim ese]
Dimostrare la proposizione \ref{thm:propo:TermGenTo0} (dimostrazione identica a quella per le serie numeriche).
\end{ese}
\ssect{Convergenza totale}
\begin{teor}[name=della Convergenza Totale - dim,label=thm:teor:ConvTot]
Se $\dsum_{n=0}^\8\left\|\ubar{x_n}\right\|<+\8$, allora si ha anche $\dsum_{n=0}^\8\ubar{x_n}<+\8$ (vale a dire: se converge la serie delle norme, converge anche quella di $\ubar{x}_n$) e\fn{Qui o ho sbagliato io, o ha detto una cazzata colossale la Felli; comunque la disuguaglianza sotto va invertita, come si capisce da pi\`u avanti.}
$$\dsum_{n=0}^\8\left\|\ubar{x_n}\right\|\leq\left\|\dsum_{n=0}^\8\ubar{x_n}\right\|.$$
\end{teor}
\begin{defi}[name=Convergenza Totale,label=thm:defi:ConvTot]
Si dice allora che $\dsum_{n=0}^\8\ubar{x_n}$ \emph{converge totalmente}.
\end{defi}
Dim.
\par Chiamiamo $S_n$ la successione delle somme parziali, e $\sg_n$ la successione delle somme parziali delle norme. Per ipotesi $\sg_n$ converge, quindi \`e di Cauchy, ovvero:
$$\VA\eg>0\,\,\,\,\,\,\,\,\3\lbar{n}:n,m>\lbar{n}\implies\left|\sg_n-\sg_m\right|<\eg.$$
Prendiamo la norma della differenza tra due somme parziali. Questa \`e minore della differenza delle somme parziali di $\sg$, che \`e minore di $\eg$. La disuguaglianza:
$$\left\|\dsum_{k=0}^n\ubar{x_k}\right\|\leq\dsum_{k=0}^n\left\|\ubar{x_k}\right\|$$
\`e dovuta alla subadditivit\`a (ultima propriet\`a) della norma. Passando al limite per $n\to\8$ si ottiene:
$$\left\|S\right\|\leq\dsum_{n=0}^\8\left\|\ubar{x_k}\right\|.$$


\incle
\chapter{\lez{mezzo 10/10/2013}}
De compitino.

\sect{Ancora serie}

\ssect{Convergenza uniforme, assoluta e puntuale di serie di funzioni; relazioni tra di esse}
Caso particolare: $X=\s{L}((a,b),\R)$, $a,b\in\R\cup\pm\8$. $X$ \`e di Banach con la norma uniforme
$$\left\|f\right\|=\dsup_{t\in(a,b)}\left|f(t)\right|.$$
\begin{defi}[name=Convergenza Uniforme di una serie di funzioni,label=thm:defi:ConvUnifSerieFunz]
Sia $f_n$ una successione in $X$. La serie $\dsum_{n=0}^\8f_n$ converge uniformemente se converge in $(X,\norm{\per}_X)$, cio\`e la successione delle somme parziali converge uniformemente in $(a,b)$.
\end{defi}
\begin{defi}[name=Convergenza Puntuale di una serie di funzioni,label=thm:defi:ConvPuntSeriFunz]
Si dice che converge puntualmente a $S:(a,b)\to\R$ se la serie numerica $\dsum_{n=0}^\8f_n(t)$ converge a $S(t)$ $\VA t\in(a,b)$.
\end{defi}
\begin{defi}[name=Convergenza Assoluta di una serie di funzioni,label=thm:defi:ConvPuntSerieFunz]
Si diche che converge assolutamente se $\dsum_{n=0}^\8\left|f_n(t)\right|$ converge (vale a dire se la serie $\dsum_{n=0}^\8\left|f_n(t)\right|$ converge puntualmente).
\end{defi}
\begin{propo}[name=CU $\implies$ CP,label=thm:propo:CUimpliesCP]
Se la serie di $f_n$ converge uniformemente a $S:(a,b)\to\R$, allora converge anche puntualmente a $S$.
\end{propo}
\begin{propo}[name=Convergenza Assoluta $\implies$ CP,label=thm:propo:CAimpliesCP]
Se la serie di $f_n$ converge assolutamente converge anche puntualmente.
\end{propo}

\ssect{Il Criterio di Weierstrass}
\begin{teor}[name=Criterio di Weirstrass$^1$ - dim,label=thm:teor:Weierstr]
\fnt[1]{Ha sbagliato a scriverlo, io l\6ho scritto giusto nel titolo della sottosezione.} \hsp{0.2cm} Sia $\{f_n\}$ una successione in $\s{L}((a,b),\R)$. Se esiste $\{a_n\}\sbse\R$ tale che
$$\left|f_n(t)\right|\leq a_n\,\,\,\,\,\,\,\,\VA t\in(a,b),\VA n$$
e
$$\dsum_{n=0}^\8a_n<+\8,$$
allora la serie di funzioni converge totalmente. Quindi anche uniformemente, assolutamente e puntualmente.\ic{footnote}{+1}
\end{teor}
\begin{oss}[name=Nota sulla serie del Teorema \ref{thm:teor:Weierstr} (Criterio di Weierstrass)]
$a_n$ \`e a termini positivi perché $a_n\geq\left|f_n(t)\right|\geq0$.
\end{oss}
Dim.
\par La convergenza assoluta segue dalle ipotesi fatte e dal Criterio del Confronto per  serie numeriche: $\left|f_n(t)\right|\leq a_n$ e $a_n$ converge\fn{In realt\`a mi pare che la convergenza totale implichi quella assoluta. Ora tento di provarlo. Esplicitiamo l\6espressione della norma nella serie delle norme:
$$\dsum_{n=0}^\8\lllb f_n\rrr=\dsum_{n=0}^\8\dsup_{t\in(a,b)}\llb f_n(t)\rr;$$
questa \`e chiaramente maggiore o uguale alla serie dei moduli, dato che il $\dsup$ \`e maggiore o uguale di ciascun modulo:
$$\dsum_{n=0}^\8\lllb f_n\rrr\geq\dsum_{n=0}^\8\llb f_n(t)\rr,$$
e questa cosa vale $\VA t\in(a,b)$; se $\dsum_{n=0}^\8\lllb f_n\rrr$ converge, essendo una serie numerica posso $\VA t\in(a,b)$ operare il confronto tra quella e $\dsum_{n=0}^\8\llb f_n(t)\rr$, che quindi risulta convergere $\VA t\in(a,b)$, provando la convergenza assoluta della serie di funzioni. Quindi dei 4 tipi di convergenza (totale, uniforme, assoluta, puntuale), l\6unica coppia senza relazioni \`e assoluta-uniforme, dato che
\ben
\item totale => tutte le altre,
\item uniforme => puntuale,
\item assoluta => puntuale.
\een}.\lfeed
Dall\6ipotesi segue che
$$\left\|f_n\right\|=\dsup_{(a,b)}\left|f_n\right|\leq a_n.$$
Per il confronto allora la serie delle norme converge; per il criterio della convergenza totale la serie $f_n$, dato che converge totalmente in $\s{L}((a,b),\R)$ munito di norma uniforme, converge semplicemente ossia uniformemente.
\begin{es}
$\dsum_{n=0}^\8\fr{2^{-n}}{1+nx^2}$. Questa sta in $\s{L}(\R,\R)$. Le $f_n$ sono positive, e $\leq2^{-n}$ perché sotto c'\`e qualcosa di maggiore di 1 (1 pi\`u qualcosa di positivo). Quindi per Weierstrass converge in tutti i modi possibili.
\end{es}

\ssect{Serie di funzioni continue, integrale della somma, derivata della somma}
\begin{teor}[name=Somma di una serie di funzioni continue - dim,label=thm:teor:SommaSerieCont]
Se $f_n$ \`e una successione di funzioni di $C^0((a,b))\sbse\s{L}((a,b),\R)$ e la serie di $f_n$ converge uniformemente a una certa somma $S:(a,b)\to\R$, allora $S$ \`e continua.
\end{teor}
Infatti le somme parziali sono somme finite di funzioni continue, e una successione di continue converge a una continua.
\begin{teor}[name=di integrazione per serie - dim,label=thm:teor:IntSerie]
Se $a,b\in\R$, $f_n\in C^0([a,b])$ e $\dsum_{n=0}^\8f_n$ converge uniformemente a $S:[a,b]\to\R$, allora
$$\dint_a^bS(t)dt=\dsum_{n=0}^\8\dint_a^bf_n(t)dt.$$
\end{teor}
Se la serie converge convergono le somme parziali, e il teorema analogo sulle successioni conclude la dimostrazione.
\begin{teor}[name=di derivazione per serie - dim,label=thm:teor:DerivSerie]
Se $f_n\in C^1([a,b])$ \`e una successione di funzioni, ove $a,b\in\R$ e $a<b$, se poi $\dsum_{n=0}^\8f_n$ converge uniformemente a $S\in[a,b]$ e $\dsum_{n=0}^\8f_n^\1=W\in[a,b]$, allora $S$ \`e di classe $C^1$ e $S^\1=W$. Vale a dire:
$$\(\dsum_{n=0}^\8f_n(t)\)^\1=\dsum_{n=0}^\8f_n^\1(t).$$
\end{teor}
Ancora si applica l\6analogo sulle successioni alle somme parziali ed \`e fatta.

\ssect{Esercizio finale impostato}
\begin{ese}[name=Convergenza Puntuale, Assoluta ed Uniforme di una serie di funzioni]
Determinare gli insiemi di convergenza puntuale, assoluta ed uniforme della serie di funzioni $\dsum_{n=1}^\8\fr{\(-1\)^n}{n^x}$.
\end{ese}
\ben
\item Convergenza puntuale: $x>0$. Infatti per $x\leq0$ il termine generale non va a 0, mentre per $x>0$ la serie numerica converge per Leibniz.
\item Convergenza assoluta: $x>1$.
\item Convergenza uniforme: $(0,+\8)$? Convergenza uniforme significa convergenza nello spazio di Banach $\s{L}$ con norma uniforme. Se converge uniformemente la $f_n$ converge a 0, ossia
$$\dsup_{x\in(0,+\8)}\left|f_n\right|\to0.$$
$\left|f_n\right|=\fr{1}{n^x}$ non tende a 0 perché \`e sempre 1. Il $\dsup$ \`e $\geq\fr{1}{n^{\dsi{\fr{1}{n}}}}$ che tende a 1, quindi la serie non converge. Restringendo l\6insieme abbiamo qualche possibilit\`a?
\een
Pausa poi esercitazione.


\incee
\chapter{\eserc{mezzo 10/10/2013}}

\sect{Teoria}

\ssect{Richiamino e CS perché esista un limite bivariato}
\par Richiamo: coordinate polari per i limiti.
\par Condizione sufficiente per l\6esistenza del limite: Se esiste $\fg(\rg)$:
\ben
\item $\fg(\rg)\to0 \,\, per \,\, \rg\to0$;
\item $\left|f(\rg\cos\qg,\rg\sin\qg)-\scl\right|\leq\fg(\rg)\,\,\,\,\,\,\,\,\VA\qg\in[0,2\pg]$ (vale a dire che si verifichi che $\dsup_{\qg\in[0,2\pg)}\left|f(\rg\cos\qg,\rg\sin\qg)-\scl\right|\leq\fg(\rg)$).
\een

\ssect{Analogo della CS sopra per limite infinito}
\begin{eseese}
$$\dlim_{\left\|(x,y)\right\|\to+\8}f(x,y)=+\8.$$
\end{eseese}
Se \`e vero, allora
$$\VA M\gg1\,\,\,\,\3N>0:\left\|(x,y)\right\|>N\implies f(x,y)>M.$$
Cerchiamo allora una $\fg(\rg)$ che tenda a $+\8$ per $\rg\to+\8$ e per cui
$$f(\rg\cos\qg,\rg\sin\qg)\geq\fg(\rg)\,\,\,\,\,\,\,\,\VA\qg\in[0,2\pg],$$
ovvero
$$\dinf_{\qg\in[0,2\pg)}f(\rg\cos\qg,\rg\sin\qg)\geq\fg(\rg).$$
Se esiste ho che\fn{In sintesi qual \`e la solfa? Se io posso prendere $f(\rg\cos\qg,\rg\sin\qg)$ e schiacciarlo tra due (o una nel caso di limite $\pm\8$) opportune funzioni di $\rg$ che tendono al medesimo limite, quel limite sar\`a lo stesso di $f$, purché lo schiacciamento valga uniformemente in $\qg$; vale a dire, un\6estensione del teorema del confronto per i limiti di funzioni. Infatti la CS data nel paragrafo precedente equivale a schiacciare $f$ tra $-\fg(\rg)+\scl$ e $\fg(\rg)+\scl$, due funzioni che tendono a $\scl$ dato che $\fg(\rg)\to0$.}
$$\dlim_{\fg\to+\8}f(\rg\cos\qg,\rg\sin\qg)=+\8\,\,\,\,\,\,\,\,uniformemente\,\,in\,\,\qg.$$

\ssect{Esercizio}
\begin{eseese}
Proviamo che
$$\dlim_{\left\|(x,y)\right\|\to+\8}\(x^4+y^4-xy\)=+\8.$$
\end{eseese}
Introduciamo le polari e trasformiamo il limite in:
$$\dlim_{\rg\to+\8}\(\rg^4\cos^4\qg+\rg^4\sin^4\qg-\rg^2\sin\qg\cos\qg\).$$
Raccogliamo un $\rg^4$:
$$\rg^4\(\cos^4\qg+\sin^4\qg\)-\rg^2\sin\qg\cos\qg.$$
La parentesi \`e continua e quindi in un compatto ha minimo che \`e $>0$ perché non pu\`o essere negativo (somma di positivi) né nullo ($\cos$ e $\sin$ non sono mai ambedue nulli). Quindi la parentesi $\geq c>0$. L\6altro pezzo senza meno \`e $\rg^2$ per qualcosa di $\leq1$, quindi comunque il tutto \`e $\geq$ qualcosa. [Precisamente il tutto \`e $\geq\srg^4\per c-\srg^2$, con $c>0$, e quel membro destro tende a $+\8$ perché domina $\srg^4\to+\8$.]

\sect{Funzioni}

\ssect{Esercizio 1 (con CS di convergenza uniforme)}
\begin{eseese}
$$f_n(t)=n^\ag te^{-nt}\,\,\,\,\,\,\,\,a\in\R.$$
\end{eseese}
\ben
\item Per la puntuale fissiamo $t$ e studiamo una successione numerica. Tipicamente succede che $\3D\sbse(\fn{Mi sono permesso di indebolire l\6inclusione.}) I:t\in D\implies f_n(t)\to f(t)$.
\item Per la uniforme consideriamo $E\sbse(\fn{Cf. nota sopra. Ci teniamo in $D$ perché la convergenza uniforme implica quella puntuale, e se manca quella non ha neanche senso cercare quella uniforme, perché manca una condizione necessaria.}) D$. $f_n\to f$ uniformemente in $E$ se
$$\dsup_{t\in E}\left|f_n(t)-f(t)\right|\to0.$$
\een
\tbold{Condizione Sufficiente di convergenza uniforme}
$$\3a_n:a_n\to0\,\,per\,\,n\to+\8\,\,e\,\,\left|f_n(t)-f(t)\right|\leq a_n\,\,\VA t\in\lbar{E}\,\,[\VA n]\implies f_n\to f\,\,unif.\,\,in\,\,\lbar{E}.$$
Studiamo la funzione dell\6inizio. Facciamo qualche caso:
\ben
\item Per $t=0$ $f_n(0)=0$ $\VA n$.
\item Per $t>0$
\bi
\item Per $\sag>0$ riscrivo $f_n(t)=\(nt\)^\ag t^{1-\ag}e^{-nt}$. $x^\ag e^{-x}\to0$ $\VA x$, quindi questa cosa va a 0.
\item Per $\sag=0$, $n^\ag=1$, e il resto tende a 0.
\item Per $\sag<0$, $n^\ag\to0$, e il resto pure.
\ei
\item $t<0$?
\bi
\item Vediamo $\sag>0$. $n^\ag$ e $e^{-nt}$ ambetue $\to+\8$, e $t<0$, quindi il tutto $\to-\8$.
\item Per $\sag=0$, $n^\ag=1$ ma il resto \`e uguale.
\item Per $\sag<0$ abbiamo un infinitesimo in $n^\ag$, ma un infinito esponenziale in $e^{-nt}$, quindi comunque va all\6infinito.
\ei
\een
Quindi in sintesi la serie converge [puntualmente] a:
$$f_n(t)=\sistbis{0}{t\geq0}{-\8}{t<0}.$$
Uniforme? Ovviamente per $t\in[r>0,+\8)$. Quindi il $\dsup$ della convergenza uniforme \`e semplicemente $\dsup_{t\geq r}f_n(t)$. Valutiamo la derivata:
$$f_n^\1(t)=n^\ag e^{-nt}+n^\ag te^{-nt}\(-n\)=n^\ag e^{-nt}\(1-nt\).$$
\`E nulla se e solo se $t=\fr{1}{n}$. \`E positiva per $t\in\(-\8,\fr{1}{n}\]$, negativa per $t>\fr{1}{n}$. Quindi abbiamo il massimo in $\fr{1}{n}$. Il $\dsup$ dipende da $n$, e tende a 0 per $n\to\8$. Quindi
$$\3n_0:n>n_0\implies\fr{1}{n}<1\implies f_n \searrow\,\,\,\,\VA t\in[r,+\8)\,\,\,\,\VA n>n_0.$$
Quindi in quel caso il $\dsup$ \`e $f_n(r)$ che tende a 0 per $n\to+\8$ $\VA\sag$, come sopra.
\par Vediamo in $[0,1]$. Quel $\dsup$ tende a 0?
$$\dsup_{t\in[0,1]}f_n(t)=f_n\(\fr{1}{n}\)=n^\ag \fr{1}{n}e^{-1}=\fr{n^{\ag-1}}{e}.$$
\ben
\item Per $\sag>1$ la cosa $\to\8$ quindi non c'\`e convergenza;
\item per $\sag=1$ fa sempre $\fr{1}{e}$ quindi converge\fn{Secondo me non converge, perché per convergere uniformemente dovrei avere:
$$\dsup\abs{f_n(t)-f(t)}\to0,$$
perché quel sup \`e $d(f_n,f)$ nello spazio delle funzioni colla metrica uniforme e la definizione di limite \`e che quella distanza tende a 0.};
\item per $\sag<1$ tende a 0.
\een

\ssect{Esercizio 2}
\begin{eseese}
$$f_n(x)=\fr{1+\sin\(nx\)}{1+\(n^2x^2-1\)^2}.$$
\end{eseese}
Puntuale: fissiamo $x\in\R$. Osserviamo che
$$\left|f_n(x)\right|\leq\fr{2}{1+\(n^2x^2-1\)^2}$$
poiché $\sin\(nx\)\leq1$ sempre. Questa cosa tende a:
$$\sistbis{0}{x\neq0}{\leq2}{x=0}.$$
Quindi fuori da $x=0$ la funzione converge a 0. In 0 sostituiamo e otteniamo:
$$\fr{1+\sin(0)}{1+\(0-1\)^2}=\fr{1}{2}.$$
Quindi tende ad $\fr{1}{2}$. Dunque puntualmente ho che:
$$f_n(x)\to f(x)=\sistbis{0}{x\neq0}{\fr{1}{2}}{x=0}.$$
Mancano 3 minuti quindi non inizierei la convergenza uniforme. Ci rivediamo Luned\`i.
\chapter{Esercizi pomeridiani in Uni}
\begin{esecasa}
Dimostrare che la distanza indotta dalla norma \`e una distanza.
\end{esecasa}
Ci\`o significa dimostrare che posto $d(x,y)=\lllb x-y\rrr$, la funzione $d$ soddisfa le propriet\`a di una metrica. Vediamole:
\ben
\item \`E sempre positiva: questo segue dalla prima propriet\`a della norma;
\item \`E nulla solo per $x=y$: segue dal fatto che la norma \`e nulla solo nello 0, e $x-y=0\implies x=y$;
\item $d(x,y)=d(y,x)$: $d(x,y)=\lllb x-y\rrr=\llb-1\rr\lllb y-x\rrr=d(y,x)$;
\item Disuguaglianza triangolare: segue dalla subadditivit\`a della norma; infatti $d(x,z)=\lllb x-z\rrr=\lllb (x-y)+(y-z)\rrr\leq\lllb x-y\rrr+\lllb y-z\rrr=d(x,y)+d(y,z)$.
\een
\begin{esecasa}
Dimostrare che la funzione norma \`e continua da $X$ munito della metrica indotta a $\R$ munito di quella euclidea.
\end{esecasa}
Questo equivale a dimostrare che
$$\VA\eg>0\,\,\,\,\,\,\,\,\3\dg>0:\lllb x-y\rrr<\dg\implies\llb\lllb x\rrr-\lllb y\rrr\rr<\eg.$$
Osserviamo che
$$\lllb x\rrr=\lllb y+(x-y)\rrr\leq\lllb y\rrr+\lllb x-y\rrr,$$
ossia che
$$\lllb x\rrr-\lllb y\rrr\leq\lllb x-y\rrr;$$
dato che questo vale $\VA x,y$, scambiando i ruoli di $x$ e $y$ la cosa vale lo stesso; quindi posso applicare il modulo a sinistra:
$$\llb\lllb x\rrr-\lllb y\rrr\rr\leq\lllb x-y\rrr.$$
Questo mostra che $\dg=\eg$, e quindi la norma \`e una funzione continua, C.V.D.
\begin{esecasa}
Mostrare che se una serie converge il termine generale tende a 0.
\end{esecasa}
Se la serie converge, le somme parziali sono una successione di Cauchy. Per $m=n-1$ ho che
$$\VA\eg>0\,\,\,\,\,\,\,\,\3n_0:n-1\geq n_0\implies S_{n}-S_{n-1}=\dsum_{k=n}^nx_k=x_n<\eg,$$
cio\`e la tesi.


\incle
\chapter{\lez{11/10/2013}}
Compitno probabilmente 3/12 $\~$16:30.

\sect{Riprendiamo da ieri e finiamo quell'esercizio}
$$\dsum_{n=1}^\8\fr{\(-1\)^n}{n^x}.$$
Non c'\`e convergenza uniforme in $(0,+\8)$ perché il termine generale non tende a 0. Su qualche sottoinsieme riusciamo ad usare il Criterio di Weierstrass? Sicuramente almeno da 1, perché altrimenti non c'\`e convergenza assoluta. In realt\`a devo stare staccato da 1, quindi dopo $1+\dg$, perché ivi posso dire che
$$\llb\fr{(-1)^n}{n^x}\rr\leq\fr{1}{n^{1+\dg}}.$$
Quindi per il Criterio di Weierstrass concludo che la serie converge uniformemente in $[1+\dg,+\8)$ per ogni $\dg>0$.
\par Facciamo il punto:
\ben
\item Convergenza puntuale da 0 in poi;
\item Convergenza assoluta da 1 in poi;
\item Convergenza uniforme da $1+\dg$ in poi.
\een
E da 1 c'\`e speranza di convergenza uniforme? Cosa succede in $[\dg,1+\dg]$, per esempio? Cauchy si riesce ad usare? Prendiamo le somme parziali. Supponiamo ad esempio $m>n$.
$$S_m(x)-S_n(x)=\dsum_{k=n+1}^m\fr{(-1)^k}{k^x}=\fr{(-1)^{n+1}}{(n+1)^x}+\fr{(-1)^{n+2}}{(n+2)^x}\+\fr{(-1)^m}{m^x}.$$
Per dimostrare che converge uniformemente bisogna provare che la norma uniforme tende a 0 per $m,n\to\8$ contemporaneamente indipendentemente. Se io maggioro con la somma dei moduli non vado da nessuna parte, perché ho la stessa difficolt\`a di prima, dato che la convergenza assoluta non c'\`e; per\`o possono esserci compensazioni\fn{Nella catena sotto,
\ben
\item Il primo passaggio \`e effettuato pensando alla serie come serie di termini accoppiati, ovvero come la serie di $\fr{(-1)^k}{k^x}+\fr{(-1)^{k+1}}{(k+1)^x}$ per $k$ da $n+1$ a $m$ saltando di due in due, ovvero come $\dsum_{\dsi{\di k=\fr{n+1}{2}}}^{\dsi{\fr{m}{2}}}\(\fr{(-1)^{2k}}{(2k)^x}+\fr{(-1)^{2k+1}}{(2k+1)^x}\)$ dove $k$ fa salti di 1, e conseguentemente maggiorando questa serie colla serie dei moduli dei \emph{suoi} termini;
\item Il secondo dipende dal fatto che nel modulo, dette $a$ e $b$ le due frazioni ignorando il $(-1)^n$, abbiamo o $\llb a-b\rr$ o $\llb -a+b\rr$; supposto $a>b$ come nel caso dei moduli in questione, $\llb a-b\rr\leq a-b$, anzi \`e uguale perché $a-b>0$, mentre nell\6altro caso vale la medesima disuguaglianza ed \`e stretta perché $-a+b<0$; a dir la verit\`a l\6ultimo termine potrebbe lasciar da solo $\fr{1}{m^x}$, nel qual caso dopo il $\+$ rimarrebbe solo $+\fr{1}{m^x}$; il seguente passaggio funziona comunque;
\item Infatti il terzo passaggio maggiora l\6ultimo termine con $\fr{1}{(m-1)^x}$, cosa valida sia che questo sia $\fr{1}{m^x}$ sia che sia $\fr{1}{(m-1)^x}-\fr{1}{m^x}$, e nel resto non fa che aggiungere termini positivi introducendo una serie di termini accoppiati che quindi maggiora la somma di prima;
\item Il quarto passaggio non \`e che un denominatore comune nella serie;
\item Il quinto \`e effettuato semplificando per $k^x$, cosa lecita dato che $k\neq0$;
\item Il sesto passaggio \`e dovuto al fatto che stiamo lavorando con $\dg<x<\dg+1$;
\item Ora, $S_m-S_n$ \`e la serie in cima alla catena, col modulo diventa quella maggiorata; dato che la cosa vale $\VA x\in[\dg,\dg+1]$, allora $\dsup_{x\in[\dg,\dg+1]}$ soddisfa la medesima catena di disuguaglianze; ma quel $\dsup$ \`e proprio il primo membro dell\6ultima riga, giustificando anche quella disuguaglianza.
\een}.
$$\llb\dsum_{k=n+1}^m\fr{(-1)^k}{k^x}\rr\leq\llb\fr{(-1)^{n+1}}{(n+1)^x}+\fr{(-1)^{n+2}}{(n+2)^x}\rr\+\llb\fr{(-1)^{m-1}}{(m-1)^x}+\fr{(-1)^m}{m^x}\rr\leq$$
$$\leq\(\fr{1}{(n+1)^x}-\fr{1}{(n+2)^x}\)\+\(\fr{1}{(m-1)^x}-\fr{1}{m^x}\)\leq$$
$$\leq\dsum_{k=n+1}^{m-2}\(\fr{1}{k^x}-\fr{1}{(k+1)^x}\)+\fr{1}{(m-1)^x}=\dsum_{k=n+1}^{m-2}\(\fr{(k+1)^x-k^x}{(k^2+k)^x}\)+\fr{1}{(m-1)^x}=$$
$$=\dsum_{k=n+1}^{m-2}\(\(1+\fr{1}{k}\)^x-1\)\per\fr{1}{(k+1)^x}+\fr{1}{(m-1)^x}\leq$$
$$\leq\dsum_{k=n+1}^{m-2}\{\[\(1+\fr{1}{k}\)^{\dg+1}-1\]\per\fr{1}{(k+1)^\dg}\}+\fr{1}{(m-1)^\dg}.$$
\bl
\bl
$$\left\|S_n-S_m\right\|_{\s{L}([\dg,1+\dg],\R)}\leq\dsum_{k=n+1}^{m-2}\{\[\(1+\fr{1}{k}\)^{\dg+1}-1\]\per\fr{1}{(k+1)^\dg}\}+\fr{1}{(m-1)^\dg}.$$
Quella roba va a 0? L\6ultimo pezzo $\(\fr{1}{(k+1)^\dg}\)$ di sicuro, ma il resto della cosa nella serie? Ne sarei sicuro se sapessi che la serie converge. Uso il criterio del confronto asintotico:
$$\{\[\(1+\fr{1}{k}\)^{\dg+1}-1\]\per\fr{1}{(k+1)^\dg}\}\us{\whitea}{\us{$\~$}{$\dsi{k\to\8}$}}\fr{\dg+1}{k^{1+\dg}},$$
che converge. Quindi la serie converge uniformemente in $[\dg,1+\dg]$ $\VA\dg>0$, e quindi in $[\dg,+\8)$ $\VA\dg>0$.

\sect{Serie particolari: le serie di potenze}

\ssect{Definizione, semplificazione del centro, insieme di convergenza, raggio di convergenza}
\begin{defi}[name=Serie di potenze,label=thm:defi:SeriePot]
Siano $x_0\in\R$ e $a_n$ una successione di numeri reali ($a_n\sbse\R$). La serie di funzioni
$$\dsum_{n=0}^\8a_n\(x-x_0\)^n$$
si dice \emph{serie di potenze di centro $x_0$}
\end{defi}
\begin{oss}[{name=[Possiamo sempre ricondurci ad una centrata in $0$]},label=thm:oss:RicondCentr0]
Studiare le serie centrare in 0 \`e equivalente, tramite un cambio di variabile, ad ogni altro centro; quindi studieremo principalmente serie centrate in 0 ($x_0=0$).
\end{oss}
\begin{oss}[name=Convenzione su $0^0$,label=thm:oss:0alla0]
Il termine per $n=0$ della serie risulta $a_0\per0^0$; si conviene che $0^0=1$, in \emph{questo} contesto\fn{Quel termine secondo me richiede anche $x=x_0$.}.
\end{oss}
Sia $\dsum_{n=0}^\8a_nx^n$ una serie di potenze e $\s{C}$ l\6insieme di convergenza puntuale
$$\s{C}=\{x\in\R:\dsum_{n=1}^\8a_nx^n\,\,\,\,converge\}.$$
\begin{oss}[{name=[L'insieme di convergenza puntuale $\s{C}$ non è vuoto]}]
$\s{C}$ non \`e vuoto: c'\`e lo 0.
\end{oss}
\begin{es}[name=$\s{C}=0$]
Pu\`o capitare che sia solo 0, per esempio con $a_n=n$.
\end{es}
\begin{es}[name=$\s{C}=\R$]
Pu\`o capitare anche che sia tutto $\R$, per esempio $a_n=\fr{1}{n!}$, ove la serie converge (criterio del rapporto) e converge a $e^x$.
\end{es}
\begin{es}[name=$\s{C}\neq\R\et\s{C}\neq0$]
Pu\`o capitare che sia un sottoinsieme proprio di $\R$ diverso da $\{0\}$, per esempio $a_n=1$: la serie geometrica, che converge in $[-1,1]$.
\end{es}
\begin{defi}[name=Raggio di Convergenza,label=thm:defi:RConv]
Se $\s{C}$ \`e come prima, chiamo \emph{raggio di convergenza della serie di $a_nx^n$} il numero
$$r=\dsup_{x\in\s{C}}\{\llb x\rr\}.$$
\end{defi}
Se $\s{C}=\{0\}$, $r=0$; se $\s{C}=\R$, $r=+\8$; nel caso della serie geometrica, $r=1$.
\begin{propo}[name=Un legame tra $\s C$ e il Raggio di Convergenza $r$ - dim,label=thm:propo:CPeRConv]
$$(-r,r)\sbse\s{C}\sbse[-r,r];$$
pi\`u precisamente:
\ben
\item Se $\llb x\rr<r$ la serie converge assolutamente;
\item Se $\llb x\rr>r$ la serie non converge.
\een
\end{propo}
Cominciamo dalla 1: supponiamo $\llb x\rr<r$. Per definizione di $\dsup$ si ha
$$\3y\in\s{C}:\llb x\rr<\llb y\rr.$$
Ma allora
$$\llb a_nx^n\rr=\llb a_ny^n\(\fr{x}{y}\)^n\rr=\llb a_ny^n\rr\llb\fr{x}{y}\rr^n.$$
$y\in\s{C}$, quindi la serie di $a_ny^n$ converge, dunque la successione $a_ny^n$ \`e infinitesima, quindi definitivamente minore di una costante:
$$\llb a_ny^n\rr\llb\fr{x}{y}\rr^n\leq C\llb\fr{x}{y}\rr^n.$$
L\6altro pezzo \`e una serie geometrica di ragione $<1$ (ricordare che $x<y$), quindi converge.
\par La seconda affermazione \`e ovvia: discende dalla la definizione di $\dsup$.
\par Pausa.

\ssect{Teorema di Cauchy-Hadamard con due definizioni di $L$}
\begin{teor}[name=di Cauchy-Hadamard - dim,label=thm:teor:CauchHadam]
Sia $R$ il raggio di convergenza della serie di potenze $\dsum_{n=0}^\8a_nx^n$; allora
$$R=\sistbisdue{\fr{1}{L}=\fr{1}{\di\limsup_{n\to\8}\rad[n]{\llb a_n\rr}}}{se\,\,\,\,L>0}{0}{se\,\,\,\,L=+\8}{+\8}{se\,\,\,\,L=0};$$
inoltre $\VA r\in(0,R)$ la serie converge totalmente in $(\s{L}((-r,r),\R),d_{unif})$, e quindi uniformemente.
\end{teor}
Dimostriamolo per $L\in(0,+\8)$. Sia $r\in\(0,\fr{1}{L}\)$, ovvero $rL<1$. Esiste quindi un $\eg$ per cui $\(L+\seg\)r<1$. Per definizione di limite superiore si ha
$$\3\lbar{n}:n>\lbar{n}\implies\rad[n]{\llb a_n\rr}<L+\eg.$$
Quindi
$$\VA x\in(-r,r)\,\,\VA n>\lbar{n}\,\,\,\,\,\,\,\,\llb a_nx^n\rr=\llb a_n\rr\llb x\rr^n<\(L+\seg\)^nr^n=\(\(L+\seg\)r\)^n.$$
Quella serie converge perché serie geometrica di ragione $<1$. Per il criterio Weierstrass la serie di $a_nx^n$ converge totalmente e quindi uniformemente in $\s{L}((-r,r),\R)$. Questo vuol dire che $\(-\fr{1}{L},\fr{1}{L}\)\sbse\s{C}$, quindi $\fr{1}{L}\leq R$. Ora proviamo l\6altra disuguaglianza. Se $\llb x\rr>\fr{1}{L}$, proviamo che non ci pu\`o essere convergenza. In questa ipotesi, esiste $\eg$ per cui $(L-\eg)\llb x\rr>1$. Dalla definizione di limite superiore segue che per infiniti indici la radice \`e maggiore di $L-\eg$, ossia
$$\VA\lbar{n}\,\,\3n>\lbar{n}:\rad[n]{\llb a_n\rr}>L-\eg.$$
Ivi ho
$$\llb a_nx^n\rr=\llb a_n\rr\llb x^n\rr>(L-\eg)^n\llb x\rr^n=\((L-\eg)\llb x\rr\)^n>1^n,$$
quindi diverge\fn{Attenzione: qui si parla della sottosuccessione degli ``infiniti indici'\6 per cui si verifica che la radice \`e superiore a $L-\seg$; di seguito si parla della successione intera.}. Di conseguenza non pu\`o essere infinitesima, e la serie non pu\`o convergere. Quindi $\s{C}\sbse\[-\fr{1}{L},\fr{1}{L}\]$. Quindi $R=\fr{1}{L}$, C.V.D.
\begin{ese}[name=Cauchy-Hadamard col rapporto invece che la radice,label=thm:ese:CauchHadamRapp]
Imitare la dimostrazione con $\tilde{L}=\di\limsup_{n\to\8}\llb\fr{a_{n+1}}{a_n}\rr$. Da ci\`o discende che $L=\tilde{L}$.
\end{ese}

\ssect{Negli estremi non so cosa succede: esempi}
E negli estremi? Facciamo degli esempi
\begin{es}[{name=[Serie Geometrica: negli estremi non converge]}]
La serie geometrica ha $\s{C}=(-1,1)$; negli estremi non c'\`e convergenza, perché in $1$ diverge e in $-1$ oscilla.
\end{es}
\begin{es}[{name=[Converge in un solo estremo]}]
$\dsum_{n=1}^\8\fr{x^n}{n}$. $L=\di\limsup_{n\to\8}\rad[n]{\fr{1}{n}}=\di\limsup_{n\to\8}\fr{1}{n^{\dsi{\fr{1}{n}}}}=1$ come il limite. Quindi $R=1$. In $-1$ trovo $\fr{(-1)^n}{n}$ che converge per Leibniz, in $1$ trovo la serie armonica che diverge; quindi $\s{C}=[-1,1)$.
\end{es}
\begin{es}[{name=[Converge in ambo gli estremi]}]
$\dsum_{n=1}^\8\fr{x^n}{n}$. $\di\limsup_{n\to\8}\fr{n^2}{\(n+1\)^2}=1$, quindi $R=1$. Per $x=-1$ ho $\fr{(-1)^n}{n^2}$ che converge per Leibniz e assolutamente, mentre per $x=1$ ho $\fr{1}{n^2}$ che pure converge assolutamente. Quindi $\s{C}=[-1.1]$.
\end{es}

\ssect{La funzione serie di potenze: $C^{\infty}$}
Se $\dsum a_nx^n$ \`e una serie di potenze con $R>0$, consideriamo la funzione $f:(-R,R)\to\R$ definita come $f(x)=\dsum_{n=0}^\8a_nx^n$. Quanto \`e regolare $f$?
\bi
\item \`E continua in $(-R,R)$ perché somma di una serie di funzioni continue;
\item Addirittura \`e $C^\8$.
\ei
\begin{teor}[name=Serie di Potenze e Serie di Taylor - dim,label=thm:teor:SeriePotSerieTayl]
Sia $R$ il raggio di convergenza di una serie di potenze $\dsum_{n=0}^\8a_nx^n$ e sia $f$ la funzione somma $\underset{\mathclap{\dsi{x\mapsto\dsum_{n=0}^\8a_nx^n}}}{\(f:(-R,R)\to\R\)}$; allora $f\in C^\8(-R,R)$ e
$$f^{(k)}(x)=\dsum_{n=k}^\8n(n-1)\per\dots\per(n-k+1)a_nx^{n-k}\,\,\,\,\,\,\,\,\VA x\in(-R,R).$$
Inoltre per $x=0$ e $k=n$ abbiamo $f^{(n)}(0)=a_nn!$, cio\`e $a_n=\fr{f^{(n)}(0)}{n!}$, cio\`e la derivata \`e la serie di Taylor\fn{Eh? Io qui leggo che la $f$ ha come serie di Taylor in 0 la serie di potenze.
$$f^{(n)}(x)=\dsum_{i=n}^\8i(i-1)\per\dots\per(i-n+1)a_ix^{i-k},$$
che per $x=0$ si riduce al primo termine,
$$f^{(n)}(0)=n(n-1)\per\dots\per(n-n+1)a_n0^0=n!\per a_n\per1.$$}.
\end{teor}
Lo dimostriamo per $k=1$, poi si procede per induzione. Costruisco la serie
$$\dsum_{n=1}^\8na_nx^{n-1},$$
ovvero la serie delle derivate delle potenze della serie di partenza. Innanzitutto quella serie la vedo come
$$\fr{1}{x}\dsum_{n=1}^\8na_nx^n,$$
quindi
$$R=\fr{1}{\di\limsup_{n\to\8}\rad[n]{n\llb a_n\rr}}=\fr{1}{\di\limsup_{n\to\8}\rad[n]{n}\rad[n]{\llb a_n\rr}}=\fr{1}{\di\limsup_{n\to\8}1\per\rad[n]{\llb a_n\rr}},$$
quello di quella originaria. Quindi sia $\dsum_{n=0}^\8a_nx^n$ che $\dsum_{n=1}^\8na_nx^{n-1}$ convergono nello stesso insieme\fn{Bisognerebbe provare che (o discutere se) in $R$ e $-R$ hanno lo stesso comportamento. Tuttavia il teorema che qui dimostriamo si propone di provare che $f\in C^\8(-R,R)$ intervallo aperto, quindi degli estremi, ai fini del teorema, non ce ne frega niente.}. Poniamo che convergano la prima a $f$ e la seconda a $g$. Per il teorema di derivazione per serie concludo $f\in C^1$ e $f^\1=g$. A questo punto intero il processo fino a qualsiasi ordine di derivata.

\sect{Facciamo quella dimostrazione imitata e sistemiamo i casi $L=0$ e $L=+\infty$}

\ssect{Innanzitutto i casi particolari}
\ben
\item Se $L=0$, essendo $\rad[n]{\llb a_n\rr}$ una successione a termini positivi, significa che il suo limite \`e nullo. Quindi sicuramente
$$\VA x\in\R\,\,\,\,\,\,\,\,\3\lbar{n}:n>\lbar{n}\implies \rad{\llb a_n\rr}<\fr{1}{2x},$$
ossia definitivamente
$$a_nx^n<\fr{1}{(2x)^n}x^n=\fr{1}{2^nx^n}x^n=\fr{1}{2^n},$$
serie che converge in quanto geometrica di ragione $\fr{1}{2}<1$; pertanto la serie converge $\VA x\in\R$;
\item Se $L=+\8$, allora almeno una sottosuccessione $\rad{\llb a_{nk}\rr}\to\8$, e cio\`e
$$\VA \lbar{n},\,\,\VA \ag>0\,\,\,\,\,\,\,\,\3n>\lbar{n}:\rad[n]{\llb a_n\rr}>\ag;$$
per $\ag=2x$, otteniamo che definitivamente
$$a_nx^n>\fr{2^n}{x^n}x^n=2^n,$$
serie geometrica di ragione $2>1$ che quindi non converge; l\6unico caso in cui non posso fare questo ragionamento \`e per $x=0$, dove $\fr{2}{x}$ \`e infinito; d\6altronde abbiamo osservato che $0\in\s{C}$ sempre; quindi nelle ipotesi di questo caso, $\s{C}=\{0\}$, e $R=0$; questo discorso dello $0$ si ripete per il punto 1.
\een

\ssect{Ed ora scimmiottiamo!}
Ricordiamo che scimmiottiamo ponendo
$$\tilde{L}=\di\limsup_{n\to\8}\fr{a_{n+1}}{a_n}.$$
Per $r<\fr{1}{L}$, esiste $\eg$ per cui $r(L+\eg)<1$, e per la definizione di limite superiore ho che definitivamente $\fr{a_{n+1}}{a_n}<L+\eg$, quindi
$$\VA x\in(-r,r)\,\,\VA n>\lbar{n}\,\,\,\,\,\,\,\,\llb a_nx^n\rr=\llb a_n\rr\llb x\rr^n=\llb a_0\per\fr{a_1}{a_0}\per\dots\per\fr{a_{n-1}}{a_{n-2}}\per\fr{a_n}{a_{n-1}}\rr\llb x^n\rr<$$
$$<\llb a_0\rr\(L+\eg\)^nr^n=\llb a_0\rr\(\(L+\eg\)r\)^n,$$
e siamo di nuovo come sopra. Per concludere la seconda disuguaglianza, i passaggi sono gli stessi di sopra, salvo che invece di sostituire $\llb a_n\rr$ con $(L-\eg)^n$ bisogna sostituirlo come appena sopra. Lo stesso discorso vale per i casi particolari, dove si copia il ragionamento appena fatto con $L$ salvo la diversa sostituzione di $a_n$ che va fatta come appena visto.
\bl
Da tutto ci\`o si conclude che $L=\tilde{L}$, ovvero che la successione dei rapporti e delle radici ennesime di una medesima successione hanno lo stesso limite superiore.


\chapter{Esercizi svolti di mattina in Uni con MM}
\begin{esecasa}
Si consideri
$$f(x,y)=\sistbis{\fr{\[\sin y^2+\sin \(x^2-1\)\]\(e^{\(x^2+y^2-1\)^3}-1\)}{\(x^2+y^2-1\)^4}}{x^2+y^2-1>0}{0}{altrove}.$$
Se ne studi la continuit\`a.
\end{esecasa}
Innanzitutto visualizziamo i problemi. La prima definizione, funzione continua, vale al di fuori del cerchio di raggio 1 centrato nell\6origine. Sulla circonferenza e dentro il cerchio vale invece la seconda, pure continua. Quindi i problemi sono esattamente per $x^1+y^2=1$. Ivi possiamo usare gli asintotici:
$$f(x,y)\~\fr{\[\sin y^2+\sin \(x^2-1\)\]\(x^2+y^2-1\)^3}{\(x^2+y^2-1\)^4}=\fr{\sin y^2+\sin \(x^2-1\)}{x^2+y^2-1}.$$
Se almeno una delle seguenti due cose, $y=0$ e $x^2-1=0$, non vale, sopra ho qualcosa di diverso da $0$, mentre sotto ho uno $0$; di conseguenza abbiamo un limite infinito che rende impossibile la continuit\`a. A meno che ovviamente riesca a trovare punti per cui
$$\sin y^2=\sin\(1-x^2\)\sse y^2=1-x^2+2k\pg\sse x^2+y^2=1+2k\pg,$$
che per\`o \`e proprio la nostra ipotesi con $k=0$, quindi questa osservazione \`e uno spreco di tempo. Ci consente comunque di individuare dei punti in cui \`e pi\`u semplice risolvere la questione: le intersezioni coll\6asse $x$. Infatti avvicinandoci ad esse posso usare un ulteriore asintotico:
$$\fr{\sin y^2+\sin \(x^2-1\)}{x^2+y^2-1}\~\fr{y^2+x^2-1}{x^2+y^2-1}=1,$$
quindi il limite \`e $1\neq0$, dunque $f$ non \`e continua in $(\pm1,0)$. Per sistemare gli altri punti sommiamo quei due seni:
$$\sin y^2+\sin \(x^2-1\)=2\sin\fr{x^2+y^2-1}{2}\cos\fr{y^2+1-x^2}{2}\~\(x^2+y^2-1\)\cos\fr{y^2+1-x^2}{2}.$$
Quindi con questi asintotici la frazione che \`e la funzione risulta asintotica a
$$\cos\fr{y^2+1-x^2}{2},$$
che sulla circonferenza $x^2+y^2=1\implies y^2=1-x^2$ vale:
$$\cos\fr{2y^2}{2}=\cos y^2,$$
che vale $0$ solo per $y^2=\(2n+1\)\pg$, cosa impossibile nel nostro dominio. Quindi la funzione in questione non \`e continua sulla circonferenza $x^2+y^2=1$, mentre lo \`e in tutto il resto di $\R^2$.

\begin{esecasa}
Si consideri
$$f(x)=\sistbis{\fr{xy\(\arctan x+y\)}{x+y}}{x\neq -y}{0}{x=-y}.$$
Se ne studi la continuit\`a. Suggerimento: si consideri la curva $y=-x+x^5$.
\end{esecasa}
Chiaramente i problemi sono sulla bisettrice del II e IV quadrante, perché altrove la $f$ \`e chiaramente continua. Sapendo che la tangente a $y=-\arctan x$ nell\6origine \`e proprio tale bisettrice, sappiamo che su di essa a parte nell\6origine la frazione \`e sempre uno $\fr{\neq0}{0}$, quindi il limite \`e infinito e la continuit\`a non \`e possibile. Diverso \`e il caso del\6origine. Ivi scriviamo:
$$\fr{xy\(\arctan x+y\)}{x+y}=\fr{xy\(x+o(x)+y\)}{x+y}\~xy,$$
che tende a $0$. Tuttavia cos\`i non abbiamo usato il suggerimento. In effetti usarlo ci mostra che l\6asintotico di sopra non \`e sempre valido, perché trascura un $o(x)$ e $y$ potrebbe contenere $o(x)$. Proviamo ad arrivare all\6origine da quella curva:
$$\fr{xy\(\arctan x+y\)}{x+y}=\fr{x\(-x+x^5\)\(\arctan x-x+x^5\)}{x-x+x^5}=\fr{\(-x^2+x^6\)\(\arctan x-x+x^5\)}{x^5}=$$
$$=\fr{\(-x^2+x^6\)\(x-\fr{x^3}{3}+\fr{x^5}{5}+o(x^5)-x+x^5\)}{x^5}=\fr{\(-x^2+x^6\)\(\fr{x^3}{3}+\fr{2}{5}x^5+o(x^5)\)}{x^5}\~$$
$$\~\fr{\(-x^2+x^6\)\(\fr{x^3}{3}+\fr{2}{5}x^5\)}{x^5}=\(-x^2+x^6\)\(\fr{x^{-2}}{3}+\fr{2}{5}\)=-\fr{1}{3}-\fr{2}{5}x^2+\fr{1}{3}x^4+\fr{2}{5}x^6,$$
che tende a $-\fr{1}{3}\neq0$, quindi la funzione non \`e continua. Quindi bisogna rivedere l\6esercizio di sopra controllando l\6ultimo asintotico. Non ci ho voglia: fatelo voi :).

\begin{esecasa}
Si consideri
$$f(x)=\sistbis{\fr{x}{x+y}}{x\neq-y}{\fr{1}{2}}{x=-y}.$$
Se ne studi la continuit\`a.
\end{esecasa}
Sicuramente fuori da $y=-x$ \`e continua. Su $y=-x$ per $x\neq0$ il limite \`e infinito e quindi la funzione non pu\`o essere continua. Arriviamo nell\6origine dalla famiglia di curve $y=kx$:
$$\fr{x}{x+y}=\fr{x}{x+kx}=\fr{1}{k+1},$$
che dipende da $k$ e quindi prova la non esistenza del limite e la non continuit\`a della funzione.

\begin{esecasa}
Si consideri la successione $f_n:[0,1]\to\R$ definita da
$$f_n(x)=x^n\sin\(1-x\).$$
Se ne studi la convergenza puntuale e uniforme.
\end{esecasa}
Cominciamo dalla puntuale. Dato che $x<1$, per ogni $x$ si ha
$$f_n(x)\to0.$$
Questo escluso il caso $x=1$, ove per\`o il seno rende la funzione identicamente nulla. Quindi puntualmente si ha:
$$f_n\to f:f(x)=0\,\,\VA x.$$
Vediamo ora la convergenza uniforme. Calcolare la norma uniforme di $f_n$ e vedere se tende a $0$ si pu\`o tentare con la derivata di $f_n$, tuttavia risulta complicato. Se per\`o ricordiamo che
$$\sin\(1-x\)\leq1-x\qquad\VA x\in[0,1],$$
sicuramente il sup del modulo di $f_n$ \`e maggiorato dal sup del modulo di $f_n$ col seno sostituito dell\6argomento, ovvero:
$$\dsup\lb f_n(x)\rb\leq\dsup\lb x^n\(1-x\)\rb=\dsup\lb x^n-x^{n+1}\rb.$$
Quindi se la funzione a destra converge uniformemente alla funzione nulla, lo stesso vale per quella a sinistra, dato che il sup di quella \`e maggiorata da quello di quella a destra, che tende a $0$, e chiaramente minorato da $0$. A questo punto la derivata diviene molto pi\`u trattabile:
$$\fr{d}{dx}\(x^n-x^{n+1}\)=nx^{n-1}-\(n+1\)x^n.$$
Lo $0$ della derivata \`e in $x=\fr{n}{n+1}$. $nx^{n-1}-\(n+1\)x^n>0\sse x<\fr{n}{n+1}$, quindi lo $0$ \`e un massimo. Dunque \`e il $\dsup$ che cerchiamo:
$$\dsup_{x\in[0,1]}\(x^n-x^{n+1}\)=\(\fr{n}{n+1}\)^n-\(\fr{n}{n+1}\)^{n+1}=\(\fr{n}{n+1}\)^n\(1-\fr{n}{n+1}\).$$
Il secondo fattore tende a $0$ poiché $\fr{n}{n+1}\to1$, l\6altro fattore \`e limitato perché
$$\fr{n}{n+1}\leq1\qquad\VA n,$$
quindi questa cosa tende a $0$, provando la convergenza uniforme.


\incee
\chapter{\eserc{14/10/2013}}

\sect{Successioni di funzioni}

\ssect{Riprendiamo dalla volta scorsa}
\begin{eseese}
$$f_n(x)=\fr{1+\sin(nx)}{1+\(n^2x^2-1\)^2}.$$
\end{eseese}
Puntualmente, avevam dimostrato, converge a
$$f(x)=\sistbis{0}{x\neq0}{\fr{1}{2}}{x=0}.$$
Convergenza uniforme in $[-1,1]$? No, perché $f_n$ \`e continua $\VA n$ e $f$ non \`e continua perché in $0$ \`e discontinua (III specie), quindi sicuramente non ci pu\`o essere \cu\bk in $[-1,1]$. Proviamo in $[1,+\8)$. Dovremmo provare che:
$$\dsup_{x\in[1,+\8)}\lb f_n(x)-f(x)\rb\to0.$$
Ivi facciamo sparire $f(x)$ che \`e $0$:
$$\lb f_n(x)-f(x)\rb=\lb f_n(x)\rb.$$
In pi\`u il seno \`e sempre $\leq1$ quindi $f_n(x)>0 \,\, \VA x$:
$$\lb f_n(x)\rb=f_n(x).$$
Non conviene studiar la derivata. Conviene usare una Condizione Sufficiente:
$$\dsup\lb f_n(x)-f(x)\rb\leq a_n\to0\implies convergenza\,\,\,\,uniforme.$$
Quindi in questo caso il $\dsup_{x\geq1}$. Variante:
$$\dsup_{x\geq1}\lb f_n(x)-f(x)\rb\leq\dsup_{x\geq1}g_n(x)\et g_n(x)\to0\,\,\,\,uniformemente\implies f_n\to0\,\,\,\,unformemente.$$
$$f_n(x)=\fr{1+\sin(nx)}{1+\(n^2x^2-1\)^2}\leq\fr{2}{1+\(n^2x^2-1\)^2},$$
addio seno e quindi ora s\`i derivata, i conti son molto pi\`u semplici; e vale la cosa della condizione sopra. Derivata:
$$g_n^\1(x)=-\fr{2}{\[1+\(n^2x^2-1\)^2\]^2}\[2\(n^2x^2-1\)\per2n^2x\]=-\fr{8n^2}{\[1+\(n^2x^2-1\)^2\]^2}\[\(n^2x^2-1\)x\].$$
Questo \`e $\leq0\sse n^2x^2\geq1\implies x\geq\fr{1}{n}$, sempre verificata perché $x\geq1$. Quindi $g_n$ \`e decrescente, e quindi
$$\dsup_{x\in[1,+\8)}g_n(x)=g_n(1)=\fr{2}{1+\(n^2-1\)^2}\to0.$$
Non basta una convergenza puntuale a 0 in ogni punto, bisogna guardare il sup. Chiaramente \cu\bk in $[1,+\8)$ implica \cu\bk in tutti i sottoinsiemi di $[1,+\8)$.

\ssect{Esercizio nuovo}
\begin{eseese}
Consideriamo ora:
\end{eseese}
$$f_n(x)=\(\log\lb1+\fr{1}{x}\rb\)^n.$$
Condizioni di Esistenza:
$$\begin{sistema}
x\neq0 \\
1+\fr{1}{x}\neq0\sse x\neq-1
\end{sistema}.$$
Quindi in $0$ e $-1$ non \`e definita $\VA n$. Puntuale:
$$a^n\to\left\lbrace\begin{array}{cl} \to0 & a\in(-1,1) \\ \to1 & a=1 \\ \hbox{oscilla} & a=-1 \\ \to+\8 & a>1 \\ \begin{array}{c} \hbox{oscilla} \\ \hbox{diver-} \\ \hbox{gendo in} \\ \hbox{modulo} \\\end{array} & a<-1\\\end{array}\right..$$
Vediamo quando \`e 1. Allora quel modulo \`e il suo argomento se
$$1+\fr{1}{x}>0\sse x>0\vel x<-1.$$
Quindi riscriviamo la funzione:
$$f_n(x)=\sistbis{\log\(1+\fr{1}{x}\)}{x>0\vel x<-1}{\log\(-1-\fr{1}{x}\)}{-1<x<0}.$$
Vediamo quando \`e 0, ossia il modulo fa 1, quindi
$$\begin{sistema}
1+\fr{1}{x}=1 \\
x\nin[-1,0]
\end{sistema}\cup
\begin{sistema}
-1-\fr{1}{x}=1 \\
x\in(-1,0)
\end{sistema}.$$
Il primo caso non ha soluzioni perché $\fr{1}{x}$ non \`e mai 0. Il secondo \`e $x=-\fr{1}{2}$. Ora, vediamo il segno della funzione: se $x<-1\vel x>0$
$$f_n(x)>0\sse 1+\fr{1}{x}>1\sse \fr{1}{x}>0,$$
quindi per $x>0$ \`e positiva, per $x<-1$ \`e negativa. Per $-1<x<0$
$$f_n(x)>0\sse -1-\fr{1}{x}>1\sse \fr{1}{x}<-2\sse x>-\fr{1}{2}.$$
Quindi per $x\to-1$ $f_n(x)\to-\8$, e per $x\to0$ $f_n(x)\to+\8$, il tutto $\VA n$. Monotonia. Per $x\nin[-1,0]$
$$f_n^\1(x)=\fr{1}{1+\fr{1}{x}}\(-\fr{1}{x^2}\).$$
Quindi sappiamo che \`e sempre decrescente, perché la frazione \`e positiva e il resto \`e negativo. Per $-1<x<0$
$$f_n^\1(x)=\fr{1}{-1-\fr{1}{x}}\(\fr{1}{x^2}\).$$
Quindi ivi \`e sempre crescente. Vediamo dove sta tra $-1$ e $1$. Troveremo 4 valori. Studiamo:
$$\log\(1+\fr{1}{x}\)=1\sse1+\fr{1}{x}=e\sse x=\fr{1}{e-1}.$$
Ora:
$$\log\(-1-\fr{1}{x}\)=1\sse 1+\fr{1}{x}=e\sse\fr{1}{x}=-1-e\sse x=-\fr{1}{1+e}.$$
Poi:
$$\log\(1+\fr{1}{x}\)=-1\sse1+\fr{1}{x}=\fr{1}{e}\sse \fr{1}{x}=\fr{1-e}{e}\sse x=\fr{e}{1-e}=-\fr{e}{e-1}.$$
Infine:
$$\log\(-1-\fr{1}{x}\)=-1\sse-1-\fr{1}{x}=\fr{1}{e}\sse\fr{1}{x}=-\fr{1+e}{e}\sse x=-\fr{e}{e+1}.$$
Il tutto si riassume nel seguente grafico:\hsp{575.83174896240234cm}\hsp{575.8317489624023437499999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999cm}
\par\includegraphics[width=11.6cm]{GraficoLogModuloUnoSuXAllaN.jpg}
La successione tende a 0 per $x<-\fr{e}{e-1}\vel -\fr{e}{e+1}<x<-\fr{1}{1+e}\vel x>\fr{1}{e-1}$; tende a 1 per $x=-\fr{1}{1+e}\vel x=\fr{1}{e-1}$. Altrove la successione non converge. Quindi:
$$f(x)=\sistbisdue{0}{x\in\(-\8,-\fr{e}{e-1}\)\cup\(-\fr{e}{e+1},-\fr{1}{1+e}\)\cup\(\fr{1}{e-1},+\8\)}{1}{x\in\{-\fr{1}{1+e},\fr{1}{e-1}\}}{\nex}{altrove}.$$
Uniforme? Studiamo il caso pi\`u difficile:
$$x\in\(-\fr{e}{1+e},-\fr{1}{1+e}\].$$
Studiamo un sottoinsieme di questo. So che se $-\fr{1}{1+e}$ sta nel sottoinsieme non c'\`e \cu\bk perché la $f(x)$ non \`e continua e le $f_n$ s\`i. Quindi supponiamo di essere in $[a,b]$ con $b<-\fr{1}{1+e}$. Studiamo il sup, che sar\`a del modulo di $f_n$ perché $f$ vale 0:
$$\dsup_{x\in[a,b]}\lb\log^n\(\lb1+\fr{1}{x}\rb\)\rb=\dsup_{x\in[a,b]}\lb\log^n\(-1-\fr{1}{x}\)\rb,$$
ma ci teniamo il modulo nel logaritmo:
$$\lb\log\(\lb1+\fr{1}{x}\rb\)\rb^n,$$
e andiamo a derivare\fn{Ricordare che, dove \`e derivabile, si ha che
$$\fr{d}{dx}\(\lb x\rb\)=\sgn x\fr{d}{dx}\(x\),$$
e che
$$\sgn x=\fr{x}{\lb x\rr}.$$}:
$$n\lb\log\(\lb1+\fr{1}{x}\rb\)\rb^{n-1}\fr{\log\(\lb1+\fr{1}{x}\rb\)}{\lb\log\(\lb1+\fr{1}{x}\rb\)\rb}\fr{1}{\lb1+\fr{1}{x}\rb}\fr{1+\fr{1}{x}}{\lb1+\fr{1}{x}\rb}\(-\fr{1}{x^2}\)=$$
$$=n\lb\log\(\lb1+\fr{1}{x}\rb\)\rb^{n-1}\sgn\[\log\(\lb1+\fr{1}{x}\rb\)\]\fr{1}{\lb1+\fr{1}{x}\rb}\(\fr{1}{x^2}\).$$
In definitiva il segno di questa derivata non \`e altro che:
$$\sgn\[\log\(\lb1+\fr{1}{x}\rb\)\],$$
quindi la funzione che abbiamo derivato\fn{Che \`e $\lb\log\(\lb1+\fr{1}{x}\rb\)\rb^n$, e non quella senza modulo, che invece abbiamo visto essere sempre crescente in $(-1,0)$. Fateci attenzione.} decresce fino a $-\fr{1}{2}$ e poi ricresce, quindi il sup \`e:
$$\dmax(\lb f_n(a)\rb,\lb f_n(b)\rb).$$
In ambedue i casi tendono a 0. Quindi abbiam provato che in tutti i sottointervalli chiusi di quel $\(-\fr{e}{1+e},-\fr{1}{1+e}\)$ con $b<-\fr{1}{1+e}$, e di conseguenza in tutte le unioni di questi intervalli, c'\`e \cu.
\par Pausa.

\ssect{Ancora un esercizio}
\begin{eseese}
Per riprenderci da quei conti di prima, consideriamo:
$$f_n(x)=e^{-n\lb x\rb}\qquad x\in[-1,1].$$
\end{eseese}
Discutere se vale che:
$$\dint_{-1}^1\dlim_{n\to\8}f_n(x)dx=\dlim_{n\to\8}\dint_{-1}^1f_n(x)dx.$$
Noi sappiamo che quella cosa vale se $f_n$ converge uniformemente in $[-1,1]$. Questo esercizio serve a dire che \`e sufficiente ma non necessaria. Cerchiamo il limite puntuale. $f_n(x)=f_n(-x)$ $\VA x\in[0,1]$: \`e pari. Quindi studiamo in $[0,1]$. Prendiamo gli $x$ positivi. L\`i
$$f_n(x)=e^{-nx}\to0.$$
Idem per i negativi. Invece per $x=0$
$$f_n(x)=1\,\,\,\,\,\,\,\,\VA n,$$
quindi $f_n$ tende a:
$$f(x)=\sistbis{0}{x\in[-1,1]\ssm\{0\}}{1}{x=0}.$$
Visualizziamolo in un grafico: qua di sotto man mano che $n$ aumenta la curva si abbassa; naturalmente deve essere simmetrica rispetto all\6asse $y$, i miei grafici fanno decisamente schifo :), tranne il primo che \`e venuto assai bene, almeno rispetto agli altri.
\par\includegraphics[width=12cm]{GraficoOsta.jpg}
Non converge uniformemente, perché $f$ \`e discontinua. L\6integrale di $f$ \`e $\dint_{-1}^10\,dx$, perché $f$ \`e nulla tranne in un punto, e modificando in un punto non modifico l\6integrale. Invece quello di $f_n$\fn{Direi che tende a $-0\per1=-^-$.}:
$$\dint_{-1}^1e^{-n\lb x\rb}dx=2\dint_0^1e^{-nx}dx=-\fr{2}{n}e^{-nx}\eval{0}{1}=-\fr{2}{n}\(1-e^{-n}\)\to0\per limitato=0,$$
quindi in questo caso posso passare il limite sotto l\6integrale.

\sect{Serie}
\begin{eseese}
Consideriamo:
$$\dsum_{n=1}^{+\8}\fr{(-1)^{n+1}}{\rad{n}}e^{\dsi{-\fr{x^2}{n}}}\,\,\,\,\,\,\,\,x\in\R.$$
\end{eseese}
Vediamo la puntuale. Leibniz. Grazie a Leibniz so che $\lb S-S_n\rb\leq a_{n+1}$, ove $S$ \`e la somma della serie e $S_n$ la somma parziale $n$-sima. Fissato $x$ consideriamo:
$$\fr{e^{\dsi{-\fr{x^2}{n}}}}{\rad{n}}.$$
\`E definitivamente $>0$ e in pi\`u il numeratore \`e definitivamente $<1$, quindi la cosa \`e definitivamente $<\fr{1}{\rad{n}}$ quindi $\to0$. Allora definiamo
$$g(x,y)=\fr{e^{-\dsi{\fr{x^2}{y}}}}{\rad{y}},$$
e vediamo che sia decrescente in $y$ per $y$ abbastanza grande. Deriviamo a $y$:
$$\fr{\pd g}{\pd y}=\fr{x^2}{y^2}\fr{e^{-\dsi{\fr{x^2}{y}}}}{\rad{y}}-e^{-\dsi{\fr{x^2}{y}}}\fr{1}{2\rad{y^3}}=\fr{e^{-\dsi{\fr{x^2}{y}}}}{y\rad{y}}\[\fr{x^2}{y}-\fr{1}{2}\]=\fr{e^{-\dsi{\fr{x^2}{y}}}}{y^2\rad{y}}\[x^2-\fr{1}{2}y\].$$
Per $y>2x^2$ la cosa \`e negativa, quindi per Leibniz\fn{Abbiamo $(-1)^{n+1}$ e Leibniz parla di $(-1)^n$, ma tanto se aggiungiamo una costante moltiplicativa il carattere della serie non cambia.} abbiamo convergenza puntuale. Uniforme? Se il sup del modulo della differenza tende a 0 s\`i. Chiamiamo quella roba ``ridotta $n$-sima'\6 $R_n(x)$. Sappiamo che
$$\lb R_n(x)\rb\leq a_{n+1}=\fr{e^{\dsi{\fr{x^2}{n+1}}}}{\rad{n+1}}.$$
Trasferiamo al $\dsup_{x\in\R}$ la disuguaglianza:
$$\dsup_{x\in\R}\lb R_n(x)\rb\leq \dsup_{x\in\R}a_{n+1}=\dsup_{x\in\R}\fr{e^{\dsi{\fr{x^2}{n+1}}}}{\rad{n+1}}.$$
Si vede che quel $\dsup$ a destra \`e maggiorato da $\fr{1}{\rad{n+1}}\to0$, quindi c'\`e \cu. E direi basta per oggi.

\sect{Concludiamo i contacci}
Nel caso $x<-\fr{e}{e-1}$, si ha
$$\dsup_{x<-\fr{e}{e-1}}\lb\log\(\lb1+\fr{1}{x}\rb\)\rb^n=\lb\log\(\lb1+\fr{1}{-\fr{e}{e-1}}\rb\)\rb^n=\lb\log\(\lb1-\fr{e-1}{e}\rb\)\rb^n=$$
$$=\lb\log\(\fr{1}{e}\)\rb^n=\lb-1\rb^n=1^n,$$
dato che la funzione $f_n(x)=\lb\log\(\lb1+\fr{1}{x}\rb\)\rb^n$ cresce sempre. Quel sup vale quindi $1$ $\VA n$, e quindi la \cu\bk va a farsi friggere. Naturalmente il sup calcolato \`e quello giusto, poiché vale ancora che la candidata limite \`e nulla e quindi la faccio sparire da dentro il modulo e porto fuori l\6esponente. Nel caso $x>\fr{1}{e-1}$, essendo la funzione sempre decrescente, il sup sar\`a il valore in $\fr{1}{e-1}$, cio\`e
$$\lb\log\(\lb1+\fr{1}{\fr{1}{e-1}}\rb\)\rb^n=\lb\log\(\lb1+e-1\rb\)\rb^n=\lb\log\(\lb e\rb\)\rb^n=\lb1\rb^n=1^n,$$
e quindi come prima addio \cu.


\incle
\chapter{\lez{16/10/2013}}

\sect{Riprendiamo le serie di potenze}
Avevamo visto l\6altra volta che
\begin{teor}[{name=Richiamo da ieri}]
se $f:(-R,R)\to\R$ \`e la somma di una serie di potenze, allora $f\in C^\8(-R,R)$ e $a_n=\fr{f^{(n)}(0)}{n!}$, cio\`e la serie di potenze altro non \`e che la serie di Taylor della funzione centrata in $0$.
\end{teor}
Chiaramente se prendete serie di potenze centrate in altri punti troverete la serie di Taylor centrata nel centro della serie.\lfeed
Viceversa uno potrebbe chiedersi, data una $f\in C^\8$, $f$ \`e somma di una serie di potenze, almeno su un intervallino? La risposta \`e no, e lo possiamo vedere su un esempio.
\begin{es}[{name=[Una funzione $C^\8$ non somma di una serie di potenze]}]
$$f(x)=\sistbis{e^{\dsi{-\fr{1}{x^2}}}}{x>0}{0}{x\leq0}.$$
Si verifica (esercizio) che \`e continua e derivabile quante volte voglio, ossia \`e $C^\8$. Non \`e serie di potenze centrata in $0$. Se lo fosse, sarebbe
$$f(x)=\dsum_{n=0}^\8\fr{f^{(n)}(0)}{n!}x^n,$$
e in un intorno di $0$, se valesse questo, avremmo $a_n$ nulli perché la derivata \`e sempre nulla, quindi la funzione sarebbe identicamente nulla, cosa che non \`e.
\end{es}
\par\includegraphics[width=11cm]{FunzioneStrana.png}
\begin{defi}[name=Flash: Funzioni Analitiche,label=thm:defi:FunzAnal]
Le funzioni somma di una serie di potenze si dicono \emph{funzioni analitiche}, ma avrete modo di approfondirlo.
\end{defi}
\begin{teor}[name=Condizioni perché una $C^\8$ sia somma di una serie di potenze - dim,label=thm:teor:CondizFunzSommaSeriePot]
Siano $R>0$ e $f\in C^\8(-R,R)$. Se vale una delle seguenti ipotesi:
\ben
\item $\3M>0:\lb f^{(n)}(x)\rb\leq\fr{Mn!}{R^n}\qquad\VA x\in(-R,R)$
\item $\3M>0:\lb f^{(n)}(x)\rb\leq M^n\qquad\VA x\in(-R,R)$
\een
allora $f$ \`e esprimibile come somma di una serie di potenze nell\6intervallo $(-R,R)$ centrata in 0.
\end{teor}
Dim.
\par Siccome $f\in C^\8(-R,R)$, possiamo scriverne lo sviluppo di Taylor a qualunque ordine. La scriviamo col resto di Lagrange di ordine $n$ centrata in $0$:
$$f(x)=\dsum_{k=0}^n\fr{f^{(n)}(0)}{k!}x^k+\fr{f^{(n+1)}(\jg)}{(n+1)!}x^{n+1}\qquad\jg\in(0,x)\implies$$
$$\implies f(x)-\dsum_{k=0}^n\fr{f^{(n)}(0)}{k!}x^k=\fr{f^{(n+1)}(\jg)}{(n+1)!}x^{n+1}\qquad\jg\in(0,x).$$
Stimiamo il primo membro:
$$\lb \fr{f^{(n+1)}}{(n+1)!}x^{n+1}\rb\leq \fr{M(n+1)!}{R^{n+1}}\per\fr{\lb x^{n+1}\rb}{(n+1)!}=\fr{M}{R^{n+1}}\per\lb x^{n+1}\rb,$$
dove la disuguaglianza vale per l\6ipotesi 1. Dato che $\lb x\rb\leq R$, $\scaleOpointnine{\fr{\lb x\rb}{R}}<1$, quindi elevato a $n+1$ tende a 0 per $n\to\8$, dunque il resto di Lagrange tende a $0$. Vediamo ora l\6ipotesi due:
$$\lb \fr{f^{(n+1)}}{(n+1)!}x^{n+1}\rb\leq M^{n+1}\per\fr{\lb x^{n+1}\rb}{(n+1)!}\leq\fr{(MR)^{n+1}}{(n+1)!},$$
che tende a $0$\fn{\`E vero che $n!$ prevale su $a^n$ per ogni $a\in\R$? Usiamo il criterio del rapporto:
$$\fr{\(MR\)^{n+1}}{(n+1)!}\fr{n!}{\(MR\)^n}=\fr{MR}{n}\to0.$$}.
\begin{es}[name=L'esponenziale come somma della sua serie di Taylor,label=thm:es:SerieTaylExp]
$f(x)=e^x$, $f:(-R,R)\to\R$. $\lb f^{(n)}(x) \rb=e^x\leq e^R\leq\(e^R\)^n\to0$. Quindi l'esponenziale \`e somma della sua serie di Taylor, che sar\`a:
$$e^x=\dsum_{n=0}^\8\fr{1}{n!}x^n=\dsum_{n=0}^\8\fr{x^n}{n!},$$
e dato che $R$ \`e arbitrario\fn{Eh? Scusa ma quando $e^R>1$ la cosa non tende a zero neanche a morire! Ma infatti quel $\to0$ non c\6entra una mazza, non so perché sia comparso lì.} vale in tutto $\R$.
\end{es}
Ragionamenti analoghi si fanno su molte altre funzioni, come il seno\fn{Ripassare questi sviluppi farà bene.}.
\begin{es}[name=Stesso per il seno,label=thm:es:TaylSin]
$$\sin x=\dsum_{n=0}^\8\fr{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}.$$
\end{es}
\begin{es}[name=Stesso per il coseno,label=thm:es:TaylCos]
$$\cos x=\dsum_{n=0}^\8\fr{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}.$$
\end{es}
\begin{es}[name=Stesso per $\fr{1}{1-x}$,label=thm:es:Tayl1su1menx]
$$\fr{1}{1-x}=\dsum_{n=0}^\8x^n,$$
per $x\in(-1,1)$\fn{\`E la serie geometrica di ragione $x$.}.
\end{es}
\begin{es}[name=Integrazione per serie: $\log(1-x)$,label=thm:es:TaylLog1menx]
$$f(x)=\log(1-x).$$
\end{es}
So che
$$f^\1(x)=-\fr{1}{1-x}=-\dsum_{n=0}^\8x^n\qquad x\in(-1,1).$$
Applico il teorema di integrazione per serie, dato che la convergenza \`e uniforme per $x\in(-1,1)$:
$$\dint_0^xf^\1(t)dt=-\dsum_{n=0}^\8\dint_0^xt^ndt=-\dsum_{n=0}^\8\fr{x^{n+1}}{n+1}\underset{n+1=k}{=}\dsum_{k=1}^\8\fr{x^k}{k}.$$
Ma
$$\dint_0^xf^\1(t)dt=f(x)-f(0)=f(x)-\log(1-0)=f(x),$$
quindi
$$f(x)=\dsum_{k=1}^\8\fr{x^k}{k}.$$
In sostanza le funzioni analitiche si approssimano abbastanza bene con polinomi. Ma sono una classe molto ristretta.

\sect{Serie di Fourier}
Vediamo di introdurre le Serie di Fourier che permettono di approssimare bene una classe piuttosto ampia di funzioni, addirittura funzioni discontinue, purché periodiche.
\begin{defi}[name=Funzione periodica,label=thm:defi:FunzPeriod]
Una funzione $f:\R\to\R$ si dice \emph{periodica di periodo} $T>0$ se
$$f(x+T)=f(x)\qquad\qquad\VA x\in\R.$$
Si chiama, a volte, \emph{periodo ``per eccellenza''} il minimo $T$ per cui accade questo.
\end{defi}
\begin{defi}[name=Funzione continua a tratti,label=thm:defi:ContTratti]
Diciamo che $f:[a,b)\to\R$ \`e \emph{continua a tratti in} $[a,b)$ se \`e ivi continua tranne al pi\`u un numero finito di punti $x_1,x_2,\dots,x_n$ nei quali esistono finiti i limiti destro e sinistro.
\end{defi}
\begin{defi}[name=Funzione regolare a tratti,label=thm:defi:RegTratti]
Diciamo che una $f$ come sopra \`e \emph{regolare a tratti} in $[a,b)$ se \`e ivi continua a tratti e ha derivata continua in $[a,b)$ tranne che nei punti $x_1,x_2,\dots,x_n$ in cui \`e discontinua ed eventualmente in un numero finito di altri punti $y_1,y_2,\dots,y_k$ in cui per\`o esistano finiti i limiti destri e sinistri della derivata\fn{Questo non \`e proprio equivalente a chiedere che la derivata sia continua a tratti, perché in alcuni punti potrebbe non essere definita. Quindi si pu\`o dire che $f$ \`e regolare a tratti se \`e continua a tratti e ha derivata continua a tratti \emph{laddove \`e definita}.}.
\end{defi}
\begin{defi}[name=Estensione a tutto $\R$ delle definizioni sopra]
Dir\`o che $f$ \`e continua/regolare a tratti su tutto $\R$ se lo \`e su ogni intervallo $[a,b)\sbse\R$.
\end{defi}
\begin{es}[name=Mantissa: regolare a tratti,label=thm:es:mantRegTratti]
$f(x)=x-[x]$ \`e chiaramente non continua. \`E continua a tratti (\`e continua ovunque salvo in $x\in\N$) e anche derivabile ove \`e continua, e con derivata continua laddove \`e definita, quindi \`e anche regolare a tratti.
\end{es}
\par\includegraphics[width=11cm]{x-[x].jpg}
\begin{es}[name=Continua ma non regolare a tratti]
$f(x)=\rad{\lb x\rb}$. \`E continua e continua a tratti, ma non regolare a tratti perché in $0$ le derivate tendono ad $\8$.
\end{es}
\par\includegraphics[width=11cm]{rad(abs(x)).jpg}
\hsp{400cm}\whitea\hsp{1cm} Vediamo di approssimare una funzione periodica di periodo (per fissare le idee) $2\pg$ con le somme trigonometriche.
\begin{defi}[name=Somme trigonometriche,label=thm:defi:SommaTrigon]
Si dice \emph{somma trigonometrica $n$-sima} la somma:
$$S_n(x)=\fr{a_0}{2}+\dsum_{k=1}^n\(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\).$$
\end{defi}
Il nostro problema \`e capire come sviluppare $f$ in serie di Fourier, ossia capire quando converge, quando converge esattamente ad $f$ e che relazione c'\`e tra i coefficienti della serie e $f$.
\par Pausa.
\par Supponiamo che le cose ci vadano molto bene, che quella serie converga uniformemente proprio a $f$. Come devono essere i coefficienti.
\par Se integriamo
$$\dint_{-\pg}^\pg f(x)\cos(mx)dx\underset{\text{int. per serie}}{=}\fr{a_0}{2}\dint_{-\pg}^\pg\cos(mx)dx+$$
$$+\dsum_{k=0}^\8\(a_k\dint_{-\pg}^\pg\cos(kx)\cos(mx)dx+b_k\dint_{-\pg}^\pg\sin(kx)\cos(mx)dx\).$$
Ho moltiplicato per $\cos(mx)$, la serie convergerebbe a $f(x)\cos(mx)$ uniformemente, e per l\6integrazione per serie ho l\6uguaglianza. Il primo termine:
$$\dint_{-\pg}^\pg\cos(mx)dx=\sistbis{2\pg}{m=0}{0}{m\neq0}.$$
Infatti per $m\neq0$ \`e un $\sin(mx)$ tra due zeri\fn{Precisamente se $m\neq0$ ho che $\dint\cos(mx)dx=\fr{1}{m}\sin(mx)+k$, e valutato fra due suoi zeri vale 0; invece per $m=0$ ottengo $\cos(0x)=\cos0=1$, e l\6integrale di $1$ \`e $x+k$, quindi valutato tra due estremi \`e la differenza tra di essi, cio\`e nel nostro caso $2\pg$.}. Secondo termine:
$$\dint_{-\pg}^\pg\cos(kx)\cos(mx)dx\underset{\text{Werner}}{=}\dint_{-\pg}^\pg\fr{1}{2}\[\cos[(k+m)x]+\cos[(k-m)x]\]dx.$$
$k+m\geq1$ perché $k\geq1$ e $m\geq0$, quindi il primo pezzo\fn{N.B. sto spezzando l\6integrale nella somma degli integrali, e quando dico ``pezzo'\6 intendo ``addendo''; la cosa \`e lecita per la linearit\`a dell\6integrale.} \`e sempre $0$. L\6integrale si riduce a
$$\dint_{-\pg}^\pg\fr{1}{2}\cos[(k-m)x]dx.$$
Questo non d\`a $0$ solo per $k=m$. Per $k=m$ ottengo $\fr{1}{2}\(2\pg\)=\pg$:
$$\dint_{-\pg}^\pg\fr{1}{2}\cos[(k-m)x]dx=\sistbis{0}{k\neq m}{\pg}{k=m},$$
e la stessa cosa sull\6intero secondo termine.
Terzo termine:
$$\dint_{-\pg}^\pg\sin(kx)\cos(mx)dx\underset{\text{Werner}}{=}\dint_{-\pg}^\pg\fr{1}{2}\[\sin[(k+m)x]+\sin[(k-m)x]\]dx.$$
Il primo termine per motivi analoghi a sopra d\`a sempre $0$, il secondo per $k\neq m$ d\`a 0, per $k=m$ pure perché \`e l\6integrale della funzione identicamente nulla. Quindi:
$$\dint_{-\pg}^\pg\sin(kx)\cos(mx)dx=0\qquad\qquad\VA k,m.$$
Per $m=0$ rimane solo il primo termine, quindi ottengo\fn{Negli integrali sparisce il coseno perché \`e sempre 1.}:
$$\dint_{-\pg}^\pg f(x)dx=\fr{a_0}{2}\dint_{-\pg}^\pg dx\implies\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg f(x)dx=a_0.$$
$$\VA m\geq0\qquad a_m=\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg f(x)\cos(mx)dx.$$
$b_m$ ha il seno\fn{Perché questi coefficienti? Per i primi basta sostituire $k=m$ nella prima uguaglianza dell\6integrale: il primo termine rimane nullo, dentro la serie rimane solo quello $a_k\dint\cos(kx)\cos(mx)dx$ che sappiamo dare $a_k\spg$ poiché $k=m$, quindi otteniamo:
$$a_k\dint\cos(kx)\cos(mx)dx=a_k\pg=\dint f(x)\cos(mx)dx,$$
cio\`e la definizione data dalla Felli. Per quegli altri mi sa che devo integrare moltiplicando per $\sin(mx)$ invece che per $\cos(mx)$, perché cercando di isolare $b_k$ si ottiene uno $0b_k$ che non porta a niente: si veda la sezione in fondo.}.
\begin{defi}[name=Coefficienti di Fourier,label=thm:defi:CoeffFourier]
Questi coefficienti si dicono \emph{coefficienti di Fourier}.
\end{defi}
\begin{oss}[{name=[Quando ha senso calcolare i Coefficienti di Fourier?]}]
Ha senso calcolarli per funzioni integrabili, quindi per esempio continue a tratti,
\end{oss}
\begin{oss}[name=Funzioni pari o dispari in serie di Fourier: sconto sui conti,label=thm:oss:RidurreContiFourier]
Se $f$ \`e pari $b_n=0\,\,\,\,\VA n$, perché pari per seno fa dispari, e la serie di Fourier \`e una serie di soli coseni. Se $f$ \`e dispari \`e il coseno a scomparire, perché dispari per coseno fa dispari.
\end{oss}
\begin{teor}[name=Disuguaglianza di Bessel - dim,label=thm:teor:Bessel]
Sia $F:\R\to\R$ continua a tratti e periodica di $T=2\pg$. Siano $a_k,b_k$ i suoi coefficienti di Fourier. Allora
$$\fr{a_0^2}{2}+\dsum_{k=1}^\8\(a_k^2+b_k^2\)\leq\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg\lb F(t)\rb^2dt.$$
\end{teor}
Dim.
\par Consideriamo la serie parziale $n$-sima di $F$:
$$S_n(x)=\fr{a_0}{2}+\dsum_{k=0}^n\(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\)$$
e calcoliamo
$$\dint_{-\pg}^\pg\(F(x)-S_n(x)\)^2dx.$$
Sar\`a chiaramente maggiore o uguale di $0$, essendo l\6integrale di una funzione non negativa (un quadrato). Poi possiamo svilupparlo\fn{Sviluppiamo il quadrato di ``binomio'\6 e spezziamo l\6integrale grazie alla sua linearit\`a.}:
$$0\leq\dint_{-\pg}^\pg\(F(x)-S_n(x)\)^2dx=\dint_{-\pg}^\pg\(F(x)\)^2dx-2\dint_{-\pg}^\pg F(x)S_n(x)dx+\dint_{-\pg}^\pg\(S_n(x)\)^2dx.$$
Vediamo il secondo termine:
$$\dint_{-\pg}^\pg F(x)S_n(x)dx.$$
Per linearit\`a abbiamo che \`e uguale a:
$$\fr{a_0}{2}\dint_{-\pg}^\pg F(x)dx+\dsum_{k=1}^na_k\dint_{-\pg}^\pg F(x)\cos(kx)dx+\dsum_{k=1}^nb_k\dint_{-\pg}^\pg F(x)\sin(kx)dx.$$
Il primo termine non \`e che
$$\fr{\spg a_0^2}{2}.$$
Il resto non \`e che\fn{Ricordando che $\VA k$ si ha
$$a_k=\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg F(x)\cos(kx)dx\implies\dint_{-\pg}^\pg F(x)\cos(kx)dx=\pg a_k,$$
$$b_k=\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg F(x)\sin(kx)dx\implies\dint_{-\pg}^\pg F(x)\sin(kx)dx=\pg b_k.$$}
$$\dsum_{k=1}^n\spg a_k^2+\dsum_{k=1}^n\spg b_k^2,$$
quindi in totale ottengo:
$$\fr{a_0}{2}\dint_{-\pg}^\pg F(x)dx+\dsum_{k=1}^na_k\dint_{-\pg}^\pg F(x)\cos(kx)dx+\dsum_{k=1}^nb_k\dint_{-\pg}^\pg F(x)\sin(kx)dx=$$
$$=\pg\(\fr{a_0^2}{2}+\dsum_{k=1}^na_k^2+\dsum_{k=1}^nb_k^2\).$$
Con un conto semplice otteniamo che\fn{Cercher\`o di esplicitare questo ``conto semplice'', che semplice non pare affatto, dopo aver sistemato i $b_k$ nella sezione in fondo.}:
$$\dint_{-\pg}^\pg S_n^2(x)dx=\pg\(\fr{a_0^2}{2}+\dsum_{k=1}^n\(a_k^2+b_k^2\)\).$$
Radunando tutto otteniamo:
$$0\leq\dint_{-\pg}^\pg\(F(x)\)^2dx-2\dint_{-\pg}^\pg F(x)S_n(x)dx+\dint_{-\pg}^\pg\(S_n(x)\)^2dx=\dint_{-\pg}^\pg\(F(x)\)^2dx-$$
$$+2\pg\(\fr{a_0^2}{2}+\dsum_{k=1}^n\(a_k^2+b_k^2\)\)+\pg\(\fr{a_0^2}{2}+\dsum_{k=1}^n\(a_k^2+b_k^2\)\)=\dint_{-\pg}^\pg\(F(x)\)^2dx-$$
$$+\pg\(\fr{a_0^2}{2}+\dsum_{k=1}^n\(a_k^2+b_k^2\)\)\implies\dint_{-\pg}^\pg\(F(x)\)^2dx\geq\pg\(\fr{a_0^2}{2}+\dsum_{k=1}^n\(a_k^2+b_k^2\)\);$$
dividiamo ambo i membri per $\spg$ e otteniamo la tesi.
\begin{cor}[{name=[Lemma di Riemann-Lebesgue - immediato]Proprietà dei coefficienti di Fourier},label=thm:cor:Riem-Leb]
Sia $F$ continua a tratti e periodica di periodo $2\pg$. Allora
$$a_k=\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg F(x)\cos(kx)dx\xrightarrow[k\to\8]{}0,$$
e idem $b_k$, perché le serie di $a_k^2$ e $b_k^2$ sono convergenti\fn{Dato che sono sempre minori o uguali di $\dint_{-\pg}^\pg F(x)dx$, integrale finito, ove ``sempre'' significa $\VA k$, anche il loro $\dsup$, che \`e la somma della serie (il $\dlim_{n\to\8}\dsum_{k=1}^n\(a_k^2+b_k^2\)$) sar\`a anch\6esso tale, e dunque non infinito. Di conseguenza sia $a_k^2$ che $b_k^2$ tendono a 0, e quindi le loro radici tendono a 0 assolutamente.}.
\end{cor}
Questo si chiama \emph{Lemma di Riemann-Lebesgue}. Domani vedremo risultati di convergenza delle serie di Fourier.

\sect{Sistemiamo i conti lasciati non svolti}

\ssect{I $b_k$ di Fourier}
Come preannunciato, riprendendo l\6uguaglianza di prima,
$$\dint_{-\pg}^\pg f(x)\cos(mx)dx=\fr{a_0}{2}\dint_{-\pg}^\pg\cos(mx)dx+$$
$$+\dsum_{k=0}^\8\(a_k\dint_{-\pg}^\pg\cos(kx)\cos(mx)dx+b_k\dint_{-\pg}^\pg\sin(kx)\cos(mx)dx\),$$
sostituiamo i coseni di $mx$ coi seni, trasformando il tutto in:
$$\dint_{-\pg}^\pg f(x)\sin(mx)dx=\fr{a_0}{2}\dint_{-\pg}^\pg\sin(mx)dx+\dsum_{k=0}^\8\(a_k\dint_{-\pg}^\pg\cos(kx)\sin(mx)dx\)+$$
$$+\dsum_{k=0}^\8\(b_k\dint_{-\pg}^\pg\sin(kx)\sin(mx)dx\).$$
A questo punto un sistema di formule trigonometriche:
$$\begin{sistema}
\sin(\sag\pm\bg)=\sin\sag\cos\bg\pm\cos\sag\sin\bg \\
\sin(\sag+\bg)+\sin(\sag-\bg)=2\sin\sag\cos\bg, \implies \\
\implies \sin p+\sin q=2\sin\fr{p+q}{2}\cos\fr{p-q}{2} \implies \\
\implies \sin a\cos b=\fr{1}{2}\[\sin\(a+b\)+\sin\(a-b\)\] \\
\sin(\sag+\bg)-\sin(\sag-\bg)=2\cos\sag\sin\bg, \implies \\
\implies \sin p-\sin q=2\cos\fr{p+q}{2}\sin\fr{p-q}{2} \implies \\
\implies \cos a\sin b=\fr{1}{2}\[\sin\(a+b\)-\sin\(a-b\)\] \\
\cos\(\sag\pm\bg\)=\cos\sag\cos\bg\mp\sin\sag\sin\bg \\
\cos\(\sag+\bg\)+\cos\(\sag-\bg\)=2\cos\sag\cos\bg \implies \\
\implies \cos p+\cos q=2\cos\fr{p+q}{2}\cos\fr{p-q}{2} \implies \\
\implies \cos a\cos b=\fr{1}{2}\[\cos\(a+b\)+\cos\(a-b\)\] \\
\cos\(\sag+\bg\)-\cos\(\sag-\bg\)=-2\sin\sag\sin\bg \implies \\
\implies \cos p-\cos q=-2\sin\fr{p+q}{2}\sin\fr{p-q}{2} \implies \\
\implies \sin a\sin b=-\fr{1}{2}\[\cos\(a+b\)-\cos\(a-b\)\]
\end{sistema},$$
così ce le abbiamo tutte e sappiamo da dove vengon fuori e non abbiamo dubbi. Ora procediamo a trafficare i pezzi del secondo membro sopra. Il primo pezzo,
$$\fr{a_0}{2}\dint_{-\pg}^\pg\sin(mx)dx,$$
\`e ovviamente sempre nullo, perché per $m\neq0$ la primitiva \`e $-\fr{1}{m}\cos(mx)$, che valutata tra due estremi a distanza di un $T=2\spg$ ovviamente d\`a $0$. Il secondo pezzo,
$$\dsum_{k=0}^\8\(a_k\dint_{-\pg}^\pg\cos(kx)\sin(mx)dx\),$$
lo trattiamo con le formule di sopra:
$$\dint_{-\pg}^\pg\cos(kx)\sin(mx)dx=\dint_{-\pg}^\pg\fr{1}{2}\[\sin[(k+m)x]-\sin[(k-m)x\]dx.$$
Come visto sopra, entrambi i termini integrati dànno sempre $0$. Resta dunque il terzo pezzo:
$$\dsum_{k=0}^\8\(b_k\dint_{-\pg}^\pg\sin(kx)\sin(mx)dx\).$$
L\6integrale che ci troviamo di fronte \`e:
$$\dint_{-\pg}^\pg\sin(kx)\sin(mx)dx=\dint_{-\pg}^\pg-\fr{1}{2}\[\cos[(k+m)x]-\cos[(k-m)x]\]dx;$$
il primo pezzo integrato d\`a sempre $0$ (cf. Felli), mentre il secondo d\`a $0$ tranne per $k=m$, dove d\`a $\pg$ (Felli docet semper). Quindi posto $m=k$ otteniamo che:
$$\dint_{-\pg}^\pg f(x)\sin(kx)dx=\fr{a_0}{2}\dint_{-\pg}^\pg\sin(mx)dx+\dsum_{k=0}^\8\(a_k\dint_{-\pg}^\pg\cos(kx)\sin(mx)dx\)+$$
$$+\dsum_{k=0}^\8\(b_k\dint_{-\pg}^\pg\sin(kx)\sin(kx)dx\)=b_k\dint_{-\pg}^\pg\sin(kx)\sin(kx)dx=\pg b_k,$$
quindi
$$b_k=\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg f(x)\sin(kx)dx.$$

\ssect{Esplicitiamo $\(S_n(x)\)^2$.}
Ricordiamo che:
$$S_n(x)=\fr{a_0}{2}+\dsum_{k=0}^n\(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\).$$
Dobbiamo provare che:
$$\dint_{-\pg}^\pg S_n^2(x)dx=\pg\(\fr{a_0^2}{2}+\dsum_{k=1}^n\(a_k^2+b_k^2\)\).$$
Proviamo a sviluppare:
$$\dint_{-\pg}^\pg S_n^2(x)dx=\dint_{-\pg}^\pg\[\fr{a_0}{2}+\dsum_{k=0}^n\(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\)\]^2dx=$$
$$=\dint_{-\pg}^\pg\fr{a_0^2}{4}dx+2\dint_{-\pg}^\pg\fr{a_0}{2}\dsum_{k=0}^n\(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\)dx+$$
$$+\dint_{-\pg}^\pg\[\dsum_{k=0}^n\(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\)\]^2dx.$$
Il primo termne non \`e che $\fr{a_0^2}{4}\per2\pg=\fr{\pg a_0^2}{2}$. Il secondo termine quindi dovrebbe essere $0$. Tiro fuori la costante moltiplicativa dall\6integrale, porto l\6integrale nella serie (teor. di integrazione per serie), e per la linearit\`a dell\6integrale e quanto visto sopra so che il risultato \`e una somma di integrali di coseni e seni che sono tutti nulli in quanto $k$ non \`e mai $0$ (infatti secondo me OGNI VOLTA ho sbagliato io o ha sbagliato la Felli a mettere $k=0$, perché con $a_0$ fuori davanti doveva essere $k=1$). Ricordando che
$$\(x_1+x_2\+x_n\)^2=\dsum_{i=1}^nx_i^2+\dsum_{\substack{1\leq i,j\leq n\\i\neq j\\}}2x_ix_j,$$
il quadrato della sommatoria diventa la serie dei quadrati pi\`u la serie dei doppi prodotti. Ora, integrando so già che i doppi prodotti se ne vanno, per quanto visto sopra. Quindi la cosa si riduce alla serie dei quadrati, ossia:
$$\dint_{-\pg}^\pg S_n^2(x)dx=\pg\fr{a_0^2}{2}+\dint_{-\pg}^\pg\dsum_{k=1}\(a_k^2\cos^2(kx)+b_k^2\sin^2(kx)\)dx.$$
Integrazione per serie, linearit\`a dell\6integrale, estraggo tutte le costanti moltiplicative, ricordo che gli integrali dei $\cos^2$ e dei $\sin^2$ fanno sempre $\pg$, quindi tiro fuori tutti i $\pg$ e sono alla tesi.


\incle
\chapter{\lez{17/10/2013}}

\sect{Ancora serie di Fourier}

\ssect{Convergenza puntuale delle serie}
\begin{teor}[name=di Convergenza Puntuale della Serie di Fourier - dim,label=thm:teor:ConvPuntFourier]
Prendia-mo $f:\R\to\R$ una funzione periodica di periodo $T=2\pg$ e regolare a tratti. La sua serie di Fourier converge puntualmente alla funzione $\fr{1}{2}(f(x^+)+f(x^-))$, dove poniamo $f(x^+)=\dlim_{t\to x^+}f(t)$ e $f(x^-)=\dlim_{t\to x^-}f(t)$. In particolare la serie di Fourier di $f$ converge a $f(x)$ nei punti $x$ in cui $f$ \`e continua.
\end{teor}
Dim.
$$S_n(x)=\fr{a_0}{2}+\dsum_{k=1}^na_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)=\fr{1}{2}\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg f(t)dt+$$
$$+\dsum_{k=1}^n\[\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg f(t)\cos(kt)dt\cos(kx)+\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg f(t)\sin(kt)dt\sin(kx)\]=\fnm[1]\fnt[1]{$\cos(kx)$, fissato $x$, \`e una costante, quindi posso portarlo dentro l\6integrale, e per $\sin(kx)$ vale lo stesso discorso. A questo punto raccolgo tutti gli addendi sotto un unico integrale, tiro fuori $\fr{1}{\pg}$, l\6integrale diventa quello della riga sotto, raccogliendo in tutti gli addenti $f(t)$ e $dt$.}\ic{footnote}{+1}$$
$$=\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg f(t)\[\fr{1}{2}+\dsum_{k=1}^n\(\cos(kt)\cos(kx)+\sin(kt)\sin(kx)\)\]dt=$$
$$=\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg f(t)\[\fr{1}{2}+\dsum_{k=1}^n\cos[k(t-x)]\]dt.$$
Cambio di variabile: $t-x=u$. Ottengo:
$$\ouintz{-\spg-x\qquad\quad}{\spg-x}{f(t)}{\fr{1}{\pg}}\[\fr{1}{2}+\dsum_{k=1}^n\cos(ku)\]du,$$
ma in realt\`a posso togliere i $-x$ dagli estremi, tanto \`e sempre un periodo, i valori che trovo sono gli stessi. Quindi abbiamo:
$$\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^{\pg} f(t)\[\fr{1}{2}+\dsum_{k=1}^n\cos(ku)\]du.$$
Sistemiamo la parentesi, e dimostriamo che:
$$\(\fr{1}{2}+\dsum_{k=1}^n\cos(ku)\)2\sin\fr{u}{2}=\sin\(\(n+\fr{1}{2}\)u\)\qquad\VA n\geq1.$$
Procediamo per induzione. Devo provare, per $n=1$, che
$$\(\fr{1}{2}+\cos u\)2\sin\fr{u}{2}=\sin\(\fr{3}{2}u\).$$
$$2\sin\fr{u}{2}\(\fr{1}{2}+\cos u\)=\sin\(u-\fr{u}{2}\)+2\sin\fr{u}{2}\cos u=\sin u\cos\fr{u}{2}-$$
$$+\cos u\sin\fr{u}{2}+2\cos u\sin\fr{u}{2}=\sin u\cos\fr{u}{2}+\cos u\sin\fr{u}{2}=\sin\(u+\fr{u}{2}\)=\sin\(\fr{3}{2}u\).$$
Suppongo che sia vera per $n-1$:
$$\(\fr{1}{2}+\dsum_{k=1}^{n-1}\cos(ku)\)2\sin\fr{u}{2}=\sin\(\(n-1+\fr{1}{2}\)u\).$$
Vediamo che\fn{La penultima uguaglianza nasconde un passaggio intermedio simile a sopra, con un $-1+2$ che diventa subito $2$.}:
$$\(\fr{1}{2}+\dsum_{k=1}^n\cos(ku)\)2\sin\fr{u}{2}=\(\fr{1}{2}+\dsum_{k=1}^{n-1}\cos(ku)\)2\sin\fr{u}{2}+2\sin\fr{u}{2}\cos(nu)=$$
$$=\sin\(nu-\fr{u}{2}\)+2\sin\fr{u}{2}\cos(nu)=\sin(nu)\cos\fr{u}{2}+\cos(nu)\sin\fr{u}{2}=\sin\(\(n+\fr{1}{2}\)u\).$$
E quindi abbiamo fatto un bel ripasso di trigonometria. Torniamo alla dimostrazione. Abbiam provato che:
$$\(\fr{1}{2}+\dsum_{k=1}^n\cos(ku)\)2\sin\fr{u}{2}=\sin\(\(n+\fr{1}{2}\)u\).$$
Quindi abbiamo:
$$\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^{\pg} f(x+u)\[\fr{1}{2}+\dsum_{k=1}^n\cos(ku)\]du=\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^{\pg} f(x+u)\[\fr{\sin\(\(n+\fr{1}{2}\)u\)}{2\sin\fr{u}{2}}\]du.$$
La formula di prima implica che\fn{Infatti quella frazionaccia è uguale a $\fr{1}{2}$ più la somma dei coseni; integrando $\fr{1}{2}$ si ottiene $\dint_{-\pg}^0\fr{1}{2}dx=\fr{\pg}{2}$; integrando i coseni le primitive sono $\fr{1}{k}\sin(ku)$, che integrate tra $-\pg$ e $0$ dànno $0$.}:
$$\dint_{-\pg}^0\fr{\sin\(\(n+\fr{1}{2}\)u\)}{2\sin\fr{u}{2}}=\dint_0^\pg\fr{\sin\(\(n+\fr{1}{2}\)u\)}{2\sin\fr{u}{2}}=\fr{\pg}{2},$$
perché i coseni integrati d\`anno $0$ e quel che rimane \`e l\6integrale di $\fr{1}{2}$ che tra quegli estremi d\`a $\fr{1}{2}\per\pg$. Quindi\fn{Dato che quei due integrali sono $\fr{\pg}{2}$, divisi per $\pg$ possono sostituire $\fr{1}{2}$.}:
$$S_n(x)-\fr{f(x^+)+f(x^-)}{2}=-f(x^+)\fr{1}{\pg}\dint_0^\pg\fr{\sin\(\(n+\fr{1}{2}\)u\)}{\sin\fr{u}{2}}du-$$
$$+f(x^-)\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^0\fr{\sin\(\(n+\fr{1}{2}\)u\)}{\sin\fr{u}{2}}du+\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg\fr{\sin\(\(n+\fr{1}{2}\)u\)}{\sin\fr{u}{2}}du=$$
$$=\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg G(u)\sin\(\(n+\fr{1}{2}\)u\)du,$$
dove\fn{Spezziamo il terzo integrale su due intervalli, $[-\pg,0]$ e $[0,\pg]$ e raduniamo gli integrali sullo stesso intervallo, ottenendo la $G(u)$ definita sotto, dove in $0$ la si definisce come ci pare, controllando che esistano finiti i due limiti, che si provano esistere grazie al teorema di De L'Hôpital, come sotto.}
$$G(u)=\sistbisdue
{\fr{f(x+u)-f(x^-)}{2\sin\fr{u}{2}}} {u\in[-\pg,0)}
{0} {u=0}
{\fr{f(x+u)-f(x^+)}{2\sin\fr{u}{2}}} {u\in(0,\pg)}.$$
\`E continua a tratti, perché fuori da $0$ \`e somma di funzioni continue a tratti, e in $0$ ora lo vediamo.
$$\dlim_{u\to0^-}G(u)=\dlim_{u\to0^-}\fr{f(x+u)-f(x^-)}{2\sin\fr{u}{2}};$$
uno $\fr{0}{0}$, posso applicare De l\6Hôpital per la regolarit\`a a tratti, quindi il limite diventa:
$$\dlim_{u\to0^-}\fr{f^\1(x+u)}{\cos\fr{u}{2}}=\dlim_{u\to0^-}f^\1(x+u)=f^\1(x^-),$$
che esiste per la regolarit\`a a tratti. Analogamente l\6altro limite sar\`a $f^\1(x^+)$. Riprendiamo l\6integrale di prima:
$$\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg G(u)\sin\(\(n+\fr{1}{2}\)u\)du.$$
Lo spezziamo in:
$$\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg G(u)\sin(nu)\cos\fr{u}{2}du+\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg G(u)\cos(nu)\sin\fr{u}{2}du,$$
colla formula di addizione del seno. Il primo integrale \`e un coefficiente di Fourier per $G(u)\cos\fr{u}{2}$, quindi tende a $0$. L\6altro stessa cosa ma di $G(u)\sin\fr{u}{2}$. Quindi il tutto tende a $0$, ergo la convergenza puntuale \`e dimostrata\fn{Ricordiamo che questa roba \`e $S_n(x)-\fr{f(x^+)+f(x^-)}{2}$, cio\`e la differenza tra $S_n(x)$, che dobbiamo provare convergere, e il candidato limite puntuale di $S_n(x)$.}. Sopra che $(0,\pg)$ sia aperto o semiaperto \`e irrilevante per periodicit\`a.

\ssect{Convergenza uniforme}
\begin{teor}[name=di Convergenza Uniforme della Serie di Fourier - dim,label=thm:teor:ConvUnifFourier]
Prendia-mo $f:\R\to\R$ periodica di periodo $2\pg$, regolare a tratti e continua su tutto $\R$. La sua serie di Fourier converge addirittura totalmente in $\(\s{L}\(\R,\R\),\ldb\per\rdb_\8\)$ e quindi uniformemente a $f$\fn{Il limite uniforme coincide con quello puntuale, che con $f$ continua \`e proprio $f$, perché $\fr{f(x^+)+f(x^-)}{2}=\fr{f(x)+f(x)}{2}=f(x)$.}.
\end{teor}
Dim.
\par $f^\1$ \`e continua a tratti (definiamola come vogliamo nei punti in cui non esiste). Calcoliamone i coefficienti di Fourier $\ag_k$ e $\bg_k$\fn{Davanti all\6integrale rimasto c'\`e un + perché il $-$ dell\6integrale per parti si cancella col $-$ della derivata dei $\cos$ che \`e $-\sin$.}:
$$\begin{sistema}
\ag_k=\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg f^\1(t)\cos(kt)dt=\mus{\fr{1}{\pg}f(t)\cos(kt)|_{-\pg}^\pg}{\scb{0.7}[0.7]{=0}}+\fr{k}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg f(t)\sin(kt)dt=kb_k \\
\bg_k=-ka_k\,\,(conto\,\,quasi\,\,identico)
\end{sistema}.$$
Bessel su $f^\1$ ci dice che
$$\fr{\ag_0^2}{2}+\dsum_{k=1}^\8\(\ag_k^2+\bg_k^2\)\leq\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg\(f^\1\)^2<+\8.$$
Quindi
$$\dsum_{k=1}^\8k^2\(b_k^2+a_k^2\)<+\8,$$
per le relazioni sopra tra $\ag_k,\bg_k$ e $a_k,b_k$. Stimiamo la norma uniforme:
$$\ldb a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\rdb_\8\leq\ldb a_k\cos(kx)\rdb+\ldb b_k\sin(kx)\rdb=\lb a_k\rb\ldb\cos(kx)\rdb+$$
$$+\lb b_k\rb\ldb\sin(kx)\rdb=\lb a_k\rb+\lb b_k\rb.$$
$$\lb a_k\rb=\fr{1}{k}\(k\lb a_k\rb\)\leq\fr{1}{2}\(\fr{1}{k^2}+k^2a_k^2\),$$
$$\lb b_k\rb=\fr{1}{k}\(k\lb b_k\rb\)\leq\fr{1}{2}\(\fr{1}{k^2}+k^2b_k^2\).$$
Tornando alle norme,
$$\ldb a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\rdb_\8\leq\lb a_k\rb+\lb b_k\rb\leq\fr{1}{2}\(\fr{1}{k^2}+k^2a_k^2\)+\fr{1}{2}\(\fr{1}{k^2}+k^2b_k^2\)=$$
$$=\fr{1}{k^2}+\fr{1}{2}k^2\(a_k^2+b_k^2\),$$
termine generale di una serie convergente. Quindi per il Criterio di Weierstrass c\6\`e convergenza totale.
\par Dove abbiamo usato la continuit\`a?
\begin{oss}[name=Dove entra la continuità nella dimostrazione sopra?]
L\6ipo-tesi che $f$ sia continua entra nell\6integrazione per parti.
\end{oss}
\begin{ese}[name=Integrazione per parti: basta la continuità a tratti,label=thm:ese:IntPartiContTratti]
Provare che per funzioni continue e regolari a tratti vale l\6integrazione per parti, ossia
$$\dint_a^bf^\1(t)g(t)dt=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\dint_a^bf(t)g^\1(t)dt.$$
Suggerimento: additivit\`a dell\6integrale spezzando alle non derivabilit\`a.
\end{ese}
\par Pausa.
\begin{teor}[name=Ancora Convergenza Uniforme della Serie di Fourier,label=thm:teor:CUFourbis]
Prendia-mo $f:\R\to\R$ periodica di $T=2\pg$ e regolare a tratti. La serie di Fourier converge uniformemente in tutti i sottointervalli chiusi $[a,b]\sbse\R$ in cui $f$ \`e continua.
\end{teor}
Dim. omessa.
\begin{es}
$f(x)=x^2\,\,per\,\,x\in[-\pg,\pg)$ prolungata con periodicit\`a $2\pg$.
\end{es}
\includegraphics[width=12.5cm]{BizzarriaPeriodica.png}
\`E pari, quindi avremo solo coseni nella serie di Fourier, perché $b_k=0$\fn{$b_k=\dint_{-\pg}^\pg x^2\sin(kx)dx$, e quella \`e una funzione dispari, quindi l\6integrale in un intervallo centrato in $0$ \`e $0$.}.
$$a_k=\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg x^2\cos(kx)dx=\fr{1}{\pg}\(\mus{x^2\fr{\sin(kx)}{k}|_{-\pg}^\pg}{\scb{0.7}[0.7]{=0}}-\dint_{-\pg}^\pg2x\fr{\sin(kx)}{k}dx\)=$$
$$=-\fr{1}{\pg}\fr{1}{k}\dint_{-\pg}^\pg2x\sin(kx)dx=\fr{1}{\pg}\fr{1}{k}2x\fr{\cos(kx)}{k}|_{-\pg}^\pg-\fr{1}{\pg}\fr{2}{k}\mus{\dint_{-\pg}^\pg\fr{\cos(kx)}{k}dx}{\scb{0.7}[0.7]{=0}}=$$
$$=\fr{2}{k^2\pg}x\cos(kx)|_{-\pg}^\pg=\fr{4}{k^2}(-1)^k,$$
il tutto per $k\neq0$\fn{Il primo $=0$ sotto la prima frazione \`e dovuto al fatto che quella frazione valutata in $\pg$ e in $-\pg$ vale sempre $0$; il secondo, sotto l\6ultimo integrale, discende dal fatto che la primitiva \`e un $\fr{\sin(kx)}{k}$, che come visto sopra con quegli estremi dà $0$; a questo punto $\pg\cos(k\spg)=\sistbis{\pg}{k\,\,pari}{-\pg}{k\,\,dispari}$, e cos\`i anche $-\pg\cos(-k\pg)$, quindi la loro differenza \`e $\sistbis{4\pg}{k\,\,pari}{-4\pg}{k\,\,dispari}$; davanti a tutto ci\`o ho un $\fr{2}{k^2\pg}$ che trasforma la differenza in $\sistbis{\fr{4}{k^2}}{k\,\,pari}{-\fr{4}{k^2}}{k\,\,dispari}$; questo si riassume nel risultato sopra. Tutto ciò vale solo per $k\neq0$ perché se $k=0$ non posso dividere per $k$.}. Invece:
$$a_0=\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg x^2\cos(kx)dx=\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg x^2dx=\fr{1}{3\pg}x^3\cos(kx)dx|_{-\pg}^\pg=\fr{1}{2\pg}2\pg^3=\fr{2}{3}\pg^2.$$
Quindi la serie di Fourier \`e:
$$\fr{1}{3}\pg^2+\dsum_{k=1}^\8\fr{4}{k^2}(-1)^k\cos(kx).$$
Converge uniformemente a $f$. Quindi puntualmente, e dunque per $x=0$ converge a $f(0)$, ossia:
$$\fr{1}{3}\pg^2+\dsum_{k=1}^\8\fr{4}{k^2}(-1)^k\cos(kx)=\fr{\pg^2}{3}+\dsum_{k=1}^\8\fr{4}{k^2}(-1)^k=f(0)=0.$$
Quindi per esempio
$$\dsum_{k=1}^\8\fr{(-1)^k}{k^2}=-\fr{\pg^2}{12}.$$
Se la vediamo in $\spg$ otteniamo:
$$\fr{1}{3}\spg^2+\dsum_{k=1}^\8\fr{4}{k^2}(-1)^k\cos(k\spg)=\fr{1}{3}\pg^2+\dsum_{k=1}^\8\fr{4}{k^2}(-1)^{2k}=f(\pg)=\pg^2,$$
ossia
$$\dsum_{k=1}^\8\fr{1}{k^2}=\fr{\pg^2}{6}.$$
Insomma colle serie di Fourier si arriva a calcolare esplicitamente le somme di parecchie serie notevoli. Con questo chiudiamo il capitolo sulle serie di funzioni.

\sect{Calcolo differenziale per funzioni di pi\`u variabili}

\ssect{Derivate parziali}
\begin{defi}
Siano $\Wg\sbse\R^n$ aperto, $f:\Wg\to\R$ e $P\in\Wg$. Sia $1\leq k\leq n$. Dir\`o che $f$ \`e derivabile parzialmente rispetto alla variabile $x_k$ in $P$ se esiste finito
$$\dlim_{t\to0}\fr{f(P+t\ubar{e}_k)-f(P)}{t},$$
dove $\ubar{e}_k$ \`e il versore $k$-simo delle coordinate cartesiane, ossia $\(\begin{array}{c}0\\\vdots\\\musb{1}{k-simo\,\,posto}\\\vdots\\0\\\end{array}\)$. In tal caso, tale limite si dir\`a \emph{derivata parziale di $f$ rispetto a $x_k$ nel punto $P$} e si indica con
$$\fr{\pd f}{\pd x_k}(P).$$
Altri simboli: $f_k(P)$, $(D_kf)(P)$, ecc\fn{Falqui ad esempio usa spesso il simbolo $\pd_kf=\fr{\pd f}{\pd x_k}$.}.
\end{defi}
\begin{oss}
Se $P=\(x_1,x_2,\dots,x_k\)$, allora
$$\fr{\pd f}{\pd x_k}\(x_1,x_2,\dots,x_k\)=\dlim_{t\to0}\fr{f(x_1,x_2,\dots,x_k+t,\dots,x_n)-f(x_1,\dots,x_n)}{t}.$$
\end{oss}
\begin{es}[{name=[Derivabile parzialmente ma non regolare]}]
$$\fr{\pd}{\pd x}\(\log\(1+x^2y^2\)\)=\fr{1}{1+x^2y^2}2xy^2.$$
\end{es}
Chiediamoci quanto \`e forte la derivata parziale, quanta regolarit\`a ci garantisce il fatto che esistano le derivate parziali. In realt\`a molto molto poca e lo possiamo vedere con degli esempi.
\begin{es}[{name=[idem]}]
$$f(x,y)=\sistbis{0}{x=0\vel y=0}{1}{altrimenti}.$$
\end{es}
Non \`e continua nell\6origine. Esistono le derivate parziali nell\6origine? S\`i e fanno $0$ entrambe. Perché le derivate parziali arrivano obbligatoriamente dagli assi, dove $f$ vale sempre $0$.

\ssect{Derivate direzionali}
Se cercassimo di guardare tutte le altre rette?
\begin{defi}
Sia $\Wg\sbse\R$ aperto, $f:\Wg\to\R$, $P\in\Wg$, fissiamo $\ng\in\R^n$ un versore di $\R^n$, ossia $\ldb\ng\rdb=1$. Dico che $f$ \`e \emph{derivabile rispetto alla direzione $\ng$} se esiste finito il limite
$$\dlim_{t\to0}\fr{f(P+t\sng)-f(P)}{t}.$$
In tal caso, tale limite si dice \emph{derivata direzionale nel punto $P$ rispetto alla direzione $\ng$} e si indica con
$$\fr{\pd f}{\pd\ng}(P),$$
oppure $f_\ng(P)$, $(D_\ng f)(P)$.
\end{defi}
Sicuramente \`e pi\`u forte della derivabilit\`a parziale il fatto che esistano tutte le derivate direzionali. Per\`o come vedremo domani ci possono ancora essere funzioni abbastanza patologiche derivabili cos\`i ma non ancora buone come candidate funzioni regolari. Per questa mattina \`e tutto.

\sect{Esercizio di sopra}
\begin{esecasa}
Provare che se $f$ e $g$ sono continue e regolari a tratti in $[a,b)$ si pu\`o scrivere
$$\dint_a^bf^\1(t)g(t)dt=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\dint_a^bf(t)g^\1(t)dt.$$
\end{esecasa}
Supponiamo che $f$ sia $C^1$ tranne in $x_{11},x_{12},\dots,x_{1n}$, e $g$ sia $C^1$ tranne in $x_{21},x_{22},\dots,x_{2m}$. Rinominiamo i punti di discontinuit\`a come $y_i$ con $i$ che cresce assieme a $y_i$ (ovvero ordiniamo tutti i punti, sia gli $x_{1j}$ che gli $x_{2k}$, in ordine crescente e nominiamo il primo $y_1$, il secondo $y_2$ e cos\`i via). Se spezzo l\6integrale in un integrale su $[a,y_1]$ pi\`u uno su $[y_1,y_2]$ pi\`u tutti quelli su $[y_i,y_{i+1}]$ per ogni $1\leq i\leq m+n-1$, pi\`u quello su $[y_{m+n},b]$, l\6integrale diviene:
$$\dint_a^{y_1}f^\1(t)g(t)dt+\dsum_{i=1}^{m+n-1}\dint_{y_i}^{y_{i+1}}f^\1(t)g(t)dt+\dint_{y_{m+n}}^bf^\1(t)g(t)dt.$$
Ciascuno di quegli integrali si pu\`o integrare per parti, diventando:
$$f(y_1)g(y_1)-f(a)g(a)-\dint_a^{y_1}f(t)g^\1(t)dt+\dsum_{i=1}^{m+n-1}\(\scb{0}[1]{{\color{white}$\dint$}}f(y_{i+1})g(y_{i+1})-f(y_i)g(y_i)-\right.$$
$$\left.\dint_{y_i}^{y_{i+1}}f(t)g^\1(t)dt\)+f(b)g(b)-f(y_{m+n})g(y_{m+n})-\dint_{y_{m+n}}^bf(t)g^\1(t)dt.$$
Radunando tutti gli integrali e usando la linearit\`a sull\6intervallo di integrazione, si ottiene l\6integrale nell\6uguaglianza da provare. Tutti i termini che non sono presenti in quell\6uguaglianza si cancellano. Questo avviene grazie alla continuit\`a delle due funzioni nei punti di non derivabilit\`a. Infatti a voler essere pignoli anziché $f(y_i)g(y_i)$ avrei dovuto usare i limiti destri e sinistri per $x\to y_i$ di $f(x)g(x)$, quindi senza la continuit\`a non avrei potuto cancellare; dato che $f$ e $g$ sono ambedue continue e quindi i due limiti sono uguali al valore della funzione $f(x)g(x)$ nei punti $y_i$, tutto si cancella.


\incle
\chapter{\lez{18/10/2013}}

\sect{Esempi patologici di funzioni non regolari ma con derivate direzionali tutte presenti}
Richiamo della definizione di
$$\fr{\pd f}{\pd\sng}.$$
\`E pi\`u forte delle derivate parziali. Tuttavia possono capitare esempi patologici di funzioni che abbiano tutte le derivate direzionali e ciononostante non siano molto regolari.
\begin{es}[{name=[Derivabile direzionalmente ma non regolare]}]
$$f(x,y)=\sistbis{1}{y>0\et y<x^2}{0}{altrimenti}.$$
In un intorno dell\6origine su qualsiasi retta la funzione rimane nulla, quindi \`e derivabile con derivata nulla, ma non \`e continua nell\6origine.
\end{es}
Quindi l\6esistenza di tutte le derivate parziali non garantisce neppure la continuit\`a.
Per avere un\6idea di come \`e fatta questa funzione, si guardi il seguente grafico:
\par\hsp{1cm}\includegraphics[width=9cm]{Strana.png}
\par\hsp{500cm}\whitea\hsp{1cm}
In esso si vedono gli assi cartesiani e la parabola $y=x^2$. Come indicato dai ``numeri volanti'', la funzione vale $0$ dentro la parabola e sotto l\6asse $x$, mentre vale $1$ tra la parabola e l\6asse; sulle frontiere (parabola e asse $x$) vale $0$.
\begin{es}[{name=[idem]}]
$$f(x,y)=\sistbis{\(\fr{x^2y}{x^4+y^2}\)^2}{(x,y)\neq(0,0)}{0}{(x,y)=(0,0)}.$$
\`E continua nell\6origine? Sugli assi tende a 0; per $x=y$ ottengo:
$$\dlim_{x\to0}\fr{x^3}{x^4+x^2}=\fr{1}{2}x\to0;$$
per $y=x^2$ invece:
$$\dlim_{x\to0}\(\fr{x^4}{2x^4}\)^2=\fr{1}{4},$$
quindi non esiste il limite. Derivate direzionali? Fissiamo $\(\sng_1,\sng_2\)$ con $\rad{\sng_1^2+\sng_2^2}=1$. Calcoliamo\fn{Quel limite in fondo \`e nullo perché $t\to0$ e la frazione tende a $\fr{\ng_1^2}{\ng_2}$, con una semplificazione possibile per $\ng\neq(0,1)$, condizione in cui la frazione rimane limitata. Se invece $\ng=(0,1)$, avremo
$$t\(\fr{\sng_1^2\sng_2}{t^2\sng_1^4+\sng_2^2}\)^2=t\(\fr{0^2\per1}{t^2\per0^4+1^2}\)^2=t\fr{0}{1}=0.$$}:
$$\dlim_{t\to0}\fr{f(t\sng_1,t\sng_2)-f(0,0)}{t}=\dlim_{t\to0}\fr{\(\fr{t^3\sng_1^2\sng_2}{t^4\sng_1^4+t^2\sng_2^2}\)^2-0}{t}=\dlim_{t\to0}\fr{1}{t}\(\fr{t^3\sng_1^2\sng_2}{t^4\sng_1^4+t^2\sng_2^2}\)^2=$$
$$=\dlim_{t\to0}\fr{t^6}{tt^4}\(\fr{\ng_1^2\ng_2}{t^2\sng_1^4+\sng_2^2}\)^2=\dlim_{t\to0}t\(\fr{\ng_1^2\ng_2}{t^2\sng_1^4+\sng_2^2}\)^2=0.$$
\end{es}
\begin{es}[{name=[{Derivabile direzionalmente, continua ma patologica}]}]
$$f(x,y)=\sistbistre{0}{x=0}{0}{x\neq0\et\fr{y}{x}\in\Q}{}{}{x}{x\neq0\et\fr{y}{x}\in\R\ssm\Q}.$$
\`E continua nell\6origine perché sia che vada da una retta a coefficiente razionale sia da una irrazionale o \`e $0$ o ci tende, diventando piccola. Le derivate direzionali? Dipendono dal versore. Se $\sng$ \`e contenuto in una retta a coefficiente angolare razionale la derivata esiste ed \`e nulla, poiché la funzione \`e ivi costante. Se invece $\fr{\ng_2}{\ng_1}\in\R\ssm\Q$, ho che
$$\fr{\pd f}{\pd\sng}(0,0)=\dlim_{t\to0}\fr{f(t\sng_1,t\sng_2)}{t}=\dlim_{t\to0}\fr{t\sng_1}{t}=\ng_1.$$
Quindi \`e continua ed ha tutte le derivate direzionali, per\`o non ci sembra tanto regolare, \`e un po\6 patologica.
\end{es}

\sect{Funzioni differenziabili}

\ssect{Definizione, riduzione alle funzioni monovariate, piano tangente al grafico, unicit\`a del differenziale}
L\6idea \`e di poter definire un piano tangente, generalizzazione della retta tangente delle funzioni monovariate. E questo corrisponde al concetto di funzione in pi\`u variabili differenziabile.
\begin{defi}[name=Funzione differenziabile e suo differenziale,label=thm:defi:Differenziale]
$f:\Wg\to\R$ con $\Wg\sbse\R^n$ aperto si dice \emph{differenziabile in un punto $P\in\Wg$} se esiste un\6applicazione lineare $L:\R^n\to\R$ tale che esista
$$\dlim_{H\to0}\fr{f(P+H)-f(P)-L(H)}{\ldb H\rdb}=0.$$
Se questo accade si dice che $L$ \`e il \emph{differenziale di $f$ in $P$} e si scrive:
$$L=df(P).$$
\end{defi}
Stiamo dicendo che:
$$\begin{sistema}
f(P+H)=f(P)+df(P)(H)+R(H),\\
R(H)=o(\ldb H\rdb)\,\,per\,\,H\to0,\,\,ovvero\,\,\fr{R(H)}{\ldb H\rdb}\mous{\to}{}{H\to\ubar{0}\scb{0.72}[0.72]{$\pusher$}}0
\end{sistema},$$
ovvero
$$f(P+H)-f(P)=\us{$df(P)(H)$}{\scb{0.7}[0.7]{lin. nell\6incremento}}+o(\ldb H\rdb).$$
\begin{defi}[name=Funzione differenziabile in un insieme,label=thm:defi:DiffInsieme]
$f$ come sopra \`e differenziabile in $\Wg$ se \`e differenziabile in ogni $P\in\Wg$.
\end{defi}
Cos\`i ho definito una funzione $df:\Wg\to\(\R^n\)^*$ (spazio duale di $\R^n$, cio\`e lo spazio delle funzioni $\R^n\to\R$)\fn{La funzione che ad ogni punto associa il differenziale di $f$ in quel punto.}.
\begin{oss}[name=Differenziabilità di funzioni monovariate,label=thm:oss:DiffMonov]
Se $n=1$, si ha che $f:(a,b)\to\R$ \`e differenziabile in $t_0\in(a,b)$ se e solo se $f$ \`e derivabile in $t_0$. Il differenziale \`e proprio $f^\1(t_0)t$.
\end{oss}
\begin{ese}[{name=[Differenziale monovariato]}]
Verificare la precedente Osservazione \ref{thm:oss:DiffMonov}.
\end{ese}
\begin{oss}[name=Approssimazione affine di una funzione differenziabile,label=thm:oss:ApprAffFunzDiff]
Se $f$ \`e differenziabile in $P$, ho che
$$f(P+H)=T(P+H)+o(\ldb H\rdb)\quad per\,\,H\to0,$$
dove
$$T(X)=f(P)+df(P)(X-P).$$
Per $X\to P$,
$$f(X)=T(X)+o(\ldb X-P\rdb),$$
cio\`e la $f$ si approssima, vicino a $P$, con una funzione affine $T$ (lineare pi\`u una traslazione) con un errore che \`e $o(\ldb X-P\rdb)$ per $X\to P$. Il grafico di questa funzione \`e il piano\fn{Forse sarebbe meglio dire l\6iperpiano. Lei pensava in 3D, quindi $f:\R^2\to\R$, ma in pi\`u dimensioni non \`e un piano, ma un iperpiano,  perché \`e una funzione affine da uno spazio di dimensione $n-1$ a $\R$. Comunque non importa pi\`u di tanto.} tangente al grafico di $f$ nel punto $(P,f(P))\in\R^{n+1}$.
\end{oss}
\begin{oss}[name=Unicità del differenziale,label=thm:oss:DiffUnico]
Il differenziale di $f$ in $P$, se esiste, \`e unico.
\end{oss}
\begin{ese}[{name=[Unicità del differenziale]}]
Verificare l\6osservazione precedente.
\end{ese}

\ssect{Differenziabilit\`a, continuit\`a, derivate direzionali e derivate parziali}

\begin{propo}[name=Differenziabilità implica continuità e derivabilità - dim,label=thm:propo:DiffErgoContDeriv]
\whitea\quad\whitea\quad Siano $\Wg\sbse\R^n$ aperto, $f:\Wg\to\R$ e $P\in\Wg$; allora:
\ben
\item Se $f$ \`e differenziabile in $P$, allora $f$ \`e continua in $P$;
\item Se $f$ \`e differenziabile in $P$, allora
$$\VA\ng\in\R^n:\ldb\ng\rdb=1\qquad\3\fr{\pd f}{\pd\ng}(P)=df(P)(\ng).$$
\een
\end{propo}
Dim.
\par Ricordiamo:
$$f(P+H)=f(P)+df(P)(H)+o(\ldb H\rdb)\qquad per\,\,H\to0.$$
Quindi devo semplicemente far vedere che:
$$\dlim_{H\to0}\(df(P)(H)+o(\ldb H\rdb)\)=0.$$
Sicuramente quell\6$o$ piccolo va a 0: $o(\ldb H\rdb)=\fr{o(\ldb H\rdb)}{\ldb H\rdb}\per\ldb H\rdb\to0\per0=0.$ L\6altra cosa:
$$df(P)(x_1\dots,x_n)=x_1df(P)(e_1)\+x_ndf(P)(e_n),$$
funzione continua\fn{\`E continua perché combinazione lineare delle proiezioni $\pg_k$, continue, e tende a 0 perché essendo lineare naturalmente in $0$ vale $0$ e per $H\to\ubar{0}$ il limite di questa funzione \`e il suo valore in $0$ per la continuit\`a. Le proiezioni non sono altro che gli $x_k$, mentre i loro coefficienti sono $df(x)(e_k)$. Infatti se chiamiamo $a_k=df(x)(e_k)$, che \`e un numero ben definito, quella combinazione lineare sopra si pu\`o riscrivere come:
$$\dsum_{k=1}^n\pg_k(x_1,x_2,\dots,x_n)a_k.$$}. Quindi
$$\dlim_{H\to\ubar{0}}df(P)(H)=df(P)(\ubar{0})=0.$$
Concludiamo che
$$\dlim_{H\to0}f(P+H)=f(P),$$
ossia $f$ \`e continua in $P$. Quindi la differenziabilit\`a \`e pi\`u forte della continuit\`a, e – ora lo dimostriamo – anche dell\6esistenza di tutte le derivate direzionali. Sia $H=t\sng$ con $\sng$ versore di $\R^n$. Riscriviamo l\6uguaglianza sopra ricordata:
$$f(P+H)=f(P)+df(P)(H)+o(\ldb H\rdb)\qquad per\,\,H\to0.$$
Se $t\to0$, $H=t\sng\to0$, quindi possiamo usare quell\6ugaglianza:
$$f(P+t\sng)=f(P)+df(P)(t\sng)+o(t),$$
quindi calcolando il limite-derivata ottengo:
$$\fr{f(P+t\sng)-f(P)}{t}=\fr{df(P)(t\sng)+o(t)}{t}=df(P)(\sng)+o(1),$$
quindi quel limite non \`e altro che $df(P)(\sng)$, C.V.D.
\par Pausa.
\begin{oss}[name=Differenziale applicato ai versori cartesiani,label=thm:oss:DiffApplVersCart]
Se $f$ \`e differenziabile in $P$, esistono le derivate parziali $\fr{\pd f}{\pd x_i}$ per ogni $i$, ed in pi\`u:
$$\fr{\pd f}{\pd x_i}=df(P)(e_i)=df(P)(0,\dots,\us{$1$}{\scb{0.7}[0.7]{$i$-simo posto}},\dots,0).$$
\end{oss}

\ssect{Gradiente e differenziale, differenziabilit\`a delle proiezioni, espressione del differenziale}
\begin{defi}[name=Vettore Gradiente,label=thm:defi:Grad]
Si chiama \emph{vettore gradiente di $f$ in $P$} il vettore
$$\grad f(P)=\(\fr{\pd f}{\pd x_1}(P),\fr{\pd f}{\pd x_2}(P),\dots,\fr{\pd f}{\pd x_n}(P)\).$$
\end{defi}
\begin{propo}[name=Formula del gradiente - dim,label=thm:propo:FormGrad]
Sia $\Wg\sbse\R^n$ aperto, $P\in\Wg$ e $f:\Wg\to\R$ differenziabile in $P$. Allora:
\ben
\item $$df(P)(H)=(\grad f(P),H),$$
ove $(\,\,,\,\,)$ \`e il prodotto scalare canonico;
\item $\VA\ng\in\R^n$ versore
$$\fr{\pd f}{\pd\ng}(P)=\(\grad f(P),\ng\).$$
\een
\end{propo}
Dim.
\par Per ogni vettore $H\in\R^n$ si ha $H=(h_1,h_2,\dots,h_n)$. Ma allora
$$df(P)(H)=df(P)(h_1e_1+h_2e_2\+h_ne_n)=$$
$$=h_1df(P)(e_1)\+h_ndf(P)(e_n)=\dsum_{i=1}^n\fr{\pd f}{\pd x_i}(P)h_i=\(\grad f(P),H\).$$
Sia $\sng$ un versore di $\R^n$. Per prima\fn{Combinando la Proposizione 13 per il primo passaggio con la 14 per il secondo.} ho che
$$\fr{\pd f}{\pd\ng}(P)=df(P)(\ng)=\(\grad f(P),\ng\).$$
\begin{oss}[name=Differenziabilità delle proiezioni - dim,label=thm:oss:DiffProiezz]
In $\(\R^n\)^*$ consideriamo la base canonica $\{e^1,e^2,\dots,e^n\}$, ove
$$e^k(x_1,x_2,\dots,x_n)=x_k.$$
Per ogni $k=1\dots n$ considero $\pg_k:\R^n\to\R$ definita da
$$\pg_k(x_1,x_2,\dots,x_n)=x_k.$$
Si ha che $\pg_k$ \`e differenziabile in ogni $P=(x_1,x_2,\dots,x_n)$.
\end{oss}
Controlliamolo. Prendiamo
$$\pg_k(P+H)-\pg_k(P)$$
e verifichiamo che si possa scrivere come una funzione lineare pi\`u un $o(\ldb H\rdb)$.
$$\pg_k(P+H)-\pg_k(P)=x_k+h_k-x_k=h_k=e^k(H)+0=e^k(H)+o(\ldb H\rdb).$$
Quindi abbiamo che:
$$d\pg_k(P)=e^k(H)=e^k.$$
Questo spiega perché spesso si indica
$$e^k=dx_k.$$
\begin{propo}[name=Il Differenziale in termini delle derivate parziali - dim,label=thm:propo:DiffTermDerivParz]
Se \,\,\,\, $f:\Wg\to\R$, $\Wg\sbse\R^n$ aperto, $P\in\Wg$ e $f$ differenziabile in $P$, abbiamo
$$df(P)=\dsum_{i=1}^n\fr{\pd f}{\pd x_i}dx_i.$$
\end{propo}
Dim.
\par Sia $H=(h_1,h_2,\dots,h_n)\in\R^n$. Abbiamo
$$df(P)(H)=\(\grad f(P),H\)=\dsum_{i=1}^n\fr{\pd f}{\pd x_i}h_i=\dsum_{i=1}^n\fr{\pd f}{\pd x_i}dx_i(H).$$

\ssect{Teorema del differenziale totale}
\begin{teor}[name=del Differenziale Totale - dim,label=thm:teor:DiffTot]
Siano $\Wg\sbse\R^n$ aperto, $f:\Wg\to\R$ e $P\in\Wg$. Se in un intorno di $P$ esistono tutte le derivate parziali di $f$ e sono continue in $P$, allora la funzione \`e differenziabile.
\end{teor}
Dim.
\par Ci limitiamo ad $n=2$. Non c'\`e niente di sostanzialmente diverso, diciamo, nel caso generale. Fissiamo $P=(x_0,y_0)$ e consideriamo l\6incremento di $f$:
$$f(x,y)-f(x_0,y_0).$$
Sicuramente possiamo scrivere:
$$f(x,y)-f(x_0,y_0)=f(x,y)-f(x,y_0)+f(x,y_0)-f(x_0,y_0).$$
Consideriamo la funzione $g(x)$ ottenuta congelando nella $f$ la seconda variabile:
$$f(x)=f(x,y_0),$$
che non \`e che la restrizione di $f$ alla direzione fissata $y=y_0$. $g$ \`e ben definita in un intorno di $x_0$, e in pi\`u \`e derivabile e la derivata \`e la derivata parziale di $f$, ben definita e continua. Quindi per il teorema di Lagrange del valor medio:
$$g(x)-g(x_0)=g^\1(\jg_1(x))(x-x_0)\qquad\jg_1(x)\,\,compreso\,\,tra\,\,x\,\,e\,\,x_0.$$
In particolare $\jg_1(x)\to x_0$ quando $x\to x_0$, uniformemente in $y$. Quindi posso riscrivere:
$$f(x,y_0)-f(x_0,y_0)=\fr{\pd f}{\pd x}(\jg_1(x),y_0)(x-x_0).$$
Analogamente si ottiene:
$$f(x,y)-f(x,y_0)=\fr{\pd f}{\pd y}(x,\jg_2(y))(y-y_0)\qquad\jg_2(y)\,\,compreso\,\,tra\,\,y\,\,e\,\,y_0.$$
In particolare $\jg_2(y)\to y_0$ quando $y\to y_0$, uniformemente in $x$.
In tutto quindi:
$$f(x,y)-f(x_0,y_0)=\fr{\pd f}{\pd y}(x,\jg_2(y))(y-y_0)+\fr{\pd f}{\pd x}(\jg_1(x),y_0)(x-x_0).$$
Per dimostrare la differenziabilit\`a dovrei provare che
$$f(x,y)-f(x_0,y_0)-\grad f(x_0,y_0)\per(x-x_0,y-y_0)=o(\ldb(x-x_0,y-y_0)\rdb).$$
Grazie al conto sopra e all\6espansione del prodotto scalare otteniamo:
$$f(x,y)-f(x_0,y_0)-\grad f(x_0,y_0)\per(x-x_0,y-y_0)=\fr{\pd f}{\pd y}(x,\jg_2(y))(y-y_0)+$$
$$+\fr{\pd f}{\pd x}(\jg_1(x),y_0)(x-x_0)-\(\fr{\pd f}{\pd y}(x_0,y_0)(y-y_0)+\fr{\pd f}{\pd x}(x_0,y_0)(x-x_0)\)=$$
$$=(x-x_0)\(\fr{\pd f}{\pd x}(\jg_1(x),y_0)-\fr{\pd f}{\pd y}(x_0,y_0)\)+(y-y_0)\(\fr{\pd f}{\pd y}(x,\jg_2(y))-\right.$$
$$\left.+\fr{\pd f}{\pd y}(x_0,y_0)\).$$
Per la continuit\`a delle derivate parziali il tutto tende a 0. Inoltre i due fattori davanti alle derivate parziali non superano $\ldb(x-x_0,y-y_0)\rdb$, quindi dividendo per quella norma ottengo ancora un infinitesimo\fn{Infatti la prima parentesi risulter\`a moltiplicata per $\fr{x-x_0}{\ldb(x-x_0,y-y_0)\rdb}\leq1$, e la seconda per $\fr{y-y_0}{\ldb(x-x_0,y-y_0)\rdb}\leq1$, quindi per due quantit\`a che comunque sono limitate, e dunque i due pezzi risultano il prodotto di quantit\`a limitate per infinitesimi, e dunque ancora infinitesimi.}, provando la differenziabilit\`a.

\sect{Informazioni di servizio}
\bi
\item Compitini: 3/12, 5/2 in concomitanza col primo appello scritto.
\item Scritto: 5/2 14/2, Orali: ~14/2, 27/2, corrispondenti.
\item Chi fa i compitini sceglie la data.
\ei

\sect{Esercizi lasciati allo studente oggi}
\begin{esecasa}
Verificare che, per $f:\Wg\to\R$, $\Wg\sbse\R^n$ aperto e $P\in\R^n$, se $n=1$ $f$ \`e differenziabile $\sse$ \`e derivabile.
\end{esecasa}
\ben
\item $\implies$. Noi sappiamo allora che
$$\dlim_{t\to0}\fr{f(x+t)-f(x)-df(x)(t)}{t}=0.$$
Una funzione lineare monovariata \`e necessariamente una funzione del tipo
$$g(x)=ax.$$
Quindi possiamo riscrivere l\6eguaglianza di sopra come:
$$\dlim_{t\to0}\fr{f(x+t)-f(x)-a(x)t}{t}=0.$$
Ovvero:
$$\dlim_{t\to0}\(\fr{f(x+t)-f(x)}{t}-a(x)\)=0.$$
Questo vuol dire che:
$$\fr{f(x+t)-f(x)}{t}-a(x)=o(1),$$
ove l'$o$ piccolo \`e tale per $t\to0$. Questo implica che:
$$\fr{f(x+t)-f(x)}{t}=a(x)+o(1),$$
e passando al limite si ha che:
$$\dlim_{t\to0}\fr{f(x_t)-f(x)}{t}=\fr{df}{dx}=a(x).$$
Quindi il differenziale \`e la derivata in $x$ moltiplicata per $t$.
\item $\slse$. Sia ora $f$ derivabile. Ho quindi che:
$$\dlim_{t\to0}\fr{f(x+t)-f(x)}{t}=a(x).$$
Per quanto visto sopra, se $f$ \`e differenziabile si ha che:
$$df(x)(t)=a(x)t,$$
quindi proviamo che quello \`e il differenziale di $f$. Certamente potr\`o moltiplicare a destra per $\fr{t}{t}=1$, ottenendo:
$$\dlim_{t\to0}\fr{f(x+t)-f(x)}{t}=\fr{a(x)t}{t}\qquad\VA t,$$
e passando al limite otterr\`o:
$$\dlim_{t\to0}\fr{f(x+t)-f(x)}{t}=\dlim_{t\to0}\fr{a(x)t}{t}.$$
Portando a sinistra e usando il teorema del limite della differenza al contrario ottengo:
$$\dlim_{t\to0}\fr{f(x+t)-f(x)-a(x)t}{t}=0,$$
ossia la funzione \`e differenziabile.
\een
\begin{esecasa}
Provare che il differenziale di $f$ in $P$, se esiste, \`e unico.
\end{esecasa}
Supponiamo per assurdo che esistano due funzioni, $d_1f(P)$ e $d_2f(P)$, che soddisfino:
$$\begin{sistema}
\dlim_{t\to0}\fr{f(x+t)-f(x)-d_1f(x)(t)}{t}=0\\
\dlim_{t\to0}\fr{f(x+t)-f(x)-d_2f(x)(t)}{t}=0
\end{sistema}.$$
Sottraendo quelle due equazioni otteniamo:
$$\dlim_{t\to0}\fr{f(x+t)-f(x)-d_1f(x)(t)}{t}-\dlim_{t\to0}\fr{f(x+t)-f(x)-d_2f(x)(t)}{t}=0,$$
ossia:
$$\dlim_{t\to0}\(\fr{f(x+t)-f(x)-d_1f(x)(t)}{t}-\fr{f(x+t)-f(x)-d_2f(x)(t)}{t}\)=$$
$$=\dlim_{t\to0}\fr{d_2f(x)(t)-d_1f(x)(t)}{t}=0.$$
Per avere speranza che questa cosa tenda a $0$, bisogna che il numeratore tenda a $0$, altrimenti $\fr{finito}{0}\to\8$. Quindi:
$$\dlim_{t\to0}\(d_2f(x)(t)-d_1f(x)(t)\)=0.$$
Applicando il teorema del limite della differenza e portando a destra il secondo limite otteniamo:
$$\dlim_{t\to0}d_2f(x)(t)=\dlim_{t\to0}d_1f(x)(t).$$
Tuttavia questa cosa \`e purtroppo ovvia, poiché per la continuit\`a del differenziale dimostrata sopra quei limiti sono i valori in $0$ dei due differenziali, che essendo funzioni lineari valgono entrambe $0$ in $t=0$. E comunque riprendendo l\6eguaglianza dall\6esercizio sopra l\6ho presa monovariata. Non saprei come fare: se tengo i limiti della definizione di differenziale il risultato \`e quello visto sopra, un\6ovviet\`a, e non ho altro, salvo dire che il differenziale l\6abbiamo espresso mediante le derivate parziali che sono uniche. 


\chapter{Esercizi domenicali sulle successioni di funzioni}

\begin{esecasa}
Si studino, al variare del parametro $\ag\in\R$, la convergenza puntuale e uniforme della successioni di funzioni
$$f_n:[0,1]\to\R,\qquad f_n(x)=n^\ag xe^{-nx}.$$
\end{esecasa}
Mi sembra di riconoscerlo da lezione. Comunque lo faccio, cos\`i se l\6abbiamo fatto vedo se sono capace di ripeterlo, e altrimenti \`e un esercizio. Dato che $x$ varia tra $0$ e $1$, la serie \`e a termini positivi. Inoltre l\6esponenziale tende a 0. \`E quindi chiaro che per $\ag<0$, poiché in quei casi anche $n^\ag\to0$, la convergenza puntuale sar\`a a $0$ per ogni $x$. Inoltre l\6esponenziale \`e un infinito superiore di qualsiasi potenza di $n$, quindi per $\ag>0$ riscrivo
$$f_n(x)=\fr{n^\ag x}{e^{nx}}$$
e concludo che la cosa tende a $0$. Quindi puntualmente:
$$\VA x\in[0,1],\VA\ag\in\R,\qquad f_n(x)\to0.$$
Quindi bisogner\`a vedere se $f_n$ converge uniformemente alla funzione identicamente nulla. Quindi studiamo cos\6'è il numero
$$\dsup_{x\in[0,1]}n^\ag xe^{-nx}.$$
Direi che la cosa più semplice qua è derivare $f_n$:
$$\fr{df_n}{dx}=n^\ag e^{-nx}-nn^{\ag}xe^{-nx}=n^\ag e^{-nx}\(1-nx\).$$
L\6unico 0 \`e in $x=\fr{1}{n}$. La derivata \`e negativa per $x>\fr{1}{n}$, e positiva per $x<\fr{1}{n}$, quindi $\fr{1}{n}$ \`e un massimo. Dunque:
$$\dsup_{x\in[0,1]}n^\ag xe^{-nx}=n^\ag\fr{1}{n}e^{-n\fr{1}{n}}=\fr{n^{\ag-1}}{e}.$$
Questa cosa, che poi \`e la distanza uniforme tra $f_n$ e la funzione nulla, poiché
$$d(f_n,0)=\dsup_{x\in[0,1]}\lb f_n(x)-0\rb=\dsup_{x\in[0,1]}\lb f_n(x)\rb=\dsup_{x\in[0,1]}f_n(x)$$
in quanto $f_n(x)>0\qquad\VA x\in[0,1]$, tende a $0$ per $\ag-1<0\implies\ag<1$, \`e costantemente $\fr{1}{e}$ per $\ag=1$ e tende ad infinito per $\ag>1$. Quindi la convergenza \`e uniforme in tutto $[0,1]$ per $\ag<1$. Per $\ag\geq1$ non c'è convergenza uniforme in tutto $[0,1]$. Se restringiamo l\6insieme di convergenza è possibile trovare \cu in ogni $[\dg,1]$, poiché per $n$ sufficientemente grande $\fr{1}{n}<\dg$ e quindi $\dsup_{x\in[0,1]}f_n(x)=f_n(\dg)\to0$.
\begin{esecasa}
Si studino la convergenza puntuale e uniforme delle seguenti successioni di funzioni:
\bde
\item[i)] $f_n:[0,1]\to\R,\qquad f_n(x)=x^n\sin\(1-x\)$,
\item[ii)] $f_n:\R\ssm\{1\}\to\R,\qquad f_n(x)=4^{-n}\(\log\lb x-1\rb\)^{n+1}$,
\item[iii)] $f_n:[0,2\pg]\to\R,\qquad f_n(x)=\sistbis{e^{\dsi{n\log\(1-\cos\fr{x}{n}\)}}}{x\in(0,2\pg]}{0}{x=0}$,
\item[iv)] $f_n:\[0,\fr{\pg}{2}\]\to\R,\qquad f_n(x)=x^4\(\sin x\)^n$,
\item[v)] $f_n:\R\to\R,\qquad f_n(x)=\fr{e^{\dsi{\fr{1}{n}\(\cos\(nx\)-1\)}}}{n}$.
\ede
\end{esecasa}
\ben
\item L\6ho gi\`a fatta, si vedano gli esercizi fatti con MM del capitolo appena prima la lezione del 14.
\item La seconda. Puntualmente di sicuro quando $-1<\log\lb x-1\rb<1$ la cosa \`e prodotto di due infinitesimi e quindi tende a 0. Sciogliamo il modulo:
$$\begin{sistema}
\log(x-1)>-1 \\
\log(x-1)<1 \\
x>1
\end{sistema}
\cup
\begin{sistema}
\log(1-x)>-1 \\
\log(1-x)<1 \\
x<1
\end{sistema}
\implies
\begin{sistema}
x-1>\fr{1}{e} \\
x-1<e \\
x>1
\end{sistema}
\cup
\begin{sistema}
1-x>\fr{1}{e} \\
1-x<e \\
x<1
\end{sistema}
\implies$$
$$\implies x\in\(1+\fr{1}{e},1+e\)\cup\(1-e,1-\fr{1}{e}\).$$
Al di fuori di quello riscriviamo:
$$f_n(x)=\log\lb x-1\rb\(\fr{4}{\log\lb x-1\rb}\)^{-n},$$
operazione lecita perché il caso $\log\lb x-1\rb=0$ (cio\`e $\lb x-1\rb=1\implies x=1\vel x=0$) fa parte dei casi sopra discussi dove la cosa tende a $0$. A pensarci bene forse viene più comodo scrivere:
$$f_n(x)=\log\lb x-1\rb\(\fr{\log\lb x-1\rb}{4}\)^n.$$
Questa cosa tende a $0$ per
$$\lb\fr{\log\lb x-1\rb}{4}\rb<1,$$
\`e costantemente 1 per
$$\fr{\log\lb x-1\rb}{4}=1,$$
\`e $(-1)^n$ per
$$\fr{\log\lb x-1\rb}{4}=-1,$$
diverge a $+\8$ per
$$\fr{\log\lb x-1\rb}{4}>1,$$
oscilla divergendo in modulo per
$$\fr{\log\lb x-1\rb}{4}<-1.$$
Quindi la convergenza puntuale pu\`o esserci per
$$\lb\fr{\log\lb x-1\rb}{4}\rb<1\vel\fr{\log\lb x-1\rb}{4}=1.$$
Analizziamo queste condizioni. Le riscriviamo come:
$$-1<\fr{\log\lb x-1\rb}{4}<1\vel\log\lb x-1\rb=4\implies-4<\log\lb x-1\rb<4\vel\lb x-1\rb=e^4\implies$$
$$\implies\fr{1}{e^4}<\lb x-1\rb<e^4\vel x=1+e^4\vel x=1-e^4\implies$$
$$\implies\fr{1}{e^4}+1<x<1+e^4\vel\fr{1}{e^4}<1-x<e^4\vel x=1+e^4\vel x=1-e^4\implies$$
$$\implies\fr{1}{e^4}+1<x<1+e^4\vel1-\fr{1}{e^4}>x>1-e^4\vel x=1+e^4\vel x=1-e^4,$$
quindi la convergenza puntuale \`e in
$$\(1+\fr{1}{e^4},1+e^4\]\cup\[1-e^4,1-\fr{1}{e^4}\)$$
e il limite puntuale \`e ivi:
$$f(x)=\sistbis{0}{x\neq1\pm e^4}{\log\lb1\pm e^4-1\rb=4}{x=1\pm e^4}.$$
In questo insieme di convergenza puntuale, le funzioni $f_n$ sono tutte continue, quindi poiché il limite puntuale ha un salto in $1\pm e^4$, sicuramente non c'è convergenza uniforme in tutto questo insieme. Se per\`o considero un qualsiasi $\dg$, presumibilmente avr\`o convergenza uniforme in tutto l\6insieme
$$\(1+\fr{1}{e^4},1+e^4-\dg\]\cup\[1-e^4-\dg,1-\fr{1}{e^4}\),$$
per analogia con il caso dei $t^n$. In questo caso infatti il $\dsup$ del modulo della funzione nell\6insieme di convergenza puntuale \`e il valore dove la cosa elevata alla $n$ nella seconda riscrittura vale $1$, cio\`e gli estremi, e rimane sempre tale al variare di $n$, mentre se elimino gli estremi posso verificare che la funzione cresce andando verso gli estremi incriminati e quindi il $\dsup$ \`e il suo valore alla $x$ pi\`u vicina ad essi, quindi tende a $0$ per la convergenza puntuale.
\item Studiamo la convergenza puntuale. Per $x=0$ ovviamente converge a $0$, essendo costante. Per $x>0$ vediamo di capire cosa succede a $e^{\dsi{n\log\(1-\cos\fr{x}{n}\)}}$. Per $n\to+\8$, la cosa tende a:
$$e^{+\8\log\(1-1^-\)}=e^{+\8\log\(0^+\)}=e^{+\8\per-\8}=e^{-\8}=0^+,$$
quindi converge puntualmente alla funzione nulla per ogni $x\in(0,2\pg]$. Fra l\6altro c'è da notare che in $2\pg$ non \`e definita per $n=1$. Quindi avrebbero dovuto definirla $0$ in $x=0$ e in $x=2\pg$ per $n=1$, ossia fare un NB su questa cosa. Comunque il limite \`e sempre la funzione nulla. Purtroppo la continuit\`a delle funzioni $f_n$ non ci aiuta sulla convergenza uniforme, dato che anche il limite puntuale \`e continuo. Diamo allora un\6occhiata alla derivata, anche se sembra un po\6 complicata:
$$\fr{d}{dx}\(e^{\dsi{n\log\(1-\cos\fr{x}{n}\)}}\)=e^{\dsi{n\log\(1-\cos\fr{x}{n}\)}}\fr{d}{dx}\(n\log\(1-\cos\fr{x}{n}\)\)=ne^{\dsi{n\log\(1-\cos\fr{x}{n}\)}}\per$$
$$\per\fr{1}{1-\cos\fr{x}{n}}\fr{d}{dx}\(1-\cos\fr{x}{n}\)=-ne^{\dsi{n\log\(1-\cos\fr{x}{n}\)}}\fr{1}{1-\cos\fr{x}{n}}\(-\sin\fr{x}{n}\)\fr{1}{n}=$$
$$e^{\dsi{n\log\(1-\cos\fr{x}{n}\)}}\fr{\sin\fr{x}{n}}{1-\cos\fr{x}{n}}.$$
Gli zeri sono in $0,\pg,2\pg$. Il segno coincide con quello del seno a numeratore, essendo sia il coseno che l\6esponenziale sempre positivi. Il che significa che la derivata è positiva fino a $\pg$ e negativa da lì in poi, quindi $\pg$ \`e un massimo. Di conseguenza il $\dsup_{x\in(0,2\pg]}e^{\dsi{n\log\(1-\cos\fr{x}{n}\)}}$, che poi \`e la distanza della funzione dal limite puntuale perché tale limite è sempre nullo e $f_n$ sempre positiva, non è altro che $f_n(\pg)$, che tende a $0$ per la convergenza puntuale.
\item Puntualmente $x^4\(\sin x\)^n$ tende sempre a $0$ tranne in $x=\fr{\pg}{2}$, ove \`e costantemente $x^4$. Quindi il limite puntuale \`e:
$$f(x)=\sistbis{0}{x\neq\fr{\pg}{2}}{\(\fr{\pg}{2}\)^4}{x=\fr{\pg}{2}}.$$
\`E quindi evidente che la convergenza uniforme pu\`o esserci solo in un sottoinsieme di $\[0,\fr{\pg}{2}\]$, poiché in tutto l\6intervallo il limite puntuale \`e discontinuo mentre $f_n$ \`e continua. Guardiamo ora la derivata:
$$\fr{d}{dx}\(x^4\(\sin x\)^n\)=4x^3\(\sin x\)^n+x^4n\(\sin x\)^{n-1}\cos x=x^3\(\sin x\)^{n-1}\per$$
$$\per\(4\sin x+nx\cos x\).$$
I suoi zeri, a parte $x=0$ e gli zeri del seno che nel dominio di $f_n$ sono solo $0$, sono quelli per cui $\tan x=-\fr{nx}{4}$. Dato che $-\fr{nx}{4}$ \`e sempre negativa nel dominio delle $f_n$ e $\tan x$ sempre positiva, quello zero della derivata \`e sempre fuori dal dominio. Inoltre, nel dominio delle $f_n$, a parte in $0$ dove vale $0$, la derivata \`e sempre positiva: lo sono $x^3$, il seno e anche la parentesi, somma di termini positivi. Questo significa che la funzione è sempre crescente, quindi se mi restringo a $\[0,1-\dg\]$, $\dsup_{x\in\[0,1-\dg\]}f_n(x)=f_n(1-\dg)$, e questo vale $\VA\dg,\VA n$. Ma quell\6$f_n(1-\dg)$ tende a $0$ per la convergenza puntuale, e rappresenta la distanza tra $f_n$ e il limite puntuale, essendo $f_n$ sempre positiva. Quindi $\VA\dg$ si ha che $f_n(x)$ converge uniformemente a $0$ in $\[0,1-\dg\]$.
\item $\fr{e^{\dsi{\fr{1}{n}\(\cos\(nx\)-1\)}}}{n}$ \`e il prodotto dell\6infinitesimo $\fr{1}{n}$ per quell\6esponenziale, il cui esponente \`e il prodotto dell\6infinitesimo $\fr{1}{n}$ per la quantit\`a limitata e sempre negativa tra parentesi. Questo implica che puntualmente $f_n(x)\to0$, $\VA x$. In effetti, essendo l\6esponente dell\6esponenziale sempre negativo, $f_n(x)\leq\fr{1}{n}$ per ogni $x\in\R$, quindi:
$$\dsup_{x\in\R}\lb\fr{e^{\dsi{\fr{1}{n}\(\cos\(nx\)-1\)}}}{n}-0\rb=\dsup_{x\in\R}\lb\fr{e^{\dsi{\fr{1}{n}\(\cos\(nx\)-1\)}}}{n}\rb=\dsup_{x\in\R}\fr{e^{\dsi{\fr{1}{n}\(\cos\(nx\)-1\)}}}{n}\leq\fr{1}{n}\to0,$$
quindi c'è convergenza uniforme in tutto $\R$.
\een
\begin{esecasa}
Si discutano la convergenza puntuale e uniforme della successione di funzioni
$$f_n:\[0,\fr{\pg}{4}\]\to\R,\qquad f_n(x)=n\fr{\sin x}{\cos^3x}\(1-\tan^2x\)^n,$$
e si calcoli il limite
$$\dlim_{n\to+\8}\dint_0^{\dsi{\fr{\pg}{4}}}f_n(x)dx.$$
\end{esecasa}
Puntualmente sicuramente in $0$ tende a $0$ perché \`e costantemente $0$. Altrove abbiamo $n$ per qualcosa di limitato per $a(x)^n$ ove $a(x)\leq1$ per ogni $x$ poiché in tutto $\R$, e quindi in tutto $\[0,\fr{\pg}{4}\]$ vale $\tan^2x>0$. Chiamiamo $b(x)=\fr{1}{1-\tan^2x}$ e $c(x)=\fr{\sin x}{\cos^3x}$ e riscriviamo la cosa come:
$$c(x)n\fr{1}{b(x)^n}.$$
$c(x)$ possiamo trascurarlo in quanto, fissato $x$, \`e un coefficiente, ed \`e sempre limitato, $\VA x$ nel dominio di $f_n$. $b(x)\geq1$ in tutto il dominio di $f_n$, e noi sappiamo che un esponenziale \`e un infinito di ordine superiore a $n$, quindi se $b(x)>1$ la cosa tende a $0$. Se invece $b(x)=1$ abbiamo problemi. Tuttavia $b(x)=1$ solo per $x=0$, dove c'è il $c(x)$ che vale $0$ e ripristina il limite nullo. Quindi il limite puntuale è la funzione nulla. Ancora una volta la distanza uniforme tra $f_n$ e il limite puntuale si riduce a $\dsup_{\[0,\dsi{\fr{\pg}{4}}\]}f_n(x)$.
$$n\fr{\sin x}{\cos^3x}\(1-\tan^2x\)^n\leq n\(1-\tan^2x\)^n\per\dsup_{\[0,\fr{\pg}{4}\]}\fr{\sin x}{\cos^3x}.$$
Il $\dsup$ a destra è $2$, perché $\fr{\sin x}{\cos^3x}$ \`e sempre crescente in quell\6intervallo. Verifichiamolo:
$$\fr{d}{dx}\(\fr{\sin x}{\cos^3x}\)=\fr{\cos x}{\cos^3x}-\fr{\sin x}{\cos^6x}\per\(-\sin x\)=$$
$$=\fr{1}{\cos^2x}+\fr{\sin^2x}{\cos^6x}=\fr{1}{\cos^2x}\(1+\fr{\sin^2x}{\cos^4x}\),$$
che è il prodotto di due termini positivi e quindi è sempre positiva dove la funzione è continua, e quindi in tutto il dominio di $f_n$. Quindi il $\dsup$ \`e:
$$\fr{\sin\fr{\pg}{4}}{\cos^3\fr{\pg}{4}}=\fr{\fr{1}{\rad{2}}}{\(\fr{1}{\rad{2}}\)^3}=\fr{2\rad{2}}{\rad{2}}=2.$$
Quindi sicuramente:
$$\dsup_{\[0,\dsi{\fr{\pg}{4}}\]}f_n(x)\leq\dsup_{\[0,\dsi{\fr{\pg}{4}}\]}\[n\(1-\tan^2x\)^n\].$$
Diventa così più abbordabile la derivata:
$$\fr{d}{dx}\[n\(1-\tan^2x\)^n\]=n^2\(1-\tan^2x\)^{n-1}\per\(-2\tan x\)\per\(1+\tan^2x\).$$
Questa cosa \`e sempre negativa, quindi il $\dsup$ \`e il valore in $0$, che per\`o tende ad $\8$. Tuttavia se restringiamo il dominio a $\[\dg,\fr{\pg}{4}\]$, qualunque sia $\dg$ so che il $\dsup$ \`e il valore in $\dg$, che tende a $0$ per la convergenza puntuale di questa cosa, che converge a $0$ tranne in $0$ dove tende a $+\8$. Effettivamente facendo un po\6 di grafici si nota che il $\dsup$ (che \`e un massimo) si alza sempre di pi\`u insieme a $n$, ma si sposta verso $0$, sicché dopo un po\6 tutto tende a $0$:
\par\includegraphics[width=11cm]{EffeEnneSchifosa.jpg}\hsp{500cm}\whitea\hsp{1cm}
Quindi mi pare corretto concludere che la successione non converge uniformemente in $\[0,\fr{\pg}{4}\]$. Tuttavia guardando il grafico mi sembra di vedere che l\6integrale tenda a $0$. Sicuramente in ogni $\[\dg,\fr{\pg}{4}\]$, data la convergenza uniforme, quell\6integrale tende a $0$ che \`e l\6integrale del limite uniforme. Lo $0$ però è un problema non da poco. Calcolare la primitiva di $f_n$ è impensabile, e altre strade non ne ho, perché senza la convergenza uniforme non so sistemare quel limite di integrale. A guardarlo meglio forse posso veramente primitivare. Infatti:
$$f_n(x)=n\fr{\sin x}{\cos^3x}\(1-\tan^2x\)^n=n\fr{\tan x}{\cos^2x}\(1-\tan^2x\)^n=$$
$$=n\tan x\(1+\tan^2x\)\(1-\tan^2x\)^n=n\(-\fr{1}{2}\fr{d}{d\(\tan x\)}\(-\tan^2x\)\)\fr{d\(\tan x\)}{dx}\(1-\tan^2x\)^n=$$
$$=-\fr{1}{2}n\sq{\fr{d}{dx}\(-\tan^2x\)}\(1-\tan^2x\)^n,$$
quindi la primitiva è:
$$\dint f_n(x)dx=-\fr{1}{2}\fr{n}{n+1}\(1-\tan^2x\)^{n+1}+k.$$
Quindi:
$$\dint_0^{\dsi{\fr{\pg}{4}}}f_n(x)dx=-\fr{1}{2}\fr{n}{n+1}\(1-\tan^2x\)^{n+1}|_0^{\dsi{\fr{\pg}{4}}}=$$
$$=-\fr{1}{2}\fr{n}{n+1}\(1-\tan^2\fr{\pg}{4}\)^{n+1}-\[-\fr{1}{2}\fr{n}{n+1}\(1-\tan^20\)^{n+1}\]=$$
$$=-\fr{1}{2}\fr{n}{n+1}\(1-1\)^{n+1}+\fr{1}{2}\fr{n}{n+1}\(1-0\)^{n+1}=\fr{1}{2}\fr{n}{n+1}1^{n+1}\to\fr{1}{2},$$
quindi abbiamo calcolato il limite dell\6integrale come limite di una successione grazie al calcolo della primitiva di $f_n$ che era facile perché evidentemente $f_n$ è stata studiata apposta. Questo esercizio probabilmente serve per farci osservare che la convergenza puntuale non basta per portare sotto integrale il segno di limite.
\begin{esecasa}
Sia $f_n:[0,1]\to\R$ una successione di funzioni continue su $[0,1]$ convergente uniformemente ad una funzione $f:[0,1]\to\R$. Si dimostri che se $f_n([0,1])=[0,1]$ allora $f([0,1])=[0, 1]$. Si può trarre la stessa conclusione nel caso in cui la convergenza sia solo puntuale?
\end{esecasa}
Allora prima di tutto mi libero della seconda parte, più semplice. Infatti per quella basta l\6esempio della successione
$$f_n(x)=x^n:$$
questa converge puntualmente a
$$f(x)=\sistbis{0}{x\neq1}{1}{x=1},$$
per ogni $n$ si ha $f_n([0,1])=[0,1]$ ma
$$f([0,1])=\{0,1\}\neq[0,1].$$
Dato che il limite uniforme di funzioni continue \`e continuo, nel caso che $f_n$ converga uniformemente mi basta provare che $\3\,x,y\in[0,1]:f(x)=0\et f(y)=1$ e avrò provato che $f([0,1])=[0,1]$. Supponiamo per assurdo che $\nex y\in[0,1]:f(y)=1$. In questo caso non è possibile che
$$\dsup_{[0,1]}\lb f(x)-f_n(x)\rb\to0.$$
Infatti se così fosse per $n$ sufficientemente grande quel $\dsup$ è inferiore a qualsiasi $\dg$, e quindi per $n$ sufficientemente grande dove una qualsiasi funzione va sopra a $1-\dg$ $f$ deve andare oltre $1-2\dg$, altrimenti per qualche $x$ ho una differenza superiore a $\dg$, contro l\6ipotesi di aver scelto $n$ sufficientemente grande per avere il $\dsup$ sopra inferiore a $\dg$. Per l\6arbitrariet\`a di $\dg$ si conclude che anche $f$ deve raggiungere $1$, poiché deve almeno averlo come $\dsup$ ed essendo continua e valutandola noi su un compatto come $[0,1]$ il $\dsup$ è necessariamente un massimo. Quindi se $f$ non raggiunge mai $1$, quel $\dsup$ non tende a $0$. Ma che quel $\dsup$ tenda a $0$ \`e proprio la definizione di convergenza uniforme, quindi negando che assuma valore $1$ da qualche parte ho negato la \cu, assurdo. Analogamente si conclude che ci deve essere un $x$ per cui $f(x)=0$. Quindi $\{0,1\}\sbse f([0,1])$, e per la continuit\`a di $f$ ho che $[0,1]\sbse f([0,1])$. D\6altronde con ragionamenti analoghi a sopra si conclude che $f([0,1])\sbse[0,1]$, perché altrimenti anche le $f_n$ per $n$ sufficientemente grande dovrebbero superare $1$ o andare sotto $0$, cosa negata per ipotesi. Di conseguenza siamo arrivati alla tesi.
\begin{esecasa}
Si studino la convergenza puntuale ed uniforme della successione di funzioni $\{f_n\}_{n\geq1}$, $f_n\R^2\to\R$ definita come
$$f_n(x,y)=\sistbis{\fr{1}{2}-\fr{1}{2n^2}\rad{\(x-n\)^2+\(y-n\)^2}}{\(x-n\)^2+\(y-n\)^2\leq n^2}{0}{altrimenti}.$$
\end{esecasa}
Puntualmente dove vale $0$ tende a $0$, dove vale la condizione della prima riga guardiamo il secondo termine:
$$\fr{1}{2n^2}\rad{\(x-n\)^2+\(y-n\)^2}\leq\fr{1}{2n^2}\rad{n^2}=\fr{n}{2n^2}=\fr{1}{2n}\to0,$$
quindi il tutto tende a $\fr{1}{2}$. La condizione della prima riga significa dentro delle circonferenze tangenti agli assi e contenute nel I quadrante. Quindi fuori dal I quadrante il limite \`e 0. Nel I quadrante a occhio e croce nonostante le circonferenze si allarghino sempre di più per qualsiasi $(x,y)$ fissato $n_0$ abbastanza grande ho che $(x,y)$ sta sempre fuori dalla circonferenza per $n>n_0$, e quindi in definitiva questa successione converge puntualmente alla funzione identicamente nulla. Nel II, III e IV quadrante sicuramente la convergenza uniforme c'è perché la funzione è sempre identicamente nulla. Se aggiungiamo la parte compresa tra gli assi e una qualsiasi circonferenza proveniente dalla condizione della prima riga della definizione del sistema, la successione di funzioni è definitivamente identicamente nulla su questo insieme, quindi il sup del modulo della differenza tende a $0$ e la convergenza è uniforme. Se cerco di estendermi a tutto $\R$ potrei avere problemi. Dovrei far vedere che:
$$\dsup_{(x,y)\in\R^2}\lb f_n(x,y)-0\rb=\dsup_{(x,y)\in\R^2}f_n(x,y)\to0.$$
La rimozione del modulo è giustificata dal fatto che laddove prendo per $f_n$ la definizione della prima riga ho che il termine sottratto ad $\fr{1}{2}$ \`e inferiore a $\fr{1}{2n}\leq\fr{1}{2}$, e quindi la cosa \`e sempre non negativa. Questo però non è vero, perché man mano che aumento $n$ il sup tende a $\fr{1}{2}$, e non a $0$. Infatti tale $\dsup$ non è che $\fr{1}{2}-\fr{1}{2n}\rad{\(x-n\)^2+\(y-n\)^2}\geq\fr{1}{2}-\fr{n}{2n}=0$, quindi rimane costantemente $\leq0$ e non tende a $0$.
\begin{esecasa}
Si studino la convergenza puntuale e uniforme della successione di funzioni
$$f_n(x)=\dint_n^{nx}\rad[3]{t}e^{-t}dt,\qquad x\in\R.$$
\end{esecasa}
Innanzitutto diamo un\6occhiata al grafico di $\rad[3]{x}e^{-x}$:
\par\includegraphics[width=11cm]{SchifoIntegrale.jpg}\hsp{500cm}\whitea\hsp{1cm}
I limiti sono immediati. La monotonia la verifichiamo derivando:
$$\fr{d}{dx}\(\rad[3]{x}e^{-x}\)=\fr{1}{3}\rad[3]{x^2}e^{-x}-\rad[3]{x}e^{-x}=\rad[3]{x^2}e^{-x}\(\fr{1}{3}-x\),$$
quindi ha un massimo in $\fr{1}{3}$, cresce fino lì e decresce da lì in poi. A questo punto guardiamo un attimo la forma di $f_n$. È immediato accorgersi che $f_n(1)=0$ per ogni $n$, perché è sempre l\6integrale da $n$ a $n$ di quell\6integrando e quindi vale $0$ per l\6eguaglianza degli estremi di integrazione. Ora mi accingo a dimostrare che il limite puntuale non è definito per $x$ negative ed è:
$$f(x)=\sistbis{0}{x\neq0}{-\dint_0^{+\8}\rad[3]{x}e^{-x}dx}{x=0}.$$
Innanzitutto noto che per $x<0$ il limite \`e $\dint_{-\8}^{+\8}\rad[3]{x}e^{-x}dx=-\8$, e questo valore dell\6inte-grale \`e dovuto al limite di $g(x)=\rad[3]{x}e^{-x}$ a $-\8$. Diamo un\6occhiata a che cosa fa $f_n$ per $x\geq0$. In $0$ abbiamo:
$$f_n(0)=\dint_n^0g(x)dx=-\dint_0^ng(x)dx,$$
che chiaramente converge a:
$$f(0)=-\dint_0^{+\8}g(x)dx,$$
per definizione stessa di integrale improprio. Per $x>0$ sappiamo che la funzione $f_n$ \`e continua e ha derivata $g(x)$, che \`e sempre positiva poiché in $0$ vale $0$, a $+\8$ tende a $0$ e in mezzo ha solo un massimo. Di conseguenza $f_n$ \`e sempre crescente. Possiamo anche osservare che $\dlim_{x\to+\8}f_n(x)=\dint_n^{+\8}g(x)dx$. Quindi è facile provare la convergenza uniforme in $[0,+\8)$, in quanto ivi vediamo subito che, poiché quell\6integrale tende a $0$ perché man mano che aumento $n$ tolgo dei pezzi di area sottesa al grafico di $g$, $f_n(x)\to0$ per ogni $x$, e quindi la distanza dal candidato limite, essendo $f_n$ sempre positiva perché integrale di una funzione non negativa, \`e il $\dsup$ di $f_n$, che \`e il valore dell\6asintoto, che tende a $0$ come visto sopra. Ora vediamo in $(0,1)$ puntualmente. Riscriviamo $f_n$:
$$f_n(x)=\dint_n^{nx}g(x)dx=-\dint_{nx}^ng(x)dx.$$
Come ci aspettavamo dalla monotonia, questo è sempre un valore negativo, poiché $nx<n$ perché $x<1$. Posso certamente scrivere:
$$\dint_a^bg(x)dx<\dsup_{[a,b]}g(x)\per b,$$
perché questo equivale a riquadrare la funzione con il rettangolo di base $[0,b]$ e altezza $[0,a]$, che sicuramente contiene il grafico della funzione, poiché l\6altezza del rettangolo è quella massima raggiunta dalla funzione e la base è più grande dell\6intervallo di integrazione. Per $n$ abbastanza grande $nx>\fr{1}{3}$, quindi $g(x)$ \`e sempre decrescente, e dunque posso scrivere:
$$\dint_{nx}^ng(x)dx<g(nx)n,$$
ove $g(nx)$ ha sostituito il $\dsup$ di sopra perché $g(x)$ \`e decrescente. Pater docet. Scriviamo ora esplicitamente $g(nx)$:
$$g(nx)n=n\rad[3]{nx}e^{-nx}.$$
$x>0$, quindi $e^{-nx}\to0$, ed \`e un infinitesimo pi\`u potente degli infiniti al suo fianco, quindi questa cosa tende a 0. Dunque abbiamo la convergenza puntuale sopra preannunciata. A questo punto proviamo ad estendere la uniforme. Vediamo subito che, tanto per cambiare, lo $0$ causa problemi perché il candidato limite ha ivi un salto. Tuttavia ci vien da pensare che per ogni $\dg$ possa esserci \cu in $[\dg,+\8)$. In effetti la funzione $f_n$ risulta, come sopra visto, sempre crescente, quindi in $[1,+\8)$ il $\dsup$ \`e l\6asintoto, $\dint_n^{+\8}g(x)dx$, mentre in $[dg,1]$ il $\dsup$ \`e $\lb f_n(\dg)\rb$, quindi il $\dsup$ su tutto $[\dg,+\8)$ \`e il massimo tra queste due cose, entrambe infinitesime. Dunque il $\dsup$ tende a $0$, e il $\dsup$ in questione \`e la distanza dalla funzione identicamente nulla di $f_n(x)$, quindi abbiamo provato la \cu in $[\dg,+\8)$ per ogni $\dg\in\R^+\ssm\{0\}$.


\incee
\chapter{\eserc{21/10/2013}}

\sect{Ancora serie di funzioni}

\ssect{Riprendiamo un esercizio lasciato la scorsa volta e totalmente dimenticato}
\begin{eseese}
$$\dsum_{n=1}^{+\8}\fr{(-1)^{n+1}}{\rad{n}}e^{\dsi{-\fr{x^2}{n}}}.$$
Serie delle derivate:
$$\dsum_{n=1}^{+\8}\fr{(-1)^{n+1}}{n\rad{n}}2xe^{\dsi{-\fr{x^2}{n}}}.$$
\end{eseese}
Riproviamo con Leibniz. Verifichiamo che il modulo tende a $0$ ed \`e definitivamente decrescente.
$$g(x,y)=\fr{2xe^{\dsi{-\fr{x^2}{y}}}}{y\rad{y}}.$$
$$\fr{\pd g}{\pd y}=2xe^{\dsi{-\fr{x^2}{y}}}\(-\fr{3}{2}\fr{1}{y^2\rad{y}}+\fr{1}{y\rad{y}}\fr{x^2}{y^2}\)=\fr{2e^{\dsi{-\fr{x^2}{y}}}}{y^2\rad{y}}\(-\fr{3}{2}+\fr{x^2}{y}\).$$
Questa cosa \`e definitivamente negativa poiché $\fr{x^2}{y}$ tende a $0$ per $y\to+\8$ ed \`e quindi definitivamente minore di $\fr{3}{2}$, quindi la funzione \`e decrescente come richiesto da Leibniz. Tende a $0$ perché l\6esponenziale tende a $1$ e poi ho $n\rad{n}$ al denominatore. Tolto il $(-1)^n$ \`e a termini positivi. Quindi converge: c'\`e \cp\bk in $x>0$. Per $x<0$ scrivo $x=-\lb x\rb$, quindi devo studiare\fn{L\6uguaglianza \`e dovuta al fatto che il meno tirato fuori da $x=-\lb x\rb$ si combina con $(-1)^{n+1}$ e d\`a $(-1)^{n+2}=(-1)(-1)(-1)^n=(-1)^n$ perché $(-1)(-1)=1$.}
$$\dsum_{n=1}^{+\8}\fr{(-1)^{n+2}}{n\rad{n}}2\lb x\rb e^{\dsi{-\fr{x^2}{n}}}=\dsum_{n=1}^{+\8}\fr{(-1)^n}{n\rad{n}}2\lb x\rb e^{\dsi{-\fr{x^2}{n}}}.$$
E sostituisco $t=\lb x\rb$. Cos\`i i conti si ripetono identici. Quindi la serie delle derivate converge puntualmente su tutto $\R$. Per la uniforme ancora la stima del resto $n$-simo:
$$\lb S(x)-S_n(x)\rb\leq a_{n+1}.$$
Quindi:
$$\lb U(x)-\dsum_{k=1}^n\fr{(-1)^k}{k\rad{k}}2xe^{\dsi{-\fr{x^2}{k}}}\rb\leq\fr{2\lb x\rb e^{\dsi{-\fr{x^2}{n+1}}}}{(n+1)\rad{n+1}}=r(x).$$
Vediamo subito che
$$r(x)=r(-x),$$
quindi basta studiare $r$ per $x>0$. Deriviamo rispetto ad $x$, dimenticandoci delle costanti per lo studio:
$$\fr{\pd}{\pd x}\(xe^{\dsi{-\fr{x^2}{n+1}}}\)=e^{\dsi{-\fr{x^2}{n+1}}}-\fr{2x^2}{n+1}e^{\dsi{-\fr{x^2}{n+1}}}=e^{\dsi{-\fr{x^2}{n+1}}}\(1-\fr{2x^2}{n+1}\).$$
Gli zeri sono solo per
$$1-\fr{2x^2}{n+1}=0\implies\fr{2x^2}{n+1}=1\implies2x^2=n+1\implies x=\rad{\fr{n+1}{2}}.$$
Per il segno abbiamo che
$$1-\fr{2x^2}{n+1}\geq0\sse x^2<\fr{n+1}{2}\sse x\in\(0,\rad{\fr{n+1}{2}}\).$$
Quindi il massimo \`e in $\rad{\fr{n+1}{2}}$. Sostituiamo, ottenendo:
$$r\(\rad{\fr{n+1}{2}}\)=\fr{2}{(n+1)\rad{n+1}}\(\rad{\fr{n+1}{2}}\)e^{\dsi{-\fr{\(\rad{\fr{n+1}{2}}\)^2}{n+1}}}=\fr{\rad{2}}{(n+1)}e^{\dsi{-\fr{1}{2}}}\to0,$$
quindi la convergenza \`e uniforme.

\ssect{Un esercizio piuttosto banale}
\begin{eseese}
$$\dsum_{n=1}^{+\8}\fr{(-1)^ne^{\dsi{-\fr{x^2}{n}}}}{\rad{n}}.$$
\end{eseese}
Questa cosa \`e asintotica a $\fr{1}{\rad{n}}\to+\8$, quindi la serie non converge.

\ssect{Un esercizio misto tra successioni e serie}
\begin{eseese}
$$f_n(x)=\fr{1}{n}\arctan\(\lb x\rb^n\)\qquad n\geq1.$$
\end{eseese}
\ben
\item Convergenza puntuale
\item Uniforme
\item Limite dell\6integrale da 0 a 10
\item Convergenze della serie
\een

\sssect{Convergenza puntuale della successione}
L\6arcotangente \`e limitata, quindi ho che:
$$\lb f_n(x)\rb\leq\fr{\pg}{2}\fr{1}{n}\to0,$$
per ogni $x$, quindi per ogni $x$ puntualmente tende a $0$.

\sssect{Convergenza uniforme della successione}
Anche il $\dsup$ stesso discorso, quindi la convergenza \`e uniforme.

\sssect{Limite di questo integrale}
Per il passaggio al limite sotto integrale (applicabile per \cu) abbiamo:
$$\dlim_{n\to+\8}\dint_0^{10}\fr{1}{n}\arctan\(\lb x\rb^n\)dx=\dint_0^{10}\dlim_{n\to+\8}\fr{1}{n}\arctan\(\lb x\rb^n\)dx=\dint_0^{10}0dx=0.$$

\sssect{Convergenza puntuale della serie}
Ora la serie:
$$\dsum_{n=1}^{+\8}\fr{1}{n}\arctan\(\lb x\rb^n\).$$
\bi
\item Se $\lb x\rb=1$ il termine $n$-simo non \`e che $\fr{\arctan(1)}{n}=\fr{\pg}{4n},$ la serie armonica che non converge. Quindi per $x=\pm1$ non c'\`e convergenza puntuale.
\item Se $\lb x\rb>1$, anche $\lb x\rb^n>1$. $\arctan(t)$ per $t>0$ \`e crescente, quindi
$$\arctan(\lb x\rb^n)>\arctan(1)=\fr{\pg}{4},$$
quindi il termine $n$-simo maggiora quello della serie armonica moltiplicata per $\fr{\pg}{4}$, che non converge. Quindi non c'\`e convergenza puntuale.
\item Per $\lb x\rb<1$ cerchiamo di usare il criterio della radice $n$-sima. Quindi consideriamo:
$$\rad[n]{\fr{\arctan(\lb x\rb^n)}{n}}.$$
Ho qualcosa che tende a $0$ sotto $\arctan$, ma $\arctan(x)\~x$ per $x\to0$, quindi:
$$\rad[n]{\fr{\arctan(\lb x\rb^n)}{n}}\~\rad[n]{\fr{\lb x\rb^n}{n}}=\fr{\lb x\rb}{\rad[n]{n}}\to\fr{\lb x\rb}{1}<1,$$
quindi per il criterio della radice so che la serie converge.
\ei

\sssect{Convergenza totale della serie}
Vediamo la convergenza totale. Studiamo:
$$\dsum_{n=1}^{+\8}\dsup_{x\in\{\lb x\rb<1\}}\fr{\arctan(\lb x\rb^n)}{n}.$$
Quando vado a fare il $\dsup$, l\6$\arctan$ \`e crescente, quindi si tratta di sostituire $1$, quindi quel $\dsup$ contiene nientemeno che $\fr{\pg}{4}$, ossia \`e:
$$\fr{\arctan(1)}{n}=\fr{\pg}{4n},$$
che non converge.
\begin{ese}
Per esercizio dimostrare che c'\`e convergenza totale in ogni intervallo del tipo $[-a,a]$ con $0<a<1$.
\end{ese}
[Beh \`e abbastanza semplice: il $\dsup$ \`e il valore assunto in $a$, quindi la serie dei $\dsup$ diventa:
$$\dsum_{n=1}^{+\8}\fr{\arctan(\lb a\rb^n)}{n}\~\dsum_{n=1}^{+\8}\fr{a^n}{n},$$
che converge.]
\par Pausa.

\ssect{Una serie di fattoriali scrausi}
\begin{eseese}
$$\dsum_{n=0}^{+\8}\fr{\(n!\)^x}{\(2n\)!}.$$
\end{eseese}

\sssect{Convergenza puntuale}
Proviamo col rapporto per la puntuale:
$$\fr{\[\(n+1\)!\]^x}{\(2n+2\)!}\per\fr{\(2n\)!}{\(n!\)^x}=\fr{\[(n+1)\(n\)!\]^x}{(2n+2)(2n+1)\(2n\)!}\per\fr{\(2n\)!}{\(n!\)^x}=\fr{\(n+1\)^x}{\(2n+2\)\(2n+1\)}=$$
$$=\fr{\(n+1\)^x}{2\(n+1\)\(2n+1\)}=\fr{\(n+1\)^{x-1}}{2\(2n+1\)}.$$
Per $x=2$ il limite di questa cosa \`e $\dsi{\fr{1}{4}}<1$, quindi converge. Per $x>2$ studiamo:
$$\dlim_{n\to+\8}\fr{\(n+1\)^{x-1}}{2\(2n+1\)}.$$
Per $n\to+\8$
$$\fr{\(n+1\)^{x-1}}{2\(2n+1\)}\~\fr{n^{x-1}}{4n}=\fr{n^{x-2}}{4},$$
ma se $x-2>0$ (ossia $x>2$) questo tende a $+\8$, quindi non c'\`e convergenza. Se invece $x-2<0$ (ossia $x<2$) tende a $0$ che \`e minore di $1$, quindi c'\`e convergenza. Quindi puntualmente converge in $\{x\leq2\}$.
\sssect{Convergenza totale}
Ora la convergenza totale. Quindi studiamo:
$$\dsum_{n=0}^{+\8}\dsup_{x\leq2}\fr{\(n!\)^x}{\(2n\)!}.$$
Il $(2n)!$ ce lo scordiamo, studiamo il $\dsup$ di $(n!)^x$, cio\`e di un esponenziale. La base \`e maggiore di 1, quindi \`e crescente e il $\dsup$ \`e il valore in $x=2$. Quindi la serie non \`e che:
$$\dsum_{n=0}^{+\8}\fr{\(n!\)^2}{\(2n\)!},$$
che converge. Quindi in $\{x\leq2\}$ c'\`e convergenza totale.

\ssect{Una quantit\`a immensa di logaritmi}
\begin{eseese}
$$\dsum_{n=1}^{+\8}\[\fr{1}{2n}\ln\(1+n^2x^2\)-\fr{1}{2\(n+1\)}\ln\(1+\(n+1\)^2x^2\)\].$$
\end{eseese}

\sssect{\`E telescopica}
Il termine generale \`e
$$g_n(x)-g_{n+1}(x),$$
cio\`e \`e una serie telescopica. Dobbiamo dimostrare che la serie \`e derivabile termine a termine anche se la serie delle derivate non converge. Consideriamo le ridotte $n$-sime $S_n(x)$.
$$S_n(x)=\dsum_{k=1}^ng_k(x)-g_{k+1}(x)=g_1(x)-g_2(x)+g_2(x)-g_3(x)\+g_n(x)-g_{n-1}(x)=$$
$$=g_1(x)-g_{n-1}(x)=\fr{1}{2}\ln\(1+x^2\)-\fr{1}{2\(n+1\)}\ln\(1+\(n+1\)^2x^2\).$$
Quindi lo studio della serie si \`e trasformato in uno studio di una successione di funzioni.

\sssect{Convergenza puntuale}
Puntualmente il primo termine \`e costante, quindi vediamo
$$\dlim_{n\to+\8}\fr{1}{\(n+1\)}\ln\(1+\(n+1\)^2x^2\).$$
Per $x=0$ \`e sempre $0$, quindi il limite \`e $0$. Per $x\neq0$ il logaritmo tende ad infinito con ordine meno di $1$, mentre al denominatore abbiamo un ordine $1$, quindi tende a $0$. Quindi il limite puntuale della serie per ogni $x$ \`e $g_1(x)=\fr{1}{2}\ln\(1+x^2\).$ Quindi la somma della serie \`e
$$S(x)=\fr{1}{2}\ln\(1+x^2\).$$
Abbiamo:
$$S^\1(x)=\fr{1}{2\(1+x^2\)}\per2x=\fr{x}{1+x^2}.$$

\sssect{Consideriamo la serie delle derivate}
$$\dsum_{n=1}^{+\8}\(\fr{1}{2n\(1+n^2x^2\)}2n^2x-\fr{1}{2\(n+1\)\(1+\(n+1\)^2x^2\)}2\(n+1\)^2x\)=$$
$$=\dsum_{n=1}^{+\8}\(\fr{nx}{\(1+n^2x^2\)}-\fr{\(n+1\)x}{\(1+\(n+1\)^2x^2\)}\):$$
ancora telescopica. Chiamiamo $U_n(x)$ la successione delle ridotte parziali della serie delle derivate, ossia:
$$U_n(x)=h_1(x)-h_{n+1}(x)=\fr{x}{1+x^2}-\fr{(n+1)x}{1+(n+1)^2x^2}.$$
Vediamo cosa succede al secondo termine. Per $x=0$ \`e sempre $0$ quindi tende a $0$. Per $x\neq0$ il tutto \`e asintotico a:
$$\fr{nx}{n^2x^2}=\fr{1}{nx}\to0.$$
Puntualmente quindi la serie delle derivate converge in tutto $\R$. Il limite:
$$U_n(x)\to\fr{x}{1+x^2},$$
esattamente la derivata della somma della serie originali, $S(x).$

\sssect{Non convergenza uniforme delle derivate}
Ora vediamo che $U(x)$ non converge uniformemente. Consideriamo
$$\lb U_n(x)-\fr{x}{1+x^2}\rb=\lb\fr{\(n+1\)x}{1+\(n+1\)^2x^2}\rb.$$
L\6estremo superiore maggiora, in modulo, la quantit\`a
$$\lb \fr{\(n+1\)\lbar{x}}{1+\(n+1\)^2\lbar{x}^2}\rb$$
per ogni $\lbar{x}\in\R$, quindi per esempio per $\lbar{x}=\fr{1}{n+1}$, dove la cosa sopra diventa:
$$\lb \fr{\(n+1\)\fr{1}{n+1}}{1+\(n+1\)^2\(\fr{1}{n+1}\)^2}\rb=\lb \fr{1}{1+1}\rb=\fr{1}{2}\neq0,$$
ergo la \cu\bk non c'\`e.

\sect{Serie di potenze: richiami di teoria}
Una serie di potenze \`e una serie di funzioni della forma:
$$\dsum_{n=1}^{+\8}a_n\(x-x_0\)^n.$$
\bi
\item Se pongo $y=x-x_0$ posso sempre riportarmi al caso $x_0=0$. Quindi da ora in poi $x_0=0$ SEMPRE.
\item Sappiamo che converge in un intervallo simmetrico rispetto a $0$ (ovvero a $x_0$) del tipo $[(,b,b)]$ con $b>0$.
\item $[($ perché la convergenza \`e garantita nell\6intervallo ma negli estremi non si sa.
\item In $0$ converge sempre, quindi se $b=0$ converge solo in $0$.
\item Se $b=+\8$ converge in tutto $\R$.
\item Sappiamo che converge uniformemente e anche totalmente in ogni sottointervallo del tipo $[-d,d]$ con $0<d<b$, e l\`i dentro la somma della serie \`e una funzione di classe $C^{\8}$ e la serie di potenze \`e la serie di Taylor della somma.
\item Il Teorema di Abel ci limitiamo ad enunciarlo.
\begin{teor}[name=di Abel,label=thm:teor:Abel]
Se in $x=b$ la serie converge la convergenza uniforme si estende a intervalli chiusi di estremo $b$\fn{Ovvero, come meglio esplicitato la volta seguente, ad intervalli del tipo $[0,b]$.}.
\end{teor}
\item Infine sappiamo che il raggio di convergenza \`e $\fr{1}{\bg}$, dove $\bg=\di\limsup_{n\to+\8}\rad[n]{\lb a_n\rb}$.
\item Vale anche con $\bg=\dlim_{n\to+\8}\lb\fr{a_{n+1}}{a_n}\rb$.
\ei


\incle
\chapter{\lez{23/10/2013}}

\sect{Controesempio al viceversa del teorema del differenziale totale}
Non \`e detto che se una funzione \`e differenziabile le derivate parziali (che esistono) siano continue.
\begin{es}[name=Funzione differenziabile con derivate parziali non continue,label=thm:es:DiffMaDerivParzDiscont]
$$f(x,y)=\sistbis{\(x^2+y^2\)\sin\fr{1}{x^2+y^2}}{(x,y)\neq(0,0)}{0}{(x,y)=(0,0)}.$$
\end{es}
\`E continua nell\6origine?
$$\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\(x^2+y^2\)\sin\fr{1}{x^2+y^2}=infinitesimo\per oscillante\,\,limitato=0,$$
quindi \`e continua. Esistono le derivate direzionali? Fissiamo $\sng=(\sng_1,\sng_2)$ per cui $\rad{\sng_1^2+\sng_2^2}=1$. Calcoliamo:
$$\dlim_{t\to0}\fr{f((0,0)+t\sng)-0}{t}=\dlim_{t\to0}\fr{f(t\sng_1,t\sng_2)}{t}=\dlim_{t\to0}\fr{t^2\(\sng_1^2+\sng_2^2\)\per\sin\fr{1}{t^2\(\sng_1^2+\sng_2^2\)}}{t}=$$
$$=\dlim_{t\to0}\fr{t^2\per\sin\fr{1}{t^2}}{t}=\dlim_{t\to0}t\per\sin\fr{1}{t^2}=infinitesimo\per\hbox{\ital{oscillante limitato}}=0.$$
In particolare le derivate parziali sono nulle. Chiediamoci se \`e differenziabile. Proviamo ad applicare il teorema del differenziale totale. Fuori dall\6origine
$$\fr{\pd f}{\pd x}f(x,y)=2x\sin\fr{1}{x^2+y^2}+\(x^2+y^2\)\cos\fr{1}{x^2+y^2}\per\(-\fr{1}{\(x^2+y^2\)^2}\)\per2x=$$
$$=2x\[\sin\fr{1}{x^2+y^2}-\fr{1}{x^2+y^2}\cos\fr{1}{x^2+y^2}\].$$
Limite per $(x,y)\to(0,0)$? Il primo termine tende a $0$ (cf. prima). Il secondo termine non ha limite, quindi la derivata non ha limite e quindi non pu\`o essere continua. Non posso applicare quel teorema. Questo per\`o non mi dice che la funzione non \`e differenziabile. Anzi lo \`e. Cerchiamo di vederlo con la definizione. $f$ \`e differenziabile nell\6origine?
$$\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{f(0+h,0+k)-f(0,0)-\grad f\per(h,k)}{\rad{h^2+k^2}}=0?$$
Quel limite \`e:
$$\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{\(h^2+k^2\)\sin\fr{1}{h^2+k^2}-0-0\per(h,k)}{\rad{h^2+k^2}}=\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\rad{h^2+k^2}\sin\fr{1}{h^2+k^2}=0:$$
ancora infinitesimo per oscillante. Quindi $f$ \`e differenziabile nell\6origine.

\sect{Estendiamo la differenziabilit\`a a funzioni polivariate vettoriali}
\begin{defi}[name=Differenziabilità per funzioni vettoriali,label=thm:defi:DiffFunzVett]
Siano $f:\Wg\to\R^m$ e $\Wg\sbse\R^n$, $P\in\Wg$. Si dice che $f$ \`e \emph{differenziabile in $P$} se esiste $L:\R^n\to\R^m$ applicazione lineare tale che
$$\dlim_{H\to\ubar{0}}\fr{f(P+H)-f(P)-L(H)}{\ldb H\rdb}=0,$$
ossia
$$\begin{sistema}
f(P+H)=f(P)+L(H)+R(H)\\
\fr{R(H)}{\norm{H}}\xrightarrow[H\to0]{}\ubar{0},\,\,ossia\,\,R(H)=o(\norm{H})
\end{sistema}.$$
In questo caso $L$ si dice \emph{differenziale di $f$ in $P$} e si scrive:
$$L=df(P).$$
\end{defi}
\begin{propo}[name=Differenziabilità di funzioni vettoriali e delle loro componenti, ed espressione del Differenziale,label=thm:propo:DiffVett-Jacobiano]
$f:\Wg\to\R^m$ con $\Wg\sbse\R^n$ \`e differenziabile in $P\in\Wg$ $\sse$ per ogni $k=1,\dots,m$ $f_k=\pg_k\circ f:\Wg\to\R$ \`e differenziabile in $P$. In tal caso
$$df(P)(\vct{H})=\(\mat{c}df_1(P)(\vct{H})\\df_2(P)(\vct{H})\\\vdots\\df_n(P)(\vct{H})\emat\).$$
\end{propo}
\`E semplice da dimostrare. Cerchiamo di capire bene come si pu\`o scrivere questo differenziale.
$$df(P)(\vct{H})=\(\mat{c}df_1(P)(\vct{H})\\df_2(P)(\vct{H})\\\vdots\\df_n(P)(\vct{H})\emat\)=\(\mat{c}\(\grad f_1(P),\vct{H}\)\\\(\grad f_2(P),\vct{H}\)\\\vdots\\\(\grad f_n(P),\vct{H}\)\emat\)=$$
$$=\(\mat{cccc}\fr{\pd f_1}{\pd x_1}&\fr{\pd f_1}{\pd x_2}&\dots&\fr{\pd f_1}{\pd x_n}\\\fr{\pd f_2}{\pd x_2}&\fr{\pd f_2}{\pd x_2}&\dots&\fr{\pd f_2}{\pd x_n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\fr{\pd f_m}{\pd x_1}&\fr{\pd f_m}{\pd x_2}&\dots&\fr{\pd f_m}{\pd x_n}\emat\)\(\mat{c}h_1\\h_2\\\vdots\\h_n\emat\),$$
per ogni $\vct{H}$. Quindi $df(P):\R^n\to\R^m$ \`e un\6applicazione lineare la cui matrice associata rispetto alle basi canoniche di $\R^n$ e $\R^m$ \`e la \emph{matrice Jacobiana} (o \emph{lo Jacobiano}) di $f$ in $P$:
$$J_f(P)=\(\mat{ccc}\fr{\pd f_1}{\pd x_1}(P)&\dots&\fr{\pd f_1}{\pd x_n}(P)\\\vdots&\ddots&\vdots\\\fr{\pd f_m}{\pd x_1}(P)&\dots&\fr{\pd f_m}{\pd x_n}(P)\emat\).$$
Ovvero, per ogni $\vct{H}\in\R^n$,
$$df(P)(\vct{H})=J_f(P)\vct{H}.$$

\sect{Operazioni che mantengono la differenziabilit\`a: somma, prodotto, inverso e composizione (regola della catena)}
\ssect{Somma prodotto inverso}
\begin{teor}[name=Differenziale di somma, prodotto e inverso,label=thm:teor:DiffSommaProdInv]
Sia $\Wg\sbse\R^n$ aperto e $f,g:\Wg\to\R^m$ differenziabili in $P\in\Wg$; allora $f+g$ e $f\per g$ sono differenziabili in $P$ ed il differenziale della somma $f+g$ \`e la somma dei differenziali mentre il differenziale di $f\per g$ \`e $f(P)dg(P)+g(P)df(P)$:
$$d(f+g)(P)=df(P)+dg(P),$$
$$d(f\per g)(P)=f(P)dg(P)+g(P)df(P).$$
Se poi $g(x)\neq0\quad\VA x\in\Wg$, $\fr{1}{g}$ \`e differenziabile in $P$ e
$$d\(\fr{1}{g}\)(P)=-\fr{1}{g^2(P)}dg(P).$$
\end{teor}
Quella della somma \`e molto facile, potete anche farla voi. Dimostriamo ad esempio quella del prodotto. $f,g$ differenziabili significa:
$$f(P+H)=f(P)+df(P)(H)+o(\ldb H\rdb),$$
$$g(P+H)=g(P)+dg(P)(H)+o(\ldb H\rdb).$$
Da cui:
$$(fg)(P+H)-(fg)(P)=f(P+H)g(P+H)-f(P)g(P)=$$
$$=f(P+H)g(P+H)-f(P)g(P+H)+f(P)g(P+H)-f(P)g(P)=$$
$$g(P+H)\[f(P+H)-f(P)\]+f(P)\[g(P+H)-g(P)\]=$$
$$=g(P+H)\[df(P)(H)+o(\ldb H\rdb)\]+f(P)\[dg(P)(H)+o(\ldb H\rdb)\]=$$
$$=\[g(P)+o(1)\]\[df(P)(H)+o(\ldb H\rdb)\]+f(P)\[dg(P)(H)+o(\ldb H\rdb)\]=$$
$$=g(P)df(P)(H)+f(P)dg(P)(H)+df(P)(H)o(1)+g(P)o(\ldb H\rdb)+o(1)o(\ldb H\rdb)+$$
$$+f(P)o(\ldb H\rdb),$$
quindi la tesi si riduce a:
$$df(P)(H)o(1)+g(P)o(\ldb H\rdb)+o(1)o(\ldb H\rdb)+f(P)o(\ldb H\rdb)=o(\ldb H\rdb).$$
Guardiamo termine a termine. $g(P)o(\ldb H\rdb)$ \`e una costante per $o(\ldb H\rdb)$, quindi ancora $o(\ldb H\rdb)$; $o(1)o(\ldb H\rdb)$ a maggior ragione \`e $o(\ldb H\rdb)$; $f(P)o(\ldb H\rdb)$ vedi prima; rimane $df(P)(H)o(1)$. Mi basta far vedere che $\fr{df(P)(H)}{\ldb H\rdb}$ \`e limitato.
\begin{lemma}[Proprietà (Lipschitzianità in ogni $U(\ubar{0})$) di una funzione lineare,label=thm:lemma:LipschitzFunzLin]
Se $L:\R^n\to\R^m$ \`e lineare, $\3c>0:\ldb L(H)\rdb\leq c\ldb H\rdb\qquad\VA H\in\R^n$.
\end{lemma}
Dimostrato questo ho finito. Lo vediamo dopo la pausa.
\par Pausa.
\par Dim.
\par $L$ \`e lineare, quindi continua. E quindi su un insieme compatto \`e limitata. Se considero $K=\{H\in\R^n:\ldb H\rdb=1\}$, questo \`e chiuso e limitato, e quindi compatto. Dunque per il Teorema di Weierstrass ha massimo e minimo. Esiste quindi $c>0$ per cui
$$\ldb H\rdb\leq c\qquad\VA h\in K.$$
Quindi $\VA H\in\R^n\ssm\{\ubar{0}\)$ vale
$$\ldb L\(\fr{H}{\ldb H\rdb}\)\rdb\leq c\implies\ldb \fr{1}{\ldb H\rdb}L\(H\)\rdb\leq c\implies\fr{1}{\ldb H\rdb}\ldb L\(H\)\rdb\leq c,$$
ovvero la tesi.

\ssect{La Catena}
Andiamo ora a dimostrare la regola della catena:
\begin{teor}[name=Regola della Catena - dim,label=thm:teor:Catena]
\bemph{(Regola della Catena)}\hsp{0.2cm}Siano $\Wg\sbse\R^n$, $\Lg\sbse\R^m$, $f:\Wg\to\R^m$, $g:\Lg\to\R^p$, per cui $f(\Wg)\sbse\Lg$. Se $f$ \`e differenziabile in $P\in\Wg$ e $g$ \`e differenziabile in $f(P)\in\Lg$, allora $g\circ f$ \`e differenziabile in $P$ e
$$f(g\circ f)(P)=dg(f(P))\circ df(P).$$
\end{teor}
Dim.
$$f(P+H)=f(P)+df(P)(H)+R(H),$$
$$g(f(P)+K)=g(f(P))+dg(f(P))(K)+\rg(K),$$
ove:
$$\fr{R(H)}{\ldb H\rdb}\to\ubar{0}\in\R^m,$$
$$\fr{\rg(K)}{\ldb K\rdb}\to\ubar{0}\in\R^n.$$
Calcoliamo allora
$$(g\circ f)(P+H)=g(f(P+H))=g(f(P)+f(P+H)-f(P))=g(f(P)+K)=$$
$$=g(f(P))+dg(f(P))(K)+\rg(K)=g(f(P))+dg(f(P))(f(P+H)-f(P))+$$
$$+\rg(f(P+H)-f(P))=g(f(P))+dg(f(P))(df(P)(H)+R(H))+\rg(f(P+H)-f(P))=$$
$$=g(f(P))+\[dg(f(P))\circ df(P)\](H)+dg(f(P))(R(H))+\rg(f(P+H)-f(P)),$$
quindi mi basta dimostrare che
$$\fr{dg(f(P))(R(H))+\rg(f(P+H)-f(P))}{\ldb H\rdb}\to0.$$
Il primo termine, calcolandone la norma, diventa:
$$\fr{\ldb dg(f(P))(R(H))\rdb}{\ldb H\rdb};$$
per il lemma di prima abbiamo:
$$\fr{\ldb dg(f(P))(R(H))\rdb}{\ldb H\rdb}\leq c\fr{\ldb R(H)\rdb}{\ldb H\rdb},$$
e $R(H)$ \`e $o(\ldb H\rdb)$ quindi il tutto tende a $0$. Il secondo termine:
$$\fr{\rg(f(P+H)-f(P))}{\ldb H\rdb}.$$
Moltiplichiamo e dividiamo per $\ldb f(P+H)-f(P))\rdb$, ottenendo:
$$\fr{\rg(f(P+H)-f(P))}{\ldb f(P+H)-f(P))\rdb}\fr{\ldb f(P+H)-f(P))\rdb}{\ldb H\rdb}=\fr{\rg(K)}{\ldb K\rdb}\fr{\ldb f(P+H)-f(P))\rdb}{\ldb H\rdb},$$
quindi il primo termine, essendo $\rg$ un $o(\ldb K\rdb)$ per $K\to0$ come nel nostro caso, tende a $0$; per il secondo termine invece togliamo la norma sopra e la rimettiamo poi:
$$\fr{f(P+H)-f(P))}{\ldb H\rdb}=\fr{df(P)(H)+o(\ldb H\rdb)}{\ldb H\rdb}.$$
Il secondo termine \`e ovviamente $0$, e il resto \`e limitato per il lemma, quindi la norma della frazione \`e limitata. Sopra avevamo quindi un infinitesimo per una cosa limitata, quindi tende a $0$, C.V.D.
\begin{oss}[name=Catena Jacobiana,label=thm:oss:CatenaJac]
In termini di matrici jacobiane la regola della catena si riscrive come
$$J_{g\circ f}(P)=J_g(f(P))\per J_f(P).$$
\end{oss}
\begin{es}[name=Applicazione della Catena: ``Derivata Totale'',label=thm:es:DerivTot]
Supponiamo di \whitea\, avere $f:(a,b)\to\R^2$ e $g:\Wg\to\R$ con $\Wg\sbse\R^2$ aperto, e $f(a,b)\sbse\Wg$. Posso allora considerare $g$ dopo $f$: $g\circ f:(a,b)\to\R$. Se $f$ \`e differenziabile in $(a,b)$ e $g$ lo \`e in $\Wg$, allora $g\circ f$ \`e differenziabile in $(a,b)$ e vale la regola della catena:
$$d(g\circ f)(t)=dg(f(t))\circ df(t)\qquad\VA t\in(a,b).$$
\end{es}
Cerchiamo di capire che cosa dice questa formula. $f$ si pu\`o scrivere come:
$$f(t)=(f_1(t),f_2(t)).$$
Lo Jacobiano di $f$ in $t$ \`e:
$$J_f(t)=\(\mat{c}\fr{df_1}{dt}(t)\\\\\fr{df_2}{dt}(t)\emat\).$$
Quello di $g$ \`e:
$$J_g(x_1,x_2)=\(\fr{\pd g}{\pd x_1}(x_1,x_2),\fr{\pd g}{\pd x_2}(x_1,x_2)\).$$
Per la regola della catena:
$$J_{g\circ f}(t)=J_g(f_1(t),f_2(t))J_f(t)=\(\fr{\pd g}{\pd x_1}(f_1(t),f_2(t)),\fr{\pd g}{\pd x_2}(f_1(t),f_2(t))\)\per\(\mat{c}\fr{df_1}{dt}(t)\\\\\fr{df_2}{dt}(t)\emat\)=$$
$$=\fr{\pd g}{\pd x_1}\(f_1(t),f_2(t)\)\fr{df_1}{dt}(t)+\fr{\pd g}{\pd x_2}\(f_1(t),f_2(t)\)\fr{df_2}{dt}(t).$$


\incee
\chapter{\eserc{24/10/2013}}

\sect{Esercizio perso per ritardo e copiato da ElTo}
\begin{eseese}
$$\dsum_{n=1}^{+\8}\fr{n!}{n^n}x^n.$$
\end{eseese}
Usiamo il criterio del rapporto:
$$\lb\fr{a_{n+1}}{a_n}\rb=\fr{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\per\fr{n^n}{n!}=\fr{(n+1)n^n}{(n+1)(n+1)^n}=\(\fr{n}{(n+1)}\)^n=\(\fr{1}{\(1+\fr{1}{n}\)}\)^n=$$
$$=\fr{1}{\(1+\fr{1}{n}\)^n}\to\fr{1}{e},$$
che quindi \`e l\6inverso del raggio di convergenza $\rg$: $\fr{1}{e}=\fr{1}{\rg}\implies\rg=e$. Abbiamo convergenza uniforme in $(-a,a)$ $\VA a\in(0,e)$. Vediamo gli estremi. Per $x=e$ riusiamo il criterio del rapporto:
$$\fr{a_{n+1}}{a_n}=\fr{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}e^{n+1}\per\fr{n^n}{n!e^n}=(n+1)e\(\fr{n}{n+1}\)^n\per\fr{1}{n+1}=\fr{1}{\(1+\fr{1}{n}\)^n}e\to1,$$
ma \`e sempre maggiore di $1$\fn{Infatti il denominatore tende ad $e$ crescendo, quindi da sotto, quindi \`e sempre minore di $e$.}, quindi la serie non converge. Il caso $x=-e$ non \`e che la serie di prima con un $(-1)^n$ in pi\`u. Potrei usare Leibniz. Tuttavia so che la successione non \`e decrescente perché il rapporto \`e definitivamente maggiore di $1$ come visto sopra. Quindi dato che il Criterio di Leibniz \`e una Condizione Necessaria e Sufficiente so che per $x=-e$ la serie non converge.

\sect{Una serie}
\begin{eseese}
$$\dsum_{n=1}^{+\8}\fr{(-x)^n}{3n+\log n}.$$
\end{eseese}
Usiamo il criterio del rapporto come prima:
$$\lb\fr{a_{n+1}}{a_n}\rb=\lb\fr{1}{3(n+1)+\log(n+1)}\per\fr{3n+\log n}{1}\rb=\lb\fr{3n+\log n}{3(n+1)+\log(n+1)}\rb\~\lb\fr{3n}{3n}\rb=1,$$
quindi il raggio di convergenza \`e $1$. In $x=1$ Leibniz convergenza puntuale. In $x=-1$.
$$\dsum_{n=1}^{+\8}\fr{1^n}{3n+\log n}\~\dsum_{n=1}^{+\8}\fr{1}{3n}$$
che non converge. Quindi puntuale in $(-1,1]$, e uniforme in ogni $[-a,a]$ per $a\in(0,1)$. Per il Teorema di Abel convergenza uniforme in $[0,1]$. E quindi in tutti i $[-a,1]$.

\sect{Un piccolo teorema}
Sappiamo che
$$s(x)=\dsum_{n=1}^{+\8}\fr{(-1)^nx^n}{3n+\log n},$$
e che converge in $(-1,1]$ puntualmente, uniformemente in $[0,1]$ e in $[-a,a]$. Provare la uniforme in $[-a,1]$ significa provare che
$$\dsup_{x\in[-a,1]}\lb s(x)-s_n(x)\rb\to0.$$
Sicuramente avr\`o
$$\dsup_{x\in[-a,1]}\lb s(x)-s_n(x)\rb\leq\dsup_{x\in[-a,a]}\lb s(x)-s_n(x)\rb+\dsup_{x\in[0,1]}\lb s(x)-s_n(x)\rb,$$
perché $s(x)$ \`e continua in $[-a,1]$ per la convergenza uniforme di una serie di funzioni continue, siamo in un compatto \`e un massimo, quindi c'\`e un $x$, in $[-a,a]$ o in $[0,1]$, per cui viene assunto quel valore, ma allora quel sup totale \`e uguale o a quello in $[0,1]$ o a quello in $[-a,a]$, in entrambi i casi la somma sopra \`e il sup pi\`u qualcosa di positivo, quindi maggiore o uguale al sup. Quella somma \`e la somma di due cose che tendono a $0$, quindi tende a $0$, e dunque abbiamo la convergenza uniforme. [Pi\`u concisamente, il sup in un insieme \`e il massimo tra i sup in una serie di sottoinsiemi. Infatti, se ho un insieme $A$ e dei sottoinsiemi $A_i\sbse A$, e so che $\dsup_{A_i}f(x)=a_i$, considerato $a=\max\br{a_i}$, sicuramente avr\`o per ogni $i$ che $\dsup_{A_i}f(x)\leq a,$ per definizione di $a$, e inoltre altrettanto sicuramente avr\`o, per definizione di sup, che $f(x)<\dsup_{A_i}f(x)=a_i$ per ogni $x\in A_i$, quindi per ogni $x\in A_i$ avr\`o:
$$f(x)\leq a_i\leq a\implies f(x)\leq a,$$
e questa cosa vale $\VA x\in A_i,\,\VA i$, quindi ultimamente in tutto $A$. Quindi se tutti gli $a_i$ tendono a $0$ anche $a$ tende a $0$, ed $a$ \`e $\dsup_{A}f(x)$.]

\sect{Uno strano integrale}
\begin{eseese}
$$\dint_0^1\fr{\arctan x}{x}dx.$$
\end{eseese}
Osserviamo che:
$$\(\arctan x\)^\1=\fr{1}{1+x^2}=\fr{1}{1-\(-x^2\)}=\dsum_{n=0}^{+\8}\(-x^2\)^n,$$
questo quando
$$\lb-x^2\rb<1\implies\lb x\rb<1.$$
Riscriviamo la serie come:
$$\dsum_{n=0}^{+\8}(-1)^nx^{2n}.$$
Integriamo termine a termine: per ogni $x\in(-1,1)$ data la convergenza uniforme della serie di potenze ho che
$$\arctan x=\arctan x-\arctan0=\dint_0^x\(\arctan t\)^\1dt=\dint_0^x\dsum_{n=0}^{+\8}(-1)^nt^{2n}dt=$$
$$+\dsum_{n=0}^{+\8}\dint_0^x(-1)^nt^{2n}dt=\dsum_{n=0}^{+\8}\fr{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}.$$
A questo punto dividiamo per $x$:
$$\fr{\arctan x}{x}=\dsum_{n=0}^{+\8}\fr{(-1)^nx^{2n}}{2n+1},\qquad\VA x:\lb x\rb<1.$$
Ora s\`i che si integra. Attenzione perché l\6integrale \`e tra $0$ e $1$ mentre noi sappiamo che la serie converge per $\lb x\rb<1$ strettamente. Per\`o studiamo per $x=1$:
$$\dsum_{n=0}^{+\8}\fr{(-1)^n1^{2n}}{2n+1}=\dsum_{n=0}^{+\8}\fr{(-1)^n}{2n+1},$$
che converge per Leibniz. Quindi per Abel la serie di $\fr{\arctan x}{x}$ converge uniformemente in $[0,1]$. Quindi integriamo:
$$\dint_0^1\fr{\arctan x}{x}dx=\dint_0^1\dsum_{n=0}^{+\8}\fr{(-1)^nx^{2n}}{2n+1}dx=\dsum_{n=0}^{+\8}\dint_0^1\fr{(-1)^nx^{2n}}{2n+1}dx=\dsum_{n=0}^{+\8}\fr{(-1)^n}{\(2n+1\)^2}dx$$

\sect{Serie di Fourier: richiami di teoria}
Supponiamo di avere $f(x)$ $2T$-periodica ed integrabile in $[-T,T]$. Ad $f$ \`e associata una serie del tipo:
$$f(x)\~\fr{a_0}{2}+\dsum_{n=1}^{+\8}a_n\cos\(\fr{2\spg n}{T}x\)+b_n\sin\(\fr{2\spg n}{T}x\),$$
ove
$$\begin{sistema}
a_n=\fr{1}{T}\dint_{-T}^Tf(x)\cos\(\fr{\spg n}{T}x\)dx\\\\
b_n=\fr{1}{T}\dint_{-T}^Tf(x)\sin\(\fr{\spg n}{T}x\)dx
\end{sistema}.$$

\sect{Una Fourierata}
\begin{eseese}
Consideriamo la funzione $f$ di periodo $6$ per cui $f(x)=\lb x\rb$ per $x\in[-3,3]$. Provare poi che
$$\dsum_{n=1}^{+\8}\fr{1}{\(2n-1\)^2}=\fr{\pg^2}{8}.$$
\end{eseese}
\includegraphics[width=12cm]{BizzarriaPeriodica2.png}\hsp{500cm}\whitea\hsp{1cm}
Calcoliamo i coefficienti. Osserviamo che \`e pari ($f(x)=f(-x)$), quindi moltiplicata per una dispari, per esempio il seno, diventa dispari. Quindi $b_n=0$\fn{L\6integrale in un intervallo del tipo $[-a,a]$ di una funzione dispari \`e l\6area sottesa alla curva in quell\6intervallo, cio\`e la somma dell\6area sottesa in $[0,a]$ e di quella sottesa in $[-a,0]$, che sono esattamente uguali ed opposte, e quindi l\6integrale \`e nullo. Invece nel caso la funzione sia pari le due aree sono uguali anche in segno, quindi l\6integrale in $[-a,a]$ \`e il doppio di quello in $[0,a]$.}.
$$a_0=\fr{1}{3}\dint_{-3}^3\lb x\rb dx=\fr{2}{3}\dint_{0}^3\lb x\rb dx=\fr{2}{3}\per\fr{9}{2}=3.$$
Ora gli $a_n$:
$$a_n=\fr{1}{3}\dint_{-3}^3\lb x\rb\cos\(\fr{\spg n}{3}x\)dx.$$
Prodotto di funzioni pari, quindi funzione pari, quindi l\6integrale vale:
$$a_n=\fr{2}{3}\dint_{0}^3x\cos\(\fr{\spg n}{3}x\)dx.$$
Sostituiamo
$$\fr{\spg n}{3}x=t\implies x=\fr{3}{\spg n}t\implies dx=\fr{3}{\spg n}dt.$$
L\6integrale diventa:
$$a_n=\fr{2}{3}\dint_{0}^{\dsi{\spg n}}\fr{3}{\spg n}t\cos t\fr{3}{\spg n}dt=\fr{6}{\spg^2n^2}\dint_{0}^{\dsi{\spg n}}t\cos tdt.$$
Integrando per parti otteniamo:
$$a_n=\fr{6}{\spg^2n^2}\[t\sin t\scb{0.5}[1]{$\fvb$}_0^{\dsi{\scaleOpointnine{\spg} n}}-\dint_{0}^{\dsi{\spg n}}\sin tdt\].$$
Il primo termine \`e nullo perché in $\spg n$ e in $0$ il seno \`e nullo. Quindi resta:
$$a_n=-\fr{6}{\spg^2n^2}\dint_{0}^{\dsi{\scaleOpointnine{\spg} n}}\sin tdt=\fr{6}{\pg^2n^2}\cos t\scb{0.5}[1]{$\fvb$}_0^{\dsi{\spg n}}.$$
A questo punto abbiamo due possibilit\`a: se $n$ \`e pari $\cos\(\spg n\)=1$, quindi la valutazione \`e nulla. Invece per $n=2k+1$ il coseno \`e $-1$, quindi:
$$a_n=\sistbis{0}{n=2k}{-\fr{12}{\pg^2n^2}}{n=2k-1}.$$
Quindi:
$$f(x)=\fr{3}{2}-\dsum_{k=1}^{+\8}-\fr{12}{\pg^2\(2k-1\)^2}\cos\(\fr{\spg\(2k-1\)x}{3}\)=$$
$$=\fr{3}{2}-\fr{12}{\pg^2}\dsum_{k=1}^{+\8}\fr{1}{\(2k-1\)^2}\cos\(\fr{\spg\(2k-1\)x}{3}\).$$
C\6\`e convergenza puntuale in tutto $\R$ perché $f$ \`e continua periodica e con derivata continua. Quindi:
$$f(x)=\fr{3}{2}-\fr{12}{\pg^2}\dsum_{k=1}^{+\8}\fr{1}{\(2k-1\)^2}\cos\(\fr{\spg\(2k-1\)x}{3}\).$$
Per $x=0$ trovo:
$$f(0)=\fr{3}{2}-\fr{12}{\pg^2}\dsum_{k=1}^{+\8}\fr{1}{\(2k-1\)^2}\cos\(\fr{\spg\(2k-1\)0}{3}\)=\fr{3}{2}-\fr{12}{\pg^2}\dsum_{k=1}^{+\8}\fr{1}{\(2k-1\)^2}.$$
Quindi:
$$0=\fr{3}{2}-\fr{12}{\pg^2}\dsum_{k=1}^{+\8}\fr{1}{\(2k-1\)^2}\implies\fr{3}{2}=\fr{12}{\pg^2}\dsum_{k=1}^{+\8}\fr{1}{\(2k-1\)^2}\implies\dsum_{k=1}^{+\8}\fr{1}{\(2k-1\)^2}=\fr{3\spg^2}{24}=\fr{\pg^2}{8}.$$

\sect{Ancora serie di potenze}
\begin{eseese}
Trovare l\6insieme di convergenza di
$$\dsum_{n=1}^{+\8}\fr{\log\(1+n^\ag\)}{\rad{n}}x^n\qquad\ag\in\R.$$
\end{eseese}
$\sag$ influenza il risultato perché se $\ag>0$ il logaritmo tende all\6infinito $\~\log n^\ag$, se $\ag=0$ la cosa \`e costantemente $0$, se $\ag<0$ sia $\ag=-\bg$ con $\bg>0$, otteniamo $\log\(1+n^\ag\)=\,=\log\(1+\fr{1}{n^\bg}\)\~\fr{1}{n^\bg}$. Per $\ag>0$ usiamo ancora il criterio del rapporto:
$$\lb\fr{a_{n+1}}{a_n}\rb=\lb\fr{\log\(1+\(n+1\)^\ag\)}{\rad{n+1}}\per\fr{\rad{n}}{\log\(1+n^\ag\)}\rb\~\lb\fr{\log\(n^\ag\)}{\rad{n}}\per\fr{\rad{n}}{\log\(n^\ag\)}\rb=1.$$
Quindi il raggio di convergenza \`e $\rg=1$. Vediamo i bordi. $x=1$:
$$\dsum_{n=1}^{+\8}\fr{\log\(1+n^\ag\)}{\rad{n}}\geq\fr{\log2}{\rad{n}},$$
che non converge perché $\log2$ \`e una costante e la serie di $\fr{1}{\rad{n}}$ non converge. $x=-1$:
$$\dsum_{n=1}^{+\8}(-1)^n\fr{\log\(1+n^\ag\)}{\rad{n}}.$$
Non \`e molto facile da trattare. Proviamo con Leibniz. Definiamo:
$$g(y)=\fr{\log\(1+y^\ag\)}{\rad{y}}.$$
Deriviamo per provare che \`e definitivamente decrescente:
$$g^\1(y)=\fr{\sag y^{\ag-1}}{\rad{y}\(1+y^\ag\)}-\fr{\log\(1+y^\ag\)}{2y^{\mf32}}=\fr{1}{y^{\mf32}}\[\fr{\sag y^\ag}{\(1+y^\ag\)}-\fr{\log\(1+y^\ag\)}{2}\]=$$
$$=\fr{1}{y^{\mf32}}\[\fr{2\sag y^\ag-\log\(1+y^\ag\)-y^\ag\log\(1+y^\ag\)}{2\(1+y^\ag\)}\]=\fr{y^\ag}{2y^{\mf32}\(1+y^\ag\)}\[2\sag-\fr{\log\(1+y^\ag\)}{y^\ag}-\right.$$
$$\left.+\log\(1+y^\ag\)\scb{0}[1]{$\fvb$}\].$$
Definitivamente negativa perché \`e una quantit\`a fissata meno un infinitesimo meno un infinito. Il termine generale della serie da cui abbiamo estratto $g(y)$ tende a $0$, quindi per Leibniz converge. Quindi per $\ag>0$ la serie converge puntualmente in $[-1,1)$. Non c'\`e pi\`u tempo, provate a finire voi.

\sect{Sistemati finalmente questi appunti Venerd\`i, finiamo questo esercizio}
Richiamiamo un attimo la serie:
$$\dsum_{n=1}^{+\8}\fr{\log\(1+n^\ag\)}{\rad{n}}x^n\qquad\ag\in\R.$$
Per $\ag=0$ la serie converge in tutto $\R$ perché \`e una serie di zeri. Per $\ag<0$ $n^\ag\to0$, quindi la serie \`e asintotica a:
$$\dsum_{n=1}^{+\8}\fr{n^\ag}{\rad{n}}x^n=\dsum_{n=1}^{+\8}n^{\ag-\dsi{\fr{1}{2}}}x^n.$$
Anche qui col criterio del rapporto si conclude che il raggio di convergenza \`e $1$. Proviamo allora i bordi. Per $x=1$ ho
$$\dsum_{n=1}^{+\8}n^{\ag-\dsi{\fr{1}{2}}}.$$
Questa converge per $\ag-\fr{1}{2}<-1\implies\ag<-\fr{1}{2}$. Quindi in quelle condizioni si ha convergenza in $(-1,1]$, altrimenti in $(-1,1)$. Ora vediamo $x=-1$. Abbiamo allora:
$$\dsum_{n=1}^{+\8}(-1)^nn^{\ag-\dsi{\fr{1}{2}}}.$$
Sicuramente per $\ag<-\fr{1}{2}$, convergendo assolutamente come visto sopra, converge anche semplicemente. Tuttavia ci sono nuovi valori di $\ag$ per cui converge: per esempio per $\ag=-\fr{1}{2}$ otteniamo $\fr{(-1)^n}{n}$, che converge per Leibniz. In effetti per $\ag-\fr{1}{2}<0$ Leibniz ci assicura la convergenza di questa serie. Ricapitolando, per $\ag<-\fr{1}{2}$ la serie converge in $[-1,1]$, per $\ag<0$ in $[-1,1)$.


\incle
\chapter{\lez{25/10/2013}}

\sect{Derivate parziali successive}

\ssect{Definizione e notazioni}
\begin{defi}[name=Funzione derivabile due volte e derivate seconde,label=thm:defi:DerivSeconde]
Siano $f:\Wg\to\R$, $\Wg\sbse\R$ aperto e $P\in\Wg$. Se $f$ \`e derivabile parzialmente rispetto alla variabile $x_k$ in tutto un intorno del punto $P$, quindi per esempio in un aperto $U:P\in U\sbse\Wg$, considero
$$f_{x_k}=\fr{\pd f}{\pd x_k}:U\to\R.$$
Se $f_{x_k}$ \`e derivabile parzialmente rispetto a $x_h$ in $P$ dico che $f$ \`e \emph{derivabile due volte in $P$ prima rispetto alla variabile $x_k$ e poi rispetto a $x_h$}. Equivalentemente dico che \emph{esiste la derivata parziale seconda di $f$ fatta prima rispetto ad $x_k$ e poi rispetto ad $x_h$}. Tale derivata si indica con:
$$\fr{\pd^2f}{\pd x_h\pd x_k}(P)=f_{x_kx_h}(P)=D_{x_kx_h}f(P).$$
Se $h=k$ si scrive:
$$\fr{\pd^2f}{\pd x_k^2}(P)=\fr{\pd^2f}{\pd x_k\pd x_k}=D^2_{x_k}f(P).$$
\end{defi}
Un trucco per ricordare le notazioni:
$$\fr{\pd^2}{\pd x_h\pd x_k}=\fr{\pd}{\pd x_h}\(\fr{\pd}{\pd x_k}\),$$
ossia in questo caso per scrivere esplicitamente le derivate basta scrivere gli operatori di derivazione parziale nello stesso ordine in cui sono i $\pd$ al denominatore;
$$f_{x_kx_h}=\(f_{x_k}\)_{x_h}.$$
Analogamente potr\`o scrivere
$$\fr{\pd^3f}{\pd x_k\pd x_h\pd x_i},\dots.$$
eccetera.

\ssect{Riordinare le derivazioni pu\`o cambiare i risultati: esempio}
Primo problema: \`e importante l\6ordine di derivazione? Cio\`e:
$$\fr{\pd^2f}{\pd x_k\pd x_h}=\fr{\pd^2f}{\pd x_h\pd x_k}?$$
In generale l\6ordine di derivazione \`e importante, lo vediamo su un esempio.
\begin{es}[{name=[Invertire l'ordine di derivazione può cambiare il risultato]}]
$$f(x,y)=\sistbis{x^2\arctan\fr{y}{x}}{x\neq0}{x}{x=0}.$$
\end{es}
Calcoliamo le derivate miste nell\6origine.
\ben
\item Iniziamo da $f_{xy}(0,0)$.
$$f_{xy}(0,0)=\fr{\pd}{\pd y}\(\fr{\pd f}{\pd x}\)(0,0)=\dlim_{t\to0}\fr{f_x(0,t)-f_x(0,0)}{t}.$$
Scriviamo allora $f_x(0,t)$:
$$f_x(0,t)=\dlim_{h\to0}\fr{f(h,t)-f(0,t)}{h}=\dlim_{h\to0}\fr{f(h,t)}{h}=\dlim_{h\to0}\fr{h^2\arctan\fr{t}{h}}{h}=$$
$$=\dlim_{h\to0}h\arctan\fr{t}{h}=0.$$
(limitato per 0). Quindi tornando a quella sopra il numeratore \`e sempre $0$, quindi \`e il limite di $0$:
$$f_{xy}(0,0)=0.$$
\item Invertiamo l\6ordine:
$$f_{yx}(0,0)=\fr{\pd f_y}{\pd x}(0,0)=\dlim_{h\to0}\fr{f_y(h,0)-f_y(0,0)}{h}.$$
$f_y(0,0)=0$ perché ristretta a $y$ $f$ \`e $0$ costante. Quindi rimane:
$$f_{yx}(0,0)=\dlim_{h\to0}\fr{f_y(h,0)}{h}.$$
Ora $f_y(h,0)$ con $h\neq0$. Cos'\`e la derivata parziale?
$$f_y(h,0)=\dlim_{t\to0}\fr{f(h,t)-f(h,0)}{t}=\dlim_{t\to0}\fr{h^2\arctan\fr{t}{h}-0}{t}=\dlim_{t\to0}\fr{h\arctan\fr{t}{h}}{\fr{t}{h}}=$$
$$=h\per1=h.$$
Quindi sopra rimane:
$$f_{yx}(0,0)=\dlim_{h\to0}\fr{f_y(h,0)}{h}=\dlim_{h\to0}\fr{h}{h}=1.$$
\een
Quindi le derivate sono diverse: $0\neq1$.

\ssect{Teorema di Schwarz: condizioni di regolarit\`a che rendono ininfluente la disposizione delle derivazioni}
Andiamo ora a vedere che sotto opportune condizioni di regolarit\`a \`e possibile invertire l\6ordine di derivazione.
\begin{teor}[{name=[di Schwarz]di Schwarz (o, Wiki docet, di Clairaut)},label=thm:teor:Schwarz]
Sia $f:\Wg\to\R$ con $\Wg\sbse\R^n$ aperto e $P\in\Wg$, e $k,h\in$\hsp{10cm}$\in\{1,\dots,n\}$. Se in un intorno aperto di $P$ esistono le derivate parziali seconde $\fr{\pd^2f}{\pd x_k\pd x_h}$ $\fr{\pd^2f}{\pd x_h\pd x_k}$ e se queste derivate sono continue in $P$ si ha che
$$\fr{\pd^2f}{\pd x_k\pd x_h}(P)=\fr{\pd^2f}{\pd x_h\pd x_k}(P).$$
\end{teor}
Dim.
\par Non \`e restrittivo supporre che $n=2$, tanto le altre variabili sono fissate e variano solo $x_k$ e $x_h$. Sto praticamente considerando la funzione ottenuta da $f$ congelando tutte le altre variabili. Quindi supponiamo $f:\Wg\to\R^2$ con $\Wg\sbse\R^2$ aperto. Sia $P=(x,y)\in\Wg$. Consideriamo:
$$\fg(h)=f(x+h,y+k)-f(x+h,y)$$
con $h,k\in\R$ piccoli abbastanza da garantire che $(x+h,y+k)\in\Wg$. Per il teorema di Lagrange sappiamo che:
$$\fg(h)-\fg(0)=\fg^\1(h_1)h=\(\fr{\pd f}{\pd x}(x+h_1,y+k)-\fr{\pd f}{\pd x}(x+h_1,y)\)h=$$
$$=\fr{\pd^2 f}{\pd y\pd x}(x+h_1,y+k_1)kh.$$
$$0<k_1<k,\quad0<h_1<h.$$
Quindi:
$$f(h+x,y+k)-f(x+h,y)-f(x,y+k)+f(x,y)=\fr{\pd^2 f}{\pd y\pd x}(x+h_1,y+k_1)kh.$$
Ora faccio un giochino simile con un\6altra funzione, vado a prendere:
$$\yg(k)=f(x+h,y+k)-f(x,y+k).$$
Come prima avr\`o:
$$\yg(k)-\yg(0)=\yg^\1(k_2)k=\(\fr{\pd f}{\pd y}(x+h,y+k_2)-\fr{\pd f}{\pd y}(x,y+k_2)\)k=$$
$$=\fr{\pd^2f}{\pd x\pd y}(x+h_2,y+k_2)hk,$$
ove $0<k_2<k,\quad0<h_2<h$. Ricordandoci come \`e stata definita $\yg$ abbiamo:
$$f(x+h,y+k)-f(x,y+k)-f(x+h,y)+f(x,y)=\fr{\pd^2f}{\pd x\pd y}(x+h_2,y+k_2)hk.$$
Ho due equazioni con lo stesso primo membro, quindi eguagli i secondi:
$$\fr{\pd^2 f}{\pd y\pd x}(x+h_1,y+k_1)kh=\fr{\pd^2f}{\pd x\pd y}(x+h_2,y+k_2)hk.$$
Per $h,k\to0$ ho che, per il teorema dei carabinieri, $h_2,k_2,h_1,k_1\to0$ e, semplificati gli $hk$, grazie alla continuit\`a delle derivate parziali miste in $P$ ottengo l\6uguaglianza delle derivate miste:
$$\fr{\pd^2 f}{\pd y\pd x}(x,y)=\fr{\pd^2f}{\pd x\pd y}(x,y).$$

\ssect{I multi-indice ed altre comodit\`a nel trattare derivate di ordine superiore}
Per passare a derivate di ordine superiore al secondo \`e comodo usare una notazione diffusa che \`e quella dei multi-indice che ora vado ad introdurre.
\begin{defi}[name=Multi-indice,label=thm:defi:Multi-Ind]
Si dice \emph{multi-indice in $\R^n$} un elemento $\vct{q}\in\N^n$ (voi ci mettete lo $0$ in $\N$? io sono uno di quei docenti che ce lo mette).
\end{defi}
\begin{defi}[name=Lunghezza di un multi-indice,label=thm:defi:LunghMultiInd]
Si dice \emph{lunghezza di $\vct{q}$} il numero:
$$\lb\vct{q}\rb=q_1+q_2\+q_n.$$
\end{defi}
\begin{defi}[name=Fattoriale di un multi-indice,label=thm:defi:FattorMultiInd]
Si dice \emph{fattoriale di $\vct{q}$} il numero:
$$\vct{q}!=q_1!q_2!\dots q_n!.$$
\end{defi}
\begin{defi}[name=Vettore elevato a un multi-indice,label=thm:defi:VettElevatoMultiInd]
Se $\vct{h}\in\R^n$ con $\vct{h}=\(h_1,h_2,\dots,h_n\)$ definisco
$$\vct{h}^{\vct{q}}=h_1^{q_1}h_2^{q_2}\dots h_n^{q_n}.$$
\end{defi}
\begin{defi}[name=Derivata rispetto ad un multi-indice,label=thm:defi:DerivMultiInd]
Data una funzione sufficientemente regolare dico:
$$D^{\vct{q}}(P)=\fr{\pd^{\lb\vct{q}\rb}f}{\pd x_1^{q_1}\pd x_2^{q_2}\dots\pd x_n^{q_n}}.$$
\end{defi}
\begin{defi}[name=Classi di regolarità per funzioni polivariate,label=thm:defi:ClassiRegPoliv]
Dato $k\in\N$ e $\Wg\sbse\R^n$ aperto chiamo:
\ben
\item $C^0(\Wg)=\{f:\Wg\to\R:continue\}$
\item $C^k(\Wg)=\{f:\Wg\to\R:\VA\vct{q}:\lb\vct{q}\rb\leq k,\,\,D^{\vct{q}}f\in C^0(\Wg)\}$
\item $C^k(\Wg,\R^m)=\{f:\Wg\to\R^m:\pg_j\circ f\in C^k(\Wg)\quad\VA j=1\dots m\}$
\een
\end{defi}
\par Pausa.
\begin{oss}[name=Dominio e codominio dell'operatore $D^{\protect\vct{q}}$,label=thm:oss:DomCodomDq]
Se $\vct{q}$ \`e un multi-indice di $\lb\vct{q}\rb\leq k$, l\6operatore $D^{\vct{q}}$ \`e:
$$D^{\vct{q}}:C^k(\Wg)\to C^{k-\lb\vct{q}\rb}(\Wg).$$
\end{oss}

\ssect{Operazioni che mantengono la classe di regolarit\`a}
\begin{oss}[{name=[Somma e prodotto mantengono la classe di regolarità]}]
Se $f,g\in C^k(\Wg)$ anche $f+g$ e $fg$ sono $C^k(\Wg)$.
\end{oss}
\begin{propo}[name=La composizione mantiene la classe di regolarità,label=thm:propo:RegolCompos]
Siano $\Wg\sbse\R^n$ aperto, $\Lg\sbse\R^m$ aperto, $f\in C^k(\Wg,\R^m)$ e $g\in C^k(\Lg,\R^p)$ ove $f(\Wg)\sbse\Lg$. Allora $g\circ f\in C^k(\Wg,\R^p).$
\end{propo}
Dim.
\par Per $k=0$ significa che la composizione di funzioni continue \`e continua, gi\`a noto.
\par Supponiamolo vero per $k-1$ e dimostriamolo per $k$. Consideriamo
$$\fr{\pd}{\pd x_h}\(g\circ f\)_j.$$
\`E pi\`u facile ragionare in termine di Jacobiano:
$$J_{g\circ f}(P)=J_g(f(P))\per J_f(P).$$
La cosa di prima \`e al posto riga-colonna $jh$. Quindi \`e la riga $j$ della prima per la colonna $k$ della seconda:
$$\fr{\pd}{\pd x_h}\(g\circ f\)_j=\dsum_{i=1}^mJ_g(f(P))_{ji}J_f(P)_{ih}=\dsum_{i=1}^m\fr{\pd g_j}{\pd y_i}(f(P))\per\fr{\pd f_i}{\pd x_h}(P).$$
Osserviamo che $\fr{\pd g_j}{\pd y_i}$ \`e di classe $C^{k-1}$, quindi composta con $f$ che \`e pure di classe $C^{k-1}$ (anzi di classe $C^k$), per ipotesi di induzione resta di classe $C^{k-1}$. Quindi anche la componente della derivata della composta, somma di $C^{k-1}$, \`e $C^{k-1}$, e quindi abbiamo dimostrato che la composta \`e di classe $C^k$, C.V.D.

\sect{Formula di Taylor in pi\`u variabili}

\ssect{Sviluppiamo una funzione ausiliaria monovariata}
Il passo successivo sar\`a cercare una formula di Taylor per funzioni di pi\`u variabili. Sia $f:\Wg\to\R$, $\Wg\sbse\R^n$ aperto, $f\in C^m(\Wg)$ e $P\in\Wg$. Se $H\in\R^n$ \`e tale che il segmento di estremi $P$ e $P+H$ sia contenuto in $\Wg$ (che pu\`o succedere, essendo $\Wg$ aperto: basta che $\ldb H\rdb<r$ con $r$ il raggio della palla di centro $P$ contenuta in $\Wg$), definisco
$$\lgr(t)=P+t\fr{H}{\ldb H\rdb}.$$
Questa funzione indica i punti del segmento, ed \`e lineare in $t$. Chiamiamo poi:
$$\Lg(t)=f(\lgr(t)).$$
\`E ben definita su $[0,\ldb H\rdb]$, e $C^m$. Possiamo scrivere la formula di Taylor con resto di Peano per $\Lg$:
$$\Lg(t)=\dsum_{k=0}^m\fr{\Lg^{(k)}(0)}{k!}t^k+o(t^m).$$

\ssect{Torniamo alla $f$ originaria}
Calcoliamo quelle derivate. Per $k=0$ resta
$$\Lg^{(0)}(t)=\Lg(t)=f\pa{P+t\fr{H}{\ldb H\rdb}},$$
quindi in $t=0$:
$$\Lg^{(0)}(0)=f(P).$$
Per $k=1$\fn{
\ben
\item Il primo passaggio \`e una definizione;
\item il secondo \`e evidenziare le componenti di $\lgr$;
\item il terzo \`e la regola della catena;
\item il quarto \`e dovuto al fatto che $\fr{d}{dt}\(\lgr_i(t)\)=\fr{d}{dt}\(t\fr{h_i}{\ldb H\rdb}\)=\fr{1}{\ldb H\rdb}\per h_i$, raccogliendo la frazione che moltiplica tutti i termini e portandola fuori dalla sommatoria;
\item il quinto non fa altro che ricordarsi che $\(\lgr_1(t),\dots,\lgr_n(t)\)=\lgr(t)=P+t\fr{H}{\ldb H\rdb}$.
\een}:
$$\Lg^\1(t)=\fr{d}{dt}f(\lgr(t))=\fr{d}{dt}f(\lgr_1(t),\dots,\lgr_n(t))=\dsum_{i=1}^n\fr{\pd f}{\pd x_i}\(\lgr_1(t),\dots,\lgr_n(t)\)\lgr_i^\1(t)=$$
$$=\fr{1}{\ldb H\rdb}\dsum_{i=1}^n\fr{\pd f}{\pd x_i}\(\lgr_1(t),\dots,\lgr_n(t)\)h_i=\fr{1}{\ldb H\rdb}\dsum_{i=1}^n\fr{\pd f}{\pd x_i}\(P+t\fr{H}{\ldb H\rdb}\)h_i.$$
La derivata seconda ($k=2$)\fn{Deriviamo la derivata prima, quindi portiamo fuori la costante moltiplicativa e deriviamo la sommatoria termine a termine. Il secondo passaggio concentra quelli di prima applicati alla derivata parziale di $f$ rispetto ad $x_i$, raccogliendo $h_i$ prima di applicare il risultato sopra. L\6ultimo condensa le due sommatorie e raduna le componenti di $h$, oltre a portare $\fr{1}{\ldb H\rdb}$ fuori dalla sommatoria ottenendo il quadrato che vedete.}:
$$\Lg^{\1\1}(t)=\fr{1}{\ldb H\rdb}\fr{d}{dt}\(\dsum_{i=1}^n\fr{\pd f}{\pd x_i}\(P+t\fr{H}{\ldb H\rdb}\)h_i\)=\fr{1}{\norm{H}}\dsum_{i=1}^n\(h_i\per\scb{0}[1]{\color{white}$\fr{a}{b}$}\rt.$$
$$\lf.\per\dsum_{j=1}^n\fr{\pd^2f}{\pd x_j \pd x_i}\(P+t\fr{H}{\ldb H\rdb}\)\fr{h_j}{\ldb H\rdb}\)\fr{1}{\norm{H}^2}\dsum_{i,j=1}^n\fr{\pd^2f}{\pd x_j \pd x_i}\(P+t\fr{H}{\ldb H\rdb}\)h_ih_j.$$
Ad ogni passaggio compare un $\fr{1}{\ldb H\rdb}$, ho le derivate di un ordine in pi\`u e una componente in pi\`u di $H$ moltiplicata in fondo. Quindi:
$$\Lg^{(k)}(t)=\fr{1}{\ldb H\rdb^k}\dsum_{i_1,i_2,\dots,i_k=1}^n\fr{\pd^kf}{\pd x_{i_1}\pd x_{i_2}\dots\pd x_{i_k}}(P)h_{i_1}h_{i_2}\dots h_{i_k}.$$

\ssect{Compattifichiamo coi multi-indici}
Cerchiamo una notazione pi\`u compatta e facciamoci aiutare dai multi-indici. In questa somma compaiono termini del tipo\fn{Ripassiamo le notazioni:
$$D^{\vct{q}}(P)=\fr{\pd^{\lb\vct{q}\rb}f}{\pd x_1^{q_1}\pd x_2^{q_2}\dots\pd x_n^{q_n}},$$
$$H^{\vct{q}}=h_1^{q_1}h_2^{q_2}\dots h_n^{q_n}.$$}:
$$D^{\vct{q}}f(P)H^{\vct{q}}\qquad con\,\,\lb\vct{q}\rb=k.$$
Il punto \`e capire bene quanti ce ne sono, cio\`e scrivere bene la formula. Dato $\vct{q}$ di lunghezza $k$ il termine sopra quante volte compare? Mettiamoci nel caso $n=2$, $k=3$ (due variabili, tre derivate). Prendiamo $\vct{q}=(2,1)$. Derivare rispetto a questo $\vct{q}$ vuol dire fare
$$\fr{\pd^3f}{\pd x_1^2\pd x_2}.$$
La somma sopra invece \`e:
$$\dsum_{i,j,l=1}^3\fr{\pd^3f}{\pd x_i\pd x_j\pd x_l}.$$
Quante volte compare il termine sopra? Consideriamo $(i,j,l)$ e vediamo quando va bene. $(1,1,2)$, $(1,2,1)$ e $(2,1,1)$. Quindi compare tante volte quante stringhe di $k$ lettere riesco a formare con $n$ lettere ripetute secondo $\vct{q}$, cio\`e quante stringhe di tre lettere riesco a formare con due lettere di cui la prima ripetuta due volte e la seconda una. In generale \`e il numero di stringhe di $k$ lettere formate con $n$ lettere ripetute la prima $q_1$ volte, la seconda $q_2$ volte, eccetera, la $n$-sima $q_n$ volte. Per esempio con $n=4$, quindi $a,b,c,d$, supponiamo di avere $(1,1,1,1)$, in quel caso abbiamo $4!$ possibilit\`a. Se potessi ripetere due volte la $a$, quante parole posso formare con $a,a,b,c,d$? Supponendo di distinguere le due $a$ avrei $5!$. Ma siccome non sono distinte devo dividere per il numero di permutazioni di quante volte ho la $a$: $2!$. Quindi in generale abbiamo $\fr{\lb\vct{q}\rb!}{\vct{q}!}.$

\ssect{Motiviamo un poco i risultati e scriviamo la formula di Taylor definitiva}
Se abbiamo $k$ indici, possiamo associare loro un multi-indice. Questo multi-indice sar\`a di lunghezza $k$ e conterr\`a come primo numero il numero di indici pari a 1, come secondo quello di indici pari a 2, e cos\`i via. Supponendo di avere sufficiente regolarit\`a nella $f$, possiamo riordinare i termini:
$$\fr{\pd^kf}{\pd x_{i_1}\pd x_{i_2}\dots\pd x_{i_n}}=\fr{\pd^kf}{\pd x_1^{q_1}\pd x_1^{q_2}\dots\pd x_1^{q_n}},$$ ed i $q_i$ sono proprio le componenti del multi-indice $\vct{q}$ considerato sopra. Cos\`i abbiamo ridotto i termini della sommatoria a $D^{\vct{q}}(P)$. Abbiamo anche capito perché i multi-indici devono poter contenere zeri: pu\`o darsi che nessuno degli indici $i_i$ di derivazione sia 1, quindi $q_1$ sarebbe 0. Dietro a questi termini ci sono prodotti di componenti di $H$, che sono appunto $H^{\vct{q}}$: si tratta di notare che per ogni $i_i$ ci sono esattamente tanti $\pd x_{i_i}$ quanti $h_{i_i}$, e quindi radunandoli ottengo esattamente $h_1^{q_1}\dots h_n^{q_n}=H^{\vct{q}}$. Ora il numero di volte che compaiono questi termini. Devo vedere quante permutazioni ho di un numero di elementi pari al numero di indici $i_i$ ($k$) con le ripetizioni richieste dal multi-indice $\vct{q}$. Se non ci fossero ripetizioni sarebbero $k!$, ossia $\lb\vct{q}\rb!$. Per\`o ho le ripetizioni. In particolare ho $q_1$ volte 1, quindi quante volte ho contato ogni termine? $q_1!$, perché l\6ho contato tante volte quante le permutazione dei $q_1$ $x_1$. Quindi dividerò $k!$ per $q_1!$. Con analoghi ragionamenti su tutti gli indici si conclude che devo dividere $k!$ per il prodotto dei $q_i!$, quindi il numero di volte che trovo il termine nella somma \`e:
$$\fr{\lb\vct{q}\rb!}{\dprod_{i=1}^n\(q_i!\)}=\fr{\lb\vct{q}\rb!}{\vct{q}!}.$$
In definitiva:
$$\Lg^{(k)}(t)=\fr{1}{\ldb H\rdb^k}\dsum_{i_1,i_2,\dots,i_k=1}^n\fr{\pd^kf}{\pd x_{i_1}\pd x_{i_2}\dots\pd x_{i_k}}(P)h_{i_1}h_{i_2}\dots h_{i_k}=$$
$$=\fr{1}{\ldb H\rdb^k}\dsum_{\vct{q}\in\N^k}\fr{\lb\vct{q}\rb!}{\vct{q}!}D^{\vct{q}}f(P)H^{\vct{q}}.$$
Ora per Taylor applicato a $\Lg$ abbiamo:
$$\Lg(t)=\dsum_{k=0}^m\fr{\Lg^{(k)}(0)}{k!}t^k+o(t^m).$$
ricordando che:
$$\lgr(t)=P+t\fr{H}{\ldb H\rdb}.$$
$$\Lg(t)=f(\lgr(t)).$$
Quindi Taylor in tutto diventa:
$$f(P+t\fr{H}{\ldb H\rdb}=\Lg(t)=\dsum_{k=0}^m\fr{\Lg^{(k)}(0)}{k!}t^k+o(t^m)=$$
$$=\dsum_{k=0}^m\fr{\fr{1}{\ldb H\rdb^k}\dsum_{\vct{q}\in\N^k}\fr{\lb\vct{q}\rb!}{\vct{q}!}D^{\vct{q}}f(P)H^{\vct{q}}\scb{0.3}[1]{$\fvb$}_{t=0}}{k!}t^k+o(t^m)=\dsum_{\dsi{\mat{c}k=0\dots m\\\vct{q}\in\N^k\emat}}\fr{D^{\vct{q}}f(P)H^{\vct{q}}}{\ldb H\rdb^k\vct{q}!}t^k+o(t^m).$$
Quell\6``in $t=0$'\6 sembra inutile, ma in realt\`a le $D^{\vct{q}}$ sono calcolate in $\lgr(t)$, in generale, quindi \`e gi\`a sparito nel momento in cui le abbiamo poste calcolate in $P$.


\chapter{Esercizi sulle serie di funzioni nel Weekend}
\begin{esecasa}
Si determinino gli insiemi di convergenza puntuale e uniforme della serie di funzioni $\dsum_{n=0}^\8f_n(x)$, dove $f_n:\(-\fr{\pg}{2},\fr{\pg}{2}\)\to\R$, $f_n(x)=(\sin x)^{n+1}\per$ $\per(cos x)^{-n}$.
\end{esecasa}
Innanzitutto riformuliamo $f_n$:
$$f_n(x)=\sin x\(\tan x\)^n.$$
In questa maniera vediamo che la serie \`e sostanzialmente una costante, $\sin x$, per la serie geometrica di $\tan x$. Quindi puntualmente converge per $\lb\tan x\rb<1$ ossia $x\in\(-\fr{\pg}{4},\fr{\pg}{4}\)$. Per valutare quella uniforme, vediamo quella totale. Studiamo allora:
$$\dsum_{n=0}^\8\dsup_{x\in\[\dsi{-\fr{\pg}{4},\fr{\pg}{4}}\]}\sin x\(\tan x\)^n.$$
Essendo la funzione continua, questo $\dsup$ \`e un massimo. Inoltre la funzione \`e prodotto di due funzioni crescenti, e quindi \`e crescente; quindi il massimo sar\`a il valore assunto da essa in $\fr{\pg}{4}$\fn{Mi accorgo ora che quest\6affermazione \`e imprecisa: il sup del \emph{modulo} \`e il massimo tra i moduli dei valori agli estremi, essendo la funzione, come osservato, prodotto di due funzioni crescenti in tutto l\6intervallo e che cambiano segno in $0$ (a meno dell\6esponente della tangente che pu\`o cambiare la monotonia se \`e pari). Tuttavia per $n$ dispari la funzione risulta pari, mentre per $n$ dispari risulta dispari, quindi quei due moduli sono uguali.}. Tale serie quindi non converge. Tuttavia se stringo l\6intervallo di un qualsiasi $\dg>0$, la serie diventa convergente, poiché la serie dei $\dsup$ \`e un particolare caso della serie di funzioni, che sappiamo convergere puntualmente. Quindi c\6è convergenza totale (quindi uniforme) in $\[-\fr{\pg}{4}+\dg,\fr{\pg}{4}-\dg\]$ per ogni $\dg>0$. In questo caso alternativamente si poteva studiare
$$\dsup\lb S(x)-\dsum_{k=0}^nf_k(x)\rb,$$
visto che $S(x)$ \`e la funzione limite puntuale, nota perché abbiamo una serie geometrica, e la ridotta parziale \`e nota per il medesimo motivo.

\begin{esecasa}
Si studino la convergenza puntuale e uniforme delle seguenti serie di funzioni:
\ben
\item $\dsum_{n=0}^\8\fr{x^n}{4^n+x^{2n}},\qquad x\in\R$;
\item $\dsum_{n=01}^\8\fr{n^2+x}{n^4+x^2},\qquad x\in\R$;
\item $\dsum_{n=1}^\8\fr{\log(x+n)}{n^2},\qquad x\in(0,1)$;
\item $\dsum_{n=1}^\8\fr{x^n}{1+x^{2n}},\qquad x\in\R$;
\een
\end{esecasa}
\ben
\item Studiamo la convergenza puntuale della prima. Per $x^2>4$ al denominatore prevale $x^{2n}$, per cui il tutto \`e asintotico a $\fr{x^n}{x^{2n}}=\fr{1}{x^n}$, che \`e una serie geometrica di ragione $\fr{1}{x}$, ed essendo in quel caso necessariamente $x>1$, tale serie converge. Quindi c'è convergenza puntuale per $x^2>4$ ossia $x\in(-\8,-2)\cup(2,+\8)$. Per $x^2<4$, ossia $x\in(-2,2)$, prevale invece $4^n$, quindi il tutto \`e asintotico a $\(\fr{x}{4}\)^n$, serie che converge per motivi analoghi a prima. Quindi resta da verificare la convergenza puntuale in $\{-2,2\}$. Cominciamo da $x=2$. In tal caso la serie diventa:
$$\dsum_{n=0}^\8\fr{2^n}{4^n+2^{2n}}=\dsum_{n=0}^\8\fr{2^n}{2^{2n+1}}=\dsum_{n=0}^\8\fr{1}{2^{n+1}}.$$
Tale serie converge poiché \`e, a meno del termine $\fr{1}{2^0}$, la serie geometrica di ragione $\fr{1}{2}<1$. Per $x=-2$ ottengo la stessa cosa moltiplicata per $(-1)^n$, quindi \`e una serie a segni alterni che converge assolutamente per quanto appena visto e quindi converge anche semplicemente. Quindi c'è convergenza puntuale $\VA x\in\R$. Vediamo ora la convergenza totale che implica quella uniforme. Studiamo quindi:
$$\dsum_{n=0}^\8\dsup_{x\in\R}\fr{x^n}{4^n+x^{2n}}.$$
La funzione \`e continua, quindi se il sup non \`e all\6infinito, esso \`e un massimo. Studiamo allora la derivata di quella funzione, per verificare se possiamo trovare un\6espressione per quel sup:
$$\fr{d}{dx}\(\fr{x^n}{4^n+x^{2n}}\)=\fr{nx^{n-1}}{4^n+x^{2n}}-\fr{x^n}{\(4^n+x^{2n}\)^2}\(2nx^{2n-1}\)=$$
$$=\fr{nx^{n-1}}{\(4^n+x^{2n}\)^2}\(4^n+x^{2n}-2x^{2n}\)=\fr{nx^{n-1}}{\(4^n+x^{2n}\)^2}\(4^n-x^{2n}\).$$
Per $n=0$ la funzione \`e costantemente $\fr{1}{2}$ e la derivata \`e nulla. Per $n=1$ le derivata vale:
$$\fr{4-x^2}{\(4+x^2\)^2}.$$
Altrove vale come sopra. Ho distinto $n=1$ per motivi che appariranno chiari in seguito, legati agli estremanti. Infatti per $n=1$ l\6estremante in $0$ scompare, mentre per $n>1$ $0$ \`e uno zero della derivata. Gli altri zeri, che ci sono sempre, sono per $4^n-x^{2n}=0\implies x^2=4$, quindi sempre per $x=\pm2$. Sappiamo che la serie converge puntualmente per ogni $x\in\R$, quindi per ogni $x\in\R$ il termine generale tende a $0$. Ma quello che ci interessa \`e:
$$\dlim_{x\to+\8}\fr{x^n}{4^n+x^{2n}}=\dlim_{x\to+\8}\fr{x^n}{x^{2n}}=\dlim_{x\to+\8}\fr{1}{x^{n}}=0.$$
Per $x>0$ la funzione \`e positiva, quindi definitivamente decrescente. Quindi in $x=2$ abbiamo o il massimo cercato, o un flesso a tangente orizzontale. Tuttavia dalla derivata vediamo che la funzione risulta crescente tra 0 e 2, quindi $x=2$ \`e un massimo. Per $n$ pari anche $x=-2$ lo \`e mentre $x=0$ \`e il minimo. Infatti per $n$ pari la funzione \`e pari, quindi $x=\pm2$ sono due massimi assoluti alla stessa quota. Per $n$ dispari la funzione \`e dispari, quindi in $0$ abbiamo un flesso a tangente orizzontale, mentre in $-2$ abbiamo un minimo assoluto, uguale in modulo al valore in 2. Quindi in ogni caso il sup \`e il valore in 2. Quindi la serie dei sup si riduce a:
$$\dsum_{n=0}^\8\fr{2^n}{4^n+2^{2n}},$$
che abbiamo dimostrato convergere prima. Quindi abbiamo convergenza totale, e quindi uniforme, in tutto $\R$.
\item Ricordiamoci un attimo la serie:
$$\dsum_{n=01}^\8\fr{n^2+x}{n^4+x^2},\qquad x\in\R.$$
Puntualmente questa \`e facile, perché per ogni $x$ la serie \`e asintotica a $\fr{1}{n^2}$ che converge. Ora affrontiamo la questione della partenza di $n$: 0 o 1? Per $n=0$ osserviamo che in $x=0$ si genera uno $\fr{0}{0}$, quindi diciamo che partiamo da $n=1$. Procediamo come prima, studiando la derivata. Prima osserviamo che per $x\to\8$ la cosa \`e asintotica a $\fr{x}{x^2}=\fr{1}{x}\to0$, da ambo i lati. Quindi il sup \`e assunto internamente a $\R$, \`e un massimo. Deriviamo:
$$\fr{d}{dx}\(\fr{n^2+x}{n^4+x^2}\)=\fr{1}{n^4+x^2}-\fr{n^2+x}{\(n^4+x^2\)^2}2x=\fr{n^4+n^2-2xn^2-2x^2}{\(n^4+x^2\)^2}=$$
$$=\fr{-2x^2-2xn^2+n^4+n^2}{\(n^4+x^2\)^2}.$$
Quindi gli zeri sono per
$$-2x^2-2xn^2+n^4+n^2=0\implies x=\fr{2n^2\pm\rad{4n^4-4\(n^4+n^2\)\(-2\)}}{-4}=$$
$$=\fr{-2n^2\mp2n\rad{n^2+2\(n^2+1\)}}{4}=n\fr{-n\mp\rad{3n^2+2}}{2}.$$
Uhh che orrore! Animo: inseriamo nella funzione. Otteniamo:
$$\fr{n^2+\(n\fr{-n\mp\rad{3n^2+2}}{2}\)}{n^4+\(n\fr{-n\mp\rad{3n^2+2}}{2}\)^2}=\fr{\fr{n^2}{2}\mp\fr{n\rad{3n^2+2}}{2}}{n^4+n^2\fr{n^2\pm2n\rad{3n^2+2}+3n^2+2}{4}}=$$
$$=\fr{2n^2\mp2n\rad{3n^2+2}}{4n^4+n^2\pa{n^2\pm2n\rad{3n^2+2}+3n^2+2}}=\fr{2n^2\mp2n\rad{3n^2+2}}{5n^4\pm2n^3\rad{3n^2+2}+3n^4+2n^2}=$$
$$=\fr{2n^2\mp2n\rad{3n^2+2}}{8n^4\pm2n^3\rad{3n^2+2}+2n^2}.$$
Senza stare a confrontarli per decidere quale batte l\6altro in modulo, diciamo che uno dei due \`e il sup, a meno di modulo, della funzione. Sicuramente la serie dei sup \`e maggiorata dalla somma delle serie dei moduli di questi due valori, quindi se entrambe convergono ho la convergenza totale. Lavoriamo per asintotici:
$$\fr{2n^2\mp2n\rad{3n^2+2}}{8n^4\pm2n^3\rad{3n^2+2}+2n^2}=\fr{2n^2\mp2n\(n\rad{3}+o(1)\)}{8n^4\pm2n^3\pa{n\rad{3}+o(1)}+2n^2}=$$
$$=\fr{\pa{2\mp2\rad{3}}n^2+o(n)}{\pa{8\pm2\rad{3}}n^4+o(n^3)+2n^2}\~\fr{\pa{2\mp2\rad{3}}n^2}{\pa{8\pm2\rad{3}}n^4},$$
cio\`e una costante per $\fr{1}{n^2}$, che converge assolutamente in entrambi i casi, C.V.D. Quindi ho convergenza totale, e quindi uniforme, in tutto $\R$
\item Diamo un\6occhiata alla serie da studiare:
$$\dsum_{n=1}^\8\fr{\log(x+n)}{n^2},\qquad x\in(0,1).$$
$x$ darebbe problemi se fosse minore di $-1$ perché renderebbe negativo l\6argomento del logaritmo per $n=1$, ma visto che $x$ varia in $(0,1)$ il problema non si pone. Quindi posso passar subito a dire che la serie \`e asintotica a quella di $\fr{\log n}{n^2}$, e che, essendo $\log n=o(\rad{n})$, ho che definitivamente $\fr{\log n}{n^2}<\fr{\rad{n}}{n^2}=n^{\dsi{-\fr{3}{2}}},$ che converge.  Quindi puntualmente converge in tutto $(0,1)$. \`E una funzione crescente, quindi il $\dsup$ \`e il valore assunto in $x=1$, ossia $\fr{\log(1+n)}{n^2}\~\fr{\log n}{n^2}$, quindi converge la serie dei sup, ovvero la serie converge totalmente e quindi uniformemente anche in $[0,1]$ chiuso.
\par Piccola precisazione: riporto qui, opportunamente formattato, uno stralcio di chat tra me e AnCo che chiarisce un suo dubbio che potrebbe essere di altri.
\par\hsp{500cm}\whitea
AnCo: ``Innanzi tutto volevo ringraziarti per gli appunti di analisi 2 che posti sul dropbox, in quanto non riesco a seguire molte lezioni quindi mi sono molto utili
\par volevo chiederti una piccola delucidazione in quanto ho notato che in un esercizio sulle serie hai scritto che c'è convergenza puntuale in un intervallo $(0,1)$
\par mentre poi quando studi quella uniforme dici che converge uniformemente in $[0,1]$, ma convergenza uniforme non implica la puntuale?
\par cioè se converge uniformemente su $[0,1]$ convergerà anche puntualmente su $[0,1]$?
\par grazie''\hsp{500cm}\whitea\hsp{1cm}
Io: ``Dimmi di ke esercizio stai parlando .''\hsp{500cm}\whitea\hsp{1cm}
AnCo: ``pagina 137 del pdf.. $\fr{\log(x+n)}{n^2}$ in $(0,1)$''\hsp{500cm}\whitea\hsp{1cm}
Io: ``Finisco Cinese poi guardo.''\hsp{500cm}\whitea\hsp{1cm}
AnCo: ``perfetto grazie''\hsp{500cm}\whitea\hsp{1cm}
Io: ``Le due cose non sn in contraddizione. L\6intervallo aperto sopra è dovuto al fatto che mi si impone $x$ nell'aperto, altrimenti avrei detto che converge puntualmente in $(-1,+\8)$. Il chiuso dopo è dovuto al fatto ke mi par di capire ke o nn abbia senso dire, o nn si dica, ke qc converge uniformemente in un aperto. A pensarci bn è una minkiata. Cmq qll roba a occhio e croce converge totalmente in $(-1,c]$ per ogni $c>-1$. Non fino a $+\8$ perché lì il sup diventa $\log(\8)=\8$ quindi la serie dei sup nn converge. $[\dots]$ OK?''\hsp{500cm}
Spero che sia chiaro.
\item Guardiamo la serie che dobbiamo studiare:
$$\dsum_{n=1}^\8\fr{x^n}{1+x^{2n}},\qquad x\in\R.$$
Questa \`e una gemella della 2. Puntualmente \`e facile vedere che converge in tutto $\R$ tranne in 1, dove \`e la serie di $\fr{1}{2}$, e in $-1$, dove \`e la serie di $(-1)^n\fr{1}{2}$, con ragionamenti analoghi alla 2. Ancora una volta, studiamo la serie dei sup, e come sopra troviamo che il sup \`e un massimo, quindi deriviamo:
$$\fr{d}{dx}\(\fr{x^n}{1+x^{2n}}\)=\fr{nx^{n-1}}{1+x^{2n}}-\fr{x^n}{\(1+x^{2n}\)^2}2nx^{2n-1}=\fr{nx^{n-1}}{\(1+x^{2n}\)^2}\(x^{2n}+1-2x^{2n}\)=$$
$$=\fr{nx^{n-1}}{\(1+x^{2n}\)^2}\(1-x^{2n}\),$$
Quindi abbiamo ancora lo zero in 0 per $n\neq1$, e gli zeri stavolta in $\pm1$. Ancora si vede che il sup \`e il valore in 1. Stavolta per\`o la serie non converge totalmente in tutto $\R$, perché la serie dei sup non converge. Per\`o restringendo in modo da togliere 1 e $-1$ sistemo il problema. Quindi converge totalmente in $(-\8,-1-\dg],[-1+\dg,1-\dg],[1+\dg,+\8)$ per ogni $\dg>0$. Resta da stabilire se possa convergere uniformemente in tutto $\R$. Tuttavia senza la convergenza puntuale non pu\`o sussistere quella uniforme, e dunque l\6esercizio \`e concluso.
\een

\begin{esecasa}
Si determinino gli insiemi di convergenza puntuale e uniforme della serie di funzioni:
$$\dsum_{n=0}^\8e^{-\rad{nx}}(n+1),\qquad x\in[0,+\8).$$
\end{esecasa}
Puntualmente sappiamo che per ogni $x$, se la radice \`e definita, l\6esponenziale prevale su $n+1$ facendo tendere il tutto a zero con un ordine superiore a 2, quindi puntualmente converge in tutto l\6insieme di definizione, tranne in $0$ dove l\6esponenziale \`e costantemente $1$ e quindi sparisce, dando $f_n(0)=n+1\to+\8$, serie che non converge. Siccome tende a 0 per $x\to\8$, il sup sar\`a un massimo assunto internamente al dominio. Quindi al solito deriviamo:
$$\fr{d}{dx}\[e^{-\rad{nx}}(n+1)\]=(n+1)e^{-\rad{nx}}\fr{d}{dx}\(-\rad{nx}\)=-(n+1)e^{-\rad{nx}}\fr{1}{2\rad{nx}}n.$$
Questa cosa \`e sempre negativa, quindi il sup non \`e altro che il valore in $0$. Tuttavia la serie in $0$ non converge puntualmente. Per\`o se considero $[\dg,+\8)$, qualsiasi sia $\dg$ ho che il sup \`e $f(\dg)$, quindi la serie dei sup \`e la serie degli $f(\dg)$ che converge. Possiamo poi chiederci se ci sia convergenza uniforme in $(0,+\8)$. Chiamata $S(x)$ un\6ipotetica somma uniforme della serie, perché sia vera la convergenza uniforme dovrei avere:
$$\dsup_{x\in[0,+\8)}\abs{S(x)-\dsum_{k=1}^ne^{-\rad{kx}}(k+1)}\to0.$$
Tuttavia la somma a destra non converge puntualmente in $0$, quindi il sup sarebbe proprio il valore in $0$, poiché questo valore non pu\`o tendere a $0$, perché altrimenti $S(0)$ dovrebbe essere infinito. Infatti posto $S(0)=\ag\in\R$, avrei che
$$\abs{\ag-\dsum_{k=1}^ne^{-\rad{kx}}(k+1)}\to+\8\neq0.$$
Quindi la serie non converge uniformemente in $(0,+\8)$.

\begin{esecasa}
Si calcoli la somma di
$$\dsum_{n=1}^\8\fr{x^n}{n(n+1)}$$
in un opportuno intervallo di $\R$.
\end{esecasa}
Innanzitutto esplicitiamo ``opportuno'\6 calcolando il raggio di convergenza di questa serie di potenze. Abbiamo
$$a_n=\fr{1}{n(n+1)}.$$
Usiamo il criterio del rapporto:
$$\dlim_{n\to\8}\fr{a_{n+1}}{a_n}=\dlim_{n\to\8}\fr{n(n+1)}{(n+2)(n+1)}=\dlim_{n\to\8}\fr{n^2}{n^2}=1,$$
il nostro raggio di convergenza. Valutiamo i bordi. In $x=1$ abbiamo la serie degli $a_n$, ed essendo $a_n\~\fr{1}{n^2}$ la cosa converge. Quindi in $x=-1$ converge perché converge assolutamente. Dunque si ha convergenza uniforme in $[-1,1]$. In tale intervallo posso sperare di derivare termine a temine. Calcoliamo la serie delle derivate:
$$\dsum_{n=1}^\8\fr{x^{n-1}}{n+1}\musb{=}{k=n-1}\dsum_{k=0}^\8\fr{x^k}{k+2}.$$
Ha lo stesso raggio di convergenza, ma in $x=1$ non converge perché asintotica alla serie armonica che diverge. Quindi se sistemo questa poi devo pensare ai bordi separatamente. Ma pirla! Quella roba \`e telescopica:
$$\fr{x^n}{n(n+1)}=\fr{x^n}{n}-\fr{x^n}{n+1}.$$
Eh no :). Per\`o $\fr{x^n}{n}$ \`e la serie di Taylor di $-\log(1-x)$:
$$-\log(1-x)=-\dsum_{n=1}^\8(-1)^{n-1}\fr{(-x)^n}{n}=-\dsum_{n=1}^\8-\fr{x^n}{n}=\dsum_{n=1}^\8\fr{x^n}{n}.$$
Analogamente:
$$-\dsum_{n=1}^\8\fr{x^n}{n+1}=-\fr{1}{x}\dsum_{n=1}^\8\fr{x^{n+1}}{n+1}=-\fr{1}{x}\dsum_{k=2}^\8\fr{x^k}{k}=-\fr{1}{x}\dsum_{k=1}^\8\fr{x^k}{k}+1=\fr{\log(1-x)}{x}+1.$$
Quindi:
$$\dsum_{n=1}^\8\fr{x^n}{n(n+1)}=\dsum_{n=1}^\8\fr{x^n}{n}-\dsum_{n=1}^\8\fr{x^n}{n+1}=-\log(1-x)+\fr{\log(1-x)}{x}+1=$$
$$=\(\fr{1}{x}-1\)\log(1-x)+1.$$
Per\`o questa cosa non \`e definita in 0. Tuttavia sappiamo che deve essere continua, quindi la ridefiniamo come il limite, che \`e 0, e che \`e anche la somma della originaria serie di zeri che troviamo per $x=0$. In $x=1$ poi otteniamo una serie telescopica che converge a 1.

\begin{esecasa}
Verificare la seguente relazione:
$$\dint_\pg^{2\pg}\fr{\sin x}{e^x-1}dx=-\dsum_{n=1}^\8\fr{e^{\dsi{-n\spg}}+e^{\dsi{-2n\spg}}}{1+n^2}.$$
\end{esecasa}
L\6unica cosa che mi viene in mente \`e vedere se l\6integrale termine a termine della serie di Taylor centrata in 0 di quell\6integranda \`e la serie a destra. Innanzitutto ridefiniamo l\6integranda perché sia continua in 0:
$$\dlim_{x\to0}\fr{\sin x}{e^x-1}=1,$$
quindi scriviamo:
$$f(x)=\sistbis{\fr{\sin x}{e^x-1}}{x\neq0}{1}{x=0}.$$
Vediamo la derivata in 0. Innanzitutto deriviamo fuori da 0:
$$\fr{d}{dx}\(\fr{\sin x}{e^x-1}\)=\fr{1}{e^x-1}\(\cos x-\fr{e^x\sin x}{e^x-1}\).$$
Calcoliamone il limite:
$$\dlim_{x\to0}\fr{1}{e^x-1}\(\cos x-\fr{e^x\sin x}{e^x-1}\)=\dlim_{x\to0}\fr{1}{x}\(\cos x-\fr{e^x\sin x}{e^x-1}\)=$$
$$=\dlim_{x\to0}\(\fr{\cos x}{x}-\fr{e^x}{e^x-1}\)=\dlim_{x\to0}\(\fr{\cos x}{x}-1-\fr{1}{e^x-1}\)=$$
$$=-1+\dlim_{x\to0}\fr{e^x-1}{x}\(\fr{\cos x}{x}-\fr{1}{e^x-1}\)=-1+\dlim_{x\to0}\(\fr{e^x-1}{x}\fr{\cos x}{x}-\fr{1}{x}\)=$$
$$=-1+\dlim_{x\to0}\(\fr{x+\fr{x^2}{2}}{x}\fr{1-\fr{x^2}{2}}{x}-\fr{1}{x}\)=-1+\dlim_{x\to0}\(\fr{\pa{1+\fr{x}{2}}\pa{1-\fr{x^2}{2}}}{x}-\fr{1}{x}\)=$$
$$=-1+\dlim_{x\to0}\(\fr{1-\fr{x^2}{2}+\fr{x}{2}-\fr{x^3}{4}}{x}-\fr{1}{x}\)=-1+\dlim_{x\to0}\(\fr{x}{2}+\fr{1}{2}-\fr{x^2}{4}\)=-\fr{1}{2}.$$
Sembrerebbe che vadano avanti a $-\fr{1}{n}$. In realt\`a grazie a Wolframalpha ottengo che la derivata seconda ha limite $-\fr{1}{6}=-\fr{1}{3!}$, quindi vanno avanti a $-\fr{1}{(n+1)!}$. Eh no! Poi compare $\fr{1}{2}$! Poi $-\fr{1}{6},-\fr{1}{2},\dots$. Non so che fare.

\begin{esecasa}
Si studino la convergenza puntuale e uniforme della serie di funzioni
$$\dsum_{n=0}^\8\fr{n+5}{3^n}\(1+\log\lb x\rb\)^{n+1}$$
e se ne calcoli la somma per $x=1$.
\end{esecasa}
Innanzitutto osserviamo che l\6ultima frase ci assicura la convergenza puntuale in $x=1$. D\6altronde per $x=1$ la serie si riduce a:
$$\dsum_{n=0}^\8\fr{n+5}{3^n}1^{n+1}=\dsum_{n=0}^\8\fr{n+5}{3^n},$$
che converge per il criterio del rapporto, essendo il limite del rapporto $\fr{1}{3}<1$. Usiamo il criterio del rapporto per stabilire l\6insieme di convergenza puntuale:
$$\fr{a_{n+1}}{a_n}=\fr{\fr{n+1+5}{3^{n+1}}\pa{1+\log\lb x\rb}^{n+2}}{\fr{n+5}{3^n}\pa{1+\log\lb x\rb}^{n+1}}=\fr{1}{3}\fr{n+6}{n+5}\pa{1+\log\lb x\rb}\to\fr{\pa{1+\log\lb x\rb}}{3}.$$
Quindi converge per
$$\lb1+\log\lb x\rb\rb<3\implies-3<1+\log\lb x\rb<3\implies-4<\log\lb x\rb<2\implies$$
$$\implies\fr{1}{e^4}<\lb x\rb<e^2\implies
\begin{sistema}
\lb x\rb>\fr{1}{e^4}\\\\
\lb x\rb<e^2
\end{sistema}\implies
\begin{sistema}
x>\fr{1}{e^4}\vel x<-\fr{1}{e^4}\\\\
-e^2<x<e^2
\end{sistema}.$$
Facciamo una specie di schema dei segni:
$$\mat{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}&&-e^2&&-\fr{1}{e^4}&&\fr{1}{e^4}&&e^2&\\&&&&&&&&&\\\hline1^a&+&+&+&-&-&-&+&+&+\\\hline2^a&-&-&+&+&+&+&+&-&-\\\hline \mat{c}sist\\(1^a\et2^a)\emat&-&-&+&-&-&-&+&-&-\emat$$
ove $+$ sta per ``equazione soddisfatta'\6 e $-$ per ``equazione non soddisfatta''. Quindi il sistema ha soluzioni $x\in\pa{-e^2,-\fr{1}{e^4}}\cup\pa{\fr{1}{e^4},e^2}.$ Questo \`e quindi l\6insieme di convergenza puntuale di questa serie di funzioni. Ora, come al solito, studiamo la serie dei $\dsup$, quindi la derivata di $1+\log\lb x\rb$, visto che in ogni caso l\6ipotetico insieme di convergenza totale sar\`a contenuto in un chiuso e limitato e quindi il sup sar\`a o un valore assunto o il valore in un estremo. Quindi:
$$\fr{d}{dx}\(1+\log\lb x\rb\)=\fr{1}{\lb x\rb}\sgn x=\fr{1}{x}.$$
Quindi la funzione che abbiamo derivata cresce per $x>0$ e decresce per $x<0$. Dunque il sup del modulo sar\`a il massimo tra i moduli agli estremi. Quindi la convergenza totale c'è in ogni $\sq{-e^2+\dg,-\fr{1}{e^4}-\dg}$ e in ogni $\sq{\fr{1}{e^4}+\dg,e^2-\dg}$ con $\dg>0$, perché in quei casi il sup del modulo \`e il massimo tra i moduli dei due valori assunti nei due estremi, e quindi la serie dei sup converge perché non \`e (a meno di segno) che un caso particolare della convergenza puntuale. Dalla convergenza totale, al solito, discende quella uniforme.

\begin{esecasa}
Si scriva la serie di Fourier di ciascuna delle seguenti funzioni e se ne discutano convergenza puntuale e uniforme:
\ben
\item $f(x)=\fr{x}{2\pg}-\sq{\fr{x}{2\pg}}$, dove $\sq{\per}$ indica la funzione ``parte intera'';
\item $g(x)=1-2\cos(x)+\lb x\rb$ se $x\in[-\pg,\pg)$ e prolungata con periodicit\`a $2\pg$ si $\R$;
\item $h(x)=\lb\sin(x)\rb$ per ogni $x\in\R$;
\item $u(x)=\sin^3x+\sin^2x$ per ogni $x\in\R$.
\een
\end{esecasa}
\ben
\item Per prima cosa diamo un\6occhiata al grafico di $f$:
\par\includegraphics[width=11cm]{MantissaStrana.jpg}\hsp{500cm}\whitea\hsp{1cm}
Quindi \`e periodica di periodo $2\pg$. Ricordiamo i coefficienti di Fourier:
$$a_n=\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg f(x)\cos(nx)dx,$$
$$b_n=\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg f(x)\sin(nx)dx.$$
Quindi calcoliamoli:
$$a_0=\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg f(x)dx=\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^0\pa{\fr{x}{2\pg}+1}dx+\fr{1}{\pg}\dint_{0}^\pg\fr{x}{2\pg}dx=$$
$$=\fr{1}{\pg}\pa{\fr{x^2}{4\pg}+x}\scb{0.5}[1]{$\fvb$}_{-\pg}^0+\fr{1}{\pg}\fr{x^2}{4\pg}\scb{0.5}[1]{$\fvb$}_{0}^\pg=\fr{1}{\pg}\pa{\pg-\fr{\pg}{4}}+\fr{1}{\pg}\pa{\fr\pg4}=1-\fr{1}{4}+\fr14=1;$$
$$a_n=\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg f(x)\cos(nx)dx=\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^0 f(x)\cos(nx)dx+\fr{1}{\pg}\dint_0^\pg f(x)\cos(nx)dx=$$
$$=\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^0\pa{\fr{x}{2\pg}+1}\cos(nx)dx+\fr{1}{\pg}\dint_0^\pg \fr{x}{2\pg}\cos(nx)dx=\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^0\fr{x}{2\pg}\cos(nx)dx+$$
$$+\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^0\cos(nx)dx+\fr{1}{\pg}\dint_0^\pg \fr{x}{2\pg}\cos(nx)dx;$$
prima di andare avanti osserviamo che il secondo termine ha per primitiva un $\fr{1}{n}\sin(nx)$ che vale 0 sia in $-\pg$ che in $0$, e quindi integrato vale $0$;
$$\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^0\fr{x}{2\pg}\cos(nx)dx+\fr{1}{\pg}\dint_0^\pg \fr{x}{2\pg}\cos(nx)dx=\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg\fr{x}{2\pg}\cos(nx)dx;$$
integriamo per parti:
$$\dint\fr{x}{2\pg}\cos(nx)dx=\fr{x}{2n\spg}\sin(nx)-\dint\fr{\sin(nx)}{2n\spg}=\fr{x}{2n\spg}\sin(nx)+\fr{\cos(nx)}{2n^2\spg};$$
valutato tra due zeri, il primo termine \`e nullo; il secondo invece restituisce:
$$\fr{\cos(nx)}{2n^2\spg}\scb{0.5}[1]{$\fvb$}_{-\pg}^\pg=\fr{\cos(n\spg)}{2n^2\spg}-\fr{\cos(-n\spg)}{2n^2\spg}=0,$$
essendo il coseno pari. Quindi $a_n=0$ per ogni $n\neq0$.
$$b_n=\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg f(x)\sin(nx)dx=\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^0f(x)\sin(nx)dx+\fr{1}{\pg}\dint_0^\pg f(x)\sin(nx)dx=$$
$$=\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^0\pa{\fr{x}{2\pg}+1}\sin(nx)dx+\fr{1}{\pg}\dint_0^\pg\fr{x}{2\pg}\sin(nx)dx=$$
$$=\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^0\sin(nx)dx+\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg\fr{x}{2\pg}\sin(nx)dx=$$
$$=\fr{1}{n\spg}\cos(nx)\scb{0.5}[1]{$\fvb$}_{-\pg}^0+\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg\fr{x}{2\pg}\sin(nx)dx;$$
il primo termine \`e
$$\fr{1}{n\spg}\cos(n0)-\fr{1}{n\spg}\cos(-n\spg)=\fr{1}{n\spg}\pa{1-\cos(n\spg)},$$
quindi per $n$ pari d\`a $0$, per $n$ dispari d\`a $\fr{2}{n\spg}$; il secondo termine lo integriamo per parti:
$$\dint\fr{x}{2\pg}\sin(nx)dx=-\fr{x}{2n\spg}\cos(nx)+\dint\fr{\cos(nx)}{2n\spg}dx=-\fr{x}{2n\spg}\cos(nx)+\fr{\sin(nx)}{2n^2\spg};$$
il secondo termine \`e sempre nullo, perché valutazione di una funzione tra due suoi zeri; il primo invece \`e:
$$-\fr{x}{2n\spg}\cos(nx)\scb{0.5}[1]{$\fvb$}_{-\pg}^\pg=-\fr{x}{2n\spg}\cos(n\spg)+\fr{x}{2n\spg}\cos(-n\spg)=0;$$
quindi in definitiva $b_n=\sistbis{\fr{2}{n\spg}}{n=2k+1}{0}{n=2k}.$ Riassumendo:
$$\begin{sistema}
a_0=1\\
a_n=0\,\VA n\neq0\\
b_n=\sistbis{\fr{2}{n\spg}}{n=2k+1}{0}{n=2k}
\end{sistema}.$$
Quindi la serie si riduce a:
$$f(x)=1+\dsum_{k=0}^\8\fr{2}{(2k+1)\spg}\sin(nx).$$
\item Le altre le metter\`o pi\`u avanti, in particolare dopo essermi studiato \6ste dannate serie di Fourier :).
\een


\incee
\chapter{\eserc{28/10/2013}}

\sect{Un quanto di teoria}
\begin{defi}[name=Richiamo: derivate parziali e direzionali]
Sia $f:D\sbs\R\to\R$ con $D$ aperto e $(x,y)\in D$.
$$\dlim_{h\to0}\fr{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\fr{\pd f}{\pd x}(x,y),$$
$$\dlim_{k\to0}\fr{f(x,y+k)-f(x,y)}{k}=\fr{\pd f}{\pd y}(x,y).$$
Le derivate parziali sono casi particolare di derivate direzionali: sia $v\in\R^2:\norm{v}=1$;
$$\dlim_{t\to0}\fr{f(x+tv_1,y+tv_2)-f(x,y)}{t}=D_{\ubar{v}}\,f(x,y).$$
\end{defi}
\begin{oss}[name=Derivate direzionali in $\R^2$,label=thm:oss:DerivDirR2]
Le derivate direzionali si calcolano molto bene in $\R^2$ perché ogni versore di $\R^2$ si scrive come
$$\ubar{v}=\pa{\cos\sag,\sin\sag}\qquad\sag\in[0,2\pg)\fnm[1]\fnt[1]{Le derivate direzionali rappresentano, in un certo senso, la derivata della restrizione di $f$ ai punti del tipo $P+t\sng$. Quindi uno si aspetta che, per farle esistere, i limiti da destra e da sinistra siano uguali. Pertanto, se venisse una derivata tipo $\cos^3\sag$, si potrebbe pensare che i limiti da una e dall\6altra parte siano opposti, e quindi le derivate non esistano. Questa cosa \`e per\`o conseguenza dell\6aver fatto variare $\sag$ tra $0$ e $2\spg$. Di fatto, con questa scelta, ogni derivata direzionale \`e stata calcolata due volte, una volta orientando la retta in un senso, l\6altra nell\6altro. \`E per questo che le due cose cambiano di segno. Quindi io consiglierei di far variare $\sag$ tra $0$ e $\spg$, cos\`i almeno non faccio confusioni del genere.}.\ic{footnote}{+1}$$
\end{oss}
\begin{oss}[{name=[Analogia tra derivate direzionali e derivate di funzioni monovariate]}]
Queste sono operazioni unidimensionali, quindi valgono tutte le regole delle funzioni monovariate.
\end{oss}
\begin{oss}[{name=[Differenza tra le medesime di sopra]}]
La differenza \`e che non assicurano la continuit\`a.
\end{oss}
\begin{defi}[name=Definizione di derivabilità per funzioni polivariate,label=thm:defi:DerivPoliv]
Si dice \emph{derivabile} in $(x,y)$ una funzione $f$ che abbia tutte le derivate direzionali.
\end{defi}
\begin{fatto}[{name=[Derivabile non implica continua]}]
Derivabile $\neq>$ Continua.
\end{fatto}
\begin{defi}[name=Richiamo: differenziabilità]
Una funzione $f$ si dice differenziabile in $(x,y)$ se
$$f(x+h,y+k)=f(x,y)+\pd_xf(x,y)h+\pd_yf(x,y)k+o\pa{\rad{h^2+k^2}}.$$
\end{defi}
Si considera:
$$\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{f(x+h,y+k)-f(x,y)-\pd_xf(x,y)h-\pd_yf(x,y)k}{\rad{h^2+k^2}}$$
e si prova che tende a $0$: allora $f$ \`e differenziabile.
\begin{oss}[name=Formula del gradiente]
Si ha che se $f$ \`e differenziabile in $(x,y)$ \`e ivi continua e derivabile, ed inoltre:
$$D_{\ubar{v}}f(x,y)=\lab\grad f(x,y),\ubar{v}\rab.$$
\end{oss}
\begin{teor}[name=Richiamo: Teorema del Differenziale Totale]
Se $f$ \`e continua, derivabile e con derivate continue in $(x,y)$ allora \`e ivi differenziabile.
\end{teor}

\sect{Iniziamo cogli esercizi: mero calcolo}
\begin{eseese}
Calcolare le derivate parziali di:
\ben
\item $f(x,y)=\fr{xy}{x^2+y^2}$;
\item $f(x,y)=e^{\dsi{\sin\fr{x}{y}}}$;
\item $f(x,y)=x^{y^x}$.
\een
\end{eseese}
\ben
\item In tutto $\R^2\ssm\{(0,0)\}$ abbiamo\fn{Derivata del quoziente uguale uno fratto denominatore al quadrato per la differenza fra derivata del numeratore per denominatore e numeratore per derivata del denominatore. Io preferisco vederlo come prodotto di una funzione per il reciproco di un\6altra, ma \`e uguale, \`e solo non a denominatore comune.}:
$$\fr{\pd f}{\pd x}=\fr{y\pa{x^2+y^2}-xy\pa{2x}}{\pa{x^2+y^2}^2}=\fr{y^3-x^2y}{\pa{x^2+y^2}^2}=\fr{y\pa{y^2-x^2}}{\pa{x^2+y^2}^2}.$$
La funzione \`e simmetrica, quindi:
$$\fr{\pd f}{\pd y}=\fr{x\pa{x^2-y^2}}{\pa{y^2+x^2}^2}.$$
\item Il dominio \`e $\R^2\ssm\{y=0\}$. Calcoliamo:
$$\fr{\pd f}{\pd x}=e^{\dsi{\sin\fr{x}{y}}}\cos\pa{\fr{x}{y}}\fr{1}{y},$$
$$\fr{\pd f}{\pd y}=e^{\dsi{\sin\fr{x}{y}}}\cos\fr{x}{y}\pa{-\fr{x}{y^2}}.$$
\item La funzione $a^x$ \`e ben definita per $a>0$ ed ha derivata $a^x\log a$. Quindi devo chiedere prima di tutto che $x>0$, e poi che $y>0$. Deriviamo. Rispetto ad $x$\fn{Guardando $f$ rispetto ad $x$ possiamo riscriverla come:
$$g(x)=x^{a^x},$$
con $a$ un parametro. Quindi vediamo una potenza di $x$ con esponente $y^x$. Di conseguenza deriviamo:
$$\fr{d}{dx}x^{a^x}=x^{a^x-1}\per\fr{d}{dx}\pa{a^x}.$$
Adesso usiamo la derivata dell\6esponenziale, ottenendo:
$$x^{a^x-1}\per\fr{d}{dx}\pa{a^x}=x^{a^x-1}\per a^x\log a.$$
Risostituendo $a$ con $y$ arriviamo a sopra.}:
$$\fr{\pd f}{\pd x}=y^xx^{y^x-1}y^x\log y=y^{2x}\log yx^{y^x-1},$$
Rispetto ad $y$\fn{Guardandola da $y$ la riscriviamo come:
$$h(y)=a^{y^a},$$
con $a$ ancora un parametro. Quindi incontriamo subito un esponenziale, ed agiamo di conseguenza:
$$\fr{d}{dy}\pa{a^{y^a}}=a^{y^a}\log a\per\fr{d}{dy}\pa{y^a}.$$
Ora ci troviamo con una potenza, e quindi:
$$a^{y^a}\log a\per\fr{d}{dy}\pa{y^a}=a^{y^a}\log a\per ay^{a-1}$$.
Sostituendo $a$ con $x$ eccoci sopra.}:
$$\fr{\pd f}{\pd y}=x^{y^x}\log xxy^{x-1}=x^{y^x+1}\log xy^{x-1}.$$
\een

\sect{Un altro esercizio}
\begin{eseese}
Stabilire per quali punti di $\R^2$ la funzione
$$f(x,y)=\lb y\rb\sin\pa{x^2+y^2}$$
\`e:
\ben
\item Continua;
\item Derivabile;
\item Differenziabile.
\een
\end{eseese}
\ben
\item \`E continua in tutto $\R^2$ perché prodotto e composizione di funzioni continue.
\item Con una semplice osservazione riscriviamo a tratti $f$:
$$f(x,y)=\sistbis{y\sin\pa{x^2+y^2}}{y\geq0}{-y\sin\pa{x^2+y^2}}{y<0}.$$
Cos\`i vediamo che se $y\neq0$ $f$ \`e differenziabile (e quindi derivabile) in $(x,y)$. Infatti fuori da $y=0$ $f$ \`e prodotto di funzioni differenziabili. Cerchiamo ora di stabilire per quali $(x_0,0)$ esiste il limite del rapporto incrementale. Consideriamo:
$$\dlim_{h\to0}\fr{f(x_0+h,0)-f(x_0,0)}{h}=0.$$
Quindi
$$\fr{\pd f}{\pd x}\pa{x_0,0}=0\qquad\VA x_0\in\R.$$
Non \`e soprendente perché quando \`e in gioco solo $x$ i problemi del modulo svaniscono. Consideriamo ora:
$$\dlim_{k\to0}\fr{f(x_0,k)-f(x_0,0)}{k}=\dlim_{k\to0}\fr{\lb k\rb\sin\pa{x_0^2+k^2}-0}{k}=\dlim_{k\to0}\pa{\sgn k\sin\pa{x_0^2+k^2}}=$$
$$=\pm\sin\pa{x_0^2}.$$
Quindi la derivata non \`e definita in generale, ma se $\sin x_0^2=0$ la derivata esiste e vale $0$. Quindi \`e derivabile in ogni $\pa{\pm\rad{n\spg},0}.$
\item Calcoliamo le derivate parziali:
$$\fr{\pd f}{\pd x}=\lb y\rb2x\cos\pa{x^2+y^2}=2x\lb y\rb\cos\pa{x^2+y^2},$$
$$\fr{\pd f}{\pd y}=\sgn y\sin\pa{x^2+y^2}+\lb y\rb\cos\pa{x^2+y^2}2y\qquad y\neq0.$$
Abbiamo gi\`a osservato che se $y\neq0$ la funzione \`e differenziabile. Quindi resta da analizzare $\pa{\pm\rad{n\spg},0}$, perché se $x_0\neq\pm\rad{n\spg}$ la funzione non \`e derivabile e quindi non \`e differenziabile. Applichiamo la definizione:
$$\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{f(x_0+h,k)-f(x_0,0)-0\per h-0\per k}{\rad{h^2+k^2}}=$$
$$=\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{\lb k\rb\sin\pa{\pa{\pm\rad{n\spg}+h}^2+k^2}}{\rad{h^2+k^2}};$$
per fissare le idee stabiliamo il segno $+$ per quel $\pm$:
$$\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{\lb k\rb\sin\pa{\pa{\rad{n\spg}+h}^2+k^2}}{\rad{h^2+k^2}}=\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{\lb k\rb\sin\pa{n\spg+2h\rad{n\spg}+h^2+k^2}}{\rad{h^2+k^2}}=$$
$$=\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{\lb k\rb\sin n\spg\cos\pa{2h\rad{n\spg}+h^2+k^2}+\lb k\rb\cos n\spg\sin\pa{2h\rad{n\spg}+h^2+k^2}}{\rad{h^2+k^2}}=$$
$$=\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{\lb k\rb\cos n\spg\sin\pa{2h\rad{n\spg}+h^2+k^2}}{\rad{h^2+k^2}}=\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{\lb k\rb\cos n\spg\pa{2h\rad{n\spg}+h^2+k^2}}{\rad{h^2+k^2}}=$$
$$=\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{\lb k\rb\cos n\spg}{\rad{h^2+k^2}}\pa{2h\rad{n\spg}+h^2+k^2}=limitato\per0=0.$$
Il secondo passaggio della terza riga dopo il fissaggio del segno \`e perché l\6ar-gomento del $\sin$ tende a $0$ quindi il $\sin$ \`e asintotico all\6argomento.
\een

\sect{Un altro esercizio ancora}
\begin{eseese}
Sia data:
$$f(x,y)=\sistbis{\fr{x^3y^2}{x^4+y^6}}{(x,y)\neq(0,0)}{0}{(x,y)=(0,0)}.$$
Per prima cosa si dimostri che \`e continua nell\6origine. Come secondo punto si stabilisca se \`e differenziabile in $(0,0)$.
\end{eseese}
Questo limite \`e il tipico esercizio che si prova a farlo con coordinate polari:
$$\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{x^3y^2}{x^4+y^6}=\dlim_{\rg\to0}\fr{\rg^5\cos^3\qg\sin^2\qg}{\rg^4\cos^4\qg+\rg^6\sin^6\qg}=\dlim_{\rg\to0}\fr{\rg\cos^3\qg\sin^2\qg}{\cos^4\qg+\rg^2\sin^6\qg}.$$
Posso fare la maggiorazione:
$$\rg^4>\rg^6,$$
ossia:
$$\fr{\rg^5\cos^3\qg\sin^2\qg}{\rg^4\cos^4\qg+\rg^6\sin^6\qg}<\fr{\rg^5\cos^3\qg\sin^2\qg}{\rg^6\cos^4\qg+\rg^6\sin^6\qg}=\fr{\cos^3\qg\sin^2\qg}{\rg\pa{\cos^4\qg+\sin^6\qg}}.$$
\par Pausa.
\par OK ricominciamo daccapo con un cambio di variabili per avere un denominatore omogeneo. Cerco:
$$x=s^\ag,\quad y=t^\bg,\quad4\ag=6\bg,$$
per esempio $\ag=3,\bg=2$. Non va bene perché $y\geq0$, ma basta porre $y=\abs{t}t$.
\begin{ese}
Per esercizio potete studiare la generica funzione ``potenza francese''
$$f(t)=\abs{t}^{p-1}t.$$
\end{ese}
Il limite diventa:
$$\dlim_{(s,t)\to(0,0)}\fr{s^9t^4}{s^{12}+y^{12}},$$
e ora le polari:
$$\dlim_{\rg\to0}\fr{\rg^{13}\cos^9\qg\sin^4\qg}{\rg^{12}\pa{\cos^{12}\qg+\sin^{12}\qg}}=\dlim_{\rg\to0}\rg\fr{\cos^9\qg\sin^4\qg}{\cos^{12}\qg+\sin^{12}\qg}=0,$$
(il limite \`e per $\rg\to0^+$), perché la frazione \`e limitata:
$$\abs{\fr{\cos^9\qg\sin^4\qg}{\cos^{12}\qg+\sin^{12}\qg}}\leq\fr{1}{\cos^{12}\qg+\sin^{12}\qg},$$
quindi mostriamo che
$$\cos^{12}\qg+\sin^{12}\qg\geq c>0\qquad\VA\qg\in[0,2\pg).$$
\`E funzione continua di $\qg$ e una somma di quantit\`a positive, quindi l\6unica possibilit\`a di averla non maggiore di 0 \`e quando \`e 0, impossibile, quindi la relazione sussiste. Quindi la frazione \`e $\geq\fr{1}{c}$, per cui il limite \`e $0$.
$$\dlim_{h\to0}\fr{f(x,0)-f(0,0)}{h}=\fr{0-0}{h}=0.$$
$$\dlim_{k\to0}\fr{f(0,k)-f(0,0)}{h}=0$$
identicamente a prima. Vediamo la differenziabilit\`a:
$$\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{\fr{h^3k^2}{h^4+k^6}-f(0,0)-\dots}{\rad{h^2+k^2}}=\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{h^3k^2}{\pa{h^4+k^6}\rad{h^2+k^2}}.$$
Si vede facilmente che non esiste, per esempio considerando $k=h$:
$$\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{h^3k^2}{\pa{h^4+k^6}\rad{h^2+k^2}}=\dlim_{(h\to0)}\fr{h^5}{\pa{h^4+h^6}\rad{2}\abs{h}},$$
che non esiste perché c'\`e quel modulo.

\sect{Ancora differenziabilit\`a e derivate direzionali}
\begin{eseese}
Sia data:
$$f(x,y)=\rad[3]{x^2\pa{y-1}}+1.$$
Verificare che non \`e differenziabile in $(0,1)$ e calcolare le derivate direzionali di $f$ in $(0,1)$.
\end{eseese}
Vediamo le derivate parziali:
$$\dlim_{h\to0}\fr{f(h,1)-f(0,1)}{h}=\dlim_{h\to0}\fr{0-0}{h}=0.$$
$$\dlim_{k\to0}\fr{f(0,1+k)-f(0,1)}{h}=\dlim_{h\to0}\fr{0-0}{h}=0.$$
Consideriamo allora:
$$\fr{f(h,1+k)-f(0,1)-\fr{\pd f}{\pd x}(0,1)h-\fr{\pd f}{\pd y}(0,1)k}{\rad{h^2+k^2}}=\fr{f(h,1+k)-1-0-0}{\rad{h^2+k^2}}=$$
$$=\fr{\rad[3]{h^2k}+1-1}{\rad{h^2+k^2}}=\fr{\rad[3]{h^2k}}{\rad{h^2+k^2}}.$$
Calcoliamone in coordinate polari il limite per $(h,k)\to(0,0)$:
$$\dlim_{\rg\to0^+}\rg\fr{\rad[3]{\cos^2\qg\sin\qg}}{\rg}=\dlim_{\rg\to0^+}\pa{\rad[3]{\cos^2\qg\sin\qg}},$$
che non esiste. Verifichiamo la derivabilit\`a Prendiamo:
$$\ubar{v}\in\R^2:\norm{\ubar{v}}=1\sse\ubar{v}=\pa{\cos\sag,\sin\sag}\,\,\sag\in[0,2\pg).$$
Sciviamo il rapporto incrementale:
$$\dlim_{t\to0}\fr{f(t\cos\sag,1+t\sin\sag)-f(0,1)}{t}=\dlim_{t\to0}\fr{\rad[3]{t^2\cos^2\sag \per t\sin\sag}+1-1}{t}=$$
$$=\dlim_{t\to0}\rad[3]{\cos^2\sag\sin\sag}.$$

\sect{Ancam\`o}
\begin{eseese}
$$f(x,y)=\sistbis{\rad[3]{y}e^{\dsi{-\fr{y^2}{x^4}}}}{x\neq0}{0}{x=0}.$$
Dimostrare che:
\ben
\item $f$ \`e continua nell\6origine;
\item $f$ \`e derivabile in ogni direzione nell\6origine;
\item Vale la formula del gradiente;
\item $f$ non \`e differenziabile.
\een
\end{eseese}
\ben
\item $$\dlim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0$$
\`e la definizione di continuit\`a. Vediamolo. Prima osserviamo che:
$$\abs{\rad[3]{y}e^{\dsi{-\fr{y^2}{x^4}}}}\leq\abs{\rad[3]{y}}\to0,$$
tende a $0$ per $y\to0$ e quindi in particolare per $(x,y)\to(0,0)$, quindi il limite sopra vale. In realt\`a il limite sopra \`e per $x\neq0$, ma per $x=0$ la funzione \`e sempre $0$ quindi il limite \`e comunque $0$.
\item Consideriamo ora un generico
$$\ubar{v}=\pa{\cos\sag,\sin\sag}.$$
Consideriamo:
$$\dlim_{t\to0}\fr{f(t\cos\sag,t\sin\sag)-f(0,0)}{t}=\dlim_{t\to0}\fr{\rad[3]{t\sin\sag}e^{\dsi{-\fr{\pa{t\sin\sag}^2}{\pa{t\cos\sag}^4}}}-0}{t}=$$
$$=\dlim_{t\to0}t^{\dsi{-\fr{2}{3}}}\rad[3]{\sin\sag}e^{\dsi{-\fr{\sin^2\sag}{t^2\cos^4\sag}}}.$$
Innanzitutto consideriamo
$$\cos\sag\neq0\implies\ag\neq\fr{1}{2}\pg\et\ag\neq\fr{3}{2}\pg.$$
Ho uno $0$ esponenziale e un infinito di ordine $\fr{2}{3}$, quindi prevale lo $0$ e il limite \`e $0$. Quindi con quella condizione su $\sag$ il limite \`e sempre $0$. Se invece siamo fuori dalla condizione,
$$(t\cos\sag,t\sin\sag)=(0,\pm t),$$
ma per $x=0$ $f$ va in $0$, quindi ho $\fr{0-0}{t}=0$: il limite \`e sempre $0$.
\item Vale la formula del gradiente, perché le derivate direzionali sono tutte $0$ e il gradiente di $f$ \`e $(0,0)$, e $\lab(0,0),\ubar{v}\rab=0.$
\item Verifichiamo che non \`e differenziabile. Dimostriamo che:
$$\dlim_{(h,k)\to0}di\dots$$
lo facciamo la prossima volta.
\een


\incle
\chapter{\lez{30/10/2013}}

\sect{Finiamo il discorso su Taylor}

\ssect{Arriviamo alla formula generale}
Abbiamo visto che data $f\in C^n(\Wg)$ con $\Wg\sbse\R^n$ aperto, fissato $P\in\Wg$, e $H\in\R^n$ (ossia $H=(h_1,\dots,h_n)$), posso parametrizzare il segmento tra $P$ e $P+H$ come $P+tH$ con $t\in[0,1]$. Avevamo posto $\Lg(t)=f(P+tH)$ e poi avevamo scritto:
$$\Lg(t)=\dsum_{k=0}^m\fr{\Lg^{(k)}(t)}{k!}t^k+o(t^m),$$
e cercato di calcolare le derivate di $\Lg$ a partire da $f$. Avevamo osservato che nella somma risultante per la derivata $k-sima$,
$$\dsum_{i_1,\dots,i_k=1}^n\fr{\pd^kf}{\pd x_{i_1}\pd x_{i_2}\dots\pd x_{i_k}}(P)h_{i_1}\dots h_{i_k},$$
compaiono termini del tipo:
$$D^{\vct{q}}f(P)H^{\vct{q}},$$
e stabilito che compare un numero di volte pari, dato $\vct{q}$ multi-indice con $\lb\vct{q}\rb=k$, al numero di parole distinte che posso formare con $n$ lettere di cui la prima ripetuta $q_1$ volte, la seconda $q_2$ volte, ..., la $n$-sima $q_n$ volte, che veniva:
$$\fr{\abs{\vct{q}}!}{\vct{q}!}.$$
Quindi posso riscrivere la somma di prima come:
$$\dsum_{\abs{\vct{q}}=k}\fr{\abs{\vct{q}}!}{\vct{q}!}D^{\vct{q}}(P)H^{\vct{q}}.$$
Quindi
$$\fr{\Lg^{(k)}(0)}{k!}=\fr{1}{\norm{H}^k}\dsum_{\abs{\vct{q}}=k}\fr{\abs{\vct{q}}!}{\vct{q}!k!}D^{\vct{q}}(P)H^{\vct{q}}=\fr{1}{\norm{H}^k}\dsum_{\abs{\vct{q}}=k}\fr{1}{\vct{q}!}D^{\vct{q}}(P)H^{\vct{q}}.$$
Riscriviamo la formula di Taylor\fn{Osservo ora che sopra ho sbagliato: $\abs{\vct{q}}=k$ non significa $\vct{q}\in\N^k$, ma $\vct{q}=(q_1,\dots,q_n)$ e $\dsum_iq_i=k$. I multi-indice saranno in $\N^n$, perché dato $f$ definita in $\R^n$ devo sapere quante volte derivare rispetto a ciascuna delle $n$ variabili $x_k$.} di $\Lg$ con questo risultato. Prima per\`o osserviamo che per $H\to0$ posso considerare $t=\norm{H}$. Scriviamo:
$$f(P+tH)=\dsum_{k=0}^m\pa{\fr{1}{\norm{H}^k}\dsum_{\abs{\vct{q}}=k}\fr{1}{\vct{q}!}D^{\vct{q}}(P)H^{\vct{q}}}t^k+o(\norm{H}^m)=$$
$$=\dsum_{\abs{\vct{q}}\leq m}\fr{1}{t^k}\fr{1}{\vct{q}!}D^{\vct{q}}(P)H^{\vct{q}}t^k+o(\norm{H}^m)=\dsum_{\abs{\vct{q}}\leq m}\fr{1}{\vct{q}!}D^{\vct{q}}(P)H^{\vct{q}}+o(\norm{H}^m).$$
E questa \`e la \tbold{formula di Taylor con centro in $P$ e resto di Peano, di ordine $m$}. Come ottengo quella col resto di Lagrange? Basta mettere il resto di Lagrange all\6inizio, per\`o serve $f\in C^{n+1}(\Wg)$. Quindi:
\begin{oss}[name=Taylor-Lagrange polivariato,label=thm:oss:TaylLagrPoliv]
Se $f\in C^{n+1}(\Wg)$ il resto si pu\`o scrivere nella forma di Lagrange\fn{Davvero quella seconda somma per $\abs{\vct{q}}\leq m+1$? Avrei detto solo per $\abs{\vct{q}}=1$. E ho ragione, perché ci serve la derivata $m+1$-sima di $\Lg$ che ha la somma solo per $\abs{\vct{q}}=m+1$.}:
$$f(P+H)=\dsum_{\abs{\vct{q}}\leq m}\pa{\fr{D^{\vct{q}}f(P)}{\vct{q}!}H^{\vct{q}}}+\dsum_{\abs{\vct{q}}\leq m+1}\pa{\fr{D^{\vct{q}}f(\jg)}{\vct{q}!}H^{\vct{q}}}.$$
\end{oss}
Cosa sar\`a allora il polinomio di Taylor della funzione $f$ di ordine $m$ centrato in $P$? Sar\`a in $n$ variabili.
$$T_{P,m}(h_1,\dots,h_n)=\dsum_{\abs{\vct{q}}\leq m}\fr{D^{\vct{q}}f(P)}{\vct{q}!}H^{\vct{q}},$$
dove
$$H=(h_1,\dots,h_n).$$
Quindi un polinomio di grado $m$ nelle $n$ variabili $h_i$.

\sect{Esempi}
Vediamo un po\6 di esempi.

\ssect{Ordine 1 e differenziabilit\`a}
\begin{es}[{name=[Taylor polivariato di ordine 1]}]
Cominciamo ad esempio dall\6ordine 1:
$$T_{P,1}(h_1,\dots,h_n)=\dsum_{\abs{\vct{q}}\leq 1}\fr{D^{\vct{q}}f(P)}{\vct{q}!}H^{\vct{q}}.$$
\end{es}
Multi-indici di lunghezza $0$ ce n'\`e solo 1, quello di componenti tutte nulle $\vct{q}=\ubar{0}$; derivare rispetto a quello \`e non derivare\fn{Infatti starei derivando rispetto a tutte le variabili 0 volte, ossia non starei derivando, appunto.}; il fattoriale di quello \`e 1\fn{\`E il prodotto di tanti $0!=1$.}; $H^{\ubar{0}}$ \`e 1\fn{Infatti \`e il prodotto di tutte le componenti di $H$ elevate alla $0$, ossia di tanti uni.}; quindi resta solo $f(P)$. Multi-indici di lunghezza $1$ ce ne sono $n$, tutte componenti nulle tranne una. Resta:
$$T_{P,1}(h_1,\dots,h_n)=f(P)+\dsum_{k=1}^n\fr{\pd f}{\pd x_k}(P)h_i=f(P)+\pa{\grad f(P),H)},$$
ossia il piano tangente.
\begin{es}[{name=[Taylor polivariato di ordine 2]}]
Vediamo di ordine due.
\end{es}
Resta:
$$T_{P,1}(h_1,\dots,h_n)=f(P)+\pa{\grad f(P),H)}+\dsum_{\abs{\vct{q}}=2}\fr{D^{\vct{q}}f(P)}{\vct{q}!}H^{\vct{q}}.$$
Multi-indici di lunghezza due ce n'\`e di due tipi: tutti zeri tranne un due e tutti zeri tranne due uni. Il primo tipo ha fattoriale $2!0!\dots=2!=2$, la derivata l\`i \`e la derivata seconda rispetto ad $x_i$ e $H$ a quello \`e $h_i^2$. Il secondo ha due uni, $i$ e $j$ con $i\neq j$, quindi avr\`o il fattoriale $1!1!0!\dots=1$, la derivata rispetto a $\pd x_i\pd x_j$ e $H^{\vct{q}}=h_ih_j$. Quindi resta:
$$T_{P,1}(h_1,\dots,h_n)=f(P)+\pa{\grad f(P),H)}+\fr{1}{2}\dsum_{i=1}^n\fr{\pd^2f}{\pd x_i^2}(P)h_i^2+\fr{1}{2}\dsum_{i,j=1}^n\fr{\pd^2f}{\pd x_i\pd x_j}(P)h_ih_j,$$
dove la seconda somma \`e dimezzata perché scriviamo tutte le derivate due volte con quella somma mentre nel multi-indice solo una volta. Scriviamolo in forma pi\`u compatta:
$$T_{P,1}(h_1,\dots,h_n)=f(P)+\pa{\grad f(P),H)}+\fr{1}{2}\pa{\s{H}_f(P)H,H},$$
ove:
$$\s{H}_f(P)=\sq{\mat{cccc}\fr{\pd^2f}{\pd x_1^2}(P)&\fr{\pd^2f}{\pd x_1\pd x_2}(P)&\dots&\fr{\pd^2f}{ x_1\pd x_n}(P)\\\fr{\pd^2f}{\pd x_2\pd x_1}(P)&\fr{\pd^2f}{\pd x_2^2}(P)&\dots&\fr{\pd^2f}{\pd x_2\pd x_m}(P)\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\fr{\pd^2f}{\pd x_n\pd x_1}(P)&\fr{\pd^2f}{\pd x_n\pd x_2}(P)&\dots&\fr{\pd^2f}{\pd x_n\pd x_m}(P)\emat}.$$
\begin{defi}[name=Matrice Hessiana,label=thm:defi:Hess]
$\s{H}_f$ si dice \bemph{matrice Hessiana di $f$ in $P$}.
\end{defi}
\begin{oss}[name=Simmetria di $\protect\s{H}_f$,label=thm:oss:SimmHess]
$\s{H}_f$ \`e sicuramente simmetrica per il Teorema di Schwarz.
\end{oss}
\begin{es}[name=Taylor-Lagrange e Taylor-Peano di ordine 1,label=thm:es:TaylorBothOrd1]
Se $f\in C^1(\Wg)$ posso scrivere:
$$f(P+H)=f(P)+\pa{\grad f(\jg),H}$$
con $\jg=P+tH$ per qualche $t\in[0,1]$, che \`e la formula di Taylor di di ordine 0 centro $P$ con resto di Lagrange. Posso invece scrivere anche la formula di ordine 1 con resto di Peano:
$$f(P+H)=f(P)+\pa{\grad f(P),H}+o(\norm{H}).$$
\end{es}
La prima ricorda il teorema di Lagrange usato per dimostrare il Teorema di Schwarz, la seconda \`e la definizione di differenziabilit\`a.

\ssect{Ordine 2}
\begin{es}[name=Taylor-Peano e Taylor-Lagrange di Ordine 2,label=thm:es:TaylBothOrd2]
Se invece $f\in C^2(\Wg)$, scrivo quella di ordine 1 con resto di Lagrange:
$$f(P+H)=f(P)+\pa{\grad f(P),H}+\fr{1}{2}\pa{\s{H}_f(\jg)H,H},$$
con $\jg=P+tH$ come sopra. Arrivo con Peano all\6ordine 2:
$$f(P+H)=f(P)+\pa{\grad f(P),H}+\fr{1}{2}\pa{\s{H}_f(P)H,H}+o(\norm{H}^2).$$
\end{es}
Tutti gli $o$ piccoli sono per $H\to\ubar{0}$.
\par Dopo la pausa andiamo a vedere qualche applicazione della formula di Taylor. Pausa.

\sect{Un Teorema: gradiente e costanza su un connesso}
\begin{teor}
Sia $\Wg\sbse\R^n$ aperto connesso e $f\in C^1(\Wg):\grad F(P)=0\quad\VA P\in\Wg$. Allora $f$ \`e costante.
\end{teor}
Ricordiamo che:
\begin{defi}
$\Wg\sbse\R^n$ aperto si dice \emph{sconnesso} se lo posso scrivere come unione di due insiemi aperti non vuoti e disgiunti, ovvero:
$$\3A_1,A_2\sbse\R^n\,\,aperti:A_1\cap A_2=\0\et A_1\cup A_2=\Wg.$$
\end{defi}
Il teorema sopra \`e una generalizzazione del teorema che afferma che una funzione $f$ reale monovariata ha derivata nulla su un connesso se e solo se \`e costante.
\par Dimostriamolo.
\par Fissiamo $P_0\in\Wg$ (implicitamente assunto non vuoto). Consideriamo:
$$\Lg=\{P\in\Wg:f(P)=f(P_0)\}=f^{-1}(\{f(P_0)\}).$$
\`E sicuramente chiuso. Perché \`e la controimmagine di un chiuso tramite $f$ che \`e continua (anzi $C^1$) per ipotesi. Inoltre \`e non vuoto, perché sicuramente $P_0\in\Lg$. Dimostriamo che \`e anche aperto. Prendiamo $P\in\Lg$ e dimostriamo che
$$\3r>0:B_r(P)\in\Lg.$$
Di sicuro esiste un $r$ per cui $B_r(P)\in\Wg$ perché $\Wg$ \`e aperto. Quindi per ogni $H:\norm{H}<r$ si ha $P+tH\in\Wg\,\,\VA t\in[0,1]$, ovvero il segmento $\lbar{P,P+H}$ \`e tutto contenuto in $\Wg$. Dato che $f$ \`e di classe $C^1$ posso scrivere la formula di Taylor di ordine $0$ col resto di Lagrange:
$$f(P+H)=f(P)+\pa{\grad f(\jg),H}\quad \jg\in\lbar{P,P+H}.$$
Per\`o il secondo termine \`e nullo perché $\jg\in\Wg$ e quindi il gradiente in $\jg$ \`e $0$. Quindi $f(P+H)=f(P)$, che essendo $P\in\Lg$ \`e anche $f(P_0)$. Quindi:
$$H\in\R^n\et\norm{H}<r\implies f(P+H)=f(P_0),$$
ovvero $P+H\in\Lg$. Quindi abbiamo trovato la palla cercata: $\Lg$ \`e aperto. Ora ragioniamo per assurdo: supponiamo $\Lg\neq\Wg$. Potrei allora scrivere:
$$\Wg=\Lg\cup\pa{\Wg\ssm\Lg},$$
dove $\Lg$ \`e aperto come appena dimostrato, e $\Wg\ssm\Lg$ \`e aperto perché $\Lg$ \`e chiuso, $\Lg$ \`e non vuoto, e pure il complementare, per ipotesi di assurdo, quindi avrei negato la connessione di $\Wg$, assurdo\fn{Gli analisti, come Soardi, amano ragionare per assurdo anche quando non \`e strettamente necessario. Qua bastava dire che $\Lg$ \`e sia chiuso che aperto, e per la connessione di $\Wg$ questo implica $\Lg=\Wg$ in quanto il complementare deve essere vuoto. Infatti
$$\Wg=\Lg\cup\pa{\Wg\ssm\Lg},$$
e se $\Lg$ \`e aperto e chiuso allora quei due insiemi due aperti disgiunti, quindi per non negare la connessione di $\Wg$ devo supporre $\Wg\ssm\Lg=\0\vel\Lg=\0$, ed avendo escluso la seconda non resta che la prima.}.

\sect{Problemi di massimi e minimi locali per funzioni di pi\`u variabili}

\ssect{Definizioni}
\begin{defi}
Sia $\Wg\sbse\R^n$ aperto, $P\in\Wg$ e $f:\Wg\to\R$. Dico che $P$ \`e un punto di \emph{minimo locale (o relativo) per $f$} se esiste un intorno $U$ di $P$ in $\Wg$ per cui $f(Q)\geq f(P)$ $\VA Q\in\Wg\cap U$.
\end{defi}
\begin{defi}
Si dice di \emph{minimo stretto} se $f(Q)>f(P)$ per ogni $Q\in\Wg\cap U\ssm\{P\}$.
\end{defi}
Analogamente le definizioni per il minimo con le disuguaglianze invertite.

\ssect{Condizione necessaria perché si abbia un massimo o minimo locale}
\begin{teor}
Siano $\Wg\sbse\R^n$ aperto, $f:\Wg\to\R^n$ e $P\in\Wg$ ove $f$ sia differenziabile. Se $f$ ha nel punto $P$ un punto di massimo o di minimo locale allora $df(P)=0$.
\end{teor}
\begin{defi}
Se $f$ \`e differenziabile in $P$ e $df(P)=0$ (ovvero $\grad f(P)=0$) si dice che $P$ \`e un punto stazionario per $f$ o picco per $f$.
\end{defi}
Dim.
\par Prendiamo $P\in\Wg$, quindi $P=(x_1,\dots,x_n)$. Supponiamo che sia di massimo locale (per fissare le idee). Fissiamo una variabile ovvero un indice $k\in\{1\dots n\}$ e considero:
$$\lgr(t)=f(P+te_k)=f(x_1,\dots,x_k+t,\dots,x_n).$$
Per $t$ abbastanza piccolo \`e ben definita in quanto $P+te_k\in\Wg$. Vale a dire che $\lgr$ \`e definita in un intorno di $t=0$. Inoltre \`e derivabile in $0$, perché $f$ \`e differenziabile, quindi ha tutte le derivate parziali, e la derivata di $\lgr$ non \`e che la derivata parziale di $f$ rispetto ad $x_k$. Inoltre $\lgr$ ha un punto di massimo locale in $0$ per il massimo locale di $f$. Infatti $\lgr$ non \`e che la restrizione di $f$ alla retta passante per $P$ e parallela all\6asse $k$-simo. Di conseguenza Analisi 1 ci dice che:
$$\fr{d\lgr(t)}{dt}(0)=0,$$
ma
$$\fr{d\lgr(t)}{dt}=\fr{\pd f}{\pd x_k},$$
quindi ripetendo il ragionamento su tutte le $x_k$ proviamo l\6asserto.

\ssect{Il viceversa non vale: controesempio}
\begin{oss}
Come gi\`a in una variabile, non vale il viceversa.
\end{oss}
Vediamo un controesempio in 2 variabili.
\begin{es}
Prendiamo $f:\R^2\to\R$ definita come:
$$f(x,y)=y^2-x^2.$$
\end{es}
Ovviamente \`e differenziabile. Quali sono i punti stazionari? Vediamo il gradiente:
$$\grad f(x,y)=\pa{-2x,2y}.$$
Quindi $(0,0)$ \`e un punto stazionario, per\`o non \`e né di massimo né di minimo locale. Infatti restringendola a $x=0$ otteniamo una parabola con concavit\`a verso l\6alto, quindi la restrizione ha un minimo nell\6origine, mentre restringendola ad $x=0$ \`e sempre una parabola ma girata dall\6altra parte, quindi ha un punto di massimo.
\par Direi che possiamo chiudere qui per oggi. Domani avete un\6ora con me e un\6ora di esercitazione. Vi consiglio per domani di ripassare un po\6 di algebra lineare che ci serve. In particolare la nozione di matrice definita positiva e matrice definita negativa.

\sect{Sistemiamo la connessione}
Come emerso a lezione, esistono pi\`u definizioni equivalenti di connessione. Noi ne abbiamo tutti sentite due: quella di Soardi e quella della Felli. Ce n'è anche un\6altra, quella di Ferrario, equivalente a quella della Felli con dimostrazione immediata dell\6equivalenza, che conosce chi ha seguito Geometria l\6anno scorso. Ora le d\`o tutte e tre:
\begin{deficonn}
\bemph{(di Soardi)} $\Wg\sbse\R^n$ si dice \emph{connesso} se non \`e possibile dividerlo in due insiemi non vuoti e separati, ossia se:
$$\nex A,B\sbse\Wg:A,B\neq\0\et\lbar{A}\cap B=A\cap\lbar{B}=\0\et A\cup B=\Wg.$$
\end{deficonn}
\begin{deficonn}
\bemph{(di Ferrario)} $\Wg\sbse\R^n$ si dice \emph{connesso} se gli unici \emph{clopen} (ovvero insieme sia aperto che chiuso) di $\Wg$ sono $\Wg$ e il vuoto, ovvero:
$$A\sbse\Wg\,\,aperto\et A\,\,chiuso\implies A=\Wg\vel A=\0.$$
\end{deficonn}
\begin{deficonn}
\bemph{(della Felli)} $\Wg\sbse\R^n$ si dice \emph{connesso} se non \`e possibile dividerlo in due insiemi non vuoti, aperti e disgiunti, ovvero:
$$\nex A,B\sbse\Wg\,\,aperti:A,B\neq\0\et A\cap B=\0\et A\cup B=\Wg.$$
\end{deficonn}
Naturalmente queste definizioni vanno bene per sottoinsiemi di spazi topologici generici, basta avere il concetto di ``aperto'\6 e ``chiuso'', ma tanto vale dire di $\R^n$ per fissare le idee.
\ben
\item \`E pressoché immediato vedere (Ferrarius ipse docet) che la definizione ``di Ferrario'\6 e quella ``della Felli'\6 sono equivalenti. Infatti:
\bi
\item se ho un clopen $A$ non vuoto diverso da $\Wg$ il suo complementare $B=\Wg\ssm A$ \`e aperto poiché $A$ \`e chiuso, e non vuoto perché $A\neq\Wg$, quindi $A$ e $B$ sono due sottoinsiemi aperti, non vuoti, disgiunti e complementari, il che significa che abbiamo negato la definizione ``della Felli'\6 semplicemente negando quella ``di Ferrario'\6;
\item viceversa, se trovo due insieme aperti, non vuoti, disgiunti e complementari, negando la definizione ``della Felli'\6, nego anche quella ``di Ferrario'\6, perché uno di essi \`e sia aperto, per ipotesi, che chiuso, in quanto complementare di un aperto.
\ei
\item Era invece un esercizio di Geometria 1 dimostrare l\6equivalenza delle altre due. Ora tenter\`o di farlo. Come mi ha fatto notare MC, si pu\`o fare in due modi diversi: il suo modo nel primo punto usa due insiemi chiusi come sotto mentre nel secondo dimostra che $A$ e $B$ sono chiusi, il mio usa invece due aperti nel primo punto e dimostra, come sotto, che $A$ e $B$ sono aperti. Dunque:
\bi
\item Prima dimostriamo che non Felli implica non Soa. Se non Felli, allora esistono due chiusi $A,B$ non vuoti, disgiunti e complementari. Dato che sono chiusi, naturalmente $A=\lbar{A}$ e $B=\lbar{B}$. Da $A\cap B=\0$ si deduce $\lbar{A}\cap B=A\cap\lbar{B}=\0$, cio\`e non Soa.
\item Se invece non Soa, considero gli insiemi $A,B$ non vuoti e separati che discendono dal non Soa. Da $\lbar{A}\cap B=\0$ discende che $A\cap B=\0$, poiché $A\sbse\lbar{A}$. Noi sappiamo che $A\cup B=\Wg$, dove $\Wg$ \`e il tutto. Essendo $\lbar{A}\cap B=\0$ per ipotesi, anche $\lbar{A}$ e $B$ sono complementari. Essendo $\lbar{A}$ chiuso, $B$ risulta aperto. Ragionando analogamente su $\lbar{B}$ e $A$, otteniamo che anche $A$ \`e aperto. Ma allora abbiamo due insiemi aperti, non vuoti, disgiunti e complementari: abbiamo negato Felli.
\ei
\een


\incle
\chapter{\lez{mezzo 31/10/2013}}

\sect{Un quanto di richiami algebrici lineari}
\begin{defi}
Sia $A=(a_{ij})$ una matrice $n\x n$ a coefficienti reali simmetrica, ovvero $a_{ij}=a_{ji}\quad\VA i,j$. Sappiamo che ha $n$ autovalori reali. Si dice \emph{definita positiva} se
$$\3\ag>0:\pa{A\pa{\mat{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\emat},\pa{\mat{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\emat}}\geq\ag\norm{\pa{\mat{c}x_1\\\vdots\\x_n\emat}}^2,$$
ovvero
$$\dsum_{i,j=1}^na_{ij}x_ix_j\geq\ag\dsum_{i=1}^nx_i^2\quad\VA\pa{\mat{c}x_1\\\vdots\\x_n\emat}\in\R^n.$$
\end{defi}
Sappiamo che una matrice \`e definita positiva $\sse$ tutti gli autovalori sono positivi, e per una matrice definita positiva la massima $\sag$ che possiamo metterci \`e il minimo autovalore della matrice.
\begin{defi}
Si dice che $A$ \`e \emph{semi-definita positiva} se
$$\pa{A\ubar{x},\ubar{x}}\geq0\quad\VA\vct{x}\in\R^n.$$
\end{defi}
Questo \`e equivalente ad avere tutti gli autovalori non negativi.
\begin{defi}
Si dice che \`e \emph{definita negativa} se
$$\3\ag<0:\pa{A\pa{\mat{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\emat},\pa{\mat{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\emat}}\leq\ag\norm{\pa{\mat{c}x_1\\\vdots\\x_n\emat}}^2,$$
ovvero
$$\dsum_{i,j=1}^na_{ij}x_ix_j\leq\ag\dsum_{i=1}^nx_i^2\quad\VA\pa{\mat{c}x_1\\\vdots\\x_n\emat}\in\R^n.$$
\end{defi}
Qua \`e equivalente ad avere tutti gli autovalori strettamente negativi. La migliore $\sag$ \`e il minimo autovalore.
\begin{defi}
$A$ si dice \emph{semi-definita negativa} se
$$\pa{A\ubar{x},\ubar{x}}\leq0\quad\VA\vct{x}\in\R^n.$$
\end{defi}
semi-definita negativa $\sse$ tutti non positivi.
\begin{defi}
$A$ \`e indefinita se
$$\3\ubar{x},\ubar{y}\in\R^n:\pa{A\ubar{x},\ubar{x}}>0\et\pa{A\ubar{y},\ubar{y}}<0.$$
\end{defi}
Indefinita $\sse$ $\3\lgr_i,\lgr_j:\lgr_i>0\et\lgr_j<0$.

\sect{Condizione necessaria perché un punto sia di massimo/minimo}
\begin{teor}
Sia $f\in C^2(\Wg)$ con $\Wg\sbse\R^n$ aperto, e $P\in\Wg$ un punto di minimo locale per $f$. Allora la matrice Hessiana di $f$ in $P$, $\s{H}_f(P)$, \`e semi-definita positiva. Analogamente, se $P$ \`e un punto di massimo locale la matrice \`e semi-definita negativa.
\end{teor}
Dim.
\par Sia $P$ un punto di minimo locale. Per quanto visto ieri sappiamo che \`e stazionario, quindi il differenziale di $f$ in $P$ \`e $0$:
$$df(P)=0.$$
$\VA H\in\R^n,\,t\,\,\hbox{sufficientemente piccolo},\quad \lbar{P,P+tH}\sbse\Wg,$, quindi scriviamo la formula di Taylor di ordine 2\fn{Il passaggio
$$o(\norm{tH}^2)=o(t^2)$$
\`e dovuto al fatto che $\norm{H}$ \`e una costante perché $H$ \`e fissato, mentre $t$ sta tendendo a $0$. Il gradiente viene poi eliminato poiché, essendo $P$ di minimo locale, sappiamo che
$$\grad f(P)=(0,0,\dots,0).$$
Infine la riscrittura del termine contenente $\s{H}_f(P)$ dipende dalla linearit\`a del prodotto scalare in ambo i ``fattori''.}:
$$f(P+tH)-f(P)=\pa{\grad f(P),tH}+\fr{1}{2}\pa{\s{H}_f(P)tH,tH}+o(\norm{tH}^2)=$$
$$=\fr{1}{2}t^2\pa{\s{H}_f(P)H,H}+o(t^2).$$
Essendo $P$ un minimo, per $t$ piccolo la differenza $f(P+tH)-f(P)$ sar\`a non negativa, quindi:
$$\fr{1}{2}t^2\pa{\s{H}_f(P)H,H}+o(t^2)\geq0.$$
Dividendo per $t^2$ e facendo tendere $t$ a $0$ otteniamo:
$$\pa{\s{H}_f(P)H,H}\geq0,$$
cio\`e la tesi.
\begin{oss}
Se $P$ \`e un punto stazionario di $f\in C^2(\Wg)$ e se la matrice Hessiana di $f$ in $P$ ($\s{H}_f(P)$) \`e indefinita, il punto non \`e né di minimo né di massimo.
\end{oss}
\begin{defi}
In questo caso (ovvero che non sia né di massimo né di minimo) diciamo che $P$ \`e un \bemph{punto di sella}.
\end{defi}

\sect{Controesempio al viceversa e condizione sufficiente}
\begin{oss}
Il viceversa del teorema \`e falso, cio\`e se $\s{H}_f(P)$ \`e semi-definita positiva (negativa) questo in generale non implica che $P$ sia di minimo (massimo) locale.
\end{oss}
\begin{es}
$$f(x,y)=x^4-y^4.$$
\end{es}
Cerchiamo tra i punti che annullano il gradiente:
$$\grad f(x,y)=(4x^3,-4y^3).$$
Quindi l\6unico candidato \`e l\6origine. Ma questo non \`e né l\6uno né l\6altro, basta restringerla a $yz$ ($x=0$) e $xz$ ($y=0$). Quindi \`e una sella. Studiamo allora la matrice Hessiana\fn{Giustamente $2\x2$ perché $f$ \`e a due variabili, e contenente nei posti giusti le derivate parziali seconde giuste.}:
$$\s{H}_f(x,y)=\sq{\mat{cc}12x^2&0\\0&-12y^2\emat}.$$
Calcolata nell\6origine \`e la matrice nulla, i cui autovalori sono solo lo $0$. Quindi sono non negativi, quindi \`e semi-definita positiva\fn{Forse questo non \`e l\6esempio pi\`u felice, perché uno dice: s\`i vabbe\6 \`e la matrice nulla, \`e anche semi-definita negativa se \`e per questo, chi mi dice che se escludo una condizione (per esempio vedo che non \`e semi-definita positiva) non sia sufficiente a dire che abbiamo un estremante (semi-definita negativa, quindi un massimo)? Si veda sotto per un tentativo di costruire un esempio pi\`u felice.}.
\begin{teor}
$\Wg\sbse\R^n$ aperto, $f\in C^2(\Wg)$, $P\in\Wg$ stazionario per $f$ ($df(P)=0$). Se $\s{H}_f(P)$ \`e definita positiva (negativa) allora $P$ \`e un punto di minimo (massimo) locale stretto.
\end{teor}
Dim.
\par Supponiamo $\s{H}_f(P)$ definita positiva. Quindi
$$\3\ag>0:\pa{\s{H}_f(P)H,H}\geq\ag\norm{H}^2\quad\VA H\in\R^n.$$
Se $\lbar{P,P+tH}\sbse\Wg$, possiamo scrivere la formula di Taylor di ordine 2, centrata in $P$, con resto di Peano:
$$f(P+H)-f(P)=\pa{\grad f(P),H}+\fr{1}{2}\pa{\s{H}_f(P)H,H}+R(H)\quad con\,\,R(H)+o(\norm{H}^2).$$
L\6ipotesi mi dice che il secondo membro\fn{Scordandosi naturalmente il termine col gradiente che \`e nullo perché $P$ \`e stazionario per ipotesi.} \`e maggiore o uguale a:
$$\fr{\ag}{2}\norm{H}^2+R(H).$$
Il fatto che $R(H)=o(\norm{H}^2)$ mi dice che $\fr{R(H)}{\norm{H}^2}\to0\quad per\,\,H\to0$. Quindi
$$\3\dg>0:\norm{H}<\dg\implies\fr{\abs{R(H)}}{\norm{H}^2}<\fr{\ag}{4}\et B(P,\dg)\sbse\Wg.$$
Se $\norm{H}<\dg$ quindi abbiamo:
$$f(P+H)-f(P)\geq\fr{\ag}{2}\norm{H}^2-\fr{\ag}{4}\norm{H}^2=\fr{\ag}{4}\norm{H}^2\geq0,$$
e strettamente maggiore se $H\neq0$. Quindi $P$ \`e un minimo locale stretto.

\sect{Un esercizio finale}
\begin{ese}
Trovare i punti stazionari della funzione
$$f(x,y)=\pa{y^2-x^2}\pa{y-1}^2$$
e discuterne la natura.
\end{ese}
Caolcoliamo le derivate parziali:
$$\fr{\pd f}{\pd x}=-2x\pa{y-1}^2,$$
$$\fr{\pd f}{\pd y}=2y\pa{y-1}^2+\pa{y^2-x^2}2\pa{y-1}=2\pa{y-1}\sq{y^2-y+y^2-x^2}=$$
$$=2\pa{y-1}\sq{2y^2-y-x^2}.$$
Annulliamole. Che annullano la prima ci sono $x=0$ e $y=1$ (annullando uno dei due fattori). Se $x=0$ quando si annulla la seconda? Se
$$\pa{y-1}\pa{2y^2-y}=y\pa{y-1}\pa{2y-1}=0,$$
quindi per $y=1$ o $y=0$ o $y=\fr{1}{2}$. Quindi per ora abbiamo:
$$\pa{0,1},\pa{0,0},\pa{0,\fr{1}{2}}.$$
Per\`o per $y=1$ si annullano entrambe. Quindi oltre a quei tre ci sono tutti i punti
$$(x,1)\qquad\VA x\in\R.$$

\sect{Convinciamoci dei teoremi dati come richiami di Algebra Lineare, sistemiamo quel problema di esempio infelice e finiamo questo esercizio}

\ssect{Gli pseudo-richiami}
Io non so voi, ma non ho mai sentito parlare di ``matrice definita positiva'', semmai di ``prodotto scalare definito positivo''. Voglio per\`o osservare che se la matrice \`e definita positiva, lo \`e anche il prodotto scalare associato. Infatti essendo $A$ simmetrica, che io calcoli $A\ubar{x}$ o $\ubar{x}^tA$ ottengo lo stesso risultato, salvo che in un caso \`e un vettore colonna, nell\6altro \`e un vettore riga. Quindi:
$$\pa{A\pa{\mat{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\emat},\pa{\mat{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\emat}}=\mat{c}\pa{x_1,\,x_2,\,\dots,\,x_n}\\{\color{white}\fr{}{}}\\{\color{white}\fr{}{}}\\{\color{white}\fr{}{}}\emat A\pa{\mat{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\emat},$$
che \`e proprio $\ang{\pa{\mat{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\emat},\pa{\mat{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\emat}}$, ove con $\ang{\ubar{x},\ubar{y}}$ indico il prodotto scalare definito dalla matrice $A$. Quindi una matrice \`e definita positiva se per ogni vettore $\ubar{x}\in\R^n$ il quadrato scalare di $\ubar{x}$ calcolato col prodotto scalare definito dalla matrice \`e maggiore o uguale di una costante per la norma al quadrato. In particolare questa cosa, a parte per il vettore nullo, \`e strettamente positiva, quindi il prodotto scalare risulta definito positivo. Analoghi ragionamenti portano a dire che se $A$ \`e semi-definita positiva il prodotto scalare \`e ``semi-definito positivo'', dove con quel termine intendo che un quadrato scalare \`e non negativo, che se $A$ \`e definita negativa lo \`e anche il prodotto scalare, e che se $A$ \`e semi-definita negativa lo \`e anche il prodotto, con una definizione del termine analoga a quella sopra, e infine che se $A$ \`e indefinita il prodotto scalare associato non \`e nessuna di quelle cosa sopra. Per quanto riguarda quei teoremi, probabilmente li abbiamo visti facendo i prodotti scalari. Comunque sono facili da dimostrare: se il prodotto (la matrice) \`e definita positiva, prendo un autovettore $\ubar{x}$ e so che
$$\pa{A\ubar{x},\ubar{x}}\geq\ag\norm{\ubar{x}}^2,$$
ma
$$A\ubar{x}=\lgr\ubar{x},$$
ove $\lgr$ \`e l\6autovalore associato all\6autovettore $\ubar{x}$, e quindi:
$$\pa{A\ubar{x},\ubar{x}}=\pa{\lgr\ubar{x},\ubar{x}}=\lgr\pa{\ubar{x},\ubar{x}}=\lgr\norm{\ubar{x}}^2,$$
quindi otteniamo:
$$\lgr\geq\ag,$$
che prova anche l\6osservazione sulla massima $\sag$. Quanto alla definita negativa il ragionamento \`e pressoché identico. Sulla semi-definita positiva avendo solo una condizione di non negativit\`a otteniamo:
$$\lgr\geq0,$$
come dovevamo vedere. Infine per la semi-definita negativa si fa lo stesso ragionamento della semi-definita positiva. Se gli autovalori soddisfano una delle condizioni sopra viste, allora posso sicuramente provare la condizione equivalente sulla matrice. Per esempio, se sono tutti positivi, essendo la matrice simmetrica e quindi (Teorema Spettrale) diagonalizzabile, ho una base di autovettori, quindi qualsiasi vettore pu\`o essere espresso come combinazione lineare di autovettori. Avr\`o dunque:
$$\ubar{x}=\sag_1\ubar{v}_1\+\sag_n\ubar{v}_n.$$
Se faccio il quadrato scalare, otterr\`o:
$$\pa{A\ubar{x},\ubar{x}}=\pa{A\dsum_i\sag_i\ubar{v}_i,\dsum_i\sag_i\ubar{v}_i}=\pa{\dsum_i\lgr_i\sag_i\ubar{v}_i,\dsum_i\sag_i\ubar{v}_i}.$$
Quei lambda sono tutti positivi. Preso il loro minimo, posso raccoglierlo, ed eliminare i coefficienti che rimangono nel primo ``fattore'\6 di quel prodotto scalare, ottenendo che esso maggiora:
$$\dmin_i\lgr_i\pa{\dsum_i\sag_i\ubar{v}_i,\dsum_i\sag_i\ubar{v}_i}=\dmin_i\lgr_i\per\norm{x}^2,$$
C.V.D. A voler essere pignoli, avrei dovuto usare due indici nel prodotto scalare, per permettere i prodotti incrociati. Vale a dire, avrei dovuto per esempio scrivere:
$$\pa{\dsum_i\lgr_i\ag_i\ubar{v}_i,\dsum_j\ag_j\ubar{v}_i}.$$

\ssect{Un esempio infelice che possiamo rallegrare}
Quanto visto sopra ci dice che dobbiamo cercare una funzione che abbia la Heissiama semi-definita positiva con un autovalore $0$ per avere speranza di fare un controesempio pi\`u felice di quella matrice nulla. Dopo svariati tentativi di fissare gli autovalori, costruire la Hessiana ed arrivare alla funzione che risultavano sempre in Hessiane con parametri orribili e radiciosi; dopo svariati tentativi operati mentalmente di cercare una matrice che andasse bene e fosse bella, e da l\`i arrivare alla funzione; dopo aver operato mentalmente svariati tentativi di cercare una funzione buona, ho cercato di trafficare il suo controesempio, e dopo aver scartato $y^2-x$ perché non aveva gradiente nullo nel punto giusto, ho trovato:
$$f(x,y)=y^3-x^2.$$
Se non erro questa va bene. Calcoliamo il gradiente:
$$\grad f(x,y)=\pa{-2x,3y^2},$$
e quindi \`e nullo solo in $(0,0)$. Vediamo cosa succede l\`i. Calcoliamo la Hessiana:
$$\s{H}_f(x,y)=\sq{\mat{cc}\fr{\pd^2f}{\pd x^2}&\fr{\pd^2 f}{\pd x\pd y}\\\fr{\pd^2f}{\pd y \pd x}&\fr{\pd^2f}{\pd y^2}\\\emat}=\sq{\mat{cc}\fr{\pd}{\pd x}\pa{-2x}&\fr{\pd}{\pd y}\pa{-2x}\\\fr{\pd}{\pd x}\pa{3y^2}&\fr{\pd}{\pd y}\pa{3y^2}\\\emat}=\sq{\mat{cc}-2&0\\0&6y\\\emat}.$$
Ora studiamola in $(0,0)$. Avendo una colonna di $0$ sicuramente ha determinante nullo, quindi deve avere autovalore $0$. Questo per esempio funziona col vettore $\pa{\mat{c}0\\1\emat}$, che moltiplicato per quella Hessiana d\`a appunto il vettore nullo. L\6altro autovalore \`e $-2$, quindi \`e semi-definita negativa. Tuttavia se restringiamo $f$ a $x=0$ otteniamo $y^3$, che non ha certo un massimo in $0$, ma ha un flesso a tangente orizzontale. Naturalmente se la volessimo semi-definita positiva basterebbe semplicemente mettere un meno su $f$, quindi considerare $f(x,y)=x^2-y^3$, in modo da avere la Hessiana con i segni cambiati e autovalore $2$.

\ssect{Esercizio in sospeso}
Ci rimane da studiare la natura di quei punti $(0,1),(0,0),\pa{0,\fr{1}{2}},(x,1)$ per la funzione $f(x,y)=\pa{y^2-x^2}\pa{y-1}^2$. Ricordiamoci allora il gradiente:
$$\grad f(x,y)=\pa{-2x\pa{y-1}^2,2\pa{y-1}\pa{2y^2-y-x^2}}.$$
Calcoliamo ora la Hessiana:
$$\s{H}_f(x,y)=\sq{\mat{cc}\fr{\pd}{\pd x}\pa{-2x\pa{y-1}^2}&\fr{\pd}{\pd x}\pa{2\pa{y-1}\pa{2y^2-y-x^2}}\\\fr{\pd}{\pd y}\pa{-2x\pa{y-1}^2}&\fr{\pd}{\pd y}\pa{2\pa{y-1}\pa{2y^2-y-x^2}}\\\emat}=$$
$$=\sq{\mat{cc}-2\pa{y-1}^2&-4x\pa{y-1}\\-4x\pa{y-1}&2\pa{2y^2-y-x^2}+\pa{y-1}\fr{\pd}{\pd y}\pa{2\pa{2y^2-y-x^2}}\\\emat}=$$
$$=\sq{\mat{cc}-2\pa{y-1}^2&-4x\pa{y-1}\\-4x\pa{y-1}&2\pa{2y^2-y-x^2}+2\pa{y-1}\pa{4y-1}\\\emat}.$$
Cominciamo ora a studiarla per $y=1$. Essa si trasforma in:
$$\sq{\mat{cc}0&0\\0&2\pa{2-1-x^2}+0\\\emat}=\sq{\mat{cc}0&0\\0&2\pa{1-x^2}\\\emat}.$$
Sicuramente ha un autovalore $0$, quindi non posso concludere nulla. Dall\6altro autovalore posso avere informazioni su cosa cercare. L\6altro autovalore \`e l\6unica entrata non nulla della matrice, quindi per $x>1\vel x<-1$ \`e negativo, per $-1<x<1$ \`e positivo, per $x=\pm1$ \`e nullo. Dove \`e negativo potr\`o indagare se \`e un massimo locale, dove \`e positivo indagher\`o se \`e un minimo. Dove \`e nullo vedr\`o. Guardando per\`o la funzione, vedo che:
$$f(x,1)=0\qquad\VA x\in\R,$$
quindi tutti quei punti non sono né di massimo né di minimo locale, almeno stretto. Vedo poi che in un intorno di $(x,1)$ $f(x,y)$ \`e una quantit\`a positiva per $(1+o(1)-x^2)$, dove l\6$o$ piccolo \`e per $y\to1$. Abbastanza vicino a $(x,1)$ posso trascurare l\6$o$ piccolo, quindi per $-1<x<1$ avremo una funzione positiva che si avvicina a $0$, quindi un minimo locale, mentre per $x>1\vel x<-1$ una funzione negativa che si avvicina a $0$, quindi un massimo locale. E per $x=\pm1$? Facciamo un grafico di qualche sezione: nella figura vediamo $x=\fr{1}{2}$ in rosso, $x=\fr{7}{8}$ in blu, $x=1$ in viola e $x=\fr{9}{8}$ in verde. Sulle $y$ la $f(x,y)$, sulle $x$ la $y$.\hsp{500cm}
\includegraphics[width=12cm]{SezioniFunzioneStrana.png}\lfeed
Notiamo che le due con $x<1$ sono localmente positive ed arrivano ad un minimo. Se avessi zoomato di meno avreste visto che a sinistra c'\`e poi un altro massimo e la funzione riscende. Questo si pu\`o intuire sulla blu, molto vicina all\6asse. La viola, caso limite, presenta in $x=1$ un flesso a tangente orizzontale, quindi né un minimo né un massimo, come ci aspettavamo prevedendo un cambio di segno in quel punto dovuto al fattore $y^2-x^2$. La verde invece la vediamo negativa in un intorno di $1$, con un massimo in $1$ e un minimo vicino a $1$, sicché poi risale, smentendo il dubbio di discontinuit\`a che poteva venirci osservando solo vicino a $-1$. Ora ci manca $x=-1$. Osserviamo che la funzione \`e ``pari in $x$'', ossia simmetrica rispetto al piano $y=0$. Quindi il comportamento in $x=-1$ \`e simmetrico di quello in $x=1$. Di conseguenza in $(\pm1,1)$ abbiamo selle, e abbiamo massimi in $(x,1)$ per $x\nin(-1,1)$ e minimi in $(x,1)$ per $x\in(-1,1)$. Ora avanzano $(0,0)$ e $\pa{0,\fr{1}{2}}$. Cominciamo dall\6origine. La Hessiana diventa:
$$\sq{\mat{cc}-2\pa{0-1}^2&-4\per0\pa{0-1}\\-4\per0\pa{0-1}&2\pa{2\per0^2-0-0^2}+2\pa{0-1}\pa{4\per0-1}\\\emat}=\sq{\mat{cc}-2&0\\0&0+2\\\emat}.$$
Gli autovalori sono $-2$ e $2$, quindi \`e indefinita, quindi l\6origine \`e un punto di sella. In effetti anche senza la Hessiana ci si poteva arrivare: se restringiamo $f$ a $x=0$ otteniamo $f(0,y)=y^2(y-1)^2$, che in $0$ \`e una funzione positiva (prodotto di due quadrati, positivi) che si annulla ($y^2$ diventa $0^2=0$), quindi ha un minimo, mentre restringendo a $y=0$ otteniamo $f(x,0)=-x^2(-1)^2=-x^2$, che \`e una funzione negativa che si annulla, e quindi ha un massimo. Ora rimane $\pa{0,\fr{1}{2}}$. La Hessiana diventa:
$$\sq{\mat{cc}-2\pa{\fr{1}{2}-1}^2&-4\per0\pa{\fr{1}{2}-1}\\-4\per0\pa{\fr{1}{2}-1}&2\pa{2\pa{\fr{1}{2}}^2-\fr{1}{2}-0^2}+2\pa{\fr{1}{2}-1}\pa{4\fr{1}{2}-1}\\\emat}=$$
$$=\sq{\mat{cc}-\fr{1}{2}&0\\0&2\pa{\fr{1}{2}-\fr{1}{2}}-2\fr{1}{2}\\\emat}=\sq{\mat{cc}-\fr{1}{2}&0\\0&-1\\\emat}.$$
Gli autovalori li vediamo, sono ambedue strettamente negativi, quindi la matrice \`e definita negativa, quindi questo \`e un massimo locale.


\incee
\chapter{\eserc{mezzo 31/10/2013}}

\sect{Riprendiamo un esercizio di prima}
\begin{eseese}
$$f(x,y)=\sistbis{\rad[3]{y}e^{\dsi{-\fr{y^2}{x^4}}}}{x\neq0}{0}{x=0}.$$
\end{eseese}
Ha tutte le derivate parziali e direzionali nell\6origine, ma ora dimostriamo che non \`e differenziabile. Calcoliamo:
$$\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{f(h,k)-f(0,0)-\pd_x(0,0)h-\pd_y(0,0)k}{\rad{h^2+k^2}}.$$
Eliminando gli zeri ed esplicitando $f(h,k)$:
$$\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{\rad[3]{k}e^{\dsi{-\fr{k^2}{h^4}}}}{\rad{h^2+k^2}}.$$
Andiamo dalla curva $k=h^2$:
$$\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{\rad[3]{h^2}e^{\dsi{-\fr{h^4}{h^4}}}}{\rad{h^2+h^4}}=\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{\rad[3]{h^2}e^{-1}}{\abs{h}\rad{1+h^2}}=+\8,$$
quindi sicuramente non \`e $0$, e dunque $f$ non \`e differenziabile.

\sect{Un microteorema}
Sia $f:D\sbs\R^2\to\R$, $P=(x_0,y_0)\in D$ aperto. Sia $f$ differenziabile in $(x_0,y_0)$ e sia anche $\grad f(x_0,y_0)\neq(0,0)$. Determinare $\ubar{v}\in\R^2:\norm{\ubar{v}}=1$ per cui $D_{\ubar{v}}f(x_0,y_0)$ sia massima, ovvero la direzione lungo cui la pendenza del grafico \`e massima. La formula del gradiente dice:
$$D_{\ubar{v}}f(x_0,y_0)=\ang{\grad f(x_0,y_0),\ubar{v}}=\norm{\grad f(x_0,y_0)}\norm{\ubar{v}}\cos\pa{\,\,\widehat{\grad f(P),\ubar{v}\,\,\,\,}}.$$
Cerco allora il punto per cui
$$\cos\pa{\,\,\widehat{\grad f(P),\ubar{v}\,\,\,\,}}=1\implies \ubar{v}=\fr{\grad f(x_0,y_0)}{\norm{\grad f(x_0,y_0)}},$$
ovvero $\ubar{v}\parallel\grad f(P)$.

\sect{Un esercizio}
\begin{eseese}
Forti di questo teorema, consideriamo:
$$f(x,y)=e^{x^2}\pa{3x-y^2}.$$
Determinare la direzione di massima pendenza in $(0,1)$ e la direzione dove \end{eseese}
$D_{\ubar{v}}f(0,1)=0$. Deriviamo parzialmente:
$$\fr{\pd f}{\pd x}=2xe^{x^2}\pa{3x-y^2}+3e^{x^2},$$
$$\fr{\pd f}{\pd y}=-2ye^{x^2}.$$
Quindi:
$$\grad f(0,1)=(3,-2).$$
Quindi la direzione di massima pendenza \`e:
$$\fr{\grad f(0,1)}{\norm{\grad f(0,1)}}=\fr{(3,-2)}{\rad{3^2+2^2}}=\fr{(3,-2)}{\rad{13}}.$$
Ora invece scriviamo la derivata direzionale generica avvalendoci della formula del gradiente che vale perché $f$ \`e differenziabile:
$$D_{\ubar{v}}f(0,1)=\ang{\grad f(0,1),(\cos\sag,\sin\sag)}=3\cos\sag-2\sin\sag.$$
Quindi cerchiamo:
$$3\cos\sag-2\sin\sag=0.$$
Osserviamo che se $\cos\sag=0$ l\6equazione non \`e soddisfatta, quindi posso dividere per $\cos\sag$, supponendolo non nullo:
$$3-2\tan\sag=0\implies\tan\sag=\fr{3}{2}\implies\sag=\arctan\fr{3}{2}\vel\sag=\spg+\arctan\fr{3}{2}.$$
Attenzione a non perdere una direzione invertendo la tangente.

\sect{Un altro esercizio}
\begin{eseese}
$$f_\ag(x,y)=\sistbis{\pa{x^4-2x^2y^2+y^4}^\ag\log\pa{x^2+y^2}}{(x,y)\neq(0,0)}{0}{(x,y)=(0,0)}.$$
Studiare la differenziabilit\`a di $f$ nell\6origine. Consideriamo allora:
\end{eseese}
$$\dlim_{h\to0}\fr{f_\ag(h,0)-f_\ag(0,0)}{h}.$$
Riscriviamo la funzione:
$$f_\ag(x,y)=\sistbis{\pa{x^2-y^2}^{2\ag}\log\pa{x^2+y^2}}{(x,y)\neq(0,0)}{0}{(x,y)=(0,0)}.$$
Il limite diventa:
$$\dlim_{h\to0}\fr{h^{4\ag}\log h^2}{h}=\dlim_{h\to0}h^{4\ag-1}\log h^2=\sistbisdue{0_{pot}\per\pa{-\8}_{log}=0}{4\ag-1>0\implies\ag>\fr{1}{4}}{1\per\pa{-\8}=-\8}{\ag=\fr{1}{4}_{\scb{0}[1]{\whitea}}}{+\8\per\pa{-\8}=-\8}{\ag<\fr{1}{4}^{\scb{0}[1]{\whitea}}}.$$
Quindi sicuramente per $\sag\leq\fr{1}{4}$ $f$ non pu\`o essere differenziabile. Se $\sag>\fr{1}{4}$ esiste ed \`e nulla la derivata parziale $\fr{\pd f}{\pd x}(0,0)$. Ora l\6altra derivata:
$$\dlim_{k\to0}\fr{f_\ag(0,k)-f_\ag(0,0)}{k}=\dlim_{k\to0}\fr{k^{4\ag}\log k^2}{k},$$
uguale a prima. Quindi per $\sag>\fr{1}{4}$ esistono e sono nulle entrambe le derivate parziali nell\6origine. Quindi consideriamo:
$$\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{f_\ag(h,k)-f_\ag(0,0)-\pd_x(0,0)-\pd_y(0,0)}{\rad{h^2+k^2}}=\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{\pa{h^2-k^2}^{2\ag}\log\pa{h^2+k^2}}{\rad{h^2+k^2}}.$$
Proviamo con le polari:
$$\dlim_{\rg\to0}\fr{\pa{\rg^2\cos^2\qg-\rg^2\sin^2\qg}^{2\ag}\log\rg^2}{\rg}=\dlim_{\rg\to0}\pa{\cos^2\qg-\sin^2\qg}^{2\ag}\rg^{4\ag-1}\log\rg^2.$$
A questo punto \`e abbastanza facile vedere che questo limite vale 0 perché
$$\abs{\pa{\cos^2\qg-\sin^2\qg}^{2\ag}}\leq\pa{\abs{\cos^2\qg}-\abs{\sin^2\qg}}^{2\ag}\leq2^{2\ag},$$
quindi il sup della cosa sopra non supera
$$2^{2\ag}\rg^{4\ag-1}\log\rg^2\to0,$$
e tende a $0$ perché $\sag>\fr{1}{4}$.

\sect{Nota}
Possiamo anche usare il teorema del differenziale totale, ovvero dimostrare che le derivate parziali sono continue nell\6origine. Quindi ricaviamo l\6espressione generale delle derivate parziali:
$$\fr{\pd f_\ag}{\pd x}=2\ag\pa{x^2-y^2}^{2\ag-1}\log\pa{x^2+y^2}2x+\pa{x^2-y^2}^{2\ag}\fr{2x}{x^2+y^2}.$$
Dimostriamo che \`e continua nell\6origine per $\sag>\fr{1}{4}$. Quindi calcoliamo:
$$\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{\pd f_\ag}{\pd x}(0,0)=\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\sq{4\ag\pa{x^2-y^2}^{2\ag-1}\log\pa{x^2+y^2}x+\pa{x^2-y^2}^{2\ag}\fr{2x}{x^2+y^2}}.$$
E adesso uno capisce perché abbiamo sempre usato l\6altra strada. Ancora le polari:
$$\dlim_{\rg\to0^+}4\ag\rg^{2(2\ag-1)}\pa{\cos^2\qg-\sin^2\qg}^{2\ag-1}\log\rg^2\per\rg\cos\qg+\rg^{4\ag}\pa{\cos^2\qg-\sin^2\qg}^{2\ag}\fr{2\rg\cos\qg}{\rg^2}.$$
Scindiamo in due pezzi e consideriamo il primo:
$$4\ag\pa{\cos^2\qg-\sin^2\qg}^{2\ag-1}\log\rg^2\rg^{4\ag-1}\cos\qg;$$
Tende a 0 uniformemente in $\qg$? Solo se $\sag>\fr{1}{2}$, perché lo riscriviamo:
$$4\ag\log\rg^2\rg^{4\ag-1}\fr{\cos\qg}{\pa{\cos^2\qg-\sin^2\qg}^{1-2\ag}},$$
che per $\qg\to\fr{\pg}{4}$ tende a $+\8$ per il denominatore che va a $0$. Quindi la derivata non \`e continua. Quindi usate la definizione.


\chapter{Santi Esercizi}

\sect{Osservazione}
Prima di finire le magiche serie di Fourier, voglio tentare di seguire un suggerimento di AlRo su quell\6integrale bizzarro. Il suggerimento \`e usare ``le formule di Eulero al contrario'\6 per eliminare il seno. In altre parole:
$$\sin x=\fr{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=-\fr{e^{2ix}-1}{2e^{ix}}.$$
Quindi la relazione sarebbe:
$$\dint_\pg^{2\pg}-\fr{e^{2ix}-1}{2e^{ix}}\fr{1}{e^x-1}=-\dsum_{n=1}^\8\fr{e^{\dsi{-\spg n}}-e^{\dsi{-2\spg n}}}{n^2+1},$$
ossia:
$$\dint_\pg^{2\pg}\fr{e^{ix}-e^{-ix}}{e^x-1}=2\dsum_{n=1}^\8\fr{e^{\dsi{-\spg n}}-e^{\dsi{-2\spg n}}}{n^2+1}.$$
A parte notare che il numeratore dell\6integrale a sinistra \`e $2\sinh(ix)$, non so cosa fare neanche cos\`i. Quindi torniamo a Fourier.

\sect{Le serie in sospeso}
Ricordiamoci cosa avevo lasciato in sospeso:
\ben
\item $g(x)=1-2\cos(x)+\abs{x}\,\,se\,\,x\in[-\pg,\pg)$ e prolungata con periodicit\`a su $2\pg$ su $\R$;
\item $h(x)=\abs{\sin(x)}$ per ogni $x\in\R$;
\item $u(x)=\sin^3x+\sin^2x$ per ogni $x\in\R$.
\een
Ricordiamo anche i coefficienti di Fourier:
$$a_n=\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg f(x)\cos(nx)dx,$$
$$b_n=\fr{1}{\pg}\dint_{-\pg}^\pg f(x)\sin(nx)dx.$$
Infine ricordiamo la scrittura della serie:
$$f(x)=\fr{a_0}{2}+\dsum_{n=1}^\8a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx).$$
\ben
\item Guardiamo com\6\`e fatta $g$:\hsp{500cm}\whitea\hsp{1cm}
\includegraphics[width=11cm]{PeriodicitaStrana.png}\hsp{500cm}\whitea\hsp{1cm}
Si vede facilmente che \`e pari, come si vede anche dall\6espressione. Quindi al solito i coefficienti $a_n$ di Fourier diventano integrali tra $0$ e $\pg$ raddoppiati:
$$a_n=2\dint_0^\pg\pa{1-2\cos(x)+\abs{x}}\cos(nx)dx=2\dint_0^\pg\pa{1-2\cos(x)+x}\cos(nx)dx,$$
mentre i $b_n$ sono nulli perché il seno \`e dispari e per una pari \`e dispari. Quindi la serie si riduce a:
$$f(x)=2\dint_0^\pg\pa{1-2\cos x+x}dx+2\dsum_{n=1}^\8\dint_0^\pg\pa{1-2\cos x+x}\cos(nx)dx\per\cos(nx).$$
Calcoliamo quel primo coefficiente:
$$\dint_0^\pg\pa{1-2\cos x+x}dx=\pa{x-2\sin x+\fr{x^2}{2}}\scb{0.5}[1]{$\fvb$}_0^\pg=\pg-\fr{\pg^2}{2}.$$
La serie \`e qundi diventata:
$$f(x)=2\pg-\pg^2+2\dsum_{n=1}^\8\dint_0^\pg\pa{1-2\cos x+x}\cos(nx)dx\per\cos(nx).$$
Rimangono da calcolare gli $a_n$:
$$\dint_0^\pg\pa{1-2\cos x+x}\cos(nx)dx.$$
Integriamo per parti:
$$\dint\pa{1-2\cos x+x}\cos(nx)dx=\fr{1}{n}\sin(nx)\pa{1-2\cos x+x}-$$
$$+\dint\fr{1}{n}\sin(nx)\pa{2\sin x+1}dx.$$
Essendo il seno nullo per $x=k\pg$, il primo termine valutato tra $0$ e $\pg$ \`e $0$. Resta quindi:
$$\dint\fr{1}{n}\sin(nx)\pa{2\sin x+1}dx=2\dint\fr{1}{n}\sin(nx)\sin xdx+\dint\fr{1}{n}\sin(nx)dx.$$
Per il primo termine ricordiamo le formule di Werner:
$$\sin p\sin q=\fr{1}{2}\sq{\sin\pa{p+q}+\sin\pa{p-q}}.$$
Quindi:
$$2\dint\fr{1}{n}\sin(nx)\sin xdx=\fr{1}{n}\dint\sq{\sin\pa{(n+1)x}+\sin\pa{(n-1)x}}dx=$$
$$=-\fr{1}{n(n+1)}\cos\pa{\pa{n+1}x}-\fr{1}{n(n-1)}\cos\pa{\pa{n-1}x}.$$
Valutato tra $0$ e $\pg$ se $n+1$ \`e pari questo termine \`e $0$ perché anche $n-1$ \`e pari, se $n+1$ \`e dispari abbiamo:
$$\fr{2}{n(n+1)}+\fr{2}{n(n-1)}=\fr{2}{n}\pa{\fr{1}{n+1}+\fr{1}{n-1}}=\fr{2}{n}\fr{n-1+n+1}{n^2-1}=\fr{4}{n^2-1}.$$
Il secondo termine era invece:
$$\dint\fr{1}{n}\sin(nx)dx=-\fr{1}{n^2}\cos(nx).$$
Valutato tra $0$ e $\pg$ se $n$ \`e pari si annulla, se $n$ \`e dispari vale $\fr{2}{n^2}$. Dato che se $n$ \`e pari $n+1$ \`e dispari e viceversa, quando uno dei due termini non \`e nullo l\6altro lo \`e. Quindi:
$$a_n=\sistbis{\fr{4}{n^2-1}}{n=2k}{\fr{2}{n^2}}{n=2k+1}.$$
Quindi scindiamo la serie in due serie:
$$f(x)=2\pg-\pg^2+2\dsum_{k=1}^\8\fr{4}{\pa{2k}^2-1}\cos\pa{2kx}+2\dsum_{h=0}^\8\fr{2}{\pa{2h+1}^2}\cos\pa{\pa{2h+1}x}.$$
\item Siccome le altre saranno tutte uguali \`e meglio che mi dedico a sistemare gli altri appunti e a studiare Informatica piuttosto che a ripetere i conti. A domani (o pi\`u avanti) per altri esercizi su altri argomenti.
\een


\incee
\chapter{\eserc{4/11/2013}}

\sect{Un tipico esercizio da esame}
\begin{eseese}
Discutere, per $\sag>0$, continuit\`a, derivabilit\`a e differenziabilit\`a della funzione $$f_\ag(x,y)=\sistbis{\fr{x}{y}}{y>\abs{x}^\ag}{0}{altrimenti}.$$
\end{eseese}
Avevamo gi\`a visto che $f$ \`e continua nell\6origine $\sse\ag<1.$ Ora la derivabilit\`a.
$$f_\ag(x,0)=0\VA x\in\R,\VA\ag>0,$$
quindi
$$\fr{\pd f_\ag}{\pd x}(0,0)=0\quad\VA\ag>0.$$
$x=0$ \`e una retta che interseca la curva $y=\abs{x}^\ag$ solo nell\6origine, quindi
$$\fr{\pd f_\ag}{\pd y}(0,0)=0\quad\VA\ag>0.$$
Ora la differenziabilit\`a. Visto che implica la continuit\`a, la indaghiamo solo per $\sag<1$. Quando \`e differenziabile $f_\ag$ con $\sag<1$? Studiamo:
$$\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{f_\ag(h,k)-f_\ag(0,0)-\pd_xf_\ag(0,0)h-\pd_yf_\ag(0,0)k}{\rad{h^2+k^2}},$$
e vediamo per quali $\sag$ vale $0$. Se mi avvicino da curve che si mantengono in $y<\abs{x}^\ag$ sicuramente s\`i perché il tutto \`e sempre $0$. Se stiamo fuori invece cancelliamo tutto tranne $f(h,k)=\fr{h}{k}$, ottenendo:
$$\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{h}{k\rad{h^2+k^2}},$$
Sappiamo che $k>\abs{h}^\ag$, quindi
$$\rad{h^2+k^2}>\rad{h^2+\abs{h}^{2\ag}}.$$
Consideriamo:
$$\abs{\fr{h}{k\rad{h^2+k^2}}},$$
che nel nostro insieme non supera\fn{Ha senso la maggiorazione cos\`i scritta perché $\ag<1\implies\abs{h}^{2(1-\ag)}>1$, ovvero che quella potenza non ha $h$ al denominatore e quindi non spara all\6infinito per $h\to0$.}:
$$\abs{\fr{h}{\abs{h}^\ag\rad{h^2+\abs{h}^{2\ag}}}}=\fr{\abs{h}^{1-2\ag}}{\rad{1+\abs{h}^{2(1-\ag)}}}.$$
Questa cosa chiaramente tende a $0$ se $\sag<\fr{1}{2}$ che \`e la condizione per $1-2\ag>0$. Questo ci suggerisce anche che probabilmente per $\sag\geq\fr{1}{2}$ non sar\`a differenziabili. Suggerisce anche una possibile curva lungo cui il limite non esiste:
$$k=h^{\mf12}.$$
Anzi $k=ch^{\mf12}$ con $c>1$, lo capiam dopo perché. Lungo queste curve il limite diventa:
$$\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{h}{c\abs{h}^{\mf12}\rad{h^2+c^2\abs{h}}}=\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{h}{c\abs{h}\rad{h+c^2}}=\pm\fr{1}{c^2},$$
quindi non \`e $0$. Perché questo passaggio vale solo per $\sag>\fr{1}{2}$? Il conto mostra che se
$$(h,c\abs{h}^{\mf12})\in\{y>\abs{x}^\ag\}\quad\VA h$$
allora $f_\ag$ non \`e differenziabile. La condizione sopra si verifica se:
$$c\abs{h}^{\mf12}>\abs{h}^\ag,$$
quindi
$$\abs{h}^{\dsi{\ag-\fr{1}{2}}}<c.$$
Per $\sag>\fr{1}{2}$ l\6insieme di soddisfazione della condizione sopra \`e un intervallo $(-\lbar{h},\lbar{h})$ con $\lbar{h}>0$. Per $\sag=\fr{1}{2}$ viene esattamente $1<c$, quindi vale sempre. Per $\sag<\fr{1}{2}$ l\6insieme \`e simmetrico, ma \`e il complementare di $(-\lbar{h},\lbar{h})$, quindi la curva $y=c\abs{h}^{\mf12}$ sta sopra, ma poi interseca $y=\abs{x}^\ag$ e passa sotto, quindi il conto sopra non ci dice niente.

\sect{Un esercizio molto simile}
\begin{eseese}
Discutere, per $\sag>0$, continuit\`a, derivabilit\`a e differenziabilit\`a in $(0,0)$ di
$$f(x,y)=\sistbis{\fr{1-\cos(xy)}{\pa{\rad{x^2+y^2}}^\ag}+x-y}{(x,y)\neq(0,0)}{0}{(x,y)=(0,0)}.$$
\end{eseese}
Studiamo allora:
$$\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\pa{\fr{1-\cos(xy)}{\pa{\rad{x^2+y^2}}^\ag}+x-y}.$$
Polari (LoZu)? No. Non ancora. Dato che $x-y\to0$, possiamo farlo sparire, e il limite equivale a:
$$\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{1-\cos(xy)}{\pa{\rad{x^2+y^2}}^\ag}.$$
Inoltre mi ricordo che per $t\to0$, $1-\cos(t)\~\fr{x^2}{2}$, quindi il limite equivale a:
$$\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{x^2y^2}{2\pa{\rad{x^2+y^2}}^\ag}.$$
A questo punto passo a coordinate polari:
$$\dlim_{\rg\to0}\fr{\rg^4\cos^2\qg\sin^2\qg}{2\rg^\ag}=\dlim_{\rg\to0}\fr{\rg^{4-\ag}\cos^2\qg\sin^2\qg}{2}.$$
Innanzitutto consideriamo:
$$\abs{\fr{\rg^{4-\ag}\cos^2\qg\sin^2\qg}{2}}\leq\fr{\rg^{4-\ag}}{2}\usb{$\to$}{$\rg\to0^+$}\sistbisdue{0}{\ag<4}{\fr{1}{2}}{\ag=4}{+\8}{\ag>4}.$$
Sicuramente \`e continua per $\sag<4$, perché il $\dsup_{\qg\in[0,2\pg]}$ tende a $0$. Se $\sag\geq4$ non so ancora niente. Mi avvicino da $(x,x)$. Consideriamo:
$$f_\ag(x,x)=\fr{1-\cos x^2}{\pa{2x^2}^{\mf\ag2}}.$$
Studiamone il limite:
$$\dlim_{x\to0}\fr{1-\cos x^2}{\pa{2x^2}^{\mf\ag2}}=\dlim_{x\to0}\fr{x^4}{2^{1+\mf\ag2}\abs{x}^{\ag}}=\dlim_{x\to0}\fr{\abs{x}^{4-\ag}}{2^{1+\mf\ag2}},$$
senza segno di $x$ perché $x^4=\abs{x}^4$. Quella cosa tende a:
$$\sistbis{\fr{1}{8}\neq0}{\ag=4}{+\8}{\ag>4},$$
quindi non \`e mai $0$ su quella direzione e in generale. Quindi per $\sag\geq4$, $f_\ag$ non \`e continua nell\6origine. Derivabilit\`a. Consideriamo
$$f_\ag(x,0)=0+x-0=x\quad \VA x\neq0.$$
Quindi la derivata
$$\fr{\pd f_\ag}{\pd x}(0,0)=1\quad\VA\ag>0.$$
Analogamente
$$\fr{\pd f_\ag}{\pd y}(0,0)=-1\quad\VA\ag>0.$$
Differenziabilit\`a. Consideriamo $\sag\in(0,4)$, altrimenti non ho speranze. Studiamo\fn{Nell\6origine vale 0, il gradiente \`e $(1,-1)$ quindi la seconda parte \`e $-\pa{1\per h+(-1)\per k}=-h+k$.}:
$$\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{\fr{1-\cos(hk)}{\pa{\rad{h^2+k^2}}^\ag}+h-k-0-h+k}{\rad{h^2+k^2}}=\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{1-\cos(hk)}{\pa{\rad{h^2+k^2}}^{\ag+1}}=$$
$$=\dlim_{(h,k)\to(0,0)}g_\ag(x,y).$$
Lo calcoliamo esattamente come prima:
$$\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{1-\cos(hk)}{\pa{\rad{h^2+k^2}}^{\ag+1}}=\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{h^2k^2}{2\pa{h^2+k^2}^{\dsi{\fr{\ag+1}{2}}}}.$$
Polari:
$$\dlim_{\rg\to0}\fr{\rg^4\cos^2\qg\sin^2\qg}{2\rg^{\ag+1}}.$$
Il tutto non supera:
$$\fr{\rg^{3-\ag}}{2}\to\sistbisdue{0}{\ag<3}{1}{\ag=3}{+\8}{\ag>3}.$$
Dato che il limite nullo si estende al sup, per $\sag<3$ \`e differenziabile. Sopra a 3 ancora non so niente, provo di nuovo:
$$g_\ag(h,h)=\fr{h^4}{2\rad{2}^{\ag+1}\abs{h}^{\ag+1}}=\fr{\abs{h}^{3-\ag}}{2\rad{2}^{\ag+1}}\to\sistbis{\fr{1}{2\rad{2}^{\ag+1}}}{\ag=3}{+\8}{\ag>3},$$
quindi non tende mai a $0$, quindi ho finito: non \`e differenziabile. OK?
\par Eeh facciamo una pausa.

\sect{Richiami sui punti critici}
\begin{defi}
Sia $f:D\sbse\R^n\to\R$. $\ubar{x}_0\in\pint D$ \`e di \emph{minimo locale} se
$$\3r>0:f(\ubar{x}_0)\leq f(\ubar{x})\quad\VA\ubar{x}\in B(x,0).$$
\end{defi}
Poi massimi, e deboli/stretti.
\begin{defi}
$x_0\in\pint D$ si dice \emph{critico} per $f$ se $\grad f(\ubar{x}_0)=\ubar{0}.$
\end{defi}
\begin{teor}
Se $\ubar{x}_0$ \`e un punto di minimo o massimo locare e $\ubar{x}_0\in\pint D$, allora $\grad f(\ubar{x}_0)=\ubar{0}.$
\end{teor}
Per studiare la natura del punto critico, che \`e il problema principale, si considera la matrice Hessiana:
$$\s{H}_f(x,y,z)=\pa{\mat{ccc}\pd_{xx}f&\pd_{xy}f&\pd_{xz}f\\\pd_{yx}f&\pd_{yy}f&\pd_{yz}f\\\pd_{zx}f&\pd_{zy}f&\pd_{zx}f\emat}.$$
Si studiano in particolare le propriet\`a spettrali: se
$$\begin{sistema}
\det\s{H}_{1f}(x_0,y_0,z_0)>0\\
\det\s{H}_{2f}(x_0,y_0,z_0)>0\\
\det\s{H}_{2f}(x_0,y_0,z_0)>0
\end{sistema},$$
allora abbiamo un minimo locale forte, mentre se
$$\begin{sistema}
\det\s{H}_f(x_0,y_0,z_0)<0\\
\det\s{H}_{2f}(x_0,y_0,z_0)>0\\
\pd_{xx}f(x_0,y_0,z_0)<0
\end{sistema},$$
abbiamo un massimo locale forte.
Negli altri casi se $\det\s{H}_f(x_0,y_0,z_0)\neq0$ abbiamo un punto di sella\fn{Il $\neq0$ l\6ho ricostruito io, se qualcuno ha segnato qualcosa di diverso mi dica.}. $\s{H}_1$ \`e tutta la matrice, $\s{H}_2$ \`e $\s{H}_{33}$, $\s{H}_3$ \`e solo $\pd_{xx}$. In due dimensioni la matrice si riduce a:
$$\s{H}_f(x,y)=\pa{\mat{cc}\pd_{xx}f(x,y,z)&\pd_{xy}f(x,y,z)\\\pd_{yx}f(x,y,z)&\pd_{yy}f(x,y,z)\emat}.$$
Le condizioni per il massimo diventano:
$$\begin{sistema}
\det\s{H}_f>0\\
\pd_{xx}f<0
\end{sistema},$$
mentre quelle del minimo diventano:
$$\begin{sistema}
\det\s{H}_f>0\\
\pd_{xx}f>0
\end{sistema}.$$
Quelle della sella sono ancora $\det\s{H}\neq0$[, e in particolare negativo].

\sect{Un primo esercizio}
\begin{eseese}
$$f(x,y,z)=\fr{1}{x}+\fr{1}{y}+\fr{1}{z}+xyz.$$
\end{eseese}
Per prima cosa osservo $D_f\neq\R^3$, perché non posso tenere $0$ una variabile:
$$D_f=\{x,y,z\neq0\}.$$
Nel dominio la funzione \`e sicuramente $C^{\8}$, perché sono rapporti di funzioni polinomiali. Quindi cominciamo a cercare i punti critici in $D_f$.
$$\pd_xf(x,y,z)=-\fr{1}{x^2}+yz,$$
$$\pd_yf(x,y,z)=-\fr{1}{y^2}+xz,$$
$$\pd_zf(x,y,z)=\fr{1}{z^2}+xy.$$
Per trovare i punti critici dobbiamo porre il gradiente nullo, quindi:
$$\begin{sistema}
-\fr{1}{x^2}+yz=0\\\\
-\fr{1}{y^2}+xz=0\\\\
-\fr{1}{z^2}+xy=0
\end{sistema}.$$
Sembra un classico sistema ma non \`e lineare, non fatevi ingannare. Iniziamo a moltiplicare per $x$ sopra, $y$ in mezzo, $z$ sotto, posso farlo perché \`e tutto non nullo e mi ritrovo $xyz$ dappertutto:
$$\begin{sistema}
-\fr{1}{x}+xyz=0\\\\
-\fr{1}{y}+xyz=0\\\\
-\fr{1}{z}+xyz=0
\end{sistema}.$$
Sostituiamo la seconda con seconda meno prima e la terza con terza meno seconda:
$$\begin{sistema}
-\fr{1}{x}+xyz=0\\\\
-\fr{1}{y}+\fr{1}{x}=0\\\\
-\fr{1}{z}+\fr{1}{x}=0
\end{sistema}.$$
Denominatore comune:
$$\begin{sistema}
-\fr{1}{x}+xyz=0\\\\
\fr{y-x}{xy}=0\\\\
\fr{z-x}{xz}
\end{sistema}.$$
Dato che $x,y$ sono diversi da $0$, otteniamo:
$$\begin{sistema}
-\fr{1}{x}+x^3=0\\
y=x\\
z=x=0
\end{sistema}.$$
Moltiplico ancora per $x$, quindi:
$$x^4=1\implies x=\pm1.$$
Quindi i punti critici trovati sono:
$$(1,1,1)=P_1,\quad(-1,-1,-1)=P_2.$$
Ora calcoliamo le derivate successive:
$$\pd_{xx}f(x,y,z)=2x^{-3},$$
$$\pd_{yy}f(x,y,z)=2y^{-3},$$
$$\pd_{zz}f(x,y,z)=2z^{-3},$$
$$\pd_{xy}f(x,y,z)=\fr{\pd}{\pd y}\pa{-\fr{1}{x^2}+yz}=z,$$
$$\pd_{xz}f(x,y,z)=y,$$
$$\pd_{yz}f(x,y,z)=z.$$
Quindi:
$$\s{H}_f(x,y,z)=\pa{\mat{ccc}2x^{-3}&z&y\\z&2y^{-3}&x\\y&x&2z^{-3}\emat}.$$
O calcoliamo il determinante di questa e poi valutiamo nei punti critici, o viceversa. Avete preferenze? Se non avete preferenze valutiamo la matrice Hessiana nei punti critici. Prima per\`o mi scrivo le sottomatrici principali di Nord-Ovest:
$$\s{H}_2(x,y,z)=\pa{\mat{cc}2x^{-3}&z\\z&2y^{-3}\emat}.$$
$$\s{H}_3(x,y,z)=2x^{-3}.$$
In $(1,1,1)$ otteniamo:
$$\s{H}=\pa{\mat{ccc}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\emat},$$
quindi il det \`e $4>0$. Invece $\s{H}_2$ \`e:
$$\pa{\mat{cc}2&1\\1&2\emat},$$
quindi il determinante \`e $4-1=3>0$, l\6altro \`e $2>0$, quindi \`e un minimo locale forte. L\6altro punto vede tutto opposto, quindi abbiamo $<,>,<$, quindi \`e un massimo. Ora sono assoluti? Vediamo i valori:
$$f(1,1,1)=4,f(-1,-1,-1)=-4.$$
Consideriamo:
$$\dlim_{x\to0^\pm}f(x,1,1)=\dlim_{x\to0^\pm}\fr{1}{x}+x+2=\pm\8,$$
quindi non sono assoluti\fn{In realt\`a potevamo fare pi\`u in fretta: $-4$ \`e il massimo e $4$ il minimo, quindi non possono essere assoluti perché sappiamo che in un altro punto il valore contraddice l\6assolutezza. MaD\6Ar docet.}. 

\sect{Altro esercizio}
\begin{eseese}
Calcolare la distanza tra le rette
$$r_1:\begin{sistema}x=0\\y=0\end{sistema},$$
$$r_2:\begin{sistema}x=3\\z=2y\end{sistema}.$$
\end{eseese}
Ricordiamo:
$$d(r_1,r_2)=\dinf_{\mat{c}P_1\in r_1\\P_2\in r_2\emat}\norm{P_1-P_2}.$$
Impostarlo significa scrivere le parametriche delle rette per scrivere la distanza tra due punti generici e poi fare l\6inf. Allora:
$$r_1:\begin{sistema}x=0\\y=0\\z=s\in\R\end{sistema},\quad r_2:\begin{sistema}x=3\\y=t\in\R\\z=2t\end{sistema}.$$
Allora scriviamo:
$$\norm{P_1-P_2}=\rad{\pa{3-0}^2+\pa{t-0}^2+\pa{2t-s}^2}=\rad{9+t^2+4t^2-4ts+s^2}.$$
La prossima volta cerchiamo di trovare il minimo di questa funzione. Potreste trovare il minimo in 10 secondi senza far nessun conto.

\sect{Capiamo meglio se quei teoremi sulla Hessiana sono nuovi o sono una riscrittura delle condizioni della Felli, e rallentiamo un attimo su questo esercizio dei punti critici}
Prima di tutto osservo che presumibilmente l\6inf di sopra \`e per $s=t=0$, che annulla i quadrati.

\ssect{Identifichiamo le condizioni Felli colle condizioni Soave riguardo ai punti critici}
Ricordiamole prima tutte. Soave:\hsp{500cm}\whitea\hsp{1cm}
``Per studiare la natura del punto critico, che \`e il problema principale, si considera la matrice Hessiana:
$$\s{H}_f(x,y,z)=\pa{\mat{ccc}\pd_{xx}f&\pd_{xy}f&\pd_{xz}f\\\pd_{yx}f&\pd_{yy}f&\pd_{yz}f\\\pd_{zx}f&\pd_{zy}f&\pd_{zx}f\emat}.$$
Si studiano in particolare le propriet\`a spettrali: se
$$\begin{sistema}
\det\s{H}_{1f}(x_0,y_0,z_0)>0\\
\det\s{H}_{2f}(x_0,y_0,z_0)>0\\
\det\s{H}_{2f}(x_0,y_0,z_0)>0
\end{sistema},$$
allora abbiamo un minimo locale forte, mentre se
$$\begin{sistema}
\det\s{H}_f(x_0,y_0,z_0)<0\\
\det\s{H}_{2f}(x_0,y_0,z_0)>0\\
\pd_{xx}f(x_0,y_0,z_0)>0
\end{sistema},$$
abbiamo un massimo locale forte.
Negli altri casi se $\det\s{H}_f(x_0,y_0,z_0)\neq0$ abbiamo un punto di sella\fn{Il $\neq0$ l\6ho ricostruito io, se qualcuno ha segnato qualcosa di diverso mi dica.}. $\s{H}_1$ \`e tutta la matrice, $\s{H}_2$ \`e $\s{H}_{33}$, $\s{H}_3$ \`e solo $\pd_{xx}$. In due dimensioni la matrice si riduce a:
$$\s{H}_f(x,y)=\pa{\mat{cc}\pd_{xx}f(x,y,z)&\pd_{xy}f(x,y,z)\\\pd_{yx}f(x,y,z)&\pd_{yy}f(x,y,z)\emat}.$$
Le condizioni per il massimo diventano:
$$\begin{sistema}
\det\s{H}_f>0\\
\pd_{xx}f<0
\end{sistema},$$
mentre quelle del minimo diventano:
$$\begin{sistema}
\det\s{H}_f>0\\
\pd_{xx}f>0
\end{sistema}.$$
Quelle della sella sono ancora $\det\s{H}\neq0$.''\hsp{500cm}\whitea\hsp{1cm}
Felli:\hsp{500cm}\whitea\hsp{1cm}
``\tbold{Teorema a}\hsp{500cm}\whitea\hsp{1cm}
\emph{Sia $f\in C^2(\Wg)$ con $\Wg\sbse\R^n$ aperto, e $P\in\Wg$ un punto di minimo locale per $f$. Allora la matrice Hessiana di $f$ in $P$, $\s{H}_f(P)$, \`e semi-definita positiva. Analogamente, se $P$ \`e un punto di massimo locale la matrice \`e semi-definita negativa.}
Dim.
\par Sia $P$ un punto di minimo locale. Per quanto visto ieri sappiamo che \`e stazionario, quindi il differenziale di $f$ in $P$ \`e $0$:
$$df(P)=0.$$
$\VA H\in\R^n,\,t\,\,\hbox{sufficientemente piccolo},\quad \lbar{P,P+tH}\sbse\Wg,$, quindi scriviamo la formula di Taylor di ordine 2\fn{Il passaggio
$$o(\norm{tH}^2)=o(t^2)$$
\`e dovuto al fatto che $\norm{H}$ \`e una costante perché $H$ \`e fissato, mentre $t$ sta tendendo a $0$. Il gradiente viene poi eliminato poiché, essendo $P$ di minimo locale, sappiamo che
$$\grad f(P)=(0,0,\dots,0).$$
Infine la riscrittura del termine contenente $\s{H}_f(P)$ dipende dalla linearit\`a del prodotto scalare in ambo i ``fattori''.}:
$$f(P+tH)-f(P)=\pa{\grad f(P),tH}+\fr{1}{2}\pa{\s{H}_f(P)tH,tH}+o(\norm{tH}^2)=$$
$$=\fr{1}{2}t^2\pa{\s{H}_f(P)H,H}+o(t^2).$$
Essendo $P$ un minimo, per $t$ piccolo la differenza $f(P+tH)-f(P)$ sar\`a non negativa, quindi:
$$\fr{1}{2}t^2\pa{\s{H}_f(P)H,H}+o(t^2)\geq0.$$
Dividendo per $t^2$ e facendo tendere $t$ a $0$ otteniamo:
$$\pa{\s{H}_f(P)H,H}\geq0,$$
cio\`e la tesi.:\hsp{500cm}\whitea\hsp{1cm}
[defi di punto di sella]:\hsp{500cm}\whitea\hsp{1cm}
\tbold{Teorema b}:\hsp{500cm}\whitea\hsp{1cm}
\emph{$\Wg\sbse\R^n$ aperto, $f\in C^2(\Wg)$, $P\in\Wg$ stazionario per $f$ ($df(P)=0$). Se $\s{H}_f(P)$ \`e definita positiva (negativa) allora $P$ \`e un punto di minimo (massimo) locale stretto.}
Dim.
\par Supponiamo $\s{H}_f(P)$ definita positiva. Quindi
$$\3\ag>0:\pa{\s{H}_f(P)H,H}\geq\ag\norm{H}^2\quad\VA H\in\R^n.$$
Se $\lbar{P,P+tH}\sbse\Wg$, possiamo scrivere la formula di Taylor di ordine 2, centrata in $P$, con resto di Peano:
$$f(P+H)-f(P)=\pa{\grad f(P),H}+\fr{1}{2}\pa{\s{H}_f(P)H,H}+R(H)\quad con\,\,R(H)+o(\norm{H}^2).$$
L\6ipotesi mi dice che il secondo membro\fn{Scordandosi naturalmente il termine col gradiente che \`e nullo perché $P$ \`e stazionario per ipotesi.} \`e maggiore o uguale a:
$$\fr{\ag}{2}\norm{H}^2+R(H).$$
Il fatto che $R(H)=o(\norm{H}^2)$ mi dice che $\fr{R(H)}{\norm{H}^2}\to0\quad per\,\,H\to0$. Quindi
$$\3\dg>0:\norm{H}<\dg\implies\fr{\abs{R(H)}}{\norm{H}^2}<\ag^2\et B(P,\dg)\sbse\Wg.$$
Se $\norm{H}<\dg$ quindi abbiamo:
$$f(P+H)-f(P)\geq\fr{\ag}{2}\norm{H}^2-\fr{\ag}{4}\norm{H}^2=\fr{\ag}{4}\norm{H}^2\geq0,$$
e strettamente maggiore se $H\neq0$. Quindi $P$ \`e un minimo locale stretto.''\hsp{500cm}\whitea\hsp{1cm}
Quindi ci proponiamo di dimostrare che:
\ben
\item Il sistema Soave per il minimo vale $\sse$ la Hessiana definita positiva.
\item Il sistema Soave per il massimo vale $\sse$ la Hessiana definita negativa.
\een
Noi sappiamo che la matrice \`e simmetrica, quindi ha esattamente tanti autovalori quanti il suo ordine. Quindi il polinomio caratteristico \`e:
$$p(t)=\det\pa{\s{H}-tI}=(t-\lgr_1)(t-\lgr_2)\dots(t-\lgr_n).$$
Per $t=0$, il primo membro \`e $\det\s{H}$, il secondo \`e $\dprod_{i=1}^n\lgr_i$, quindi il determinante di una matrice simmetrica \`e uguale al prodotto dei suoi autovalori. In due dimensioni noi sappiamo che se il prodotto degli autovalori \`e positivo essi sono concordi, quindi la prima condizione del sistema Soave implica autovalori concordi. La seconda d\`a il segno. Infatti se so che deve avere una Hessiana definita in qualche modo, quindi un massimo o minimo, le derivate parziali saranno per forza dello stesso segno che coincide con quello degli autovalori, poiché restringendo la funzione agli assi ottengo una funzione che ha un estremante nel punto in questione ed \`e derivabile, quindi la derivata ha il segno opportuno. Pertanto nelle condizioni del sistema Soave del minimo (massimo) abbiamo una matrice definita positiva (negativa), quindi un minimo (massimo) Felli, e viceversa. Naturalmente se il determinante \`e minore di $0$ abbiamo una matrice indefinita e quindi una sella. In tre dimensioni \`e lievemente pi\`u complicato. Possiamo ancora dire che il determinante \`e il prodotto degli autovalori, quello vale in generale, pur di averne abbastanza. Avere un determinante positivo vuol dire che o uno o tutti gli autovalori (i 3 autovalori) sono positivi. Quindi la tesi \`e che se valgono le altre condìzioni non pu\`o accadere che ci siano due autovalori negativi. Scriviamo esplicitamente il determinante di una generica matrice:
$$A=\pa{\mat{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\emat}:$$
$$\det A=i\det\pa{\mat{cc}a&b\\d&e\emat}-h\det\pa{\mat{cc}a&c\\d&f\emat}+g\det\pa{\mat{cc}b&c\\e&f\emat}=$$
$$=i(ae-bd)-h(af-cd)+g(bf-ce).$$
Imponiamo la simmetria della matrice
$$\(\begin{sistema}
b=d\\
c=g\\
f=h
\end{sistema}\),$$
e questa cosa diventa:
$$i(ae-b^2)-f(af-cb)+c(bf-ce).$$
La prima parentesi \`e il determinante che la seconda condizione Soave assume SEMPRE positivo. Il che significa che nelle condizioni Soave, che sia un massimo o sia un minimo comunque:
$$ae>b^2\implies ae>0\implies \sgn a=\sgn e.$$
Quindi nel caso del minimo sono entrambi positivi. Andiamo avanti col determinante, trasformandolo in:
$$i(ae-b^2)-af^2-fcb+cbf-c^2e=i(ae-b^2)-af^2-c^2e.$$
Questo significa che se $i<0$, il determinante \`e un termine negativo meno un termine del segno di $a$. Se il segno di $a$ \`e $+1$, la condizione 3 del minimo Soave, il determinante diventa negativo, contraddicendo alla prima sotto cui stiamo lavorando. Quindi le tre condizioni del minimo Soave mi d\`anno tre derivate parziali seconde non miste positive. Ma questo ancora non mi d\`a la certezza di avere un minimo. Scriviamo:
$$i(ae-b^2)-f(af-cb)+c(bf-ce)>0\implies i(ae-b^2)>f(af-cb)-c(bf-ce)\implies$$
$$\musb{\implies}{i>0}ae-b^2>\fr{f}{i}(af-cb)-\fr{c}{i}(bf-ce).$$
Va beh non riesco a finire :). Gironzolare su en.wikipedia.org (Sylvester\6s criterion, Cholesky decomposition, Positive-definite matrix) pu\`o essere illuminante per le definite positive, sulle definite negative ciao ciao, non si dice nulla. Tuttavia se una matrice \`e definita negativa, l\6opposta sar\`a definita positiva. Imporre ``Sylvester\6s criterion'\6 sull\6opposta equivale ad opporre le condizioni Soave su quella di partenza. Infatti si prova facilmente, per la multilinearit\`a del determinante, che:
$$\det(-A)=(-1)^n\det A,$$
con $n$ l\6ordine di $A$. Quindi quelle di ordine pari rimangono a determinante positivo perché $(-1)^n=1$ in quanto $n$ \`e pari, invece quelle di ordine dispari cambiano il segno del determinante perché $(-1)^n=-1$.

\ssect{Rifacciamo la fine di quello ultimo esercizio sopra a rallentatore}
Osservato che la Hessiana in $(-1,-1,-1)$ \`e l\6opposto di quella in $(1,1,1)$, il determinante di quella Hessiana \`e una somma di termini che sono prodotti di tre entrate, quindi sono gli stessi del determinande di $\s{H}_f(1,1,1)$ moltiplicati per $-1$ tre volte quindi gli opposti. Quindi il determinante della Hessiana cambia segno passando da $(1,1,1)$ a $(-1,-1,-1)$. Analogamente, la sottomatrice $2\x2$ ha nel determinante gli stessi due termini dell\6altra, per $-1$ due volte, quindi proprio gli stessi, quindi non cambia segno, mentre quella $1\x1$ contiene solo un termine che \`e opposto di quello dell\6altra, quindi cambia segno. Quindi cambiamo tipo di estremante locale. Rallentiamo anche sul determinante della $3\x3$: calcoliamo esplicitamente
$$\det\pa{\mat{ccc}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\emat}.$$
Questo vale:
$$2\per\det\pa{\mat{cc}2&1\\1&2\emat}-1\per\det\pa{\mat{cc}2&1\\1&1\emat}+1\per\det\pa{\mat{cc}1&2\\1&1\emat}=2\per\pa{4-1}-1\per\pa{2-1}+$$
$$+1\per\pa{1-2}=6-1-1=4.$$


\incle
\chapter{\lez{6/11/2013}}

\sect{Finiamo un esercizio della scorsa volta}
Ricordiamo:
$$f(x,y)=\pa{y^2-x^2}\pa{y-1}^2.$$
Le derivate parziali:
$$f_x(x,y)=-2x\pa{y-1}^2,\quad f_y(x,y)=2\pa{y-1}\pa{2y^2-y-x^2}.$$
Quindi i punti critici erano in $(x,1)$ per ogni $x\in\R$ e $(0,0)$, $\pa{0,\fr{1}{2}}$. Ci manca di studiarne la natura. Allora calcoliamo la Hessiana, e quindi le derivate seconde:
$$\fr{\pd^2f}{\pd x^2}=-2\pa{y-1}^2,$$
$$\fr{\pd^2f}{\pd y^2}=2\pa{2y^2-y-x^2}+2\pa{y-1}\pa{4y-1}=2\sq{2y^2-y-x^2+4y^2-y-y+1}=$$
$$=2\sq{6y^2-6y-x^2+1},$$
$$\fr{\pd^2f}{\pd x\pd y}=\fr{\pd^2f}{\pd y\pd x}=-4x\pa{y-1}.$$
Quindi:
$$\s{H}_f(x,y)=\sq{\mat{cc}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\emat}=\sq{\mat{cc}-2\pa{y-1}^2&-4x\pa{y-1}\\-4x\pa{y-1}&2\sq{6y^2-6y-x^2+1}\emat}.$$
Cominciamo ad esempio nell\6origine:
$$\s{H}_f(0,0)=\sq{\mat{cc}-2&0\\0&2\emat}.$$
Gli autovalori sono sulla diagonale, quindi la matrice \`e indefinita e l\6origine \`e una sella. Poi $\pa{0,\fr{1}{2}}$:
$$\s{H}_f\pa{0,\fr{1}{2}}=\sq{\mat{cc}-\fr{1}{2}&0\\0&-1\emat},$$
\`e definita negativa perché gli autovalori sono l\`i sulla diagonale, quindi \`e un massimo. Ora in $(x,1)$:
$$\s{H}_f\pa{0,\fr{1}{2}}=\sq{\mat{cc}0&0\\0&2\pa{1-x^2}\emat}.$$
Gli autovalori sono sulla diagonale, uno \`e nullo, quindi non sar\`a né \dn\bk né \dep\bk né indefinita, ma semi-\dep\bk per $1-x^2\geq0\implies-1\leq x\leq1$ e semi-\dn\bk per $x\geq1\vel x\leq1$. Non possiamo dire nulla, quindi cerchiamo di arrangiarci. Su quei punti la funzione \`e nulla. Studiamo il segno. Si annulla per:
$$y=1\vel x=\pm y.$$
\`E positiva per $y^2-x^2>0$ ovvero:
$$\abs{y}>\abs{x}\implies y>\abs{x}\vel y<-\abs{x}\implies.$$
Quindi nel cono sopra $\abs{x}$ o sotto $-\abs{x}$.
\par\includegraphics[width=11cm]{GraficoSegno.jpg}\lfeed
Dal segno, la natura: per $x>1\vel x<-1$ abbiamo massimi, per $-1<x<1$ abbiamo minimi, per $x=\pm1$ selle.

\sect{Integrali multipli}

\ssect{Funzioni a scala}
Noi tratteremo in particolare la teoria di Riemann, e cominciamo da una classe particolare di funzioni, le funzioni a scala.
\begin{defi}
$R\sbse\R^n$ si dice \emph{rettangolo $n$-dimensionale} se $R$ \`e il prodotto cartesiano di $n$ intervalli limitati; se $R=I_1\x I_2\x\dots\x I_n$ intervalli limitati di estremi $a_j$ e $b_j$\fn{Ovvero se
$$R=\dprod_{j=1}^n(a_j,b_j),$$
eventualmente con uno od entrambi gli estremi inclusi.} la misura $n$-dimensionale di $R$ (area per $n=2$, volume per $n=3$) \`e
$$\mis_n(R)=\dprod_{j=1}^n\pa{b_j-a_j}.$$
\end{defi}
\begin{es}
$$\mis_2\pa{\pa{1,2}\x\(2,4\]}=1\per2=2.$$
\end{es}
\begin{oss}
Gli intervalli per noi, in questa costruzione, potrebbero essere vuoti ($a_j=b_j$), quindi di misura nulla, o ridotti ad un punto, quindi ancora di misura nulla. Se un intervallo \`e vuoto o ridotto ad un punto la misura \`e nulla.
\end{oss}
\begin{es}
$$\mis_3\pa{\{0\}\x\sq{1,2}\x\[3,5\)}=0.$$
\end{es}
\begin{defi}
Una funzione $s:\R^n\to\R$ si chiama \emph{funzione a scala} quando esistono $m\in\N\ssm\br{0}$ rettangoli $n$-dimensionali $R_1,R_2,\dots,R_m$ a due a due disgiunti ed $m$ numeri reali $c_1,c_2,\dots,c_n\in\R$ per cui:
$$s(x)=\sistbis{c_j}{x\in R_j\,\,\hbox{per qualche $j\in\br{1,\dots,n}$}}{0}{x\nin R_j\,\,\VA j},$$
ovvero
$$s(x)=\dsum_{j=1}^mc_j\xg_{R_j}(x).$$
\end{defi} 
\begin{defi}
Si dice \emph{funzione caratteristica di un insieme $A$} la funzione:
$$\xg_A(x)=\sistbis{1}{x\in A}{0}{x\nin A},$$
detta anche $1_A$ in probabilit\`a.
\end{defi}
\begin{defi}
Il numero $\dsum_{j=1}^mc_j\mis_n(R_j)$ si dice \emph{integrale di $s$} e si denota con l\6usuale simbolo di integrale:
$$\dsum_{j=1}^mc_j\mis_n(R_j)=\uints{R_n}s=\uints{R_n}s(x)dx.$$
\end{defi}
\begin{oss}
Se $c_j>0\,\,\VA j$, quel numero \`e la somma dei volumi dei parallelepipedi.
\end{oss}
Obiezione: se non fosse unica la rappresentazione di una funzione a scala come la somma di sopra colle caratteristiche potrebbe cambiare quel numero. No, non dipende dalla rappresentazione:
\begin{propo}
Se $s$ \`e una funzione a scala $s:\R^n\to\R$ per cui
$$s(x)=\dsum_{j=1}^mc_j^\1\xg_{R_j^\1}(x)=\dsum_{i=1}^pc_i^{\1\1}\xg_{R_i^{\1\1}}(x),$$
allora:
$$\dsum_{j=1}^mc_j^\1\mis_n(R_j^\1)=\dsum_{i=1}^pc_i^{\1\1}\mis_n(R_i^{\1\1}).$$
\end{propo}
Dim.
\par Innanzitutto posso supporre $c_j^\1,c_i^{\1\1}\neq0\,\,\VA i,j$, perché se uno \`e zero tolgo il termine dalla somma e se sono tutti $0$ ovviamente \`e sempre $0$ la somma. Considero allora:
$$A=\br{x\in\R^n:s(x)\neq0},$$
e vedo che:
$$A=\bun_{j=1}^mR_j^\1=\bun_{j=1}^pR_i^{\1\1},$$
perché esser fuori dall\6unione equivale ad esser fuori da tutti i rettangoli quindi $s$ vale $0$, mentre esserci dentro equivale ad esser dentro un $R_j^\1$ e quindi $s$ vale $c_j$. Definiamo ora:
$$R_{ji}=R_j^\1\cap R_i^{\1\1},$$
che o \`e vuoto o \`e un rettangolo $n$-dimensionale, quindi un rettangolo visto che un rettangolo pu\`o essere vuoto. Noto che:
$$R_j^\1=R_j^\1\cap A=R_j^\1\cap\bun_{i=1}^pR_i^{\1\1}=\bun_{i=1}^p\pa{R_j^\1\cap R_i^{\1\1}}=\bun_{i=1}^pR_{ji},$$
ove il primo passaggio \`e dovuto al fatto che $R_j^\1\sbse A$. Rappresentiamo l\6integrale coi $j$:
$$\dint_As(x)dx=\dsum_{j=1}^mc_j^\1\mis_n(R_j)=\dsum_{j=1}^mc_j^\1\mis_n(\bun_{i=1}^pR_{ji});$$
Gli $R_{ji}$ sono rettangoli, la cui unione \`e un rettangolo, che sono a due a due disgiunti, e si pu\`o dimostrare, \`e un passaggio tecnicamente un po\6 noioso, che la misura dell\6unione \`e la somma delle misure:
$$\dsum_{j=1}^m\dsum_{i=1}^pc_j^\1\mis_n(R_{ji}).$$
Analogamente si ottiene che l\6altra rappresentazione \`e:
$$\dsum_{i=1}^pc_i^{\1\1}\mis_n(R_i^{\1\1})=\dsum_{i=1}^p\dsum_{j=1}^mc_i^{\1\1}\mis_n(R_{ji}).$$
L\6obiettivo finale \`e dimostrare che queste due somme sono uguali. Convinciamoci allora che:
$$c_j^\1\mis_n(R_{ji})=c_i^{\1\1}\mis_n(R_{ji}).$$
Se $R_{ji}=\0$ \`e facile, valgono entrambe 0. Se $R_{ji}\neq\0$, allora
$$\3 x\in R_j^\1\cap R_i^{\1\1}.$$
Osserviamo che:
$$s(x)=c_j^\1=c_i^{\1\1},$$
il primo valore perché $x\in R_j^\1$ e il secondo perché $x\in R_i^{\1\1}$. Quindi le due somme sono uguali termine a termine. Quindi la definizione di integrale di una funzione a scala \`e ben posta.
\par Adesso facciamo una pausa.
\begin{oss}
Due qualunque funzioni a scala $s_1,s_2:\R^n\to\R$ si possono rappresentare usando la stessa famiglia di rettangoli.
\end{oss}
Supponiamo infatti che
$$s_1=\dsum_{j=1}^mc_j^\1\xg_{R_j^\1},\quad s_2=\dsum_{i=1}^pc_i^{\1\1}\xg_{R_i^{\1\1}}.$$
Chiamiamo:
$$P^\1=\bun_{j=1}^mR_j^\1,\quad P^{\1\1}=\bun_{i=1}^pR_i^{\1\1}.$$
Per prima cosa cerco di ricondurmi a $P^\1=P^{\1\1}$, che in generale non sar\`a vero:.
\par\includegraphics[width=11cm]{Rettangoli.jpg}\lfeed
Chiamiamo
$$P=P^\1\cup P^{\1\1}.$$
Se sono diversi allora:
$$P\neq P^\1\vel P\neq P^{\1\1}.$$
Consideriamo allora $P\ssm P^\1$. Posso sicuramente (andrebbe dimostrato, ma \`e abbastanza intuitivo) scriverla come unione di rettangoli:
$$P\ssm P^\1=\bun_{j=m+1}^qR_j^\1.$$
NB L\6indice va da $m+1$ a $q$, mentre quelli di $P^\1$ vanno da $1$ a $m$. Posso allora scrivere:
$$s_1(x)=\dsum_{j=1}^qc_j^\1\xg_{R_j^\1}(x)\quad con\,\,c_j^\1=0\,\,\VA j>m.$$
In modo simile se $P\neq P^{\1\1}$ aggiungo dei rettangoli per cui
$$P\ssm P^{\1\1}=\bun_{i=p+1}^rR_i^{\1\1},$$
e scrivo:
$$s_2=\dsum_{i=1}^rc_i^{\1\1}\xg_{R_i^{\1\1}}\quad c_i^{\1\1}=0\,\,\VA i>p.$$
Quindi posso supporre $P^\1=P^{\1\1}$. Supponiamo allora che:
$$\bun_{j=1}^mR_j^\1=\bun_{i=1}^pR_i^{\1\1}.$$
Definisco allora:
$$R_{ji}=R_j^\1\cap R_i^{\1\1}$$
e considero:
$$L=\br{\pa{j,i}:R_{ji}\neq\0},$$
e osservo che:
$$\bun_{(j,i)\in L}R_{ji}=P^\1=P^{\1\1}.$$
Cerchiamo di usare questa nuova famiglia $R_{ji}$ per scrivere sia $s_1$ che $s_2$. Se $(j,i)\in L$ definisco:
$$c_{ji}^\1=c_j^\1,\quad c_{ji}^{\1\1}=c_i^{\1\1}.$$
Di conseguenza ho:
$$s_1=\dsum_{(j,i)\in L}c_{ji}^\1\xg_{R_{ji}},\quad s_2=\dsum_{(j,i)\in L}c_{ji}^{\1\1}\xg_{R_{ji}}.$$
Questa osservazione ci consente di confrontare funzioni a scala, avendole scritte sullo stesso insieme di rettangoli. Queste due proposizioni ci d\`anno delle propriet\`a importanti:
\begin{propo}
Se $s_1,s_2:\R^n\to\R$ funzioni a scala allora anche $s_1+s_2$ \`e a scala e
$$\uint{\R^n\,\,\,}\pa{s_1+s_2}=\uint{\R^n\,\,\,}s_1+\uint{\R^n\,\,\,}s_2.$$
\end{propo}
\begin{propo}
Se $s_1,s_2$ sono come sopra e $s_1\leq s_2$, allora:
$$\uint{\R^n\,\,\,}s_1\leq\uint{\R^n\,\,\,}s_2.$$
\end{propo}
Dim.
$$s_1=\dsum_{j=1}^mc_j^\1\xg_{R_j},\quad s_2=\dsum_{j=1}^mc_j^{\1\1}\xg_{R_j}.$$
Proviamo la prima: scriviamo la somma.
$$s_1+s_2=\dsum_{j=1}^mc_j^\1\xg_{R_j}+\dsum_{j=1}^mc_j^{\1\1}\xg_{R_j}=\dsum_{j=1}^m\pa{c_j^\1\1+c_j^{\1\1}}\xg_{R_j},$$
quindi \`e a scala. Scriviamo l\6integrale della somma:
$$\uint{\R^n\,\,\,}\pa{s_1+s_2}=\dsum_{j=1}^m\pa{c_j^\1+c_j^{\1\1}}\mis_n(R_j)=\dsum_{j=1}^mc_j^\1\mis_n(R_j)+\dsum_{j=1}^mc_j^{\1\1}\mis_n(R_j)=$$
$$=\uint{\R^n\,\,\,}s_1+\uint{\R^n\,\,\,}s_2,$$
C.V.D. Ora la seconda. L\6ipotesi equivale a:
$$c_j^\1\leq c_j^{\1\1}\quad \VA j,$$
perché se $x\in R_j$ l\6ipotesi diventa:
$$s_1(x)\leq s_2(x)\sse c_j^\1\leq c_j^{\1\1}.$$
Quindi calcoliamo l\6integrale:
$$\uint{\R^n\,\,\,}s_1=\dsum_{j=1}^mc_j^\1\mis_n(R_j)\leq\dsum_{j=1}^mc_j^{\1\1}\mis_n(R_j)=\uint{\R^n\,\,\,}s_2,$$
poiché le misure sono non negative per definizione e per l\6ipotesi equivalente di sopra, C.V.D. Quindi avete dimostrato anche una propriet\`a di monotonia dell\6integrale.

\ssect{Funzioni generiche}
Prendiamo ora una funzione qualsiasi $f:\R^n\to\R$. L\6idea alla base dell\6integrazione di Riemann \`e di approssimare la funzione $f$ con funzioni a scala. Considero:
$$\s{I}_-(f)=\br{\uint{\R^n\,\,\,}s(x)dx\quad s\hbox{ funzione a scala}:s\leq f},$$
$$\s{I}_+(f)=\br{\uint{\R^n\,\,\,}s(x)dx\quad s\hbox{ funzione a scala}:s\geq f}.$$
\begin{defi}
$f$ si dice \emph{integrabile secondo Riemann} se:
\ben
\item $\s{I}_-(f),\s{I}_+(f)\neq\0$;
\item $\dsup\s{I}_-(f)=\dinf\s{I}_+(f)$.
\een
\end{defi}
\begin{defi}
I due termini si chiamano spesso \emph{integrali inferiore e superiore} rispettivamente, quindi l\6equazione sopra equivale a:
$$\lbar{\uint{\R^n\,\,\,}}f=\ubar{\uint{\R^n\,\,\,}}f.$$
\end{defi}
\begin{defi}
Se coincidono, il comune valore si dice \emph{integrale secondo Riemann di $f$}, e si denota con:
$$\uint{\R^n\,\,\,}f=\uint{\R^n\,\,\,}f(x)dx.$$
Oppure con:
$$\uint{\R^n\,\,\,}f(x_1,x_2,\dots,x_n)dx_1dx_1\dots dx_n.$$
Per $n=2$ un altro modo di scrivere \`e:
$$\uiintns{\R^2\,\,\,} f(x,y)dxdy.$$
Analogamente in dimensione 3:
$$\uiiintns{\R^3\,\,\,} f(x,y,z)dxdydz.$$
Si parla di \emph{integrale doppio} e \emph{integrale triplo}.
\end{defi}
``Domani ci sono io per due ore''.


\incle
\chapter{\lez{7/11/2013}}

Richiama definizione di $f$ integrabile e di integrale secondo Riemann. NB Se $\s{I}_+,\s{I}_-$ entrambi non vuoti.

\sect{Cominciamo}

\ssect{Condizione Necessaria di integrabilit\`a}
\begin{oss}
Se $f$ \`e integrabile \`e limitata ed \`e nulla al di fuori dell\6insieme considerato, ovvero:
\ben
\item $\3M>0:f(x)\leq M\,\,\,\,\VA x\in\R^2$;
\item $\3K\sbse\R^n:f(x)=0\,\,\,\,\VA x\in\R^n\ssm K$.
\een
\end{oss}
Dim.
\par Se $f$ \`e integrabile allora $\s{I}_+(f)$ e $\s{I}_-(f)$ sono non vuoti, quindi esistono almeno due funzioni a scala $s_-,s_+$ per cui $s_-(x)\leq f(x)\leq s_+(x)$ in tutto $\R^n$. Entrambe le funzioni sono limitate perché
$$\abs{s_-}\leq\max_jc_j,\quad\abs{s_+}\leq\max_ic_i.$$
Quindi $f$ \`e limitata. Inoltre le funzioni a scala sono nulle fuori da un\6unione finita di rettangoli limitati che quindi risulta limitata. Pertanto anche $f$ \`e nulla fuori di un limitato. In altre parole le funzioni a scala e $f$ sono nulle in un intorno di $+\8$ e $-\8$.

\ssect{Equivalenza delle due nozioni di integrale per le funzioni a scala e per funzioni generiche sulle funzioni a scala}
\begin{ese}
Dimostrare che se $s:\R^n\to\R$ \`e una funzione a scala \`e integrabile nel senso della definizione appena data e l\6integrale secondo Riemann della funzione a scala nel senso sopra coincide con l\6integrale come definito ieri per funzioni a scala.
\end{ese}
L\6integrale da funzione a scala sta in $\s{I}_-$ e in $\s{I}_+$, inoltre \`e un estremo perché qualsiasi funzione a scala con integrale in quegli insiemi per la monotonia dell\6integrale dimostrata ieri sar\`a sopra o sotto questa\fn{Pi\`u estesamente, $s$ \`e a scala, e vale sia $s\leq s$ che $s\geq s$, quindi l\6integrale di $s$ sta sia in $\s{I}_+(s)$ che in $\s{I}_-(s)$. In pi\`u presa una funzione $s_1\leq s$, per la monotonia dell\6integrale vale $\dint s_1\leq\dint s$, quindi l\6integrale di $s$ \`e $\dsup\s{I}_-(s)$, e analogamente \`e anche $\dinf\s{I}_+(s)$.}.

\ssect{Condizione Necessaria e Sufficiente di integrabilit\`a}
\begin{lemma}
$f:\R^n\to\R$ \`e integrabile se e solo se
$$\VA\eg>0\,\,\3s_-,s_+\,\,\hbox{funzioni a scala su }\R^n:s_-\leq f\leq s_+\et\uint{\R^n\,\,\,}s_+-\uint{\R^n\,\,\,}s_-\leq\eg(*).$$
\end{lemma}
Dim.
\par Cominciamo a supporre che $f$ sia integrabile per dimostrare che la condizione \`e necessaria. Per definizione di $\dsup$
$$\3s_-\leq f:\uint{\R^n\,\,\,}s_-\geq\dsup\s{I}_--\fr{\eg}{2}=\uint{\R^n\,\,\,}f-\fr{\eg}{2}.$$
Analogamente per definizione di $\dinf$
$$\3s_+\geq f:\uint{\R^n\,\,\,}s_+\leq\dinf\s{I}_++\fr{\eg}{2}=\uint{\R^n\,\,\,}f+\fr{\eg}{2}.$$
Sottraiamo termine a termine le due disuguaglianze, ottenendo:
$$\uint{\R^n\,\,\,}s_+-\uint{\R^n\,\,\,}s_-\leq\uint{\R^n\,\,\,}f+\fr{\eg}{2}-\uint{\R^n\,\,\,}f+\fr{\eg}{2}\implies\uint{\R^n\,\,\,}s_+-\uint{\R^n\,\,\,}s_i\leq\eg,$$
C.V.D. Per dimostrare che la condizione \`e sufficiente ragioniamo in questo modo. Supponiamo che valga $(*)$. Per assurdo supponiamo che $f$ non sia integrabile. Allora o $\s{I}_-$ \`e vuoto, o $\s{I}_+$ \`e vuoto, o $\dsup$ e $\dinf$ sono diversi. Tuttavia $(*)\implies\s{I}_+(f),\s{I}_+(f)\neq\0$\fn{Perché fissato $\eg>0$ trovo $s_-,s_+$ i cui integrali appartengono a $\s{I}_-,\s{I}_+$ rispettivamente.}. Quindi l\6unica possibilit\`a \`e che:
$$\dsup\s{I}_-\neq\dinf\s{I}_+\implies\dsup\s{I}_--\dinf\s{I}_+\neq0.$$
Per la monotonia dell\6integrale in realt\`a \`e strettamente minore di $0$:
$$\dsup\s{I}_--\dinf\s{I}_+<0.$$
Allora consideriamo:
$$\eg=\fr{1}{2}\pa{\dinf\s{I}_+-\dsup\s{I}_-}>0.$$
Per $(*)$:
$$\3s_-,s_+\,\,\hbox{a scala}:s_-\leq f\leq s_+\et\uint{\R^n\,\,\,}s_+-\uint{\R^n\,\,\,}s_-\leq\eg.$$
Tuttavia il primo termine \`e in $\s{I}_+(f)$, quindi non \`e inferiore all\6inf, mentre il secondo termine \`e in $\s{I}_-(f)$ quindi non supera il sup. Quindi:
$$2\eg=\dinf\s{I}_+-\dsup\s{I}_-\leq\uint{\R^n\,\,\,}s_+-\uint{\R^n\,\,\,}s_-\leq\eg,$$
ma $\eg>0$ quindi questo \`e assurdo.

\sect{Propriet\`a di questo operatore di integrale}

\ssect{Linearit\`a}
\bi
\item $f,g\in\R^n\,\,\hbox{integrabili secondo Riemann}\implies f+g\,\,\hbox{integrabile}$ e
$$\uint{\R^n\,\,\,}\pa{f+g}=\uint{\R^n\,\,\,}f+\uint{\R^n\,\,\,}g.$$
\item $f,g\in\R^n\,\,\hbox{integrabili secondo Riemann}\implies \lgr f\,\,\hbox{integrabile }\VA\lgr\in\R$ e
$$\uint{\R^n\,\,\,}\pa{\lgr f}=\lgr\uint{\R^n\,\,\,}f.$$
\ei
Dim.
\par Sia $\eg>0$. Per il lemma
$$\3s_-^1,s_+^1,s_-^2,s_+^2:\begin{sistema}
s_-^1\leq f\leq s_+^1\\
s_-^2\leq g\leq s_+^2\\
\uint{\R^n\,\,\,}s_+^1-\uint{\R^n\,\,\,}s_-^1\leq\fr{\eg}{2}\\\\
\uint{\R^n\,\,\,}s_+^2-\uint{\R^n\,\,\,}s_-^2\leq\fr{\eg}{2}
\end{sistema}.$$
Sommando le disuguaglianze:
$$s_-^1+s_-^2\leq f+g\leq s_+^1+s_+^2,$$
e sono funzioni a scala come visto ieri. Inoltre:
$$\uint{\R^n\,\,\,}\pa{s_+^1+s_+^2}-\uint{\R^n\,\,\,}\pa{s_-^1+s_-^2}=\uint{\R^n\,\,\,}s_+^1+\uint{\R^n\,\,\,}s_+^2-\uint{\R^n\,\,\,}s_-^1-\uint{\R^n\,\,\,}s_-^2\leq$$
$$\leq\fr{\eg}{2}+\fr{\eg}{2}=\eg.$$
Quindi la somma \`e integrabile. Ora vediamo che:
$$\dint f+\dint g-\eg=\dinf\s{I}_+(f)+\dinf\s{I}_+(g)-\eg\leq\dint s_+^1+\dint s_+^2-\eg=$$
$$=\dint\pa{s_+^1+s_+^2}-\eg\leq\dint\pa{s_-^1+s_-^2}\fnm[3]\fnt[3]{L\6ultimo passaggio perché sappiamo che la differenza degli integrali non supera $\seg$, e quindi portando $\seg$ a sinistra e $\uint{\R^n\,\,\,}\pa{s_-^1+s_-^2}$ otteniamo quella disuguaglianza.}.\ic{footnote}{+1}$$
Questo sta in $\s{I}_-(f+g)$, quindi:
$$\dint\pa{s_-^1+s_-^2}\leq\dsup\s{I}_-(f+g)=\dint\pa{f+g}.$$
Quindi riassumendo e con un\6altra disuguaglianza ottenuta analogamente:
$$\dint f+\dint g-\eg\leq\dint\pa{f+g},$$
$$\dint f+\dint g+\eg\geq\dint\pa{f+g}.$$
Ovvero:
$$\dint f+\dint g-\eg\leq\dint\pa{f+g}\leq\dint f+\dint g+\eg,$$
per ogni $\eg>0$, quindi per $\eg\to0$ ottengo la tesi.

\ssect{Confronto}
$$f,g:\R^n\to\R:f\leq g\hbox{ su }\R^n\implies\uint{\R^n\,\,\,}f\leq\uint{\R^n\,\,\,}g.$$
Dim.
\par Per la propriet\`a sopra $-f$ \`e integrabile, e quindi $g-f$ pure. Inoltre $g-f\geq0$ per ipotesi ($f\leq g$). In particolare $0$ \`e una funzione a scala che non supera $g-f$. Quindi:
$$0=\dint0\in\s{I}_-(g-f)\implies0\leq\dinf\s{I}_-(g-f)=\dint\pa{g-f}=$$
$$=\dint g-\dint f\implies \dint g\geq\dint f.$$

\ssect{Integrabilit\`a di parte positiva, parte negativa e valore assoluto}
Se $f:\R^n\to\R$ \`e integrabile, allora $f^+=\max\br{f,0},f^-=\max\br{-f,0},\abs{f}$ (parte positiva, parte negativa e valore assoluto) sono integrabili. Inoltre
$$\abs{\uint{\R^n\,\,\,}f(x)dx}\leq\uint{\R^n\,\,\,}\abs{f(x)}dx.$$
Dim.
\par Per il lemma:
$$\VA\eg>0\3s_1,s_2\hbox{ funzioni a scala}:s_1\leq f\leq s_2\et\uint{\R^n\,\,\,}s_2-\uint{\R^n\,\,\,}s_1\leq\eg.$$
Consideriamo ora $s_1^+,s_2^+$. Se
$$s_1=\dsum_{j=1}^mc_j\xg_{R_j},$$
allora:
$$s_1^+=\dsum_{j=1}^mc_j^+\xg_{R_j},$$
la somma delle parti positive. Inoltre:
$$s_1^+\leq f^+\leq s_2^+,$$
perché la parte positiva \`e monotona non decrescente. Osservato\fn{Se $s_2=s_2^+,s_1=s_1^+$, allora vale l\6uguaglianza; se $s_2^+=s_2$ ma $s_1<0$, allora
$$-s_1^+=0\leq -s_1\implies s_2^+-s_1^+\leq s_2-s_1;$$
se $s_2<0$ e $s_1=s_1^+$, allora $s_2^+=0>s_2$, e cosa dovrei dire? Per\`o questa condizione \`e impossibile perché sappiamo che $s_1\leq s_2$, quindi se $s_2<0$ sicuramente $s_1<0$. Se sono entrambe negative le parti positive sono entrambe nulle, quindi vale l\6uguaglianza e abbiamo finito.} (esercizio) che:
$$s_2^+-s_1^+\leq s_2-s_1,$$
per la monotonia di ieri avremo:
$$\uint{\R^n\,\,\,}\pa{s_2^+-s_1^+}\leq\uint{\R^n\,\,\,}\pa{s_2-s_1}=\uint{\R^n\,\,\,}s_2-\uint{\R^n\,\,\,}s_1\leq\eg,$$
quindi $f^+$ \`e integrabile. In modo del tutto simile $f^-$ \`e integrabile. Ora, dato che:
$$\abs{f}=f^++f^-,$$
$\abs{f}$ \`e somma di funzioni integrabili, quindi \`e integrabile. Inoltre:
$$-\abs{f}\leq f\leq\abs{f},$$
e per il confronto avr\`o:
$$-\dint\abs{f}\leq\dint f\leq\dint\abs{f}\implies\abs{\dint f}\leq\dint\abs{f}.$$
\par Direi che possiamo fare adesso la pausa.

\ssect{Massimo e minimo tra due funzioni integrabili sono integrabili}
\begin{cor}
Se $f,g:\R^n\to\R\,$ sono integrabili, allora le due funzioni definite da $\max\br{f,g}(x)=\sistbis{f(x)}{f(x)\geq g(x)}{g(x)}{f(x)\leq g(x)}$ e $\min\br{f,g}(x)=\sistbis{f(x)}{f(x)\leq g(x)}{g(x)}{f(x)\geq f(x)}$ sono integrabili.
\end{cor}
Facilissimo dopo un esercizio:
\begin{ese}
Provare che:
$$\pa{f-g}^++g=\max\br{f,g},$$
$$g-\pa{f-g}^-=\min\br{f,g}.$$
\end{ese}

\sect{Calcolo: la Formula di Riduzione}
\begin{teor}
\bemph{(Formula di Riduzione)}\quad Sia $f:\R^p\x\R^q\to\R$ integrabile. Se $\VA x\in\R^p$ la \emph{$x$-sezione} (ossia la funzione $\R^q\to\R:y\mapsto f(x,y)$) \`e integrabile su $\R^q$ allora la funzione $\R^p\to\R:x\mapsto\uint{\R^q\,\,\,}f(x,y)dy$ \`e integrabile secondo Riemann su $\R^p$, e:
$$\uint{\R^p\,\,\,}\pa{\uint{\R^q\,\,\,}f(x,y)dy}dx=\uint{\R^p\x\R^q\,\,\,\,\,\,}f(x,y)dxdy.$$
Analogamente se per ogni $y\in\R^q$ la $y$-sezione ($y\mapsto f(x,y)$) \`e integrabile su $\R^p$, allora la funzione $y\mapsto\uint{\R^p\,\,\,}f(x,y)dy$ \`e integrabile su $\R^q$ e:
$$\uint{\R^q\,\,\,}\pa{\uint{\R^p\,\,\,}f(x,y)dx}dy=\uint{\R^p\x\R^q\,\,\,\,\,\,}f(x,y)dxdy.$$
\end{teor}
Quindi possiamo ridurre integrali multipli a integrali di un numero arbitrario di variabili, per esempio ad una. Vediamone la dimostrazione.
\par La prima parte la dimostriamo, la seconda \`e identica. Sia dunque $\eg>0$. $f$ \`e integrabile su $\R^p\x\R^q$, quindi:
$$\3s_-,s_+\hbox{ funzioni a scala su }\R^p\x\R^q:s_-\leq f\leq s_+,\uint{\R^{p+q}\quad}s_+-\uint{\R^{p+q}\quad}s_-\leq\eg.$$
Le funzioni a scala si scrivono:
$$s_+(x,y)=\dsum_{j=1}^mc_+^j\xg_{R_j^\1\x R_j^{\1\1}}(x,y)=\dsum_{j=1}^mc_+^j\xg_{R_j^\1}(x)\per\xg_{R_j^{\1\1}}(y)\fnm[5]\fnt[5]{Esercizio molto semplice.},\ic{footnote}{+1}$$
$$s_-(x,y)=\dsum_{j=1}^mc_-^j\xg_{R_j^\1}(x)\per\xg_{R_j^{\1\1}}(y),$$
con $R_j^\1$ rettangoli $p$-dimensionali e $R_j^{\1\1}$ rettangoli $q$-dimensionali. Allora definisco per ogni $x\in\R^p$:
$$f^x(y)=f(x,y),\quad\sg_+^x(y)=s_+(x,y),\quad\sg_-^x(y)=s_-(x,y).$$
Osservo che:
$$\sg_\pm^x(y)=s_\pm(x,y)=\dsum_{j=1}^mc_\pm^j\xg_{R_j^\1}\xg_{R_j^{\1\1}}.$$
Quindi $\sg_\pm$ sono funzioni a scala su $\R^q$. Inoltre la prima disuguaglianza di ipotesi per $x$ fissato d\`a:
$$\sg_-^x(y)\leq f^x(y)\leq\sg_+^x,$$
quindi per la monotonia dell\6integrale abbiamo:
$$\uint{\R^q\,\,\,}\sg_-^x(y)dy\leq\uint{\R^q\,\,\,}f^x(y)dy\leq\uint{\R^q\,\,\,}\sg_+^x(y)dy,$$
essendo la $x$-sezione integrabile per ipotesi. A questo punto facciamo variare la $x$ che prima abbiamo fissato. Chiamo:
$$F(x)=\uint{\R^q\,\,\,}f^x(y)dy\quad F:\R^q\to\R,$$
$$\Sg_+(x)=\uint{\R^q\,\,\,}\sg_+^x(y)dy,$$
$$\Sg_-(x)=\uint{\R^q\,\,\,}\sg_-^x(y)dy.$$
Quindi la disuguaglianza sopra ci d\`a che
$$\VA x\in\R^p,\,\,\,\,\Sg_-(x)\leq F(x)\leq\Sg_+(x).$$
$\Sg_+(x)$ \`e a scala:
$$\Sg_+(x)=\uint{\R^p\,\,\,}\sg_-^x(y)dy=\dsum_{j=1}^mc_j^+\xg_{R_j^{\1}}(x)\mis_q(R_j^{\1\1}))=\dsum_{j=1}^m\pa{c_j^+\mis_q(R_j^{\1\1})}\xg_{R_j^\1}(x).$$
Idem $\Sg_-$ col meno per $+$\fn{Ovvero:
$$\Sg_-(x)=\dsum_{j=1}^m\pa{c_j^-\mis_q(R_j^{\1\1}}\xg_{R_j^\1}(x).$$}. Inoltre:
$$\Sg_-\leq F\leq \Sg_+,$$
quindi stimiamo:
$$\uint{\R^p\,\,\,}\Sg_+(x)dx-\uint{\R^p\,\,\,}\Sg_-(x)dx=\dsum_{j=1}^mc_j^+\mis_q(R_j^{\1\1})\mis_p(R_j^\1)-\dsum_{j=1}^mc_j^-\mis_q(R_j^{\1\1})\mis_p(R_j^\1)=$$
$$=\dsum_{j=1}^mc_j^+\mis_{p+q}(R_j^\1\x R_j^{\1\1})-\dsum_{j=1}^mc_j^-\mis_{p+q}(R_j^\1\x R_j^{\1\1})=$$
$$=\uint{\R^p\x\R^q\,\,\,\,\,\,}s_+(x,y)dxdy-\uint{\R^p\x\R^q\,\,\,\,\,\,}s_-(x,y)dxdy\leq\eg.$$
Abbiamo trovato le due funzioni del lemma, quindi $F$ \`e integrabile. Ora ricaviamo la formula. Osserviamo:
$$\uint{\R^p\x\R^q\,\,\,\,\,\,}s_-(x,y)dxdy=\uint{\R^p\,\,\,}\Sg_-(x)dx\leq\uint{\R^p\,\,\,}F(x)dx\leq\uint{\R^p\,\,\,}\Sg_+(x)dx=\uint{\R^p\x\R^q\,\,\,\,\,\,}s_+(x,y)dxdy.$$
D\6altra parte, siccome:
$$s_-\leq f\leq s_+,$$
possiamo dire anche che:
$$\uint{\R^p\x\R^q\,\,\,\,\,\,}s_-(x,y)dxdy\leq\uint{\R^p\x\R^q\,\,\,\,\,\,}f(x,y)dxdy\leq\uint{\R^p\x\R^q\,\,\,\,\,\,}s_+(x,y)dxdy,$$
ovvero:
$$-\uint{\R^p\x\R^q\,\,\,\,\,\,}s_+(x,y)dxdy\leq-\uint{\R^p\x\R^q\,\,\,\,\,\,}f(x,y)dxdy\leq-\uint{\R^p\x\R^q\,\,\,\,\,\,}s_-(x,y)dxdy,$$
Da cui discende\fn{Questa catena e quella dopo si ottengono sommando le catene sopra, quella dopo ``Osserviamo:'\6 ignorando i termini in $\Sg$ e quella dopo ``ovvero:''.}:
$$\uint{\R^p\,\,\,}F(x)dx-\uint{\R^p\x\R^q\,\,\,\,\,\,}f(x,y)dxdy\leq\uint{\R^p\x\R^q\,\,\,\,\,\,}s_+(x,y)dxdy-\uint{\R^p\x\R^q\,\,\,\,\,\,}s_-(x,y)dxdy\leq\eg.$$
La stessa differenza non \`e inferiore a qualcosa:
$$\uint{\R^p\,\,\,}F(x)dx-\uint{\R^p\x\R^q\,\,\,\,\,\,}f(x,y)dxdy\geq\uint{\R^p\x\R^q\,\,\,\,\,\,}s_-(x,y)dxdy-\uint{\R^p\x\R^q\,\,\,\,\,\,}s_+(x,y)dxdy\geq-\eg.$$
Quindi:
$$\eg\geq\uint{\R^p\,\,\,}F(x)dx-\uint{\R^p\x\R^q\,\,\,\,\,\,}f(x,y)dxdy\geq-\eg,$$
per ogni $\eg$, e quindi la differenza vale zero:
$$\uint{\R^p\,\,\,}F(x)dx-\uint{\R^p\x\R^q\,\,\,\,\,\,}f(x,y)dxdy=0\implies\uint{\R^p\,\,\,}F(x)dx=\uint{\R^p\x\R^q\,\,\,\,\,\,}f(x,y)dxdy,$$
ed ecco la nostra formula, sostituendo ad $F$ la sua definizione. Direi che un esempio lo rimandiamo a domani mattina.


\incle
\chapter{\lez{8/11/2013}}

\sect{Richiamino}
$$\uint{\R^p\x\R^q\,\,\,\,\,\,}f(x,y)dxdy=\uint{\R^p\,\,\,}\pa{\uint{\R^q\,\,\,}f(x,y)dy}dx.$$

\sect{Esempio}
\begin{es}
$f:\R^2\to\R$,
$$f(x,y)=\sistbis{x\cos(x+y)}{(x,y)\in[0,1]\x[0,1]}{0}{altrove};$$
\`e integrabile (vedremo poi come stabilirlo).
\end{es}
Vediamo le $x$-sezioni $f^x(y)$. Se $x\nin[0,1]$ \`e la funzione nulla, altrimenti:
$$f^x(y)=\sistbis{x\cos(x+y)}{y\in[0,1]}{0}{y\nin[0,1]}.$$
\`E integrabile su $\R$? Se \`e nulla s\`i. Altrimenti \`e una funzione nulla fuori da $[0,1]$ e continua in $[0,1]$, quindi \`e integrabile.
$$\uint{\R^2\,\,\,}f(x,y)dxdy=\uint{\R\,\,\,\,\,\,\,} F(x)dx=\uint{\R\,\,\,\,\,\,\,}\pa{\uint{\R\,\,\,\,\,\,\,} f(x,y)dy}dx.$$
Dato che la $x$-sezione fuori da $[0,1]$ \`e nulla, il suo integrale su $\R$ \`e uguale a quello di $[0,1]$, e idem per l\6altro pezzo:
$$\xouint{\high{0}}{\low{1}}\pa{\xouint{\high{0}}{\low{1}}x\cos\pa{x+y}dy}dx=\xouint{\high{0}}{\low{1}}\pa{x\sin(x+y)\scb{0.5}[1]{$\fvb$}_0^1}dx=$$
$$=\xouint{\high{0}}{\low{1}}\pa{x\sin(x+1)-x\sin(x)}dx=x\pa{-\cos(x+1)+\cos x}\scb{0.5}[1]{$\fvb$}_0^1-$$
$$+\xouint{\high{0}}{\low{1}}\pa{-\cos(x+1)+\cos x}dx=1\pa{-\cos2+\cos1}-0+$$
$$+\xouint{\high{0}}{\low{1}}\pa{\cos(x+1)}dx-\xouint{\high{0}}{\low{1}}\pa{\cos x}dx=-\cos2+\cos1+\sin2-\sin1-\sin1+0=$$
$$=-\cos2+\cos1+\sin2-2\sin1.$$
Quindi l\6utlit\`a computazionale \`e abbastanza evidente. Abbiamo solo un po\6 imbrogliato quando abbiamo detto ``diamo per scontato che \`e integrabile'\6, ma tra breve avremo anche lo strumento per dirlo.

\sect{Teoria della misura di Peano-Jordan}

\ssect{Definizione di insieme misurabile e Equivalenza della misura cos\`i definita con quella gi\`a definita per i rettangoli}
Adesso continuiamo con la teoria dell\6integrabilit\`a secondo Riemann, e parliamo di una teoria molto legata a quella dell\6integrazione secondo Riemann che \`e quella della misura secondo Peano-Jordan.
\begin{defi}
$A\sbse\R^n$ si dice \emph{misurabile secondo Peano-Jordan} se la funzione caratteristica\marginpar{\slfeed Insieme misurabile}
$$\xg_A:\R^n\to\R,x\mapsto\sistbis{1}{x\in A}{0}{x\in\R^n\ssm A}$$
\`e integrabile secondo Riemann su $\R^n$. In tal caso chiamo \emph{misura $n$-dimensionale (area per $n=2$, volume per $n=3$) di $A$}\marginpar{\slfeed\slfeed\par Misura di un insieme} il numero
$$\mis_nA=\uint{\R^n\,\,\,}\xg_A(x)dx.$$
\end{defi}
\begin{oss}
Se $A$ \`e un rettangolo\marginpar{Per i rettangoli \`e la misura di prima} $n$-dimensionale ritrovo la nozione di misura gi\`a introdotta per i rettangoli.
\end{oss}
E questo \`e veramente un esercizio molto semplice, perché la funzione caratteristica di un rettangolo \`e una speciale funzione a scala che \`e integrabile e per definizione l\6integrale \`e $1$ per la misura del rettangolo. Vi d\`o un piccolo esercizio molto semplice ma istruttivo se volete farlo:
\begin{ese}
Dimostrare \marginpar{Vedi nota}che se $A$ \`e un insieme misurabile secondo Peano-Jordan e se la $\mis_nA=0$, allora ogni sottoinsieme $B\sbse A$ \`e misurabile secondo Peano-Jordan e ha misura $0$\fn{Se $A$ ha misura nulla, allora $\uint{\R^n}\xg_A=0$. Quindi:
$$\VA\eg>0\3s_1\leq\xg_A\leq s_2\hbox{ funzioni a scala}:\dint s_2-\dint s_1\leq\eg.$$
Dato che $\dint\xg_A=0$, sicuramente, poiché $s_1\leq\xg_A$, avremo $\dint s_1\leq0,$ e quindi:
$$\dint s_2\leq\dint s_2-\dint s_1\leq\eg.$$
Ci\`o significa che posso sempre scegliere come $s_1$ la funzione identicamente nulla. $s_2\geq\xg_A\geq\xg_B$, essendo $B\sbse A$, quindi $s_2$ si pu\`o scegliere come maggiorante di $\xg_B$, mentre come minorante scelgo ancora la funzione nulla, col risultato che dimostro che:
$$\VA\eg>0\3s_1=0\leq\xg_B\leq s_2\hbox{ funzioni a scala}:\dint s_2-\dint s_1=\dint s_2-\dint 0=\dint s_2\leq\eg,$$
e la $s_2$ so da prima che la trovo. Quindi $\xg_B$ \`e integrabile. Consideriamo ora $\xg_\0$. Essa \`e la funzione identicamente nulla, che \`e integrabile. Sappiamo inoltre che:
$$\xg_\0\leq\xg_B\leq\xg_A$$
per inclusioni tra questi insiemi. Per la monotonia dell\6operatore di integrazione abbiamo:
$$0=\dint\xg_\0\leq\dint\xg_B\leq\dint\xg_A=0,$$
ossia la tesi.}.
\end{ese}

\ssect{Condizione necessaria e sufficiente di misurabilit\`a}
Sia $A\sbse\R^n$ misurabile secondo Peano-Jordan. La sua funzione caratteristica\marginpar{La caratteri-stica \`e inte-grabile, quindi per definizione...} \`e integrabile. Quindi:
$$\VA\eg>0\3s_1,s_2\hbox{ funzioni a scala}:s_1\leq\xg_A\leq s_2,\uint{\R^n}s_2-\uint{\R^n}s_1\leq\eg.$$
Si possono rappresentare colla stessa famiglia di rettangoli, quindi:
$$s_1=\dsum_{j=1}^mc_j^\1\xg_{R_j},$$
$$s_2=\dsum_{j=1}^mc_j^{\1\1}\xg_{R_j}.$$
Considero allora\marginpar{Rappresentate le scale, ci costruiamo dei curiosi insiemi che poi confronteremo con $A$.}
$$P^\1=\bun_{j\in J^\1} R_j,\quad J^\1=\br{j\in\br{1,\dots,n}:R_j\sbse A},$$
e
$$P^{\1\1}=\bun_{j\in J^{\1\1}}R_j,\quad J^{\1\1}=\br{j\in\br{1,\dots,n}:R_j\cap A\neq\0}.$$
\includegraphics[width=12cm]{Disegno1.20131108.jpg}\lfeed
Per farci un\6idea, ecco un disegno. $A$ \`e la linea rossa quasi invisibile, e intorno vediamo disegnati gli $R_j$. Colorato in bianco $P^\1$. A questo punto verr\`a utile la seguente definizione:
\begin{defi}
Chiamiamo \emph{plurirettangolo}\marginpar{Definiamo un plurirettangolo} un\6unione finita di rettangoli a due a due disgiunti.
\end{defi}
Osserviamo che
$$P^\1\sbse A$$
perché unione di insieme contenuti in $A$, e che
$$A\sbse P^{\1\1}.$$
Inoltre un esercizio:
\begin{ese}\marginpar{\par \whitea \par Vedi \par nota}
$$s_1\leq\xg_{P^\1},\quad \xg_{P^{\1\1}}\leq s_2\footnotemark[2]\fnt[2]{Prendiamo un $x\in\R^n$.\ic{footnote}{+1} Se $x\in P^\1$, allora $\xg_{P^\1}(x)=1$; inoltre $x\in A$, quindi $\xg_A(x)=1$, e $s_1(x)\leq\xg_A(x)=1$, quindi $s_1(x)\leq\xg_{P^\1}(x)$. Se invece $x\nin P^\1$, allora $x$ appartiene a un $R_j$ non contenuto in $A$, quindi $R_j$ o sta fuori da $A$, e dunque sia $s_1$ che $\xg_{P^\1}$ sono nulle in $x$ perché $x\nin P^{\1}$ e $s_1\leq\xg_A$, oppure sta in un $R_j$ che interseca $A$, e che quindi ha sicuramente dei punti esterni ad $A$; pertanto su quel rettangolo $s_1$ \`e nulla, perché vi \`e costante e deve minorare $\xg_A$ che in alcuni punti \`e nulla. Quindi ancora $s_1\leq\xg_{P^\1}$. Analogamente l\6altro asserto.}.$$
\end{ese}
\lfeed
Quindi:\marginpar{Dalle inclu-sioni, disuguaglianza sugli integrali e poi sulle misure di conseguenza.}
$$\dint\xg_{P^\1}-\dint\xg_{P^{\1\1}}\leq\dint s_2-\dint s_1\leq\eg.$$
Applicando la definizione di misura:
$$\mis_nP-\mis_nP\leq\eg.$$
Quindi se un insieme $A$ \`e misurabile esistono due plurirettangoli uno contenuto in $A$ e uno contenente $A$ che differiscono per meno di $\eg$ qualsiasi sia $\eg$. Vale anche il viceversa: se\marginpar{\slfeed Vedi\par nota}
$$\VA\eg>0\3P^\1,P^{\1\1}\hbox{ plurirettangoli}:P^\1\sbse A\sbse P^{\1\1},\mis_nP^{\1\1}-\mis_nP^\1\leq\eg,$$
allora $A$ \`e misurabile\fn{Infatti se vale quella cosa abbiamo:
$$\xg_{P^\1}\leq\xg_A\leq\xg_{P^{\1\1}}.$$
La disuguaglianza dell\6ipotesi equivale a:
$$\dint\xg_{P^{\1\1}}-\dint\xg_{P^\1}\leq\eg,$$
e siccome vale per ogni $\eg$ ho che per ogni $\eg$ trovo due funzioni a scala che soddisfano la CNS di integrabilit\`a, quindi $\xg_A$ \`e integrabile e quindi $A$ \`e misurabile per definizione di misurabilit\`a.}. Quindi abbiamo:
\begin{propo}
$A\sbse\R^n$ limitato \`e misurabile secondo Peano-Jordan\marginpar{CNS di misurabilit\`a per insiemi limitati in $\R^n$} se e solo se
$$\VA\eg>0\,\,\,\3P^\1,P^{\1\1}\hbox{ plurirettangoli}:P^\1\sbse P^{\1\1},\mis_nP^{\1\1}-\mis_nP^\1\leq\eg.$$
\end{propo}
In altre parole, $A$ \`e misurabile se e solo se:
$$\dsup\br{\mis_nP\hbox{ plurirettangolo }\fvb P\sbse A}=\dinf\br{\mis_nP\hbox{ plurirettangolo }\fvb P\spse A}.$$
\begin{oss}
Se $P$ \`e un plurirettangolo\marginpar{$\mis_nP=$ $=\dint\xg_P=$ $=\dint\dsum_{j=1}^m\xg_{R_j}=\dsum_{j=1}^m\dint\xg_{R_j}=\dsum_{j=1}^m\mis_nR_j$.} scritto come unione di rettangoli a due a due disgiunti $P=\bun_{j=1}^mR_j$ allora:
$$\mis_nP=\dsum_{j=1}^m\mis_n(R_j).$$
\end{oss}
Come caratterizzo in particolare un insieme a misura nulla?
\begin{oss}
Un insieme $A\sbse\R^n$ limitato \`e misurabile con misura nulla se e solo se:\marginpar{Infatti $\0$ \`e un plurirettangolo e $\0\sbse A$.}
$$\VA\eg>0\,\,\,\3P\hbox{ plurirettangolo}:A\sbse P,\mis_nP\leq\eg.$$
\end{oss}
\par Direi che possiamo fare la pausa adesso e riprendiamo fra 15 minuti.

\ssect{Una seconda CNS di misurabilit\`a che guarda la frontiera di $A$}
\begin{lemma}
$A\sbse\R^n$ limitato \`e misurabile secondo Peano-Jordan se e solo se\marginpar{La frontiera deve avere misura nulla.}
$$\VA\eg>0\,\,\,\3P\hbox{ plurirettangolo}:\pd A\sbse P,\mis_nP\leq\eg,$$
ossia se e solo se $\pd A$ \`e misurabile e $\mis_n\pd A=0$.
\end{lemma}
\lfeed\whitea
\lfeed
Dim.
\par Supponiamo dapprima $A$ misurabile. Sia $\eg>0$. Allora\marginpar{Cominciamo con $\implies$.}
$$\3P^\1,P^{\1\1}\hbox{ plurirettangoli}:P^\1\sbse A\sbse P^{\1\1},\mis_nP^{\1\1}-\mis_nP^\1\leq\eg.$$
Consideriamo allora $\pint P^\1$. \`E un plurirettangolo. Passare da un plurirettangolo al suo interno equivale eventualmente a togliere le facce. Consideriamo poi $\lbar{P}^{\1\1}$, ancora un plurirettangolo perché al pi\`u aggiungo delle facce. Quindi $\lbar{P}^{\1\1}\ssm\pint P^\1$ \`e ancora un plurirettangolo e contiene $\pd A$:
$$\pd A\sbse\lbar{P}^{\1\1}\ssm\pint P^\1.$$
Inoltre:
$$\mis_n\pa{\lbar{P}^{\1\1}\ssm\pint P^\1}=\mis_n\pa{P^{\1\1}\ssm P^\1}\leq\eg.$$
Quindi siamo alla tesi. Viceversa\marginpar{Ora $\slse$.\slfeed\whitea\slfeed Definizione di limitatezza.} supponiamo che esistano i plurirettangoli richiesti. Siccome $A$ \`e limitato, sar\`a contenuto in un rettangolo per definizione di limitatezza:
$$\3R\hbox{ rettangolo}:\lbar{A}\sbse R,$$
perché la chiusura \`e limitato. Dato $\eg>0$, sia $P$ il plurirettangolo, che esiste per ipotesi, per cui
$$\pd A\sbse P,\,\,\mis_nP\leq\eg.$$
$R\ssm P$ \`e un plurirettangolo, quindi posso scrivere:
$$R\ssm P=\bun_{j=1}^mR_j,$$
con gli $R_j$ a due a due disgiunti. Definisco:
$$P^\1=\bun_{j\in J}R_j,\quad J=\br{j\in\br{1,\dots,n}:R_j\sbse A},$$
$$P^{\1\1}=P^\1\cup P.$$
\includegraphics[width=12cm]{Disegno2.20131108.jpg}\lfeed
In figura vediamo $A$ in rosso, e intorno alla frontiera il plurirettangolo $P$. Circonda $A$ il rettangolo $R$, che \`e diviso in rettangoli. Colorato in bianco, ancora, $P^\1$. \lfeed
\`E abbastanza ovvio che $P^\1\sbse A$\marginpar{$P^\1\sbse A\sbse P^{\1\1}$, dimostriamo.}, perché \`e un\6unione di rettangoli contenuti in $A$. \`E un po\6 meno ovvio che $A\sbse P^{\1\1}$. Dimostriamolo. Sia $x\in A$. Se $x\in P$ ho finito, perché per definizione di $P^{\1\1}$ esso contiene $P$. Se $x\nin P$ dimostriamo che $x\in P^\1$. Se $x\nin P$, allora $x\in R\ssm P=\bun_{j=1}^mR_j$, quindi:
$$\3j\in\br{1,\dots,m}:x\in R_j.$$
Dimostro che $R_j\sbse A$. Per assurdo se cos\`i non fosse avrei:
$$\3y\in R_j:y\nin A.$$
Quindi:
$$x\in R_j\cap A,y\in R_j\cap A^c.$$
Quindi $R_j$ interseca sia $A$ che il complementare, quindi anche la frontiera. Perché questo?
\begin{ese}
Dimostrare\marginpar{Vedi nota} che, se $A,C\in X_1$ con $(X_1,d)$ spazio metrico, e $C$ \`e connesso e $C\cap A\neq\0,\,\,C\cap(X\ssm A)\neq\0$, allora $X\cap\pd A\neq\0$\fn{Chiamiamo $A^c=X_1\ssm A$, $C_A=C\cap A$ e $C_{A^c}=C\cap A^c$. Dimostriamo ora che, se $C\cap\pd A=\0$, allora $C_A$ e $C_{A^c}$ sono chiusi, non vuoti, complementari e disgiunti, violando la connessione di $C$. SIcuramente sono non vuoti per ipotesi, e disgiunti per costruzione, e la loro unione \`e $C$ (questo intendevo per ``complementari'\6 poco fa). Nella topologia indotta, $C\cap\lbar{A}$ \`e chiuso. Tuttavia, $\lbar{A}=A\cup\pd A$, quindi
$$C\cap\lbar{A}=C\cap\pa{A\cup\pd A}=\pa{C\cap A}\cup\pa{C\cap\pd A}=C_A\cup\0=C_A.$$
Analogamente si mostra che
$$C\cap\lbar{A^c}=C_{A^c}.$$
Di conseguenza quei due insiemi sono anche chiusi, violando la connessione di $C$, assurdo.}.
\end{ese}
Quindi dato che $R_j$ \`e connesso deve intersecare $\pd A$. Ma questo non pu\`o succedere perché $\pd A\sbse P$ e $R_j\sbse R\ssm P$, quindi questo \`e un assurdo. Ora so che:
$$\mis_nP^{\1\1}-\mis_nP^\1=\mis_nP\leq\eg,$$
C.V.D.

\ssect{Operazioni che mantengono la misurabilit\`a}
\begin{propo}
Se $A,B\sbse\R^n$\marginpar{Unione, intersezione e differenza} limitati e misurabili allora $A\cup B$, $A\cap B$, $A\ssm B$ sono misurabili secondo Peano-Jordan. Inoltre se $A,B$ sono anche disgiunti $\mis_nA\cup B=\mis_nA+\mis_nB.$
\end{propo}
Dim.
$$\xg_{A\cup B}=\max\br{\xg_A,\xg_B}.$$
$$\xg_{A\cap B}=\min\br{\xg_A,\xg_B}.$$
Quindi dato che $\xg_A,\xg_B$ sono integrabili massimo e minimo lo sono come visto ieri, quindi unione e intersezione sono misurabili.
$$\xg_{A\ssm B}=\max\br{\xg_A-\xg_B,0}.$$
Ancora integrabile. Se poi sono disgiunti, posso dire che:
$$\xg_{A\cup B}=\xg_A+\xg_B,$$
perché una delle due \`e sempre $0$.
$$\mis_n\pa{A\cup B}=\dint\pa{\xg_A+\xg_B}=\dint\xg_A+\dint\xg_B=\mis_nA+\mis_nB.$$
\begin{ese}
Se $A\sbse\R^n$\marginpar{Chiusura e parte interna} \`e limitato e misurabile, allora $\pint A $ e $\lbar{A}$ sono entrambi misurabili e:
$$\mis_n{\pint A}=\mis_nA=\mis_n\lbar{A}.$$
\end{ese}
Sto aggiungendo o togliendo parti di frontiera e la frontiera ha misura nulla\fn{Pi\`u esplicitamente: quando passo da $A$ alla chiusura, sto aggiungendo la frontiera (o una sua parte), che ha misura nulla. Quindi la chiusura \`e misurabile e:
$$\mis_n\lbar{A}=\mis_nA+\mis_n\pd A=\mis_nA+0=\mis_nA.$$
Quando invece passo alla parte interna, sto eliminando la frontiera (o una sua parte), quindi sto considerando $A\ssm\pd A$, che \`e misurabile. Se considero la chiusura di $\pint A$ in $A$, ottengo proprio $A$. Quindi $\mis_n\pint A=\mis_nA$.}.

\ssect{Esempio di insieme non misurabile}
\begin{es}
$$A=\Q^2\cap[0,1]\x[0,1]\sbse\R^2.$$
Quindi i punti a coordinate razionali del quadrato.
\end{es}
$\lbar{A}=[0,1]\x[0,1],$ e $\pint A=\0.$\marginpar{Chiusura e interno hanno misure diverse, rispettivamente 1 e 0.} Quindi $\mis_n\lbar{A}=1,$ e $\mis_n\pint A=0$, e sono diverse. Quindi non pu\`o essere misurabile per l\6esercizio sopra. In $\Q^2$ non abbiamo una definizione di misurabilit\`a, in $\R^3$ \`e un sottoinsieme di un rettangolo degenere quindi ha misura nulla. Usiamo altrimenti la frontiera:
$$\pd A=\lbar{A}\cap\lbar{\R^2\ssm A}=\pa{[0,1]\x[0,1]}\cap\R^2=[0,1]\x[0,1],$$
e non ha misura $0$, quindi $A$ non \`e misurabile. Noi ci vediamo Mercoled\`i, giusto?


\incee
\chapter{\eserc{11/11/2013}}

\sect{Riprendiamo un esercizio della volta scorsa}
\begin{eseese}
Calcolare la distanza tra le rette:
$$r_1:x=y=0\quad r_2:\begin{sistema} x=3\\z=2\end{sistema}.$$
\end{eseese}
Avevamo visto che equivaleva a trovare:
$$\dinf_{(s,t)\in\R^2}\rad{9+t^2+(2t-s)^2}.$$
Non ci piacciono le radici, ma possiamo toglierla perché \`e la radice di una somma di termini positivi e la radice \`e monotona crescente. Quindi equivale a trovare:
$$\dinf_{(s,t)\in\R^2}9+t^2+(2t-s)^2=\dinf_{(s,t)\in\R^2}g(s,t).$$
Osserviamo che:
$$g(s,t)\geq9\quad\VA(s,t)\in\R^2,$$
e $g(0,0)=9,$ che \`e precisamente la definizione di minimo assoluto. Quindi $(0,0)$ \`e punto di minimo. Quindi la distanza \`e:
$$\rad{g(0,0)}=\rad{9}=3.$$

\sect{Un esercizio teorico}
\begin{propo}
Sia $f:\R^n\to\R$ continua. Supponiamo che
$$\dlim_{\norm{\ubar{x}}\to+\8}f(\ubar{x})=+\8.$$
Allora esiste il minimo per $f$, ed esiste anche un punto di minimo.
\end{propo}
Dim:
\par Sia $R_1>0$. In $\lbar{B_{R_1}(0)}$ si pu\`o applicare il Teorema di Weierstrass. Quindi:
$$\3m=\dmin_{\ubar{x}\in\lbar{B_{R_1}(0)}}f(\ubar{x})<+\8.$$
Per definizione di minimo\fn{Secondo me questo vale per il limite dato per ipotesi.}:
$$\3R_2>0:\norm{\ubar{x}}>R_2\implies f(\ubar{x})>m.$$
Quindi se va bene il minimo \`e nella palla di prima, oppure c'\`e sicuramente un\6altra palla $B_{R_2}(0)$ anche molto grossa fuori da cui sicuramente non c'\`e il minimo. Non \`e restrittivo supporre $R_2\geq R_1$, altrimenti sostituisco a $R_2$ il valore $\max(R_2,R_1)$. Allora:
$$\dmin_{\ubar{x}\in\lbar{B_{R_2}(0)}}f(\ubar{x})\leq m\leq\dinf_{\norm{\ubar{x}}>R_2}f(\ubar{x}),$$
quindi il minimo in $\lbar{B_{R_2}(0)}$ \`e quello in tutto $\R^n$.
Quindi prima potevamo vedere che $g(s,t)$ \`e continua su tutto $\R^2$, quindi si applica la proposizione. Quindi dato che un minimo \`e un punto critico bastava studiare il gradiente e trovarne gli zeri.

\sect{Un altro esercizio}
\begin{eseese}
$$f(x,y)=\pa{x^4+y^4}e^{\dsi{-\fr{x^2+y^2}{2}}}.$$
\end{eseese}
Calcoliamo quindi le derivate parziali, visto che la funzione \`e continua.
$$f_x(x,y)=4x^3e^{\dsi{-\fr{x^2+y^2}{2}}}+\pa{x^4+y^4}e^{\dsi{-\fr{x^2+y^2}{2}}}\pa{-x}=xe^{\dsi{-\fr{x^2+y^2}{2}}}\pa{4x^2-\pa{x^4+y^4}},$$
$$f_y(x,y)=ye^{\dsi{-\fr{y^2+x^2}{2}}}\pa{4y^2-\pa{y^4+x^4}},$$
calcolata in un secondo grazie alla simmetria di $f$ rispetto allo scambio dei ruoli delle variabili. Annulliamo. L\6esponenziale non si annulla mai, quindi:
$$\begin{sistema}
x\pa{4x^2-\pa{x^4+y^4}}=0\\
y\pa{4y^2-\pa{y^4+x^4}}=0
\end{sistema}.$$
Supponiamo dapprima $x=0$:
$$\begin{sistema}
x=0\\
y\pa{4y^2-y^4}=0
\end{sistema}.$$
Tre soluzioni distinte:
$$(0,0),\,\,(0,\pm2).$$
Ora supponiamo $y=0$, e troviamo la stessa cosa per la simmetria, quindi:
$$(0,0),\,\,(\pm2,0).$$
Ora ci manca da cercare quando $x,y\neq0$. Quindi:
$$\begin{sistema}
4x^2-x^4-y^4=0\\
4y^2-y^4-x^4=0
\end{sistema}.$$
Quindi biquadratiche. Cominciamo a vedere la prima. Oppure vediamo che sotto c'\`e solo $x^4$, che quindi proviamo ad esplicitare sopra:
$$\begin{sistema}
x^4=4x^2-y^4\\
4y^2-y^4-\pa{4x^2-y^4}=0
\end{sistema}\implies
\begin{sistema}
x^4=4x^2-y^4\\
y^2=x^2\sse y=\pm x
\end{sistema}\implies$$
$$\implies\begin{sistema}
x^4=4x^2-x^4\\
y^2=x^2\sse y=\pm x
\end{sistema}\implies
\begin{sistema}
x^4=2x^2\\
y^2=x^2\sse y=\pm x
\end{sistema}\implies
\begin{sistema}
x=\pm\rad{2}(\fnm[2])\\
y^2=x^2\sse y=\pm x
\end{sistema}.\fnt[2]{Sto supponendo $x\neq0$.}\ic{footnote}{+1}$$
Quindi:
$$(\pm\rad{2},\pm\rad{2}),(\pm\rad{2},\mp\rad{2}).$$
Ora la Hessiana, quindi calcoliamo le derivate seconde:
$$f_{xx}=e^{\dsi{-\fr{x^2+y^2}{2}}}\pa{-x^2}\pa{4x^2-x^4-y^4}+e^{\dsi{-\fr{x^2+y^2}{2}}}\pa{4x^2-x^4-y^4}+$$
$$+e^{\dsi{-\fr{x^2+y^2}{2}}}x\pa{8x-4x^3}=e^{\dsi{-\fr{x^2+y^2}{2}}}\sq{-9x^4+x^6+x^2y^4+12x^2-y^4}.$$
$$f_{yy}=e^{\dsi{-\fr{y^2+x^2}{2}}}\sq{-9y^4+y^6+y^2x^4+12y^2-x^4}.$$
$$f_{xy}(x,y)=e^{\dsi{-\fr{x^2+y^2}{2}}}(-xy)\pa{4x^2-x^4-y^4}+e^{\dsi{-\fr{x^2+y^2}{2}}}x\pa{-4y^3}=$$
$$=-xye^{\dsi{-\fr{x^2+y^2}{2}}}\pa{4x^2-x^4-y^4+4y^2}.$$
Iniziamo nel primo punto critico che \`e l\6origine:
$$\s{H}_f(0,0)=\pa{\mat{cc}0&0\\0&0\emat}.$$
Quindi non posso dire niente. Ora $(2,0)$:
$$\s{H}_f(2,0)=\pa{\mat{cc}e^{-2}\sq{-144+64+48}&0\\0&-16e^{-2}\emat}=\pa{\mat{cc}-32e^{-2}&0\\0&-16e^{-2}\emat}.$$
Il determinante \`e positivo e la sottomatrice principale di Nord-Ovest di ordine 1 \`e  negativa, quindi \`e un punto di massimo locale. Poi in $(-2,0)$ nelle derivate pure non cambia niente perché tutto \`e pari, mentre nella mista ho lo $0$, quindi:
$$\s{H}_f(-2,0)=\s{H}_f(2,0),$$
quindi \`e ancora un massimo. Passando a $(0,2)$ semplicemente cambia il ruolo tra $x$ e $y$, quindi basta scambiare i termini sulla diagonale:
$$\s{H}_f(0,2)=\pa{\mat{cc}-16e^{-2}&0\\0&-32e^{-2}\emat}.$$
Quindi un altro massimo. Come prima passando a $(0,-2)$ non cambia nulla. Allora andiamo in $(\rad{2},\rad{2})$:
$$\s{H}_f(\rad{2},\rad{2})=\pa{\mat{cc}e^{-2}\sq{-36+8+8+24-4}&e^{-2}\pa{-2}8\\e^{-2}\pa{-2}\pa{8-4-4+8}&0\emat}=\pa{\mat{cc}0&-16e^{-2}\\-16e^{-2}&0\emat},$$
ha determinante negativo quindi \`e indefinita. Quindi abbiamo trovato una sella. Passiamo a $(-\rad{2},-\rad{2})$. Nelle derivate pure ho solo termini pari, nella mista ho $-xy$, meno per meno che d\`a $+$, quindi non cambia nulla. Un\6altra sella. Invece in $(\rad{2},-\rad{2})$ ancora le pure non cambiano, la mista cambia di segno:
$$\s{H}_f(\pm\rad{2},\pm\rad{2})=-\s{H}_f(\pm\rad{2},\mp\rad{2}).$$
Quindi tutte selle. Ci resta l\6origine, che \`e facile, perché $f$ \`e una somma di termini positivi e nell\6origine vale $0$, quindi \`e un minimo assoluto.
\par Facciamo due minuti di pausa.
\par NB il teorema di prima non si pu\`o usare perché la norma va a $0$ causa esponenziale.

\sect{Ennesimo esercizio}
\begin{eseese}
$$f(x,y)=x^2-xy+y\quad (x,y)\in D=\br{(x,y)\in\R^2:x\geq0,y\geq0,x+y\leq4}.$$
Trovare massimo e minimo assoluto.
\end{eseese}
\includegraphics[width=12cm]{Bordo.jpg}\lfeed
Il bordo ci d\`a fastidio. Quindi proviamo a trovare quelli interni al dominio e poi studiare sul bordo. Derivate parziali:
$$f_x=2x-y,$$
$$f_y=-x+1.$$
Quindi:
$$\begin{sistema}
2x-y=0\\
-x+1
\end{sistema}.$$
Questo \`e un sistema lineare con una sola soluzione: $(1,2)$. Appartiene a $D$? Le coordinate sono non negative e sommate non superano 4 perché $1+2=3$, quindi sta in $D$. Per trovare altri candidati studiamo sul bordo. \`E fatto di tre componenti. La prima \`e:
$$\pd D_1=\br{(x,y)\in\R^2:x=0,y\in[0,4]}.$$
Allora consideriamo la restrizione di $f$ a $\pd D_1$:
$$f\olvb_{\pd D_1}=f(0,y),\,\,y\in[0,4],$$
cio\`e $y$. \`E monotona crescente quindi:
$$\dmin_{\pd D_1}f\olvb_{\pd D_1}=f(0,0)=0,$$
$$\dmax_{\pd D_1}f\olvb_{\pd D_1}=f(0,4)=4.$$
La seconda componente \`e:
$$\pd D_2=\br{(x,y)\in\R^2:y=0,x\in[0,4]}.$$
La restrizione:
$$f\olvb_{\pd D_2}=f(x,0)=x^2.$$
Ancora \`e monotona crescente, quindi:
$$\dmin f\olvb_{\pd D_2}=f(0,0)=0,$$
$$\dmax f\olvb_{\pd D_2}=f(4,0)=16.$$
L\6ultima componente \`e:
$$\pd D_3=\br{(x,y)\in\R^2:y=4-x,x\in[0,4]}.$$
La restrizione:
$$f\olvb_{\pd D_3}=f(x,4-x)=x^2-x(4-x)+4-x=x^2-6x+x^2+4-x=x^2-7x+4.$$
Calcoliamo la derivata:
$$\pa{f\olvb_{\pd D_3}}^\1(x)=4x-5,$$
che ha un unico $0$ in $x=\fr{5}{4}$, che \`e un minimo perché la concavit\`a \`e verso l\6alto, quindi il minimo \`e l\`i e i massimi sono agli estremi.
$$f\pa{\fr{5}{4},\fr{11}{4}}=\fr{25}{16}-\fr{55}{16}+\fr{44}{16}=\fr{7}{8}$$
\`e il minimo della restrizione a $\pd D_3$. Questo verificato che $\fr{5}{4}\in\pd D_3$. Abbiamo quindi tutti i candidati. Calcoliamo il valore nel punto critico all\6interno:
$$f\pa{1,2}=1-2+2=1.$$
Il minimo \`e $0$, e il massimo \`e 16. Questo l\6abbiamo concluso confrontanto i valori nei candidati.

\sect{Adesso abbandoniamo per un attimo i punti critici}
Qualche esercizio di calcolo diciamo di rilassamento, sulla formula di Taylor.
\begin{eseese}
$$f(x,y)=x\cos(x+y).$$
\end{eseese}
La generica formula di Taylor di ordine 3 \`e:
$$f(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)x+f_y(0,0)y+\fr{f_{xx}(0,0)x^2+2f_{xy}(0,0)xy+f_{yy}(0,0)y^2}{2}+$$
$$+\fr{f_{xxx}(0,0)x^3+3f_{xxy}(0,0)x^2y+3f_{yyx}xy^2+f_{yyy}y^2}{3}.$$
Ora le derivate quindi:
$$f_x(x,y)=\cos(x+y)-x\sin(x+y),$$
$$f_y(x,y)=-x\sin(x+y).$$
Derivate seconde:
$$f_{xx}(x,y)=-2\sin(x+y)-x\cos(x+y),$$
$$f_{xy}(x,y)=-\sin(x+y)-x\cos(x+y),$$
$$f_{yy}(x,y)=-x\cos(x+y).$$
Derivate terze:
$$f_{xxx}(x,y)=-3\cos(x+y)+x\sin(x+y),$$
$$f_{xxy}(x,y)=-2\cos(x+y)+x\sin(x+y),$$
$$f_{yyy}(x,y)=-\cos(x+y)+x\sin(x+y),$$
$$f_{yyy}(x,y)=x\sin(x+y).$$
Quindi sulla nostra $f$:
$$f(x,y)=0+x+0+\fr{-3x^3+3\pa{-2}x^2y+3\pa{-1}xy^2+0}{6}=x+\fr{1}{2}x^3-x^2y-\fr{y^2x}{2}.$$
La formula di Taylor non serve solo per calcolare un sacco di derivate a caso, ma pu\`o essere utile per calcolare limiti.

\sect{Un limite in cui si pu\`o applicare la formula in una variabile ma non quella in pi\`u variabili}
\begin{eseese}
$$\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{\sin^2\rad{xy}-xy}{x^2+y^2}.$$
\end{eseese}
La funzione non \`e differenziabile in $(0,0)$ perché c'\`e una radice, quindi non posso applicare Taylor. D\6altra parte sappiamo che:
$$\sin t\~t-\fr{t^3}{6}+o(t^3).$$
Quindi:
$$\VA\eg>0\,\,\3\dg_1(\eg)>0:\abs{t}<\dg_1\implies\abs{\sin t-t+\fr{t^3}{6}}<\seg t^3.$$
Piccola parentesi: $f$ non \`e definita in II e IV quadrante, quindi il limite nell\6origine significa avvicinarsi o dal I o dal III. Ora, $\rad{xy}$ \`e continua in $(0,0)$, quindi:
$$\VA\eg>0\,\,\3\dg_2(\eg):\norm{(x,y)}<\dg_2\implies\abs{\rad{xy}}<\eg.$$
Unendo le due cose vedo che:
$$\VA\eg>0\,\,\3\dg_2(\dg_1):\norm{(x,y)}<\dg_2\implies\abs{\rad{xy}}<\dg_1\implies$$
$$\implies\abs{\sin\rad{xy}-\rad{xy}+\fr{\pa{\rad{xy}}^3}{6}}<\eg\pa{\rad{xy}}^3.$$
Quindi:
$$\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{\sin^2\rad{xy}-xy}{x^2+y^2}=\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{\pa{\rad{xy}-\fr{\pa{\rad{xy}}^3}{6}+o(\pa{\rad{xy}}^3)}^2-xy}{x^2+y^2}=$$
$$=\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\(\fr{xy-\fr{x^2y^2}{3}+\musb{\fr{x^3y^3}{36}}{\hbox{superiore a $o(xy)^2$}}+2\rad{xy}o(\rad{(xy)^3})-\musb{\fr{1}{3}(\rad{xy})^3o((\rad{xy})^3)}{\hbox{superiore a $o(xy)^2$}}}{x^2+y^2}+\rt.$$
$$\lf.+\fr{\musb{o(xy)^3}{\hbox{superiore a $o(xy)^2$}}+xy}{x^2+y^2}\)=\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{xy-\fr{1}{3}x^2y^2+o(x^2y^2)-xy}{x^2+y^2}=\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{-\fr{1}{3}x^2y^2}{x^2+y^2}.$$
Quindi abbiamo due pezzi. Il primo tende a 0. Il secondo pure, perché basta moltiplicare per $\fr{x^2y^2}{x^2y^2}$ e otteniamo $\fr{o(x^2y^2)}{x^2y^2}\fr{x^2y^2}{x^2+y^2}$, la frazione a destra tende a $0$, quindi basta che l\6altra sia limitata, tende a $0$, quindi siamo a posto.


\incle
\chapter{\lez{13/11/2013}}

\sect{Integrabilit\`a}

\ssect{Integrabilit\`a su un sottoinsieme di $\R^n$: definizione e estensione a sottoinsiemi}
\begin{defi}
Sia $A\sbse\R^n$ limitato e misurabile secondo Peano-Jordan, e sia inoltre $f:D\sbse\R^n\to\R$ con $A\sbse D$. Si dice che $f$ \`e \emph{integrabile secondo Riemann su $A$} se la funzione che si ottiene estendendo in modo banale $f$ fuori da $A$ \`e integrabile, ossia se \`e integrabile:
$$\tilde{f}(x)=\sistbis{f(x)}{x\in A}{0}{x\in\R^n\ssm A}.$$
In tal caso definiamo \emph{integrale su $A$ di $f$} il numero:
$$\uints Af=\uints Af(x)dx=\uint{\R^n\,\,\,}\tilde{f}(x)dx.$$
\end{defi}
\begin{oss}
Se $f$ \`e integrabile su $A$ allora \`e integrabile su ogni sottoinsieme misurabile di $A$.
\end{oss}
Dim.
\par Sia $f$ integrabile su $A$ (misurabile). Sia $E\sbse A$ misurabile. Cominciamo supponendo $f\geq0$. Chiamiamo $f_A$ la funzione:
$$f_A(x)=\sistbis{f(x)}{x\in A}{0}{x\in\R^n\ssm A},$$
e $f_E$ la funzione:
$$f_E(x)=\sistbis{f(x)}{x\in E}{0}{x\in\R^n\ssm E}.$$
$f_A$ \`e integrabile per ipotesi, $f_E$ dobbiamo dimostrare che \`e integrabile. Osservo che $f$ \`e limitata su $A$ per l\6ipotesi di integrabilit\`a. Quindi:
$$\3M>0:f(x)\leq M\,\,\VA x\in A.$$
Allora considero la funzione:
$$\dmin\br{f_A(x),M\xg_E(x)}.$$
Com\6\`e fatta questa funzione? Se $x\in E$ allora vale $f_A(x)$, perché $f_A<M$ e $M\xg_E=M$. Se $x\nin E$ allora vale $0$, perché $f_A\geq0$. Quindi quella funzione \`e $f_E$, e quindi $f_E$ \`e integrabile perché minimo di funzioni integrabili, quindi $f$ \`e integrabile su $E$. Pi\`u in generale supponiamo $f$ di segno qualunque. L\6integrabilit\`a su $A$ implica che $f_A$ \`e integrabile su $\R^n$, quindi lo sono anche la parte negativa e la parte positiva di $f_A$. \`E facile dimostrare che:
$$\pa{f_A}^+=\pa{f^+}_A\fnm[1]\fnt[1]{Se siamo fuori da $A$ naturalmente sono entrambe $0$; stando in $A$, se $f_A$ \`e negativa lo \`e anche $f$, quindi quando faccio la parte positiva di $f_A$ ottengo $0$, mentre quando faccio la parte positiva di $f$ trovo $0$ che ovviamente rimane $0$ anche quando aggiungo il pedice $_A$; invece se \`e positiva la parte positiva di $f_A$ \`e $f_A$ che coincide con $f$, mentre la parte positiva di $f$ \`e $f$ che \`e $f_A$ e quindi rimane lui anche aggiungendo $_A$.},$$
cio\`e la parte positiva di $f_A$ \`e la funzione che vale $f^+$ in $A$ e 0 fuori. Analogamente
$$\pa{f_A}^-=\pa{f^-}_A.$$
Quindi sia $f^+$ che $f^-$ sono integrabili su $A$. Ma allora lo sono anche su $E$ perché funzioni non negative come sopra. A questo punto naturalmente:
$$\pa{f^+}_E=\pa{f_E}^+,$$
$$\pa{f^-}_E=\pa{f_E}^-,$$
che quindi sono integrabili. In particolare \`e integrabile la loro differenza. Ma:
$$\pa{f_E}^+-\pa{f_E}^-=f_E,$$
quindi $f_E$ \`e integrabile, C.V.D. Vale poi una propriet\`a di attiditivit\`a rispetto all\6insieme di integrazione.

\sect{Additivit\`a rispetto al sottoinsieme di integrazione}
\begin{propo}
\bemph{(Additivit\`a rispetto all\6insieme di integrazione)}\quad Siano $A,B\sbse\R^n$ limitati e misurabili e disgiunti. Se $f$ \`e integrabile secondo Riemann su $A$ e su $B$, allora \`e integrabile su $A\cup B$, e vale:
$$\uint{A\cup B\,\,\,\,\,\,\,}f(x)dx=\uints Af(x)dx+\uints B(x)dx.$$
\end{propo}
Dim.
\par Per ipotesi $f_A$ e $f_B$, definite come sopra, sono integrabili. Se $A$ e $B$ sono disgiunti, allora:
$$f_{A\cup B}=f_A+f_B,$$
perché se $x\nin A\cup B$ allora $f_A=f_B=0$, se $x\in A\cup B$ allora una sola delle due \`e 1 perché in uno sta, ma in tutti e due non pu\`o stare perché sono disgiunti. Quindi $f_{A\cup B}$ \`e integrabile perché somma di funzioni integrabili, e per la propriet\`a di somma:
$$\uint{A\cup B\,\,\,\,\,\,\,}f(x)dx=\uint{\R^n\,\,\,}f_{A\cup B}=\uint{\R^n\,\,\,}\pa{f_A+f_B}=\uint{\R^n\,\,\,}f_A+\uint{\R^n\,\,\,}f_B=\uints Af(x)dx+\uints Bf(x)dx.$$

\sect{Condizione sufficiente di integrabilit\`a}
\begin{teor}
\bemph{(di integrabilit\`a delle funzioni continue)}\quad Siano $A\sbse\R^n$ chiuso, limitato e misurabile secondo Peano-Jordan, e $f:A\to\R$ limitata. Se l\6insieme dei punti di discontinuit\`a di $f$ ha misura $n$-dimensionale nulla secondo Peano-Jordan, allora $f$ \`e integrabile secondo Riemann su $A$.
\end{teor}
Dim.
\par $A$ \`e misurabile, o equivalentemente $\mis_n\pd A=0$. Chiamiamo
$$E=\br{\hbox{punti di discontinuit\`a di }f}.$$
Abbiamo supposto $\mis_nE=0$. Questo mi dice anche la seguente cosa, che se considero $E\cup\pd A$, questo \`e misurabile perché unione di insiemi misurabili, ed ha misura $0$ perché:
$$\mis_n\pa{\pd A\cup E}\mosb{=\scb{0}[1]{\color{white}$\fr{}{}$}}{1_\whitea}\mis_n\pa{\pa{\pd A\ssm E}\cup E}\mosb{=\scb{0}[1]{\color{white}$\fr{}{}$}}{2_\whitea}\mis_n\pa{\pd A\ssm E}+\mis_nE\mosb{=\scb{0}[1]{\color{white}$\fr{}{}$}}{3_\whitea}0+0=0,$$
1 perché $\pd A\ssm E\cup E=\pd A\cup E$, 2 perché l\6unione \`e diventata disgiunta e quindi la misura dell\6unione \`e la somma delle misure, 3 perché tutti i sottoinsiemi di insiemi a misura nulla sono a misura nulla. Per la misura nulla ho:
$$\VA\eg>0\,\,\,\,\3P\hbox{ plurirettangolo}:\pd A\cup E\sbse P\et\mis_nP\leq\eg,$$
e in pi\`u posso sceglierlo \tbold{aperto} perché basta ingrandirlo un pochettino, al pi\`u la misura diventer\`a non superiore a $2\eg$. [Per convincercene consideriamo il seguente grafico, e osserviamo che un rettangolo ha come punti di accumulazione non interni solo quelli dei lati, quindi esiste un rettangolo ``vicino a piacere'\6 a quello considerato (quindi con misura vicina a piacere a quella di quello considerato) che contiene quello considerato nella sua parte interna. Quindi prendendone uno aperto al pi\`u avr\`o una costante moltiplicativa davanti a $\eg$ che non cambia la sostanza della dimostrazione.]\slfeed\whitea
\hsp{1cm}\includegraphics[width=10cm]{Frontiera.jpg}\lfeed
L\6insieme $A\ssm P$ \`e chiuso, perché $P$ \`e aperto e $A$ era chiuso, e limitato perché contenuto in $A$ limitato, quindi \`e compatto in $\R^n$. $f$ \`e sicuramente continua in $A\ssm P$, quindi per il teorema di Heine-Cantor $f$ \`e uniformemente continua in $A\ssm P$. Quindi ripreso l\6$\eg$ dell\6uniforme continuit\`a sopra nominato:
$$\3\dg>0:x,y\in A\ssm P\et\norm{x-y}\leq\dg\implies\abs{f(x)-f(y)}\leq\eg.$$
Esiste poi sicuramente un rettangolo $R$ tale che $A\sbse R$, perché $A$ \`e limitato. La differenza $R\ssm P$ ovviamente \`e un plurirettangolo, e di conseguenza lo posso scrivere come unione disgiunta di rettangoli:
$$R\ssm P=\bun_{j=1}^mR_j,\quad R_i\cap R_j=\0\,\,\,\,\VA i,j.$$
Inoltre posso sceglierli con
$$\diam R_j<\dg\quad\VA j,$$
basta raffinare la suddivisione fino al punto giusto. Il $\dg$ ovviamente \`e quello di prima. Allora consideriamo:
$$P^\1=\bun_{j\in J^\1}R_j^\1\quad con\,\,J^\1=\br{j:R_j\sbse A}.$$
Inoltre:
$$P=\bun_{j\in J}R_j\quad con\,\,J\,\,finito.$$
Osserviamo che:
$$A\sbse P^\1\cup P,$$
con un argomento simile alla volta scorsa\fn{$A\sbse R$, quindi se $x\in A$, $x\in R$. Preso un tale $x$, se $x\in P^\1$ sono a posto. Supponiamo $x\in A\ssm P^\1$ e dimostriamo che $x\in P$. $x\in R$, quindi $\3j:x\in R_j\vel x\in R_j^\1$. Sappiamo per ipotesi che $j\nin J^\1$ perché $x\nin P^\1$. Se $j\nin J$, avrei un rettangolo $R_j$ che attraversa $A$, attraversa $R\ssm A$, ma non passa da $\pd A$, perché se ci passasse sarebbe $j\in J$, cosa che abbiamo escluso. Ma un rettangolo \`e connesso, quindi questa cosa non si pu\`o verificare.}. E a questo punto possiamo scegliere le funzioni a scala che ci servono per minorare e maggiorare $f$. Prendo:
$$s_1=\dsum_{j\in J^\1}\pa{\dinf_{R_j^\1}f}\xg_{R_j^\1}+\dsum_{j\in J}\pa{\dinf_{R_j}\tilde{f}}\xg_{R_j}.$$
$$s_1\leq\tilde{f},$$
perché? Analogamente:
$$s_2=\dsum_{j\in J^\1}\pa{\dsup_{R_j^\1}f}\xg_{R_j^\1}+\dsum_{j\in J}\pa{\dsup_{R_j}\tilde{f}}\xg_{R_j}.$$
$$s_2\geq\tilde{f},$$
ancora perché? Calcoliamo la differenza degli integrali:
$$\uint{\R^n\,\,\,}s_2-\uint{\R^n\,\,\,}s_1=\dsum_{j\in J^\1}\sq{\mat{c}\\\musb{\pa{\dsup_{R_j^\1}f-\dinf_{R_j^\1}f}}{\leq\eg\hbox{ per la uniforme continuit\`a}\pusher}\emat\mis_nR_j^\1}+\dsum_{j\in J}\mat{c}\\\musb{\pa{\dsup_{R_j}\tilde{f}-\dinf_{R_j}\tilde{f}}}{\leq2\dsup_A\abs{f}}\emat\mis_nR_j\leq$$
$$\leq\eg\pa{\sumusb{\dsum_{j\in J^\1}\mis_nR_j^\1}{=\mis_n\cup R_j^\1\leq\mis_nA}}+2\dsup_A\abs{f}\sumus{\dsum_{j\in J}\mis_nR_j}{=\mis_nP\leq\eg}\leq\eg\mis_nA+2\dsup_A\abs{f}\eg=cost.\per\eg.$$
Direi che \`e un buon momento per fare una pausa e poi ritorniamo sulle formule di riduzione per il calcolo.

\sect{Recuperiamo le affermazioni sulle funzioni a scala}
Non ho voglia di aspettare a una sezione di esplicazioni. Perché:
$$\dsum_{j\in J^\1}\pa{\dinf_{R_j^1}f}\xg_{R_j^1}+\dsum_{j\in J}\pa{\dinf_{R_j}\tilde{f}}\xg_{R_j}\leq\tilde{f}?$$
Innanzitutto diciamo che $\tilde{f}=f_A=\sistbis{f}{x\in A}{0}{x\nin A}$. Ci\`o detto, essendo $A\sbse P\cup P^\1$, se $x\in A$, allora $x\in P\vel x\in P^\1$. Se $x\in P^\1$, il secondo termine \`e nullo, mentre il primo si riduce a $\dinf_{R_j^1}f$, perché gli altri termini della somma sono nulli e quello \`e moltiplicato per $\xg_{R_j^\1}$ che essendo $R_j^\1$ il rettangolo di $P^\1$ contenente $x$ vale naturalmente 1. Ovviamente $\dinf_{R_j^\1}f=\dinf_{R_j^\1}\tilde{f}\leq\tilde{f}$. Invece se $x\in P$ il primo termine \`e $0$, mentre il secondo vale, come sopra, $\dinf_{R_j}\tilde{f}\xg_{R_j}=\dinf_{R_j}\tilde{f}\leq\tilde{f}$. Con ragionamenti analoghi si vede $s_2\geq\tilde{f}$. La relazione:
$$\dsup_{R_j}\tilde{f}-\dinf_{R_j}\tilde{f}\leq2\dsup_A\abs{f}$$
vale perché sicuramente:
$$\dsup_{R_j}\tilde{f}\leq\dsup_A\abs{f}$$
e:
$$\dinf_{R_j}\tilde{f}\geq-\dsup_A\abs{f},$$
e sottraendo queste due si ottiene quella sopra. La prima di queste vale perché se $\dsup_{R_j}\tilde{f}>0$ allora quel valore \`e assunto in un punto di $A$ visto che fuori $\tilde{f}$ \`e $0$, o comunque sicuramente in un punto di $A$ si assume un qualsiasi valore arbitrariamente vicino al sup in questione, ma allora anche $f$ lo assume e $\dsup_A\abs{f}$ non pu\`o minorare quel sup perché $f$ assume quel valore (o valori vicini) almeno una volta; se quel sup \`e nullo allora \`e evidente la cosa, perché $\abs{f}\geq0$ in tutto $A$ quindi $\dsup_A\abs{f}\geq0$; se $\dsup_{R_j}\tilde{f}<0$ dato che $\dsup_A\abs{f}\geq0$ abbiamo la tesi. La seconda vale perché se $\dinf_{R_j}\tilde{f}$, che da ora in poi chiameremo $i_1$, \`e positivo, significa che $f$ assume il valore $i_1$ (o $i_1-\eg$ per ogni $\eg>0$) internamente ad $A$, poiché viene assunto da $\tilde{f}$ che fuori da $A$ \`e nulla, e quindi $-\dsup_A\abs{f}=-i_2$ non pu\`o essere inferiore ad $i_1$; se $i_1=0$, essendo $i_2\geq0$ in quanto sup del modulo di una funzione, e quindi $i_2\leq0$, abbiamo la relazione; se $i_1<0$ un valore arbitrariamente vicino ad $i_1$ viene assunto da $f$ internamente ad $A$, quindi se ribaltiamo il tutto vediamo che $-i_1\leq i_2$ perché $-i_1$ \`e un valore assunto da $-\tilde{f}$ internamente ad $A$ e il sup di $\abs{f}$, che \`e uguale a quello di $\abs{-f}$, come gi\`a visto, non pu\`o minorare $i_1$.

\sect{Torniamo un poco invece sulla questione del calcolo degli integrali: formule di riduzione su sottoinsiemi}
Sia $f:A\to\R$ integrabile dove $A\sbse\R^p\x\R^q$ limitato e misurabile. Per ipotesi \`e integrabile su $\R^p\x\R^q$ la funzione:
$$\tilde{f}(x,y)=\sistbis{f(x,y)}{(x,y)\in A}{0}{(x,y)\nin A}.$$
Per ogni $x\in\R^p$ considero $A_x=\br{y\in\R^q:(x,y)\in a}.$ Quindi vado di fatto ad affettare l\6insieme, a prendere la fettina dell\6insieme la cui proiezione in $\R^p$ sia $x$, come nel disegno sotto.\lfeed
\includegraphics[width=12.1cm]{Ax.jpg}\lfeed
Chiamiamo poi $A^\1=\br{x\in\R^p:A_x\neq\0}=\br{x\in\R^p:\3y\in\R^q:(x,y)\in A}$. Sostanzialmente la proiezione di $A$ su $\R^p$. Cosa sono allora le $x$-sezioni? Se $x\nin A^\1$, $\tilde{f}^x(y)$ \`e la funzione nulla. Se invece $x\in A^\1$, allora:
$$\tilde{f}^x(y)=\sistbis{f(x,y)}{y\in A_x}{0}{y\in\R^p\ssm A_x}.$$
Quindi per applicare la riduzione devo chiedere che per ogni $x$ sia integrabile $f^x(y)$, ma per $x\nin A^\1$ \`e a gratis, quindi basta controllarlo per $x\in A^\1$, e quindi chiedere che
$$y\mapsto f(x,y)$$
sia integrabile su $A_x$, che equivale a chiedere che $f^x_{A_x}$ sia integrabile su $\R^q$. Quindi ho che $x\mapsto\dint_{A_x}f(x,y)dy$ \`e integrabile su $A^\1$ e:
$$\dint_{A^\1}\pa{\dint_{A_x}f(x,y)dy}dx=\dint_Af(x,y)dxdy.$$
Quindi:
\begin{teor}
Se $A\sbse\R^p\x\R^q$ limitato e misurabile e $f:A\to\R$ \`e integrabile su $A$ e per $x\in A^\1=\br{x\in\R^p:\3y\in\R^q:(x,y)\in A}$ la funzione $y\mapsto f(x,y)$ \`e integrabile su $A_x=\br{y:(x,y)\in A}$, allora la funzione $x\mapsto\dint_{A_x}f(x,y)dy$ \`e integrabile su $A^\1$ e vale:
$$\dint_{A^\1}\pa{\dint_{A_x}f(x,y)dy}dx=\dint_Af(x,y)dxdy.$$
\end{teor}
Vediamo allora un esempio.
\begin{es}
Andiamo a considerare:
$$f(x,y)=y\rad{x^2+y^2}.$$
Prendiamo:
$$A=\br{(x,y)\in\R^2:0<x\leq4\et4y-3x<0\et y\geq0}.$$
\end{es}
\hsp{0.6cm}\includegraphics[width=10.8cm]{D.jpg}\lfeed
$A$ \`e un triangolo. Consideriamo $\lbar{A}$ il triangolo chiuso, e consideriamo:
$$\lbar{f}(x,y)=\sistbis{f(x,y)}{(x,y)\in A}{0}{\pd A}.$$
\`E limitato. \`E misurabile perché la frontiera ha misura nulla. Infatti i lati sugli assi sono rettangoli, e per l\6ipotenusa si verifica facilmente la CNS di misura nulla, basta suddividerla in pezzetti e prenderli per diagonali dei rettangoli che costituiranno il plurirettangolo che user\`o per la dimostrazione. Quindi anche $\lbar{A}$ \`e misurabile, perché $\pd\lbar{A}=\pd A$. Punti di discontinuit\`a. All\6interno \`e continua. Quindi al pi\`u sulla frontiera. Ma la frontiera ha misura nulla quindi l\6insieme dei punti di discontinuit\`a ha misura nulla, quindi $\lbar{f}$ \`e integrabile su $\lbar{A}$, ma allora \`e integrabile su tutti i sottoinsiemi di $\lbar{A}$ misurabili, quindi \`e integrabile su $A$, dove coincide su $f$, e quindi $f$ lo \`e. Per calcolare l\6integrale usiamo la formula di riduzione. Chiaramente sto pensando a $\R^2$ come $\R\x\R$. Com'\`e fatto $A^\1$? \`E $(0,4)$. Se $x\in A^\1$, com'\`e fatto $A_x$? \`E $\pa{0,\fr{3}{4}x}$. Le $x$-sezioni sono integrabili, quindi:
$$\uints Ay\rad{x^2+y^2}=\ouintext04\pa{\xouint{\high{0}}{\dsi{\fr{3}{4}}x}y\rad{x^2+y^2}dy}dx=\ouintext04\fr{1}{3}\pa{x^2+y^2}^{\dsi{\fr{3}{2}}}\eval0{\dsi{\fr{3}{4}}x}dx=$$
$$=\fr{1}{3}\ouintext04\pa{\pa{x^2+\fr{9}{16}x^2}^{\dsi{\fr{3}{2}}}-x}dx=\fr{1}{3}\ouintext04x^3\pa{\pa{\fr54}^3-1}dx=\fr13\fr{125-64}{4^3}\fr{1}{4}x^4\eval04=$$
$$=\fr{61}{3}.$$
Alternativamente:
$$\uints Ay\rad{x^2+y^2}dxdy=\uints{A^{\1\1}}\pa{\uints{A_y}y\rad{x^2+y^2}dx}dy,$$
con $A^{\1\1}=\br{y:\3x:(x,y)\in A}=(0,3)$ e $A_y=\(\fr{4}{3}y,4\)$. Ovvero l\6integrale \`e anche:
$$\ouintext03\pa{\xouint{\dsi{\fr{4}{3}}y}{4}y\rad{x^2+y^2}dx}dy.$$
\`E un po\6 pi\`u complicato, si pu\`o sostituire $x=y\sinh t$ e si riesce.


\incee
\chapter{\eserc{14/11/2013}}

\sect{Qualcosa sulla derivazione di funzioni composte}
Sia $\ubar{f}:A\sbs \R^n\to\R^m$, $\ubar{g}:B\sbs\R^m\to\R^p$. Sia $\ubar{x}_0\in A$ e $\ubar{f}$ differenziabile in $\ubar{x}_0$ (ovvero lo sono tutte le componenti di $\ubar{f}=(f_1,\dots,f_m)$). \`E definita la matrice Jacobiana (che ha per righe i gradienti delle componenti):
$$J_{\ubar{f}}(\ubar{x}_0)=\pa{\mat{c}\grad f_1(\ubar{x}_0)\\\grad f_2(\ubar{x}_0)\\\vdots\\\grad f_m(\ubar{x}_0)\emat}.$$
Sia $\ubar{f}(\ubar{x}_0)=\ubar{y}_0\in B$, e sia $\ubar{h}(\ubar{x})=(\ubar{f}\circ\ubar{g})(\ubar{x}).$ Si ha che:
$$J_{(\ubar{g}\circ\ubar{f})}(\ubar{x}_0)=J_{\ubar{g}}(\ubar{f}(\ubar{x}_0)\per J_{\ubar{f}}(\ubar{x}_0).$$
\begin{eseese}
Sia quindi:
$$f(s,t)=(s-t,s+t),$$
$$g(x,y)=xy\cos y.$$
\end{eseese}
Calcoliamoci la composta:
$$(g\circ f)(s,t)=f_1(s,t)f_2(s,t)\cos f_2(s,t)=(s-t)(s+t)\cos(s+t).$$
Possiamo allora calcolarci le derivate parziali:
$$\pd_sh(s,t)=(s+t)\cos(s+t)+(s-t)\cos(s+t)-(s+t)(s-t)\sin(s+t),$$
$$\pd_th(s,t)=-(s+t)\cos(s+t)+(s-t)\cos(s+t)-(s-t)(s+t)\sin(s+t).$$
Calcolate direttamente. Ora con le Jacobiane. $g$ \`e a valori reali, quindi la matrice Jacobiana \`e semplicemente il gradiente:
$$J_g(x,y)=\grad g(x,y)=\pa{\mat{c}\pd_xg(x,y)\\\pd_yg(x,y)\emat}=\pa{\mat{c}y\cos y\\x\cos y-xy\sin y\emat}.$$
Vediamo invece quella di $f$:
$$J_f(x,y)=\pa{\mat{cc}\pd_xf_1&\pd_yf_1\\\pd_xf_2&\pd_yf_2\emat}=\pa{\mat{cc}1&-1\\1&1\emat}.$$
Quindi le moltiplichiamo:
$$J_g\per J_f=\pa{\mat{c}(s+t)\cos(s+t)\\ (s-t)\cos(s+t)-(s-t)(s+t)\sin(s+t)\emat}\pa{\mat{cc}1&-1\\1&1\emat}=$$
$$=\pa{\mat{c}(s+t)\cos(s+t)+(s-t)\cos(s+t)-(s-t)(s+t)\sin(s+t)\\-(s+t)\cos(s+t)+(s-t)\cos(s+t)-(s-t)(s+t)\sin(s+t)\emat}.$$

\begin{eseese}
$f:\R^3\to\R$ con:
$$f(x,y,z)=\dint_x^{yz}e^{-s^2}ds;$$
poi sia $\ubar{r}:\R\to\R^3$ continua e derivabile. Sia $h(t):=f(\ubar{r}(t))$. Calcolare $h^\1(t)$ in $t=0$, sapendo che $\ubar{r}(0)=\pa{\mat{c}1\\2\\0\emat},$ e $\ubar{r}^\1(0)$ ha modulo pari a $\rad{3}$ ed \`e parallelo alla retta di equazioni parametriche $x=y=z$. con verso orientato sugli $x$ crescenti.
\end{eseese}
Allora:
$$h^\1(t)=\grad f(\ubar{r}(t))\per\pa{\mat{c}r_1^\1(t)\\r_2^\1(t)\\r_3^\1(t)\emat}=\fr{\pd f}{\pd x}(\ubar{r}(t))r_1^\1(t)+\fr{\pd f}{\pd y}(\ubar{r}(t))r_2^\1(t)+\fr{\pd f}{\pd z}(\ubar{r}(t))r_3^\1(t).$$
A questo punto troviamo il vettore $\ubar{r}^\1(0)$. Dato che \`e parallelo a $x=y=z$ deve essere:
$$\ubar{r}^\1(0)=(\ag,\ag,\ag),\quad\ag\in\R.$$
Poi deve avere modulo $\rad{3}$, quindi:
$$\abs{\ubar{r}^\1(0)}=\rad{3\ag^2}=\ag\rad{3}\implies\ag=\pm1.$$
In pi\`u deve essere orientato verso le $x$ crescenti, quindi \`e:
$$\ubar{r}^\1(0)=(1,1,1).$$
Ricordiamo che:
$$u(t)=\ouintext{t_0}tv(s)ds\implies u^\1(t)=v(t).$$
Quindi:
$$\pd_xf(x,y,z)=\pd_x\ouintext x{yz}e^{-s^2}ds=-\pd_x\ouintext{yz}xe^{-s^2}ds=-e^{-x^2},$$
$$\pd_yf(x,y,z)=e^{-(yz)^2}z,$$
$$\pd_zf(x,y,z)=e^{-(yz)^2}y.$$
A questo punto riscriviamo l\6espressione di prima:
$$h^\1(0)=-e^{-x^2}\per1+e^{-(yz)^2}z\per1+e^{-(yz)^2}y\per1=-e^{-1}+0+1\per2\per1=-\fr{1}{e}+2.$$

\sect{Dunque adesso torniamo ai nostri punti critici}
\begin{eseese}
Trovare i punti critici della seguente funzione e studiarne la natura:
$$f(x,y,z)=\pa{x^3-3x-y^2}z^2+z^3.$$
\end{eseese}
Derivate parziali:
$$f_x(x,y,z)=\pa{3x^2-3}z^2,$$
$$f_y(x,y,z)=-2yz^2,$$
$$f_z(x,y,z)=\pa{x^3-3x-y^2}2z+3z^2.$$
Quindi i punti critici risolvono:
$$\begin{sistema}
\pa{3x^2-3}z^2=0\\
-2yz^2=0\\
\pa{x^3-3x-y^2}2z+3z^2=0
\end{sistema}.$$
Innanzitutto osserviamo che se $z=0$ ho un piano di punti critici. Quindi:
$$(x,y,0)\hbox{ \`e punto critico }\VA(x,y)\in\R^2.$$
Supponiamo quindi $z\neq0$. Rimane:
$$\begin{sistema}
x^2=1\sse x=\pm1\\
-2y=0\\
2\pa{x^3-3x-y^2}+3z=0
\end{sistema}.$$
Per $x=1$ ricaviamo:
$$\begin{sistema}
x=1\\
y=0\\
2(1-3-0)+3z=0
\end{sistema},$$
che d\`a:
$$\pa{\mat{c}1\\0\\\fr{4}{3}\emat}.$$
Per $x=-1$ invece troviamo:
$$\begin{sistema}
x=-1\\
y=0\\
2(-1+3-0)+3z=0
\end{sistema},$$
che d\`a:
$$\pa{\mat{c}-1\\0\\-\fr{4}{3}\emat}.$$
Scriviamo la Hessiana:
$$\sq{\mat{ccc}f_{xx}&f_{xy}&f_{xz}\\f_{yx}&f_{yy}&f_{yz}\\f_{zx}&f_{zy}&f_{zz}\emat}=\sq{\mat{ccc}6xz^2&0&6(x^2-1)z\\0&-2z^2&-4yz\\6(x^2-1)z&-4yz&2(x^3-3x-y^2)+6z\emat}.$$
Cominciamo da $\(1,0,\fr{4}{3}\)$:
$$\s{H}_f\(1,0,\fr{4}{3}\)=\sq{\mat{ccc}\fr{32}{3}&0&0\\0&-\fr{32}{9}&0\\0&0&4\emat}.$$
Con il solito criterio, vedendo che $\det\s{H}<0$ e $\det\s{H}_1<0$, la matrice \`e indefinita: \`e una sella. Poi l\6altro:
$$\s{H}_f\pa{-1,0,-\fr{4}{3}}=\sq{\mat{ccc}-\fr{32}{3}&0&0\\0&-\fr{32}{9}&0\\0&0&-12\emat}.$$
Definita negativa: massimo. Ora per $z=0$.
$$\s{H}_f(x,y,0)=\sq{\mat{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&2(x^3-3x-y^2)+0\emat}.$$
\`E semidefinita quindi non possiamo dire niente. Quindi dobbiamo fare un\6ulteriore analisi. Dobbiamo provare che $\VA(x,y,z)\in U(x,y,z)\hbox{ intorno del punto critico}$:
$$f(x,y,z)\geq f(x_0,y_0,0)\vel f(x,y,z)\leq f(x_0,y_0,0)\vel\hbox{nessuna delle due}.$$
Allora guardiamo $f$:
$$f(x,y,z)=\musb{z^2}{\geq0\scb{0}[0.27]{{\color{white}$\fr{a^{b^b}}{b_{a_a}}$}}}\musb{\ubar{\pa{x^3-3x-y^2+z}}^{\scb{0}[0.45]{{\color{white}$\fr{a^{b^b}}{b_{a_a}}$}}}}{g(x,y,z)}.$$
$$g(x_0,y_0,0)=x_0^3-3x_0-y_0^2.$$
$g\in\s{C}\pa{\R^3}$. Supponiamo che $x_0^3-3x_0-y_0^2>0$. Allora:
$$\3U(x_0,y_0,0):g(x,y,z)>0\quad\VA(x,y,z)\in U,$$
per la permanenza del segno. Moltiplicando per $z^2$ mantengo il segno, quindi ho un minimo locale. In modo del tutto analogo si dimostra che se $g(x_0,y_0,0)<0$, allora siamo in un massimo locale. Se invece vale $0$, spostandosi in $(x_0,y_0,z)$ la $f$ assume valore $z^3$, che cambia segno in ogni intorno del punto. Quindi abbiamo una sella.

\sect{Ancora un esercizio}
\begin{eseese}
$$f(x,y)=x^2-y^2+e^{x^2+y^2}.$$
\end{eseese}
Primo punto: i critici.
Derivate parziali:
$$f_x(x,y)=2x\pa{e^{x^2+y^2}+1},$$
$$f_y(x,y)=2y\pa{e^{x^2+y^2}-1}.$$
Scriviamo il sistema che equivale a gradiente nullo, osservando che $f_x$ si annulla $\sse 2x=0$ perché l\6altro fattore non pu\`o mai annullarsi:
$$\begin{sistema}
2x=0\\
2y\pa{e^{x^2+y^2}-1}=0
\end{sistema}.$$
Quindi:
$$\begin{sistema}
2x=0\\
2y=0\vel\pa{e^{0+y^2}-1}=0\implies y^2=0
\end{sistema}.$$
Quindi l\6unica soluzione \`e l\6origine. Derivate seconde:
$$f_{xx}=2\pa{e^{x^2+y^2}+1}+2xe^{x^2+y^2}2x=2\pa{e^{x^2+y^2}+1}+4x^2e^{x^2+y^2},$$
$$f_{yy}=2\pa{e^{x^2+y^2}-1}+4y^2e^{x^2+y^2},$$
$$f_{xy}=4xye^{x^2+y^2}.$$
Quindi:
$$\s{H}_f(0,0)=\pa{\mat{cc}4&0\\0&0\emat}.$$
Semidefinita: non posso concludere nulla. La funzione per $\norm{\ubar{x}}\to+\8$ va all\6infinito, ma cerchiamo di provarlo:
$$\dlim_{\norm{(x,y)}\to+\8}f(x,y)=+\8?$$
Maggioriamo cos\`i:
$$f(x,y)\geq-x^2-y^2+e^{x^2+y^2}.$$
Quindi vale la medesima disuguaglianza sui limiti per $\norm{(x,y)}\to+\8$. Il secondo limite si scrive:
$$\dlim_{\rg\to+\8}\pa{-\rg^2+e^{\rg^2}}=+\8,$$
uniformemente in $\qg$ che tanto non ci compare. Quindi per il teorema visto esiste un minimo per $f$ in $\R^2$. Siccome deve essere critico e l\6unico critico \`e $(0,0)$, sicuramente $(0,0)$ \`e di minimo, e assoluto. Secondo punto. Sia $R>0$. Trovare se esistono massimo e minimo della funzione $f$ nella palla di centro l\6origine e raggio $R$, palla chiusa $\lbar{B_R(0)}$. Innanzitutto esistono per Weierstrass: la palla chiusa \`e compatta. Per trovarli si studiano i critici interni e poi il bordo. L\6unico critico interno \`e l\6origine che \`e di minimo assoluto su tutto $\R^2$ e quindi in particolare nella palla. Quindi $\VA R$ il minimo \`e nell\6origine. Quindi il minimo \`e sempre 1. Ora il bordo. Bisogna parametrizzare la circonferenza. Sono i punti:
$$\pd_R(0)=\br{(x,y)\in\R^2:x^2+y^2=\R^2}=\begin{sistema}x=R\cos t\\y=R\sin t\end{sistema}\,\,\,\,t\in[0,2\pg].$$
Quindi la restrizione \`e:
$$f(R\cos t,R\sin t)=R^2\pa{\cos^2t-\sin^2t}+e^{R^2}=R^2\pa{\cos\pa{2t}}+e^{R^2}=g(t).$$
Derivando:
$$g^\1(t)=-2R^2\sin(2t).$$
Poniamola nulla e otteniamo:
$$\sin(2t)=0\sse 2t=k\spg\sse t=\fr{k}{2}\spg\sse t=0\vel t=\fr{\pg}{2}\vel t=\spg\vel t=\fr{3}{2}\spg\vel t=2\spg=0.$$
Studiamo questi punti. I massimi sono $0$, $\spg$ e $2\spg$\fn{Il segno della derivata \`e quello di $-\sin(2t)=g(t)$. In $0$ vediamo che $g$ passa da positiva a negativa, quindi la funzione di partenza ha un massimo. \`E abbastanza evidente che i cambi di segno negli zeri sono alternati, dato che non ci sono discontinuit\`a nella derivata, e che tutti gli zeri sono cambi di segno. Quindi i massimi saranno quelli detti, perché quelli in mezzo vanno saltati in quanto minimi. $2\spg$ poi viene eliminato perché uguale a $0$.}. I minimi sono gli altri, ma non ci interessano. Calcoliamo i candidati massimi:
$$g(R\cos0,R\sin0)=R^2+e^{R^2},$$
$$g(R\cos\spg,R\sin\spg)=R^2+e^{R^2}.$$
OK. Direi che...


\incle
\chapter{\lez{15/11/2013}}

\sect{Casi particolari di formule di riduzione}

\ssect{Regioni $x$-semplici o $y$-semplici in $\R^2$}
Ad esempio assumono una forma particolarmente semplice nel caso di una regione $y$-semplice in $\R^2$. Che cos'\`e?
\begin{defi}
Si dice \emph{regione $y$-semplice in $\R^2$} un sottoinsieme $A\sbse\R^2$ del tipo:
$$A=\br{(x,y)\in\R^2:x\in I\et g_1(x)\mosb{\leq_{\scb{0}[0.61]{{\color{white}$\fr{a}{b}$}}}}{(<)}y\mosb{\leq_{\scb{0}[0.61]{{\color{white}$\fr{a}{b}$}}}}{(<)}g_2(x)},$$
con $I$ intervallo limitato e $g_1,g_2:I\to\R$ integrabili secondo Riemann.
\end{defi}
Se $f:A\to\R$ \`e integrabile su $A$ e se valgono anche le altre ipotesi del teorema di riduzione, ossia $\VA x\in I$ la funzione $y\mapsto f(x,y)$ \`e integrabile su $A_x=\br{x\in\R:(x,y)\in A}$, allora detti $a=\dinf I$, $b=\dsup I$, abbiamo:
$$\ouintext ab\pa{\ouintext{g_1(x)}{g_2(x)}f(x,y)dy}dx.$$
Analogamente:
\begin{defi}
Si dice \emph{regione $x$-semplice in $\R^2$} un sottoinsieme $A\sbse\R^2$ del tipo:
$$A=\br{(x,y)\in\R^2:x\in I\et h_1(x)\mosb{\leq_{\scb{0}[0.61]{{\color{white}$\fr{a}{b}$}}}}{(<)}y\mosb{\leq_{\scb{0}[0.61]{{\color{white}$\fr{a}{b}$}}}}{(<)}h_2(x)},$$
con $I$ intervallo limitato e $h_1,h_2:I\to\R$ integrabili secondo Riemann.
\end{defi}
\begin{ese}
Calcoliamo
$$\uint{D\quad}ydxdy,$$
con
$$D=\br{(x,y)\in\R^2:2\leq x\leq3\et\fr{1}{x}\leq y\leq x}.$$
\end{ese}
\includegraphics[width=12cm]{Regione.jpg}\lfeed
L\6integrale su questa regione evidentemente $y$-semplice diventa:
$$\ouintext23\pa{\ouintb{\dsi{\fr1x}\quad}{\quad x}ydy}dx=\fr{1}{2}\ouintext23\pa{x^2-\fr{1}{x^2}}dx=\fr{1}{2}\sq{\fr{1}{3}x^3+\fr{1}{x}}_2^3=\fr{1}{2}\sq{9+\fr{1}{3}-\fr{8}{3}-\fr{1}{2}}=$$
$$=\fr{1}{2}\sq{\fr{27-7}{3}-\fr{3}{6}}=\fr{1}{2}\sq{\fr{40-3}{6}}=\fr{37}{12}.$$

\ssect{Regioni $z$-semplici in $\R^3$ per fili}
\begin{defi}
Una \emph{regione $z$-semplice in $\R^3$} \`e un $A\sbse\R^3$ tale che:
$$\begin{sistema}
(x,y)\in D\\
D\hbox{ insieme misurabile}\\
u_1(x,y)\leq z\leq u_2(x,y)
\end{sistema}.$$
\end{defi}
L\6insieme $A^\1$ dei punti $(x,y)$ per cui esiste uno $z$ tale che $(x,y,z)\in A$ \`e $D$. Sto pensando $\R^3=\R^2\x\R$. Invece $A_{(x,y)}$ \`e l\6insieme degli $z$ per cui $(x,y,z)\in A$, quindi $[u_1(x,y),u_2(x,y)]$. Le ipotesi sono: $f:A\to\R$ integrabile su $A$ e $\VA(x,y)\in D$ la funzione $z\mapsto f(x,y,z)$ (la $(x,y)$-sezione) \`e integrabile su $[u_1(x,y),u_2(x,y)]$, allora la formula di riduzione \`e:
$$\uints{A}f(x,y,z)dxdydz=\uints{D}\pa{\ouintext{u_1(x,y)}{u_2(x,y)}f(x,y,z)dz}dxdy.$$
Questa formula prende anche il nome di \emph{integrazione per FILI}.
\begin{es}
Calcoliamo con questa formula il volume di una palla in $\R^3$.
\end{es}
La palla \`e:
$$\lbar{B_R}=\br{(x,y,z)\in\R^3:x^2+y^2+z^2\leq R^2}.$$
Innanzitutto:
$$\mis_n(\lbar{B_R})=\uint{\lbar{B_R}\,\,\,\,}1dxdydz.$$
Questo perché \`e l\6integrale su $\R^3$ della caratteristica della palla, e quindi l\6integrale di $1$ sulla palla. Posso vederlo come una regione $z$-semplice:
$$\lbar{B_R}=\br{(x,y,z)\in\R^3:(x,y)\in D\et -\rad{R^2-x^2-y^2}\leq z\leq\rad{R^2-x^2-y^2}},$$
con
$$D=\br{(x,y)\in\R^2:x^2+y^2\leq R^2}.$$
Con la formula:
$$\mis_n(\lbar{B_R})=\uint{\lbar{B_R}\,\,\,\,}1dxdydz=\uint{D\quad}\pa{\ouintz{\rad{R^2-x^2-y^2}}{-\rad{R^2-x^2-y^2}}{\,\,1dz}{\,\,\,\,\,\,\quad}}dxdy=\uint{D\quad}2\rad{R^2-x^2-y^2}dxdy.$$
Tra non molto avremo strumenti diciamo un po\6 pi\`u furbi per calcolare questo integrale, per ora possiamo solo usare la formula di riduzione. $D$ \`e:
$$D=\br{(x,y)\in\R^2:-R\leq x\leq R\et-\rad{R^2-x^2}\leq y\leq\rad{R^2-x^2}}.$$
Quindi:
$$\uint{D\quad}2\rad{R^2-x^2-y^2}dxdy=2\ouintext{-R}R\pa{\ouintext{-\rad{R^2-x^2}}{\rad{R^2-x^2}}\rad{R^2-x^2-y^2}dy}dx.$$
Sostituiamo:
$$y=\rad{R^2-x^2}\sin\qg.$$
Diventa:
$$2\ouintext{-R}{R}\rad{R^2-x^2}\pa{\ouintb{\dsi{-\fr\pg2}\quad}{\quad\dsi{\fr\pg2}}\rad{1-\sin^2\qg}\rad{R^2-x^2}\cos\qg d\qg}dx=$$
$$=2\ouintext{-R}{R}\pa{R^2-x^2}\pa{\ouintb{\dsi{-\fr\pg2}\quad}{\quad\dsi{\fr\pg2}}\cos^2\qg d\qg}dx.$$
Calcoliamo a parte l\6integrale dentro:
$$\ouintb{\dsi{-\fr\pg2}\quad}{\quad\dsi{\fr\pg2}}\cos^2\qg d\qg=\ouintb{\dsi{-\fr\pg2}\quad}{\quad\dsi{\fr\pg2}}\fr{1+\cos2\qg}{2}d\qg=\sq{\fr{1}{2}\qg+\fr{\cos2\qg}{4}}_{\dsi{-\fr\pg2}}^{\dsi{\fr\pg2}}=\fr{\pg}{2}.$$
Quindi l\6integrale totale viene:
$$\pg\ouintext{-R}{R}\pa{R^2-x^2}dx=\pg\sq{R^2x-\fr{1}{3}x^3}_{-R}^{R}=\pg\sq{R^2R-\fr{1}{3}R^3+R^2R-\fr{1}{3}R^3}=\fr{4}{3}\pg R^3.$$
\par Pausa.

\ssect{Regioni $z$-semplici in $\R^3$ per strati}
Se invece vediamo $\R^3=\R\x\R^2$, si pu\`o usare un\6altra formula detta \emph{integrazione per strati}\fn{Notare che questa formula \`e la generalizzazione di quello che si fa alle superiori per calcolare il volume di un solido di rotazione: in quel caso tutte le sezioni $D_z$ erano cerchi di raggio dato da una funzione e quindi l\6integrale su $D_z$ era $\pg r^2$.}. Quindi il dominio avr\`a la forma:
$$A=\br{(x,y,z)\in\R^3:a\leq z\leq b\et(x,y)\in D_z}.$$
Considerando quindi:
$$A^\1=\br{z:\3(x,y):(x,y,z)\in A},$$
sar\`a $[a,b]$. Invece $A_z=D_z$. Se $f:A\to\R$ \`e integrabile su $A$ e per ogni $z\in A^\1$ la funzione $(x,y)\mapsto f(x,y,z)$ \`e integrabile su $D_z$, allora:
$$\uint{A\quad}f(x,y,z)dxdydz=\ouintext{a}{b}\pa{\uint{D_z\,\,\,\,}f(x,y,z)dxdy}dz.$$
Nel caso della sfera $A^\1=[-R,R]$, e $D_z=B(0,\rad{R^2-z^2})\sbse\R^2$. Quindi:
$$\uint{\lbar{B_R}\,\,\,\,}1dxdydz=\ouintext{-R\,\,\,\,}{R}\pa{\uint{D_z\,\,\,\,}1dxdy}dz=\ouintext{-R\,\,\,\,}{R}\mis_2(D_z)dz=$$
$$=\pg\ouintext{-R\,\,\,\,}{R}\pa{R^2-z^2}dz=\pg\sq{R^2z-\fr{1}{3}z^3}_{-R}^R=\pg\sq{R^3-\fr{1}{3}R^3+R^3-\fr{1}{3}R^3}=\fr{4}{3}\pg R^3.$$

\ssect{Il legame stretto tra misurabilit\`a secondo Peano-Jordan e Integrabilit\`a secondo Riemann}
Se $A\sbse\R^n$ \`e limitato e misurabile e $f:A\to\R$ tale che $f(\ubar{x})\geq0\quad\VA\ubar{x}\in A$, considero il rettangoloide (o trapezoide, diciamo, come volete) associato a $f$, che \`e l\6insieme:
$$R_f=\br{(\ubar{x},t)\in\R^{n+1}:\ubar{x}\in A\et 0\leq t\leq f(\ubar{x})}.$$
Se $f$ \`e a scala (chiamiamola $s$), quindi:
$$s(\ubar{x})=\dsum_{j=1}^nc_j\xg_{R_j},$$
chiamiamo $P=\bun_{j=1}^mR_j$, com'\`e fatto $R_s$? \`e:
$$R_s=\br{(\ubar{\ubar{x}},t)\in\R^{n+1}:\ubar{x}\in P\et0\leq t\leq s(\ubar{x})}=\bun_{j=1}^mR_j\x[0,c_j),$$
che \`e un plurirettangolo unione disgiunta di rettangoli. La sua misura \`e:
$$\mis_{n+1}R_s=\dsum_{j=1}^m\mis_{n+1}(R_j\x[0,c_j)=\dsum_{j=1}^m\mis_nR_j\per c_j=\uint{\R^n\,\,\,}s(\ubar{x})dx.$$
\begin{propo}
Sia $f:A\to\R$ con $A\sbse\R^n$ limitato misurabile e $f\geq0$. $f$ \`e integrabile secondo Riemann su $A$ se e solo se il rettangoloide $R(f)$ \`e misurabile secondo Peano-Jordan in $\R^{n+1}$. In tal caso
$$\mis_{n+1}R(f)=\uint{A\quad}f.$$
\end{propo}
Quindi la sfera \`e misurabile perché \`e unione disgiunta di due semisfere, e quella superiore (per esempio) \`e il rettangoloide associato a $f(x,y)=\rad{R^2-x^2-y^2}$ definita nel disco e nulla fuori, e quella \`e una funzione continua. Dimostriamo la proposizione.
\par Cominciamo dal supporre $f$ integrabile. Allora
$$\tilde{f}(x)=\sistbis{f(x)}{x\in A}{0}{x\nin A}$$
\`e integrabile in $\R^n$. Allora:
$$\VA\eg>0\quad\3s_1,s_2\hbox{ a scala}:0\leq s_1\leq f\leq s_2\et\uint{\R^n\,\,\,}s_2-\uint{\R^n\,\,\,}s_1\leq\eg.$$
Osserviamo che:
$$R(f)=R(\tilde{f}).$$
Inoltre:
$$R(s_1)\sbse R(\tilde{f})\sbse R(s_2).$$
Vediamo poi che:
$$\mis_{n+1}R(s_2)-\mis_{n+1}R(s_1)\mosb{=}{2}\fnt[2]{Abbiamo visto sopra che il rettangoloide ha misura pari all\6integrale se la funzione \`e a scala}\uint{\R^n}s_2-\uint{\R^n}s_1\leq\eg.$$
La formula di riduzione cosa mi dice allora? Che:
$$\mis_{n+1}R(f)=\uint{R(f)\,\,}1=\uint{A\quad}\pa{\ouintb{0\quad}{\quad f(x)}1dt}dx=\uint{A\quad}f(x)dx.$$
Viceversa supponiamo $R(f)$ misurabile in $\R^{n+1}$. Quindi la funzione caratteristica $\xg_{R(f)}$ \`e integrabile su $\R^{n+1}$. Osserviamo che:
$$\VA\ubar{x}\in\R^n,g^{\ubar{x}}(t)=\xg_{R(f)}(\ubar{x},t)=\sistbis{1}{\ubar{x}\in A\et0\leq t\leq f(x)}{0}{altrimenti}\hbox{\`e integrabile},$$
quella \`e la $\ubar{x}$-sezione, che poi \`e $\xg_{[0,f(\ubar{x})]}$ per $\ubar{x}\in A$, nulla altrimenti. Quindi \`e integrabile per ogni $\ubar{x}\in\R^n$. Allora il teorema di riduzione mi dice che
$$\ubar{x}\mapsto\sistbis{0}{\ubar{x}\nin A}{\uint{[0,f(\ubar{x}))}\xg_{R(f)}(\ubar{x},t)dt\mosb{=}{3}\mis[0,f(\ubar{x}))=f(\ubar{x})}{\ubar{x}\in A}$$
\`e integrabile. Ma quella \`e $\tilde{f}$. $\tilde{f}$ integrabile su $\R^n$ $\sse$ $f$ integrabile su $A$.\fnt[3]{L\6uguaglianza vale perché quell\6integrale alla fine \`e l\6integrale di 1 per la caratteristica di $[0,f(\ubar{x}))$, che per definizione \`e la misura.}
\par Settimana prossima sapete come sono le esercitazioni vero?


\incee
\chapter{\eserc{18/11/2013}}

\sect{Terminiamo gli esercizi sui punti critici}
\begin{eseese}
$$f(x,y)=\pa{x^2+y^2}e^{-x^2-y^2}=h(g(x,y)),$$
ove
$$h(t)=te^{-t},$$
e
$$g(x,y)=x^2+y^2.$$
\end{eseese}
Per trovare massimi e minimi basta studiare la $h$, quindi il problema \`e molto semplificato. Per critici in generale invece possono saltarne fuori grazie alla derivazione delle composte. In $0$ ha un minimo, quindi per:
$$x^2+y^2=0$$
si hanno minimi locali, e questo implica l\6origine. In un certo $t^\star$ abbiamo un massimo locale, quindi per
$$x^2+y^2=t^\star\sse(x,y)\in B_{t^\star}(0,0)$$
ci sono massimi locali. Quindi ha un grafico di questo tipo:\lfeed
\includegraphics[width=12cm]{Grafico3D.jpg}

\sect{Iniziamo un argomento molto tosto: gli integrali multipli}

\ssect{Un quanto di teoria}
\begin{defi}
Sia $D\in\R^2$ limitato. Diciamo che \`e \emph{semplice rispetto a $y$} se si pu\`o scrivere come:
$$D=\br{(x,y)\in\R^2:x\in[a,b],g_1(x)\leq y\leq g_2(x)\quad g_1,g_2\hbox{ funzioni continue}}.$$
\end{defi}
Invece:
\begin{defi}
$D\in\R^2$ limitato si dice \emph{semplice rispetto a $x$} se si pu\`o scrivere come:
$$D=\br{(x,y)\in\R^2:c\leq y\leq d,h_1(y)\leq x\leq h_2(y)}.$$
\end{defi}
Queste definizioni sono importanti pi\`u da un punto di vista pratico che teorico perché ci consentono di calcolare integrali multipli. Infatti si ha il seguente teorema:
\begin{teor}
Sia $f$ integrabile su $D$ semplice rispetto a $y$. Allora:
$$\uiint{D}f=\ouintext ab\pa{\ouintext{g_1(x)}{g_2(x)}f(x,y)dy}dx.$$
\end{teor}

\ssect{Esercizi}
\begin{eseese}
Si calcoli:
$$\uiint{D}\fr{1}{\pa{1+x+y}^2}dxdy,$$
con
$$D=\br{(x,y)\in\R^2:\abs{x}\leq1,-1\leq2(x+y)\leq2x^2}.$$
\end{eseese}
La principale difficolt\`a nell\6impostare integrali multipli \`e capire un po\6 com\6\`e fatto il dominio. Vediamo:
$$y\geq-\fr{1}{2}-x.$$
E inoltre:
$$y\leq x^2-x.$$
Quindi l\6immagine \`e questa:\lfeed
\includegraphics[width=11.9cm]{Regione_.jpg}\lfeed
Allora ci chiediamo se il denominatore di quella funzione si annulla. Vediamo per\`o che si annulla su
$$y=-1-x,$$
quindi solo fuori da $D$. Quindi su $D$ \`e continua, quindi integrabile, quindi uso le formule di riduzione:
$$\uiint{D}f=\ouintext{-1}{1}\pa{\ouintext{\dsi{-\fr{1}{2}-x\,\,\,\,\,\,}}{x^2-x}\fr{1}{\pa{1+x+y}^2}dy}dx.$$
Calcoliamo. Viene:
$$\ouintext{-1}{1}-\sq{\pa{1+x+y}^{-1}}_{\dsi{-\fr{1}{2}-x}}^{x^2-x}dx=\ouintext{-1}{1}-\sq{\pa{1+x+x^2-x}^{-1}-\pa{1+x-\fr{1}{2}-x}^{-1}}dx=$$
$$=\ouintext{-1}{1}-\fr{1}{1+x^2}+2dx=\sq{-\at x+2x}_{-1}^1=\fr{\pg}{4}-2-\pa{-\fr{\pg}{4}+2}=\fr{\pg}{2}-4.$$
\begin{eseese}
Calcolare, dopo aver invertito l\6ordine di integrazione, l\6integrale:
$$\ouintext{0}{1}y\pa{\ouintext{-\rad{1-y^2}\,\,\,\,}{y-1}\fr{e^x-1}{x}dx}dy.$$
\end{eseese}
Innanzitutto vediamo che la funzione sia integrabile. L\6unica discontinuit\`a \`e in $0$, ed \`e eliminabile. Vediamo il dominio. Per $x<0$ abbiamo:
$$-\rad{1-y^2}\leq x\leq y-1,\quad 0\leq y\leq1.$$
$$-x\leq\rad{1-y^2}\musb{\implies}{x<0\hbox{, quindi sono due cose positive}}x^2\leq1-y^2.$$
Per $x>0$ la cosa \`e sempre soddisfatta. Per\`o la $y$ non soddisfa mai la condizione $0\leq y\leq1$ poiché per soddisfare $x\leq y-1$ si ha necessariamente $y\geq1$. Quindi \`e questo:\slfeed
\includegraphics[width=12cm]{Regione2.jpg}\lfeed
Quindi l\6integrale \`e:
$$\uiint{D}y\fr{e^x-1}{x}dxdy,$$
con
$$D=\br{(x,y)\in\R^2:0\leq y\leq1\et-\rad{1-y^2}\leq x\leq y-1}.$$
Ora vogliamo scrivere $D$ come semplice rispetto all\6altro asse. Per la minorante \`e facile:
$$y\geq1+x.$$
Poi sappiamo, per $x<0$, che:
$$x^2+y^2\leq1\implies -\rad{1-x^2}\leq y\leq\rad{1-x^2}.$$
La prima parte della seconda catena \`e pi\`u debole della prima disequazione, quindi resta:
$$\begin{sistema}
y\geq1+x\\
y\leq\rad{1-x^2}
\end{sistema}.$$
Quindi l\6integrale diventa:
$$\ouintext{-1}{0}\pa{\ouintz{x+1\qquad}{\rad{1-x^2}}{ydy}{\quad}}\fr{e^x-1}{x}dx=\ouintext{-1}{0}\fr{y^2}{2}\eval{x+1}{\scb{0.7}[0.7]{$\rad{1-x^2}$}}\fr{e^x-1}{x}dx=\ouintext{-1}{0}\fr{1-x^2-\pa{1+x}^2}{2}\fr{e^x-1}{x}dx=$$
$$=\ouintext{-1}{0}\fr{-2x^2-2x}{2}\fr{e^x-1}{x}dx=\ouintext{-1}{0}\pa{-x-1}\pa{e^x-1}dx=\ouintext{-1}{0}\pa{-xe^x+x-e^x+1}dx.$$
Calcoliamo a parte:
$$\dint xe^xdx=xe^x-\dint e^x=xe^x-e^x.$$
Quindi rimane:
$$\sq{-xe^x+e^x+\fr{x^2}{2}-e^x+x}_{-1}^0=\sq{-xe^x+\fr{x^2}{2}+x}_{-1}^0=-e^{-1}-\fr{1}{2}+1=\fr{1}{2}-e^{-1}.$$
(Non $\fr{3}{2}$ perché non \`e $+\fr{1}{2}$ ma $-\fr{1}{2}$, dato che \`e $\fr{0^2}{2}-\fr{\pa{-1}^2}{2}=0-\fr{1}{2}$).
\par Pausa.
\begin{eseese}
Calcolare l\6area di:
$$D=\br{(x,y)\in\R^2:x^2\leq\abs{y}\leq \abs{x}}.$$
\end{eseese}
Gli integrali multipli si usano molto per calcolare volumi e aree:
$$\uiint{D}1dxdy=Area(D).$$\lfeed
\includegraphics[width=12cm]{Area.jpg}\lfeed
Devo avere:
$$x^2\leq\abs{x}.$$
Allora:
$$x^2\leq x\vel x\leq-x^2\implies x\pa{x-1}\leq0\vel x\pa{x+1}\leq0\implies0\leq x\leq 1\vel-1\leq x\leq0\implies$$
$$\implies x\in[-1,1].$$
Ho quattro pezzi, dovrei fare quattro integrali. Per\`o sono tutti uguali, quindi ne faccio uno e moltiplico per 4. Vedo la simmetria perché:
$$(x,y)\in D\implies (-x,y),(-x,-y),(x,-y)\in D.$$
Non dal disegno perché con quelli tripli il disegno non c'\`e. Quindi:
$$Area(D)=4\uiintns{D_1\,\,\,\,}1dxdy=4\ouintext01\pa{\ouintext{\,\,\,\,x^2}{x}1dy}dx=4\ouintext{0}{1}\pa{x-x^2}dx=4\sq{\fr{x^2}{2}-\fr{x^3}{3}}_0^1=$$
$$=4\pa{\fr{1}{2}-\fr{1}{3}}=\fr{2}{3}.$$
Adesso vediamo un esercizio un po\6 pi\`u difficile:
\begin{eseese}
Calcolare
$$\uiint{D}\fr{x}{1+y}dxdy,$$
con
$$D=\br{(x,y)\in\R^2:0\leq2y\leq x^2+y^2\leq9\et x\geq0}.$$
\end{eseese}
Com'\`e fatto? Innanzitutto siamo dentro $x^2+y^2=9$ perché deve essere $\leq$. Poi abbiamo:
$$x^2+y^2\geq 2y\implies x^2+y^2-2y\geq0\implies x^2+\pa{y-1}^2\geq1,$$
quindi fuori dal cerchio dell\6uguaglianza.\lfeed
\includegraphics[width=11.9cm]{Area2.jpg}\lfeed
Vediamo che:
$$y\in[0,2]\implies(x,y)\in D\sse x^2+y^2\geq2y\et x^2+y^2\leq9.$$
Dato che $x\geq0$ la prima disuguaglianza porta a:
$$x\geq\rad{2y-y^2}.$$
La seconda abbiamo:
$$x\leq\rad{9-y^2}.$$
Avrei anche la parte $-\rad{9-y^2}\leq x,$ ma tanto $x\geq0$. Invece:
$$y\in[0,3]\implies(x,y)\in D\sse0\leq x\leq\rad{9-y^2}.$$
([2,3]).  Chiamo allora:
$$D_1=\br{(x,y)\in\R^2:0\leq y\leq2\et\rad{2y-y^2}\leq x\leq\rad{9-y^2}},$$
$$D_2=\br{(x,y)\in D:2\leq y\leq3\et0\leq x\leq\rad{9-y^2}}.$$
Osserviamo che:
$$D=D_1\cup D_2,\quad\mis_2(D_2\cap D_1)=0.$$
Quindi calcoliamo separatamente e sommiamo.
$$\uiint{D}\fr{x}{1+y}dxdy=\uiintns{D_1\,\,\,\,}\fr{x}{1+y}dxdy+\uiintns{D_2\,\,\,\,}\fr{x}{1+y}dxdy=$$
$$=\ouintext{0}{2}\pa{\ouintext{\rad{2y-y^2}}{\rad{9-y^2}}\fr{x}{1+y}dx}dy+\ouintext{2}{3}\pa{\ouintext{0}{\rad{9-y^2}}\fr{x}{1+y}dx}dy.$$
Calcoliamo il primo doppio:
$$\ouintext{0}{2}\pa{\xouint{\rad{2y-y^2}}{\rad{9-y^2}}\fr{x}{1+y}dx}dy=\ouintext{0}{2}\fr{x^2}{2}\scb{0.5}[1]{$\fvb$}_{\rad{2y-y^2}}^{\rad{9-y^2}}\per\fr{1}{1+y}dy=\ouintext{0}{2}\fr{9-2y}{2+2y}dy=$$
$$=-y\eval{0}{2}+\ouintext{0}{1}\fr{11}{2y+2}dy=-2+\fr{11}{2}\log(y+1)\eval{0}{2}=-2+\fr{11}{2}\log3.$$
Il secondo invece:
$$\ouintext{2}{3}\pa{\ouintext{0}{\rad{9-y^2}}\fr{x}{1+y}dx}dy=\ouintext{2}{3}\fr{x^2}{2}\eval{0}{\rad{9-y^2}}\fr{1}{1+y}dy=\ouintext{2}{3}\fr{9-y^2}{2y+2}dy=$$
$$=-\fr{1}{2}\ouintext{2}{3}\fr{y^2-9}{y+1}dy=-\fr{1}{2}\ouintext{2}{3}\pa{y-1}dy+\fr{1}{2}\ouintext{2}{3}\fr{8}{y+1}dy=\sq{-\fr{y^2}{4}+\fr{y}{2}+4\log(y+1)}_2^3=$$
$$=-\fr{5}{4}+\fr{1}{2}+4\pa{\log4-\log3}=-\fr{3}{4}+4\log\fr{4}{3}.$$
Quindi l\6integrale di partenza \`e:
$$-\fr{11}{4}+4\log\fr{4}{3}+\fr{11}{2}\log3=-\fr{11}{4}+4\log4+\fr{3}{2}\log3.$$

\sect{Un quanto di teoria sugli integrali tripli}
\begin{defi}
$D\sbse\R^3$ limitato scrivibile come:
$$D=\br{(x,y,z)\in\R^3:(x,y)\in A\sbse\R^2\et\ag(x,y)\leq z\leq\bg(x,y)}$$
[si dice $z$-semplice.]
\end{defi}
\begin{teor}
Se $f$ \`e integrabile su $D$ allora:
$$\uiiint{D}f(x,y,z)dxdydz=\uiint{A}\pa{\ouintext{\ag(x,y)}{\bg(x,y)}f(x,y,z)dz}dxdy.$$
\end{teor}
Questa \`e l\6integrazione per fili. Invece l\6integrazione per strati ha come idea di fare prima un integrale doppio e tenermi per ultimo un integrale semplice.
\begin{teor}
Sia $E\sbse\R^3$ limitato. Sia $E\sbse\br{(x,y,z)\in\R^3:a\leq z\leq b}.$ Definiamo $E_h=\br{(x,y,z)\in E:z=h}.$ Con tutte queste cose:
$$\uiiint{D}f=\ouints{\scb{0.001}[0.1]{$\mat{c}\\\scb{1000}[10]{$a$}\emat$}}{b}\pa{\uiintns{E_h\,\,\,\,}f(x,y,z)dxdy}dz.$$
\end{teor}


\incle
\chapter{\lez{20/11/2013}}

\sect{Diffeomorfismi e formula di cambiamento di variabili negli integrali multipli}
Cos'\`e un cambiamento di variabili, \`e una trasformazione da $\R^n$ in $\R^n$. Considereremo dei cambiamenti di variabili che siano diffeomorfismi.
\begin{defi}
Dati due aperti $U$ e $V$ di $\R^n$, una funzione $\Fg:U\to V$ si dice \emph{diffeomorfismo} se \`e biunivoca, \`e differenziabile, e la sua funzione inversa \`e anch\6essa differenziabile.
\end{defi}
\begin{defi}
Un \emph{diffeomorfismo di classe $C^k$} \`e un diffeomorfismo $\Fg$ tale che sia $\Fg$ che la sua inversa $\Fg^{-1}$ siano di classe $C^k$.
\end{defi}
\begin{oss}
Se $\Fg$ \`e un diffeomorfismo $\Fg:U\to V$, in particolare \`e invertibile, quindi:
$$\Fg^{-1}\circ\Fg=Id_U,\quad\Fg\circ\Fg^{-1}=Id_V(\fnm[1])\fnt[1]{$Id_{...}$ \`e la funzione identit\`a su $...$.}.$$
Sono anche differenziabili, quindi per la regola della catena:
$$J_{\Fg^{-1}}(\Fg(u))\per J_{\Fg}(u)=u,\quad J_{\Fg}(\Fg^{-1}(v))\per J_{\Fg^{-1}}(v)=v(\fnm[2])\fnt[2]{$u$ e $v$ qui nascondono la matrice identit\`a, ossia equivalgono a $uI$ e $vI$ rispettivamente.}.\ic{footnote}{+2}$$
Quindi $J_\Fg$ \`e invertibile in ogni $u$, ossia:
$$\det J_\Fg(u)\neq0\quad\VA u.$$
\end{oss}
Questa \`e una condizione necessaria perché sia un diffeomorfismo, non \`e sufficiente ma lo \`e localmente: se $\det J_\Fg(u)\neq0$ allora $\fg$ \`e un diffeomorfismo in un intorno di $u$. \`E falso che lo sia per ogni $u$:
\begin{es}
$$\fg:\R^n\to\R^n,\quad(x,y)\mapsto(e^x\cos y,e^x\sin y).$$
\end{es}
Lo Jacobiano \`e:
$$J_\fg(x,y)=\pa{\mat{cc}e^x\cos y&-e^x\sin y\\e^x\sin y&e^x\cos y\emat}.$$
Il determinante \`e $e^x$. Quindi la condizione necessaria \`e verificata. \`E un diffeomorfismo? No. Infatti:
$$\fg(x,y+2\pg)=\fg(x,y)\quad\VA(x,y)\in\R^2,$$
quindi non \`e iniettiva, quindi non \`e invertibile.
\begin{teor}
\bemph{(del cambiamento di variabili)}\quad Siano $U,V\sbse\R^n$ aperti limitati e misurabili, e $\fg:U\to V$ un diffeomorfismo di classe $C^1$ la cui matrice Jacobiana sia limitata (ovvero tutte le componenti siano limitate). Se $f:V\to\R$ \`e una funzione integrabile secondo Riemann su $V$, allora $f\circ\fg\per\abs{\det J_\fg}$ \`e integrabile su $U$ e:
$$\uints{V}f(x)dx=\uints{U}f(\fg(y))\abs{\det J_\fg(y)}dy.$$
\end{teor}
Non dimostriamo questo teorema non perché sia particolarmente difficile ma perché \`e molto tecnico e neanche particolarmente istruttivo, ma cerchiamo di capire quanto meno cosa dice e perché compare quel termine.

\sect{Convinciamoci che funziona}

\ssect{Ritroviamo la formula in una variabile}
\begin{es}
$n=1$. Prendiamo $\fg:(a,b)\to(c,d)$ di classe $C^1$.
\end{es}
Essendo invertibile si ha che:
$$\fg^\1(x)\geq0\vel\fg^\1(x)\leq0\quad\VA x\in(a,b).$$
Chiedere che lo Jacobiano sia limitato equivale a chiedere che lo sia $f^\1$. Se $f$ \`e integrabile su $(c,d)$, allora il teorema dice che $f\circ\fg\per\abs{\fg^\1}$ \`e integrabile su $(a,b)$ e:
$$\ouintext{c}{d}f(x)dx=\ouintext{a}{b}f\circ\fg(y)\abs{\fg^\1(y)}dy.$$
Perché c'\`e questo modulo? Se \`e strettamente crescente
$$\fg(a)=c,\quad\fg(b)=d.$$
La formula diventa:
$$\ouintext{c}{d}f(x)dx=\ouintext{\fg^{-1}(c)\,\,}{\fg^{-1}(d)}f(\fg(y))\fg^\1(y)dy.$$
E questa la conosciamo. Se invece il segno \`e l\6altro, allora scriviamo:
$$\ouintext{c}{d}f(x)dx=\ouintext{\fg^{-1}(d)\,\,}{\fg^{-1}(c)}f\circ\fg(y)\pa{-\fg(y)}dy=\ouintext{\fg^{-1}(c)\,\,}{\fg^{-1}(d)}f(\fg(y))\fg^\1(y)dy.$$
Vediamo un altro esempio, molto semplice ma istruttivo, che forse riesce a convincervi che il termine correttivo in pi\`u variabili sia il determinante, e andiamo a prendere un caso molto semplice di una $\fg$ che sia lineare.

\ssect{Area del parallelogrammo come determinante: un esempio che ci convince ancora meglio}
\begin{es}
$$\fg:\R^2\to\R^2,\quad(x,y)\mapsto A(x,y)=\pa{\mat{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\emat}(x,y).$$
\end{es}
Chiamo
$$\vct{v}=\pa{\mat{c}a_{11}\\a_{21}\emat},\vct{w}=\pa{\mat{c}a_{12}\\a_{22}\emat}.$$
$\fg$ \`e un diffeomorfismo se e solo se $A$ \`e invertibile, ossia $\det A\neq0$, ossia $\vct{v},\vct{w}$ linearmente indipendenti. Consideriamo:
$$U=(0,1)\x(0,1).$$
Com'\`e fatto $\fg(U)$?
$$\fg(1,0)=\vct{v},\quad\fg(0,1)=\vct{w},\quad\fg(1,1)=\vct{v}+\vct{w}.$$
Quindi \`e un parallelogrammo, costruito su $\vct{v}$ e $\vct{w}$. Il teorema sopra dice, prendendo per esempio $f=1$, che:
$$\uints{V}1dx=\uints{U}1\abs{\det J_\fg}dx=\uints U\abs{\det A}dx.$$
Quindi:
$$\mis_2V=\abs{\det A}\mis_2U=\abs{\det A},$$
che conosciamo gi\`a come formula: l\6area del parallelogrammo \`e il determinante della matrice\fn{Ne dar\`o una motivazione sotto.}. Esempi di applicazioni.

\sect{Applicazioni: strumenti per il calcolo di integrali polivariati}

\ssect{Le coordinate polari piane}
\begin{es}
\bemph{Coordinate polari in $\R^2$}\quad Consideriamo
$$\Yg:(\rg,\qg)\mapsto(\rg\cos\qg,\rg\sin\qg).$$
Quindi:
$$\Yg:[0,+\8)\x[0,2\pg)\to\R^2.$$
\end{es}
\`E un diffeomorfismo? No. Intanto non \`e definita su un aperto, e poi non \`e iniettivo, perché per $\rg=0$ trovo sempre l\6origine. Cerchiamo di restringerla per ottenere un diffeomorfismo. Innanzitutto tolgo $0$ da entrambi gli insiemi, ossia restringo a:
$$(0,+\8)\x(0,2\pg).$$
Ottengo una funzione:
$$\Fg:(0,+\8)\x(0,2\pg)\to\R^2\ssm\Sg,$$
con $\Sg=\br{(x,y)\in\R^2:x\geq0\et y=0}$. Cos\`i $\Fg$ \`e un diffeomorfismo. Quindi se $V$ \`e un aperto limitato e misurabile tale per cui $\Fg^{-1}(V)$ lo sia a sua volta, allora se $f:V\to\R$ \`e integrabile, allora cosa succede, che innanzitutto \`e integrabile anche su $V\ssm\Sg$, quindi il teorema mi dice che:
$$\uints{V\ssm\Sg}f(x,y)dxdy=\uints{\Fg^{-1}(V\ssm\Sg)}f(\rg\cos\qg,\rg\sin\qg)\abs{\det J_\Fg(\rg,\qg)}d\rg d\qg.$$
Mi disturba che ci sia $V\ssm\Sg$? No, perché
$$V=(V\cap\Sg)\cup(V\ssm\Sg)\fnm[4]\fnt[4]{L\6unione \`e disgiunta, naturalmente.},\ic{footnote}{+1}$$
e $V\cap\Sg$ ha misura nulla, quindi l\6integrale vale:
$$\uints Vf=\uints{V\cap\Sg}f+\uints{V\ssm\Sg}f=0+\uints{V\ssm\Sg}f.$$
Infatti:
$$\uints{V\cap\Sg}f\leq\uints{V\cap\Sg}\abs{f}\leq\uints{V\cap\Sg}\dsup\abs{f}=\dsup\abs{f}\mis_2(V\cap\Sg)=0\fnm[5]\fnt[5]{Viene fatto uso estensivo della monotonia dell\6integrale, ove le relazioni tra le funzioni sono abbastanza ovvie. In realt\`a per concludere che \`e $0$ bisogna dire che \`e certamente non inferiore all\6opposto dell\6integrale del modulo, che con ragionamenti analoghi si dimostra essere nullo. Oppure basta mettere un modulo all\6integrale, che dovendo essere anche non negativo \`e costretto ad esser nullo e annulla anche il suo argomento.}.\ic{footnote}{+1}$$
Cosa possiamo dire invece del\6insieme $\Fg^{-1}(V\ssm\Sg)$?
$$\Fg^{-1}(V\ssm\Sg)=\Yg^{-1}(V)\ssm\br{(\rg,\qg):\rg=0\vel\qg=0},$$
che comunque ha misura nulla. Quindi ancora l\6integrale su $\Fg^{-1}(V\ssm\Sg)$ \`e uguale a quello su $\Yg^{-1}(V)$. Lo Jacobiano? Calcoliamolo:
$$J_\Fg(\rg,\qg)=\pa{\mat{cc}\cos\qg&-\rg\sin\qg\\\sin\qg&\rg\cos\qg\emat}.$$
Il determinante \`e $\rg$. In tutto otteniamo:
$$\uints{V}f(x,y)dxdy=\uints{\Yg^{-1}(V)}f(\rg\cos\qg,\rg\sin\qg)\rg d\rg d\qg.$$
Dopo la pausa vediamo anche un altro esempio.
\begin{ese}
Calcolare
$$\dlim_{R\to+\8}\uint{Q_R\,\,\,\,}e^{-x^2-y^2}dxdy,$$
con
$$Q_R=(0,R)\x(0,R).$$
\end{ese}
Usiamo le polari. Cominciamo a vedere, detta $\Yg:(\rg,\qg)\mapsto(\rg\cos\qg,\rg\sin\qg)$, com'\`e fatto $\Yg^{-1}(Q_R)$.
$$\Yg^{-1}(Q_R)=\br{(\rg,\qg):(\rg\cos\qg,\rg\sin\qg)\in Q_R}=\br{(\rg,\qg):\qg\in\pa{0,\fr{\pg}{2}}\et\rg\in\pa{0,\lbar{\rg}(\qg)}}.$$
Quanto vale $\lbar{\rg}(\qg)$? Se $\qg\in\pa{0,\fr{\pg}{4}}$, allora:
$$\lbar{\rg}(\qg)=\fr{R}{\cos\qg},$$
poiché un semplice disegno ci mostra chiaramente che deve essere:
$$\lbar{\rg}(\qg)\cos\qg=R.$$
Se invece $\qg\in\pa{\fr{\pg}{4},\fr{\pg}{2}}$, allora:
$$\lbar{\rg}(\qg)=\fr{R}{\sin\qg}.$$
Infatti \`e $\fr{R}{\cos\pa{\fr{\pg}{2}-\qg}}$ con argomenti simili a sopra. 
Il teorema allora mi dice che:
$$\uint{Q_R\,\,\,\,}e^{-x^2-y^2}dxdy=\uint{\Yg^{-1}(Q_R)\,\,\,\,}e^{-\rg^2}\rg d\rg d\qg.$$
Tale insieme \`e $\rg$-semplice, quindi riduco, e l\6integrale diventa:
$$\ouintefa{0}{\fr{\pg}{2}}\pa{\ouintext{0}{\lbar{\rg}(\qg)}e^{-\rg^2}\rg d\rg}d\qg=\ouintefa{0}{\fr{\pg}{2}}\sq{-\fr{1}{2}e^{-\rg^2}}_0^{\lbar{\rg}(\qg)}d\qg=\ouintefa{0}{\fr{\pg}{2}}\pa{\fr{1}{2}-e^{-\lbar{\rg}^2(\qg)}}d\qg=$$
$$=\fr{\pg}{4}-\fr{1}{2}\ouintefa{0}{\fr{\pg}{2}}e^{-\lbar{\rg}^2(\qg)}d\qg.$$
Siccome $\lbar{\rg}\geq R$, si ha che:
$$e^{-\lbar{\rg}^2(\qg)}\leq e^{-R^2}\quad\VA\qg\in\pa{0,\fr{\pg}{2}}.$$
Integrando, per la monotonia dell\6integrale, si ha che:
$$\ouintefa{0}{\fr{\pg}{2}}e^{-\lbar{\rg}^2(\qg)}d\qg\leq\ouintefa{0}{\fr{\pg}{2}}e^{-R^2}d\qg=\fr{\pg}{2}e^{-R^2}.$$
Per $R\to+\8$, quella cosa tende a $0$, quindi il limite richiesto \`e proprio $\fr{\pg}{4}$. Questo \`e molto interessante, perché:
$$\uint{Q_R\,\,\,\,}e^{-x^2-y^2}dxdy=\ouintext{0}{R}e^{-x^2}\pa{\ouintext{0}{R}e^{-y^2}dy}dx=\ouintext{0}{R}e^{-x^2}dx\per\ouintext{0}{R}e^{-y^2}dy=\pa{\ouintext{0}{R}e^{-x^2}dx}^2.$$
Questo non lo sappiamo calcolare, ma abbiamo trovato che vale $\fr{\pg}{4}$, quindi togliendo il quadrato otteniamo che:
$$\ouintext{0}{+\8}e^{-x^2}dx=\fr{\rad{\pg}}{2}.$$

\ssect{Coordinate cilindriche spaziali}
\begin{es}
\bemph{(coordinate cilindriche in $\R^3$)}\quad Consideriamo la $z$ e le polari di $(x,y)$, quindi:
$$\Yg:\R^3\to\R^3\quad(\rg,\qg,z)\mapsto(\rg\cos\qg,\rg\sin\qg,z).$$
\end{es}
Ancora la devo restringere a:
$$(0,+\8)\x(0,2\pg)\x\R,$$
quindi ha valori in:
$$\R^3\ssm\Sg\x\R=\br{(x,y,z):y=0\et x\geq0}.$$
Scriviamo lo Jacobiano:
$$J_\fg(\rg,\qg,z)=\pa{\mat{ccc}\cos\qg&-\rg\sin\qg&0\\\sin\qg&\rg\cos\qg&0\\0&0&1\emat},$$
con determinante ancora $\rg$. In definitiva otteniamo:
$$\uints Vf(x,y,z)dxdydz=\uint{\Yg^{-1}(V)}f(\rg\cos\qg,\rg\sin\qg,z)\rg d\rg d\qg dz.$$
Sotto le ipotesi che $V$ sia un aperto limitato misurabile di $\R^3$ e $f$ sia integrabile su $V$. Rimandiamo a domani mattina un esempio, un esercizio che usa le coordinate cilindriche, e vediamo invece l\6ultimo esempio, che \`e quello delle coordinate sferiche in $\R^3$.

\ssect{Coordinate sferiche (o polari) spaziali}
\begin{es}
\bemph{(coordinate sferiche in $\R^3$ o anche coordinate polari in $\R^3$)}\quad Le coordinate sono $\rg$, la distanza dall\6origine; $\fg$, l\6angolo che $OP$ (O origine P il punto) forma con l\6asse $z$, che \`e la latitudine; e $\qg$, l\6angolo che $P^\1$, la proiezione di $P$ su $xy$, quindi che $OP^\1$ forma con l\6asse $x$. Il risultato \`e:
$$\begin{sistema}
x=\rg\sin\fg\cos\qg\\
y=\rg\sin\fg\sin\qg\\
z=\rg\cos\fg
\end{sistema}.$$
Prenderemo $0\leq\fg\leq\pg$ e $0\leq\qg\leq2\pg$. Quindi:
$$\Yg:[0,+\8)\x[0,\pg)\x[0,2\pg)\to\R^3\quad(\rg,\fg,\qg)\mapsto(\rg\sin\fg\cos\qg,\rg\sin\fg\sin\qg,\rg\cos\fg).$$
\end{es}
Vale a dire:\lfeed
\includegraphics[width=12cm]{Sferiche.jpg}\lfeed
Per capire come trasformare gli integrali scriviamo la matrice Jacobiana di questa trasformazione:
$$J_\Fg(\rg,\fg,\qg)=\pa{\mat{ccc}\sin\fg\cos\qg&\rg\cos\fg\cos\qg&-\rg\sin\fg\sin\qg\\\sin\fg\sin\qg&\rg\cos\fg\sin\qg&\rg\sin\fg\cos\qg\\\cos\fg&-\rg\sin\fg&0\emat}.$$
Il determinante viene, sviluppando lungo la terza riga:
$$\cos\fg\pa{\rg^2\sin\fg\cos\fg\cos^2\qg+\rg^2\sin\fg\cos\fg\sin^2\qg}-$$
$$+\pa{-\rg\sin\fg\pa{\rg\sin^2\fg\cos^2\qg+\rg\sin^2\fg\sin^2\qg}}+0=$$
$$=\rg^2\sin\fg\cos^2\fg+\rg^2\sin\fg\pa{\sin^2\fg}=\rg^2\sin\fg.$$
Il modulo \`e sé stesso perché $\fg$ varia tra $0$ e $\pg$ quindi ha seno sempre positivo. Quindi:
$$\uints Vf(x,y,z)dxdydz=\uint{\Yg^{-1}(V)\,\,\,\,}f(\rg\sin\fg\cos\qg,\rg\sin\fg\sin\qg,\rg\cos\fg)\rg^2\sin\fg d\rg d\fg d\qg.$$


\incle
\chapter{\lez{21/11/2013}}

\sect{Gli esempi mancanti}
\begin{ese}
Calcolare il volume del toro ottenuto ruotando attorno all\6asse $z$ il cerchio sul piano $yz$ di centro $(0,R,0)$ e raggio $r<R$.
\end{ese}
Proviamo con le coordinate cilindriche, quindi proviamo a descriverlo con le coordinate cilindriche:
$$\Yg(\srg,\qg,z)=(\srg\cos\qg,\srg\sin\qg,z).$$
Chiamiamo $C_\qg$ il centro del disco ruotato di $\qg$. Quali sono le coordinate di $C_\qg$? Sono:
$$C_\qg=(R\cos\qg,R\sin\qg,0).$$
Un generico punto sul toro avr\`a coordinate $(\srg\cos\qg,\srg\sin\qg,z)$. Quindi che tipo di condizione bisogna imporre su $\srg,\qg,z$ perché stia sul toro? Deve stare a meno di $r$ da $C_\qg$:
$$P\in toro\sse dist(P,C_\qg)<r.$$
Quindi:
$$\pa{R-\rg}^2\cos^2\qg+\pa{R-\rg}^2\sin^2\qg+z^2<r^2\implies\pa{R-\rg}^2+z^2<r^2(\fnm[1])\fnt[1]{\`E la condizione di prima, che si traduce in
$$\pa{R\cos\qg-\rg\cos\qg}^2+\pa{R\sin\qg-\rg\sin\qg}^2+\pa{z-0}^2<r^2,$$
cio\`e questa.}.\ic{footnote}{+1}$$
Quindi
$$\Yg^{-1}(toro)=\br{(\rg,\qg,z):\pa{R-\rg}^2+z^2<r^2\et0<\qg<2\pg}.$$
Ora il volume \`e:
$$\uints{toro}1dxdydz=\uints{\Yg^{-1}(toro)}1\srg d\srg d\qg dz.$$
Integriamo per strati, perché a $\qg$ fissato $\srg,z$ stanno in uno strato descritto dal\6equazione sopra. Lo strato \`e una circonferenza di centro $(R,0)$ e raggio $r$. Quindi diventa:
$$\ouintext{0}{2\pg}\pa{\ouintext{B}{\diov}\srg d\srg dz}d\qg.$$
L\6integrale interno non dipende da $\qg$, quindi abbiamo:
$$2\pg\uints{B}\srg d\srg dz.$$
Quindi ci siamo ricondotti ad un integrale doppio. Un\6idea \`e calcolarlo colle coordinate polari centrandole nel centro del cerchio. Quindi consideriamo la distanza di un punto dal centro del disco e l\6angolo con l\6asse $\srg$. Le chiamiamo $t,\sag$. Quindi scriviamo:
$$\begin{sistema}
\rg=R+t\cos\sag\\
z=t\sin\sag
\end{sistema}\fnm[2]\fnt[2]{Attenzione che $\rg$ \`e parallelo al piano $xy$, quindi questa relazione \`e corretta. No perché qualcuno potrebbe concepire $\rg$ come la distanza del punto dell\6origine stile coordinate sferiche, falsificando la relazione mentalmente come me :).},\ic{footnote}{+1}$$
dove $d\in[0,2\spg)$ e $t\in[0,r)$. Lo Jacobiano \`e lo stesso delle polari, quindi il determinante \`e $t$. Allora l\6integrale diventa:
$$2\pg\ouintext{0}{2\pg}\pa{\ouintext{0}{r}\pa{R+t\cos\sag}tdt}d\sag=2\pg\ouintext{0}{2\pg}\pa{\fr{R}{2}r^2+\cos\sag\fr{r^3}{3}}d\sag=$$
$$=2\spg\fr{R}{2}r^2\per2\spg+\fr{1}{3}r^3\scb{0.02}[0.02]{$\mat{c}\scb{0}[25]{\whitea}\\\scb{50}[50]{\musb{\ubar{\xouint{0}{2\pg}\cos\sag d\sag}}{=0}}\emat$}=2\spg R\spg r^2.$$
\begin{ese}
Calcolare
$$\uints{V}\abs{x}dxdydz$$
con
$$V=\br{(x,y,z)\in\R^3:x^2+y^2+z^2\leq1\et z\geq\rad{x^2+y^2}}.$$
\end{ese}
La prima equazione ci dice che \`e contenuto in una sfera di raggio uno e centro l\6origine, la seconda che \`e sopra un cono di vertice l\6origine. La trasformazione delle coordinate polari \`e:
$$\begin{sistema}
x=\srg\sin\sfg\cos\qg\\
y=\srg\sin\sfg\cos\qg\\
z=\srg\cos\sfg
\end{sistema}.$$
La prima condizione si traduce in
$$0\leq\rg\leq1.$$
La seconda invece \`e una condizione su $\sfg$, e qual \`e? $\cos\sfg>\sin\sfg$, quindi:
$$\fg\leq\fr{\pg}{4}.$$
Quindi:
$$\uints{V}\abs{x}dxdydz=\uints{\Yg^{-1}(V)}\srg\sin\sfg\abs{\cos\qg}\srg^2\sin\sfg d\srg d\sfg d\qg.$$
Inoltre vediamo che:
$$\Yg^{-1}(V)=[0,1]\x\sq{0,\fr{\pg}{4}}\x[0,2\pg).$$
Siamo quindi su un rettangolo 3D, quindi usiamo la formula di riduzione:
$$\ouintext01\pa{\ouintefa0{\fr{\pg}{4}}\pa{\ouintext0{2\pg}\rg^3\sin\fg\abs{\cos\qg}d\qg}d\fg}d\rg.$$
La funzione \`e ``fattorizzata'', quindi rimane:
$$\pa{\ouintext01\rg^3d\rg}\pa{\ouintefa0{\fr{\pg}{4}}\sin^2\fg d\fg}\pa{\ouintext0{2\pg}\abs{\cos\qg}d\qg}=\fr{1}{4}\pa{\fr{1}{2}\fg-\fr{\sin2\fg}{4}}_0^{\dsi{\fr{\pg}{4}}}4\ouintefa0{\fr{\pg}{2}}\cos\qg d\qg=$$
$$=\fr{1}{4}\sq{\fr{\pg}{8}-\fr{1}{4}}4\per1.$$
OK. Direi che possiamo allora chiudere la parte degli integrali.

\sect{Equazioni differenziali ordinarie}
Passiamo all\6argomento successivo, che sono le Equazioni Differenziali Ordinarie.
\begin{defi}
Si dice \emph{Equazione Differenziale Ordinaria} un\6equazione del tipo
$$G(t,y(t),y^\1(t),\dots,y^{(n)}(t))=0,$$
dove $G$ \`e una funzione di $n+2$ variabili definita $G:\Wg\to\R$ con $\Wg\sbse\R^{n+2}$.
\end{defi}
\begin{defi}
Si dice \emph{Equazione Differenziale Ordinaria} di ordine $n$ perché contiene la derivata $n$-sima della funzione ma non coinvolge derivate di ordine superiori.
\end{defi}
Quando si parla di Equazioni Differenziali Ordinarie si intende dire che la funzione ha una sola variabile. Per distinguerla da equazioni differenziali in cui l\6incognita ha pi\`u variabili, che ovviamente coinvolger\`a le derivate parziale e infatti si chiamer\`a \emph{equazione alle derivate parziali}:
\begin{defi}
Un\6\emph{equazione differenziale alle derivate parziali} \`e un\6equazione differenziale in cui l\6incognita \`e $u(x_1,x_2,\dots,x_n)$ e coinvolge le derivate parziali.
\end{defi}
\begin{es}
Per esempio avete l\6equazione di Laplace, in cui l\6incognita \`e $u(x,y)$ e:
$$\fr{\pd^2u}{\pd x^2}+\fr{\pd^2u}{\pd y^2}=0.$$
\end{es}
\begin{es}
Oppure avete l\6equazione del calore, dove avete $u(t,x)$ ove $t$ ha significato di tempo e $x$ ha significato di coordinata, e vale:
$$\fr{\pd u}{\pd t}-\fr{\pd^2u}{\pd x^2}=0.$$
\end{es}
Allora cominciamo a dare un po\6 di terminologia, quindi a dare un po\6 di definizioni. Chiamiamo $\ast$ l\6equazione differenziale.
\begin{defi}
Se in $\ast$ la derivata di ordine massimo \`e esplicitata in termini delle altre, cio\`e se $\ast$ \`e della forma
$$y^{(n)}(t)=F(t,y(t),\dots,y^{(n-1)}(t)),$$
si dice che l\6equazione \`e \emph{in forma normale}.
\end{defi}
\begin{defi}
Se nell\6equazione differenziale $\ast$ la funzione $G$ \`e una funzione lineare negli argomenti $y,y^\1,\dots,y^{(n)}$, allora l\6equazione differenziale si dice \emph{lineare}.
\end{defi}
Che forma assume un\6equazione differenziale lineare? Sar\`a dunque un\6espressione del tipo:
$$a_n(t)y^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+\dots+a_1(t)y^\1(t)+a_0(t)y(t)=b(t).$$
\begin{defi}
Una \emph{soluzione (o integrale) di $\ast$} \`e una funzione $\fg:I\to\R$ con $I$ intervallo derivabile $n$ volte in $I$, tale che:
$$\VA t\in I\quad(t,\fg(t),\fg^\1(t),\dots,\fg^{(n)}(t))\in\Wg\et G(t,\fg(t),\dots,\fg^{(n)}(t))=0.$$
\end{defi}
\begin{defi}
Si dice \emph{integrale generale di $\ast$} l\6insieme di tutte le sue soluzioni.
\end{defi}
\begin{es}
$I=(a,b)$, $f\in C^0(a,b)$ fissata. Consideriamo:
$$y^\1(t)=f(t).$$
\end{es}
Questa \`e un\6equazione differenziale di ordine 1 in forma normale [e anche lineare]. E le sue soluzioni cosa sono? Sono tutte le primitive della $f$. Quindi in questo caso abbiamo che l\6integrale generale \`e l\6insieme di tutte le primitive di $f$ cio\`e \`e l\6insieme:
$$\br{g+c:c\in\R\et g(t)=\ouintext{t_0}{t}f(s)ds,t_0\in(a,b)}.$$
Direi che possiamo fare la pausa, s\`i facciamo la pausa e riprendiamo tra 5 minuti.

\sect{Equazioni a variabili separabili}
\begin{defi}
Si dice \emph{equazione differenziale a variabili separabili} un\6equazione differenziale del primo ordine del tipo:
$$y^\1(t)=f(t)g(y(t)),$$
con $f\in C^0(I),g\in C^0(J)$, $I,J$ intervailli reali.
\end{defi}
\begin{oss}
Se $y_0\in J$ per cui $g(y_0)=0$, allora la funzione $y(t)=y_0$\, $\VA t\in I$ \`e una soluzione dell\6equazione differenziale.
\end{oss}
La derivata di una costante \`e $0$, quindi a primo membro avete $0$, e a secondo membro avete $0$ per ipotesi.
\begin{defi}
Si parla in questo caso di \emph{soluzione stazionaria}.
\end{defi}
Se invece $g(y)$ non si annulla, allora posso riscrivere l\6equazione nella forma:
$$\fr{y^\1(t)}{g(y(t))}=g(t).$$
Sia $G^\1=\fr{1}{g}$ e $F^\1=f$, allora abbiamo:
$$\pa{G(y(t))}^\1=\pa{F(t)}^\1\implies G(y(t))=F(t)+c\quad c\in\R.$$
Se quindi posso invertire la $G$ trovo la soluzione $y$. Non \`e detto che io possa farlo. Procedimento formale: notazione di Leibniz.
$$\fr{dy}{dt}=f(t)g(y)\implies \fr{dy}{g(y)}=f(t)dt\implies \dint\fr{dy}{g(y)}=\dint f(t)dt\implies G(y(t))=F(t)+c.$$
Un procedimento che \`e motivato da quello che abbiamo questa cosa di sopra. Vediamo degli esempi.
\begin{es}
\bemph{(dinamica delle popolazioni)}\quad Modello di Malthus (Thomas). Chiamiamo $p(t)$ la funzione che descrive in funzione del tempo la grandezza di una certa popolazione. Supponiamo che il tasso di crescita sia costante, ovvero:
$$p^\1(t)=kp(t),\quad k=n-m,$$
ove $n$ \`e il tasso di natalit\`a e $m$ il tasso di mortalit\`a, che supponiamo entrambi costanti nel tempo. Supponiamo che $p(0)=p_0$.
\end{es}
Qui abbiamo $f(t)=k$ e $g(y)=y$. Soluzioni stazionarie: $y=0$. Quindi la funzione $p(t)=0$ \`e (l\6unica) soluzione stazionaria. Separiamo allora le variabili.
$$\fr{dp}{dt}=kp\implies \fr{dp}{p}=kdt\implies\dint\fr{dp}{p}=\dint kdt\implies\log\abs{p(t)}=kt+c.$$
Esplicitiamo:
$$\abs{p(t)}=e^ce^{kt}.$$
Cerchiamo soluzione positive per il significato di $p$, quindi:
$$p(t)=c^\1e^{kt}.$$
Noi per\`o vogliamo che $p(0)=p_0$, ossia:
$$p_0=c^\1.$$
Quindi la soluzione \`e:
$$p(t)=p_0e^{kt}.$$
Se poi $k=0$ abbiamo la funzione costante. Se $k>0$ ho un esponenziale crescente che esplode all\6infinito. Se $k<0$ trovo un esponenziale decrescente che tende a $0$.
\begin{es}
\bemph{(dinamica delle popolazioni 2)}\quad Modello logistico di Verhulst. Descritto da:
$$p^\1(t)=\pa{k-hp(t)}p(t),\quad k,h>0.$$
\end{es}
Correggo la $k$ con una quantit\`a proporzionale alla popolazione. \`E ragionevole perché se cresce la popolazione le risorse diminuiscono. Cerchiamo in particolare la soluzione per cui $p(0)=p_0$. Le soluzioni stazionarie sono:
$$p(t)=0,$$
$$p(t)=\fr{k}{h}.$$
Se $p$ \`e diverso da entrambe posso separare le variabili:
$$\fr{dp}{dt}=\pa{k-hp}p\implies \fr{dp}{\pa{k-hp}p}=dt\implies\dint\fr{dp}{\pa{k-hp}p}=\dint dt.$$
Ci serve quindi una primitiva di quella frazione, che \`e:
$$\fr{1}{k}\fr{1}{p\pa{1-\sag p}},$$
con $\sag=\fr{h}{k}$. Cerchiamo di scriverla come:
$$\fr{1}{p\pa{1-\sag p}}=\fr{A}{p}+\fr{B}{1-\sag p}=\fr{A+\pa{B-\sag A}p}{p\pa{1-\sag p}},$$
quindi:
$$A+\pa{B-\sag Ap}=1\implies\begin{sistema}A=1\\B=\sag A=\sag\end{sistema}.$$
Quindi:
$$\fr{1}{p\pa{1-\sag p}}=\fr{1}{p}+\fr{\ag}{1-\sag p}.$$
Quindi:
$$\fr{1}{k}\pa{\log\abs{p(t)}-\log\abs{1-\sag p(t)}}=t+c\quad c\in\R\implies\log\abs{\fr{p(t)}{1-\sag p(t)}}=kt+kc\implies$$
$$\implies\abs{\fr{p(t)}{1-\sag p(t)}}=e^{kt}e^{kc}\implies\fr{p(t)}{1-\sag p(t)}=\pm c^\1e^{kt}.$$
Ancora cerchiamo soluzioni positive, quindi:
$$p(t)=c^\1e^{kt}-\sag c^\1e^{kt}p(t)\implies\pa{1+\sag c^\1e^{kt}}p(t)=c^\1e^{kt}.$$
In definitiva:
$$p(t)=\fr{c^\1e^{kt}}{1+c^\1\sag e^{kt}}.$$
Se guardiamo la forma sopra e imponiamo la condizione iniziale abbiamo:
$$\fr{p_0}{1-\sag p_0}=c^\1\per1,$$
quindi:
$$p(t)=\fr{\fr{p_0}{1-\sag p_0}e^{kt}}{1+\fr{p_0\sag}{1-\sag p_0}e^{kt}}=\fr{p_0e^{kt}}{1-\sag p_0+\sag p_0e^{kt}}=\fr{p_0}{\pa{1-\sag p_0}e^{-kt}+\sag p_0}.$$
A $+\8$ il limite \`e $\fr{1}{\ag}=\fr{k}{h}$, quindi la popolazione tende ad assestarsi a quel valore, che \`e la soluzione costante. Questo se $k>0$. Se $k<0$ tende a $0^+$, mentre a $-\8$ tende a $\fr{k}{h}$, quindi sta in mezzo. Se scegliamo la soluzione negativa tender\`a a $0^-$ a $\sgn k\per(+\8)$, e esploder\`a dall\6altra parte.


\incee
\chapter{\eserc{22/11/2013}}

\sect{Richiamo}
\begin{teor}
Sia $D\sbse\R^N$ limitato, sia $T:D\to T(D)$ un diffeomorfismo. Supponiamo che $f$ sia integrabile in $T(D)$. Allora:
$$\uints{T(D)}f(x)dx=\uints{D}f(T(x))\abs{\det J_T(T^{-1}(x))}dx.$$
\end{teor}
In realt\`a basta che $T$ sia un diffeomorfismo
$$D\ssm\hbox{insieme a misura nulla}\to T(D)\ssm\hbox{insieme a misura nulla}.$$

\sect{Primo integrale}
\begin{eseese}
Si calcoli:
$$\uiiint D\pa{x^2+y^2+z^2}dxdydz$$
con
$$D=\br{(x,y,z)\in\R^3:x^2+z^2\leq1\et y^2+z^2\leq1}.$$
\end{eseese}
La prima equazione \`e un cilindro con asse di rotazione l\6asse $y$, l\6altra quello di asse di rotazione l\6asse $x$. \`E un insieme strano che non ha simmetrie particolari, quindi non sembra facile applicare uno dei cambiamenti di variabili che avete visto. Quindi proviamo a calcolarlo direttamente. Integrare prima in $z$ sarebbe complicato perché dovremmo confrontare le disuguaglianze. Allora riscriviamo l\6insieme come:
$$\begin{sistema}
-\rad{1-z^2}\leq x\leq\rad{1-z^2}\\
-\rad{1-z^2}\leq y\leq\rad{1-z^2}
\end{sistema}.$$
Allora dove variano le coordinate? Da entrambe vediamo che $z^2\leq1\sse-1\leq z\leq1$. \`E continua, la funzione, quindi possiamo applicare gli integrali iterati, e trasformare l\6integrale in:
$$\ouintext{-1}{1}\pa{\ouintext{-\rad{1-z^2}\,\,\,\,}{\rad{1-z^2}}\pa{\ouintext{-\rad{1-z^2}\,\,\,\,}{\rad{1-z^2}}\pa{x^2+y^2+z^2}dy}dx}dz=$$
$$=\ouintext{-1}1\pa{\ouintext{-\rad{1-z^2}\,\,\,\,}{\rad{1-z^2}}\sq{y\pa{x^2+z^2}}_{y=-\rad{1-z^2}}^{y=\rad{1-z^2}}+\sq{\fr{y^3}{3}}_{y=-\rad{1-z^2}}^{y=\rad{1-z^2}}dx}dz=$$
$$[=\ouintext{-1}{1}\pa{\ouintext{-\rad{1-z^2}\,\,\,\,}{\rad{1-z^2}}2\rad{1-z^2}\pa{x^2+y^2}+\fr{1-z^2}{3}2\rad{1-z^2}}=]$$
$$=\ouintext{-1}1\pa{\sq{\fr{2}{3}x^3\rad{1-z^2}}_{x=-\rad{1-z^2}}^{x=\rad{1-z^2}}+2z^2\rad{1-z^2}\sq{x}_{x=-\rad{1-z^2}}^{x=\rad{1-z^2}}+\fr{2}{3}\pa{1-z^2}^{\dsi{\fr{3}{2}}}\sq{x}_{x=-\rad{1-z^2}}^{x=\rad{1-z^2}}}dz=$$
$$=\ouintext{-1}1\pa{\fr{4}{3}\pa{1-z^2}^2+4z^2\pa{1-z^2}+\fr{4}{3}\pa{1-z^2}^2}dz=$$
$$=\ouintext{-1}1\pa{\fr{8}{3}+\fr{8}{3}z^4-\fr{16}{3}z^2+4z^2-4z^4}dz=\ouintext{-1}1\pa{\fr{8}{3}-\fr{4}{3}z^4-\fr{4}{3}z^2}dz=$$
$$=\fr{8}{3}\sq{z}_{-1}^1-\fr{4}{15}\sq{z^5}_{-1}^1-\fr{4}{9}\sq{z^3}_{-1}^1=\fr{16}{3}-\fr{8}{15}-\fr{8}{9}=\fr{240-24-40}{445}=\fr{176}{45}.$$

\sect{Un volume interessante}
\begin{eseese}
Si calcoli il baricentro [e il volume] di una calotta sferica riempita di materiale omogeneo. Siano $R$ il raggio della sfera e $r$ il raggio della calotta.
\end{eseese}
La calotta \`e:
$$S=\br{(x,y,z)\in\R^3:x^2+y^2+z^2\leq R^2\et z\geq\rad{R^2-r^2}}.$$
Il baricentro \`e definito come:
$$\lbar{x}=\fr{1}{\abs{S}}(\fnm[1])\fnt[1]{Qui, e ovunque in questa lezione, il ``modulo'\6 di un sottoinsieme di $\R^n$ indica la sua misura, ossia, se $D\sbse\R^n$,
$$\abs{D}=\mis_nD.$$}\uiiint Sxdxdydz,\ic{footnote}{+1}$$
$$\lbar{y}=\fr{1}{\abs{S}}\uiiint Sydxdydz,$$
e $z$ analogamente. Per $\lbar{x}$ va abbastanza bene, perché il dominio \`e simmetrico rispetto a $x$. Osservo che:
$$S=\pa{S\cap\br{x>0}}\cup\pa{S\cap\br{x<0}}.$$
L\6integrale totale sar\`a la somma degli integrali sui due che sono disgiunti, e ora voglio mostrare che sono uguali:
$$\uiiintns{S\cap\br{x>0}}xdxdydz=\uiiintns{S\cap\br{x<0}}xdxdydz.$$
Cambio di variabili:
$$\begin{sistema}
x=-X\\
y=Y\\
z=Z
\end{sistema}.$$
Il determinante dello Jacobiano \`e:
$$\det\pa{\mat{ccc}-1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\emat}=-1.$$
Vediamo qual \`e la controimmagine mediante questa trasformazione del primo insieme. Non \`e che il secondo. Cambiamo le variabili:
$$\uiiintns{S\cap\br{x>0}}xdxdydz=\uiiintns{S\cap\br{X<0}}-X\abs{-1}dXdYdZ=-\uiiintns{S\cap\br{x<0}}xdxdydz.$$
Questo ci dice subito che $\lbar{x}=0$, perché sommiamo due integrali opposti. Esattamente allo stesso modo, visto che $S$ \`e simmetrica anche a $y=0$ si ha che $\lbar{y}=0$. Sembra abbastanza ragionevole integrare per strati dato che gli strati sono cerchi. Quindi definiamo:
$$S_h=\br{(x,y)\in\R^2:x^2+y^2\leq R^2-h^2},$$
dove $h$ \`e una coordinata $z$. Questo \`e il cerchio, lo strato. Noi vogliamo scrivere l\6integrale come:
$$\dint z\uiintns{S_h\,\,\,\,\,}dxdydz.$$
Dobbiamo capire dove varia $z$. Sicuramente abbiamo $z^2\leq R^2\sse-R\leq z\leq R$. Inoltre $\rad{R^2-r^2}\leq z$, quindi:
$$\rad{R^2-r^2}\leq z\leq R.$$
Quindi trasformiamo l\6integrale in:
$$\xouint{\rad{R^2-r^2}}{\low{R}}z\pa{\uiintns{S_z\,\,\,\,\,}dxdy}dz.$$
L\6integrale doppio \`e semplicemente l\6area di $S_z$, che \`e un cerchio di raggio $\rad{R^2-z^2}$, quindi l\6area \`e:
$$A_{S_z}=\pg\pa{R^2-z^2}.$$
Quindi l\6integrale diventa:
$$\xouint{\rad{R^2-r^2}}{\low{R}}z\spg\pa{R^2-z^2}dz=\fr{\pg}{2}R^2z^2\eval{\rad{R^2-r^2}}R-\fr{\pg}{4}z^4\eval{\rad{R^2-r^2}}R=\fr{\pg}{2}R^4-$$
$$+\fr{\pg}{2}R^2\pa{R^2-r^2}-\fr{\pg}{4}R^4+\fr{\pg}{4}\pa{R^2-r^2}^2=\fr{\pg}{2}R^2r^2-\fr{\pg}{4}\pa{-r^4+2R^2r^2}=\fr{\pg}{4}r^4.$$
Ora calcoliamo il volume della calotta, ancora per strati.
$$\abs{S}=\xouint{\rad{R^2-r^2}}{\low{R}}\pa{\uiintns{S_z\,\,\,\,\,\,}dxdy}dz=\xouint{\rad{R^2-r^2}}{\low{R}}\pa{\pg\pa{R^2-z^2}}dz=$$
$$=\pg R^2\pa{R-\rad{R^2-r^2}}-\fr{\pg}{3}z^3\eval{\rad{R^2-r^2}}R=\pg R^2\pa{R-\rad{R^2-r^2}}-\fr{\pg}{3}R^3+$$
$$+\fr{\pg}{3}\pa{R^2-r^2}\rad{R^2-r^2}=\fr{2}{3}\pg R^3-\fr{2}{3}R^2\rad{R^2-r^2}-\fr{\pg}{3}r^2\rad{R^2-r^2}.$$
Facciamo 5 minuti di pausa.

\sect{Avanti il prossimo!}
\begin{eseese}
Calcolare prima per strati poi passando a coordinate cilindriche il volume di
$$D=\br{(x,y,z)\in\R^3:\pa{1-\rad{x^2+y^2}}^2\leq1-4z^2}.$$
\end{eseese}
Il fatto che $x$ e $y$ vanno insieme suggerisce di tenere $z$ fuori. Troviamo dove varia $z$. A primo membro abbiamo una quantit\`a non negativa, quindi:
$$1-4z^2\geq0\implies z^2\leq\fr{1}{4}\implies-\fr{1}{2}\leq z\leq\fr{1}{2}.$$
A questo punto lo strato:
$$D_h=\br{(x,y)\in\R^2:\pa{1-\rad{x^2+y^2}}^2\leq1-4h^2}.$$
Per la formula di riduzione il volume vale:
$$\abs{D}=\uiiint{D}dxdydz=\ouinteff{-\fr{1}{2}}{\fr{1}{2}}\pa{\uiintns{D_z\,\,\,\,\,}dxdy}dz.$$
Ragioniamo su $D_z$. Notiamo che c\6\`e $\rad{x^2+y^2}$, quindi \`e ragionevole passare alle coordinate polari. Il determinante dello Jacobiano \`e $\rg$. Ridefiniamo $D_z$:
$$D_z=\br{(\rg,\qg):\pa{1-\rg}^2\leq1-4z^2}.$$
Abbiamo studiato $z$ per rendere positivo il lato destro, quindi possiamo passare alle radici, ottenendo:
$$-\rad{1-4z^2}\leq1-\rg\leq\rad{1-4z^2}.$$
Dalla disequazione vediamo:
$$1-\rad{1-4z^2}\leq\rg\leq1+\rad{1-4z^2}.$$
Quindi in polari:
$$E_z=\br{(\rg,\qg)\in(0,+\8)\x[0,2\pg):1-\rad{1-4z^2}\leq\rg\leq1+\rad{1-4z^2}}.$$
Quindi l\6integrale interno diventa:
$$\uiintns{E_z\,\,\,\,\,\,}\rg d\rg d\qg=\ouintext0{2\pg}d\qg\ouintz{1-\rad{1-4z^2}\quad}{1+\rad{1-4z^2}\quad}{\,\,\,\,\rg d\rg}{\,\,\,\,\per\,\,\,\,}=2\pg\fr{\rg^2}{2}\eval{1-\rad{1-4z^2}}{1+\rad{1-4z^2}}=$$
$$=\pg\pa{1+1-4z^2+2\rad{1-4z^2}-1-1+4z^2+2\rad{1-4z^2}}=4\pg\rad{1-4z^2}.$$
L\6integrale totale quindi rimane:
$$\xouint{-1}{1}4\pg\rad{1-4z^2}dz.$$
Ora sostituiamo:
$$2z=\sin t\implies2dz=\cos tdt\implies dz=\fr{1}{2}\cos tdt.$$
L\6integrale rimane:
$$\ouinteff{-\fr{\pg}{2}}{\fr{\pg}{2}}2\pg\abs{\cos t}\cos tdt=2\pg\ouinteff{-\fr{\pg}{2}}{\fr{\pg}{2}}\cos^2tdt=2\pg\sq{\fr{t+\sin t\cos t}{2}}_{\dsi{-\fr{\pg}{2}}}^{\dsi{\fr{\pg}{2}}}=\pg^2.$$
Ora usiamo le cilindriche:
$$\begin{sistema}
x=\rg\cos\qg\\
y=\rg\sin\qg\\
z=z
\end{sistema}.$$
Il determinante Jacobiano \`e $\rg$ in valore assoluto. [Ricordiamo che $D$ era definito da:
$$\pa{1-\rad{x^2+y^2}}^2\leq1-4z^2.$$
In coordinate cilindriche la cosa si traduce in:
$$\pa{1-\rg}^2\leq1-4z^2\implies 4z^2\leq1-\pa{1-\rg}^2\implies$$
$$\implies]-\fr{1}{2}\rad{1-\pa{1-\rg}^2}\leq z\leq\fr{1}{2}\rad{1-\pa{1-\rg^2}}.$$
La radice deve essere definita, quindi:
$$1-\pa{1-\rg}^2\geq0\implies\pa{1-\rg}^2\leq1\implies\rg^2-2\rg\leq0\implies\rg\in\pa{0,2}.$$
$\qg$ non ha limiti. Il volume allora \`e:
$$Vol(D)=\ouintext{0}{2}\pa{\xouint{\dsi{-\fr{1}{2}\rad{1-\pa{1-\rg}^2}}}{\dsi{\fr{1}{2}\rad{1-\pa{1-\rg}^2}}}\pa{\ouintext0{2\pg}\rg d\qg}dz}d\rg=2\pg\ouintext02\rg z\eval{\scb{0.5}[0.5]{$z=-\fr{1}{2}\rad{1-\pa{1-\rg}^2}$}}{\scb{0.5}[0.5]{$z=\fr{1}{2}\rad{1-\pa{1-\rg}^2}$}}=$$
$$=2\pg\ouintext02\rg\rad{1-\pa{1-\rg}^2}d\rg.$$
Sostituiamo:
$$1-\rg=\sin t\implies-d\rg=\cos tdt\implies d\rg=-\cos tdt.$$
Quindi:
$$2\pg\ouinteff{\fr{\pg}{2}}{-\fr{\pg}{2}}-\cos t\pa{1-\sin t}\abs{\cos t}dt=2\pg\ouinteff{-\fr{\pg}{2}}{\fr{\pg}{2}}\cos^2t\pa{1-\sin t}dt=$$
$$=2\pg\ouinteff{-\fr{\pg}{2}}{\fr{\pg}{2}}\cos^2tdt-2\pg\ouinteff{-\fr{\pg}{2}}{\fr{\pg}{2}}\cos^2t\sin tdt(\fnm[2])\fnt[2]{Integrale di una funzione dispari su un dominio simmetrico.}=\pg^2-0.$$

\sect{Esercizio di commiato}
\begin{eseese}
Calcolare
$$\uints{D}e^{\dsi{\fr{x-y}{x+y}}}dxdy$$
con
$$D=\br{(x,y)\in\R^2:x\geq0,y\geq0,x+y\leq2}.$$
\end{eseese}
Siamo nel I quadrante. \`E un triangolo.\lfeed
\whitea\hsp{1cm}\includegraphics[width=10cm]{Regionexy.jpg}\lfeed
 La funzione \`e abbastanza complicata, quindi usiamo un cambio di variabili, non uno di quelli classici ma uno lineare:
$$\begin{sistema}
u=x-y\\
v=x+y
\end{sistema}.$$
Troviamo la trasformazione inversa e poi costruiamo lo Jacobiano.
$$\begin{sistema}
u+v=2x\\
v-u=2y
\end{sistema}\implies
\begin{sistema}
x=\fr{u+v}{2}\\
y=\fr{v-u}{2}
\end{sistema}.$$
Verifichiamo che sia invertibile: calcoliamo il determinante dello Jacobiano.
$$\det J=\det\pa{\mat{cc}\fr{1}{2}&\fr{1}{2}\\\\-\fr{1}{2}&\fr{1}{2}\emat}=\fr{1}{2}\neq0.$$
Ridefiniamo quindi $D$:
$$\begin{sistema}
u+v\geq0\\
v-u\geq0\\
v\leq2
\end{sistema}.$$
La regione in queste coordinate diventa:\lfeed
\includegraphics[width=12cm]{Regioneuv.jpg}\lfeed
Scegliamo di integrare prima in $u$. Sappiamo che:
$$-v\leq u\leq v.$$
Inoltre $v\in[0,2]$. Quindi l\6integrale rimane:
$$\fr{1}{2}\ouintext{0}{2}\pa{\ouintext{-v}{v}e^{\dsi{\fr{u}{v}}}du}dv=\fr{1}{2}\ouintext02ve^{\dsi{\fr{u}{v}}}dv.$$

\sect{Un secondo che finiamo quello integrale}
Innanzitutto nell\6ultimo integrale $ve^{\dsi{\fr{u}{v}}}$ era valutata tra $v$ e $-v$, dando:
$$\fr12\ouintext02v\pa{e-\fr{1}{e}}dv=\fr{e-\fr{1}{e}}{4}v^2\eval{0}{2}=e-\fr{1}{e}.$$


\incee
\chapter{\eserc{25/11/2013}}

\sect{Parentesi sui massimi e minimi: senza differenziabilit\`a}
\begin{eseese}
Trovare, se esistono, massimi e minimi, locali e assoluti, di
$$f(x,y)=\rad{\abs{x}+\abs{y}}.$$
\end{eseese}
\`E continua in tutto $\R^2$ ma non \`e composizione di funzioni differenziabili, quindi non sappiamo dire se sia differenziabile. Si vede abbastanza facilmente che non lo \`e nei punti degli assi perché non \`e nemmeno derivabile. In $(0,0)$ trovo $\pm\8$. In $(0,y_0)$, per esempio con $y_0>0$, consideriamo:
$$\dlim_{x\to0}\fr{f(x,y_0)-f(0,y_0)}{x}=\dlim_{x\to0}\fr{\rad{\abs{x}+y_0}-\rad{y_0}}{x}=\dlim_{x\to0}\rad{y_0}\fr{\rad{1+\fr{\abs{x}}{y_0}}-1}{x}\musb{=}{\~}$$
$$=\dlim_{x\to0}\rad{y_0}\fr{1+\fr{1}{2}\fr{\abs{x}}{y_0}-1}{x}=\nex.$$
Scriviamo le derivate parziali fuori da l\`i:
$$f_x(x,y)=\fr{1}{2\rad{\abs{x}+\abs{y}}}\sgn x,\quad f_y(x,y)=\fr{1}{2\rad{\abs{x}+\abs{y}}}\sgn y.$$
Non hanno zeri perché sono segni divisi per cose positive dove i segni sono entrambi non nulli. Qui \`e facile verificare che almeno uno tra massimo e minimo esiste, e in particolare esiste il minimo, perché:
$$\dlim_{\norm{(x,y)}\to+\8}f(x,y)=+\8.$$
Infatti passando a coordinate polari la funzione diventa:
$$\rad{\rg}\rad{\abs{\cos\qg}+\abs{\sin\qg}},$$
dove la seconda radice \`e sempre non inferiore a una costante positiva, perché sono funzioni continue e non negative quindi hanno un minimo non negativo in $[0,2\pg]$ e non possono annullarsi simultaneamente quindi il minimo \`e strettamente positivo. Quindi la cosa non minora
$$\srg\per c\quad c>0,$$
e $\srg$ va a infinito, quindi vale quel limite, quindi per il teorema dimostrato precedentemente esiste il minimo. Il massimo globale non pu\`o esistere perché la funzione \`e illimitata superiormente per il limite appena visto. Non ci sono punti critici, quindi il minimo deve essere raggiunto in un punto di non differenziabilit\`a. Chiamiamolo $(x_{min},y_{min})$. Ho quindi che:
$$x_{min}=0\vel y_{min}=0,$$
non esclusivo. $f$ \`e sempre non negativa e nell\6origine si annulla, quindi il minimo globale \`e l\6origine, naturalmente. Non resta che studiare gli altri punti di non differenziabilit\`a. Cominciamo da $x_0>0$: $(x_0,0)$ pu\`o essere un punto di minimo o di massimo (locale)? Studiamo l\6incremento della funzione nell\6intorno di $(x_0,0)$, cio\`e:
$$f(x,y)-f(x_0,0):$$
\`e vero che ha un segno in un intorno di $(x_0,0)$? Perché se \`e sempre positivo allora \`e un minimo, se \`e sempre negativo \`e un massimo. \`E abbastanza facile vedere che non ha un segno:
$$f(x,y)-f(x_0,0)\not\lessgtr0.$$
Infatti:
$$f(x,0)-f(x_0,0)=\rad{\abs{x}}-\rad{\abs{x_0}}=\sistbis{<0}{0<x<x_0}{>0}{x>x_0}.$$
Allo stesso modo per tutti gli altri punti. Qui abbiamo calcolato la derivata parziale rispetto ad $y$ sull\6asse $x$, o viceversa\fn{Non \`e vero, perché qui variava $x$ ed eravamo sull\6asse $x$. Avremmo dovuto fare $f(x_0,y)-f(x_0,0)$ per fare la derivata rispetto ad $y$ sull\6asse $x$, e $f(x,y_0)-f(0,y_0)$ per fare il contrario.}.

\sect{Ancora qualche cambio di variabili: riscriviamo il teorema in una forma a volte pi\`u comoda}
\begin{teor}
Sia $D\sbse\R^2$ aperto misurabile, $T:D\to T(D)$, data da:
$$\begin{sistema}
x=\fg(u,v)\\
y=\yg(u,v)
\end{sistema}.$$
Sia $T\in C^1(D)$, con derivate parziali limitate, sia $T$ invertibile tra $D$ e $T(D)$, e sia $\fr{\pd(\fg,\yg)}{\pd(u,v)}=\det J_T\neq0$ in $D$. Supponiamo che $f$ sia integrabile in $D$. Allora:
$$\uiint{T(D)}f(x,y)dxdy=\uiint Df(\fg(u,v),\yg(u,v))\abs{\fr{\pd(\fg,\yg)}{\pd(u,v)}}dudv.$$
\end{teor}
Spesso si hanno dei cambi di variabile che non si riescono ad invertire esplicitamente, e riscrivere la formula cos\`i serve per quello.

\sect{Esempi}
Vediamo qualche esempio.
\begin{eseese}
Calcolare
$$\uiint D\fr{x^2}{y}e^{xy}dxdy,$$
con
$$D=\br{(x,y)[\in\R^2]:\fr{1}{2x}\leq y\leq\fr{1}{x}\et2x^2\leq y\leq3x^2}.$$
\end{eseese}
\includegraphics[width=12cm]{RegioneStrana.png}\lfeed
Il cambio di variabile ci viene suggerito sia dal dominio di integrazione sia dalle funzioni. Cercare di ridurlo \`e da matti perché \`e tra 4 curve diverse viene complicatissimo, bisogna spezzarlo in tre sottointegrali non semplici da calcolare. Quindi proviamo a sostituire:
$$\begin{sistema}
u=\fr{x^2}{y}\\
v=xy
\end{sistema}.$$
Cosa diventa il dominio?
$$E=\br{(u,v):\fr{1}{2}\leq v\leq1\et\fr{1}{3}\leq\fr{x^2}{y}=u\leq\fr{1}{2}}.$$
A questo punto dobbiamo verificare se \`e lecito, e qui viene la parte un po\6 pi\`u difficile. Chiamiamo:
$$\jg(x,y)=\fr{x^2}{y},\quad\hg(x,y)=xy.$$
Quindi ho la corrispondenza:
$$(x,y)\mapsto(\jg(x,y),\hg(x,y)).$$
\`E vero che \`e invertibile? \`E sicuramente suriettiva nella sua immagine, perché stiamo considerando proprio solo la sua immagine. Dobbiamo verificare che \`e iniettiva. Prendiamo $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in D$. Supponiamo che
$$\jg(x_1,y_1)=\jg(x_2,y_2)\et\hg(x_1,y_1)=\hg(x_2,y_2).$$
\`E vero che queste due relazioni implicano $(x_1,y_1)=(x_2,y_2)$? Abbiamo che:
$$\fr{x_1^2}{y_1}=\fr{x_2^2}{y_2}\et x_1y_1=x_2y_2.$$
In $D$ abbiamo tutto positivo, quindi possiamo dividere, e nella seconda abbiamo:
$$y_1=\fr{x_2y_2}{x_1}.$$
Sostituiamo ottenendo:
$$x_1^2\fr{x_1}{x_2y_2}=\fr{x_2^2}{y_2}.$$
$y_2$ lo mando via, ottengo:
$$x_1^3=x_2^3\sse x_1=x_2.$$
Sostituisco sopra:
$$y_1=\fr{x_1y_2}{x_1}=y_2.$$
Questo \`e quanto. Il teorema per\`o chiede l\6inversa. Come facciamo? Sono nei guai e devo fare le tre integrazioni successive... no. Ricordo una cosa di Analisi uno: la derivata della funzione inversa:
$$\pa{f^{-1}}^\1(t)=\fr{1}{f^\1(s)}\eval{s=f^{-1}(t)}{}.$$
Per le funzioni di pi\`u variabili esiste un risultato analogo che voi studierete molto pi\`u avanti ma cominciamo ad enunciarlo, il teorema di invertibilit\`a locale.
\begin{teor}
$$J_{\Fg^{-1}}(u,v)=\sq{J_{\Fg}(x,y)}^{-1}\eval{(x,y)=\Fg^{-1}(u,v)}{}.$$
\end{teor}
Chiamiamo
$$\Fg(x,y)=(\jg(x,y),\hg(x,y)).$$
Allora abbiamo:
$$J_\Fg(x,y)=\pa{\mat{cc}\fr{2x}{y}&-\fr{x^2}{y^2}\\y&x\emat}.$$
$$\det J_\Fg(x,y)=\fr{2x^2}{y}+\fr{x^2}{y}=\fr{3x^2}{y}.$$
Nel nostro dominio $D$ sia $x$ che $y$ sono maggiori di $0$, quindi questa cosa \`e sempre diversa da $0$. Quindi:
$$\det J_{\Fg^{-1}}(u,v)=\fr{1}{\det J_\Fg(x,y)\eval{(x,y)=\Fg^{-1}(u,v)}{}}=\fr{1}{3u}\neq0.$$
Finalmente possiamo applicare la formula del cambio di variabili. Quindi l\6integrale diventa:
$$\uiint Eue^v\fr{1}{3u}dudv=\uiint E\fr{1}{3}e^vdudv=\fr{1}{3}\ouinteff{\fr{1}{3}}{\fr{1}{2}}\pa{\ouintefb{\fr{1}{2}}1e^vdv}du=\fr{1}{3}\pa{e-\rad{e}}\fr{1}{6}=\fr{1}{18}\pa{e-\rad{e}}.$$
Facciamo 5m di pausa.
\begin{eseese}
Calcolare
$$\uiiint D\rad{x^2+y^2+z^2}dxdydz$$
con
$$D=\br{(x,y,z):x^2+y^2+z^2\leq1\et z^2-x^2-y^2\leq0}.$$
\end{eseese}
La prima disuguaglianza \`e la parte interna della sfera di centro l\6origine e raggio 1. La seconda la riscriviamo:
$$-\rad{x^2+y^2}\leq z\leq\rad{x^2+y^2},$$
quindi sta tra le superfici dei due coni.\lfeed
\includegraphics[width=12cm]{TraConi.jpg}\lfeed
Questo \`e uno dei pochi casi in cui \`e abbastanza ragionevole usare le coordinate sferiche:
$$\begin{sistema}
x=\srg\cos\qg\sin\sfg\\
y=\srg\sin\qg\sin\sfg\\
z=\srg\cos\sfg
\end{sistema},$$
con $\srg>0$, $\qg\in[0,2\pg)$, $\fg\in[0,\pg]$. Il determinante Jacobiano \`e $\srg^2\sin\sfg$. La prima disequazione non \`e che:
$$\rg^2\leq1\implies0\leq\rg\leq1.$$
La seconda:
$$\srg^2\cos^2\sfg\leq\srg^2\sin^2\sfg\pa{\cos^2\qg+\sin^2\qg}=\srg^2\sin^2\sfg.$$
$\srg>0$, quindi posso dividere:
$$\cos^2\sfg\leq\sin^2\sfg\implies\fr{\pg}{4}\leq\fg\leq\fr{3}{4}\pg.$$
(per $\sfg\in[0,\spg]$, altrimenti avrei il simmetrico sotto). Il dominio diventa:
$$E=\br{(\rg,\qg,\fg)\in\R^+\x[0,2\pg]\x[0,\pg]:0\leq\rg\leq1,\fr{\pg}{4}\leq\fg\leq\fr{3}{4}\fg,\qg\in[0,2\pg]}.$$
L\6integrale:
$$\uiiint E\srg^3\sin\sfg d\srg d\qg d\sfg=2\spg\ouintext{0}{1}\pa{\srg^3\ouinteff{\fr{\pg}{4}}{\fr{3}{4}\pg}\sin\sfg d\sfg}d\srg=2\spg\ouintext{0}{1}\srg^3d\srg\,\,\,\,\per\ouinteff{\fr{\pg}{4}}{\fr{3}{4}\pg}\sin\sfg d\sfg=$$
$$=2\pg\fr{\rg^4}{4}\eval{0}{1}\per\sq{-\cos\sfg}\eval{\dsi{\fr{\pg}{4}}}{\dsi{\fr{3}{4}\pg}}=\fr{\pg}{2}\rad{2}.$$
\begin{eseese}
L\6integrale triplo
$$\uiiint Sf(x,y,z)dxdydz$$
si riduce, integrando per fili rispetto a $z$, a
$$\uiint T\pa{\ouintz{\rad{x^2+y^2}\quad\,\,\,\,}{\,\,2-x^2-y^2}{f(x,}{\quad\,\,\,\,}\,y,z)dz}dxdy,\quad T=\br{x^2+y^2}\leq1.$$
Impostare il calcolo per strati rispetto a $z$. Trasformare l\6integrale in coordinate cilindriche.
\end{eseese}
[Da come \`e scritto l\6integrale in $z$] deduciamo:
$$\rad{x^2+y^2}\leq z\leq2-x^2-y^2.$$
E poi:
$$x^2+y^2\leq1.$$
Deve stare sopra ad un cono, sotto ad un paraboloide con vertice in $(0,0,2)$ e concavit\`a verso il basso. Ora ci chiediamo: in che curva si intersecano? Scriviamo:
$$\rad{x^2+y^2}=2-\pa{x^2+y^2},$$
che ha un\6incognita sola: $x^2+y^2$. Chiamiamola $\srg^2$. L\6equazione diventa:
$$\rg=2-\rg^2\implies\rg^2+\rg-2=0\implies\rg_\pm=\fr{-1\pm\rad{1+8}}{2}=\fr{-1\pm3}{2}=$$
$$=-2\,\,N.A.\vel1.$$
Quindi la curva di intersezione \`e:
$$x^2+y^2=1\et z=1.$$
\includegraphics[width=12cm]{ConoParaboloide.jpg}\lfeed
Ora dobbiamo definire
$$S_h=\br{(x,y)\in\R^2:(x,y,h)\in S}.$$
Questa cosa per $h\in[0,1]$ \`e:
$$\br{(x,y)\in\R^2:\rad{x^2+y^2}\leq h\implies x^2+y^2\leq h^2}=S_h^1.$$
Invece per $h\in[1,2]$ \`e:
$$\br{(x,y)\in\R^2:x^2+y^2\leq2-h}=S_h^2.$$
L\6integrale diventa:
$$\ouintext{0}{1}\pa{\uiint{S_h^1}f(x,y,h)dxdy}dh+\ouintext{1}{2}\pa{\uiint{S_h^2}f(x,y,h)dxdy}dh.$$
In coordinate cilindriche ho:
$$\begin{sistema}
x=\srg\cos\qg\\
y=\srg\sin\qg\\
z=z
\end{sistema}.$$
Le disequazioni diventano:
$$\srg\leq z\leq2-\rg^2\et\rg^2\leq1.$$
Sono gi\`a date in forma pulita, la seconda diventa:
$$0\leq\rg\leq1.$$
Quindi l\6integrale diventa:
$$\ouintext{0}{2\pg}\pa{\ouintext{0}{1}\pa{\ouintext{\rg}{2-\rg^2}f(\srg\cos\qg,\srg\sin\qg,z)\srg dz}d\srg}d\qg.$$
(Quel $\rg$ in pi\`u \`e il determinante Jacobiano).
\begin{eseese}
Calcolare
$$\uiiint Dx\pa{y+z}dxdydz$$
dove $D$ \`e il tetraedro di vertici $(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)$.
\end{eseese}
Riusciamo a definire a parole il dominio ma potrebbe non essere semplice ricavarsi le disequazioni. \`E fatto come intersezione di semispazi, quindi calcoliamo le equazioni degli iperpiani. Un iperpiano in $\R^3$ ha come equazione:
$$ax+by+cz=d.$$
Cerchiamo gli iperpiani passanti per tre punti. Cominciamo dai primi 3. Sostituiamo il primo e troviamo:
$$d=0.$$
Poi il secondo:
$$c=d.$$
Il terzo:
$$b=d.$$
Quindi l\6iperpiano \`e:
$$ax=0\implies x=0.$$
D\6altronde \`e abbastanza evidente che tre degli iperpiani sono gli iperpiani coordinati, verificatelo se volete. Ora l\6ultimo. Deve passare per $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$. Sostituiamo:
$$\begin{sistema}
a=d\\
b=d\\
c=d
\end{sistema},$$
quindi viene:
$$dx+dy+dz=d\implies x+y+z=1.$$
Quali sono le disuguaglianze? Siccome $(1,0,0)$ sta nel terzo iperpiano, avremo
$$x\geq0.$$
Allo stesso modo:
$$y,z\geq0.$$
Poi l\6ultimo semispazio deve contenere l\6origine, e dunque:
$$x+y+z\leq1.$$
A questo punto \`e abbastanza facile fare l\6integrazione. E chiudiamo qua.\lfeed
\whitea\hsp{1.5cm}\includegraphics[width=9cm]{Tetraedro.jpg}


\incle
\chapter{\lez{27/11/2013}}

\sect{Problemi di Cauchy}
Abbiamo sempre trovato un insieme di soluzioni che dipendeva da un parametro. Per avere un problema che sia ben posto, cio\`e che ci sia esistenza ed unicit\`a quello che si fa \`e accoppiare all\6equazione una condizione iniziale. Questa cosa si chiama Problema di Cauchy.
\begin{defi}
Siano $\Wg\sbse\R^2$ aperto, $f\in C^0(\Wg)$, $(t_0,y_0)\in\Wg$, $a,b\in\R:a<t_0<b$. Una funzione $y\in C^1(a,b)$ tale che il suo grafico $\Graf y=\br{(t,y(t)):t\in(a,b)}\sbse\Wg$ e
$$\begin{sistema}
(E)\,\,y^\1(t)=f(t,y(t))\quad\VA\in(a,b)\\
(I)\,\,y(t_0)=t_0
\end{sistema}$$
si dice \emph{soluzione del problema di Cauchy nell\6intervallo $(a,b)$ associato all\6equazione differenziale (E) e alla condizione iniziale (I)}.
\end{defi}
Supponiamo di avere un sistema di $n$ equazioni differenziali del primo ordine in forma normale in $n$ incognite, quindi:
$$\begin{sistema}
y_1^\1(t)=f_1(t,y_1(t),y_2(t),\dots,y_n(t))\\
y_2^\1(t)=f_2(t,y_1(t),y_2(t),\dots,y_n(t))\\
\vdots\\
y_n^\1(t)=f_n(t,y_1(t),y_2(t),\dots,y_n(t))
\end{sistema}.$$
Supponiamo anche $f_i\in C^0(\Wg)$ con $\Wg\sbse\R^{n+1}$ aperto. Gli associamo:
$$\begin{sistema}
y_1(t_0)=y_1^0\\
y_2(t_0)=y_2^0\\
\vdots\\
y_n(t_0)=y_n^0\\
\end{sistema}.$$
Colla notazione vettoriale possiamo introdurre un modo pi\`u conciso di scriverlo. Definiamo $Y:(a,b)\to\R^n$ la funzione le cui componenti siano le $y_i$, ovvero:
$$Y(t)=(y_1(t),y_2(t),\dots,y_n(t)).$$
Inoltre definiamo $F:\Wg\to\R^n$ per cui:
$$F(t,Y)=(f_1(t,Y),f_2(t,Y),\dots,f_n(t,Y)).$$
Il sistema si riscrive come:
$$(EV)\,\,Y^\1(t)=F(t,Y),$$
dove $Y^\1(t)$ ha per componenti le $y_i^\1$. La condizione iniziale invece si scrive come:
$$(IV)\,\,Y(t_0)=Y_0=(y_1^0,y_2^0,\dots,y_n^0.$$
\begin{defi}
Siano $\Wg\sbse\R^{n+1}$ aperto, $F\in C^0(\Wg,\R^n)$, $t_0\in\R,y_0\in\R^n$ tali che $(t_0,y_0\in\Wg)$ e $a,b\in\R:a<t_0<b$. Una funzione vettoriale $Y\in C^1((a,b),\R^n)$ tale che $\Graf Y=\br{(t,Y(t)):t\in(a,b)}\sbse\Wg$ e che verifica anche $(EV)$ $\VA t\in(a,b)$ e $(IV)$ si dice \emph{soluzione del problema di Cauchy associato a $(EV)$ ed $(IV)$}.
\end{defi}
Per studiare il Teorema di Esistenza ed Unicit\`a \`e pi\`u comodo usare una formulazione equivalente del Problema di Cauchy, che \`e un\6equazione integrale.
\begin{lemma}
Siano $\Wg\sbse\R^{n+1}$ aperto, $F\in C^0(\Wg,\R^n)$, $t_0\in\R,y_0\in\R^n$ tali che $(t_0,y_0)\in\Wg$ e $a,b\in\R:t_0\in(a,b)$. Allora una funzione $Y\in C^1((a,b),\R^n)$ \`e soluzione del problema di Cauchy
$$\begin{sistema}
Y^\1(t)=F(t,Y(t))\\
Y(t_0)=Y_0
\end{sistema}$$
se e solo se $Y\in C^0((a,b),\R^n)$ e
$$Y(t)=Y_0+\ouintext{t_0}{t}F(s,Y(s))ds,$$
equazione detta \emph{Equazione Integrale di Volterra}.
\end{lemma}
Perché questo abbia senso devo definire quell\6integrale:
\begin{defi}
Se $Z:[c,d]\to\R^n$ con $Z=(Z_1,Z_2,\dots,Z_n)$ allora definisco:
$$\ouintext{c}{d}Z(t)dt=\pa{\ouintext{c}{d}Z_1(t)dt,\ouintext{c}{d}Z_2(t)dt,\dots,\ouintext{c}{d}Z_n(t)dt}.$$
\end{defi}
(Usa le lettere maiuscole per i vettori.)
\par Dim.
\par Supponiamo che $Y\in C^1((a,b),\R^n)$ sia soluzione del sistema. Devo dimostrare che \`e $C^0$ (ma questo \`e gratis, funzione $C^1$ \`e anche $C^0$) e che soddisfa l\6equazione integrale. Calcoliamo allora l\6integrale:
$$\ouintext{t_0}{t}F(s,Y(s))ds=\ouintext{t_0}{t}Y^\1(s)ds=Y(t)-Y(t_0)=Y(t)-Y_0,$$
dove il primo passaggio \`e perché $Y$ \`e soluzione del sistema, il secondo per il TFCI, e il terzo perché soddisfa anche la condizione iniziale.
\par Supponiamo allora che $Y\in C^0((a,b),\Wg)$ sia tale che
$$Y(t)=Y_0+\ouintext{t_0}{t}F(s,Y(s))ds\quad\VA s\in(a,b).$$
$Y$ \`e continua, composta con $F$ che \`e continua rimane continua, quindi la funzione integrale $Y$ \`e derivabile ed ha per derivata $F$:
$$Y^\1(t)=0+F(s,Y(s)),$$
ed ecco che soddisfa il sistema differenziale. Il tutto per il TFCI. Questo vi dice anche che $Y^\1$ \`e continua, quindi $Y$ \`e $C^1$. Riscriviamo l\6equazione integrale ponendo $t=t_0$:
$$Y(t_0)=Y_0+\ouintext{t_0}{t_0}F(s,Y(s))ds=Y_0+0.$$
\begin{teor}
\bemph{(di Peano o di esistenza ``in piccolo'')}\quad Siano $\Wg\sbse\R^{n+1}$ aperto, $F\in C^1(\Wg,\R^n)$, $t_0\in\R,Y_0\in\R^n$ tali che $(t_0,Y_0)\in\Wg$. Allora $\3a,b\in\R:a<t_0<b$ ed esiste almeno una soluzione del problema di Cauchy 
$$\begin{sistema}
Y^\1(t)=F(t,Y(t))\\
Y(t_0)=Y_0
\end{sistema}$$
in $(a,b).$
\end{teor}
Per dimostrare il Teorema di Peano servirebbero degli strumenti un pochino raffinati che voi non avete, quindi vi d\`o solo un cenno di come si dimostra ma non dimostriamo il teorema. Fissato l\6intervallo $[t_0,t_0+\dg]$ (in $[t_0-\dg,t_0]$ si ragiona in modo analogo), dato $n\in\N$ definisco:
$$t_k=t_0+k\fr{\dg}{n},\quad k=0,1,\dots,n.$$
Vado allora a definire $Y_n$ in questo modo. Diciamo in questo momento stiamo pensando che $n$ sia fissato, \`e il $k$ che varia. Definisco $Y_n$ induttivamente come:
$$\begin{sistema}
Y(t_0)=Y_0\\
Y_n(t)=Y_n(t_k)+\pa{t-t_k}F(t_k,Y_n(t_k)\quad\VA t\in[t_k,t_{k+1}]
\end{sistema}.$$
Quindi quello che ottenete \`e una funzione affine a tratti e continua. Queste funzioni vengono spesso chiamate \emph{funzioni di Eulero}, e si dimostra che se $\dg$ \`e sufficientemente piccolo convergono uniformemente ad una soluzione. Quello che manca sono gli strumenti per dimostrare che questa successione converge uniformemente, serve il Teorema di Ascoli-Arzel\`a. Quando lo incontrerete potrete completare.
\par Facciamo la pausa adesso e poi torniamo a riflettere sul fatto che il Teorema di Peano mi d\`a almeno una soluzione, non l\6unicit\`a, e vedremo un esempio ....
\begin{es}
Consideriamo il problema di Cauchy:
$$\begin{sistema}
y^\1(t)=\rad{\pa{y(t)}^+}\\
y(0)=0
\end{sistema},$$
ove
$$\pa{y(t)}^+=\sistbis{y(t)}{y(t)>0}{0}{y(t)<0}.$$
\end{es}
Vediamo che $F\in C^0(\R^2),$ con $F(t,y)=\rad{\pa{y(t)}^+}$. Osserviamo che se $y$ \`e soluzione allora $y^\1(t)\geq0$ perché radice quadrata di qualcosa $\geq0$. Quindi ogni soluzione $y$ \`e non decrescente. Quindi se $t\leq0$, $y(t)\leq y(0)$, ma $y(0)$, se $y$ \`e soluzione del problema di Cauchy, \`e $0$. Ma allora la sua derivata $y^\1(t)=0\quad\VA t\leq0.$ Quindi sono tutte costanti, valgono $0$ in $0$, quindi sono costantemente $0$ da $0$ in gi\`u. Se $t>0$ avremo $y(t)\geq y(0)=0$. Quindi la sua derivata $y^\1(t)=\rad{y(t)}$. Quindi per $t>0$ riscriviamo l\6equazione come:
$$y^\1(t)=\rad{y(t)}.$$
Questa \`e a variabili separabili. La soluzione stazionaria \`e $0$. Fuori da l\`i separo le variabili:
$$\fr{dy}{dt}=\rad{y}\implies\fr{dy}{\rad{y}}=dt\implies\dint\fr{dy}{\rad{y}}=\dint dt\implies2\rad{y}=t+k\implies y=\fr{1}{4}t^2\hbox{ \`e soluzione.}$$
Quindi la funzione:
$$y(t)=\sistbis{0}{t\leq0}{\fr{1}{4}t^2}{t\geq0}$$
risolve il Problema di Cauchy, mentre un\6altra soluzione \`e quella stazionaria identicamente nulla. O anche quella:
$$y_\ag(t)=\sistbis{0}{t\leq\ag}{\fr{1}{4}\pa{t-\ag}^2}{t\geq0}.$$
\includegraphics[width=12cm]{Pennello.png}\lfeed
Il grafico di queste soluzioni si chiama spesso \emph{pennello di Peano}, mentre il fenomeno di questa molteplicit\`a si chiama \emph{[fenomeno di Peano]}. Quali ipotesi allora dobbiamo aggiungere per garantire l\6unicit\`a? Ci serviranno condizioni di tipo Lipschitzianit\`a.
\begin{defi}
Si dice che $f:\Wg\to\R^n$ con $\Wg\sbse\R^{n+1}=\br{(t,y_1,\dots,y_n)}$ \`e \emph{Lipschitziana in $\Wg$ rispetto alla variabile $Y=(y_1,\dots,y_n)$ uniformemente in $t$} se
$$\3L>0:\norm{F(t,Y)-F(t,Z)}\leq L\norm{Y-Z}\quad\VA(t,Y),(t,Z)\in\Wg,$$
ove $\norm{\per}$ \`e la norma euclidea.
\end{defi}
\begin{defi}
Con $F,\Wg$ come sopra $F$ si dice \emph{localmente Lipschitziana in $\Wg$ rispetto alla variabile $Y$ uniformemente in $t$} se
$$\VA(t_0,Y_0)\in\Wg\quad\3\s{U}\hbox{ intorno di }(t_0,Y_0)\hbox{ in }\Wg:F\eval{\s{U}}{}\hbox{ sia Lipschitziana in }\s{U},$$
in $\s{U}$ rispetto ad $Y$ uniformemente in $t$.
\end{defi}
\begin{oss}
Se $F=\pa{f_1,f_2,\dots,f_n}$ (ossia se $f_i=\pg_i\circ F$) \`e facile verificare che $F$ \`e Lipschitziana (risp. localmente Lipschitziana) $\sse$ lo sono tutte le $f_i$.
\end{oss}
\begin{propo}
Se $F=\pa{f_1,f_2,\dots,f_n}\in C^0(\Wg,\R^n)$ con $\Wg\sbse\R^{n+1}=\br{\pa{t,y_1,\dots,y_n}}$ aperto e le derivate parziali di tutte le $f_i$ rispetto alle $y_j$ ($\fr{\pd f_i}{\pd y_j}$) esistono e sono continue in $\Wg$, allora $F$ \`e localmente Lipschitziana in $\Wg$ rispetto a $Y$ uniformemente in $t$.
\end{propo}
Dim.
\par Fisso $(t_0,Y_0)\in\Wg$ e cerco un intorno di questo punto tale che in questo intorno la funzione sia Lipschitziana in $Y$. So che $\3r>0:\lbar{B}((t_0,Y_0),r)\sbse\Wg$ perché $\Wg$ \`e aperto. Prendiamola come intorno: $\s{U}=\lbar{B}((t_0,Y_0),r)$. Cerchiamo di dimostrare che $F\eval{\s{U}}{}$ \`e Lipschitziana rispetto ad $Y$. Per ipotesi le $f_i$ ristrette ad $\s{U}$ sono $C^1$, quindi scrivo la formula di Taylor di ordine con resto di Lagrange per $G_i=f_i\eval{\s{U}}{}$:
$$G_i(Y)-G_i(Z)=\pa{\grad G_i(\jg),Y-Z}\quad \jg\in\sq{Y,Z}\hbox{ segmento}.$$
A questo punto:
$$\norm{f_i(t,Y)-f_i(t,Z)}\leq\dsup_{\lbar{B}((t_0,Y_0),r)}\norm{\pa{\fr{\pd f_i}{\pd x_1},\dots,\fr{\pd f_i}{\pd x_n}}}\per\norm{Y-Z}(\fnm[1])\fnt[1]{In mezzo si passa dal prodotto delle norme per il coseno dell\6angolo compreso, che \`e minore di uno quindi si pu\`o eliminare, e poi si arriva al sup di una norma.}.\ic{footnote}{+1}$$
Quel sup \`e fissato perché le derivate sono continue e valutiamo sul compatto che \`e la palla chiusa. Quindi non supera una costante che dipende solo dalla palla. Quindi tutte le $f_i$ sono Lipschitziane in $\s{U}$, e quindi anche $F$ lo \`e rispetto ad $Y$ e uniformemente in $t$.

\sect{Passo indietro: Contrazioni}
Per dimostrare il teorema su cui si basa la dimostrazione del Teorema di Esistenza e Unicit\`a che \`e il Teorema delle Contrazioni, apriamo una parentesi e facciamo un passo indietro alla teoria degli Spazi Metrici Astratti.
\begin{defi}
Sia $(X,d)$ uno spazio metrico. Una funzione $F:X\to X$ si dice \emph{contrazione} se
$$\3L\in(0,1):d(f(x),f(y))\leq Ld(x,y)\quad\VA x,y\in X(\fnm[2])\fnt[2]{Abbiamo praticamente davanti la definizione di lipschitzianit\`a generalizzata agli spazi metrici, quindi la funzione \`e lipschitziana, e quindi \`e continua.}.\ic{footnote}{+1}$$
\end{defi}
\begin{oss}
Osservazione immediata: se $F$ \`e una contrazione, allora $F$ \`e continua.
\end{oss}
\begin{teor}
\bemph{(delle Contrazioni o di Banach-Cacioppoli)}\quad Se $(X,d)$ \`e uno spazio metrico completo e $F:X\to X$ \`e una contrazione, allora
$$\3!\lbar{x}\in X:f(\lbar{x})=\lbar{x}.$$
\end{teor}
\begin{defi}
Questo elemento $\lbar{x}$ si dice \emph{punto fisso} o \emph{punto unito} di $F$.
\end{defi}
La dimostrazione \`e abbastanza semplice per\`o non abbiamo tempo quindi la vediamo la volta scorsa. Facciamo un paio di riflessioni sull\6importanza delle ipotesi, su come le ipotesi del Teorema siano irrinunciabili per avere la condizione.
\begin{oss}
L\6ipotesi che $L<1$ \`e cruciale per concludere.
\end{oss}
\begin{es}
$X=\R$ coll\6usuale metrica, $F(x)=x+1$, questa non \`e una contrazione, per\`o soddisfa una disuguaglianza del tipo di quella sopra, ma con $L=1$.
\end{es}
Questa funzione non ha punti fissi. Infatti eventuali punti fissi dovrebbero soddisfare:
$$\lbar{x}=\lbar{x}+1\implies0=1,$$
impossibile.
\begin{oss}
L\6ipotesi di completezza \`e altrettanto cruciale.
\end{oss}
\begin{es}
$X=(0,1)$ coll\6usuale distanza euclidea non \`e completo. $f(x)=\fr{1}{2}x$ \`e una contrazione, per esempio con $L=\fr{1}{2}$.
\end{es}
Questa non ha punti fissi in $X$, perché l\6unica soluzione di
$$\fr{1}{2}x=x$$
sarebbe $0\nin X$. Quindi \`e una contrazione di $X$ senza punti fissi in $X$ perché viene a mancare la completezza. Venerd\`i vediamo la dimostrazione e le applicazioni nello studio del Problema di Cauchy.

\sect{Un paio di piccole dimostrazioni}
\begin{esecasa}
Dimostrare che, data $F:\R^{n+1}\to\R^n$ per cui $F(t,Y)=(f_1(t,Y),\dots,f_n(t,Y))$, la lipschitzianit\`a di $F$ equivale a quella di tutte le $f_i$.
\end{esecasa}
Supponiamo dapprima la lipschitzianit\`a della $F$:
$$\norm{F(t,Y)-F(t,Z)}\leq L\norm{Y-Z}\quad\VA(t,Y),(t,Z)\in\Wg,$$
dove $\Wg$ \`e l\6aperto di $\R^{n+1}$ dove \`e definita $F$. Esplicitiamo quella norma euclidea:
$$\rad{\dsum_{i=1}^n\pa{f_i(t,Y)-f_i(t,Z)}^2}\leq L\rad{\dsum_{i=1}^n\pa{Y_i-Z_i}^2}.$$
Elevando al quadrato ci troviamo una somma di quadrati a sinistra e un\6altra a destra. \`E chiaro che ogni quadrato a sinistra non supera la somma a destra, ovvero:
$$\pa{f_i(t,Y)-f_i(t,Z)}^2\leq L^2\dsum_{i=1}^n\pa{Y_i-Z_i}^2,$$
che equivale a:
$$\abs{f_i(t,Y)-f_i(t,Z)}\leq L\rad{\dsum_{i=1}^n\pa{Y_i-Z_i}^2},$$
che osservando che la norma in $\R$ \`e il modulo \`e proprio la lipschitzianit\`a di $f_i$, e vale per ogni $i$, C.V.D.. Supponiamo ora invece che siano lipschitziane tutte le $f_i$. Stimiamo allora la norma a sinistra nella definizione di lipschitzianit\`a di $F$:
$$\norm{f(t,Y)-f(t,Z)}=\rad{\dsum_{i=1}^n\pa{f_i(t,Y)-f_i(t,Z)}^2}\leq\rad{\dsum_{i=1}^n\pa{Y_i-Z_i}^2}=$$
$$=L\rad{\dsum_{i=1}^n\pa{Y_i-Z_i}^2}=L\norm{Y-Z},$$
C.V.D..
\begin{esecasa}
Dimostrare che, con $F$ come sopra, se $F$ \`e lipschitziana allora $F$ \`e continua.
\end{esecasa}
La definizione di continuit\`a \`e:
$$\VA\eg>0\quad\3\dg>0:\norm{(t,Y)-(t,Z)}\leq\dg\implies\norm{F(t,Y)-F(t,Z)}\leq\eg.$$
Noi per ipotesi abbiamo la lipschitzianit\`a:
$$\norm{F(t,Y)-F(t,Z)}\leq L\norm{(t,Y)-(t,Z)},$$
espressa rispetto a tutto l\6argomento altrimenti potrebbe non bastare, ma tanto mi serviva per dimostrare una cosa sulle contrazioni. Preso $\dg=\fr{\eg}{L}$, ho la tesi.


\incee
\chapter{\eserc{28/11/2013}}

\sect{Riprendiamo da prima}
Eravamo rimasti con da calcolare:
$$\uiiint Dx\pa{y+z}dxdydz,$$
con $D$ il tetraedro di vertici $(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)$. Avevamo trovato le equazioni degli iperpiani che delimitano il tetraedro:
$$x=0,\quad y=0,\quad z=0,\quad x+y+z.$$
Bisogna capire i semispazi giusti da prendere. Un iperpiano passa per tre vertici, il quarto deve stare nel semispazio giusto. Quindi le equazioni sono:
$$\begin{sistema}
x\geq0\\
y\geq0\\
z\geq0\\
x+y+z\leq1
\end{sistema}.$$
In definitiva:
$$D=\br{(x,y,z)\in\R^3:x,y,z\geq0,x+y+z\leq1}.$$
Qui \`e un esercizio abbastanza semplice, si integra per $0\leq z\leq1-x-y$ e poi per $x,y\geq0,1-x-y\geq0$, ve lo lascio cos\`i vediamo ancora un paio di esercizi pi\`u complicati.

\sect{Il Teorema di Guldino}
\begin{teor}
Supponiamo di avere $E\sbse\R^2$ misurabile. Supponiamo $E\sbs\hbox{ piano }xz$ e che se $(x,z)\in E$ allora $x>0$. Chiamiamo le coordinate $(\rg,z)$ per un motivo che sar\`a chiaro subito.\lfeed
\includegraphics[width=12cm]{Guldino1.jpg}\lfeed
Facciamo ruotare $E$ intorno all\6asse $z$ per un angolo $0\leq\lbar{\qg}\leq2\pg$. Chiamiamo $D$ il solido ottenuto da questa rotazione. Abbiamo allora:
$$Vl(D)=\lbar{\qg}\per Area(E)\lbar{\rg}_E,$$
dove $\lbar{\rg}_E$ \`e la coordinata del baricentro di $E$, ovvero:
$$\lbar{\rg}_E=\fr{1}{Area(E)}\uiint E\rg d\rg dz.$$
\end{teor}
Immaginiamo di proiettare il solido su $xy$.\lfeed
\includegraphics[width=12cm]{Guldino2.jpg}\lfeed
Il dominio $E$ \`e un segmento. Faccio ruotare un punto, descrivo un arco di circonferenza. Possiamo riscrivere $D$ come:
$$D=\br{(x,y,z)\in\R^3:x=\srg\cos\qg,y=\srg\sin\qg,z=z,(\srg,z)\in E,\qg\in[0,\lbar{\qg}]}.$$
Scriviamo il volume:
$$Vol(D)=\uiiint Ddxdydz=\ouintext{0}{\lbar{\qg}}d\qg\per\uiint E\srg d\srg dz=\lbar{\qg}\uiint E\srg d\srg dz.$$
A questo punto non resta che moltiplicare e dividere per l\6area di $E$\fn{Infatti la coordinata del baricentro \`e
$$\lbar{\rg}_E=\fr{1}{\abs{E}}\uiint E\srg d\srg dz.$$}.

\sect{Un integrale}
\begin{eseese}
Calcolare
$$\uiiint D\fr{z}{1+3x^2-y^2}dxdydz,$$
con
$$D=\br{(x,y,z)\in\R^3:3x^2+y^2<\pa{z-2}^2,0<z<1}.$$
\end{eseese}
La disequazione descrive un cono di sezione ellittica con vertice in $(0,0,2)$. Scriviamo la sezione:
$$D_h=\br{(x,y)\in\R^2:3x^2+y^2<\pa{h-2}^2}.$$
Integrando per strati l\6integrali diventa:
$$\ouintext{0}{1}\pa{\uiintns{D_h\,\,\,\,\,}\fr{h}{1+3x^2+y^2}dxdy}dh.$$
Le coordinate cilindriche sono un po\6 complicate, quindi si introducono le cosiddette \emph{coordinate ellittico-polari}:
$$\begin{sistema}
\rad3x=\rg\cos\qg\\
y=\rg\sin\qg
\end{sistema},$$
che va bene su $3x^2+y^2=1$ perché quella roba viene $\rg^2=1$. Quindi si guarda l\6equazione dell\6ellisse e si decide. Calcoliamo lo Jacobiano:
$$J_T(\rg,\qg)=\pa{\mat{cc}\fr{\cos\qg}{\rad{3}}&-\rg\fr{\sin\qg}{\rad{3}}\\\sin\qg&\rg\cos\qg\emat}.$$
Quindi non \`e proprio come le coordinate polari ma quasi. Determinante:
$$\fr{\rg}{\rad{3}}\pa{\cos^2\qg+\sin^2\qg}=\fr{\rg}{\rad3}.$$
Come si trasforma il dominio? La disequazione diventa:
$$\rg^2<\pa{h-2}^2\mous{\implies}{}{\rg>0\scb{0}[0.7]{$\pusher$}}0<\rg<h-2.$$
Su $\qg$ non ho restrizioni. L\6integrale doppio diventa:
$$\ouintext{0}{2\pg}\pa{\ouintext{0}{h-1}\fr{1}{1+\rg^2}\fr{\rg}{\rad3}d\srg}d\qg=\fr{2\pg}{\rad3}\ouintext{0}{h-2}\fr{\rg}{1+\rg^2}d\srg=\fr{\pg}{\rad3}\log\abs{1+\rg}^2\eval{0}{2-h}=$$
$$=\fr{\pg}{\rad3}\log\pa{1+\pa{2-h}^2}.$$
(\`E $2-h$ perché $0<h<1$.) L\6integrale triplo viene:
$$\ouintext01\fr{\pg}{\rad3}h\log\pa{1+\pa{2-h}^2}dh.$$
Prima cosa:
$$2-h=t\implies-dh=dt.$$
L\6integrale diventa:
$$\ouintext{2}{1}\fr{\pg}{\rad3}\pa{2-t}\log\pa{1+t^2}\pa{-dt}=\fr{\pg}{\rad3}\ouintext{1}{2}\pa{2-t}\log\pa{1+t^2}dt=$$
$$=\fr{2\pg}{\rad3}\ouintext{1}{2}\log\pa{1+t^2}dt-\fr{\pg}{\rad3}\ouintext{1}{2}t\log\pa{1+t^2}dt.$$
Il primo integrale lo facciamo per parti:
$$\ouintext{1}{2}t\log\pa{1+t^2}dt=t\log\pa{1+t^2}\eval12-\ouintext12\fr{2t^2}{1+t^2}dt=2\log5-\log2-2\ouintext12\fr{t^2}{1+t^2}dt=$$
$$=2\log5-\log2-2\ouintext12dt+2\ouintext12\fr{1}{1+t^2}dt=2\log5-\log2-2+2\arctan2-2\arctan1.$$
Il secondo invece, che \`e:
$$\ouintext{1}{2}t\log\pa{1+t^2}dt$$
lo facciamo con:
$$1+t^2=u\implies 2tdt=du.$$
Quindi diventa:
$$\fr{1}{2}\ouintext{2}{5}\log udu=\fr{1}{2}\pa{u\log u-u}\eval{2}{5}=\fr{1}{2}\pa{5\log5-2\log2}.$$
[Quindi rimettendo insieme l\6integrale viene:
$$\fr{2\pg}{\rad3}\pa{\fr{1}{2}\pa{5\log5-2\log2}}-\fr{\pg}{\rad3}\pa{2\log5-\log2-2+2\arctan2-2\arctan1}=$$
$$=\pg\rad3\log5-\fr{\pg}{\rad3}\log2-\fr{\pg}{\rad3}\pa{-2+2\arctan2-2\arctan1}.]$$

\sect{Altro esercizio}
\begin{eseese}
Calcolare:
$$\dlim_{n\to+\8}\ouintext01\dots\ouintext01\max\br{x_1,\dots,x_n}dx_1\dots dx_n.$$
\end{eseese}
\`E un limite di una successione reale, scriviamo i primi termini:
$$\mat{cc}n=1&\ouintext01xdx=\fr{1}{2}\\n=2&\uiint{[0,1]^2}\max\br{x,y}dxdy\emat.$$
Si spezza in due domini:
$$D_1=\br{(x,y)\in[0,1]^2:x\geq y}=\br{(x,y)\in[0,1]^2:0\leq y\leq x\leq1},$$
$$D_2=\br{(x,y)\in[0,1]^2:y\geq x}=\br{(x,y)\in[0,1]^2:0\leq x\leq y\leq1}.$$
Quindi diventa (ho scambiato gli indici):
$$\uiint{D_1}ydxdy+\uiint{D_2}xdxdy.$$
$$\uiint{D_1}ydxdy\ouintext{0}{1}\pa{\ouintext{0}{y}ydx}dy=\ouintext{0}{1}y\ouintext{0}{y}dxdy=\ouintext01y^2dy=\fr{1}{3}.$$
$$\uiint{D_2}xdxdy=\ouintext01\pa{\ouintext0xxdy}dx=\fr{1}{3},$$
quindi si trova in tutto:
$$\fr{2}{3}.$$
E in 3 dimensioni? Devo dividere in un certo numero di regioni, e in ciascuna di queste regioni ho un ordinamento delle variabili. Si divide in regioni del tipo:
$$\br{0\leq x_1\leq x_2\leq x_3\leq1},$$
$$\br{0\leq x_1\leq x_3\leq x_2\leq1}.$$
Quanti insiemi ho? 6, perché 6 sono le permutazioni. Ho 6 insieme definiti come:
$$\br{0\leq x_{i_1}\leq x_{i_2}\leq x_{i_3}\leq1},$$
dove $(i_1,i_2,i_3)$ \`e una permutazione di $(1,2,3)$. Ora calcolo l\6integrale su ciascuna di queste regioni. Chiamiamo ciascun insieme come appena scritto:
$$D_{(i_1,i_2,i_3)}.$$
Allora:
$$\uiiint{D_{(i_1,i_2,i_3)}}\max\br{x_1,x_2,x_3}dx_1dx_2dx_3=\ouintext{0}{1}\pa{\ouintext{0}{x_{i_3}}\pa{\ouintext{0}{x_{i_2}}x_{i_3}dx_{i_1}}dx_{i_2}}dx_{i_3}.$$
Il valore di questo integrale non dipende da $(i_1,i_2,i_3)$. Quindi sono tutti uguali. Calcoliamone uno:
$$\ouintext{0}{1}\pa{\ouintext{0}{x_{i_3}}\pa{\ouintext{0}{x_{i_2}}x_{i_3}dx_{i_1}}dx_{i_2}}dx_{i_3}=\ouintext01x_{i_3}\pa{\ouintext{0}{x_{i_2}}dx_{i_2}}dx_{i_3}=\ouintext01x_3\pa{\ouintext{0}{x_2}x_2dx_2}dx_3=$$
$$=\ouintext01\fr{x_3^3}{2}dx_3=\fr{x_3^4}{8}\eval01=\fr{1}{8}.$$
Quindi il totale \`e:
$$\fr{6}{8}=\fr{3}{4}.$$
Riassumendo, chiamando quella successione di integrali $a_n$, abbiamo:
$$\begin{sistema}
a_1=\fr{1}{2}\\\\
a_2=\fr{2}{3}\\\\
a_3=\fr{3}{4}
\end{sistema}.$$
Congettura:
$$a_n=\fr{n}{n+1}.$$
Piccola cosa di notazione:
$$\ouintext ab\pa{\ouintext{\ag(z)}{\bg(z)}\pa{\ouintext{\ggr(z,y)}{\dg(z,y)}f(x,y,z)dx}dy}dz=\ouintext abdz\ouintext{\ag(z)}{\bg(z)}dy\ouintext{\ggr(z,y)}{\dg(z,y)}f(x,y,z)dz,$$
nella letteratura si usa la seconda scrittura. Noi sappiamo che il cubo si divide in $n!$ insiemi del tipo:
$$D_{(i_1,\dots,i_n)}=\br{0\leq x_{i_1}\leq x_{i_2}\leq\dots\leq x_{i_n}\leq1}.$$
Si verifica che:
$$\uint{[0,1]^n}\max\br{x_1,\dots,x_n}dx_1,\dots,dx_n=n!\uint{D_{(1,2,\dots,n)}}\max\br{x_1,\dots,x_n}dx_1,\dots,dx_n,$$
potete farlo rigorosamente per esercizio\fn{Ma anche no.}. Impostiamo il calcolo. Viene:
$$n!\ouintext01dx_n\ouintext{0}{x_n}dx_{n-1}\ouintext{0}{x_{n-1}}dx_{n-2}\dots\ouintext{0}{x_2}x_ndx_1=n!\ouintext01dx_n\ouintext{0}{x_n}x_ndx_{n-1}\ouintext{0}{x_{n-1}}dx_{n-2}\dots\ouintext{0}{x_2}dx_1.$$
Adesso viene la parte difficile. Andiamo per induzione. Passo base: $n=3$. L\6integralone diventa:
$$\ouintext{0}{x_3}\pa{\ouintext{0}{x_2}dx_1}dx_2=\ouintext{0}{x_3}x_2dx_2=\fr{x_3^2}{2}.$$
Abbiamo quindi verificato che:
$$\ouintext{0}{x_n}dx_{n-1}\ouintext{0}{x_{n-1}}dx_{n-2}\dots\ouintext{0}{x_2}dx_1=\fr{x_n^{n-1}}{(n-1)!}$$
vale per $n=3$. Supponiamolo valido per $n$ e proviamo che vale per $n+1$. Sappiamo quindi la cosa sopra, e la tesi \`e:
$$\ouintext{0}{x_{n+1}}dx_n\ouintext{0}{x_{n}}dx_{n-1}\dots\ouintext{0}{x_2}dx_1=\fr{x_{n+1}^n}{(n)!}.$$
[Dall\6ipotesi di induzione possiamo ridurre l\6integralazzo a:]
$$\ouintext{0}{x_{n+1}}\fr{x_n^{n-1}}{(n-1)!}dx_n=\fr{x_{n+1}^n}{n!}.$$
Quindi vale per ogni $n$. Al che l\6integrale della successione risulta:
$$n!\ouintext01\fr{x_n^n}{(n-1)!}dx_n=n\ouintext01x_n^ndx_n=\fr{n}{n+1}.$$

\sect{Una cosa pi\`u semplice}
\begin{eseese}
Calcolare
$$\uiint D\rad{1-x^2-y^2}dxdy,$$
con
$$D=\br{(x,y)\in\R^2:\pa{x-\fr{1}{2}}^2+y^2\leq\fr{1}{4},x^2+y^2\geq\fr{1}{4}}.$$
\end{eseese}
Le equazioni sono due palle, la prima dentro quella di raggio $\fr{1}{2}$ e centro $\pa{\fr{1}{2},0}$, l\6altra fuori da quella centrata in $(0,0)$ e di raggio $\fr{1}{2}$.\lfeed
\includegraphics[width=12cm]{DoppiaPalla.jpg}\lfeed
Proviamo con le polari. La seconda rimane:
$$\rg^2\geq\fr{1}{4}\implies\rg\geq\fr{1}{2}.$$
La prima invece:
$$\pa{\rg\cos\qg-\fr{1}{2}}^2+\rg^2\sin^2\qg\leq\fr{1}{4}\implies\rg^2+\fr{1}{4}-\rg\cos\qg\leq\fr{1}{4}\implies$$
$$\implies\rg^2-\rg\cos\qg\leq0\implies\rg\pa{\rg-\cos\qg}\leq0\implies\rg\leq\cos\qg.$$
In tutto:
$$\fr{1}{2}\leq\rg\leq\cos\qg.$$
Per $\qg$ dobbiamo considerare quelli che rendono sensata la condizione, quindi:
$$\cos\qg\geq\fr{1}{2}\implies-\fr{\pg}{3}\leq\qg\leq\fr{\pg}{3}.$$
Quindi l\6integrale viene:
$$\ouinteff{-\fr{\pg}{3}}{\fr{\pg}{3}}\pa{\ouintefb{\fr{1}{2}}{\cos\qg}\rad{1-\rg^2}\rg d\rg}d\qg,$$
che, ci dice lui, fa:
$$-\fr{5}{36}+\fr{\pg}{12}\rad3,$$
perché ``a questo punto abbiamo concluso non c'\`e pi\`u tempo''.


\incle
\chapter{\lez{29/11/2013}}

\sect{Dimostriamo il Teorema delle Contrazioni}
Richiamato il Teorema, Dim.
\par Fissiamo un punto $x_0\in X$. Poniamo
$$x_1=F(x_0),$$
$$x_2=F(x_1),$$
e cos\`i via,
$$x_n=F(x_{n-1}).$$
Cosa possiamo dire su questa successione. La prima osservazione che possiamo fare \`e che:
$$\VA n\in\N,d(x_{n+1},x_n)=d(F(x_n),F(x_{n-1}))\leq Ld(x_n,x_{n-1}).$$
Quindi per induzione possiamo provare che:
$$d(x_{n+1},x_n)\leq L^nd(x_1,x_0)\fnm[1]\fnt[1]{Passo base: $n=1$.
$$d(x_2,x_1)=d(F(x_1),F(x_0))\leq Ld(x_1,x_0)=L^1d(x_1,x_0),$$
che vale per la definizione della contrazione. Ipotesi induttiva:
$$d(x_n,x_{n-1})\leq L^{n-1}d(x_1,x_0).$$
Tesi:
$$d(x_{n+1},x_n\leq L^nd(x_1,x_0).$$
$$d(x_{n+1},x_n)=d(F(x_n,x_{n-1})\leq Ld(x_n,x_{n-1})\leq L^nd(x_1,x_0),$$
dove il primo passaggio \`e una tautologia, il secondo \`e per la contrazione e il terzo per l\6ipotesi induttiva, saltando il passaggio $LL^{n-1}=L^n$.}.\ic{footnote}{+1}$$
Dimostriamo che converge ad un punto fisso della mappa $F$, e lo facciamo andando a dimostrare che \`e di Cauchy, quindi stimiamo (per $m>n$):
$$d(x_m,x_n)\leq d(x_m,x_{m-1})+d(x_{m-1},d_{m-2})\+d(x_{n+1},x_n)=\dsum_{k=n}^{m-1}d(x_{k+1},x_k)\leq$$
$$\leq\dsum_{k=n}^{m-1}L^kd(x_1,x_0)\scb{0.01}[0.48]{$\mat{c}\\\scb{100}[2.0833]{$\musb{=}{j=k-n}$}\whitea\emat$}\dsum_{j=0}^{m-n-1}L^j\per L^n\per d(x_1,x_0)=\pa{L^nd(x_1,x_0)}\dsum_{j=1}^{m-n-1}L^j\leq$$
$$\leq L^nd(x_1,x_0)\fr{1}{1-L}.$$
Per $m,n\to+\8$ contemporaneamente ed indipendentemente abbiamo $L^n\to0$ perché $L<1$, quindi $d(x_m,x_n)\to0$ per confronto, quindi $x_n$ \`e una successione di Cauchy. Quindi $x_n\to\lbar{x}\in X$. Dimostriamo che $\lbar{x}$ \`e un punto fisso della mappa $F$. $F$ \`e continua, quindi:
$$F(\lbar{x})=\dlim_{n\to+\8}F(x_n).$$
Ma per definizione di $x_n$, $F(x_n)=x_{n+1}$, quindi il limite diventa:
$$\dlim_{n\to+\8}x_{n+1}=\lbar{x},$$
che quindi \`e un punto fisso di $F$. Ci rimane da controllare l\6unicit\`a di $\lbar{x}$. Supponiamo allora per assurdo di avere due punti $\lbar{x},\tilde{x}$ tali che $F(\lbar{x})=\lbar{x},F(\tilde{x})=\tilde{x}$. Proviamo che sono uguali. Nelle nostre ipotesi abbiamo:
$$d(\lbar{x},\tilde{x})=d(F(\lbar{x}),F(\tilde{x}))\leq Ld(\lbar{x},\tilde{x}),$$
e portando tutto a primo membro:
$$d(\lbar{x},\tilde{x})\pa{1-L}\leq0.$$
Per ipotesi della contrazione, $L<1\implies 1-L>0$, quindi l\6unica possibilit\`a \`e che la distanza sia nulla, il che implica
$$\lbar{x}=\tilde{x},$$
quindi \`e unico.

\sect{Teorema di Cauchy-Lipschitz}
\begin{teor}
\bemph{(di Cauchy-Lipschitz o di esistenza ed unicit\`a in piccolo)}\lfeed Siano $\Wg\sbse\R^{n+1}$ aperto, $F\in C^0(\Wg,\R^n):F$ sia localmente Lipschitziana in $\Wg$ rispetto alla variabile $Y=\pa{y_1,\dots,y_n}$ con $\Wg=\br{\pa{t,y_1,\dots,y_n}}$ uniformemente in $t$. Allora
$$\VA(t_0,y_0)\in\Wg\quad\3\dg>0:in\,\,[t_0-\dg,t_0+\dg]\quad\3!\hbox{ soluzione del problema di Cauchy }$$
$$\begin{sistema}
Y^\1(t)=F(t,Y(t))\\
Y(t_0)=Y_0
\end{sistema},$$
ovvero se ne esistesse un\6altra dovrebbero coincidere.
\end{teor}
Dim.
\par Noi dimostreremo sia esistenza che unicit\`a usando il Teorema delle Contrazioni. Allora prima di dimostrarlo per\`o volevo fare una brevissima osservazione, una piccola osservazione tecnica, che \`e questa:
\begin{oss}
Se $F$ \`e una funzione vettoriale $[a,b]\to\R^n$, abbiamo definito:
$$\ouintext abF(t)dt=\pa{\ouintext abf_1(t)dt,\dots,\ouintext abf_n(t)dt},$$
dove $f_i=\pg_i\circ F$. Questo se le $f_i$ sono integrabili su $[a,b]$ $\VA i$. Se considero la norma euclidea di $\R^n$, $\norm{}$, allora:
$$\norm{\ouintext abF(t)dt}\leq\ouintext ab\norm{F(t)}dt.$$
\end{oss}
Potete dimostrarlo per esercizio, vi d\`o dei suggerimenti. Scrivete:
$$\norm{\ouintext abF(t)dt}^2=\ouintext ab\pa{f_1\pa{\ouintext abf_1}+f_2\ouintext abf_2\+f_n\ouintext abf_n}dt,$$
dimostratelo. Poi lo stimate con la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz\fn{Ci risentiamo sotto, cara osservazione.}. Dimostriamo ora il Teorema. Fissiamo $(t_0,Y_0)\in\Wg$ e ricordiamoci l\6ipotesi di locale Lipschitzianit\`a. Da essa segue:
$$\3r>0,R>0:B((t_0,Y_0),R)\sbse\Wg\et\norm{F(t,Y)-F(t,Z)}\leq L\norm{Y-Z}$$
$$\VA(t,Y),(t,Z)\in B((t_0,Y_0),R).$$
Siano $r_1,r_2$ tali che:
$$Q=\br{(t,Y)\in\R\x\R^n:\abs{t-t_0}<r_1,\norm{Y-Y_0}<r_2}\sbse B((t_0,Y_0),R).$$
$Q$ \`e compatto\fn{A me sembra aperto, ma forse quelle disuguaglianze dovevano essere larghe, e non strette. Cos\`i sarebbe s\`i compatto, perché chiuso e limitato, quindi per Heine-Borel. Che sia limitato discende dall\6inclusione nella palla che avviene per ipotesi di scelta di $r_1,r_2$.}, $F$ continua, quindi:
$$\dsup_{(t,Y)\in Q}\norm{F(t,Y)}<+\8.$$
Sia $0<\dg<\min\br{r_1,\fr{r_2}{M}(\fnm[4]),\fr{1}{L}}$. Chiamiamo:\fnt[4]{Suppongo che $M=\dsup_{(t,Y)\in Q}\norm{F(t,Y)}$.}
$$E=\br{Y\in C^0([t_0-\dg,t_0+\dg],\R^n):\norm{Y-Y_0}_\8\leq r_2},$$
ove $$\norm{Y}_\8=\dsup_{t\in[t_0-\dg,t_0+\dg]}\norm{Y(t)}.\ic{footnote}{+1}$$
$E$ di fatto \`e una palla chiusa di $C^0$, che \`e completo, e quindi $E$ \`e completo con la metrica uniforme. Attenzione che non \`e uno spazio di Banach perché non \`e uno spazio vettoriale, \`e una palla in uno spazio vettoriale. Consideriamo ora:
$$T:E\to C^0([t_0-\dg,t_0+\dg],\R^n)\quad Y\mapsto (T(Y))(t):\R\to\R^n\quad t\mapsto Y_0+\ouintext{t_0}tF(s,Y(s))ds.$$
Se $Y\in E$ prendiamo
$$(T(Y))(t)-Y_0=\ouintext{t_0}{t}F(s,Y(s))ds\quad t_0+\dg\geq t>t_0.$$
Se ne calcolo la norma, posso maggiorarla con:
$$\ouintext{t_0}{t}\norm{F(s,Y(s))}ds.$$
Vediamo che quell\6integrando sta in $Q$\fn{Allora l\6integrando \`e una norma di qualcosa in $\R^n$ mentre $Q\sbse\R^{n+1}$, quindi questa cosa non ha senso. Forse \`e $(s,Y(s))$ che sta in $Q$ per ogni $s\in[t_0,t]$. Sicuramente \`e garantito che $\abs{s-t_0}\leq r_1$, perché $\abs{s-t_0}\leq\abs{t-t_0}\leq r_1$. La parte pi\`u complicata \`e vedere che $\norm{Y(s)-Y_0}\leq r_2$. Per\`o $\norm{Y(s)-Y_0}\leq\dsup_{t\in[t_0-\dg,t_0+\dg]}\norm{Y(t)-Y_0}=\norm{Y-Y_0}_\8\leq r_2$, quindi siamo a posto. A questo punto \`e chiaro che quella norma si maggiora con $M$, se $M$ \`e quello che credo, e si estrae dall\6integrale, che quindi rimane $M\pa{t-t_0}$. La disuguaglianza seguente viene da $t\in[t_0-\dg,t_0+\dg]$, e poi $\dg\leq\fr{r_2}{M}$ per definizione di $\dg$.}, quindi l\6integrale \`e maggiorato da:
$$M\pa{t-t_0}\leq M\dg\leq r_2.$$
La stessa cosa si dimostra per $t_0-\dg\leq t<t_0$, basta girare gli estremi di integrazione. Quindi:
$$\norm{T(Y)-Y_0}_\8\leq r_2\quad\VA t\in[t_0-\dg,t_0+\dg]\implies T(Y)\in E.$$
Di conseguenza:
$$T:E\to E.$$
Proviamo che \`e una contrazione. Prendiamo $Y,Z\in E$. Calcoliamo:
$$(T(Y))(t)-(T(Z))(t)=\ouintext{t_0}t\pa{F(s,Y(s))-F(s,Z(s))}ds.$$
Calcolandone la norma, la minoriamo con
$$\ouintext{t_0}{t}\norm{F(s,Y(s))-F(s,Z(s))}ds.$$
Questo sopra $t_0$, sotto basta girare gli estremi, come prima. Adesso ci ricordiamo che $F$ era Lipschitziana. Quindi posso maggiorare il tutto con
$$L\ouintext{t_0}t\norm{Y(s)-Z(s)}ds.$$
Questa norma \`e minore del suo sup, che esce dall\6integrale, poi l\6integrale fa $t-t_0$, che \`e $\leq\dg$, quindi il tutto non supera:
$$L\dg\norm{Y-Z}_\8.$$
Ora, $L\dg$ \`e una costante $<1$, quindi $T$ \`e una contrazione. Quindi per il Teorema delle Contrazioni ha un punto fisso, che \`e una funzione che soddisfa l\6equazione di Volterra, e quindi una soluzione $C^1$ del problema di Cauchy. Ora l\6unicit\`a c'\`e quasi perché \`e unica in $E$, magari fuori ce n\6\`e un\6altra. Magari facciamo una piccola pausa e dopo riparliamo di perché siamo sicuri che c'\`e anche l\6unicit\`a.
\par Pausa.
\par Se anche $Z$ fosse una soluzione in $[t_0-\dg,t_0+\dg]$, se dimostro che $Z\in E$ ho finito: $Z=Y$. Mi basta dimostrare che
$$\norm{Z(t)-Y_0}\leq r_2\quad\VA t\in[t_0-\dg,t_0+\dg].$$
Dimostriamo che
$$\norm{Z(t)-Y_0}<r_2\quad\VA t\in(t_0,t_0+\dg],$$
e in modo simile in tutto $[t_0-\dg,t_0)$. Ragioniamo per assurdo. Siccome in $t_0$ \`e vera, allora chiedere che non sia vero equivale a chiedere che:
$$\3t_\ast\in(t_0,t_0+\dg]:\norm{Z(t)-Y_0}<r_2\quad\VA t\in(t_0,t_\ast)\et\norm{Z(t_\ast)-Y_0}=r_2.$$
Ancora una volta scriviamo:
$$\norm{Z(t_\ast)-Y_0}=\norm{\ouintext{t_0}{t_\ast}F(s,Y(s))ds}\leq\ouintext{t_0}{t_\ast}\norm{F(s,Z(s))ds}\leq M\pa{t_\ast-t_0}\leq M\dg<r_2,$$
assurdo. Questo perché quella norma integranda sta in $Q$\fn{Il discorso \`e lo stesso identico di prima.}.

\sect{Prolungabilit\`a}
\begin{teor}
\bemph{(di prolungabilit\`a globale)}\quad Siano $F\in C^0((a,b)\x\R^n,\R^n)$ (una striscia verticale), $a,b\in\R$, $t_0\in(a,b)$, $Y_0\in\R^n$. Se $F$ \`e globalmente Lipschitziana in $(a,b)\x\R^n$ rispetto a $Y$ uniformemente in $t$, allora esiste una ed una sola soluzione del problema di Cauchy
$$\begin{sistema}
Y^\1(t)=F(t,Y(t))\\
Y(0)=Y_0
\end{sistema}$$
in tutto l\6intervallo $(a,b)$.
\end{teor}
La dimostrazione di questo teorema si basa nuovamente sul Teorema delle Contrazioni, adesso la vedrete, una dimostrazione veramente molto astuta. Dim.
\par Fissiamo $d\in(t_0,b)$. Cominciamo allora a dimostrare l\6esistenza di una soluzione in $(t_0,d)$. Definiamo allora:
$$E=C^0([t_0,d],\R^n).$$
Lo muniamo della norma
$$\norm{Y}_\ast=\dsup_{t\in[t_0,d]}e^{-2Lt}\norm{Y(t)},$$
dove
$$\norm{F(t,Y)-F(t,Z)}\leq L\norm{Y-Z}.$$
Questa \`e una norma (esercizio molto semplice)\fn{Data $Y(t)$, quella norma non \`e altro che $\norm{e^{-2Lt}Y(t)}_\8$. Infatti:
$$\norm{e^{-2Lt}Y(d)}_\8=\dsup_{t\in[t_0,d]}\norm{e^{-2Lt}Y(t)}=\dsup_{t\in[t_0,d]}e^{-2Lt}\norm{Y(t)}=\norm{Y}_\star.$$
Quindi ovviamente soddisfa tutte le propriet\`a di una norma.}. Quindi $E$ \`e uno spazio normato. In realt\`a \`e anche uno spazio di Banach. Per vedere che \`e completo andiamo a osservare che in realt\`a questa norma $\ast$ \`e equivalente alla norma uniforme. Ossia che:
$$\VA Y\in E,e^{-2Ld}\norm{Y}_\8\leq\norm{Y}_\ast\leq e^{-2Lt_0}\norm{Y}_\8,$$
perché $e^{-2Lt}$ \`e decrescente quindi il massimo \`e in $t_0$ e il minimo in $d$. Se due norme sono equivalenti inducono la stessa topologia, la convergenza \`e la stessa, e quindi uno spazio \`e completo con una se e solo se lo \`e con l\6altra, e siccome lo \`e con la norma uniforme lo \`e con la norma $\ast$. Allora consideriamo:
$$T:E\to E\quad Y\mapsto(T(Y))(t):\R\to\R^n\quad t\mapsto Y_0+\ouintext{t_0}tF(s,Y(s))ds.$$
In questo caso \`e chiaro che ha valori in $E$ perché $E$ \`e solo lo spazio delle funzioni continue. Prendiamo:
$$(T(Y))(t)-(T(Z))(t)=\ouintext{t_0}t\pa{F(s,Y(s))-F(s,Z(s))}ds.$$
La sua norma \`e maggiorata dall\6integrale della norma:
$$\ouintext{t_0}t\norm{F(s,Y(s))-F(s,Z(s))}ds\leq L\ouintext{t_0}t\norm{Y(s)-Z(s)}ds=$$
$$=L\ouintext{t_0}te^{2Ls}\scb{0.01}[0.03]{$\mat{c}\\\scb{100}[33.3333]{\musb{e^{-2Ls}\norm{Y(s)-Z(s)}}{\leq^{\scb{0}[1]{\whitea}}\hbox{ del suo sup, che \`e la norma }\ast}}\emat$}ds\leq L\norm{Y-Z}_\ast\ouintext{t_0}{t}e^{2Ls}ds=$$
$$=L\norm{Y-Z}_\ast\fr{1}{2L}\pa{e^{2Lt}-e^{2Lt_0}}.$$
Riassumendo abbiamo dimostrato che:
$$\VA t\in(t_0,d]\quad\norm{(T(Y))(t)-(T(Z))(t)}\leq\fr{1}{2}\norm{Y-Z}_\ast e^{2Lt}.$$
Porto a primo membro l\6esponenziale come $e^{-2Lt}$ e faccio il sup, ottenendo:
$$\norm{(T(Y))-(T(Z))}_\ast\leq\fr{1}{2}\norm{Y-Z}_\ast,$$
e $\fr{1}{2}<1$, quindi $T$ \`e una contrazione. Quindi abbiamo la soluzione in $(t_0,d]$, unica. Analogamente abbiamo la soluzione unica in $[c,t_0)$, dove $a<c<t_0$. Quindi abbiamo una soluzione unica in $[c,d]$, costruita da quelle due l\`a. E vale $\VA[c,d]\sbse(a,b)$. Data l\6arbitrariet\`a di $c,d$, la soluzione esiste ed \`e unica su tutto $(a,b)$.
\par In altre situazioni potremmo chiederci sotto quali condizioni possiamo prolungare la soluzione.
Noi ci vediamo Mercoled\`i. Luned\`i invece avete esercitazione.\lfeed
12:31:40.

\sect{I buchi della lezione}
\begin{esecasa}
Dimostrare che:
$$\norm{\ouintext{a}{b}F(t)dt}^2\leq\ouintext ab\norm{F(t)dt}.$$
\end{esecasa}
Seguiamo i suggerimenti. Dimostriamo allora che:
$$\norm{\ouintext abF(t)dt}^2=\ouintext ab\pa{f_1\pa{\ouintext abf_1}+f_2\ouintext abf_2\+f_n\ouintext abf_n}dt.$$
Applichiamo la definizione di norma, osservando che il primo membro \`e:
$$\dsum_{i=1}^n\pa{\ouintext abf_i}^2.$$
A destra scindiamo l\6integrale in $n$ integrali per la linearit\`a e poi proviamo per parti, trasformando quel secondo membro in:
$$\dsum_{i=1}^n\ouintext ab\pa{f_i\ouintext abf_i}dt=\dsum_{i=1}^n\sq{\pa{\ouintext abf_i}^2-\ouintext ab\pa{f_i\ouintext abf_i}}.$$
Da cui deduciamo che manca un $2$ a secondo membro. Infatti il primo pezzo della somma \`e il primo membro dell\6equazione-tesi, mentre il secondo portato a sinistra raddoppia l\6altra somma. Quindi abbiamo provato che:
$$\norm{\ouintext abF(t)dt}^2=2\ouintext ab\pa{f_1\pa{\ouintext abf_1}\+f_n\pa{\ouintext abf_n}}.$$
La Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, reperita in forma integrale da Wikipedia, afferma che:
$$\abs{\ouintext abf(x)g(x)dx}^2\leq\ouintext abf^2(x)dx\cdot\ouintext abg^2(x)dx.$$
In questo caso, per ogni $i$, si pu\`o scrivere:
$$\abs{\ouintext ab\pa{f_i\ouintext abf_i}}\leq\ouintext abf_i^2\per\ouintext ab\pa{\ouintext abf_i}^2.$$
Il membro destro dell\6equazione sopra si maggiora con la somma dei membri destri di questa disuguaglianza moltiplicata per due, perché il membro \`e la somma, maggiorabile col suo modulo che \`e maggiorato dalla somma dei moduli che \`e la somma con cui voglio maggiorare, e che \`e a sua volta maggiorata dalla somma dei membri destri, ossia da:
$$2\dsum_{i=1}^n\ouintext abf_1^2\per\ouintext ab\pa{\ouintext abf_1}^2.$$
Per\`o sommare non \`e utile, perché lavorando componente a componente (ovvero $f_i$ a $f_i$) si vede che il membro sinistro della disequazione sopra \`e la met\`a dei quadrato dell\6integrale di $f_i$. OK no: quella somma si maggiora con:
$$2\dsum_{i=1}^n\ouintext abf_i^2\per\dsum_{i=1}^n\ouintext ab\pa{\ouintext abf_i}^2=2\norm{F(t)}^2\norm{\ouintext abF(t)}^2.$$
Cosa totalmente inutile :(. Di sopra ho perso un quadrato. E qui appena sopra ho perso un integrale davanti alla norma quadra di $F$. Oh, \6sta cosa mi ha rotto: beccatevi \href{http://math.stackexchange.com/questions/103779/proof-involving-norm-of-an-integral}{\6sto link} e fine della fiera. Questa maniera non funziona.


\chapter{Esercizi domenicali in preparazione al compitino}

\sect{Spazi Normati}
\begin{esecasa}
Siano $X=[0,1)$ e $d:X\x X\to\R$, $d(x,y)=\abs{\fr{1}{x}-\fr{1}{y}}.$ Dimostrare che $d$ \`e una distanza su $X$ e che $(X,d)$ \`e uno spazio metrico completo.
\end{esecasa}
Per dimostrare che \`e una distanza dobbiamo provare che:
\ben
\item $d(x,y)\geq0\quad\VA x,y\in X$;
\item $d(x,y)=0\sse x=y$;
\item $d(x,y)=d(y,x)\quad\VA x,y\in X$;
\item $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\quad\VA x,y,z\in X$.
\een
Allora:
\ben
\item La prima propriet\`a \`e garantita dal modulo;
\item La seconda equivale a dimostrare che
$$\fr{1}{x}=\fr{1}{y}\sse x=y,$$
cosa abbastanza ovvia: basta moltiplicare ambo i membri per $xy$, cosa lecita poiché $x,y\neq0$ in quanto $0\nin X$;
\item La terza \`e anch\6essa garantita dal modulo;
\item La quarta equivale a:
$$\abs{\fr{1}{x}-\fr{1}{z}}\leq\abs{\fr{1}{x}-\fr{1}{y}}+\abs{\fr{1}{y}-\fr{1}{z}},$$
cosa garantita dalla propriet\`a
$$\abs{a+b}\leq\abs{a}+\abs{b},$$
posto $a=\fr{1}{x}-\fr{1}{y}$ e $b=\fr{1}{y}-\fr{1}{z}$.
\een
Supponiamo ora di avere una successione $a_n$ tale che:
$$\VA\eg>0\3N:\VA m,n\in\N,m,n>N\implies d(a_n,a_m)=\abs{\fr{1}{a_n}-\fr{1}{a_m}}\leq\eg,$$
ovvero una successione di Cauchy in $(X,d)$. Proviamo che converge. La disequazione finale della condizione di Cauchy equivale a:
$$\abs{\fr{1}{a_na_m}\pa{a_m-a_n}}=\fr{1}{a_na_m}\abs{a_m-a_n}\leq\eg,$$
ove l\6eguaglianza si avvale del fatto che $\abs{\fr{1}{a_na_m}}=\fr{1}{a_na_m}$ poiché $a_n,a_m>0$ in quanto sono elementi di $X$. Dato che $a_n,a_m\in X$, si ha $a_n,a_m\leq1$, e quindi $a_na_m\leq1$. Moltiplicando la disequazione per $a_na_m$ si ha:
$$\abs{a_n-a_m}\leq a_na_m\eg\leq\eg,$$
quindi la successione \`e di Cauchy anche in $\R$ colla metrica euclidea. $\R$ \`e completo, quindi $a_n$ converge in $\R$. Quindi troviamo
$$a=\dlim_{n\to+\8}a_n.$$
Dalla definizione di limite sappiamo che:
$$\VA\eg>0\3N:\VA n\in\N,n>N\implies\abs{a_n-a}\leq\eg.$$
Ora, naturalmente $a\in X$. Infatti se $a>1$ non potrei mai soddisfare $\abs{a_n-a}\to0$ poiché $a_n$ al massimo \`e 1. Per motivi analoghi $a<-1$ non \`e possibile. Il problema \`e provare che $-1\leq a\leq0$ non \`e possibile. Ma il limite di una successione a termini positivi non potr\`a mai essere negativo. Resta da escludere lo $0$. Per\`o se $a_n\to0$, $\fr{1}{a_n}\to+\8$, quindi fissato $m$ aumentando $n$ la distanza aumenta a piacere, e quindi la successione non \`e di Cauchy, assurdo. Dunque $a\in X$. Recuperiamo la disuguaglianza della definizione di limite e moltiplichiamo per $\fr{1}{a_na}$:
$$\fr{1}{a_na}\abs{a_n-a}\leq\fr{1}{a_na}\eg\implies\abs{\fr{1}{a}-\fr{1}{a_n}}=d(a,a_n)\leq\fr{1}{a_na}\eg.$$
Dato che $a_n\to a\neq0$, sicuramente sar\`a definitivamente $a_n>\dg$ con $\dg$ un certo numero per cui $0<\dg\leq1$. Di conseguenza definitivamente si avr\`a:
$$\fr{1}{a_na}\leq\fr{1}{a\dg}.$$
Quindi definitivamente:
$$d(a,a_n)\leq\fr{1}{a_na}\eg\leq\fr{1}{a\dg}\eg,$$
e $\VA\eg$ vale questa cosa, quindi la successione converge anche in $X$, e dunque $X$ \`e completo con $d$.

\begin{esecasa}
Verificare che la funzione:
$$d:\R\x\R\to\R,\quad d(x,y)=\abs{\arctan x-\arctan y}$$
\`e una metrica su $\R$ e che lo spazio metrico $(\R,d)$ non \`e completo.
\end{esecasa}
Le prime due propriet\`a sono garantite una dal modulo e l\6altra dall\6invertibilit\`a dell\6ar-cotangente. La terza \`e ancora garantita dal modulo. La quarta \`e assicurata da un ragionamento analogo a quello sopra. Una successione che \`e di Cauchy ma non converge \`e $a_n=n$. Infatti
$$\VA\eg>0\3N:n,m\in\N\et n,m>N\implies d(n,m)=\abs{\arctan n-\arctan m}<\eg$$
perché per $m\to+\8$ quella cosa tende a $\abs{\arctan n-\fr{\pg}{2}}$, che pu\`o essere reso piccolo a piacere pur di aumentare $n$, dato che per $n\to+\8$ quel modulo tende a $0$. Tuttavia chiaramente per $n\to+\8$ $a_n=n\to+\8$ (scusate la tautologia), e $+\8\nin\R$, quindi la successione non converge.

\begin{esecasa}
Verificare che la funzione:
$$d:\R\x\R\to\R,\quad d(x,y)=\sistbis{y-x}{x<y}{\arctan x-\arctan y}{x\geq y}$$
non \`e una distanza su $\R$.
\end{esecasa}
Detta $d_e$ la metrica euclidea e $d_{arc}$ la distanza dell\6esercizio sopra, questa funzione si riscrive come:
$$d(x,y)=\sistbis{d_e(x,y)}{x<y}{d_{arc}(x,y)}{x\geq y}.$$
Quindi le prime due propriet\`a sono garantite. La simmetria invece non vale, perché se $d(x,y)=d_e(x,y)$, $d(y,x)=d_{arc}(y,x)$, e $d_e(x,y)\neq d_{arc}(y,x)$ in generale.

\begin{esecasa}
Siano $X=C^0([0,1])$ e $\norm{\per}:X\to\R$ definita come
$$\norm{f}=\dmax_{x\in[0,1]}x^2\abs{f(x)}.$$
Si dimostri che $\norm{\per}$ \`e una norma su $X$ e che $(X,\norm{\per})$ non \`e di Banach.
\end{esecasa}
Per dimostrare che \`e una norma devo dimostrare che:
\ben
\item $\norm{f}\geq0\quad\VA f\in X$;
\item $\norm{f}=0\sse f=0$, ossia se e solo se $f$ \`e la funzione identicamente nulla su tutto $[0,1]$, cio\`e $f(x)=0\quad\VA x\in[0,1]$;
\item $\norm{af}=\abs{a}\norm{f}\quad\VA f\in X$;
\item $\norm{f+g}\leq\norm{f}+\norm{g}\quad\VA f,g\in X$.
\een
Allora:
\ben
\item La prima cosa \`e garantita dal fatto che abbiamo $x^2$, sempre positivo, per $\abs{f(x)}$, sempre positivo, e il massimo di questa cosa \`e sicuramente strettamente positivo.
\item Quanto detto sopra naturalmente non vale solo ed esclusivamente con la funzione identicamente nulla, per cui il massimo \`e naturalmente $0$, come deve essere.
\item La terza cosa \`e garantita dal fatto che $\abs{af(x)}=\abs{a}\abs{f(x)}\quad\VA x\in[0,1]$, e che $\max\pa{kb}=k\max b$, se $k$ \`e costante.
\item La quarta cosa \`e un po\6 pi\`u complicata. Scirivamola esplicitamente:
$$\dmax_{x\in[0,1]}x^2\abs{f(x)+g(x)}\leq\dmax_{x\in[0,1]}x^2\abs{f(x)}+\dmax_{x\in[0,1]}x^2\abs{g(x)}.$$
Sicuramente per ogni $x$ vale:
$$x^2\abs{f(x)+g(x)}\leq x^2\abs{f(x)}+x^2\abs{g(x)},$$
per una propriet\`a del modulo. Se vale per ogni $x$, sicuramente posso passare al sup a destra:
$$x^2\abs{f(x)+g(x)}\leq\dsup_{x\in[0,1]}x^2\pa{\abs{f(x)}+\abs{g(x)}}.$$
E questa cosa vale naturalmente per ogni $x$ a sinistra, e quindi anche per il sup a sinistra:
$$\dsup_{x\in[0,1]}x^2\abs{f(x)+g(x)}\leq\dsup_{x\in[0,1]}x^2\pa{\abs{f(x)}+\abs{g(x)}}.$$
Quei sup sono sup di funzioni continue ($x^2$ lo \`e e $f,g$ lo sono perché stanno per ipotesi in $C^0([0,1])$) su un compatto ($[0,1]$), quindi sono massimi. Inoltre a destra abbiamo il sup di una somma di cose positive, e quindi \`e la somma dei sup, che sono massimi. Quindi siamo arrivati alla tesi.
\een
Osservo ora, in caso mi serva, che:
$$\norm{f}=\norm{x^2f}_\8,$$
dove $\norm{\per}_\8$ \`e la norma uniforme. Quindi dovrei trovare una successione $f_n$ tale che $x^2f_n$ sia di Cauchy in norma uniforme ma non converge uniformemente, assurdo. Forse l\6uguaglianza di sopra non \`e vera. Oppure la Felli ha sparato una cazzata in questo esercizio. In realt\`a se trovo $f_n$ tale che $x^2f_n$ converga uniformemente a $g$ per cui $\fr{g}{x^2}$ non \`e continua sono a posto, perché $f_n$ a quel punto converge in questa norma a qualcosa che non \`e in $C^0$ e quindi $C^0$ non \`e completo. Dopo una lunga serie di tentativi infruttuosi, ho considerato:
$$f_n(x)=\dsum_{k=1}^n\pa{-1}^n\pa{x-1}^n,$$
che \`e la somma di Taylor $n$-sima di $\fr{1}{x}$. Questa moltiplicata per $x^2$ converge uniformemente ad $x$, poiché la serie converge ad $\fr{1}{x}$ e moltiplicandola per $x^2$ moltiplico per $x^2$ il limite. Le funzioni in questioni sono continue, ma il limite in questa norma \`e $\fr{1}{x}$ che non \`e continua. Per chi fosse scettico sul moltiplicare il limite, io ho gi\`a provato che vale quel limite uniforme sulle cose moltiplicate, anche se il limite uniforme della serie vale in $[\dg,1]$ perché in $0$ c'\`e il problema. Non ho voglia di copiarlo: gli scettici se lo facciano da sé.

\begin{esecasa}
Siano $X=\br{f\in C^1([0,1]):\ouintext01f(x)dx=0}$ e $\norm{\per}:X\to\R$ definita come:
$$\norm{f}=\dmax_{x\in[0,1]}\abs{f^\1(x)}.$$
Si dimostri che $\norm{\per}$ \`e una norma su $X$ e che $(X,\norm{\per})$ \`e uno spazio di Banach.
\end{esecasa}
La prima propriet\`a \`e garantita dal modulo, e la seconda dalla condizione sull\6integrale. Infatti se $\norm{f}=0$ significa che $f^\1$ \`e la funzione nulla, e quindi $f$ \`e costante. Dunque il suo integrale su $[0,1]$ \`e uguale al suo valore costante, e dunque per avere integrale nullo deve essere nulla. Terza e quarta propriet\`a discendono dalla linearit\`a della derivata e dalle propriet\`a della norma uniforme applicate alle derivate. Infatti questa norma non \`e altro che la norma uniforme della derivata della funzione. Questo ci dice subito che se una successione \`e di Cauchy con questa norma, la successione delle derivate \`e di Cauchy con la norma uniforme, ed essendo tali derivate continue essa converge. Pertanto la successione delle $f_n^\1$ converge a una funzione $f^\1\in C^0([0,1])$. Essendo continua, \`e integrabile, ovvero ammette primitiva. Quindi se prendo la primitiva con integrale nullo su $[0,1]$, chiaramente sar\`a la $f$ tale che $f_n\to f$ con questa norma. Dunque $X$ risulta di Banach.

\sect{Continuit\`a}
Questi non penso che li far\`o tutti perché la stessa cosa si fa nella differenziabilit\`a e sono tanti conti. Comunque cominciamo.
\begin{esecasa}
$$f_1(x,y)=\sistbis{\fr{x^4+xy-xy^3}{x^2+\abs{y}}}{(x,y)\neq(0,0)}{0}{(x,y)=(0,0)}.$$
\end{esecasa}
Ovviamente l\6unico problema \`e nell\6origine perché \`e l\6unico punto dove si annulla il denominatore. Verifichiamo se il limite \`e nullo, ossia cerchiamo di vedere se vale o no che:
$$\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{x^4+xy-xy^3}{x^2+\abs{y}}=0.$$
Non vedo a occhio curve da cui non sia cos\`i, quindi proviamo con le polari. Quindi il limite diventa:
$$\dlim_{\rg\to0^+}\fr{\srg^4\cos^4\qg+\srg^2\cos\qg\sin\qg-\srg^4\cos\qg\sin^3\qg}{\srg^2\cos^2\qg+\srg\abs{\sin\qg}}.$$
Dato che per $\srg\to0$ si ha definitivamente $\srg^2<\srg$, posso maggiorare la frazione sostituendo al $\srg$ del den. un $\srg^2$ e semplificando, ottenendo:
$$\dlim_{\rg\to0^+}\fr{\srg^2\cos^4\qg+\cos\qg\sin\qg-\srg^2\cos\qg\sin^3\qg}{\cos^2\qg+\abs{\sin\qg}}=\fr{\cos\qg\sin\qg}{\cos^2\qg+\abs{\sin\qg}}\neq0.$$
Ho provato un sacco di curve e mi viene sempre $0$, ma colle polari viene che non esiste, e Wolframalpha concorda. A questo punto non resta che tentare di far s\`i che $\srg$ compaia in tutto il numeratore. Se ci riesco allora il limite \`e $0$. Allora noi vorremmo che $xy$ diventasse di grado sopra due. Sostituiamo $x=u$ e $y=v\abs{v}$. Il limite diventa:
$$\dlim_{(u,v)\to(0,0)}\fr{u^4+uv\abs{v}+uv^3\abs{v}^3}{u^2+v^2}.$$
Con questo peraltro il denominatore diventa un semplice $\srg^2$, quindi polari subito, e il limite diventa:
$$\dlim_{\rg\to0^+}\fr{\srg^4\cos^4\qg+\srg^3\cos\qg\sin^2\qg+\srg^7\cos\qg\sin^6\qg}{\rg^2}=\dlim_{\rg\to0^+}\(\srg^2\cos^4\qg+\srg\cos\qg\sin^2\qg+\rt.$$
$$\lf.\srg^5\cos\qg\sin^6\qg\)=0.$$
Quindi la funzione \`e continua nell\6origine.\lfeed
La due la lascio a voi, il limite \`e banalmente inesistente perché in polari si vede subito, rimane $\cos\qg$.\lfeed
La 3 e la 4 invece sono, in ordine inverso, tra pagina 55 e pagina 56.

\begin{esecasa}
$$f_5(x,y)=\sistbis{\fr{\arctan(xy)}{y}}{y\neq0}{0}{y=0}.$$
\end{esecasa}
\`E chiaro che per $y\to0$ anche $xy\to0$, e quindi $\arctan(xy)\~ xy$. Dunque posso scrivere:
$$\dlim_{(x,y)\to(x_0,0)}\fr{\arctan(xy)}{xy}=\dlim_{(x,y)\to(x_0,0)}\fr{xy}{y}=\dlim_{(x,y)\to(x_0,0)}x=x_0,$$
e quindi l\6unico punto dell\6asse $x$ (ossia l\6unico $(x_0,0)$) per cui la funzione \`e continua \`e proprio l\6origine, dove $x_0=0$.

\begin{esecasa}
$$f_6(x,y)=\sistbis{\fr{xy^3}{x^4+y^2}}{(x,y)\neq(0,0)}{0}{(x,y)=(0,0)}.$$
\end{esecasa}
Come in tutte le precedenti, solo dove cambia la definizione ci sono potenziali problemi di continuit\`a. Qui andiamo subito ad omogeneizzare il denominatore sostituendo:
$$\begin{sistema}
x=u\\
y=v\abs{v}
\end{sistema}.$$
Il limite diventa:
$$\dlim_{(u,v)\to(0,0)}\fr{uv^3\abs{v^3}}{u^4+v^4},$$
e in polari:
$$\dlim_{\rg\to0^+}\fr{\rg^7\cos\qg\sin^5\qg\abs{\sin\qg}}{\rg^4\pa{\cos^4\qg+\sin^4\qg}}=\dlim_{\rg\to0^+}\fr{\rg^3\cos\qg\sin^5\qg\abs{\sin\qg}}{\cos^4\qg+\sin^4\qg}=0.$$
Infatti la frazione privata del $\rg^3$ davanti \`e limitata perché sotto non viene mai $0$ (quindi il denominatore \`e maggiore o uguale di una costante positiva) e sopra non supera $1$.\slfeed
La 7 \`e banalmente discontinua: basta arrivare dalla curva $x=x_0$ al punto $(x_0,-x_0)$ per accorgersi che il limite da quella curva \`e infinito e cambia di segno a seconda di da che parte arrivo al punto.

\begin{esecasa}
$$f_8(x,y)=\sistbis{\fr{x\arctan x^{\mf32}}{x^2+y^2-2y+1}}{x>0\et y>1}{0}{altrove}.$$
\end{esecasa}
Brutta, brutta, molto brutta. Innanzitutto la riscriviamo come:
$$f_8(x,y)=\sistbis{\fr{x\arctan x^{\mf32}}{x^2+\pa{y-1}^2}}{x>0\et y>1}{0}{altrove},$$
per osservare che l\6unico problema \`e in ogni caso il punto $(0,1)$. Infatti se rimanesse definita come la frazione dappertutto tranne che l\`i sarebbe continua, e la ridefinizione la rende costante e quindi continua. Prima di passare alle polari si osserva un banale asintotico:
$$\fr{x\arctan x^{\mf32}}{x^2+\pa{y-1}^2}\~\fr{xx^{\mf32}}{x^2+\pa{y-1}^2}.$$
Inoltre le polari le centriamo in $(0,1)$, ossia poniamo:
$$\begin{sistema}
x=\srg\cos\qg\\
y-1=\srg\sin\qg
\end{sistema}.$$
In questo modo il limite diventa:
$$\dlim_{\rg\to0^+}\fr{\srg^{\mf52}\cos^{\mf52}\qg}{\rg^2}=\dlim_{\rg\to0^+}\pa{\rad{\srg}\cos^{\mf52}\qg}=0.$$
Quindi la funzione \`e continua. Purtroppo la sera \`e finita e la differenziabilit\`a e gli integrali non ci stanno :(.


\chapter{Esercizi mattutini in Uni con LaLe e SaBo}

\sect{Differenziabilit\`a}
Il primo esercizio ha delle derivate parziali orrende. Le prime due del secondo le ho gi\`a fatte a mano.
\begin{esecasa}
$$f_3(x,y)=\sistbis{\fr{x^3}{x^2+y^2}}{(x,y)\neq(0,0)}{0}{(x,y)=(0,0)}.$$
\end{esecasa}
$$\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{x^3}{x^2+y^2}=\dlim_{\rg\to0^+}\fr{\srg^3\cos^3\qg}{\rg^2}=0.$$
Quindi \`e continua nell\6origine. Vediamo le derivate direzionali. Fissiamo $\sng=\pa{\cos\sag,\sin\sag}$. Calcoliamo:
$$\dlim_{t\to0}\fr{f(t\cos\sag,t\sin\sag)-f(0,0)}{t}=\dlim_{t\to0}\fr{t^3\cos^3\sag}{t^2\per t}=\cos^3\sag.$$
Quindi le derivate direzionali esistono tutte. Per la differenziabilit\`a calcoliamo le derivate parziali di $f$ nell\6origine. Anzi le recuperiamo dalle direzionali mettendo $\sag=0$ per quella rispetto ad $x$, da cui
$$f_x(0,0)=1,$$
e $\ag=\fr{\pg}{2}$ per quella rispetto ad $y$, da cui
$$f_y(0,0)=0.$$
Quindi calcoliamo:
$$\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k}{\rad{h^2+k^2}}=\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{\fr{h^3}{h^2+k^2}-h}{\rad{h^2+k^2}}=$$
$$=-\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{hk^2}{\rad{h^2+k^2}\pa{h^2+k^2}}=\dlim_{\rg\to0^+}\fr{\srg^3\cos\qg\sin^2\qg}{\rg^{\mf52}}=0.$$
Quindi la funzione \`e differenziabile.\lfeed
La quarta l\6ho gi\`a fatta un po\6 a mano un po\6 su fb.

\begin{esecasa}
$$f_5(x,y)=\sistbis{xye^{\sin(xy)}}{xy>0}{0}{altrove}.$$
\end{esecasa}
La prima definizione della funzione \`e continua ovunque. La seconda \`e costante. Quindi per la continuit\`a basta vedere che il limite della prima avvicinandoci ai punti dove cambia la definizione \`e $0$. Questo \`e facile perché $xy$ chiaramente tende a 0 per $xy\to0$. Derivate direzionali. Cominciamo dai punti $(x_0,0)$. Fissiamo $\sng=\pa{\cos\sag,\sin\sag}$. Calcoliamo:
$$\dlim_{t\to0}\fr{f(x_0+t\cos\sag,t\sin\sag)-f(x_0,0)}{t}=\dlim_{t\to0}\fr{\pa{x_0+t\cos\sag}t\sin\sag e^{\sin\pa{\pa{x_0+t\cos\eag}t\sin\dsi{\ag}}}}{t}=$$
$$=\dlim_{t\to0}\pa{x_0\sin\sag e^{\sin\pa{\pa{x_0+t\cos\eag}t\sin\eag}}+t\cos\sag\sin\sag e^{\sin\pa{\pa{x_0+t\cos\eag}t\sin\eag}}}=x_0\sin\sag e^{0}=$$
$$=x_0\sin\sag.$$
Nei punti $(0,y_0)$, senza calcolare esplicitamente il limite, le derivate direzionali valgono:
$$y_0\cos\sag.$$
Nell\6origine invece calcoliamo il limite esplicitamente:
$$\dlim_{t\to0}\fr{f(t\cos\sag,t\sin\sag)-f(0,0)}{t}=\dlim_{t\to0}\fr{t^2\cos\sag\sin\sag e^{\sin(t^2\cos\eag\sin\eag)}}{t}=0.$$
Differenziabilit\`a. Nell\6origine il limite della differenziabilit\`a si riduce a:
$$\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{f(h,k)}{\rad{h^2+k^2}}=\dlim_{\rg\to0^+}\fr{\srg^2\cos\qg\sin\qg e^{\sin\pa{\erg^2\sin\qg\cos\qg}}}{\rg}=$$
$$=\dlim_{\rg\to0^+}\pa{\srg\cos\qg\sin\qg e^{\sin\pa{\erg^2\cos\qg\sin\qg}}}=0.$$
Quindi $f_5$ \`e differenziabile nell\6origine. Nei punti $(x_0,0)$ si ha:
$$f_x(x_0,0)=0,$$
$$f_y(x_0,0)=1.$$
Quindi il limite della differenziabilit\`a diventa:
$$\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{\pa{x_0+h}ke^{\sin\pa{\pa{x_0+h}k}}-k}{\rad{h^2+k^2}}=\dlim_{\rg\to0^+}\fr{\pa{x_0+\srg\cos\qg}\srg\sin\qg e^{\sin\pa{\pa{x_0+\erg\cos\qg}\erg\sin\qg}}-\srg\sin\qg}{\rg}=$$
$$=\dlim_{\rg\to0^+}\sq{\pa{x_0+\srg\cos\qg}\sin\qg e^{\sin\pa{\pa{x_0+\erg\cos\qg}\erg\sin\qg}}-\sin\qg}=\sin\qg\pa{x_0-1},$$
quindi la differenziabilit\`a c'\`e solo per $x_0=1$, quindi in $(1,0)$. Ora mancano i punti $(0,y_0)$, per cui il limite verr\`a:
$$\cos\qg\pa{y_0-1},$$
quindi differenziabilit\`a solo in $(0,1)$.

\begin{esecasa}
Si discutano la continuit\`a e la differenziabilit\`a nel punto $(0,0)$ della funzione $f:\R^2\to\R$ definita come:
$$f(x,y)=\sistbis{\fr{e^{xy}-1}{\rad{x^2+y^2}}}{(x,y)\neq(0,0)}{0}{(x,y)=(0,0)}.$$
Inoltre, per ogni versore $\sng$ di $\R^2$, si calcolino (se esistono) le derivate secondo la direzione $\sng$ di $f$ nel punto $(0,0)$.
\end{esecasa}
Per $xy\to0$, $e^{xy}-1\~xy$. Quindi il limite nell\6origine \`e:
$$\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{e^{xy}-1}{\rad{x^2+y^2}}=\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{xy}{\rad{x^2+y^2}}=\dlim_{\rg\to0^+}\fr{\srg^2\cos\qg\sin\qg}{\rg}=0.$$
Quindi la continuit\`a c\6\`e. A questo punto derivate direzionali. Fissiamo $\sng=\pa{\cos\sag,\sin\sag}.$ Le derivate direzionali sono:
$$\dlim_{t\to0}\fr{f(t\cos\sag,t\sin\sag)-f(0,0)}{t}=\dlim_{t\to0}\fr{e^{t^2\cos\eag\sin\eag}-1}{t\rad{t^2\cos^2\sag+t^2\sin^2\sag}}=\dlim_{t\to0}\fr{t^2\cos\sag\sin\sag}{t\abs{t}}=$$
$$=\sgn t\cos\sag\sin\sag,$$
quindi non ne esiste una. Quindi non c'\`e differenziabilit\`a, e ci siamo risparmiati un limitazzo di differenziabilit\`a.\lfeed
Il 4 \`e troppo brutto per guardarlo. Il 5 \`e praticamente identica alla 5 di prima, manca solo il seno, quindi col cazzo che lo rifaccio.

\begin{esecasa}
Si studino la continuit\`a e la differenziabilit\`a della funzione $f:\R^2\to\R$ definita come:
$$f(x,y)=\sistbis{\rad{x^2+y^2}\sin\pa{2\arctan\fr{y}{x}}}{x\neq0}{0}{x=0}.$$
Si discuta inoltre la derivabilit\`a direzionale nel punto $(0,0)$.
\end{esecasa}
Calcoliamo per ogni $y_0\in\R$ il limite:
$$\dlim_{(x,y)\to(0,y_0)}\rad{x^2+y^2}\sin\pa{2\arctan\fr{y}{x}}.$$
Per $x\to0$, $\fr{y}{x}\to\sgn x\sgn y_0\per+\8$, quindi l\6arcontangente tende a $\fr{\pg}{2}$ per $\pm1$, quindi il seno tende a 0. Quindi il limite dovrebbe essere 0. Per\`o arrivando da $y=x+y_0$ non viene $0$. Quindi polari.
$$\dlim_{\rg\to0^+}\rad{\srg^2\cos^2\qg+\pa{\srg\sin\qg+y_0}^2}\sin\pa{2\arctan\pa{\tan\qg}},$$
che dipende da $\qg$, quindi non esiste. L\6unico caso in cui non dipende da $\qg$ \`e per $y_0=0$. Infatti in quel caso la radice diventa $\srg$, e quindi il limite fa $0$. Di conseguenza la funzione \`e continua solo in $(0,0)$, e discontinua in tutti i punti $(0,y_0)$ per $y_0\neq0$. Quindi derivate direzionali. Fissiamo, al solito, $\sng=\pa{\cos\sag,\sin\sag}$.
$$\dlim_{t\to0}\fr{f(t\cos\sag,t\sin\sag)-f(0,0)}{t}=\dlim_{t\to0}\fr{\abs{t}\sin\pa{2\arctan\tan\sag}}{t}=\sgn t\sin\pa{2\arctan\tan\sag},$$
quindi non ne esiste una, come sopra: derivate destre e sinistre non coincidono mai. Quindi la differenziabilit\`a ce la sognamo.\lfeed
La 7 \`e dello stesso tipo di tutte le altre.

\begin{esecasa}
Sia $G\in C^1(\R^2)$ tale che:
$$G(1,1)-1\geq G(x,1)-x\quad\VA x\in\R,$$
$$G(1,1)\leq G(1,y)\quad\VA y\in\R.$$
SIa $F:\R^2\to\R$ definita come $F(s,t)=G(2st-s+1,2st+t+1)$. Calcolare (se esiste) la derivata direzionale di $F$ rispetto al versore $\sng=\pa{\fr{\rad{2}}{2},\fr{\rad{2}}{2}}$ nel punto $(0,0)$.
\end{esecasa}
Proviamo a scrivere il limite:
$$\dlim_{t\to0}\fr{F\pa{t\fr{\rad{2}}{2},t\fr{\rad{2}}{2}}-F(0,0)}{t}=\dlim_{t\to0}\fr{G\pa{t^2-t\fr{\rad{2}}{2}+1,t^2+t\fr{\rad{2}}{2}+1}-G(1,1)}{t}=$$
$$=\dlim_{t\to0}\fr{G\pa{t^2-t\fr{\rad{2}}{2}+1,t^2+t\fr{\rad{2}}{2}+1}-G\pa{1,t^2+t\fr{\rad{2}}{2}+1}+G\pa{1,t^2+t\fr{\rad{2}}{2}+1}-G(1,1)}{t}=$$
$$=\dlim_{t\to0}\fr{G\pa{t^2-t\fr{\rad{2}}{2}+1,t^2+t\fr{\rad{2}}{2}+1}-G\pa{1,t^2+t\fr{\rad{2}}{2}+1}}{t}+\musb{\fr{\pd G}{\pd y}(1,1)}{0}=$$
$$=\dlim_{t\to0}\fr{\pd G}{\pd x}\pa{1,t^2+t\fr{\rad{2}}{2}+1}.$$
La nullit\`a di $\fr{\pd G}{\pd y}(1,1)$ \`e assicurata dalla seconda disequazione, che ci dice che restringendo $G$ a $x=1$ otteniamo una funzione che ha un minimo in $y=1$ e quindi che in $y=1$ ha derivata nulla. La continuit\`a delle derivate parziali ci assicura che il limite finale vale:
$$\fr{\pd G}{\pd x}(1,1).$$
Non potendo dire con certezza che la restrizione di $G$ a $(x,1)$ abbia un minimo in $1$, devo fermarmi qui e chiudere il capitolo.


\incee
\chapter{\eserc{2/12/2013}}

Avevo pensato di fare un\6esercitazione di ripasso ma non avete idea di quello che dobbiamo ancora fare. Iniziamo un argomento che ovviamente non c'\`e nel compito.

\sect{Richiami}
$$f(t,y,y^\1)=0,$$
l\6incognita \`e la $y$. Vediamo un po\6 di tipi di equazioni che si possono integrare.

\sect{A variabili separabili}
$$y^\1=f(t)g(y).$$
Se $y=\lbar{y}$ \`e soluzione di $g(\lbar{y})=0$, allora $y=\lbar{y}$ \`e una soluzione costante. Tutte le altre soluzioni si ricavano mediante:
$$\dint\fr{dy}{g(y)}=\dint f(t)dt+c,$$
ove $c$ \`e una costante arbitraria.
\begin{eseese}
$$y^\1(t)=\fr{e^{2t}}{1+e^{2t}}y(t).$$
\end{eseese}
Osserviamo subito che $y=0$ \`e la (unica) soluzione costante. Inoltre questa \`e in forma normale con secondo membro $C^\8$. A questo punto:
$$\fr{dy}{y}=\fr{e^{2t}}{1+e^{2t}}dt\implies\log{\abs{y(t)}}=\fr{1}{2}\log\abs{1+e^{2t}}+c=\fr{1}{2}\log\pa{1+e^{2t}}=\log e^c\rad{1+e^{2t}}.$$
A questo punto $c\in\R$ quindi $e^c>0$, ma generica. Quindi la chiamiamo $c_1$, e la soluzione diventa:
$$\log\abs{y(t)}=\log c_1\rad{1+e^{2t}}\implies\abs{y(t)}=c_1\rad{1+e^{2t}},$$
con $c_1>0$. Quindi:
$$y(t)=\pm c_1\rad{1+e^{2t}}.$$
$\pm c_1$ con $c_1>0$ equivale a $c_2$ con $c_2$ qualsiasi, quindi la soluzione diventa:
$$y(t)=c_2\rad{1+e^{2t}},$$
con $c_2\in\R$ qualsiasi.

\sect{Riconducibili ad equazioni a variabili separabili}

\ssect{Con $f$ ad argomento lineare ed additivamente separato in $t$ ed $y$}
Poi ci sono equazioni che si riconducono ad equazioni a variabili separabili.
$$y^\1=f(at+by),\quad a,b\in\R.$$
Poniamo $u(t)=at+by(t)$. Otteniamo:
$$u^\1(t)=a+by^\1(t)=a+bf(at+by(t))=a+bf(u(t)),$$
quindi sono arrivato a variabili separabili.
\begin{eseese}
$$y^\1=(x+y)^2.$$
\end{eseese}
Poniamo $u(x)=x+y(x)$. Quindi:
$$u^\1(x)=1+y^\1(x)=1+(u(x))^2.$$
[Dividiamo e integriamo:
$$\dint\fr{du}{1+u^2(x)}=\dint dx\implies\arctan(u(x))=x+c\implies u(x)=\tan(x+c).]$$

\ssect{Omogenee}
Un altro tipo di equazioni che si riconducono ad equazioni a variabili separabili sono le \emph{equazioni omogenee}:
$$y^\1=f\pa{\fr{y}{x}}.$$
Si chiamano omogenee perché per ogni $t$ si ha $f\pa{\fr{ty}{tx}}=f\pa{\fr{y}{x}}$, e quindi $\fr{y}{x}$ \`e omogenea. Queste si risolvono ponendo:
$$u(x)=\fr{y(x)}{x}.$$
Osserviamo:
$$y(x)=xu(x)\implies y^\1(x)=xu^\1(x)+u(x),$$
ma $y^\1(x)=f\pa{\fr{y}{x}}$ per ipotesi, quindi:
$$xu^\1(x)+u(x)=f\pa{\fr{y}{x}}=f(u(x)).$$
\begin{eseese}
$$y^\1=e^{\mf yx}+\fr{y}{x}.$$
\end{eseese}
Poniamo $u(x)=\fr{y(x)}{x}$ e quindi $xu^\1(x)+u(x)=e^{u(x)}+u(x)$, da cui:
$$xu^\1(x)=e^{u(x)}.$$
In $0$ non pu\`o avère soluzioni perché trovo $0=e^{u(0)}$, impossibile. Quindi divido:
$$\fr{u^\1}{e^u}=\fr{1}{x}.$$
Integrando:
$$\dint e^{-u}du=\dint\fr{dx}{x}+c,$$
ovvero:
$$-e^{-u}=\log\abs{x}+c.$$
Pasticcio un po\6, vedendo che:
$$c=\log e^c=\log\lbar{c},$$
e quindi:
$$-e^{-u}=\log\lbar{c}\abs{x},$$
con $\lbar{c}>0$. Porto il $-$ di l\`a e uso la propriet\`a del logaritmo:
$$e^{-u}=\log\fr{1}{\lbar{c}\abs{x}}.$$
Logaritmo da ambo i lati:
$$-u(x)=\log\pa{\log\fr{1}{c\abs{x}}}\implies u(x)=-\log\pa{\log\fr{1}{\lbar{c}\abs{x}}}.$$
A questo punto torniamo in $y$, e otteniamo:
$$y(x)=-x\log\pa{\log\fr{1}{\lbar{c}\abs{x}}},$$
con $\lbar{c}>0$. Il dominio dipende da $\lbar{c}$.

\ssect{Equazioni lineari}
Poi abbiamo le \emph{equazioni lineari}:
$$y^\1(t)=a(t)y(t)+b(t),$$
dove $a,b$ sono diciamo almeno continue. La formuletta \`e:
$$y(t)=e^{\dsi{\int a(t)dt}}\pa{\dint b(t)e^{\dsi{-\int a(t)dt}}dt+c}.$$
Allora questa formula uno se la dimentica [subito], per\`o il metodo per ricavarla \`e molto semplice. A questo punto vorrei moltiplicare per $\smg(t)$ ambo i membri in modo che:
$$\smg(t)y^\1(t)-a(t)\smg(t)y(t)=\fr{d}{dt}(?).$$
Per esempio:
$$\smg(t)=e^{-\int a(t)dt}.$$
Troviamo:
$$y^\1(t)e^{-\int a(t)dt}-a(t)e^{-\int a(t)dt}y(t)=\fr{d}{dt}\pa{y(t)e^{-\int a(t)dt}}.$$
Quindi l\6equazione di partenza diventa:
$$\fr{d}{dt}\pa{y(t)e^{\dsi{-\int a(t)dt}}}=b(t)e^{\dsi{-\int a(t)dt}}.$$
Dunque basta integrare in $dt$ ambo i membri.
\begin{eseese}
$$xy^\1(x)-y(x)+x^2=0.$$
\end{eseese}
Quella \`e una $f$ di $C^\8$ con argomenti $y,y^\1,x$. A parte soluzioni per definite in $x=0$ dove sono obbligate a $y(0)=0$ (basta sostituire), divido per $x$ e ottengo:
$$y^\1(x)=\fr{y(x)}{x}+x.$$
Se $x>0\vel x<0$ scrivo:
$$y^\1(x)-\fr{y(x)}{x}=x.$$
Moltiplico per $e^{-\dsib{\dint\fr1x}dx}$:
$$\fr{d}{dx}\pa{e^{-\dsib{\dint\fr1x}dx}y(x)}=xe^{-\dsib{\dint\fr1x}dx}.$$
Integro e trovo:
$$e^{-\dsib{\dint\fr1x}dx}y(x)=\dint xe^{-\scb{0.5}[0.5]{$\dint\fr1x$}}dx+c,$$
ossia:
$$e^{-\log\abs{x}}y(x)=\dint xe^{-\log\abs{x}}dx+c,$$
quindi:
$$\fr{1}{\abs{x}}y(x)=\dint\fr{x}{\abs{x}}dx+c.$$
A destra trovo un valore assoluto, moltiplico per $\abs{x}$ e trovo:
$$y(x)=x^2+c\abs{x},$$
con $c\in\R$. Vediamo se quel termine si pu\`o scrivere meglio. $c\abs{x}=c\sgn x\per x=\pm cx=c_1x$, con $c_1\in\R$. Quindi se $y(x)$ \`e soluzione di $y^\1(x)=\fr{y(x)}{x}+x$, \`e definita come:
$$y(x)=\sistbisdue{x^2+c_1x}{x>0}{\sq{0}}{\sq{x=0}}{x^2+c_2x}{x<0}.$$
Richiedo $y$ di classe $C^1$. Osservo che lo \`e fuori da $0$ per definizione, resta da verificare la differenziabilit\`a in $0$. Per $x>0$ abbiamo:
$$y^\1(x)=2x+c_1.$$
Per $x<0$ invece:
$$y^\1(x)=2x+c_2.$$
Per la differenziabilit\`a in $0$ devo fare che i limiti per $x\to0$ di quelle due cose siano uguali, quindi se e solo se:
$$c_1=c_2.$$
Dunque le soluzioni dell\6equazione completa sono:
$$y(x)=x^2+cx,$$
con $c\in\R$. Questo \`e un caso interessante perché in forma normale le soluzioni sono definite solo per $x>0$ o $x<0$, ma nell\6equazione posso prolungare le soluzioni nell\6origine. Facciamo [5]m di pausa.

\ssect{Equazioni di Bernoulli}
Poi ci sono le \emph{Equazioni di Bernoulli}.
$$y^\1(x)=a(x)y(x)+b(x)y^\ag(x),\quad\ag\geq0.$$
Per $\ag=0\vel1$ sono lineari. Altrimenti facciamo un cambio di variabili:
$$z(x)=\pa{y(x)}^{1-\ag}.$$
Parentesi: la soluzione stazionaria nulla c'\`e per ogni equazione di Bernoulli. Quindi per $y\neq0$ il cambio di variabili \`e lecito anche per $\sag>1$. Osserviamo:
$$z^\1(x)=\pa{1-\sag}\pa{y(x)}^{-\ag}y^\1(x)=\pa{1-\sag}\pa{y(x)}^{-\ag}\pa{a(x)y(x)+b(x)y^\ag(x)}=$$
$$=\pa{1-\sag}\pa{a(x)z(x)+b(x)},$$
quindi siamo tornati alla lineare.
\begin{eseese}
$$xy^\1(x)+2y(x)+3xy^2(x)=0(\ast).$$
\end{eseese}
Per scriverla in forma normale (ora \`e della forma $f(x,y,y^\1)=0$ con $f\in C^\8(\R^3)$) comincio da $y\neq0$:
$$y^\1(x)=2\fr{y}{x}-3y^2,$$
quindi equazione di Bernoulli con $\sag=2$. Sostituiamo:
$$z(x)=\pa{y(x)}^{1-2}=\fr{1}{y(x)}\implies z^\1=-y^{-2}y^\1=-y^{-2}\pa{2\fr{y}{x}-3x^2}=-2\fr{z}{x}+3.$$
Moltiplico e divido per:
$$e^{\dsib{\dint}\dbfr{2}{x}dx},$$
e trovo:
$$\fr{d}{dx}\pa{z(x)e^{\dsib{\dint}\dbfr{2}{x}dx}}=3e^{\dsib{\dint}\dbfr{2}{x}dx}.$$
Quindi:
$$z(x)e^{\dsib{\dint}\dbfr{2}{x}dx}=\dint2e^{\dsib{\dint}\dbfr{2}{x}dx}+c,$$
ovvero:
$$z(x)e^{\log x^2}=\dint2e^{\log x^2}+x\implies x^2z(x)=\dint3x^2dx+c\implies z(x)=x+\fr{c}{x^2}.$$
Ritorniamo alla $y$:
$$\fr{1}{y(x)}=x+\fr{c}{x^2}=\fr{x^3+c}{x^2}\implies y(x)=\fr{x^2}{x^3+c}.$$
OK. Se $y$ \`e soluzione di $\ast$, allora:
$$y(x)=\sistbisdue{\fr{x^2}{x^3+c_1}}{x>0,c\in\R}{[1em]\fr{x^2}{x^3+c_2}}{x<0,c_2\in\R}{[1em]?}{x=0}.$$
Pu\`o essere prolungata in $0$? Devo soddisfare l\6equazione originaria in $0$. Questo implica che $y(0)=0$ (sostituite). La soluzione deve essere continua, quindi posso verificare i limiti destro e sinistro. Si pu\`o avere una soluzione con discontinuit\`a eliminabile quindi non $C^1$. A questo punto verifichiamo la differenziabilit\`a. Prima per\`o per avere una soluzione definita in $0$ $c_1,c_2\neq0$. Derivata:
$$y^\1(x)=\fr{2x}{x^3+c_1}+x^2\pa{-1}\pa{x^3+c_1}^{-2}3x^2\quad x>0.$$
Il limite per $x\to0^+$ se $c_1\neq0$ \`e $0$. Se anziché $c_1$ scrivo $c_2$ vedo che il limite sinistro \`e pure $0$. Quindi se $c_1,c_2\neq0$ la $y_{c_1c_2}$ \`e una soluzione definita anche in $0$. Ho una famiglia di soluzioni definite in $0$, ma d\6altronde se guarda l\6equazione in forma normale vedo che non \`e definito in $0$ il secondo membro, quindi non soddisfa le ipotesi per esistenza e unicit\`a, e infatti in $0$ avete la biforcazione, tutte le soluzioni. Esistono soluzioni definite su tutto $\R$? $y_{c_1c_2}$ \`e definita per
$$x^3+c_1\neq0\implies x\neq\rad[3]{-c_1}.$$
Per\`o siccome consideriamo $x>0$, se $c_1>0$ allora non esiste nessun $x>0:x=\rad[3]{-c_1}$. Quindi $y_{c_1c_2}$ \`e definita per $x>0$, e anche in $0$. Guardiamo in $x<0$. Se $x<0$ la soluzione non \`e definita in $x=\rad[3]{-c_2}$, e quindi se $c_2<0$ $\nex x<0:x=\rad[3]{-c_2}$, quindi la soluzione \`e definita $\VA x<0$. Quindi se considero:
$$y_{c_1c_2}(x)=\sistbisdue{\fr{x^2}{x^3+c_1}}{x>0}{[1em]0}{x=0}{[1em]\fr{x^2}{x^3+c_2}}{x<0}$$
con $c_1<0,c_2>0$, questa \`e una soluzione definita su tutto $\R$, quindi l\6equazione di partenza ammette infinite soluzioni che passano per lo stesso punto.

\sect{Ultimo tipo: secondo ordine}
Ora si passa al secondo ordine. Ultimo esempio di integrabili elementarmente sono del tipo:
$$y^{\1\1}(x)=f(y(x)).$$
Queste si integrano moltiplicando per $y^\1(x)$:
$$y^{\1\1}(x)y^\1(x)=f(y(x))y^\1(x)\implies \fr{1}{2}\pa{y^\1(x)}^2=F(y(x))+c,$$
ove $F(t)=\dint f(t)dt$. Quindi:
$$\pa{y^\1(x)}^2=2F(y(x))+c,$$
da cui:
$$y^\1(x)=\pm\rad{2F(y(x))+c}.$$

\sect{Esercizio di commiato non concluso}
\begin{eseese}
Calcolare le soluzioni di:
$$y^\1=2y+ae^x.$$
Con questo, trovare tutte le soluzioni del sistema:
$$\begin{sistema}
y_1^\1=y_1\\
y_2^\1=-y_1+2y_2\\
y_3^\1=y_1+2y_3
\end{sistema}.$$
\end{eseese}
L\6equazione \`e lineare. Riscrivo:
$$y^\1-2y=ae^x.$$
Moltiplico per $e^{\dsi{-\int 2dx}}$:
$$\fr{d}{dx}\pa{e^{\dsi{-\int 2dx}}y}=e^{\dsi{-\int 2dx}}ae^x.$$
Quindi:
$$ye^{-2x}=\dint ae^{-x}dx+c=-ae^{-x}+c.$$
Quindi rimane:
$$y(x)=-ae^x+ce^{2x},\quad c\in\R.$$
Risultato della prima equazione del sistema, disaccoppiata dalle altre:
$$y_1=c_2e^x,\quad c_2\in\R.$$
Anche $c_2=0$, perché la soluzione nulla \`e contemplata. Ora si sostituisce sotto, e si usa il risultato sopra per concludere. Questo lo facciamo Gioved\`i. In bocca al lupo per domani. CREPI (tanti).

\chapter{Esercizi pomeridiani durante Informatica}

\sect{Ancora differenziabilit\`a}
La 9 non ho voglia di farla.

\begin{esecasa}
Per ogni $\sag\in(0,+\8)$ si consideri la funzione
$$f_\ag(x,y)=\sistbis{\fr{\abs{\sin\pa{x-y}}^\ag}{\abs{x^2-y^2}}+1}{x\neq y\et x\neq-y}{1}{altrove}.$$
Si discutano la continuit\`a e la differenziabilit\`a di $f_\ag$ al variare di $\sag\in(0,+\8)$.
\end{esecasa}
Questo, gi\`a vi dico, \`e l\6ultimo. Poi passo ai massimi e minimi. \`E chiaro che la continuit\`a \`e equivalente a:
$$\dlim_{(x,y)\to(x_0,\pm x_0)}\fr{\abs{\sin\pa{x-y}}^\ag}{\abs{x^2-y^2}}=0.$$
Cominciamo dal caso apparentemente pi\`u facile: l\6origine. Anzi, prima osserviamo che per $(x,y)\to(x_0,-x_0)$ il denominatore tende a $0$ e il numeratore no, perché resta limitato in ogni caso. Quindi $\VA\sag$ (anche $\sag<0$, fra l\6altro) non c'\`e continuit\`a in $(x_0,-x_0)$, almeno per $x_0\neq0$. Ora s\`i che studiamo l\6origine. Avvicinandoci all\6origine il numeratore \`e asintotico a $\abs{x-y}^\ag$, quindi il limite sopra \`e:
$$\dlim_{(x,y)\to(0,0)}\fr{\abs{x-y}^\ag}{\abs{x^2-y^2}}=\dlim_{\rg\to0^+}\fr{\srg^\ag\abs{\cos\qg-\sin\qg}^\ag}{\srg^2\abs{\cos^2\qg-\sin^2\qg}}=\dlim_{\rg\to0^+}\fr{\abs{\cos\qg-\sin\qg}^{\ag-1}}{\srg^{2-\ag}\abs{\cos\qg+\sin\qg}}.$$
Per $\sag=1$ non c'\`e continuit\`a perché il limite \`e infinito. Per $\sag<1$ a denominatore abbiamo un $\srg^{2-\ag}$ che ha esponente positivo, quindi la cosa non \`e limitata. Per $\sag>1$ se $\sag<2$ ancora l\6esponente di $\srg$ \`e positivo. Se $\sag=2$ il limite \`e dipendente da $\qg$ in quanto resta $\abs{\fr{\cos\qg-\sin\qg}{\cos\qg+\sin\qg}}$. Per $\sag>2$ invece ho un esponente negativo sotto che quindi diventa positivo sopra, uno zero per una frazione che \`e:
$$\fr{\abs{\cos\qg-\sin\qg}^{\ag-1}}{\abs{\cos\qg+\sin\qg}}\leq\fr{2^{\ag-1}}{\abs{\cos\qg+\sin\qg}}.$$
La maggiorazione \`e corretta perché per $\sag>2$ si ha $\sag-1>0$, e quindi la monotonia viene conservata dalla potenza, almeno per basi positive come nel nostro caso. Ora non resta che dimostrare che il denominatore non si annulla, e poi la frazione \`e limitata e il limite vale 0. Quel denominatore vale zero solo per
$$\cos\qg=-\sin\qg.$$
Questo per\`o implica che $x=-y$. Quindi vale nell\6origine. Dunque il limite non esiste perché si infinitizza su $y=-x$. Fuori dall\6origine per\`o quella curva non \`e utilizzabile. Inoltre in un intorno di ogni $(x_0,x_0)$ si ha $x\neq-y$, il che significa che il limite vale $0$. Quindi la funzione \`e continua su tutta $y=x$ meno l\6origine e discontinua su tutta $y=-x$. Riassumendo:
\ben
\item Per $\sag\leq2$ la funzione non \`e continua né su $y=x$ né su $y=-x$.
\item Per $\sag>2$ \`e continua solo su $y=x$ ma non nell\6origine.
\een
Quindi studiamo la differenziabilit\`a di $f$ nei punti $(x_0,x_0)$ per $\sag>2$. Derivate parziali:
$$\dlim_{h\to0}\fr{f(x_0+h,x_0)-f(x_0,x_0)}{h}=\dlim_{h\to0}\fr{\abs{\sin\pa{x_0+h-x_0}}^\ag}{h\abs{\pa{x_0+h}^2-x_0^2}}=\dlim_{h\to0}\fr{\abs{\sin h}^\ag}{h\abs{x_0^2+2x_0h+h^2-x_0^2}}=$$
$$=\dlim_{h\to0}\fr{\sgn h\abs{h}^{\ag-1}}{\abs{h^2+2x_0h}}=\dlim_{x\to0}\fr{\sgn h\abs{h}^{\ag-2}}{\abs{2x_0+h}},$$
che per $\sag>2$ fa $0$. Data la simmetria della funzione rispetto al cambio di variabili, garantita dai moduli, anche quella rispetto ad $y$ verr\`a esattamente $0$. Quindi il limitone della differenziabilit\`a \`e:
$$\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{f(x_0+h,x_0+k)-f(x_0,x_0)-0h-0k}{\rad{h^2+k^2}}=$$
$$=\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{1}{\rad{h^2+k^2}}\fr{\abs{\sin\pa{x_0+h-x_0-k}}^\ag}{\abs{\pa{x_0+h}^2-\pa{x_0-k}^2}}=$$
$$=\dlim_{\rg\to0^+}\fr{\srg^\ag}{\srg}\fr{\abs{\sin\pa{\cos\qg-\sin\qg}}^\ag}{\abs{\srg^2\cos^2\qg-\rg^2\sin^2\qg+2x_0\rg(\cos\qg+\sin\qg)}}=$$
$$\dlim_{\rg\to0^+}\srg^{\ag-2}\fr{\abs{\sin\pa{\cos\qg-\sin\qg}}^\ag}{\abs{\srg\sin(2\qg)+2x_0(\cos\qg+\sin\qg)}}.$$
Per $\sag>2$ quel $\srg^{\ag-2}\to0^+$. Il numeratore della frazione \`e limitato. Il denominatore tende a $\abs{2x_0\pa{\cos\qg+\sin\qg}},$ che a meno dell'$x_0$ abbiamo gi\`a visto sopra, quindi la frazione \`e limitata, quindi il limite vale 0, quindi la funzione \`e differenziabile.


\chapter{Esercizi pomeridiani a casa}

\sect{Massimi e minimi}
Chiaramente non c'\`e tempo di farli tutti avendo il parziale domani. Quindi ne salter\`o parecchi. Vediamo quanti riesco a farne. Sono le 16:35. Del primo far\`o tutte le funzioni.
\begin{esecasa}
$$f_1(x,y)=x^8+\pa{x-y}^2.$$
\end{esecasa}
I punti stazionari (o critici) sono quelli dove il gradiente \`e nullo. Questo equivale al sistema:
$$\begin{sistema}
8x^7+2\pa{x-y}=0\\
-2\pa{x-y}=0
\end{sistema}.$$
Questo significa necessariamente $x=y$, dalla seconda equazione, e sostituendo nella prima si ottiene necessariamente l\6origine. Per studiarne la natura osserviamo che la funzione \`e una somma di termini positivi che si annulla solo nell\6origine, quindi \`e un minimo globale. Quindi ci \`e andata bene: una Hessiana in meno :).

\begin{esecasa}
$$f_2(x,y)=y\pa{x^2+y}.$$
\end{esecasa}
Ancora una volta, annulliamo il gradiente:
$$\begin{sistema}
2xy=0\\
x^2+2y=0
\end{sistema}.$$
Se $y=0$ sono soddisfatte entrambe le cose, quindi tutto l\6asse $x$ ($y=0$) \`e di punti critici. Per $y\neq0$ ottengo $x=0$ nella prima e quindi ancora $y=0$ nella seconda, assurdo. Quindi solo i punti con $y=0$ sono critici. Qua purtroppo ci tocca di calcolarci la Hessiana:
$$\s{H}_{f_2}(x,y)=\sq{\mat{cc}2y&2x\\2x&2\emat}.$$
Sostituiamo allora $y=0$, ottenendo:
$$\s{H}_{f_2}(x,0)=\sq{\mat{cc}0&2x\\2x&2\emat}.$$
Il determinante \`e:
$$\det\s{H}_{f_2}(x,0)=-4x^2,$$
sempre negativo tranne per $x=0$ dove \`e nullo. Quindi l\6unica speranza di estremante \`e l\6origine. Per l\6origine scriviamo la formula di Taylor al terzo ordine con resto di Peano:
$$f(x,y)=f(0,0)+\fr{\pd f}{\pd x}(0,0)x+\fr{\pd f}{\pd y}(0,0)y+\fr{1}{2}\fr{\pd^2f}{\pd x^2}(0,0)x^2+\fr{\pd^2f}{\pd x\pd y}(0,0)xy+$$
$$+\fr{1}{2}\fr{\pd^2f}{\pd y^2}(0,0)y^2+\fr{1}{3}\fr{\pd^3f}{\pd x^3}x^3+\fr{\pd^3f}{\pd x^2\pd y}(0,0)x^2y+\fr{\pd^3f}{\pd x\pd y^2}(0,0)xy^2+\fr{1}{3}\fr{\pd^3f}{\pd y^3}(0,0)y^3+$$
$$+o\pa{x^2+y^2}^{\dbfr32}.$$
Questo vale in generale. Nel nostro caso i termini di ordine fino al $1^o$ si annullano perché siamo in un punto critico e $f(0,0)=0$. Le derivate seconde ce le abbiamo e sono tutte nulle tranne che l\6ultima \`e due, quindi cominciamo a riscrivere:
$$f(x,y)=y^2+\fr{1}{3}\fr{\pd^3f}{\pd x^3}(0,0)x^3+\fr{\pd^3f}{\pd x^2\pd y}(0,0)x^2y+\fr{\pd^3f}{\pd x\pd y^2}(0,0)xy^2+\fr{1}{3}\fr{\pd^3f}{\pd y^3}y^3+o(...).$$
Facendo i conti ci si accorge che gli $\fr13$ dovevano essere $\fr16$ e nelle derivate terze senza coefficienti doveva esserci $\fr12$, perché l\6unico termine non nullo l\`i \`e il secondo, che d\`a $2x^2y$, ma nella funzione c'\`e solo $x^2y$, e a ordini superiori tutto si annulla. Quindi questo non ci dice nulla sul segno dell\6incremento della funzione in un intorno dell\6origine, perché ci riporta alla funzione di partenza. Ho per\`o l\6impressione che in ogni intorno di $(0,0)$ riesca a trovare un punto con $x^2+y>0$ e $y<0$. Per raggio inferiore a $1$ basta prendere l\6intersezione di $x^2+y^2=r$ con $y=-\abs{x^3}$. Quindi \`e un\6altra sella. Il tempo \`e fuggito e son gi\`a le 6, quindi passo oltre. Il secondo \`e identico tranne la limitazione dell\6insieme e il parametro, quindi il procedimento \`e pressoché identico. Il terzo una volta scoperto che la curva dove le due cose sono uguali \`e il ramo sinistro dell\6iperbole di fuochi $(0,0)$ e $(6,0)$ e stabilito dove vince quale \`e identico, si cercano i minimi e i massimi e si stabilisce se stanno nell\6insieme giusto perché il valore della funzione sia quello della funzione di cui sono estremanti. Il 4 \`e dello stesso tipo dei primi. Il 5 lo faccio.

\begin{esecasa}
$$f(x,y)=\sistbis{\fr{x^{\dbfr13}y^{\dbfr53}}{\rad{x^2+y^2}}}{(x,y)\neq(0,0)}{0}{x,y=0}.$$
Si discutano continuit\`a, derivabilit\`a parziale, differenziabilit\`a, minimi, massimi, selle di $f$.
\end{esecasa}
Il limite della continuit\`a viene $0$ perché in polari il risultato \`e
$$\rg^{\dbfr53+\dbfr13}\fr{\cos^{\dbfr13}\qg\sin^{\dbfr53}\qg}{\rg}=limitato\per\srg,$$
che tende a $0$. Fissiamo $\sng=\pa{\cos\sag,\sin\sag}$ e deriviamo rispetto a $\sng$. Viene:
$$\dlim_{t\to0}\fr{f(t\cos\sag,t\sin\sag)-f(0,0)}{t}=\dlim_{t\to0}\fr{t^2\cos^{\dbfr13}\sag\sin^{\dbfr53}\sag}{t\abs{t}}=\dlim_{t\to0}\sgn t\cos^{\dbfr13}\sag\sin^{\dbfr53}\sag,$$
che non esiste perché $t$ cambia segno in $0$. Il problema \`e che anche sugli assi non \`e derivabile direzionalmente, perché la parte dipendente da $t$ rimane $t^{\dbfr13}\fr{1}{\abs{t}}=\sgn t\per t^{-\dbfr23}$, che non va a $0$ ma a infinito, nel caso di $x=0$, e $\sgn t\per t^{\dbfr53-1}=\sgn t\per t^{\dbfr23}$ nel caso di $y=0$, che per fortuna tende a $0$ annullando tutte le derivate direzionali. Fuori dagli assi la cosa \`e chiaramente differenziabile. Quindi possiamo aspettarci differenziabilit\`a solo per $y=0$. A voler essere pignoli per $x=0$ esiste la derivata parziale rispetto ad $y$ che fa $0$ perché la funzione sull\6asse $y$ \`e costantemente $0$. Calcoliamo allora esplicitamente la derivata parziale $\fr{\pd f}{\pd y}(x_0,0)$:
$$\dlim_{t\to0}\fr{f(x_0,t)-f(x_0,0)}{t}=\dlim_{t\to0}\fr{x_0^{\dbfr13}t^{\dbfr53}}{\rad{x_0^2+t^2}t}=0.$$
Quindi il gradiente \`e nullo: ah! Punti critici! Differenziabilit\`a:
$$\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{f(x_0+h,k)-f(x_0,0)-\fr{\pd f}{\pd x}(x_0,0)h-\fr{\pd f}{\pd y}(x_0,0)k}{\rad{h^2+k^2}}=\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{\pa{x_0+h}^{\dbfr13}k^{\dbfr53}}{\rad{h^2+k^2}}=$$
$$=\dlim_{\rg\to0^+}\fr{\pa{x_0+\srg\cos\qg}^{\dbfr13}\pa{\srg\sin\qg}^{\dbfr53}}{\rg}=\dlim_{\rg\to0^+}\srg^{\dbfr23}\pa{x_0+\srg\cos\qg}^{\dbfr13}\sin^{\dbfr53}\qg,$$
che fa $0$ perché il fattore a destra \`e comunque limitato. Massimi e minimi. Troviamo i critici, poi bisogna studiare l\6asse delle $x=0$. Quindi:
$$\begin{sistema}
\fr{1}{3}\fr{x^{-\dbfr23}y^{\dbfr53}}{\rad{x^2+y^2}}-\fr{x^{\dbfr13}y^{\dbfr53}}{x^2+y^2}\fr{2y}{2\rad{x^2+y^2}}=0\\
\fr{5}{3}\fr{x^{\dbfr13}y^{\dbfr23}}{\rad{x^2+y^2}}-\fr{x^{\dbfr13}y^{\dbfr53}}{x^2+y^2}\fr{2x}{2\rad{x^2+y^2}}=0
\end{sistema}.$$
Innanzitutto dato che necessariamente $x^2+y^2\neq0$ posso moltiplicare ogni cosa per la radice, ottenendo:
$$\begin{sistema}
\fr{1}{3}\pa{x^{-\dbfr23}y^{\dbfr53}}-\fr{x^{\dbfr13}y^{\dbfr53}}{x^2+y^2}y=0\\
\fr{5}{3}\pa{x^{\dbfr13}y^{\dbfr23}}-\fr{x^{\dbfr13}y^{\dbfr53}}{x^2+y^2}x=0
\end{sistema}.$$
Visto che il termine col meno \`e uguale sopra e sotto, (dopo aver diviso sopra per $y$ e sotto per $x$, quindi supponendo $x,y\neq0$ e sapendo che $x=0\vel y=0$ risolve sempre, sottraggo membro a membro e tengo la seconda perché non ha esponenti negativi:
$$\begin{sistema}
\fr{1}{3}\pa{x^{-\dbfr23}y^{\dbfr23}}-\fr{5}{3}\pa{x^{-\dbfr23}y^{\dbfr23}}=0\\
\fr{5}{3}\pa{x^{\dbfr13}y^{\dbfr23}}-\fr{x^{\dbfr13}y^{\dbfr53}}{x^2+y^2}x=0
\end{sistema}.$$
Per combinazione i termini senza meno sono venuti uguali dopo la divisione, sicché la prima equazione si riduce a $x^{-\dbfr23}y^{\dbfr23}=0$, che implica $y=0$. Quindi gli unici punti critici hanno $y=0$ (oppure hanno $x=0$, non dimentichiamoci, ma quelli non sono differenziabili), quindi sugli assi. Studiare lo Hessiano mi sembra decisamente improponibile. Osservo per\`o che sui punti critici la funzione vale $0$, quindi osservato che in ogni intorno di ogni punto $(x_0,0)$ la funzione cambia segno, concludo che sono tutti punti di sella. Per un discorso analogo tutti gli altri candidati massimi sono selle. OK, passiamo agli integrali. Comunque certi esercizi sotto sui massimi e minimi sono assurdi: cos'\`e quella serie di potenze con argomento $xy$ e raggio di convergenza che pare $0$? E la parte intera dell\6integrale da $0$ a $x^2$ di $e^{-t^2}$ poi? Siamo FUORI?

\sect{Integrali multipli}
Il primo \`e semplice. Il secondo \`e semplice fino alla $a$, la $b$ non saprei farla in modo rigoroso, per\`o si tratta di dire che gli integrali delle funzioni a scala minoranti e maggioranti non hanno un estremo comune, cosa abbastanza evidente immaginandosi un grafico 3D della funzione. Il terzo mo lo faccio.

\begin{esecasa}
Si calcoli:
$$\uiiint{A}\abs{z}dxdydz,$$
dove
$$A=\br{(x,y,z)\in\R^3:x^2+y^2+z^2\leq4\et x^2+y^2-2y\leq0}.$$
\end{esecasa}
Aiutandosi con un disegno si rileva la simmetria del dominio rispetto al cambio di segno di $z$. Formalmente, si osserva che, se $(x,y,z)\in A$, allora $(x,y,-z)\in A$, poiché la prima equazione presenta $z^2$ e la seconda non presenta $z$. Di conseguenza l\6integrale si scinde in due integrali, quello ``sopra'\6 e quello ``sotto''. Questi due hanno uguale valore (il modulo di $z$ diventa $-z$, dopodiché cambiamo coordinate sostituendo $(x,y,z)\mapsto(X,Y,-Z)$, sicché il determinante Jacobiano ha valore assoluto 1 e $-z$ diventa $Z$, e ritorniamo al primo integrale), quindi si riduce l\6integrale a:
$$2\uiiintns{A_1\,\,\,\,\,}zdxdydz,$$
dove $A_1=A\cap\br{z>0}$. A questo punto sembra ragionevole integrare per strati. Infatti lo strato \`e un cerchio finché il cilindro $x^2+(y-1)^2=1$ non tocca la sfera, e poi si vedr\`a. Si ricava subito che la curva di intersezione \`e $z^2-4=-2y$. Dato che $x^2+(y-1)^2\leq1$, necessariamente $y\geq0$. Quindi le $z$ per cui avviene l\6intersezione sono $z^2-4\leq0\implies z\leq2$, avrei anche $z\geq-2$ ma sono in $z>0$.. Quindi sempre :(. Lo strato \`e l\6intersezione tra $x^2+y^2\leq4-z^2$ e $x^2+\pa{y-1}^2\leq1$. Quindi chiamando $S_h$ lo strato riduciamo l\6integrale a:
$$2\ouintext02z\pa{\uiintns{S_h\,\,\,\,\,\,}dxdy}dz.$$
Com'\`e fatto $S_h$? Sicuramente $y$ lo facciamo variare tra $0$ e $\rad{4-h^2}$. Poi per $x$ lo dividiamo in due. Per $y\in\sq{2-\fr12h^2,\rad{4-h^2}}$ $x$ varier\`a in $\sq{-\rad{4-h^2-y^2},\rad{4-h^2-y^2}}$, mentre per $y\in\sq{0,2-\fr12z^2}$ varier\`a in $\sq{-\rad{1-\pa{y-1}^2},\rad{1-\pa{y-1}^2}}$. Quindi l\6integrale diventa:
$$2\ouintext02z\pa{\ouintefa0{2-\fr{1}{2}z^2}\pa{\ouintext{-\rad{1-\pa{y-1}^2}}{\rad{1-\pa{y-1}^2}}dx}dy+\ouintefb{2-\fr{1}{2}z^2}{\rad{4-z^2}}\pa{\ouintext{-\rad{4-z^2-y^2}}{\rad{4-z^2-y^2}}dx}dy}dz=$$
$$2\ouintext02z\pa{\ouintefa{0}{2-\fr{1}{2}z^2}2\rad{1-\pa{y-1}^2}dy+\ouintefb{2-\fr{1}{2}z^2}{\rad{4-z^2}}2\rad{4-z^2-y^2}dy}dz.$$
OK abbiamo capito come funziona, non c'\`e tempo di finire i contacci, passiamo al prossimo. Diciamo semplicemente delle sostituzioni intelligenti per gli integrali interni: per il primo $y-1=\sin t$, per il secondo $\fr{y}{4-z^2}=\sin t$. Far\`o il 9 e l'11 dopo cena. Poi mi considerer\`o pronto e andr\`o a letto.

\begin{esecasa}
Si calcoli:
$$\uiiint{E}\fr{\pa{z^2+z}z^2}{z^3-z^2+z-1}dxdydz,$$
ove $E$ \`e l\6insieme ottenuto ruotando attorno all\6asse $z$ l\6insieme:
$$\br{(y,z)\in\R^2:y>0,2<z<5,z<\fr{1}{y}}.$$
\end{esecasa}
Con un paio di disegni si capisce che \`e intelligente integrare per strati, e che lo strato \`e sempre una corona circolare, quindi per lo strato conviene introdurre le coordinate polari, e in definitiva passare alle cilindriche:
$$\begin{sistema}
x=\srg\cos\qg\\
y=\srg\sin\qg\\
z=z
\end{sistema}.$$
Dai disegni risulta chiaro che $y$ varia in $\sq{\fr{1}{5},\fr{1}{z}}$, e questi valori si trasferiscono immediatamente a $\srg$, mentre $\qg$ data la rotazione completa non ha limitazioni. Quindi l\6integrale mi rimane:
$$\ouintext25\pa{\ouintext0{2\pg}\pa{\ouinteff{\fr{1}{5}}{\fr{1}{z}}\fr{\pa{z^2+z}z^2}{z^3-z^2+z-1}d\rg}d\qg}dz.$$
Né la funzione dipende da $\qg$, né gli estremi dipendono dalle altre variabili, sicché l\6integrale in $d\qg$ si trasforma in un $2\pg$ che moltiplica tutto. Invece dato che la funzione non dipende da $\rg$ posso estrarla dall\6integrale in $d\rg$, che quindi resta un banale $\fr{1}{z}-\fr{1}{2}$. Quindi in definitiva l\6integrale resta:
$$2\pg\ouintext25\pa{\fr{\pa{z^2+z}z^2}{\pa{z-1}\pa{z^2+1}}\pa{\fr{1}{z}-\fr{1}{2}}}dz.$$
Un integrale orrendo che comunque so calcolare, \`e da Analisi I, lo lascio a voi lettori. Passiamo al Tennis... esercizio 11. Anzi prima il 10.

\begin{esecasa}
Si calcoli il volume di:
$$\br{(x,y,z)\in\R^3:x^2-2y<z<-y^2+2x}.$$
\end{esecasa}
Le disequazioni a destra impongono una relazione tra $x$ e $y$:
$$2x-y^2>x^2-2y,$$
ossia star dentro al cerchio:
$$(x-1)^2+(y-1)^2=2,$$
il cerchio di centro $(1,1)$ e raggio $\fr{1}{\rad2}$. Integriamo dunque per fili, e gli estremi di $z$ sono gi\`a dati. L\6integranda \`e 1, quindi l\6integrale interno \`e la differenza tra gli estremi di integrazione, e l\6integrale viene:
$$\uiint{E}\pa{\ouintext{x^2-2y}{2x-y^2}dz}dxdy=\uiint{E}\pa{2x-y^2+2y-x^2}dxdy=$$
$$=\uiint{E}\sq{-\pa{x-1}^2-\pa{y-1}^2+2}dxdy,$$
ove $E$ \`e il cerchio di cui sopra. A questo punto introduciamo le coordinate polari centrate in $(1,1)$, ovvero:
$$\begin{sistema}
x-1=\srg\cos\qg\\
y-1=\srg\sin\qg
\end{sistema}.$$
Il determinante Jacobiano rimane $\rg$, e l\6integrale diventa:
$$\uiintns{E_{pol}}\pa{-\srg^2+2}\srg d\srg d\qg.$$
$\qg$ non ha limitazioni, quindi estraiamo l\6integrale dei $d\qg$ che diventa un $2\spg$ davanti a tutto, e $\srg$ varia tra $0$ e $\fr{1}{\rad2}$, quindi il tutto si riduce a:
$$2\spg\ouintefa{0}{\fr{1}{\rad2}}\pa{2\srg-\srg^3}d\srg=2\spg\sq{\srg^2-\fr{1}{4}\srg^4}\eval{0}{\dsi{\fr{1}{\rad2}}}=\spg\sq{1-\fr{1}{8}}=\fr{7}{8}\spg.$$

\begin{esecasa}
Sia
$$E=\br{(x,y,z)\in\R^3:z^2\leq x^2+y^2\leq 2z-z^2}.$$
Calcolare:
$$\uiiint{E}\fr{1}{\rad{x^2+y^2+z^2}}dxdydz.$$
\end{esecasa}
Risulta immediato constatare che
$$0\leq z\leq1.$$
Quindi integriamo per strati. L\`i andiamo ad introdurre le polari, per cui l\6integrale diventa:
$$\ouintext01\pa{\uiint{E_z}\fr{1}{\rad{x^2+y^2+z^2}}dxdy}dz=\ouintext01\pa{\uiint{E_z}\fr{1}{\rad{\srg^2+z^2}}\srg d\srg d\qg}dz.$$
La disequazione sopra in polari diventa:
$$z^2\leq\srg^2\leq2z-z^2\implies z\leq\srg\leq\rad{2z-z^2}.$$
$\qg$ non ha limitazioni, quindi estraiamo immediatamente quel $2\spg$. Dunque l\6integrale resta:
$$2\spg\ouintext01\pa{\ouintext{z}{\rad{2z-z^2}}\fr{1}{\rad{\srg^2+z^2}}\srg d\srg}dz=2\spg\ouintext01\pa{\rad{\srg^2+z^2}}\eval{z}{\rad{2z-z^2}}dz=$$
$$=2\spg\ouintext01\pa{\rad{2z}-\rad{2z^2}}dz=2\spg\pa{\rad2\fr{2}{3}z^{\dbfr32}-\fr{1}{\rad2}z}\eval01=\fr{\rad2}{3}\spg.$$
Domani far\`o anche 8,14,17,18, adesso \`e ora di andare a letto.


\chapter{Ultimi esercizi prima del compitino}

\sect{Durante Informatica}
Come annunciato, esercizi 8,14,17,18. Li copio tutti poi li svolgo.
\begin{esecasa}
Si calcoli:
$$\uiint{E}\pa{1+x^2ye^{x^2}}dxdy,$$
con
$$E=\br{(x,y)\in\R^2:2x\leq x^2+y^2\leq4}.$$
\end{esecasa}
\begin{esecasa}
Si calcoli:
$$\uiint{E}\pa{3x+2y}dxdy,$$
con
$$E=\br{(x,y)\in\R^2:x\in[0,\pg]\et\dmin\br{4-x,4x}\leq y\leq\dmax\br{4-x,3x}}.$$
\end{esecasa}
\begin{esecasa}
Si calcoli:
$$\uiint{D}e^{2\pa{x+y}}\pa{1+e^y}dxdy,$$
con
$$D=\br{(x,y)\in\R^2:e^y-2\leq x\leq e^y,\,\,-y-1\leq x\leq-y+1}.$$
\end{esecasa}
\begin{esecasa}
Si calcoli:
$$\uiint{E}\log\fr{x}{y^2}dxdy,$$
con:
$$R=\br{(x,y)\in\R^2:x<4y^2<4x,\,\,1<xy<2}.$$
\end{esecasa}
Ora mi riferir\`o agli esercizi con numeri di ``Esercizio svolto da me''. Quindi attacchiamo il 54. Con le polari l\6insieme viene:
$$2\cos\qg\leq\srg\leq2,$$
ovvero gli estremi sono $\dmax\br{2\cos\qg,0}$ e $2$. Quello che viene orrendo \`e l\6integranda, che diventa:
$$1+\srg^3\cos^2\qg\sin\qg e^{\erg^2\cos^2\qg}.$$
Ma come altro dovrei fare? E poi integrando in $\srg$ forse diventa pi\`u bella. Quindi stabiliamo cosa combina $\qg$. Innanzitutto scinderei in $\cos\qg>0$ e $\cos\qg<0$, per sistemare gli estremi. Gli insiemi sono ovviamente disgiunti quindi posso fare la suddivisione. Quindi l\6integrale resta:
$$\ouinteff{-\fr{\pg}{2}}{\fr{\pg}{2}}\pa{\ouintext{2\cos\qg}{2}\pa{1+\srg^3\cos^2\qg\sin\qg e^{\erg^2\cos^2\qg}}d\srg}d\qg+$$
$$+\ouinteff{\fr{\pg}{2}}{\fr{3}{2}\pg}\pa{\ouintext{0}{2}\pa{1+\srg^3\cos^2\qg\sin\qg e^{\erg^2\cos^2\qg}}d\srg}d\qg.$$
Riducendolo cos\`i siamo tornati ad Analisi 1, salvo la doppia integrazione, quindi lo lascio qua.\lfeed
Quanto al 55, prima di tutto si scinde per linearit\`a dell\6integrale. Poi stabiliamo il dominio direttamente in $x,y$. Bisogna scindere tra $4-x<4x$ e $4-x>4x$. Inoltre dobbiamo scindere tra $4-x<3x$ e $4-x>3x$. $4-x<4x\implies x>\fr{4}{5}$, ovvero nel nostro caso $x\in\sq{\fr{4}{5},\pg}$, $4-x>4x\implies x<\fr{4}{5}$, quindi $x\in\sq{0,\fr{4}{5}}$. $4-x<3x\implies x>1$, quindi $x\in\sq{1,\pg}$. $4-x>3x\implies x<1$, quindi $x\in\sq{0,1}$. Per $x\in\sq{0,\fr{4}{5}}$ a sinistra vince $4-x$, e a destra pure. Per $x\in\sq{\fr{4}{5},1}$ a sinistra vince $4x$, a destra vince $4-x$. Per $x\in\sq{1,\pg}$ a sinistra vince $4x$, a destra $3x$. Quindi scindo l\6integrale in tre integrali:
$$\ouintefa{0}{\fr{4}{5}}\ouintext{4-x}{4-x}...dydx+\ouintefb{\fr{4}{5}}{1}\ouintext{4x}{4-x}...dydx+\ouintext{1}{\pg}\ouintext{4x}{3x}...dydx.$$
A questo punto viva Analisi 1, e noi passiamo al 56. Per\`o attenti che il primo integrale internamente \`e 0 e poi \`e impossibile per le disuguaglianze strette, e il secondo non soddisfa le disuguaglianze perché le inverte, quindi rimane solo il secondo. Ma anche quello fa casino! E allora l\6integrale non si pu\`o fare! Infatti gli estremi inferiori vanno scambiati. Quindi il secondo rimane nullo, e gli altri si fanno. Ora il 56. Il dominio \`e orribile. Tentiamo magari di introdurre le coordinate:
$$\begin{sistema}
x=X\\
e^y=Y\implies y=\log Y
\end{sistema}.$$
Lo Jacobiano \`e:
$$\sq{\mat{cc}1&0\\0&e^y\emat},$$
con determinante sempre positivo $e^y$. \`E comunque facile vedere che \`e iniettavi, per l\6iniettivit\`a dell\6esponenziale. Per\`o devo invertire lo Jacobiano, quindi il determinante vero viene $\fr{1}{Y}$. Con questo l\6insieme diventa:
$$\br{(X,Y)\in\R^2:Y-2\leq X\leq Y,\,\,-\log Y-1\leq X\leq-\log Y+1},$$
quindi non ci abbiamo guadagnato molto. Invece l\6integrale diventa:
$$\uiintns{D_1\,\,\,\,}e^{2X}Y^2\pa{1+Y}\fr{1}{Y}dXdY=\uiintns{D_1\,\,\,\,}e^{2X}Y\pa{1+Y}dXdY,$$
ove $D_1$ \`e l\6insieme trasformato nelle due coordinate. Chiss\`a perché ho il sospetto che operare in modo simile anche per $X$ possa essere utile. Ma ci penso dopo Informatica.


\sect{Dopo Informatica, in U7 di fianco alla aula}
Se sostituiamo ulteriormente:
$$\begin{sistema}
t=e^x\implies X=\log t\\
y=d
\end{sistema},$$
Il determinante viene $\fr{1}{t}$, l\6integrale diventa:
$$\uiintns{E_2\,\,\,\,}td\pa{1+d}dtdd,$$
e l\6insieme diventa:
$$E_2=\br{(t,d)\in\R^2:d-2\leq\log t\leq d,\,\,-\log d-1\leq\log t\leq-\log d+1\implies \rt.$$
$$\lf.\fr{1}{de}\leq t\leq \fr{e}{d}\implies \fr{1}{te}\leq d\leq\fr{e}{t}},$$
ossia:
$$E_2=\br{(t,d)\in\R^2:\log t\leq d\leq\log t+2,\fr{1}{te}\leq d\leq\fr{e}{t}}.$$
Va beh non lo so fare. Dovrei fare dei massimi e minimi che non riesco a fare perché non trovo quando sono uguali le due cose. Avanti il prossimo: 57. Il dominio suggerisce:
$$\begin{sistema}
u=\fr{y^2}{x}\\
v=xy
\end{sistema},$$
trasformazione, se non erro, usata anche da Soave, quindi perfettamente lecita. Adesso tra mezz\6ora c'\`e il compitino quindi evito i conti, per\`o non dovrebbe essere troppo difficile. Se non erro il determinante Jacobiano viene $\fr{1}{3u}$.


\incle
\chapter{\lez{4/12/2013}}

\sect{Cause di non prolungabilit\`a delle soluzioni}
Capire l\6intervallo massimale di unicit\`a della soluzione \`e un problema importante. Chiediamoci quali sono le possibile cause di non prolungabilit\`a della soluzione. Pu\`o capitare o che la soluzione si avvicini al bordo di $\Wg$ e quindi vada a finire dove la $F$ grande non \`e nemmeno definita, oppure che esploda, abbia un asintoto verticale nell\6altro estremo che impedisce la prolungabilit\`a. Vediamo due esempi e poi dimostriamo che queste sono le uniche cause.
\begin{es}
$$\begin{sistema}
y^\1(t)=-\fr{1}{\rad{y(t)}}\\
y(0)=1
\end{sistema},$$
$$\Wg=\pa{-1,1}\x\pa{0,+\8}.$$
\end{es}
Quindi $f(t,y)=-\fr{1}{\rad{y}}$, $f:\Wg\to\R$, $f\in C^1(\Wg)$, quindi \`e localmente lipschitziana in $\Wg$ e quindi c'\`e esistenza e unicit\`a locale della soluzione. Quella globale non possiamo applicarla perché non \`e una striscia verticale il nostro aperto. $y$ non si annulla mai nell\6aperto, quindi l\6equazione a variabili separabili si pu\`o risolvere esplicitamente:
$$\dint\rad{y}dy=-\dint dt\implies \fr{2}{3}\pa{y(t)}^{\dbfr32}=-t+c,$$
e la condizione implica che $c=\fr{2}{3}$, quindi:
$$\pa{y(t)}^{\dbfr32}=1-\fr{3}{2}t.$$
Quindi, supposto positivo il membro a destra,
$$y(t)=\pa{1-\fr{3}{2}t}^{\dbfr23}\quad y:\pa{-1,\fr{2}{3}}\to\R.$$
In $\fr{2}{3}$ la soluzione muore perché esce da $\Wg$.
\begin{es}
$$\begin{sistema}
y^\1(t)=y^2(t)\\
y(0)=1
\end{sistema}.$$
$$\Wg=\pa{-2,2}\x\R.$$
\end{es}
Qui abbiamo una striscia verticale. $f(t,y)=y^2$, quindi $C^1$ e quindi localmente lipschitziana in $\Wg$, quindi esistenza ed unicit\`a locale. In un intervallino esiste. Quanto grande per\`o? Posso applicare l\6esistenza ed unicit\`a globale? No, perché non \`e globalmente lipschitziana, cresce troppo velocemente: ``accidenti, cresce in modo quadratico''. Ancora una volta separiamo le variabili:
$$\dint\fr{dy}{y^2}=\dint dt\implies-\fr{1}{y(t)}=t+c,$$
e dalla condizione abbiamo $c=-1$. Quindi:
$$y(t)=-\fr{1}{t-1}.$$
Questo per $t<1$. Per $t\to1$ la funzione tende a $+\8$, ha un asintoto verticale. Non posso prolungarla oltre perché esplode e va a $+\8$, quindi non c'\`e modo di prolungarla oltre 1 in modo da avere una funzione derivabile che soddisfi le ipotesi del teorema di Cauchy. Queste sono le uniche possibili cause di non prolungabilit\`a, come dal Teorema seguente.
\begin{teor}
\bemph{(di prolungabilit\`a)}\quad Siano $\Wg\sbse\R^{n+1}$ aperto, $F\in C^0(\Wg,\R^n)$ localmente lipschitziana rispetto ad $Y$ uniformemente a $t$, $(t_0,Y_0)\in\Wg$. Sia $Y$ l\6unica soluzione del problema di Cauchy
$$\begin{sistema}
Y^\1(t)=F(t,Y(t))\\
Y(t_0)=Y_0
\end{sistema},$$
che esiste per il Teorema di Esistenza ed Unicit\`a Locale in un intorno di $t_0$. Sia
$$T_d=\dsup\br{\stg>t_0:Y\hbox{ \`e definita su }\sq{t_0,\stg}},$$
ovvero l\6estremo destro dell\6intervallo massimale di esistenza. Allora o $T_d=+\8$, oppure $\dlim_{t\to T_d^-}\pa{\norm{Y(t)}+\fr{1}{d((t,Y(t)),\pd\Wg)}}=+\8$, ove $d((t,Y(t)),\pd\Wg)=\dinf_{P\in\pd\Wg}\norm{(t,Y(t))-P}$.
\end{teor}
\begin{oss}
In modo analogo posso definire l\6estremo destro:
$$T_s=\dinf\br{\stg<t_0:Y\hbox{ \`e definita in }\sq{\stg,t_0}}.$$
Allora o $T_s=-\8$ o $\dlim_{t\to T_s^+}\pa{\norm{Y(t)}+\fr{1}{d((t,Y(t)),\pd\Wg)}}=+\8$.
\end{oss}
\begin{defi}
$\pa{T_s,T_d}$ \`e l'\emph{intervallo massimale di esistenza}.
\end{defi}
Dim.
\par Supponiamo $T_d<+\8$. Devo dimostrare il limite che chiamo $\ast$. Supponiamo che $\ast$ non valga. Allora significa che per una certa successione $t_n$ la quantit\`a di cui $\ast$ esprime il limite rimane limitata, e $t_n\to T_d^-$. Pi\`u esplicitamente abbiamo
$$\3M,\eg>0\et t_n\to T_d^-:\norm{Y(t_n)}\leq M\et d((t_n,Y(t_n)),\pd\Wg)\geq\eg.$$
A meno di passare ad una sottosuccessione posso supporre che $Y(t_n)$ converga ad un limite che chiamo $Y_\8$, ovvero $Y(t_n)\to Y_\8$. Cosa posso dire di $(T_d,Y_\8)$ punto di $\R^{n+1}$? La staccatezza dal bordo di $\Wg$ mi garantisce che $(T_d,Y_\8)\in\Wg$. Essendo $\Wg$ aperto sappiamo che $(T_d,Y_\8)=P_\8$ \`e interno, quindi:
$$\3R,r>0:Q=\br{(t,Y):\abs{t-T_d}\leq r\et\norm{Y-Y_\8}\leq r}\sbse B(P_\8,R)\sbs\Wg\fnm[1]\fnt[1]{Che ci sia una palla cos\`i \`e chiaro. Dopodiché per un prodotto cartesiano di spazi metrici la metrica ``quadrato'\6 e la metrica ``cerchio'\6 sono equivalenti, da cui $Q$.}.\ic{footnote}{+1}$$
E in pi\`u posso sceglierli in modo che $F$ sia lipschitziana nella palla con costante di Lipschitz $L$. Sia allora $\tilde{F}:\R\x\R^n\to\R^n$ tale che:
$$\norm{\tilde{F}(t,Y)}\leq c,$$
$$\norm{\tilde{F}(t,Y)-\tilde{F}(t,Z)}\leq1\quad\VA(t,Y),(t,Z)\in\R^{n+1},$$
$$\tilde{F}\eval{Q}{}=F.$$
\begin{ese}
Dimostrare che una funzione di questo tipo esiste.
\end{ese}
L\6idea \`e moltiplicare $F$ per una funzione che sia 1 in $Q$, 0 fuori dalla palla e si raccordi mantenendosi lipschitziana\fn{Tale funzione, che sarebbe $f:\R^n\to\R$, sono convinto che sia possibile, ma non riesco ad esibirne una.}. Questo perché $F$ \`e lipschitziana in $Q$. Sia allora $\dg>0$. Osserviamo che:
$$\3\lbar{n}:\norm{Y(t_{\lbar{n}})-Y_\8}\leq\dg\et\abs{T_d-t_{\lbar{n}}}\leq\dg,$$
per le convergenze. Allora considero un nuovo problema di Cauchy:
$$\begin{sistema}
Z^\1(t)=\tilde{F}(t,Z(t))\\
Z(t_{\lbar{n}})=Y(t_{\lbar{n}})
\end{sistema}.$$
Questo problema ha soluzione dappertutto perché $\tilde{F}$ \`e globalmente lipschitziana, quindi ha un\6unica soluzione $Z$ su qualunque intervallo voglia, in particolare su $\sq{t_{\lbar{n}},T_d+\dg}$. L\6idea \`e di incollare $Z$ alla soluzione del problema di Cauchy originario che \`e definita oltre l\6estremo dell\6intervallo massimale, cos\`i ho un assurdo. Definisco:
$$\tilde{Y}(t)=\sistbis{Y(t)}{t\in\sq{t_0,t_{\lbar{n}}}}{Z(t)}{t\in\sq{t_{\lbar{n}},T_d+\dg}}.$$
Si incolla bene per la condizione del secondo problema di Cauchy. Dimostriamo che risolve il problema originario. Se $t\in\sq{t_{\lbar{n}},T_d+\dg}$ stimiamo:
$$\norm{Z(t)-Y_\8}\musb{^{\scb{0}[0.5]{{\color{white}$\fr{}{}$}}}\leq}{\hbox{subadditivit\`a della norma}}\norm{Z(t)-Y(t_{\lbar{n}})}+\scb{0.01}[0.1]{$\mat{c}\scb{0}[4]{\whitea}\\\scb{100}[10]{\musb{\norm{Y(t_{\lbar{n}})-Y_\8}}{\leq\dg\hbox{ per scelta di }\lbar{n}}}\emat$}\leq=$$
$$\leq\dg+\norm{\ouintext{t_{\lbar{n}}}{t}\tilde{F}(s,Z(s))ds}\leq\dg+\ouintext{t_{\lbar{n}}}{t}\norm{\tilde{F}(s,Z(s))}ds\underset{\tilde{F}\scb{0.7}[0.7]{ \`e lipschitziana}}{\leq}\dg+\ouintext{t_{\lbar{n}}}{t}cdt\leq$$
$$\leq\dg+c\pa{t-t_{\lbar{n}}}\underset{\scb{0.7}[0.7]{il II termine \`e $\leq$ del suo sup}}{\leq}\dg+c\pa{T_d-t_{\lbar{n}}+\dg}\leq$$
$$\underset{\mat{c}\dsi{\abs{T_d-t_{\lbar{n}}}\leq\dg}\\\scb{0.7}[0.7]{ per definizione di }\dsi{\lbar{n}}\emat}{\leq}\dg+c\pa{2\dg}.$$
Scelgo $\dg$ in modo che:
$$\begin{sistema}
\dg\pa{2c+1}\leq r\\
2\dg<r
\end{sistema}.$$
In questo modo ho che:
$$\VA t\in\sq{t_{\lbar{n}},T_d+\dg}\quad(t,Z(t))\in Q\fnm[3]\fnt[3]{Infatti in quelle condizioni si ha necessariamente $\abs{t-T_d}\leq r$ e $\norm{Z(t)-Y_\8}\leq r$ per la disuguaglianza appena provata e per un passaggio della dimostrazione della medesima.}.\ic{footnote}{+1}$$
Quindi $\tilde{F}(t,Z(t))=F(t,Z(t))$ in $\sq{t_{\lbar{n}},T_d+\dg}$. Quindi $\tilde{Y}$ \`e soluzione del problema di Cauchy di partenza su tutto $\sq{t_0,T_d+\dg}$. Ho prolungato la soluzione oltre l\6estremo destro dell\6intervallo massimale di esistenza. Questo ovviamente \`e un ASSURDO. Direi che possiamo fare una pausa, e dopo la pausa vedremo invece il problema della dipendenza continua dai dati iniziali.
\par Pausa.
\sect{Dipendenza dai dati iniziali}

\ssect{Gronwall}
\`E un problema importante, perché a volte i dati iniziali sono noti con un margine di errore, e certi parametri pure. Per affrontarlo ci serve un lemma preliminare.
\begin{lemma}
\bemph{di Gronwall}\fn{Su questo aggeggio con qualche problema di dimostrazione e scrittura far\`o chiarezza pi\`u gi\`u. L\6enunciato manca di una $L$ davanti all\6integrale.}\quad Siano $h\in C^0([t_0,b),\R)$ e $\yg\in C^0([t_0,b),\R)$ lipschitziane con $L\geq0$. Supponiamo che
$$h(t)\leq\yg(t)+\xxouint{t_0\,\,}{\,\,\,\,t}h(s)ds,$$
e che questo sia valido $\VA t\in[t_0,b)$. Allora
$$h(t)\leq\yg(t)+L\xxouint{t_0\,\,}{\,\,\,\,t}\yg(s)e^{L\pa{t-s}}ds\quad\VA t\in[t_0,b).$$
\end{lemma}
Dim.
\par Sia
$$f(t)=e^{-L\pa{t-t_0}}\xxouint{t_0\,\,}{\,\,\,\,t}h(s)ds-\xxouint{t_0\,\,}{\,\,\,\,t}\yg(s)e^{-L\pa{s-t_0}}ds.$$
Dalla definizione sappiamo che $f\in C^1([t_0,b))$ e:
$$f^\1(t)=-Le^{-L\pa{t-t_0}}\xxouint{t_0\,\,}{\,\,\,\,t}h(s)ds+e^{-L\pa{t-t_0}}h(t)-\yg(t)e^{-L\pa{t-t_0}}=$$
$$=e^{-L\pa{t-t_0}}\sq{h(t)-\yg(t)-L\xxouint{t_0\,\,}{\,\,\,\,t}h(s)ds}.$$
L\6ipotesi ci dice che la quadra \`e non positiva, quindi $f$ \`e non crescente. Quindi sopra $t_0$ $f$ \`e non positiva perché in $t_0$ si annullano entrambi gli integrali. Quindi:
$$\xxouint{t_0\,\,}{\,\,\,\,t}h(s)ds\leq e^{L\pa{t-t_0}}\xxouint{t_0\,\,}{\,\,\,\,t}\yg(s)e^{-L\pa{s-t_0}}ds,$$
che portando l\6esponenziale dentro l\6integrale d\`a la tesi (pi\`u o meno).
\begin{cor}
Siano $h\in C^0([t_0,b),\R),M\in\R,L\geq0$ tali che
$$h(t)\leq M+L\xxouint{t_0\,\,}{\,\,\,\,t}h(s)ds\quad\VA t\in[t_0,b).$$
Allora:
$$h(t)\leq Me^{L\pa{t-t_0}}.$$
\end{cor}
\`E il caso particolare del lemma di Gronwall dove per $\yg$ prendiamo la funzione costante $M$. La conclusione del lemma \`e che:
$$h(t)\leq M+L\xxouint{t_0\,\,}{\,\,\,\,t}Me^{L\pa{t-s}}ds=M+LM\pa{-\fr{1}{L}e^{L\pa{t-s}}}\eval{s=t_0}{s=t}=$$
$$=M+M\pa{-1+e^{L\pa{t-t_0}}}=Me^{L\pa{t-t_0}}.$$

\ssect{Il Teoremone}
\begin{teor}
\bemph{(di dipendenza continua dai dati)}\quad Siano $\Wg\sbse\R^{n+1}$ aperto, $t_0,a,b\in\R:a<t_0<b$, $\lbar{Y}_1,\lbar{Y}_2\in\R^n:(t_0,\lbar{Y}_1),(t_0,\lbar{Y}_2)\in\Wg$, $F_1,F_2\in C^0(\Wg,\R^n):F_1$ sia lipschitziana rispetto a $Y$ con costante di lipschitz $L$ e $\norm{F_1(t,Y)-F_2(t,Y)}\leq\ag\quad\VA(t,Y)\in\Wg$ per una certa $\sag$ costante positiva. Allora cerchiamo di confrontare le due soluzioni. Se
$$Y_1,Y_2\in C^1((a,b),\R^n):\Graf{Y_i}\sbse\Wg,Y_i^\1(t)=F_i(t,Y_i(t))\quad\VA t\in\,\,(a,b),Y_i(t_0)=\lbar{Y}_i,$$
ovvero le due cose sono soluzioni dei due problemi di Cauchy, allora
$$\norm{Y_1(t)-Y_2(t)}\leq\norm{\lbar{Y}_1-\lbar{Y}_2}e^{L\abs{t-t_0}}+\fr{\ag}{L}\pa{e^{L\abs{t-t_0}}-1}\quad\VA t\in(a,b).$$
\end{teor}
Vale a dire: se perturbo di poco i dati (la seconda norma \`e piccola) e $\sag$ \`e piccola (ovvero $F_1,F_2$ sono abbastanza vicine, uniformemente vicine) la distanza tra le soluzioni \`e limitata da qualcosa di piccolo. Per questo si chiama di dipendenza continua dai dati.\slfeed
Dim.
\par Per $t\geq t_0$ (altrimenti cambio variabile e mando $t\mapsto2t_0-t$) stimiamo quella norma:
$$\norm{Y_1(t)-Y_2(t)}=\norm{\lbar{Y}_1-\lbar{Y}_2+\xxouint{t_0\,\,}{\,\,\,\,t}\pa{F_1(s,Y_1(s))-F_2(s,Y_2(s))}ds}=$$
$$=\norm{\lbar{Y}_1-\lbar{Y}_2+\xxouint{t_0\,\,}{\,\,\,\,t}\pa{F_1(s,Y_1(s))-F_1(s,Y_2(s))}ds+\xxouint{t_0\,\,}{\,\,\,\,t}\pa{F_1(s,Y_2(s))-F_2(s,Y_2(s))}ds}\leq$$
$$\underset{\scb{1}[0.65]{$\mat{c}\scb{0.7}[1.07692]{Subadditivit\`a}\\\scb{0.7}[1.07692]{della norma}\emat$}}{\leq}\norm{\lbar{Y}_1-\lbar{Y}_2}+\norm{\xxouint{t_0\,\,}{\,\,\,\,t}(F_1(s,Y_1(s))-F_1(s,Y_2(s)))ds}+\norm{\xxouint{t_0\,\,}{\,\,\,\,t}(F_1(s,Y_2(s))-F_2(s,Y_2(s)))ds}\leq$$
$$\leq\norm{\lbar{Y}_1-\lbar{Y}_2}+\xxouint{t_0\,\,}{\,\,\,\,t}\norm{F_1(s,Y_1(s))-F_1(s,Y_2(s))}ds+\xxouint{t_0\,\,}{\,\,\,\,t}\norm{F_1(s,Y_2(s))-F_2(s,Y_2(s))}ds\leq$$
$$\dund{\leq}{\hbox{Lipschitzianit\`a di $F_1$}}{\hbox{``uniforme vicinanza'\6 di $F_1$ e $F_2$}}\norm{\lbar{Y}_1-\lbar{Y}_2}+L\xxouint{t_0\,\,}{\,\,\,\,t}\norm{Y_1(s)-Y_2(s)}ds+\ag\xxouint{t_0\,\,}{\,\,\,\,t}ds=$$
$$\norm{\lbar{Y}_1-\lbar{Y}_2}+L\xxouint{t_0\,\,}{\,\,\,\,t}\norm{Y_1(s)-Y_2(s)}ds+\sag\pa{t-t_0}.$$
Considerato $h(t)=\norm{Y_1(t)-Y_2(t)},\syg(t)=\norm{\lbar{Y}_1-\lbar{Y}_2}+\sag\pa{t-t_0}$, la disuguaglianza appena provata \`e proprio l\6ipotesi del lemma di Gronwall, che conclude:
$$\norm{Y_1(t)-Y_2(t)}\leq\norm{\lbar{Y}_1-\lbar{Y}_2}+\sag\pa{t-t_0}+L\xxouint{t_0\,\,}{\,\,\,\,t}\pa{\norm{\lbar{Y}_1-\lbar{Y}_2}+\sag\pa{s-t_0}}e^{L\pa{t-s}}\dd s=$$
$$=\norm{\lbar{Y}_1-\lbar{Y}_2}+\sag\pa{t-t_0}+L\norm{\lbar{Y}_1-\lbar{Y}_2}\xxouint{t_0\,\,}{\,\,\,\,t}e^{L\pa{t-s}}ds+L\sag\xxouint{t_0\,\,}{\,\,\,\,t}\pa{s-t_0}e^{L\pa{t-s}}ds,$$
quindi abbiamo due integrali di analisi 1 da calcolare.
$$\xxouint{t_0\,\,}{\,\,\,\,t}e^{L\pa{t-s}}ds=-\fr{1}{L}e^{L\pa{t-s}}\eval{t_0}{t}=\fr{1}{L}\pa{-1+e^{L\pa{t-t_0}}}.$$
$$\xxouint{t_0\,\,}{\,\,\,\,t}\pa{s-t_0}e^{L\pa{t-s}}ds=-\fr{1}{L}\pa{s-t_0}e^{L\pa{t-s}}\eval{s=t_0}{s=t}+\fr{1}{L}\xxouint{t_0\,\,}{\,\,\,\,t}e^{L\pa{t-s}}ds=$$
$$=-\fr{1}{L}\pa{t-t_0}+\fr{1}{L^2}\pa{-1+e^{L\pa{t-t_0}}}.$$
Tornando sopra, il secondo membro viene:
$$\norm{\lbar{Y}_1-\lbar{Y}_2}+\sag\pa{t-t_0}+\norm{\lbar{Y}_1-\lbar{Y}_2}\pa{-1+e^{L\pa{t-t_0}}}+\sag\pa{-\pa{t-t_0}-\fr{1}{L}+\fr{1}{L}e^{L\pa{t-t_0}}}=$$
$$=\norm{\lbar{Y}_1-\lbar{Y}_2}e^{L\pa{t-t_0}}+\fr{\sag}{L}\pa{e^{L\pa{t-t_0}}-1},$$
C.V.D. E cos\`i abbiamo fatto anche il problema della dipendenza continua dai dati. Quindi domani avete esercitazione, noi ci vediamo Venerd\`i?\lfeed
(prima: ``L\6esercitazione ... sar\`a dedicata alla correzione'').

\sect{Sistemiamo Gronwall}
Innanzitutto pare si scriva Gr\"onwall. Stando a Wikipedia, il lemma recita:
\begin{lemma}
Se $h(t),\syg(t),\bg(t)$ sono funzioni continue, $\bg$ \`e non negativa e:
$$h(t)\leq\syg(t)+\xxouint{a\,\,\,\,}{\,\,\,\,\,t}\bg(s)h(s)\dd s\quad\VA t\in I,$$
ove $I$ \`e un intervallo, allora:
$$h(t)\leq\syg(t)+\xxouint{a\,\,\,\,}{\,\,\,\,\,t}\syg(s)\bg(s)e^{\dsib{\ouintext st\bg(r)dr}}\dd s.$$
\end{lemma}
Quindi quello dato dalla Felli \`e il caso particolare in cui $\bg$ \`e la costante $L$. La dimostrazione su Wikipedia recita: definiamo
$$\fbox{$v(t)=e^{-\dsib{\ouintext at\bg(s)ds}}\xxouint{a\,\,\,\,}{\,\,\,\,\,t}\bg(s)h(s)ds.$}$$
Deriviamo:
$$v^\1(t)=-\bg(t)e^{-\dsib{\ouintext at\bg(s)ds}}\xxouint{a\,\,\,\,}{\,\,\,\,\,t}\bg(s)h(s)ds+e^{-\dsib{\ouintext at\bg(s)ds}}\bg(t)h(t)=$$
$$=\bg(t)e^{-\dsib{\ouintext at\bg(s)\dd s}}\pa{h(t)-\xxouint{a\,\,\,\,}{\,\,\,\,\,t}\bg(s)h(s)\dd s}\leq\bg(t)e^{-\dsib{\ouintext at\bg(s)\dd s}}\syg(t).$$
Integrando otteniamo:
$$\fbox{$v(t)-v(a)\leq\xxouint{a\,\,\,\,}{\,\,\,\,\,t}\bg(s)\syg(s)e^{-\dsib{\ouintext as\bg(r)\dd r}}\dd s,$}$$
in cui $v(a)$ pu\`o sparire in quanto nullo. Riscriviamo la definizione di $v$:
$$\fbox{$\xxouint{a\,\,\,\,}{\,\,\,\,\,t}\bg(s)h(s)\dd s=e^{\dsib{\ouintext at\bg(s)\dd s}}v(t).$}$$
Combinando gli ultimi due riquadri (ricordando che $v(a)=0$) otteniamo:
$$\xxouint{a\,\,\,\,}{\,\,\,\,\,t}\bg(s)h(s)\dd s\leq\xxouint{a\,\,\,\,}{\,\,\,\,\,t}\bg(s)\syg(s)e^{\dsib{\ouintext at\bg(s)\dd s-\ouintext as\bg(r)\dd r}}\dd s.$$
Ora dato che in un integrale monovariato che la variabile si chiami $s$ o $r$ non cambia nulla, possiamo mettere insieme i due integrali ad esponente in uno solo, ottenendo:
$$\xxouint{a\,\,\,\,}{\,\,\,\,\,t}\bg(s)\syg(s)e^{\dsib{\ouintext st\bg(r)\dd r}}\dd s.$$
Sostituendo la disuguaglianza provata, che \`e:
$$\xxouint{a\,\,\,\,}{\,\,\,\,\,t}\bg(s)h(s)\dd s\leq\xxouint{a\,\,\,\,}{\,\,\,\,\,t}\bg(s)\syg(s)e^{\dsib{\ouintext st\bg(r)\dd r}}\dd s,$$
nella disuguaglianza assunta vera per ipotesi, si ottiene la tesi. Quindi diamo un\6occhiata alla versione con $\bg(t)=L$ costante:
$$h(t)\leq\syg(t)+L\xxouint{a\,\,\,\,}{\,\,\,\,\,t}h(s)\dd s\implies h(t)\leq\syg(t)+L\xxouint{a\,\,\,\,}{\,\,\,\,\,t}\syg(s)e^{L\pa{t-s}}\dd s.$$


\incee
\chapter{\eserc{5/12/2013}}

\sect{Correzione di $f_\ag$}
$$\abs{x}^\ag>\abs{y}^{1-\ag}\sse\abs{y}<\abs{x}^{\dsi{\fr{\ag}{1-\ag}}},$$
Esponente $\sistbisdue{>1\hbox{ tra due pseudoparabole}}{\sag\in\pa{\fr{1}{2},1}}{[1em]=1}{\sag=\fr{1}{2}}{[1em]<1\hbox{ tra due pseudoradici}}{\sag\in\pa{0,\fr{1}{2}}}$. Dove vale $\fr{y^2}{x}$, si ha:
$$\abs{f_\ag(x,y)}=\abs{\fr{y^2}{x}}\leq\abs{x}^{\dsi{\fr{2\ag}{1-\ag}}-1}=\abs{x}^{\dsi{\fr{3\ag-1}{1-\ag}}},$$
quindi per $\sag>\fr{1}{3}$ il limite \`e $0$. Ora congettura: se $\sag\in\(0,\fr{1}{3}\]$ la funzione non \`e continua. Basta esibire una curva in cui il limite non \`e $0$. La direzione \`e indicata esattamente dal conto sopra:
$$y=\abs{x}^{\dsi{\fr{\ag}{1-\ag}}}.$$
Per\`o cos\`i non siamo nella regione. Allora moltiplico per $\fr{1}{2}$. Considero quindi:
$$f_\ag\pa{x,\fr{1}{2}\abs{x}^{\dsi{\fr{\ag}{1-\ag}}}}=\fr{1}{4}\fr{\abs{x}^{\dsi{\fr{2\ag}{1-\ag}}}}{x}=\fr{1}{4}\abs{x}^{\dsi{\fr{3\ag-1}{1-\ag}}}\sgn x\xrightarrow[x\to0]{}\sistbis{\pm\8}{\ag<\fr{1}{3}}{[1em]\pm\fr{1}{4}}{\ag=\fr{1}{3}},$$
quindi la funzione non \`e continua. Derivate parziali:
$$f_\ag(x,0)=0\quad\VA x,\VA\sag,$$
quindi:
$$\fr{\pd f_\ag}{\pd x}(0,0)=0\quad\VA\sag\in\pa{0,1}.$$
$$f_\ag(0,y)=0\quad\VA y,\VA\sag,$$
quindi:
$$\fr{\pd f_\ag}{\pd y}(0,0)=0\quad\VA\sag\in\pa{0,1}.$$
Per la differenziabilit\`a bisogna provare:
$$\dlim_{(h,k)\to(0,0)}\fr{f_\ag(h,k)}{\rad{h^2+k^2}}=0,$$
perché gli altri pezzi sono nulli. Innanzitutto osserviamo che:
$$\fr{f(h,k)}{\rad{h^2+k^2}}=\sistbis{\fr{k^2}{h\rad{h^2+k^2}}}{\abs{k}<\abs{h}^{\dsi{\fr{\ag}{1-\ag}}}}{0}{altrimenti}.$$
Cominciamo a considerarne il modulo per la condizione di sopra:
$$\abs{\fr{f_\ag(h,k)}{\rad{h^2+k^2}}}=\fr{k^2}{\abs{h}\rad{h^2+k^2}}\leq\fr{\abs{h}^{\dsi{\fr{2\ag}{1-\ag}}-2}}{\rad{1+\fr{k^2}{h^2}}}=\fr{1}{\rad{1+\fr{k^2}{h^2}}}\abs{h}^{\dsi{\fr{2\pa{2\ag-1}}{1-\ag}}},$$
che tende a $0$ per $(h,k)\to(0,0)$ se $\sag>\fr{1}{2}$. Quindi l\`i $f_\ag$ \`e differenziabile. A questo punto l\6idea \`e che per $\sag\leq\fr{1}{2}$ la funzione non sia differenziabile. Prima cosa: se $\sag\leq\fr{1}{3}$ la funzione non \`e continua nell\6origine e quindi non \`e differenziabile. Resta da esaminare il caso $\sag\in\(\fr{1}{3},\fr{1}{2}\]$. Riprendiamo la stessa di prima:
$$\fr{f_\ag\pa{h,\fr{1}{2}\abs{h}^{\dsi{\fr{\ag}{1-\ag}}}}}{\rad{h^2+k^2}}=\fr{\abs{h}^{\dsi{\fr{2\ag}{1-\ag}}}}{4h\rad{h^2+\abs{h}^{\dsi{\fr{2\ag}{1-\ag}}}}}=\fr{\abs{h}^{\dsi{\fr{2\ag}{1-\ag}}}}{4h\abs{h}^{\dsi{\fr{\ag}{1-\ag}}}\rad{1+\abs{h}^{2-\dsi{\fr{2\ag}{1-\ag}}}}}=$$
$$=\fr{\abs{h}^{\dsi{\fr{2\ag}{1-\ag}-\fr{\ag}{1-\ag}}-1}\sgn h}{4\rad{1+\abs{h}^{\dsi{\fr{2\ag}{1-\ag}}}}}=\fr{\abs{h}^{\dsi{\fr{2\ag-1}{1-\ag}}}\sgn h}{4\rad{1+\abs{h}^{2-\dsi{\fr{2\ag}{1-\ag}}}}}\xrightarrow[h\to0]{}\sistbis{\pm\8}{\ag\in\pa{\fr{1}{3},\fr{1}{2}}}{[1em]\pm\fr{1}{4}}{\ag=\fr{1}{2}},$$
quindi non ci pu\`o essere derivabilit\`a.

\sect{Correzione dello integrale}
$$A=\br{(x,y)\in\R^2:y\geq0,x\geq0,x^{\dbfr43}\leq x^2+y^2\leq1}.$$
Si determini $\Yg^{-1}(A)$ dove $\Yg:[0,+\8)\x[0,2\pg],\Yg(\rg,\qg)=(\rg\cos\qg,\rg\sin\qg)$. Abbiamo:
$$\begin{sistema}
\rg\sin\qg\geq0\\
\rg\cos\qg\geq0\\
\rg^{\dbfr43}\cos^{\dbfr43}\!\qg\leq\rg^2\leq1
\end{sistema}.$$
Dalle prime due abbiamo $\sin\qg,\cos\qg\geq0$, ovvero
$$\qg\in\sq{0,\fr{\pg}{2}}.$$
Dalla seconda a destra vediamo:
$$0\leq\rg\leq1.$$
Da sinistra abbiamo:
$$\rg^{\dbfr23}\geq\cos^{\dbfr43}\qg\sse\rg\geq\cos^2\qg.$$
Quindi:
$$\Yg^{-1}(A)=\br{(\rg,\qg):\qg\in\sq{0,\fr{\pg}{2}}\et\cos^2\qg\leq\rg\leq1}.$$
L\6integrale era:
$$I=\xxouint{A\,\,\,\,\,}{}\pa{1-\pa{x^2+y^2}^{\dbfr12}}dxdy=\xxouint{\,\,\,\,\Yg^{-1}(A)}{}\pa{1-\rad\rg}\rg d\rg d\qg=$$
$$=\xxouint{0\,\,\,\,}{\,\,\,\,\dsib{\fr{\pg}{2}}\,}\pa{\:\xxouint{\cos^2\qg}{\,\,\,1}\pa{1-\rad\rg}\rg d\rg}d\qg.$$
Chi arrivava qua si beccava 5 punti. Questa si chiama bont\`a perché era abbastanza semplice. In realt\`a anche l\6integrazione non \`e che fosse ....
$$I=\xxouint{0\,\,\,\,}{\,\,\,\,\dsib{\fr{\pg}{2}}\,}\pa{\fr{\rg^2}{2}-\fr{2}{5}\rg^{\dbfr52}}\eval{\cos^2\!\qg}{1}d\qg=\xxouint{0\,\,\,\,}{\,\,\,\,\dsib{\fr{\pg}{2}}\,}\sq{\fr{1}{2}\pa{1-\cos^4\!\qg}-\fr{2}{5}\pa{1-\cos^5\!\qg}}d\qg=$$
$$=\xxouint{0\,\,\,\,}{\,\,\,\,\dsib{\fr{\pg}{2}}\,}\sq{\fr{1}{10}-\fr{1}{2}\cos^4\!\qg+\fr{2}{5}\cos^5\!\qg}d\qg.$$
A questo punto si poteva osservare che:
$$\VA n\geq2\quad\xxouint{0\,\,\,\,}{\,\,\,\,\dsib{\fr{\pg}{2}}\,}\cos^n\!\qg d\qg]\sq{\cos^{n-1}\!\qg\sin\qg}\eval{0}{\dsi{\fr{\pg}{2}}}+\pa{n-1}\xxouint{0\,\,\,\,}{\,\,\,\,\dsib{\fr{\pg}{2}}\,}\cos^{n-2}\!\qg\sin^2\!\qg d\qg=$$
$$=0+\pa{n-1}\xxouint{0\,\,\,\,}{\,\,\,\,\dsib{\fr{\pg}{2}}\,}\cos^{n-2}\!\qg d\qg-\pa{n-1}\xxouint{0\,\,\,\,}{\,\,\,\,\dsib{\fr{\pg}{2}}\,}\cos^n\!\qg d\qg,$$
quindi:
$$n\xxouint{0\,\,\,\,}{\,\,\,\,\dsib{\fr{\pg}{2}}\,}\cos^n\!\qg d\qg=\pa{n-1}\xxouint{0\,\,\,\,}{\,\,\,\,\dsib{\fr{\pg}{2}}\,}\cos^{n-2}\!\qg d\qg.$$
Da cui:
$$\xxouint{0\,\,\,\,}{\,\,\,\,\dsib{\fr{\pg}{2}}\,}\cos^4\!\qg d\qg=\fr{3}{4}\xxouint{0\,\,\,\,}{\,\,\,\,\dsib{\fr{\pg}{2}}\,}\cos^2\!\qg d\qg=\fr{3}{4}\per\fr{1}{2}\sq{\qg+\cos\qg\sin\qg}\eval{0}{\dsi{\fr{\pg}{2}}}=\fr{3}{16}\pg,$$
$$\ouintefa{0}{\fr{\pg}{2}}\cos^5\!\qg d\qg=\fr{4}{5}\ouintefa{0}{\fr{\pg}{2}}\cos^3\!\qg d\qg=\fr{4}{5}\per\fr{2}{3}\ouintefa{0}{\fr{\pg}{2}}\cos\qg d\qg=\fr{8}{15}\sin\qg\eval{0}{\dsi{\fr{\pg}{2}}}=\fr{8}{15}.$$
Quindi:
$$I=\fr{\pg}{20}-\fr{3}{32}\pg+\fr{16}{75}=-\fr{7}{160}\pg+\fr{16}{75}.$$

\sect{La successione di funzioni}
$$f_n(x)=\fr{e^{-nx}}{1+e^{-nx}}\arctan\pa{n^{\abs{x}}}.$$
Si vede abbastanza facilmente che puntualmente converge in tutto $\R$ a:
$$f(x)=\sistbisdue{\fr{\pg}{8}}{x=0}{[0.7em]0}{x>0}{[0.3em]\fr{\pg}{2}}{x<0}.$$
Per\`o siamo stati veramente buoni perché la convergenza puntuale valeva tre punti. Sono 8 per esercizio tranne il quarto che ne valeva 9. Non c'\`e Convergenza Uniforme in nessun intervallo $[a,b]$ con $a\leq0\leq b$. In $(0,+\8)$ o $(-\8,0)$? Chiamiamoli rispettivamente $E_1,E_2$. E si vede subito che non c'\`e. Faccio:
$$\dsup_{x>0}\abs{f_n(x)-f(x)}=\dsup_{x>0}\fr{e^{-nx}\arctan\pa{n^{\abs{x}}}}{1+e^{-nx}}\geq\fr{e^{-n\dsib{\fr{1}{n}}}}{1+e^{-n\dsib{\fr{1}{n}}}}\arctan\pa{n^{\abs{\dsib{\fr{1}{n}}}}}\to$$
$$\to\fr{e^{-1}}{1+e^{-1}}\arctan1=\fr{1}{e+1}\fr{\pg}{4},$$
quindi non c'\`e convergenza uniforme in $(0,+\8)$. Per $x<0$:
$$\dsup_{x<0}\abs{f_n(x)-f(x)}\geq\abs{f_n\pa{-\fr{1}{n}}-f\pa{-\fr{1}{n}}}=\abs{\fr{e}{1+e}\arctan\pa{n^{\dsi{\fr{1}{n}}}}-\fr{\pg}{2}}=$$
$$=\fr{\pg}{2}-\fr{e}{1+e}\arctan\pa{n^{\dsi{\fr{1}{n}}}}\to\fr{\pg}{2}-\fr{e}{1+e}\fr{\pg}{4}.$$
Ora studiamo in $[a,+\8)$ o $(-\8,-a]$ per $a>0$. Derivata:
$$f_n^\1(x)=\fr{e^{-nx}}{1+e^{-nx}}\fr{n^{\abs{x}}}{1+\pa{n^{\abs{x}}}^2}\log n\sgn x+\fr{-ne^{-nx}\pa{1+e^{-nx}}+ne^{-nx}\pa{e^{-nx}}}{\pa{1+e^{-nx}}^2}\arctan\pa{n^{\abs{x}}}.$$
La seconda frazione viene:
$$\fr{-ne^{nx}}{\pa{1+e^{nx}}^2}\arctan\pa{n^{\abs{x}}}.$$
Il primo pezzo ha segno uguale a $\sgn x$, mentre il secondo \`e sempre negativo. Calcoliamo:
$$\dsup_{x<-a}\abs{\fr{e^{-nx}}{1+e^{-nx}}\arctan\pa{n^{\abs{x}}}-\fr{\pg}{2}}=\dsup_{x<-a}\pa{\fr{\pg}{2}-\fr{e^{-nx}}{1+e^{-nx}}\arctan\pa{n^{\abs{x}}}}.$$
Quello \`e $\fr{\pg}{2}-f_n(x)$, e $f_n$ \`e decrescente, quindi quella roba \`e crescente e il sup \`e il valore in $-a$, che tende a $0$ perché $f_n\to\fr{\pg}{2}$. Quindi in $(-\8,-a]$ c'\`e convergenza uniforme. In $[a,+\8)$ il sup \`e semplicemente quello di $f_n(x)$. Maggioriamo con:
$$\dsup_{x\geq a}\fr{\pg}{2}e^{-nx}=\fr{\pg}{2}e^{-na}\to0.$$

\sect{La serie associata}
Condizione necessaria per la convergenza puntuale \`e che il termine generale tenda a $0$ sia in senso puntuale sia in senso uniforme. Quindi non c'\`e convergenza uniforme in $x\leq0$, e neanche in $(0,+\8)$ perché non c'\`e convergenza puntuale. A questo punto per la puntuale in $x>0$ maggioriamo:
$$\dsum_{n=0}^{+\8}f_n(x)\leq\dsum_{n=0}^{+\8}\fr{\pg}{2}e^{-nx}<+\8,$$
perché serie geometrica di ragione $e^{-nx}<1$. Per la uniforme vediamo la totale:
$$\dsum_{n=0}^{+\8}\dsup_{x>a}\abs{f_n(x)}\leq\dsum_{n=0}^{+\8}\fr{\pg}{2}e^{-na}<+\8$$
come sopra, quindi c'\`e convergenza totale in $[a,+\8)$ e quindi c'\`e convergenza uniforma.

\sect{I minimi e i massimi}
$$f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-y(x+z).$$
Questo \`e veramente facile perché era un polinomio.
$$\begin{sistema}
3x^2-y=0\\
3y^2-x-z=0\\
3z^2-y=0
\end{sistema}.$$
Dalla prima e dalla terza ricavo:
$$x^2=z^2\implies z=\pm x.$$
Quindi primo caso: $z=x$.
$$\begin{sistema}
y=3x^2\\
3y^2-x-x=3y^2-2x=0\\
x=z
\end{sistema}\implies
\begin{sistema}
y=3x^2\\
27x^4-2x=0\\
x=z
\end{sistema}\implies
\begin{sistema}
y=3x^2\\
x=0\vel x=\fr{\rad[3]2}{3}\\
x=z
\end{sistema}.$$
Se $x=0$:
$$\begin{sistema}
x=0\\
y=0\\
z=0
\end{sistema}\implies(0,0,0).$$
Se $x=\fr{\rad[3]{2}}{3}$,
$$\begin{sistema}
x=\fr{\rad[3]2}{3}\\
y=3\per\fr{\rad[3]{4}}{9}=\fr{\rad[3]{4}}{3}\\
z=\fr{\rad[3]{2}}{3}
\end{sistema}.$$
Per $x=-z$ ritroviamo l\6origine. Quindi abbiamo due punti critici. Studiamone la natura.
$$\s{H}_f(x,y,z)=\sq{\mat{ccc}6x&-1&0\\-1&6y&-1\\0&-1&6z\emat}.$$
Iniziamo da quello strano:
$$\s{H}_f\pa{\fr{\rad[3]2}{3},\fr{\rad[3]4}{3},\fr{\rad[3]2}{3}}=\sq{\mat{ccc}2\rad[3]2&-1&0\\-1&2\rad[3]4&-1\\0&-1&2\rad[3]2\emat}.$$
Il determinante:
$$8\rad[3]{16}-4\rad[3]2=16\rad[3]2-4\rad[3]2>0.$$
Prima sottomarine principale di Nord-Ovest. Determinante:
$$4\rad[3]8-1=7>0.$$
Infine $2\rad[3]2>0$, quindi la matrice \`e definita positiva: \`e un minimo locale. Nell\6origine si vedeva subito che era una sella. Massimi o minimi globali bastava considerare $f(x,0,0)=x^3$.


\incle
\chapter{\lez{6/12/2013}}

\sect{Corollario del teorema di prolungabilit\`a}
Volevo farvi vedere un corollario ..., che negli esercizi poi \`e pi\`u semplice da usare.
\begin{teor}
Siano $\Wg=(a,b)\x\R^n$, $a,b\in\R$, $F\in C^0(\Wg,\R^n)$ localmente lipschitziana in $\Wg$ rispetto alle ultime $n$ variabili (quindi rispetto a $Y$) uniformemente in $t$, tale che
$$\3c_1,c_2>0:\norm{F(t,Y)}\leq c_1+c_2\norm{Y}\quad\VA(t,Y)\in\Wg.$$
Questa \`e una condizione di crescita sulla $F$, ci dice che pu\`o crescere quando $Y$ cresce ma non pi\`u che linearmente. Allora $\VA(t_0,Y_0)\in\Wg$ la soluzione del problema di Cauchy:
$$\begin{sistema}
Y^\1(t)=F(t,Y(t))\\
Y(t_0)=Y_0
\end{sistema}$$
\`e definita su tutto $(a,b)$.
\end{teor}
Dim.
\par Fisso $(t_0,Y_0)\in\Wg$ e considero $Y$ la soluzione del Problema di Cauchy con condizioni iniziali $(t_0,Y_0)$, soluzione che so esistere per il teorema di esistenza e unicit\`a locale, e chiamo $(T_s,T_d)$ il suo intervallo massimale di esistenza, che sar\`a quindi un sottoinsieme dell\6intervallo $(a,b)$. Devo dimostrare che $T_s=a,T_d=b$. Ci limitiamo alla seconda, l\6altra \`e identica. Ragioniamo per assurdo. Supponiamo $T_d<b$ strettamente. Allora cosa posso dire. Se questo accade, $T_b<+\8$, \`e pi\`u piccolo di un $b$ reale. Non solo, ma posso dire che:
$$d((t,Y(t)),\pd\Wg)>b-T_d>0$$
per $t\to T_d^-$[, ossia che la distanza dal bordo non minora la differenza tra l\6estremo $T_d$ e $b$, che \`e $b-T_d$ perché $T_d<b$, e tende a $b-T_d$, che \`e maggiore di zero, quindi non si annulla mai]. Per il teorema di prolungabilit\`a un limite fa infinito, e l\6unica possibilit\`a perché questo succeda $Y$ deve esplodere:
$$\dlim_{t\to T_d^-}\norm{Y(t)}=+\8.$$
E adesso andiamo a vedere che questo \`e assurdo andiamo a vedere perché \`e assurdo. Se $t_0\leq t<T_d$,
$$\norm{Y(t)}=\norm{Y_0+\xxouint{t_0\,\,\,\,}{\,\,\,\,\,t}F(s,Y(s))ds}\dund{\leq}{subadditivit\`a della norma}{$\norm{\dint}\leq\dint\norm{}$}\norm{Y_0}+\xxouint{t_0\,\,\,\,}{\,\,\,\,\,t}\norm{F(s,Y(s))ds}\leq$$
$$\dund{\leq}{ipotesi sulla}{crescita di $F$.}\norm{Y_0}+\xxouint{t_0\,\,\,\,}{\,\,\,\,\,t}\pa{c_1+c_2\norm{Y(s)}}ds=\norm{Y_0}+c_1\pa{t-t_0}+c_2\xxouint{t_0\,\,\,\,}{\,\,\,\,\,t}\norm{Y(s)}ds\leq$$
$$\und{\leq}{$t\leq T_d$}\norm{Y_0}+c_1\pa{T_d-t_0}+c_2\xxouint{t_0\,\,\,\,}{\,\,\,\,\,t}\norm{Y(s)}ds.$$
Per il Lemma di Gronwall\fn{$h(t)=\norm{Y(t)}$, $L=c_2$, $\syg(t)=\norm{Y_0}+c_1\pa{T_d-t_0}=M$.} diciamo che:
$$\norm{Y(t)}\leq Me^{c_2\pa{t-t_0}}\leq Me^{c_2\pa{T_d-t_0}}\quad\VA t\in[t_0,T_d).$$
Assurdo, perché abbiamo detto che doveva andare a $+\8$ e invece l\6abbiamo maggiorata con una costante. In quali situazioni pu\`o tornare utile questo corollario?
\begin{es}
$$\begin{sistema}
y^\1(t)=y(t)\sin y(t)\\
y(t_0)=y_0
\end{sistema}.$$
\end{es}
Quindi $F(t,y)=y\sin y$. Su qualsiasi striscia verticale contenente $t_0$ (ma anche non) la cosa \`e ben definita. La $F$ \`e localmente lipschitziana perché \`e $C^1$. Quindi esistenza ed unicit\`a locali sono garantite. Per usare il Teorema di esistenza e unicit\`a in grande dovrei verificare la lipschitzianit\`a globale. Perché non lo \`e? Per esempio possiamo calcolare:
$$\fr{F(t,k\spg+\dg)-F(t,k\spg)}{k\spg+\dg-k\spg},$$
che dovrebbe essere limitato uniformemente in $k$. Per\`o quel rapporto \`e:
$$\fr{\pa{k\spg+\dg}\pa{-1}^k\sin\dg-0}{\dg}.$$
Per $\dg=\fr{\pg}{2}$ ci rimane:
$$\fr{\pg}{2}\pa{2k+1}\pa{-1}^k\fr{2}{\pg},$$
che non \`e limitato. Per\`o vale la condizione del corollario, perché:
$$\abs{y\sin y}\leq\abs{y}.$$
Quindi esiste una soluzione definita su tutto $\R$. Va bene.

\sect{Problema della regolarit\`a delle soluzioni}
Sia $y\in C^1((a,b),\R^n)$ soluzione di $Y^\1(t)=F(t,Y(t))$ in $(a,b)$ con $F\in C^0(\Wg,\R^n)$ con $\Wg\sbse\R^{n+1}$ aperto che contiene $\Graf{F}$. Se sapessi che la $F$ \`e $C^1$, allora cosa potrei dire? La funzione a secondo membro sarebbe $C^1$, quindi $Y^\1\in C^1((a,b),\R^n)$, quindi $Y\in C^2((a,b),R^n)$.

\begin{teor}
In generale se $F\in C^k(\Wg,\R^n)$, allora $Y\in C^{k+1}((a,b),\R^n)$.
\end{teor}
Per $k=1$ l\6abbiamo gi\`a visto. Supponiamo che sia vero per $k-1$. Sia $F\in C^k$. Se \`e di classe $C^k$ in particolare \`e di classe $C^{k-1}$, e per ipotesi di induzione $Y\in C^k$. Quindi lo \`e la composta $F(t,Y(t))$, e dunque $Y^\1$, quindi $Y$ \`e $C^{k+1}$, C.V.D.

\sect{Per una equazione scalare di ordine $n$}
Sia $y\in C^n((a,b),\R)$ soluzione dell\6equazione differenziale di ordine $n$ scritta in forma normale:
$$y^{(n)}(t)=f(t,y^\1(t),y^{\1\1}(t),\dots,y^{(n-1)}(t)).$$
Ci si pu\`o ricondurre ad un sistema di equazioni differenziali del primo ordine ponendo:
$$\begin{sistema}
Z_1(t)=y(t)\\
Z_2(t)=y^\1(t)\\
\vdots\\
Z_n(t)=y^{(n-1)}(t)
\end{sistema}.$$
Quindi:
$$\begin{sistema}
Z_1^\1(t)=y^\1(t)=Z_2(t)\\
Z_2^\1(t)=Z_3\\
\vdots\\
Z_{n-1}^\1(t)=Z_n(t)\\
Z_n^\1(t)=f(t,y(t),y^\1(t),\dots,y^{(n-1)}(t))=f(t,Z_1(t),Z_2(t),\dots,Z_n(t))
\end{sistema}.$$
Viceversa se le $Z$ verificano un sistema di questo tipo avete risolto l\6equazione. \`E opportuno, per sperare nell\6unicit\`a, associare a questa cosa una condizione iniziale, cio\`e:
$$\begin{sistema}
Z_1(t_0)=y_1^0\\
Z_2(t_0)=y_2^0\\
\vdots\\
Z_n(t_0)=y_n^0
\end{sistema},$$
che per l\6equazione differenziale di ordine $n$, chiamiamola $E_n$, \`e la condizione $I_n$:
$$\begin{sistema}
y(t_0)=y_1^0\\
y^\1(t_0)=y_2^0\\
y^{\1\1}(t_0)=y_3^0\\
\vdots\\
y^{(n-1)}(t_0)=y_n^0
\end{sistema}.$$
\begin{defi}
Siano $\Wg\sbse\R^{n+1}$ aperto, $f\in C^0(\Wg)$, $t_0\in\R$, $Y_0=\pa{y_1^0,\dots,y_n^0}\in\R^n$ tali che $(t_0,Y_0)\in\Wg$, $a,b\in\R:t_0\in(a,b)$. Una funzione $y\in C^n((a,b)\R)$ tale che $\br{(t,y(t),y^\1(t),\dots,y^{(n-1)}(t)):t\in(a,b)}\sbse\Wg$ e tale che $y$ verifichi in $(a,b)$ l\6equazione differenziale $E_n$ e la condizione iniziale $I_n$ si dice \emph{soluzione in $(a,b)$ del Problema di Cauchy associato all\6equazione differenziale $E_n$ e alla condizione iniziale $I_n$}.
\end{defi}
Quindi traduciamo la teoria.
\begin{teor}
\bemph{(di Peano bis)}\quad Se $f$ \`e continua, abbiamo l\6esistenza in piccolo.
\end{teor}
\begin{teor}
\bemph{(di Cauchy-Lipschitz bis)}\quad Se $f$ \`e continua e localmente lipschitziana nelle ultime $n$ variabili, allora abbiamo esistenza ed unicit\`a in piccolo.
\end{teor}
\begin{teor}
\bemph{(esistenza ed unicit\`a in grande)}\quad Se $\Wg$ \`e una striscia verticale e $f$ \`e globalmente lipschitziana rispetto alle ultime $n$ variabili abbiamo esistenza e unicit\`a in grande.
\end{teor}
\begin{teor}
\bemph{(di prolungabilit\`a)}\quad Le uniche cause di non prolungabilit\`a sono l\6esplosione della soluzione oppure l\6avvicinarsi al bordo di $(t,y(t),y^\1(t),\dots,y^{(n-1)})$.
\end{teor}
E quindi abbiamo una teoria che \`e gi\`a completamente provata. Direi che possiamo far la pausa, facciamo 10 minuti di pausa. Il teorema di prima abbiamo:
$$F(t,Z_1,Z_2,\dots,Z_3)=\pa{\mat{c}Z_2\\Z_3\\\vdots\\Z_n\\f(t,Z_1,\dots,Z_n)\emat}.$$
Quindi basta chiedere la crescenza non pi\`u che lineare alla $f$. Facciamo la pausa.
\par Pausa.

\sect{Teorema del confronto}
Nelle prossime esercitazione vi saranno proposti vari esercizi sullo studio qualitativo delle soluzioni, perché le situazioni vere in cui si pu\`o risolvere esplicitamente un\6equa-zione differenziale sono molto poche. Quindi vediamo uno strumento utile.
\begin{teor}
\bemph{(del confronto)}\quad Siano $\Wg\sbse\R^2$ aperto, $(a,b)$ intervallo di $\R$, $a,b\in\R$, $t_0\in(a,b)$, $(t_0,y_1^0),(t_0,y_2^0)\in\Wg$, $f_1,f_2\in C^0(\Wg,\R)$ localmente lipschitziane rispetto ad $y$ uniformemente in $t$ tali che $y_1^0\leq y_2^0$ e $f_1(t,y)\leq f_2(t,y)$ $\VA(t,y)\in\Wg$. Supponiamo di avere due soluzioni dei due problemi di Cauchy qua esposti, $y_1,y_2$, quindi
$$y_1,y_2\in C^1((a,b)\in\R):\Graf{y_i}\sbse\Wg,y^\1(t)=f_i(t,y_i(t))\,\,in\,\,(a,b),y_i(t_0)=y_1^0.$$
Allora
$$y_1(t)\leq y_2(t)\quad\VA t\in[t_0,b).$$
\end{teor}
Se ci pensate \`e abbastanza intuitivo.
\begin{oss}
Analogamente si ha che $y_1^0\geq y_2^0,f_1(t,y)\leq\fnm[2]\fnt[2]{Secondo me dovrebbe essere $\geq$ qua.} f_2(t,y)$ allora
$$y_1(t)\geq y_2(t)\quad\VA t\in(a,t_0].$$
\end{oss}
Dim.
\par Sia $h(t)=y_1(t)-y_2(t)$. Osservo che $h(t_0)=y_1^0-y_2^0\leq0$. Dimostriamo ora che $h(t)\leq0\quad\VA t\in[t_0,b)$. Per assurdo se cos\`i non fosse esisterebbe $t_2\in[t_0,b):h(t_2)>0$. Chiamo $t_1=\dsup_{t\in[t_0,t_2)\et h(t)\leq0}t$. Sicuramente $0\leq t_1<t_2$, e $h(t_1)=0$. Inoltre se $t\in(t_1,t_2)$ ho che $h(t_1)>0$. Se $t\in[t_1,t_2)$ consideriamo $h(t)$. La stimiamo come:
$$h(t)=h(t_1)+\xxouint{t_1\,\,\,\,}{\,\,\,\,\,t}h^\1(s)ds=0+\xxouint{t_1\,\,\,\,}{\,\,\,\,\,t}\pa{y_1^\1(s)-y_2^\1(s)}ds=$$
$$=\xxouint{t_1\,\,\,\,}{\,\,\,\,\,t}\pa{f_1(s,y_1(s))-f_2(s,y_2(s))}ds\leq\xxouint{t_1\,\,\,\,}{\,\,\,\,\,t}\pa{f_2(s,y_1(s))ds-f_2(s,y_2(s))}ds.$$
Per la locale lipschitzianit\`a di $f$ ho che:
$$\3r>0:f_2\hbox{ sia lipschitziana rispetto a $y$ in }B((t_1,y_1(t_1)),r)=B((t_1,y_2(t_1)),r),$$
ove l\6uguaglianza \`e dovuta al fatto che $h(t_1)=0$ ovvero $y_1(t_1)-y_2(t_1)=0$. Chiamiamo $L$ la costante di Lipschitz. Se $\tilde{t}\in(t_1,t_2)$ \`e abbastanza vicino a $t_1$, allora per ogni $t\in[t_1,\tilde{t})$ si ha $(t,y_1(t)),(t,y_2(t))\in B_r$ la palla di prima. Per ogni $t\in[t_1,\tilde{t})$, ho che:
$$h(t)\leq\xxouint{t_1\,\,\,\,}{\,\,\,\,\,t}\pa{y_1^\1(s)-y_2^\1(s)}ds\leq\xxouint{t_1\,\,\,\,}{\,\,\,\,\,t}\abs{y_1^\1(s)-y_2^\1(s)}ds\leq L\xxouint{t_1\,\,\,\,}{\,\,\,\,\,t}\abs{y_1(s)-y_2(s)}ds=$$
$$=L\ouintext{t_1}t\abs{h(s)}ds=0+L\ouintext{t_1}t\abs{h(s)}ds,$$
o anche senza modulo. Col Lemma di Gronwall stabiliamo che:
$$h(t)\leq Me^{L\pa{t-t_0}},$$
ma $M=0$, quindi:
$$h(t)\leq0,$$
$\VA t\in[t_1,\tilde{t})$, che \`e assurdo perché a destra di $t_1$ per costruzione di $t_1$ la $h$ era positiva. Vediamo un esercizio in cui diciamo usiamo questo teorema.
\begin{ese}
Per quali valori di $\sag>0$ il Problema di Cauchy
$$\begin{sistema}
y^\1(t)=t\log y(t)\\
y(0)=\sag
\end{sistema}$$
ha soluzione massimale definita su tutto $\R$.
\end{ese}
A questo punto la $f(t,y)=t\log y$, ben definita per esempio su $\Wg=\R\x\pa{0,+\8}$. L\`i $f$ \`e $C^1$, quindi abbiamo l\6esistenza e l\6unicit\`a globale. Una soluzione che troviamo \`e:
$$y(t)=1\quad\VA t,$$
quindi se $\sag=1$ abbiamo la soluzione stazionaria definita su tutto $\R$. Possiamo osservare che due diverse soluzioni non si intersecano, per Cauchy-Lipschitz. Se $0<\sag<1$ la soluzione $y_\ag$ soddisfer\`a la medesima disuguaglianza su tutto $I_\ag$ l\6intervallo massimale di prolungabilit\`a della soluzione. Questo mi dice che la derivata ha segno opposto a quello di $t$, perché $\log y_\ag<0$. Quindi c'\`e un massimo in $0$. In $\R\x\pa{0,\sag+\dg}$ consideriamo $f_1(t,y)=t\log y$ e $f_2(t,y)=\sistbis{t\log(\sag+\dg)}{t\geq0}{t\log y}{t<0}$. $f_2$ \`e localmente lipschitziana in $\Wg^\1$ (il pezzo di $\Wg$ di cui sopra) e inoltre $f_1\leq f_2$ in $\Wg^\1$. Per il Teorema del Confronto
$$y_\ag(t)\leq Z_\ag(t)\quad\VA t\geq0,$$
ove $Z_\ag$ risolve il Problema di Cauchy con la stessa condizione iniziale ma con secondo membro $f_2$. Quella la so integrare:
$$Z_\ag(t)=\fr{1}{2}t^2\log\pa{\sag+\dg}+\sag.$$
Quindi vediamo che s\6avvicina al bordo, pertanto non \`e prolungabile. Quindi $I_\ag\neq\R$. Per $\sag>1$ la soluzione si mantiene sopra 1, quindi il logaritmo di $y$ \`e sempre positivo, e $y$ cresce per $t>0$ e decresce per $t<0$. Non si avvicina al bordo, ma potrebbe esplodere [in un tempo finito]. Suggerimento: prendete in $\Wg^\1=\R\x\pa{1,+\8}$ la funzione $f_2(t,y)=\abs{t}y$ e $f_1(t,y)=t\log y$. Sicuramente $f_1\leq f_2$, quindi necessariamente le soluzioni soddisfano $y_\ag\leq Z_\ag$, dove $Z_\ag^\1(t)=\abs{t}Z_\ag t$ con la stessa condizione iniziale $Z_\ag(0)=\ag$. Integrando quella otteniamo:
$$\log\abs{Z_\ag(t)}=\fr{1}{2}t\abs{t}+\log\sag\implies Z_\ag(t)=\sag e^{\dbfr12t\abs{t}},$$
quindi per $t>0$ ho:
$$y_\ag(t)\leq\sag e^{\dbfr12t^2},$$
quindi non pu\`o avere un asintoto verticale perché \`e sotto a una cosa che non esplode. A sinistra: esercizio.
\begin{ese}
Dimostrare che $y_\ag$ \`e pari.
\end{ese}
Verificate che $\sfg(t)=y_\ag(-t)$ \`e soluzione del problema di Cauchy, deve coincidere, quindi \`e pari. E direi che abbiamo concluso questo argomento.


\incee
\chapter{\eserc{9/12/2013}}

\sect{Un quanto di teoria}
Esistenza ed unicit\`a.
\begin{teor}
Sia $D\sbse\R^2$. Sia $f:D\to\R$ continua. Sia $(x_0,y_0)\in\pint D$ e sia $U_0$ un intorno di $(x_0,y_0)$ contenuto in $D$. Supponiamo che $f$ sia lipschitziana in $y$ uniformemente rispetto ad $x$ in $\lbar{U}\!_0$, cio\`e
$$\3L>0:\abs{f(x,y_1)-f(x,y_2)}\leq L\abs{y_1-y_2}\quad\VA(x,y_1),(x,y_2)\in\lbar{U}_0.$$
Allora il problema di Cauchy:
$$\begin{sistema}
y^\1=f(x,y)\\
y(x_0)=y_0
\end{sistema}$$
ha un\6unica soluzione definita in un intorno del punto $x_0$.
\end{teor}
Se togliamo la lipschitzianit\`a globale per il Teorema di Esistenza di Peano ha almeno una soluzione, ma in generale non \`e unica.
\begin{teor}
\bemph{(di esistenza globale)}\quad Sia $S=(a,b)\x\R,f:\lbar{S}\to\R$, e soddisfacente in $S$ alle ipotesi del teorema di esistenza locale.
$$\3h,k\geq0\hbox{ (possono dipendere da $a$ e $b$ }:\abs{f(x,y)}\leq h+k\abs{y}\quad\VA(x,y)\in\lbar{S}.$$
Allora l\6unica soluzione di ogni problema
$$\begin{sistema}
y^\1=f(x,y)\\
y(x_0)=y_0
\end{sistema}$$
con $(x_0,y_0)\in S$ \`e definita su tutto $[a,b]$.
\end{teor}
OK adesso vediamo un teorema che non credo abbiate visto invece, si chiama teorema dell\6asintoto generalmente.
\begin{teor}
\bemph{(dell\6asintoto)}\quad Sia $u:[x_0,+\8)\to\R$ derivabile. Se esistono:
$$\dlim_{x\to+\8}u(x)=\ell,$$
$$\dlim_{x\to+\8}u^\1(x)=m,$$
e $\ell<+\8$, allora $m=0$.
\end{teor}
Dim.
\par Siccome $\ell<+\8$, si ha che:
$$0=\ell-\ell=\dlim_{x\to+\8}\sq{u(x+1)-u(x)}\underset{\dsi{\substack{\hbox{Teorema}\\[0.3em]\hbox{di Lagrange}}}}{=}\dlim_{x\to+\8}u^\1(\jg(x)),$$
con $\jg(x)\in(x,x+1)$. Quindi $\jg(x)\to+\8$. Quindi il limite l\`i \`e $\dlim_{\jg\to+\8}u^\1(\jg)$, che per ipotesi \`e $m$.

\sect{Un primo esercizio}
\begin{eseese}
Si consideri il seguente problema di Cauchy:
$$\begin{sistema}
y^\1=\rad{1-y^2}\\
y(0)=\ag
\end{sistema}.$$
Discutere esistenza ed unicit\`a locale e globale al variare di $\sag\in[-1,1]$.
\end{eseese}
$$f(x,y)=\rad{1-y^2},$$
quindi non dipende da $x$ e ha dominio proprio $[-1,1]$. Inoltre si ha sicuramente che $f\in C^1(\R\x(-1,1))$. Quindi se $\sag\in(-1,1)$ abbiamo esistenza ed unicit\`a locale, per il Teorema di Cauchy, visto che \`e lipschitziana. In $-1$ e 1 invece dobbiamo studiarla noi. Per il Teorema di Peano esiste sicuramente perché \`e comunque continua. A questo punto separiamo le variabili:
$$\dint\fr{dy}{\rad{1-y^2}}=\dint dx+c\implies\arcsin y=x+c,$$
quindi $y\in[-1,1]$ e $x\in\sq{-\fr{\pg}{2},\fr{\pg}{2}}$. Soddisfacendo questo possiamo invertire e trovare:
$$y(x)=\sin(x+c),\quad c\in\R,-\fr{\pg}{2}-c\leq x\leq\fr{\pg}{2}-c.$$
Le soluzioni costanti si trovano subito risolvendo:
$$\rad{1-y^2}=0\sse y=\pm1.$$
``Mi viene un $\fr{1}{0}$ se $y$ \`e $\pm1$'\6 (Ric), per\`o si pu\`o integrare, \`e una singolarit\`a del tipo $\fr{dy}{\rad{(1-x)(1+x)}}$. Le costanti sono definite globalmente. La Condizione Iniziale diventa:
$$\sag=\sin c.$$
Almeno localmente vale $y(x)=\sin(x+c)$, in quel dominio di $x$, ma si pu\`o prolungare su tutto $\R$ incollando opportunamente $\pm1$:
$$y(x)=\sistbisdue{\sin(x+c)}{c\in\sq{-\fr{\pg}{2}-c,\fr{\pg}{2}-c}}{[1em]1}{x\geq\fr{\pg}{2}-c}{[1em]-1}{x\leq-\fr{\pg}{2}-c}.$$
Dobbiamo verificare che l\6incollamento sia $C^1$. Deriviamo:
$$y^\1(x)=\sistbisdue{\cos(x+c)}{x\in\pa{-\fr{\pg}{2}-c,\fr{\pg}{2}-c}}{[1em]0}{x\geq\fr{\pg}{2}-c}{[1em]0}{x\leq-\fr{\pg}{2}-c}.$$
Facciamo i limiti nei punti di incollamento: vengono $0$ da tutte le parti, quindi a posto. Per $\sag=\pm1$ non c'\`e pi\`u unicit\`a: basta incollare, perché se $\sin c\in[-1,1]$ allora passa da $y$ in un punto in $[-1,1]$, ma se $\sin c=1$ o comunque $c$ \`e molto grande o passa da 1 o non passa, quindi \`e soluzione per $\sag=1$, se invece $\sin c=-1$ o $c$ \`e molto negativo va a finire a destra e sono soluzioni con $\sag=-1$.

\sect{Altro esercizio}
\begin{eseese}
$$y^\1=x^3\pa{e^{2-y^2}-1}.$$
Tracciare un grafico qualitativo.
\end{eseese}
Si fa una scaletta:
\ben
\item Esistenza ed unicit\`a locale;
\item Esistenza ed unicit\`a globale: Teorema o non Teorema?;
\item Soluzioni costanti;
\item Monotonia;
\item Comportamento asintotico.
\een
\bi
\item Primo punto: esistenza e unicit\`a locale.
$$f(x,y)=x^3\pa{e^{2-y^2}-1},$$
che \`e $C^\8$, quindi $C^1$, quindi lipschitziana, quindi per ogni $(x_0,y_0)\in\R^2$ esiste localmente un\6unica soluzione del problema di Cauchy
$$\begin{sistema}
y^\1=f(x,y)\\
y(x_0)=y_0
\end{sistema}.$$
\item A questo punto secondo punto: esistenza e unicit\`a globale. Esistenza globale o si applica il teorema di prima o non si pu\`o applicare, dove non si pu\`o bisogna fare delle analisi ulteriori e vedremo dopo. Le ipotesi dell\6esistenza globale sono quelle di Esistenza ed Unicit\`a locale e poi stimiamo il modulo:
$$\abs{f(x,y)}=\abs{x^3\pa{e^{2-y^2}-1}}\leq a^3\pa{e^{2-y^2}+1}\leq a^3\pa{e^2+1}.$$
con $x\in[-a,a]$. Quindi in ogni $[-a,a]\x\R$ \`e limitata, quindi sono soddisfatte le ipotesi del teorema di esistenza ed unicit\`a globale. Abbiamo $h,k$ come sopra: $h$ \`e quella l\`a, $k=0$. Quindi ogni soluzione \`e definita in $[-a,a]$. E qui importa che $h$ possa dipendere da $a$. Altrimenti non potrei trovare quelle costanti. Quindi abbiamo definizione in tutto $\R^2$, globalmente. Infatti posso ripetere il discorso $\VA a\geq0$. Prendiamo la successione $a_n=n$. Per ogni $n$ ripeto il discorso con $a_n$, ovvero ogni soluzione \`e definita su $[-a_n,a_n]$, soluzione del problema col dato iniziale in $[-a_n,a_n]\x\R=[-n,n]\x\R$. Passo al limite per $n\to+\8$ e ricavo esistenza e unicit\`a globale per le soluzioni dei problemi di Cauchy per ogni $(x_0,y_0)\in\R^2$.
\item E ora terzo punto: il grafico. Per prima cosa una classe di soluzioni che giocano un ruolo particolare: le soluzioni costanti. Una costante \`e soluzione costante se e solo se annulla il lato destro:
$$x^3\pa{e^{2-y^2}-1}=0\sse e^{2-y^2}=1\sse y=\pm\rad2,$$
perché la nullit\`a deve valere $\VA x$. Sappiamo dove possono andare le soluzioni: non possono intersecare le costanti.
\item A questo punto studiamo la monotonia. Studiamo:
$$x^3\pa{e^{2-y^2}-1}>0.$$
Questo avviene se:
$$x>0\et e^{2-y^2}>1\vel x<0\et e^{2-y^2}<1.$$
Studiamo la seconda:
$$2-y^2>0\sse-\rad2<y<\rad2.$$
Quindi $y^\1(x)>0$ se:
$$\pa{x>0\et-\rad2<y(x)<\rad2}\vel\pa{x<0\et y(x)<-\rad2\vel y(x)>\rad2}.$$
\item A questo punto non resta che il comportamento asintotico, cio\`e i limiti. Che sono l\6ultimo punto. Posso classificare tutte le soluzioni in base a $y(0)=\sag$. Cominciamo a discutere per $-\rad2<\ag<\rad2$. Il limiti esistono perché le funzioni sono definitivamente monotone. Chiamiamo $y_\ag$ la soluzione di:
$$\begin{sistema}
y^\1=f(x,y)\\
y(0)=\sag
\end{sistema}.$$
Sicuramente esistono:
$$\dlim_{x\to\pm\8}f(x)=\ell^\pm.$$
Prima di tutto sono finiti altrimenti sparerebbe fuori dalla striscia in cui \`e schiacciata dalle costanti. Quindi sicuramente:
$$-\rad2<\ell^\pm<\rad2.$$
Sicuramente per monotonia:
$$\sag<\ell^+\leq\rad2.$$
Quindi o $\ell^+<\rad2$ o $\ell^+=\rad2$. Per questi due casi usiamo il teorema dell\6asintoto. Osserviamo che:
$$\dlim_{x\to+\8}y_\ag^\1(x)=\dlim_{x\to+\8}x^3\pa{e^{2-y^2}-1},$$
e che deve essere $0$, perché ho un asintoto orizzontale. Quel limite da solo quanto vale? Il primo fattore tende a $+\8$, quindi una condizione necessaria \`e che il secondo tenda a 0, il che si verifica per:
$$e^{2-y^2}\to0\sse y\to\pm\rad2.$$
Inoltre sappiamo che:
$$-\rad2<\ag<\ell^+\leq\rad2,$$
quindi non resta che $\ell^+=\rad2$. Per il negativo si fa lo stesso discorso, gli stessi conti portano allo stesso limite. Ora la pausa.
\ei
\includegraphics[width=12cm]{SoluzioniEqDiff_.jpg}
\par Pausa.
\par Ancora una volta per monotonia e per unicit\`a concludiamo che $\ell^+$ \`e schiacciato tra $\sag$ e $\rad2$, ed \`e finito, quindi esattamente come prima concludiamo che \`e $\rad2$. Nel terzo ed ultimo caso abbiamo:
$$\ag>\ell^+\geq-\8.$$
Quindi o $\abs{\ell^+}\leq+\8$ o $\ell^+=-\8$. Supponiamo che sia finito. Allora avrei un asintoto orizzontale. Quindi la derivata tende a $0$. Ma l\6unica possibilit\`a \`e $y\to\pm\rad2$, che non \`e possibile qua perché $\sag>\ell^+$, e $-\rad2>\sag$. Quindi il limite \`e $-\8$. Falquando possiamo dire che $\rad2$ \`e un punto di equilibrio stabile, ed \`e un attrattore, mentre $-\rad2$ \`e un repulsore ed un punto di equilibrio instabile. Non \`e difficile vedere che sono pari, ossia fare il punto ``star'\6 delle simmetrie. Chiamiamo ancora $y_\ag(x)$ la soluzione per cui $y_\ag(0)=\sag$. Chiamiamo $w(x)=y(-x)$. Dimostriamo che \`e soluzione.
$$w^\1(x)=-y^\1(-x)=-\pa{\pa{-x}^3\pa{e^{2-\pa{-y(-x)}^2}}}=x^3\pa{e^{2-w^2(x)}},$$
che quindi \`e soluzione della stessa equazione differenziale, e inoltre $w(0)=y(-0)=\ag$, quindi sono soluzioni dello stesso Problema di Cauchy, ma per esistenza ed unicit\`a $w=y$, quindi $y$ \`e pari.

\sect{Un altro problema di Cauchy}
\begin{eseese}
$$y^\1=y^3\log(y+1).$$
Studiare esistenza ed unicit\`a locale e globale.
\end{eseese}
Nel dominio $(-1,+\8)$ la $f(x,y)=y^3\log(y+1)$ \`e $C^\8$, quindi \`e lipschitziana, quindi c'\`e esistenza ed unicit\`a locale in tutto $\R\x(-1,+\8)$. L\6esistenza globale chiaramente non ha senso perché $f$ non \`e definita su nessuna striscia verticale. Allora cerchiamo le costanti. L\6unica \`e $y=0$. Per esistenza ed unicit\`a locale le soluzioni hanno segno costante. Ora la monotonia. Studiamo:
$$y^3\log(y+1)>0\sse y>0\et y+1>1\vel y<0\et y+1<1\sse y>0\vel y<0.$$
Bene! Comportamento asintotico. Consideriamo ancora il dato iniziale $y(0)=\sag$. I casi sono $\sag\in(-1,0)$ e $\sag>0$. Per monotonia esistono sempre i limiti all\6infinito, o comunque agli estremi dell\6intervallo massimale $(\stg,T)$, ossia a $\stg^+$ ($\ell^-$) e a $T^-$ ($\ell^+$). Ci sono quattro casi:
$$\mat{c}T<+\8,\ell^+<+\8;\\T<+\8,\ell^+=+\8;\\T=+\8,\ell^+<+\8;\\T=+\8,\ell^+=+\8.\emat.$$
Vediamo subito che il primo caso non \`e possibile. Supponiamo per assurdo che valga. Vuol dire che la soluzione parte, cresce, e poi si pianta, a un certo punto. Non \`e possibile, perché allora considero:
$$\begin{sistema}
y^\1=f(x,y)\\
y(T)=\ell^+
\end{sistema}.$$
Questo problema di Cauchy ha soluzione in tutto un intorno di $T$, quindi anche a destra di $T$, contro la definizione di estremo massimale. Supponiamo allora di essere nel caso 3. Se $T=+\8$ e $\ell^+<+\8$, allora ho un asintoto orizzontale. Quindi la derivata tende a 0:
$$\dlim_{x\to+\8}y_\ag^3(t)\log(y_\ag(t)+1)=0.$$
Quel limite \`e:
$$\ell^{+3}\log(\ell^++1).$$
Quello succede solo per $\ell^+=0$, ma per monotonia $\ell^+>\ag>0$, assurdo. Bisogna capire se esplode in tempo finito o no, e qui c'\`e un passaggio abbastanza delicato. Usiamo il fatto che \`e a variabili separabili e ``integriamo'':
$$\fr{dy_\ag}{y_\ag^3(t)\log(y_\ag(t)+1)}=dt.$$
Integriamo da $0$ a $T$:
$$\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\,\,\,T}\fr{dy_\ag}{y_\ag^3(t)\log(y_ag(t)+1)}=\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\,\,\,T}dt.$$
L\6integrale a sinistra converge per $T\to+\8$, quindi esplode in tempo finito. Ma questo lo rivediamo la prossima volta.


\incle
\chapter{\lez{11/12/2013}}

\sect{Sistemi ed equazioni differenziali lineari}
\begin{defi}
$$\begin{sistema}
y^\1_1(t)=a_{11}(t)y_1(t)_+a_{12}(t)y_1(t)\+a_{1n}(t)y_n(t)+b_1(t)\\
y^\1_2(t)=a_{21}(t)y_1(t)+a_{22}(t)y_2(t)\+a_{2n}(t)y_n(t)+b_2(t)\\
\vdots\\
y^\1_n(t)=a_{n1}(t)y_1(t)+a_{n2}(t)y_2(t)\+a_{nn}(t)y_n(t)+b_n(t)
\end{sistema},$$
dove $a_{ij},b_i:I\to\R$, con $I$ intervallo reale, si dice \emph{sistema di equazioni differenziali lineari del primo ordine}.
\end{defi}
Pu\`o venir comodo (Falqui docet) usare una notazione vettoriale:
$$A(t)=\pa{a_{ij}(t)}_{ij},$$
$$\ubar{b}(t)=\pa{\mat{c}b_1(t)\\b_2(t)\\\vdots\\b_n(t)\emat},$$
quindi $A:I\to\f{M}_{n\x n}(\R)$ e $\ubar{b}:I\to\R^n$. A questo punto posso scrivere:
$$Y^\1(t)=A(t)Y(t)+\ubar{b}(t),$$
con
$$Y(t)=\pa{\mat{c}y_1(t)\\y_2(t)\\\vdots\\y_n(t)\emat}.$$
\begin{teor}
Se $a_{ij}\in C^0(I,\f{M}_{n\x n}(\R)),b_i\in C^0(I,\R^n)$ per ogni $i=1,\dots,n$, allora
$$\VA(t_0,Y_0)\in I\x\R^n\quad\3!Y(t):I\to\R^n:
\begin{sistema}
Y^\1(t)=A(t)Y(t)+\ubar{b}(t)\\
Y(t_0)=Y_0
\end{sistema},$$
definita su tutto $I$.
\end{teor}
Sia $[a,b]\sbse I$ un sottointervallo chiuso e limitato di $I$. Considero $F:I\to\R^n$ definita come:
$$F(t,Y)=A(t)Y+\ubar{b}(t).$$
Questa funzione \`e definita quindi su tutto $I\x\R^n$ a valori in $\R^n$. Sicuramente \`e una funzione continua perché i coefficienti lo sono. Dobbiamo dimostrare che \`e lipschitziana. Consideriamo $(t,Y),(t,Z)\in[a,b]\x\R^n$. Stimiamo la differenza:
$$F(t,Y)-F(t,Z)=A(t)\pa{Y-Z}=\pa{\mat{c}\dsum_{j=1}^na_{ij}(t)(y_j-z_j)\\\vdots\\\dsum_{i=1}^na_{nj}(t)(y_j-z(j))\emat}.$$
Consideriamo la componente $i$-sima:
$$\abs{\dsum_{j=1}^na_{ij}(t)(y_j-z_j)}^2\underset{Schwarz}{\leq}\pa{\dsum_{j=1}^na_{ij}^2(t)}\pa{\dsum_{j=1}^n\pa{y_j-z_j}^2}.$$
Quindi in norma la differenza di sopra soddisfa\fn{Stiamo sommando le $n$ disuguaglianze scritte sopra, dato che quella singola vale per ognuna delle $n$ componenti di $Y$ e $Z$; in pi\`u sta estraendo la radice.}:
$$\norm{F(t,Y)-F(t,Z)}\leq\rad{\dsum_{ij}^{\whitea}a_{ij}^2(t)}\norm{Y-Z}.$$
Le funzioni $a_{ij}$ sono continue, quindi su $[a,b]$ sono limitate, quindi posso maggiorare la prima radice con una costante $L$. Concludiamo che $F$ \`e lipschitziana in $Y$ uniformemente in $t$ ad esempio su $(a,b)\x\R^n$, che \`e una striscia verticale, quindi il teorema di esistenza ed unicit\`a globale mi dice che il problema di Cauchy ha unica soluzione di classe $C^1((a,b),\R^n)$. Per\`o essendo il discorso ripetibile per ogni sottointervallo di $I$, ottengo che la soluzione \`e prolungabile su tutto $I$.

\sect{Caso omogeneo}
Il caso omogeneo \`e quando:
$$\ubar{b}(t)=\pa{\mat{c}0\\\vdots\\0\emat}.$$
Quindi il sistema diventa:
$$Y^\1(t)=A(t)b(t).$$
\begin{defi}
Un sistema siffatto si dice \emph{sistema lineare omogeneo}.
\end{defi}
Vogliamo cercare di descrivere l\6insieme di tutte le soluzioni del sistema, non del problema di Cauchy. Consideriamo:
$$V_0=\br{Y\in C^1(I,\R^n):Y^\1(t)=A(t)Y(t)\quad\VA t\in I}.$$
\begin{teor}
$V_0$ \`e un sottospazio vettoriale di $C^1(I,\R^n)$ di dimensione $n$. Inoltre, fissato un qualunque $t_0\in I$, si ha che l\6applicazione:
$$T:V_0\in\R^n\quad T(Y)=Y(t_0)$$
\`e lineare e biunivoca.
\end{teor}
Dimostrare che \`e un sottospazio \`e veramente semplice: esercizio di algebra lineare. Prendiamo $Y_1,Y_2\in V_0$. Calcoliamo:
$$\pa{Y_1+Y_2}^\1=Y_1^\1+Y_2^\1=AY_1+AY_2=A\pa{Y_1+Y_2}.$$
Quindi \`e chiuso rispetto alla somma. Prendiamo $\sag\in\R,Y\in V_0$. Vediamo che:
$$\pa{\sag Y}\1=\sag Y^\1=\sag AY=A\pa{\sag Y},$$
quindi \`e chiuso rispetto al prodotto. Che $T$ \`e lineare \`e veramente un esercizio non facile, pi\`u che facile. Fatelo voi. Perché $T$ \`e suriettiva? Perché per ogni $(t_0,Y_0)$ esiste ed \`e unica, per l\6esistenza ed unicit\`a della soluzione del Problema di Cauchy, la funzione $Y\in V_0$ per cui $T(Y)=Y_0$. E l\6unicit\`a ci d\`a l\6iniettivit\`a. Per il teorema di nullit\`a pi\`u rango
$$\dim V_0=\dim\im(T)-\dim\ker(T)=\dim\R^n-0=n.$$
Quindi l\6integrale generale del sistema \`e dato dalle combinazioni lineari di $n$ soluzioni linearmente indipendenti, che formano una base di $V_0$. $n$ soluzioni linearmente indipendenti sono $n$ funzioni vettoriali $Y_1(t),\dots,Y_n(t)$ che risolvano il sistema ($Y_i\in V_0$ per ogni $i=1,\dots,n$) e tali che:
$$c_1Y_1(t)+c_2Y_2(t)\+c_nY_n(t)\underset{\substack{\scb{0.7}[0.7]{Si indica cos\`i per dire}\\\scb{0.7}[0.7]{``identicamente nulla'\6}}}{\equiv}0\implies c_i=0\quad\VA i.$$
Dato che $c_1Y_1+c_2Y_2\+c_nY_n$ \`e soluzione ($V_0$ \`e un sottospazio vettoriale), o \`e identicamente nulla, o non si annulla mai. Perché questo? Per l\6unicit\`a. Perché supponiamo che si annulli in un punto. Allora avrei due soluzioni, quella identicamente nulla che ovviamente \`e soluzione e questa, che soddisfano lo stesso problema di Cauchy. Quindi questa condizione di lineare indipendenza vi basta controllarla in un qualunque $t$: $n$ elementi $Y_1,Y_2,\dots,Y_n$ sono linearmente indipendenti $\sse$ per un fissato $t_0\in I$ i vettori colonna $Y_1(t_0),Y_2(t_0),\dots,Y_n(t_0)$ sono linearmente indipendenti. Diamo un nome alle varie componenti:
$$Y_1=\pa{\mat{c}y_1^2\\y_1^2\\\vdots\\y_1^n\emat},\dots,Y_n=\pa{\mat{c}y_n^1\\y_n^2\\\vdots\\y_n^n\emat}.$$
Quindi i vettori sono linearmente indipendenti se e solo se posto:
$$\Fg(t_0)=\pa{\mat{cccc}y_1^1(t_0)&y_2^1(t_0)&\dots&y_n^1(t_0)\\y_1^2(t_0)&y_2^2(t_0)&\dots&y_n^2(t_0)\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^n(t_0)&y_2^n(t_0)&\dots&y_n^n(t_0)\emat},$$
si ha che:
$$\det\Fg(t_0)\neq0.$$
\begin{defi}
Una simile matrice $\Fg(t)$ si dice \emph{matrice risolvente o Wronskiana}, e la funzione $W(t)=\det\Fg(t)$ si dice \emph{Wronskiano}.
\end{defi}
Se $Y_1,Y_2,\dots,Y_n$ sono $n$ soluzioni linearmente indipendenti di $Y^\1=AY$ e
$$\Fg(t)=\pa{Y_1(t),\dots,Y_n(t)}$$
\`e la corrispondente matrice risolvente, allora:
$$\Fg^\1(t)=A(t)\Fg(t),$$
dove derivare una matrice vuol dire derivare tutte le sue entrate e quindi tutte le sue colonne. Se $Y\in V_0$, allora \`e soluzione del sistema, quindi \`e combinazione lineare delle colonne di $\Fg$, ossia:
$$\3K=\pa{\mat{c}c_1\\\vdots\\c_n\emat}:Y=c_1Y_1+c_2Y_2\+c_nY_n=\Fg(t)K.$$
Quindi concludiamo che:
$$V_0=\br{\Fg(t)K:K\in\R}.$$
Facciamo adesso la pausa, il prossimo passo \`e andare a vedere il caso particolare dei coefficienti costanti in cui si pu\`o ....
\par Pausa

\sect{Caso omogeneo a coefficienti costanti}
Fissiamo $A\in\f{M}_{n\x n}(\R)$ e studiamo:
$$Y^\1(t)=AY(t).$$
Cerchiamo di dotare $\f{M}$ di una struttura di spazio normato, per esempio definendo:
$$\norm{A}=\dsum_{i,j=1}^n\abs{a_{ij}}.$$
Si pu\`o provare che quella \`e una norma\fn{\`E abbastanza evidente che sia sempre non negativa (somma di termini non negativa) e sia nulla solo sulla matrice nulla, dato che altrimenti almeno un termine positivo ce l\6ho. L\6omogeneit\`a \`e altrettanto ovvia, discende da una propriet\`a del modulo. La subadditivit\`a discende anch\6essa da una propriet\`a del modulo, visto che per ogni termine vale, vale su tutta la matrice. Che poi lo spazio diventi di Banach, cercher\`o di dimostrarlo con pi\`u calma domani e sotto.}, e che $(\f{M}_{n\x n}(\R),\norm{\per})$ \`e uno spazio di Banach. Inoltre possiamo osservare che:
$$\VA A,B\in\f{M}_{n\x n}(\R),\norm{AB}\leq\norm{A}\norm{B}\quad(esercizio)(\fnm[3]).\fnt[3]{Il prodotto $AB$ nel posto $ik$ ha come entrata:
$$\dsum_{j=1}^na_{ij}b_{jk}.$$
Tale somma soddisfa:
$$\abs{\dsum_{j=1}^na_{ij}b_{jk}}\leq\abs{\dsum_{j=1}^na_{ij}}\abs{\dsum_{j=1}^nb_{jk}}.$$
Infatti quella disuguaglianza elevata al quadrato non \`e che la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Sommando a sinistra su $i,k$ otteniamo $\norm{AB}$, mentre sommando a sinistra otteniamo $\norm{A}\norm{B}$, C.V.D.}\ic{footnote}{+1}$$
Ora per ogni $A\in\f{M}_{n\x n}(\R)$ consideriamo:
$$\dsum_{k=1}^\8\fr{A^k}{k!},$$
dove
$$A^k=\sistbis{A\per A\per\dots\per A}{k\neq0}{I_n}{k=0}.$$
Converge? Possiamo applicare il Criterio di Weierstrass. Considero:
$$\norm{\fr{A^k}{k!}}=\fr{1}{k!}\norm{A^k}\leq\fr{1}{k!}\norm{A}^k,$$
e
$$\dsum_{k=0}^\8\fr{\norm{A}^k}{k!}=e^{\norm{A}}.$$
Quindi la serie delle norme converge per il Teorema del Confronto, quindi la serie di partenza converge totalmente, quindi uniformemente, nello spazio delle matrici.
\begin{defi}
$$\VA A\in\f{M}_{n\x n}(\R),\quad\dsum_{k=1}^\8\fr{A^k}{k!}=e^A,$$
l\6esponenziale della matrice.
\end{defi}
\begin{oss}
Si pu\`o dimostrare (non lo facciamo perché ..., non \`e difficile, \`e un po\6 tecnico) che se $AB=BA$, allora:
$$e^{A+B}=e^Ae^B,$$
prodotto di matrici.
\end{oss}
Suggerimento: dimostrare che se $AB=BA$, allora:
$$\pa{A+B}^k=\dsum_{h=0}^k\bnm khA^hB^{k-h}.$$
\begin{oss}
Consideriamo la funzione $\R\to\f{M}_{n\x n}(\R)$ definita come:
$$t\mapsto e^{tA}.$$
Cosa possiamo dire di questa funzione.
$$e^{0A}=\dsum_{k=0}^\8\fr{0^kA^k}{k!}=\underbrace{I_n}_{\mathclap{\dsi{\fr{0^0A^0}{0!}=\fr{1\per I_n}{1}}}}+0A+\fr{1}{2}0^2A^2+\dots=I_n.$$
Proviamo a derivarla:
$$\fr{e^{\pa{t+h}A}-e^{tA}}{h}=\fr{e^{hA}e^{tA}-e^{tA}}{h}=\fr{1}{h}\pa{e^{hA}-I_n}e^{tA}=\fr{1}{h}\pa{\dsum_{k=1}^\8\fr{h^kA^k}{k!}}e^{tA}=$$
$$=Ae^{tA}+\dsum_{k=2}^\8\fr{h^{k-1}A^k}{k!}e^{tA}.$$
Consideriamo la norma di quella somma:
$$\norm{\dsum_{k=2}^\8\fr{h^{k-1}A^k}{k!}}=\norm{h\dsum_{k=2}^\8h^{k-2}\fr{A^k}{k!}}\leq\overbrace{\abs{h}}^{\to0}\underbrace{\dsum_{k=2}^\8\abs{h}^{k-2}\fr{\norm{A}^k}{k!}}_{converge}.$$
Quindi:
$$\fr{d}{dt}e^{tA}=Ae^{tA}.$$
\end{oss}
\begin{teor}
Sia $A\in\f{M}_{n\x n}(\R)$.
\ben
\item $\VA K\in\R^n,\quad Y(t)=e^{tA}K$ \`e una soluzione del sistema lineare $Y^\1=AY$;
\item Le colonne di $e^{tA}$ sono $n$ soluzioni linearmente indipendenti del sistema $Y^\1=AY$;
\item Il problema di Cauchy
$$\begin{sistema}
Y^\1=AY\\
Y(t_0)=Y_0
\end{sistema}$$
ha come unica soluzione (ammette l\6unica soluzione):
$$Y(t)=e^{\pa{t-t_0}A}Y_0.$$
\een
\end{teor}
Dim.
\par Consideriamo $Y=e^{tA}K$. Vediamo che:
$$Y^\1=\pa{e^{tA}}^\1K=A\pa{e^{tA}K}=AY,$$
quindi $Y$ \`e soluzione. La $i$-sima colonna di $e^{tA}$ \`e soluzione perché \`e:
$$e^{tA}\ubar{e}_i=e^{tA}\pa{\mat{c}0\\\vdots\\1\quad k-simo\,\,posto\\\vdots\\0\emat}.$$
Per vedere che sono linearmente indipendenti basta vedere che $e^{tA}$ abbia determinante non nullo, ossia sia invertibile. Osserviamo che:
$$e^{tA}\per e^{-tA}=e^{tA-tA}=e^{0}=I_n,$$
quindi $e^{tA}$ ha inversa $e^{-tA}$. L\6unicit\`a \`e garantita, quindi per la parte 3 basta dimostrare che:
$$Y(t)=e^{\pa{t-t_0}A}Y_0$$
\`e soluzione del Problema di Cauchy. Riscriviamo la soluzione:
$$Y(t)=e^{tA}e^{-t_0A}Y_0=e^{tA}\pa{e^{-t_0A}Y_0},$$
quindi per la parte 1 con $K=e^{-t_0A}Y_0$ \`e soluzione del sistema. Verifichiamo la condizione iniziale:
$$Y(t_0)=e^{\pa{t_0-t_0}A}Y_0=e^0Y_0=I_nY_0=Y_0.$$
Quindi in definitiva $e^{tA}$ \`e una matrice Wronskiana per il sistema a coefficienti costanti. Quindi il prossimo problema che ci poniamo qual \`e, come si calcola la matrice esponenziale. Per\`o questo direi che \`e meglio farlo domani. Quindi domani ci occupiamo del calcolo della matrice esponenziale.


\incle
\chapter{\lez{12/12/2013}}

\sect{Calcolo della matrice esponenziale}

\ssect{Caso di matrice diagonalizzabile con autovalori tutti reali}
Dall\6ipotesi di diagonalizzabilit\`a possiamo dedurre che esiste una matrice $S$ tale che:
$$S^{-1}AS=\pa{\mat{cccc}\lgr_1&0&\dots&0\\0&\lgr_2&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&\lgr_n\emat},$$
dove $\lgr_i$ sono gli autovalori tutti reali di $A$. Siano allora $h_i$ autovettori di $A$ associati ai $\lgr_i$ con lo stesso indice. Sappiamo che:
$$S=\pa{h_1,h_2,\dots,h_n}.$$
Chiamiamo allora:
$$D=S^{-1}AS=\pa{\mat{cccc}\lgr_1&0&\dots&0\\0&\lgr_2&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&\lgr_n\emat}.$$
Osserviamo che:
$$D^k=\pa{\mat{cccc}\fr{t^k}{k!}\lgr_1^k&0&\dots&0\\0&\fr{t^k}{k!}\lgr_2^k&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&\fr{t^k}{k!}\lgr_n^k\emat}.$$
Quindi:
$$e^{tD}=\dsum_{k=0}^\8\fr{t^kD^k}{k!}=\dsum_{k=0}^\8\pa{\mat{cccc}\lgr_1^k&0&\dots&0\\0&\lgr_2^k&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&\lgr_n^k\emat}=\pa{\mat{cccc}e^{\lgr_1t}&0&\dots&0\\0&e^{\lgr_2t}&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&e^{\lgr_nt}\emat}.$$
Osserviamo d\6altronde che $D^k$ si pu\`o riscrivere come $S^{-1}AS$, quindi:
$$e^{tD}=\dsum_{k=0}^\8\fr{t^k}{k!}\pa{S^{-1}AS}^k=\dsum_{k=1}^\8\fr{t^k}{k!}\pa{S^{-}ASS^{-1}AS\dots S^{-1}AS}=\dsum_{k=0}^\8\fr{t^k}{k!}S^{-1}A^kS=$$
$$=S^{-1}\pa{\dsum_{k=0}^\8\fr{t^k}{k!}A^k}S=S^{-1}e^{tA}S,$$
quindi:
$$e^{tA}=Se^{tD}S^{-1}=S\pa{\mat{cccc}e^{\lgr_1t}&0&\dots&0\\0&e^{\lgr_2t}&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&e^{\lgr_nt}\emat}S^{-1}.$$
Facciamo allora un esempio di calcolo cos\`i fatto.
\begin{es}
$$\begin{sistema}
x^\1=2x+y\\
y^\1=x+2y
\end{sistema}.$$
\end{es}
Qui abbiamo:
$$A=\pa{\mat{cc}2&1\\1&2\emat}.$$
Cerchiamo gli autovalori:
$$\det\pa{A-\lgr I}=\det\pa{\mat{cc}2-\lgr&1\\1&2-\lgr\emat}=\lgr^2-4\lgr+3=\pa{\lgr-1}\pa{\lgr-3}.$$
Quindi ha due autovalori reali. Autovettori. Associati a 1:
$$\kerr\pa{A-I}=\kerr\pa{\mat{cc}1&1\\1&1\emat},$$
quindi:
$$x+y=0,$$
ad esempio:
$$\pa{\mat{c}1\\-1\emat}.$$
Associati a 3:
$$\kerr\pa{A-3I}=\kerr\pa{\mat{cc}-1&1\\1&-1\emat},$$
quindi:
$$-x+y=0,$$
ad esempio:
$$\pa{\mat{c}1\\1\emat}.$$
Se scrivo quindi:
$$S=\pa{\mat{cc}1&1\\-1&1\emat},$$
ho che:
$$S^{-1}AS=\pa{\mat{cc}1&0\\0&3\emat}.$$
Quindi l\6esponenziale:
$$e^{tA}=S\pa{\mat{cc}e^t&0\\0&e^{3t}\emat}S^{-1}=\underset{esercizio}{\dots}(\fnm[1])=\pa{\mat{cc}\fr{1}{2}\pa{e^t+e^{3t}}&\fr{1}{2}\pa{-e^t+e^{3t}}\\\fr{1}{2}\pa{-e^t+e^{3t}}&\fr{1}{2}\pa{e^t+e^{3t}}\emat}.\fnt[1]{Si vede facilmente che:
$$S^{-1}=\fr{1}{2}\pa{\mat{cc}1&-1\\1&1\emat}.$$
Quindi:
$$S\pa{\mat{cc}e^t&0\\0&e^{3t}\emat}S^{-1}=\pa{\mat{cc}1&1\\-1&1\emat}\pa{\mat{cc}e^t&0\\0&e^{3t}\emat}\fr{1}{2}\pa{\mat{cc}1&-1\\1&1\emat}=\fr{1}{2}\pa{\mat{cc}e^t&e^{3t}\\-e^t&e^{3t}\emat}\pa{\mat{cc}1&-1\\1&1\emat}=$$
$$=\fr{1}{2}\pa{\mat{cc}e^t+e^{3t}&-e^t+e^{3t}\\-e^t+e^{3t}&e^t+e^{3t}\emat}.$$}\ic{footnote}{+1}$$
[A questo punto ho avuto un problema di \LaTeX, per cui ho perso un pezzetto. Si trattava di una rapida ma alquanto matriciosa osservazione sulla struttura dell\6integrale generale in questo caso. Siccome \`e piena di vettori e matrici e in \LaTeX \`e particolarmente noioso scriverli, senza contare che ne ho gi\`a scritti un macello sopra, tra matrici e vettori, riporto la foto di un pezzo della lavagna contenente tale osservazione, che mi sembra sufficientemente leggibile, sperando che anche voi lo troviate tale.]
\includegraphics[width=12cm]{Lav.jpg}

\ssect{Caso di matrice diagonalizzabile ma con autovalori anche complessi}
Cominciamo da $A\in\f{M}_{2\x2}(\R)$, con autovalori necessariamente complessi coniugati, perché il polinomio caratteristico \`e a coefficienti reali, quindi appena ha una radice complessa anche la coniugata \`e radice. Quindi avremo:
$$\lgr_1=a+ib,\quad\lgr_2=a-ib.$$
Potr\`o scrivere l\6autovettore relativo a $\lgr_1$ come:
$$h=v+iw,\quad v,w\in\R^2.$$
A questo punto se prendo:
$$\lbar{h}=v-iw,$$
sar\`a l\6autovettore relativo a $\lgr_2=\lbar{\lgr_1}$(\fn{Infatti:
$$Ah=Av+iAw=\pa{a+ib}h=av-bw+i\pa{bv+aw},$$
e:
$$A\lbar{h}=Av-iAw,$$
ma chiaramente, essendo $A$ a coefficienti reali,
$$Av=av-bw,\quad Aw=bv+aw,$$
quindi:
$$Av-iAw=av-bw-i\pa{bv+aw},$$
e siccome:
$$\pa{a-ib}\pa{v-iw}=av-bw-i\pa{bv+aw},$$
si ha l\6uguaglianza cercata.}). Quindi:
$$Ah=\lgr_1h,\quad A\lbar{h}=\lbar{\lgr_1}\lbar{h}.$$
Quindi, richiamando $\lgr_1=\lgr$, avremo:
$$S^{-1}AS=\pa{\mat{cc}\lgr&0\\0&\lbar{\lgr}\emat},$$
dove
$$S=\pa{h,\lbar{h}}.$$
Consideriamo ora:
$$\tilde{S}=\pa{w,v},$$
dove $w=\pa{\mat{c}w_1\\w_2\emat}$, $v=\pa{\mat{c}v_1\\v_2\emat}$, e quindi:
$$\tilde{S}=\pa{\mat{cc}w_1&v_1\\w_2&v_2\emat}.$$
Facendo un conticino semplice\fn{Vediamo di farlo Innanzitutto calcoliamo quell\6inversa:
$$\tilde{S}^{-1}=\fr{1}{w_1v_2-w_2v_1}\pa{\mat{cc}v_2&-v_1\\-w_2&w_1\emat}.$$
Poi verifichiamo che:
$$A=\tilde{S}\pa{\mat{cc}a&-b\\b&a\emat}\tilde{S}^{-1}.$$
Quindi calcoliamo il lato destro e verifichiamo che abbia gli autovalori e gli autovettori giusti. Allora:
$$\tilde{S}\pa{\mat{cc}a&-b\\b&a\emat}\tilde{S}^{-1}=\fr{1}{w_1v_2-w_2v_1}\pa{\mat{cc}w_1&v_1\\w_2&v_2\emat}\pa{\mat{cc}a&-b\\b&a\emat}\pa{\mat{cc}v_2&-v_1\\-w_2&w_1\emat}=$$
$$=\fr{1}{w_1v_2-w_2v_1}\pa{\mat{cc}aw_1+bv_1&-bw_1+av_1\\aw_2+bv_2&-bw_2+av_2\emat}\pa{\mat{cc}v_2&-v_1\\-w_2&w_1\emat}=$$
$$=\fr{1}{w_1v_2-w_2v_1}\pa{\mat{cc}aw_1v_2+bv_1v_2+bw_1w_2-av_1w_2&-aw_1v_1-bv_1^2-bw_1^2+av_1w_1\\aw_2v_2+bv_2^2+bw_2^2-av_2w_2&-aw_2v_1-bv_1v_2-bw_2w_1+av_2w_1\emat}=$$
$$=\fr{1}{w_1v_2-w_2v_1}\pa{\mat{cc}a\pa{w_1v_2-v_1w_2}+b\pa{v_1v_2+w_1w_2}&-b\pa{v_2^2+w_2^2}\\b\pa{v_2^2+w_2^2}&a\pa{v_2w_1-v_1w_2}-b\pa{v_1v_2+w_1w_2}\emat}.$$
Notare che i termini in $a$ raccolgono il denominatore della frazione davanti in ambo i casi, e che i termini in $b$ cambiano segno da un\6entrata all\6altra sulla stessa diagonale. A parte questo, i conti fanno schifo e non li faccio. Noi sappiamo che $e^{tA}$ \`e $Se^{tD}S^{-1}$, quindi ecco la prima matrice che eguaglia $e^{tA}$. Perché venga la seconda non riesco a capirlo.}, esercizio, vedete che:
$$\tilde{S}^{-1}A\tilde{S}=\pa{\mat{cc}a&-b\\b&a\emat},$$
dove $\lgr_1=a+ib$. A questo punto possiamo scrivere:
$$e^{tA}=S\pa{\mat{cc}e^{\lgr_1t}&0\\0&e^{\lbar{\lgr_1}t}\emat}S^{-1}=\tilde{S}\pa{\mat{cc}e^{at}\cos bt&-e^{at}\sin bt\\e^{at}\sin bt&e^{at}\cos bt\emat}\tilde{S}^{-1}.$$
Quelle entrate vengono da:
$$e^{\lgr_1t}=e^{\pa{a+ib}t}=e^{at}\pa{\cos bt+i\sin bt}.$$

\ssect{In generale}
Supponiamo di avere $A\in\f{M}_{n\x n}(\R)$ diagonalizzabile. Preso un autovalore reale $\lgr_i$, mettiamo come colonna $i$-sima di $\tilde{S}$ l\6autovettore associato, facendo comparire un $e^{\lgr_it}$. Preso un autovalore complesso (o meglio una coppia di autovalori complessi coniugati) $\lgr_j$ e $\lbar{\lgr_j}$, avranno associati autovettori $h_j=v_j+iw_j$ e $\lbar{h_j}$, allora in $S$ mettiamo come colonna $j$-sima l\6autovettore, ovvero un blocco $\pa{\mat{cc}e^{\lgr_jt}&0\\0&e^{\lbar{\lgr_j}t}\emat}$, e in $\tilde{S}$ invece si mette il blocco $\pa{w_j,v_j}$. Vale che:
$$\tilde{S}\pa{\mat{cccc}\ddots&\vdots&\vdots&\iddots\\\dots&e^{a_jt}\cos b_jt&-e^{a_jt}\sin b_jt&\dots\\\dots&e^{a_jt}\sin b_jt&e^{a_jt}\cos b_jt&\dots\\\iddots&\vdots&\vdots&\ddots\emat}\tilde{S}^{-1}.$$
Facciamo un esempio.
\begin{es}
$$\begin{sistema}
x^\1=y\\
y=-5x+2
\end{sistema}.$$
\end{es}
$$A=\pa{\mat{cc}0&1\\-5&2\emat},$$
autovalori:
$$1\pm2i.$$
Troviamo l\6autovettore relativo a $1+2i$:
$$\pa{-1-2i}x+y=0\implies y=\pa{1+2i}x,$$
quindi ad esempio:
$$\pa{\mat{c}1\\1+2i\emat}=\pa{\mat{c}1\\1\emat}+i\pa{\mat{c}0\\2\emat}.$$
Quindi:
$$\tilde{S}=\pa{\mat{cc}0&1\\2&1\emat}.$$
Quindi avremo:
$$e^{tA}=\tilde{S}\pa{\mat{cc}e^t\cos2t&-e^t\sin2t\\e^t\sin2t&e^t\cos2t\emat}\tilde{S}^{-1}.$$
Alternativamente:
$$S=\pa{\mat{cc}1&1\\1+2i&1-2i\emat},$$
e
$$e^{tA}=S\pa{\mat{cc}e^{\pa{1+2i}t}&0\\0&e^{\pa{1-2i}t}\emat}S^{-1}.$$
Il conto fatelo voi.

\ssect{Caso generale}
Se non \`e diagonalizzabile, ci sono delle tecniche che usano la forma canonica di Jordan. Comunque si dimostra che:
\begin{teor}
Se $\lgr_1,\dots,\lgr_r$ sono gli autovalori della matrice con molteplicit\`a algebriche $m_1,\dots,m_r$, allora l\6integrale generale del sistema \`e della forma:
$$Y(t)=\dsum_{j=1}^r\dsum_{i=1}^{m_j}\ubar{c}^{ij}t^{i-1}e^{\lgr_jt},$$
con $\ubar{c}^{ij}$ opportuni vettori che dipendono da $n$(\fn{Lo spazio deve essere di dimensione $n$, ricordiamolo.}) costanti arbitrarie.
\end{teor}
Rimandiamo a dopo la pausa un esempio di sistema dove la matrice non \`e diagonalizzabile.
\par Pausa.
\begin{es}
$$\begin{sistema}
x^\1=x+2y+3z\\
y^\1=y+2z\\
z^\1=z
\end{sistema}.$$
\end{es}
$$A=\pa{\mat{ccc}1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\emat}.$$
Abbiamo solo l\6autovalore 1 con molteplicit\`a algebrica 3. L\6autospazio:
$$\kerr\pa{\mat{ccc}0&2&3\\0&0&2\\0&0&0\emat},$$
che avendo quella matrice rango 2 ha dimensione $1\neq3$. L\6integrale generale, come visto sopra, \`e della forma:
$$\pa{\mat{c}x(t)\\y(t)\\z(t)\emat}=\ubar{c}^1e^t+\ubar{c}^2te^t+\ubar{c}^3t^2e^t,$$
con $\ubar{c}^i$ vettori di $\R^3$. Riscriviamola raccogliendo l\6esponenziale:
$$e^t\pa{\ubar{c}^1+\ubar{c}^2t+\ubar{c}^3t^2}.$$
Voglio che soddisfi il sistema, cio\`e:
$$\pa{\mat{c}x^\1\\y^\1\\z^\1\emat}=e^t\pa{\ubar{c}^1+\ubar{c}^2+t\pa{\ubar{c}^2+2\ubar{c}^3}+\ubar{c}^3t^2}=A\pa{e^t\pa{\ubar{c}^1+\ubar{c}^2t+\ubar{c}^3t^2}}=$$
$$=e^t\pa{A\ubar{c}^1+tA\ubar{c}^2+t^2A\ubar{c}^3}.$$
Quindi:
$$\begin{sistema}
A\ubar{c}^1=\ubar{c^1}+\ubar{c}^2\\
A\ubar{c}^2=\ubar{c}^2+2\ubar{c}^3\\
A\ubar{c}^3=\ubar{c}^3
\end{sistema}.$$
La terza ci dice che $\ubar{c}^3$ sta nell\6autospazio. Quello \`e lo span di $\pa{\mat{c}1\\0\\0\emat}$, quindi avremo:
$$\ubar{c}^3=\pa{\mat{c}\ag\\0\\0\emat}\quad\sag\in\R.$$
Sostituisco nella seconda e, chiamando $\ubar{c}^2=\pa{\mat{c}x\\y\\z\emat}$, ottengo:
$$\begin{sistema}
x+2y+3z=x+2\sag\\
y+2z=y\\
z=z
\end{sistema}.$$
Dalla seconda abbiamo $z=0$, dalla prima quindi $y=\sag$, e $x$ qualunque. Quindi:
$$\ubar{c}^2=\pa{\mat{c}\bg\\\ag\\0\emat}.$$
A questo punto dalla prima, chiamando $\ubar{c}^1=\pa{\mat{c}x\\y\\z\emat}$ e sostituendo dalle altre abbiamo:
$$\begin{sistema}
x+2y+3z=x+\bg\\
y+2z=y+\sag\\
z=z
\end{sistema}.$$
La terza non dice niente, la seconda mi dice $z=\fr{\ag}{2}$, quindi sostituendo sopra avremo $y=\fr{1}{2}\pa{\bg-\fr{3}{2}\ag}$. Quindi:
$$\ubar{c}^1=\pa{\mat{c}\ggr\\\fr{1}{2}\pa{\bg-\fr32\ag}\\\fr{\ag}{2}\emat}.$$
Quindi l\6integrale generale \`e della forma:
$$\pa{\mat{c}x(t)\\y(t)\\z(t)\emat}=e^t\pa{\pa{\mat{c}\ggr\\\fr{\bg}{2}-\fr{3}{4}\ag\\\fr{\ag}{2}\emat}+\pa{\mat{c}\bg\\\ag\\0\emat}t+\pa{\mat{c}\ag\\0\\0\emat}t^2}=\pa{\mat{c}\pa{\ggr,\bg t+\ag t^2}e^t\\\pa{\fr\bg2-\fr34\ag+\ag t}e^t\\\fr\ag2e^t\emat}$$
$$\ag,\bg,\ggr\in\R.$$
A questo punto nella nostra vita siamo abbastanza soddisfatti su quello che sappiamo sul caso omogeneo.

\sect{Caso non omogeneo}

\ssect{Teorema: soluzione particolare pi\`u soluzioni del sistema omogeneo}
Quale sar\`a il naturale passo successivo? Vedere cosa posso fare nel caso non omogeneo. Quindi:
$$Y^\1(t)=A(t)Y(t)+\ubar{b}(t),$$
con $A\in C^0(I,\f{M}_{n\x n}(\R)),\ubar{b}\in C^0(I,\R^n)$. Sia $V_{\ubar{b}}$ l\6insieme di tutte le sue soluzioni.
\begin{teor}
Sia $\sfg\in V_{\ubar{b}}$. (A volte si dice anche \emph{sistema completo}.) Allora:
$$V_{\ubar{b}}=\br{\sfg+Y:Y\in V_0}=\sfg+V_0,$$
ove $V_0$ \`e lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo.
\end{teor}
Dim.
\par Sia $\syg\in V_{\ubar{b}}$. Allora se considero $\syg-\sfg$ ove $\sfg$ \`e la soluzione particolare che supponiamo di avere, allora:
$$\pa{\syg-\sfg}^\1=A\syg+\ubar{b}-A\sfg-\ubar{b}=A\pa{\syg-\sfg},$$
quindi $\syg-\sfg\in V_0$. Ora,
$$\syg=\sfg+\pa{\syg-\sfg},$$
quindi sta in $\sfg+V_0$. Viceversa prendiamo $\syg=\sfg+Y:\,\,Y\in V_0$. Deriviamo:
$$\syg^\1=\sfg^\1+Y^\1=A\sfg+\ubar{b}+AY=A\pa{\sfg+Y}+\ubar{b}=A\syg+\ubar{b},$$
quindi \`e soluzione. Quindi se so una soluzione particolare e so in qualche modo risolvere il sistema omogeneo so descrivere completamente l\6integrale generale.

\ssect{Come determinare una soluzione particolare}
Quindi rimane in sospeso come determinare una soluzione particolare. Esistono vari metodi. In particolare andiamo a studiare il \emph{metodo di variazione delle costanti}. Supponiamo di avere in mano $\Fg(t)$ una matrice risolvente del sistema omogeneo associato. Avremo quindi $\Fg^\1(t)=A(t)\Fg(t)$. Cerco una soluzione particolare del sistema completo della forma:
$$\sfg(t)=\Fg(t)K(t),\quad K:I\to\R^n.$$
Se $K$ fosse costante questo descriverebbe l\6integrale generale del sistema omogeneo. Faccio variare la costante. Cerchiamo di capire come dev\6essere fatto $K$. Imponiamo che $\fg$ sia soluzione del sistema completo:
$$\sfg^\1(t)=\Fg^\1(t)K(t)+\Fg(t)K^\1(t)=A(t)\Fg(t)K(t)+\Fg(t)K^\1(t)=$$
$$\underset{imponiamo}{=}A(t)\sfg(t)+\ubar{b}(t)=A(t)\Fg(t)K(t)+\ubar{b}(t).$$
Rimane quindi:
$$\Fg(t)K^\1(t)=\ubar{b}(t).$$
$\Fg$ \`e una matrice risolvente, quindi \`e invertibile, e dunque:
$$K^\1(t)=\Fg^{-1}(t)\ubar{b}(t).$$
Dato che sono continue basta prendere una primitiva della funzione, ed ecco la soluzione particolare.
\begin{es}
$$\begin{sistema}
y_1^\1(t)=y_2(t)+t\\
y_2^\1(t)=y_1(t)+1
\end{sistema},$$
ovvero:
$$\pa{\mat{c}y_1^\1(t)\\y_2^\1(t)\emat}=\pa{\mat{cc}0&1\\1&0\emat}\pa{\mat{c}y_1(t)\\y_2(t)\emat}+\pa{\mat{c}t\\1\emat}.$$
\end{es}
Il polinomio caratteristico \`e:
$$\lgr^2-1,$$
quindi gli autovalori sono $\pm1$. Autovettore associato a 1:
$$\pa{\mat{c}1\\1\emat},$$
associato a $-1$:
$$\pa{\mat{c}1\\-1\emat}.$$
Quindi l\6integrale generale del sistema omogeneo \`e:
$$\pa{\mat{c}y_1(t)\\y_2(t)\emat}=\pa{\mat{cc}1&1\\1&-1\emat}\pa{\mat{cc}e^t&0\\0&e^{-t}\emat}\pa{\mat{cc}1&1\\1&-1\emat}^{-1}\pa{\mat{c}K_1\\K_2\emat}=$$
$$=\pa{\mat{cc}e^t&e^{-t}\\e^t&-e^{-t}\emat}\pa{\mat{c}c_1\\c_2\emat}.$$
Per esempio quindi una matrice risolvente \`e:
$$\Fg(t)=\pa{\mat{cc}e^t&e^{-t}\\e^t&-e^{-t}\emat}.$$
Cerchiamo quindi una soluzione particolare della forma:
$$\sfg(t)=\Fg(t)K(t).$$
Per quanto detto sopra basta che:
$$K^\1(t)=\Fg^{-1}(t)\pa{\mat{c}t\\1\emat}.$$
Invertiamo. Il determinante \`e $-2$, quindi:
$$K^\1(t)=-\fr{1}{2}\pa{\mat{cc}-e^{-t}&-e^t\\-e^t&e^t\emat}^T\pa{\mat{c}t\\1\emat}=\fr{1}{2}\pa{\mat{cc}e^{-t}&e^{-t}\\e^t&-e^t\emat}\pa{\mat{c}t\\1\emat}=$$
$$=\fr{1}{2}\pa{\mat{c}te^{-t}\\e^{-t}+te^t-e^t\emat}.$$
Quindi:
$$K(t)=\fr{1}{2}\pa{\mat{c}-te^{-t}-e^{-t}-e^{-t}\\te^t-e^t-e^t\emat}=\fr{1}{2}\pa{\mat{c}-te^{-t}-2e^{-t}\\te^t-2e^t\emat}.$$
Quindi la soluzione particolare \`e:
$$\fg(t)=\pa{\mat{cc}e^t&e^{-t}\\e^t&-e^{-t}\emat}\fr{1}{2}\pa{\mat{c}-te^{-t}-2e^{-t}\\te^t-2e^t\emat}=\fr{1}{2}\pa{\mat{c}-t-2+t-2\\-t-2-t+2\emat}=\pa{\mat{c}-2\\-t\emat}.$$
Quindi l\6integrale generale del sistema completo \`e:
$$\pa{\mat{cc}e^t&e^{-t}\\e^t&-e^{-t}\emat}\pa{\mat{c}c_1\\c_2\emat}+\pa{\mat{c}-2\\-t\emat}.$$
Ci vediamo domani.\hsp{1cm}10:37:$\~$48.


\incle
\chapter{\lez{13/12/2013}}

\sect{Gli appunti in immagine}
\includegraphics[width=11.5cm]{Felli_1.jpg}
\par\whitea\lfeed
\includegraphics[width=12cm]{Felli_2.jpg}
\par\whitea\lfeed
\includegraphics[width=12cm]{Felli_3.jpg}
\par\whitea\lfeed
\includegraphics[width=12cm]{Felli_4.jpg}\lfeed
Credits MaDi. Qui non c'\`e verso di far sparire la pagina 377 bianca. Ora li copio. La lezione parla di \emph{Equazioni (differenziali) lineari di ordine $n$}.\lfeed

\sect{Caso omogeneo}
Un\6equazione differenziale lineare omogenea di ordine $n$ avr\`a la forma:
$$y^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}\+a_1(t)y^\1(t)+a_0(t)y(t)=0.$$
Consideriamo coefficienti continui, ovvero $a_i\in C^0(I)$ per ogni $i$.
\begin{teor}
L\6insieme delle soluzioni $V_0$ \`e un sottospazio vettoriale di $C^n(I)$ di dimensione $n$.
\end{teor}
Dim.
\par Se $y\in C^n(I)$ \`e soluzione, poniamo:
$$Z_1=y,\quad Z_2=y^\1,\quad\dots,\quad Z_n=y^{(n-1)}.$$
Allora $Z_i\in C^1(I)$ per ogni $i$ (infatti sono sicuramente derivabili, ed inoltre le loro derivate sono eguagliate a funzioni almeno $C^0$, dato che anche $Z_n^\1$ \`e una funzione continua per la continuit\`a delle $Z_n$ e dei coefficienti) e gli $Z_i$ verificano:
$$\ast\begin{sistema}
Z_1^\1=Z_2\\
Z_2^\1=Z_3\\
\vdots\\
Z_{n-1}^\1=Z_n\\
Z_n^\1=-a_{n+1}(t)Z_n-\dots-a_1Z_2-a_0Z_1
\end{sistema}.$$
Definiamo una nuova funzione:
$$T:C^n(I)\to C^n(I,\R^n)\quad y\mapsto(y,y^\1,\dots,y^{(n-1)}).$$
Sia $S_0=\br{\hbox{soluzioni di }\ast}$; allora $T(V_0)=S_0$, dato che sono equivalenti. Per definizione, $T$ \`e iniettiva. Inoltre \`e un\6applicazione lineare tra spazi vettoriali per la linearit\`a della derivazione a qualunque ordine. Essendo iniettiva ha nucleo banale, quindi restringendola a $V_0$ posso applicare il teorema di nullit\`a pi\`u rango e concludere che:
$$\dim V_0=\dim S_0+\dim\ker T=\dim S_0=n.$$
Quindi $V_0$ \`e isomorfo a $S_0$ ed in particolare ha dimensione $n$. Osserviamo ora che $n$ soluzioni $y_1,y_1,\dots,y_n\in V_0$ sono linearmente indipendenti (quindi formano una base di $V_0$) se e solo se in un fissato $t_0\in I$ sono linearmente indipendenti i vettori colonna:
$$\pa{\mat{c}y_i(t_0)\\y_i^\1(t_0)\\\vdots\\y_i^{(n)}(t)\emat}$$
delle $n$ funzioni (cio\`e se la matrice che li ha come colonne ha determinante non nullo \`e quindi \`e una matrice Wronskiana per $\ast$).
\begin{defi}
Una matrice siffatta si dice \emph{Wronskiano del vettore:}
$$\pa{y_1,\dots,y_n}.$$
\end{defi}


\sect{Caso non omogeneo}
Un\6equazione non omogenea invece sar\`a della forma:
$$y^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)\+a_1(t)y^\1(t)+a_0(t)y(t)=b(t)\quad(\ast\ast).$$
\begin{teor}
Siano $\sfg\in C^n(I)$ una soluzione particolare di $(\ast\ast)$ e $V_0$ lo spazio delle soluzioni dell\6equazione omogenea associata a $(\ast\ast)$ (ovvero dell\6equazione $(\ast\ast)$ quando $b(t)\equiv0$). Sia poi $V_b$ lo spazio delle soluzioni di $(\ast\ast)$. Allora $V_b=\sfg+V_0=\br{\sfg+y:y\in V_0}$, spazio affine di dimensione $n$.
\end{teor}
La dimostrazione si adatta in modo immediato da quella per un sistema nella sezione 54.2.1.

\sect{Caso omogeneo a coefficienti costanti}
L\6equazione si riprende da 55.2.1 rendendo costanti i coefficienti $a_i$, ossia togliendone la dipendenza dal tempo. Quindi sar\`a:
$$y^{(n)}(t)+a_{n-1}y^{(n-1)}\+a_1y^\1(t)+a_0y(t)=0\quad(E).$$
Supponiamoli complessi e cerchiamo soluzioni $y\in C^n(I,\Cm)$. Questo significa che $\re y,\im y\in C^n(I,\R)$. Sia
$$y(t)=\sag(t)+i\bg(t),$$
con $\sag,\bg\in C^n(\R,\R)$. Chiaramente si avr\`a\fn{Io mi chiedo perché sia MaDi che MiMo hanno scritto ``definiamo la derivata'\6 cos\`i: la derivata \`E cos\`i, perché \`e lineare! A meno che sui complessi non lo sia, ma allora mi sa che quanto segue viene pesantemente inficiato! Mah, boh.}:
$$y^{(n)}(t)=\sag^{(n)}(t)+i\bg^{(n)}(t).$$
\begin{teor}
Sotto le ipotesi sopra l\6insieme delle soluzioni complesse di $(E)$ \`e un sottospazio vettoriale (complesso) di $C^n(\R,\Cm)$ di dimensione $n$ (quindi basta trovare $n$ soluzioni linearmente indipendenti di $(E)$).
\end{teor}
E questo lo sappiamo da sopra. Ora per\`o ci interessa trovarne una base.

\sect{Anello commutativo degli operatori differenziali}

\ssect{Una nuova notazione per gli operatori}
Per farlo bisogna conoscere un nuovo anello. Cominciamo ad introdurre una notazione un po\6 nuova per alcuni operatori differenziali:
$$\mathrm D\sfg=\sfg^\1,$$
$$\pa{\mathrm D-\lgr}\sfg=\sfg^\1-\lgr\sfg,$$
con $\lgr\in\Cm$.

\ssect{Un lemma sulle derivate di $t^he^{\lgr t}$ e la sua traduzione in zeri funzionali dello operatore $\pa{\mathrm D-\lgr}^k$}
Ora qualche lemma.
\begin{lemma}
$$\VA\lgr\in\Cm,\VA h,k\in\N:0\leq 0<h<k,\quad \pa{\mathrm D-\lgr}^k\pa{\underbrace{\,\,\,\,\,\,t^he^{\lgr t}\,\,\,\,\,\,}_{\mathclap{\sfg(t):\R\to\Cm}}}\equiv0,$$
ove
$$\pa{\mathrm D-\lgr}^k=\underbrace{\pa{\mathrm D-\lgr}\circ\pa{\mathrm D-\lgr}\cir\pa{\mathrm D-\lgr}}_{\mathclap{k\text{ volte}}}.$$
\end{lemma}
Dim.
\par Procediamo per induzione su $k$. Per $k=1$ si ha necessariamente $h=0$. Quindi:
$$\pa{\mathrm D-\lgr}^1\pa{t^0e^{\lgr t}}=\mathrm De^{\lgr t}-\lgr e^{\lgr t}\equiv0.$$
*\lfeed
Supponiamo allora che valga per $k-1$ e dimostriamo che vale anche per $k$. Distinguiamo due casi: $h=0$ e $0<h<n$.
\ben
\item Se $h=0$, abbiamo supposto
$$\pa{\mathrm D-\lgr}^{k-1}\pa{e^{\lgr t}}=0$$
e dobbiamo provare
$$\pa{\mathrm D-\lgr}^k\pa{e^{\lgr t}}=0;$$
\`e chiaro che:
$$\pa{\mathrm D-\lgr}^k\pa{f(t)}=\pa{\mathrm D-\lgr}^{k-1}\pa{\pa{\mathrm D-\lgr}f(t)}.$$
Nel nostro caso, applicare questa cosa significa:
$$\pa{\mathrm D-\lgr}^k\pa{e^{\lgr t}}=\pa{\mathrm D-\lgr}^{k-1}\pa{\pa{\mathrm D-\lgr}\pa{e^{\lgr t}}}=$$
$$=\pa{\mathrm D-\lgr}^{k-1}\pa{\lgr e^{\lgr t}-\lgr e^{\lgr t}}=\pa{\mathrm D-\lgr}^{k-1}(0)\equiv0,$$
C.V.D.;
\item Se invece $h\neq0$, \`e inutile riscrivere l\6ipotesi induttiva; andiamo direttamente ad applicare la cosa segnalata sopra:
$$\pa{\mathrm D-\lgr}^k\pa{t^he^{\lgr t}}=\pa{\mathrm D-\lgr}^{k-1}\pa{\pa{\mathrm D-\lgr}\pa{t^he^{\lgr t}}}=$$
$$=\pa{\mathrm D-\lgr}^{k-1}\pa{ht^{h-1}e^{\lgr t}+\lgr t^he^{\lgr t}-\lgr t^he^{\lgr t}}=$$
$$=h\pa{\mathrm D-\lgr}^{k-1}\pa{t^{h-1}e^{\lgr t}}\underset{\scb{0.7}[0.7]{ipotesi induttiva}}{\equiv}0,$$
C.V.D.;
\een
\begin{oss}
Quindi se $0\leq h<n$, $t^he^{\lgr t}$ \`e soluzione di $\pa{\mathrm D-\lgr}^ny=0$, che \`e una particolare equazione differenziale lineare a coefficienti costanti di ordine $n$.
\end{oss}

\ssect{Un altro lemma: derivate di $P(t)e^{\lgr t}$ con $P(t)$ polinomio a coefficienti complessi}
\begin{lemma}
Sia $P(t)$ un polinomio in un\6indeterminata a coefficienti complessi, e sia $\lgr\in\Cm\ssm\br{0}$. Allora $\VA h\in\N,h\leq1,\3Q$ polinomio tale che:
$$\mathrm D^h\pa{P(t)e^{\lgr t}}=Q(t)e^{\lgr t},\quad\deg(P)=\deg(Q),$$
e
$$P\equiv0\sse Q\equiv0.$$
\end{lemma}
Dim.
\par Procediamo nuovamente per induzione su $h$. Per $h=1$, avremo:
$$\mathrm D^1\pa{P(t)e^{\lgr t}}=P^\1(t)e^{\lgr t}+\lgr P(t)e^{\lgr t}=\pa{P^\1(t)+\lgr P(t)}e^{\lgr t}=Q(t)e^{\lgr t}.$$
\`E chiaro che i gradi coincidono, visto che $Q(t)$ contiene $P(t)$ moltiplicato per un $\lgr\neq0$ e l\6altro addendo non contiene termini di grado $\deg P(t)$ che annullino il termine di quel grado. Se $P=0$ allora sto derivando $0$ e ottengo $0$. Se $Q=0$ per la coincidenza dei gradi si ha che il grado di $P$ \`e $0$, quindi $P=c$ con $c$ costante complessa. Recuperando la definizione di Q, vediamo che:
$$\mathrm D(ce^{\lgr t})=0\implies c\lgr e^{\lgr t}\equiv0\implies c=0.$$
Quindi il passo base dell\6induzione \`e dimostrato. A questo punto per ipotesi induttiva supponiamo che valga per $h-1$ e lo dimostriamo per $h$. Si riusa in forma leggermente diversa l\6eguaglianza usata sopra, che riscriviamo per $\lgr=0$ (che \`e il nostro caso) come:
$$\mathrm D^h(f(t))=\mathrm D^{h-1}(\mathrm Df(t)).$$
Quindi:
$$\mathrm D^h\pa{P(t)e^{\lgr t}}=\mathrm D^{h-1}\pa{\mathrm D\pa{P(t)e^{\lgr t}}}=\mathrm D^{h-1}\pa{Q_1(t)e^{\lgr t}}\underset{\scb{0.7}[0.7]{ipotesi induttiva}}{=}Q(t)e^{\lgr t},$$
C.V.D. Al che mi son stufato di copiare quindi chieder\`o a qualcuno di passarmi gli appunti gi\`a a computer, per esempio alla Michela, cos\`i devo solo sistemarli :). OK ora sono arrivati quindi eccoli, credits MiMo.

\ssect{Terzo lemma: lineare indipendenza di funzioni simili a quelle sopra}
\begin{lemma}
Siano $\lgr_1, \lgr_2, \dots, \lgr_r$ numeri complessi a due a due distinti, e siano $P_1, P_2, \dots, P_r$ $r$ polinomi. Allora se si verifica che:
$$\dsum_{i=1}^r P_i(t)*e^{\lgr_i t}=0,$$
segue che tuti i polinomi $P_i$ sono nulli per $i=1,\dots,r$.
\end{lemma}
Dim.
\par Ragioniamo per induzione su $r$. Se $r=1$, ho un solo  $\lgr$ e un solo polinomio, che è nullo.
\par Supponiamo che sia vero l\6asserto per $r-1$ e lo dimostriamo per $r$. Sappiamo quindi che:
$$\dsum_{i=1}^r P_i(t)*e^{\lgr_i t}=0.$$
Osserviamo che quella somma \`e uguale a:
$$\dsum_{i=1}^{r-1} P_i(t)*e^{\lgr_i t}+P_r(t)*e^{\lgr_r t}.$$
Moltiplico per $e^{-\lgr_r t}$.
$$\dsum_{i=1}^{r-1} P_i(t)*e^{\(\lgr_i-\lgr_r\) t}+P_r(t)=0.$$
Sia $k$ il grado del polinomio $P_r$. Deriviamo l\6espressione scritta sopra $k+1$ volte. Allora ottengo:
$$\dsum_{i=1}^{r-1}\mathrm D^{(k+1)}\[P_i(t)*e^{(\lgr_i-\lgr_r) t}\] = 0$$
Applico il lemma 8: $\lgr_i-\lgr_r \neq 0$, e quindi esistono dei polinomi $Q_i$ che hanno lo stesso grado dei $P_i$ tali che la somma sopra si riscriva come:
$$\dsum_{i=1}^{r-1} Q_i(t)e^{(\lgr_i-\lgr_r) t},$$
che per l\6ipotesi induttiva \`e una somma nulla poiché il teorema è vero per $r-1$. Pertanto i $Q_i$ sono tutti nulli per ogni $i=1,\dots, r-1$ e di conseguenza anche i $P_i$ lo sono. Nella somma iniziale rimane solo $P_r(t)$ che è quindi uguale a 0, dato che la somma \`e nulla per ipotesi.
\begin{cor}
Se ho $r$ numeri complessi $\lgr_1, \lgr_2, \dots, \lgr_r$ a due a due distinti e $r$ numeri interi positivi $h_1, h_2, \dots, h_r$,
allora le funzioni:
$$\begin{array}{cccc}
e^{\lgr_1 t} & te^{\lgr_1 t} & \dots & t^{h_1-1} e^{\lgr_1 t} \\
e^{\lgr_2 t} & te^{\lgr_2 t} & \dots & t^{h_2-1} e^{\lgr_2 t} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
e^{\lgr_r t} & te^{\lgr_r t} & \dots & t^{h_r-1} e^{\lgr_r t}
\end{array}$$
sono linearmente indipendenti in $C^n(\R,\Cm)$, rispetto a una combinazione lineare con coefficienti complessi.
\end{cor}
Dim.
\par Questa è una conseguenza diretta del lemma precedente, perché la combinazione lineare di queste funzioni è una somma di polinomi moltiplicati per $e^{\lgr_i t}$. I coefficienti di questa combinazione lineare sono i coefficienti dei polinomi coinvolti nella somma.
Riconsideriamo l\6equazione differenziale:
$$(D-\lgr)^k (y)=0;$$
sicuramente:
$$e^{\lgr t}, \, te^{\lgr t}, \, t^{k-1}e^{\lgr t}$$
sono soluzioni dell\6equazione differenziale di grado $k$, e per il corollario dimostrato sono linearmente indipendenti.

\ssect{Ed ecco finalmente il preannunciato anello: isomorfismo coi polinomi complessi e polinomio caratteristico associato ad un elemento del nostro anello}
Chiamiamo $\lbar A$. l\6insieme degli operatori differenziali lineari a coefficienti costanti complessi, cioè degli operatori differenziali
$$a_n\mathrm D^n+a_{n-1}\mathrm D^{n-1}+\dots+a_1\mathrm D+a_0$$
con $a_i$ costanti complesse fissate.
\par Questa famiglia di operatori differenziali è un anello commutativo\fn{E qualcuno dice: ma la composizione di funzioni mica non era commutativa? S\`i. Per\`o la composizione di operatori differenziali lo \`e: basta osservare che, se prendiamo $\mathrm D$ per un\6indeterminata e facciamo il prodotto tra polinomi, otteniamo il medesimo risultato che componendo due operatori. Questa analogia formale \`e l\6espressione formale dell\6isomorfismo. Essendoci questo isomorfismo, ed essendo l\6anello dei polinomi commutativo, anche il nostro $\lbar{A}$ lo sar\`a.} con le operazioni di composizione e di somma, ed è isomorfo all\6anello dei polinomi a coefficienti complessi in una variabile $A(\syg)$.
\begin{defi}
Si dice \emph{polinomio caratteristico associato a $\sfg_D$} il polinomio $P(\syg)$ della forma:
$$a_n\syg^n+a_{n-1}\syg^{n-1}+\dots+a_1 \syg+a_0.$$
\end{defi}
Siano $\lgr_1, \lgr_2, \dots, \lgr_r$ gli zeri del polinomio con molteplicità $\smg_1, \smg_2, \dots, \smg_r$, allora il polinomio si può fattorizzare come:
$$a_n(\syg-\lgr_1)^{\emg_1}\per(\syg-\lgr_2)^{\emg_2}\per\dots\per(\syg-\lgr_r)^{\emg_r}$$
allora il corrispondente operatore differenziale si può scrivere come:
$$\sfg_D = a_n(D-\lgr_1)^{\emg_1}\per(D-\lgr_2)^{\emg_2}\per\dots\per((D-\lgr_r)^{\emg_r}$$

\ssect{Da tutto ci\`o, una base per lo spazio delle soluzioni della equazione lineare di ordine $n$}
\begin{teor} Sia $S$ l\6insieme delle soluzioni complesse dell\6equazione $E_b$. Allora se $\lgr_1, \lgr_2, \dots, \lgr_r$ sono gli zeri del polinomio caratteristico associato all\6equazione differenziale
$$a_ny^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\dots+a_1 y'+a_0=0,$$
cioè del polinomio:
$$P(\syg) = a_n\syg^n+a_{n-1} \syg^{n-1}+a_1 \syg+a_0 = 0$$
con molteplicità $\smg_1, \smg_2, \dots, \smg_r$, allora una base di $S$ è formata dalle seguenti funzioni:
$$\{ t^he^{\lgr_i t}, \, i= 1,\dots,r, \quad h= (0,\dots,\smg_i-1) \}$$
\end{teor}
Dim.
\par Le funzioni $t^he^{\lgr_i t}$, sono linearmente indipendenti per il corollario precedente. Inoltre l\6equazione $E_b$ si può riscrivere fattorizzando l'operatore differenziale:
$$a_n\pa{(D-\lgr_1)^{\emg_1} \circ (D-\lgr_2)^{\emg_2} \circ (D-\lgr_r)^{\emg_r}}(y) = 0$$
Se $y$ è tale che
$$(D-\lgr_i)^{\emg_i}(y) =0$$
allora $y \in S$. Siccome tutte le funzioni del tipo
$$t^he^{\lgr_i t}\quad h<k$$
verificano l\6equazione, allora stanno in $S$ e soddisfano l\6equazione differenziale $E_b$, sono linearmente indipendenti e sono $n$ soluzioni distinte, perché la somma delle molteplicità degli zeri di un polinomio è pari al grado del polinomio. Dato poi che $S$ ha dimensione $n$, deduco che queste $n$ soluzioni sono una base di $S$.

\sect{Un esempio}
\begin{es}
Considero l\6equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti:
$$y^{\1\1}(t)-y(t)=0.$$
\end{es}
Il polinomio caratteristico \`e:
$$P(\syg) = \syg^2-1,$$
e gli zeri di questo polinomio, con le rispettive molteplicità, sono:
$$\lgr_1=1, \, \lgr_2=-1, \, \smg_1=1, \, \smg_2=1.$$
Allora le soluzioni sono:
$$t^he^{\lgr_1t} = e^{t} \, (\smg_1=1 \implies h=0), \quad t^he^{\l_2 t} = e^{-t}$$
e l\6integrale generale dell\6equazione differenziale è
$$c_1e^t+c_2e^{-t},\quad c_1, c_2 \in \Cm$$

\sect{Chiudiamo supponendo reali i coefficienti}
In $\R$ vale il seguente teorema:
\begin{teor}
Supponiamo che gli $a_i$ siano tutti reali; siano $\lgr_1, \lgr_2, \dots, \lgr_t$ gli zeri reali del polinomio caratteristico associato all\6equazione, con molteplicità\fn{Si noti che zeri coniugati hanno la medesima molteplicit\`a. Questo perché essendo i coefficienti reali essa non \`e che la molteplicit\`a di $\pa{x-\sag-\bg}\pa{x-\sag+\bg}$, polinomio a coefficienti reali di grado 2.} $\smg_1, \smg_2, \dots, \smg_t$ e siano $\sag_1\pm i \bg_1, \, \sag_2\pm i \bg_2, \, \sag_q \pm i \bg_q$ gli zeri complessi con molteplicità $\ssg_1, \ssg_2, \dots, \ssg_q$. Allora una base dello spazio delle soluzioni reali dell\6equazione $E_b$ è data dalle seguenti funzioni:
\begin{enumerate}
\item Per ogni zero reale considero
$$t^he^{\lgr_i t}, \quad i=1, \dots, t, \quad h = 0, \dots,\smg_i-1;$$
\item Agli zeri complessi associamo
$$t^he^{\eag_j t} \cos (\bg_j t), \, t^he^{\eag_j t}\sin (\bg_j t), \quad j = 1, \dots, q, \quad h = 0, \dots \ssg_j-1,$$
\end{enumerate}
e questa è una base di $V_0$.
\end{teor}
Dim.
\par Osservo che le funzioni elencate stanno in $V_0$, infatti
$$t^he^{\eag_j t}\cos (\bg_j t) = \fr12[t^he^{(\eag_j+i \bg_j) t}+t^he^{(\eag_j-i \bg_j) t}],$$
e le due funzioni al secondo membro sono soluzioni dell\6equazione per i teoremi precedenti, e anche la loro combinazione lineare lo è. Analogamente:
$$t^he^{\eag_j t}\sin (\bg_j t) = \fr12[t^he^{(\eag_j+i \bg_j) t}-t^he^{(\eag_j-i \bg_j) t}],$$
anch\6esso un elemento di $V_0$. Queste soluzioni generano $V_0$. Infatti il loro numero è dato da
$$\smg_1+\smg_2+\dots+\smg_r+2(\ssg_1+\dots+\ssg_q)\per\fr12(\fnm[4]),\fnt[4]{Il primo due conta che ce ne sono, per esemplio, $\ssg_1$ col coseno e $\ssg_2$ col seno, mentre $\fr12$ tiene conto del fatto che sono associate a due radici complesse coniugate del polinomio caratteristico con la stessa molteplicit\`a.}$$
e la somma delle molteplicitl\`a d\`a il grado del polinomio, quindi le soluzioni sono $n$. Ho un sistema di $n$ generatori e quindi ho una base per $V_0$.


\incee
\chapter{\eserc{16/12/2013}}

\sect{Riprendiamo un vecchio esercizio}
Riscriviamo la consegna in una maniera leggermente diversa ma non cambia niente.
$$\begin{sistema}
y^\1=y^3\log\pa{y+1}\\
y(0)=a\quad a>-1
\end{sistema}.$$
L\6altra volta avevamo visto che c\6era esistenza ed unicit\`a locale $\VA a>-1$; che l\6unica soluzione costante \`e la funzione nulla; che tutte le altre soluzioni sono monotone crescenti. Chiamiamo ora $y_a$ la soluzione del problema $P_a$ con condizione iniziale $y=a$, e chiamiamo $(\tg,T)$ l\6intervallo massimale di prolungabilit\`a. Per monotonia so che esiste:
$$\ell^+=\dlim_{t\to T^-}y_a(t).$$
C\6erano quattro casi:
\ben
\item $T<+\8,\quad\ell^+<+\8$;
\item $T<+\8,\quad\ell^+=+\8$;
\item $T=+\8,\quad\ell^+<+\8$;
\item $T=+\8,\quad\ell^+=+\8$.
\een
Tipicamente si ragiona per esclusione. Ora, il primo era escluso perché supponendolo consideravo il problema con condizione iniziale $y(T)=\ell^+$ che aveva soluzione unica perché $\ell^+>a>-1\implies(T,\ell^+)\in D_f$. La soluzione di quel problema \`e definita e obbligatoriamente uguale a $y_a$ a sinistra di $T$ e cos\`i prolunghiamo $y_a$ a destra di $T$, contro la definizione di estremo superiore. Il caso 3 \`e escluso pure lui perché vorrebbe dire che la derivata tende a 0, ma la derivata per definizione della soluzione tende a $\pa{\ell^+}^3\log\ell^+$, che non pu\`o essere nullo perché imporrebbe $\ell^+=0$, mentre per monotonia deve essere $\ell^+>0$. A questo punto sicuramente $\ell^+=+\8$; devo capire se esplode in tempo finito o infinito. So ora per monotonia che $f(t,y_a(t))>0$ per ogni $t\in[0,T)$, perché in $0$ vale $a>0$. Separo le variabili:
$$\fr{y^\1_a(t)}{y_a^3\log\pa{y_a(t)+1}}=1,\quad\VA t\in[0,T).$$
$$\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\,\,s}\fr{y^\1_a(t)}{y_a^3\log\pa{y_a(t)+1}}=s+cost.\quad s\in[0,T).$$
A questo punto faccio il cambio di variabile:
$$u=y_a(t)\implies du=y^\1_a(t)dt.$$
Se $t=s$, $u=y_a(s)$; se $t=0$, $u=a$. Quindi:
$$s=\xxouint{a\,\,\,}{\,\,\,y_a(s)}\fr{\dd u}{u^3\log\pa{u+1}}.$$
Passo al limite:
$$T=\dlim_{s\to T^-}\xxouint{a\,\,\,}{\,\,\,y_a(s)}\fr{\dd u}{u^3\log\pa{u+1}}=\xxouint{a\,\,\,}{\,+\8}\fr{\dd u}{u^3\log\pa{u+1}}<+\8,$$
perché ha ordine di infinito superiore a $u^3$. Quindi esplode in tempo finito. Cerchiamo ora di determinare $\stg$. Sicuramente:
$$\3\ell^-=\dlim_{t\to\etg^+}y_1(t),$$
come al solito per monotonia. Inoltre sappiamo:
$$0\leq\ell^-<a.$$
Noi sappiamo che $\ell^-<+\8$ per quanto sopra. Quindi rimane da discutere se $\stg=-\8$ o $\stg>-\8$. Si vede abbastanza facilmente che non pu\`o essere finito. Supponiamo $\stg>-\8$. Supponiamo $\ell^-=0$. Ho l\6assurdo perché viene meno l\6unicit\`a delle soluzioni, perché incrocio lo $0$. La soluzione va a morire sulla\6asse $x$. Esattamente come prima escludiamo $\stg>-\8$, perché considero il problema con condizione iniziale $(\stg,\ell^-)$ e ancora prolunghiamo, assurdo. Quindi $\stg=-\8$. Esattamente come prima deducevamo la (allora assurda) nullit\`a di $\ell^+$, cos\`i adesso concludiamo che $\ell^-=0$. Volendo proprio essere precisi uno dovrebbe studiare la concavit\`a e la convessit\`a. Se non \`e esplicitamente richiesto non lo fate. Qui \`e abbastanza facile.
$$y^{\1\1}=3y^2\log\pa{y+1}y^\1+y^2\fr{1}{y+1}y^\1.$$
E si vede facilmente che \`e tutto positivo. Se $a<0$ sono tutte concave. La soluzione potrebbe essere molto selvaggia. Non resta che studiare $a\in(-1,0)$. Chiamiamo $(\stg,T)$ come prima. Esattamente come appena fatto, si verifica:
$$T=+\8,\quad\ell^+=0.$$
Diciamo qualcosa su $\stg$. Per monotonia esiste:
$$\dlim_{t\to\etg^+}y_a(t)=\ell^-\in[-1,a).$$
Quindi \`e per forza finito. Supponiamo $\stg=-\8$. Allora abbiamo un asintoto orizzontale. Quindi abbiamo:
$$0=\dlim_{t\to-\8}y_a^\1(t)=\pa{\ell^-}^3\log\pa{\ell^-+1}\implies\ell^-=0,$$
assurdo. Quindi $\stg>-\8$. Sappiamo $\ell^-\in[-1,a)$. Supponiamo $\ell^->-1$. Per il solito discorso dell\6altro problema di Cauchy e della sua prolungabilit\`a, visto che $(\stg,\ell^-)$ \`e nel dominio, non pu\`o essere $\ell^->-1$. Resta solo $\ell^-=-1$. Quindi la soluzione va a morire su $y=-1$ in tempo finito, ed \`e sempre concava.

\sect{Nuovo esercizio}
\begin{eseese}
$$\begin{sistema}
x^\1=\fr{1}{\rad{t+x}}\\
x(0)=a\quad a\geq1
\end{sistema}.$$
\ben
\item Discutere esistenza ed unicit\`a locale al variare di $a\geq1$;
\item Studiare la monotonia delle soluzioni;
\item Studiare la convessit\`a delle soluzioni;
\item Discutere la prolungabilit\`a delle soluzioni e tracciarne un grafico qualitativo.
\een
\end{eseese}
Il dominio di $f$ \`e:
$$\br{(t,x)\in\R^2:x>-t}=D_f.$$
Siccome $f\in C^\8(D_f)$, sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Cauchy quindi per ogni $a\geq1$ esiste ed \`e unica la soluzione di $P_a$ il problema con condizione iniziale $y(0)=a$. La monotonia \`e semplice: sono crescenti, perché laddove esiste la radice, \`e positiva. Chiamo sempre $x_a$ la soluzione di $P_a$. A questo punto la convessit\`a:
$$x_a^{\1\1}(t)=-\fr{1}{2}\pa{t+x_a(t)}^{-\dbfr32}\pa{1+x^\1_a(t)}<0,$$
si vede subito. Ultimo punto. Al solito, consideriamo il nostro $(\stg,T)$. Per monotonia esistono tutti i limiti:
$$\ell^+=\dlim_{t\to T^-}x_a(t),$$
$$\ell^-=\dlim_{t\to\stg^+}x_a(t),$$
e inoltre:
$$1\leq A\leq\ell^+.$$
Ancora non possiamo usare il teorema di prolungabilit\`a perché nel dominio non c'\`e nessuna striscia del tipo $(a,b)\x\R$. Discutiamo i 4 casi. Il primo caso, ossia che muore in tempo finito su un limite finito, \`e impossibile, per il solito discorso dell\6altro problema che prolunga la soluzione, visto che $(T,\ell^+)\in D_f$ di sicuro. Infatti dovrei verificare:
$$\ell^+>-T.$$
Sappiamo per\`o:
$$\ell^+>a>1>0,$$
e $T>0$ perché in $0$ la soluzione \`e definita, quindi $-T<0$. Il primo caso quindi non si pone. Facciamo una pausa.
\par Pausa.
\par Un altro caso che escludiamo \`e $T=+\8,\ell^+<+\8$. Per il teorema dell\6asintoto. Anzi no eliminiamo il 2, che \`e il contrario di questo che era il 3. Essendo $a\geq1$, avremo $x_a(t)\geq1\quad\VA t\geq0$. Quindi in particolare:
$$t+x_a(t)\geq1\quad\VA t\geq0.$$
Sappiamo che:
$$x_a^\1(t)=\fr{1}{\rad{t+x_a(t)}}\leq\fr{1}{\rad1}=1\quad\VA t\geq0.$$
A questo punto integro e mi trovo che:
$$x_a(t)\leq x_a(0)+\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\,\,\,t}1\,\dd s=a+t,\quad\VA t\in[0,T).$$
Passo al limite per $t\to T$:
$$+\8=\ell^+\leq a+T,\quad T<+\8,$$
assurdo. Quindi sicuramente $T=+\8$. Rimangono il 3 e il 4. Adesso capisco perché da dove l\6ho preso chiedeva solo di discutere la prolungabilit\`a. Supponiamo di essere nel caso 3. Allora per monotonia abbiamo:
$$t+x_a(t)\leq t+\ell^+.$$
Quindi:
$$x^\1_a(t)\geq\fr{1}{\rad{t+\ell^+}}.$$
Al che integriamo e otteniamo:
$$\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\,\,\,\,t}x^\1_a(s)\dd s\geq\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\,\,\,\,t}\pa{s+\ell^+}^{-\dbfr12}\dd s\geq2\pa{s+\ell^+}^{\dbfr12}\eval{0}{t}=2\rad{t+\ell^+}-2\rad{\ell^+},$$
e sistemando il primo membro:
$$x_a(t)-x_a(0)\geq\rad{t+\ell^+}-2\rad{\ell^+}.$$
Passiamo al limite per $t\to T=+\8$:
$$\ell^+-a\geq+\8,$$
contro $\ell^+<+\8$. Quindi siamo necessariamente nel caso 4. Studiamo allora $\stg$. Sappiamo che esiste:
$$\ell^-=\dlim_{t\to\stg^+}x_a(t).$$
Per definizione di soluzione devo avere:
$$\VA t\in(\stg,+\8)\quad x_a(t)\in D_f=\br{x>-t}\implies-t\leq x_a(t)\leq a.$$
Dobbiamo avere ovviamente in ogni punto di $(\stg,T)$:
$$t\geq-a,$$
quindi non si pu\`o andare a $-\8$ perché ci scontriamo con $x=-t$. Quindi muoiono su $x=-t$. Per $a<1$ invece comunque $T=+\8$, altrimenti attraverserei le altre per avere l\6esplosione in tempi finiti, assurdo, oppure per il discorso della prolungabilit\`a escludo la morte in tempi finiti.

\sect{Ultimo esercizio}
\begin{eseese}
$$\begin{sistema}
y^\1=x^2\cos y\\
y(0)=a\quad a\in\R
\end{sistema}.$$
\end{eseese}
La funzione $f$ \`e $C^\8$ nel dominio, quindi come sempre abbiamo esistenza ed unicit\`a locale. Esistenza globale? Il dominio \`e tutto $\R^2$. Consideriamo:
$$\abs{f(x,y)}=\abs{x^2\cos y}.$$
Sia $S=[-b,b]\x\R$ con $b>0$. In $S$ posso dire che:
$$\abs{f(x,y)}\leq b^2.$$
Quindi il teorema di esistenza globale ci assicura l\6esistenza globale nella nostra striscia $S=[-b,b]\x\R$. Questo vale per ogni $b$, quindi in tutto $\R$ vale comunque. Quindi tutte le soluzioni sono definite globalmente. Soluzioni costanti. Cerco:
$$\lbar{y}\in\R:x^2\cos\lbar{y}=0\implies\lbar{y}=\fr{\pg}{2}+k\spg,\quad k\in\Z.$$
Quindi un sacco di soluzioni costanti. Siamo in un caso particolare: $f$ \`e $2\spg$-periodica su $y$ in $\R$. Affermo che se $y_a$ \`e la soluzione del Problema di Cauchy con il dato iniziale $y(0)=a$, allora
$$y_a(x+2\spg)=y_{a+2\epg}(x).$$
Quindi sollevare di $2\spg$ una soluzione \`e come sollevare il dato iniziale di $2\spg$. Adesso cerchiamo di dimostrarlo. Pongo
$$w_a(x)=y_a(x+2\spg).$$
Allora vediamo che:
$$w^\1_a(x)=y^\1_a(x)=x^2\cos\pa{y_a(x)}=x^2\cos\pa{y_a(x)+2\spg}=x^2\cos\pa{w_a(x)}.$$
Quindi $w_a$ risolve l\6equazione differenziale. Inoltre so che
$$w_a(0)=y_1(0)+2\spg=a+2\spg.$$
Quindi consideriamo il problema con dato iniziale $y(0)=a+2\spg$. Quindi per definizione $y_{a+2\epg}$ \`e soluzione. Ma anche $w_a$ \`e soluzione, perché soddisfa sia l\6equazione differenziale che il dato iniziale. Per unicit\`a quindi $w_a=y_{a+2\epg}$, C.V.D. Quindi mi basta studiare il problema di Cauchy per esempio per $a\in\sq{-\fr{\pg}{2},\fr32\pg}$. Con queste restrizioni su $a$ ci restano 3 soluzioni costanti: $-\fr{\pg}2,\fr\pg2,\fr32\pg$. Sia nel passato che nel futuro le soluzioni si mantengono nella stessa striscia definita da due di queste. Studiamo la monotonia. Vediamo che:
$$\sistbis{\cos y>0}{y\in\pa{-\fr{\pg}{2},\fr\pg2}\\}{\cos y<0}{y\in\pa{\fr\pg2,\fr32\pg}}.$$
Quindi sopra sono non crescenti e sotto a $\fr\pg2$ sono non decrescenti. $y$ \`e un luogo di punti stazionari per le soluzioni. Questo \`e un caso in cui studiare la convessit\`a sarebbe complicato. Cominciamo da quando son crescenti. Per monotonia al solito:
$$\3\dlim_{t\to+\8}y_a(x)=\ell^+,$$
$$\ell^+>a.$$
Inoltre per le costanti:
$$\ell^+\in\sq{-\fr\pg2,\fr\pg2}.$$
In ogni caso per il teorema del\6asintoto la derivata tende a $0$. Quindi necessariamente deve tendere a $0$:
$$\cos\pa{y_a(x)},$$
che tende a $\cos\ell^+$. Di conseguenza devo avere:
$$\ell^+=\pm\fr\pg2.$$
Ma $\ell^+>-\fr\pg2$, quindi \`e l\6altro. Per tutti gli altri casi \`e esattamente la stessa cosa. A $-\8$ tende a $-\fr\pg2$ Possiamo vedere che ci sono due flessi uno prima e uno dopo allo $0$. Ci vediamo la prossima volta.


\incee
\chapter{\eserc{18/12/2013}}

\sect{Equazioni lineari a coefficienti costanti: un quanto di teoria}

\ssect{Caso omogeneo}
$$a_0y^{(n)}+a_1t^{(n-1)}\+a_ny=0.\quad(1)$$
Gli si associa l\6equazione caratteristica:
$$a_0\lgr^n+a_1\lgr^{n-1}\+a_n=0.\quad(2)$$
Supponiamo allora che $\lbar{\lgr}\in\R$ risolva $(2)$ con molteplicit\`a $k$. Allora $k$ soluzioni linearmente indipendenti di $(1)$ sono date da:
$$e^{\lbar{\lgr}x},xe^{\lbar{\lgr}x},\dots,x^{k-1}e^{\lbar{\lgr}x}.$$
Se $\sag\pm i\bg$ \`e una coppia di soluzioni di $(2)$ con molteplicit\`a $h$, allora $2h$ soluzioni linearmente indipendenti di $(1)$ sono date da:
$$e^{\eag x}\cos\bg x,e^{\eag x}\sin\bg x,xe^{\eag}\cos\bg x,xe^{\eag x}\sin\bg x,\dots,x^{h-1}e^{\eag x}\cos\bg x,x^{h-1}e^{\eag x}\sin\bg x.$$

\ssect{Caso non omogeneo}
In generale ci occuperemo anche di equazioni non omogenee:
$$a_0y^{(n)}\+a_ny=f(x).\quad(3)$$
Allora supponiamo di avere $z_1,\dots,z_n$ soluzioni linearmente indipendenti dell\6equazione omogenea associata a $(3)$. Allora vado a definire il determinante Wronskiano:
$$W(x)=\abs{\mat{cccc}z_1(x)&z_2(x)&\dots&z_n(x)\\z_1^\1(x)&z_2^\1(x)&\dots&z_n^\1(x)\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\z_1^{(n-1)}(x)&z_2^{(n-1)}(x)&\dots&z_n^{(n-1)}(x)\emat}.$$
Definisco a questo punto un\6altra quantit\`a:
$$W_{1,n}(x,t)=\abs{\mat{cccc}z_1(t)&z_2(t)&\dots&z_n(t)\\z_1^\1(t)&z_2^\1(t)&\dots&z_n^\1(t)\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\z_1^{(n-2)}&z_2^{(n-2)}&\dots&z_n^{(n-2)}\\z_1(x)&z_2(x)&\dots&z_n(x)\emat}.$$
Una soluzione particolare di $(3)$ \`e data da:
$$u(x)=\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\,\,x}\fr{W_{1,n}(x,t)}{W(t)}f(t)dt.$$
Non \`e sempre necessario ricorrere al metodo di variazione delle costanti arbitrarie appena visto. Supponiamo di avere:
$$f(x)=e^{\eag x}\pa{P_m(x)\sin\bg x+H_m(x)\cos\bg x},\quad(4)$$
ove $P_m,H_m$ sono polinomi di grado al pi\`u $m$. Una soluzione particolare di $(3)$ con questa $f(x)$ ha la forma:
$$u(x)=x^k\pa{Q_m(x)\sin\bg x+R_m(x)\cos\bg x}e^{\eag x},\quad(5)$$
ove $k$ \`e la molteplicit\`a di $\sag\pm i\bg$ come soluzione dell\6equazione caratteristica. Se $\sag\pm i\bg$ non \`e soluzione $k=0$. $Q_m,R_m$ sono polinomi di grado al pi\`u $m$ i cui coefficienti vanno determinati sostituendo nell\6equazione.

\sect{Primo esercizio}
$$y^{\1\1\1}+6y^{\1\1}+11y^\1+6y=0.$$
Scriviamo l\6equazione caratteristica:
$$\lgr^3+6\lgr^2+11\lgr+6=0.$$
Iniziamo a cercare le radici razionali, che si cercano tra i divisori del termine noto. I divisori sono $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$. $-1$ \`e soluzione. $-2$ pure. $-3$ pure. Quindi il polinomio \`e:
$$\pa{\lgr+1}\pa{\lgr+2}\pa{\lgr+3}=0.$$
Sono tutte di molteplicit\`a 1. Quindi l\6integrale generale \`e:
$$y(x)=c_1e^{-x}+c_2e^{-2x}+c_3e^{-3x}.$$

\sect{Altro esercizio}
$$y^{(iv)}-3y^{\1\1\1}=0.$$
Equazione caratteristica:
$$\lgr^4-3\lgr^3=0\implies\lgr^3\pa{\lgr-3}=0,$$
che ha soluzioni $0$ con molteplicit\`a 3 e 3 con molteplicit\`a 1. Quindi l\6integrale generale \`e:
$$c_1e^{0x}+c_2xe^{0x}+c_3x^2e^{0x}+c_4e^{3x}=c_1+c_2x+c_3x^2+c_4e^{3x}.$$

\sect{Adesso vediamo un altro esercizio: inomogeneo}
$$y^{\1\1\1}+6y^{\1\1}+11y^\1+6y=\sinh x.$$
Se $f(x)$ si pu\`o scrivere come somma di funzioni del tipo $(4)$, allora scrivo:
$$f(x)=f_1(x)+f_2(x).$$
Per $f_1$ e $f_2$ trovo una soluzione particolare $u_1$ e $u_2$ del tipo $(5)$. A questo punto:
$$u(x)=u_1(x)+u_2(x)$$
\`e una soluzione particolare dell\6equazione non omogenea. Ricordiamo che:
$$\sinh x\overset{def}{=}\fr{e^x-e^{-x}}{2}.$$
Quindi vediamo se:
$$\fr{e^x}{2}=e^{\eag x}\pa{P_m(x)\sin\bg x+H_m(x)\cos\bg x}.$$
Non ci sono seni e coseni a sinistra, quindi pongo $\bg=0$. In questo modo il lato destro si riduce a:
$$e^{\eag x}\pa{P_m(x)\per0+H_m(x)\per1}=e^{\eag x}H_m(x).$$
A questo punto si rende evidente che \`e possibile: basta porre:
$$H_m(x)=\fr{1}{2},\quad\sag=1.$$
Nel nostro caso $\sag\pm i\bg=\sag=1,$ che non \`e soluzione dell\6equazione omogenea, quindi la molteplicit\`a $k$ \`e $0$. Quindi cerco una soluzione del tipo:
$$u_1(x)=x^0\pa{Q_m(x)\sin0x+R_m(x)\cos0x}e^{1x}=e^xR_m(x).$$
Inoltre $m$ \`e $0$ perché avevo $H_m=\fr{1}{2}$. Quindi $R_m$ \`e una costante:
$$R_m(x)=A\quad A\in\R.$$
Quindi:
$$u_1(x)=Ae^x.$$
Ora l\6altro pezzo:
$$-\fr{1}{2}e^{-x}=e^{\eag x}\pa{P_m(x)\sin\bg x+H_m(x)\cos\bg x}?$$
S\`i: $\bg=0$, e riduciamo il lato destro a:
$$e^{\eag x}H_m(x).$$
Ovviamente avremo $\sag=-1,H_m(x)=-\fr12$. In questo caso $\sag\pm i\bg=\ag=-1$, che risolve con molteplicit\`a 1 l\6equazione caratteristica. Quindi una soluzione particolare dell\6equazione con $f_2(x)$ \`e:
$$u_2(x)=xe^{-x}\underbrace{R_m(x)}_{\mathclap{\text{grado 0: costante}}}=Axe^{-x}.$$
A questo punto somma:
$$u(x)=u_1(x)+u_2(x)=Ae^x+Bxe^{-x}.$$
Al che sostituiamo:
$$u^\1(x)=-Ae^x+Be^{-x}-Bxe^{-x},$$
$$u^{\1\1}(x)=Ae^x+B\pa{x-2}e^{-x},$$
$$u^{\1\1\1}(x)=Ae^x+B\pa{3-x}e^{-x}.$$
Quindi:
$$Ae^x+B\pa{3-x}e^{-x}+6Ae^x+6B\pa{x-2}e^{-x}-11Ae^x+11Be^{-x}-11Bxe^{-x}+6Ae^x+$$
$$+6Be^{-x}=\fr12e^x-\fr12e^{-x}.$$
A questo punto da qui vengono le equazioni su $A,B$:
$$\begin{sistema}
24Ae^x=\fr12\\\\
2B=-\fr12
\end{sistema},$$
da cui:
$$\begin{sistema}
A=\fr{1}{48}\\\\
B=-\fr14
\end{sistema}.$$
Quindi:
$$u(x)=\fr{1}{48}e^x-\fr{1}{4}xe^{-x}.$$
Sommando a $u$ l\6integrale generale dell\6omogenea otteniamo l\6integrale generale dell\6inomogenea. Facciamo una mini-mini-pausa, 5m.
\par Pausa.

\sect{Ennesimo esercizio}
$$y^{(4)}-3y^{\1\1\1}=x+1.$$
Conosciamo l\6integrale generale dell\6omogenea:
$$y(x)=c_1+c_2x+c_3x^2+c_4e^{3x}.$$
Riproviamo col trucco di prima, e vediamo $\sag=0,\bg=0,H_m(x)=x+1$. A questo punto $\sag\pm i\bg=0$, di molteplicit\`a $k=3$. Quindi avremo:
$$u(x)=x^3e^{0x}\pa{Q_m(x)\sin0x+R_m(x)\cos0x}=x^3R_m(x),$$
con $\deg R_m(x)=1$. Quindi troviamo:
$$u(x)=x^3(Ax+B)=Ax^4+Bx^3.$$
Deriviamo:
$$u^\1(x)=4Ax^3+3Bx^2,$$
$$u^{\1\1}(x)=12Ax^2+6Bx,$$
$$u^{\1\1\1}(x)=24Ax+6B,$$
$$u^{(4)}(x)=24A.$$
Sostituiamo:
$$24A-3\pa{24Ax+6B}=x+1\implies-72Ax+24A-18B=x+1,$$
da cui:
$$\begin{sistema}
-72A=1\\
24A-18B=1
\end{sistema},$$
da cui:
$$u(x)=-\fr{1}{72}x^4-\fr{2}{27}x^3.$$
Quindi l\6integrale generale \`e:
$$c_1+c_2x+c_3x^2+c_4e^{3x}-\fr{1}{72}x^4-\fr{2}{27}x^3.$$

\sect{Procediamo!}
$$y^{\1\1}+\swg^2y=f(x),\quad\swg\in\R_+,f\in C(\R).$$
Si determini un integrale particolare nel caso $\swg=1,f(x)=\sin x\cos x$. Integrale generale dell\6equazione. Equazione:
$$\lgr^2+\swg^2=0\implies\lgr^2=-\swg^2\implies\lgr=\pm i\swg.$$
L\6integrale generale dell\6omogenea \`e:
$$y(t)=c_1\cos\swg t+c_2\sin\swg t.$$
Allora scriviamo il determinante Wronskiano:
$$W(x)=\abs{\mat{cc}\cos\swg x&\sin\swg x\\-\swg\sin\swg x&\swg\cos\swg x\emat}=\swg.$$
L\6altra quantit\`a:
$$W_{1,2}(x,t)=\abs{\mat{cc}\cos\swg t&\sin\swg t\\\cos\swg x&\sin\swg x\emat}=\cos\swg t\sin\swg x-\sin\swg t\cos\swg x=\sin\pa{\swg x-\swg t}.$$
Come visto sopra, una soluzione particolare \`e:
$$u(x)=\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\,\,x}\fr{W_{1,2}(x,t)}{W(t)}f(t)dt=\fr{1}{\wg}\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\,\,x}W_{1,2}(x,t)f(t)dt.$$
Quindi l\6integrale generale \`e:
$$y(x)=c_1\cos\swg x+c_2\sin\swg x+u(x),$$
dove $u$ \`e questa bestia qua. Per $\swg=1,f(x)=\sin x\cos x$ si ha:
$$u(x)=\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\,\,x}\pa{\cos t\sin x-\sin t\cos x}\sin t\cos tdt=$$
$$=\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\,\,x}\pa{\cos^2t\sin t\sin x-\sin^2t\cos t\cos x}dt=\sin x\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\,\,x}\cos^2t\sin tdt-$$
$$+\cos x\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\,\,x}\sin^2t\cos tdt=-\fr{1}{3}\sin x\pa{\cos^3x-1}-\fr{1}{3}\cos x\sin^3x=$$
$$=\fr{\sin x}{3}\pa{1-\cos^3x}-\fr{\cos x}{3}\sin^3x.$$

\sect{Probabilmente lo ultimo esercizio:  viva il pendolo!}
$$x^{\1\1}+\swg^2x=\cos\pa{\sng t},\quad\swg,\sng\in\R_+.$$
Questa \`e l\6equazione del pendolo. Come prima, l\6equazione caratteristica ha soluzioni $\lgr=\pm i\swg$. Quindi:
$$y(x)=c_1\sin\swg x+c_2\sin\swg x.$$
Cerchiamo di lavorare su quel coseno per scriverlo nella forma di sopra: posso scrivere:
$$\cos\sng t=e^{\eag t}\pa{P_m(t)\sin\bg t+H_m(t)\cos\bg t}?$$
Sicuramente $\sag=0,\bg=\sng,P_m(t)=0$. A questo punto $H_m(t)=1$. Ora, $\sag\pm i\bg=\pm i\sng$. \`E soluzione? Se $\sng\neq\swg$ no, quindi $k=0$. Di conseguenza:
$$u(t)=Q_m(t)\sin\sng t+R_m(t)\cos\sng t,$$
ove $Q_m,R_m$ sono polinomi di grado $0$ quindi costanti. Quindi:
$$u(t)=B\sin\sng t+A\cos\sng t.$$
Coi conti si verifica:
$$B=0,A=\fr{1}{\wg^2-\ng^2}.$$
Quindi l\6integrale generale \`e:
$$c_1\cos\swg t+c_2\sin\swg t+\fr{1}{\wg^2-\ng^2}\cos\sng t.$$
Ora invece il caso $\swg=\sng$. Quindi $\sag\pm i\bg=\pm i\swg$ che \`e soluzione con molteplicit\`a $k=1$. Quindi:
$$u(t)=t\pa{B\cos\sng t+A\sin\sng t},$$
con $A,B$ da determinare. Effettivamente possiamo sostituire $\sng$ a $\swg$. Comunque derivando e sostituendo:
$$A=\fr{1}{2\wg},\qquad B=0.$$
Quindi:
$$x(t)=\fr{1}{2\wg}t\sin\swg t+c_1\cos\swg t+c_2\sin\swg t.$$
Il comportamento \`e decisamente diverso. Per esempio per $c_1=c_2=0$ ottengo:
$$x(t)=\fr{1}{2\wg}t\cos\swg t,$$
la cui ampiezza aumenta man mano che passa il tempo.\lfeed
Viva Ortenzi!

\incle
\chapter{\lez{19/12/2013}}

\sect{Curve in $\R^n$: definizione, curve regolari, curve equivalenti}

\ssect{Curve, curve $C^k$, estremi, sostegno, curve cartesiane, curve regolari e regolari a tratti, curve chiuse, curve semplici}
[\begin{defi}
Si dice \emph{curva in $\R^n$} una funzione continua $\sggr:[a,b]\to\R^n$, ove sia $a,b\in\R,\,a<b$.
\end{defi}
\begin{defi}
Se $\sggr\in C^k([a,b],\R^n)$ (cio\`e ogni sua componente $\sggr_i=\spg_i\circ\sggr$ \`e $C^k([a,b])$) si dice che \`e una \emph{curva di classe $C^k$}.
\end{defi}
\begin{es}
Consideriamo la legge oraria del moto di un punto materiale nello spazio in un intervallo di tempo $[a,b]$. Se $\pa{x(t),y(t),z(t)}$ sono le coordinate del punto al tempo $t$, la funzione (continua):
$$\sggr:[a,b]\to\R^3,\quad\sggr(t)=\pa{x(t),y(t),z(t)}$$
\`e una curva in $\R^3$.
\end{es}] Credits SoGa per la seconda defi.
\begin{defi}
Sia $\sggr:[a,b]\to\R^n$ una curva in $\R^n$. $\sggr(a)$ si dice \emph{primo estremo di $\sggr$}.
\end{defi}
\begin{defi}
$\sggr(b)$ si dice \emph{secondo estremo di $\sggr$}.
\end{defi}
\begin{defi}
$\sggr^\ast=\sggr([a,b])=\br{\sggr(t):t\in[a,b]}\sbse\R^n$ si dice \emph{sostegno della curva}.
\end{defi}
\begin{oss}
Se $\sggr$ \`e la legge oraria del moto di un punto materiale, $\sggr^\ast$ si dice anche \emph{traiettoria del moto}.
\end{oss}
\begin{es}
$$\sggr:[a,2\spg]\to\R^2,\quad t\mapsto(\cos t,\sin t),\quad t\in[0,2\spg].$$
\end{es}
Questa \`e una curva in $\R^2$ (ovvero una \emph{curva piana}) perché le componenti sono continue anzi di pi\`u, giusto? Sono funzioni $C^\8$. Quindi possiamo dire che \`e una curva $C^\8$. Che cos'\`e $\sggr^\ast$? \`E una circonferenza, anzi \`e la circonferenza di centro l\6origine e raggio 1. Il primo estremo \`e $(1,0)$, il secondo estremo pure. Quindi parto da questo punto, percorro la circonferenza in senso antiorario e torno al punto di partenza.
\begin{es}
$$f:[a,b]\to\R\hbox{ continua}.$$
Consideriamo:
$$\sggr(t)=\pa{t,f(t)},\quad\sggr:[a,b]\to\R^2.$$
\end{es}
$\sggr$ \`e chiaramente una curva piana. Il suo sostegno \`e il grafico di $f$:
$$\sggr^\ast=\Graf{f}.$$
\begin{defi}
Una curva siffatta, ovvero il cui sostegno \`e il grafico di una funzione, si dice \emph{curva cartesiana}.
\end{defi}
\begin{defi}
Una curva $\sggr:[a,b]\to\R^n$ si dice \emph{regolare} se \`e di classe $C^1$ e $\sggr^\1(t)\neq0$\fn{Cf Falqui ``Condizione per una buona parametrizzazione \`e che almeno una delle derivate non sia nulla'\6 (tanto tempo fa): che intendesse questo?} per ogni $t\in(a,b)$, ove se:
$$\sggr(t)=\pa{\sggr_1(t),\sggr_2(t),\dots,\sggr_n(t)},$$
poniamo:
$$\sggr^\1(t)=\pa{\sggr_1^\1(t),\sggr_2^\1(t),\dots,\sggr_n^\1(t)},$$
e diverso da zero intendiamo dal vettore nullo, quindi almeno una componente sia non nulla.
\end{defi}
\begin{defi}
$\sggr$ si dice \emph{regolare a tratti} se esistono $a=t_0<t_1<t_2<\dots<t_k=b$, ossia una suddivisione di $[a,b]$, tali che $\sggr\eval{[t_{i-1},t_i]}{}$ sia regolare per ogni $i=1,\dots,k$.
\end{defi}
\begin{es}
Riprendiamo la circonferenza.
\end{es}
Sicuramente \`e di classe $C^1$ perché \`e di classe $C^\8$. Deriviamo:
$$\sggr^\1(t)=\pa{-\sin t,\cos t}.$$
\`E regolare questa? Pu\`o mai capitare che questo sia il vettore nullo? No.
\begin{es}
$$\sggr(t)=\pa{t,\abs{t}},\quad t\in[-1,1].$$
\end{es}
Il sostegno \`e $\Graf{\abs{t}\eval{[-1,1]}{}}$. La seconda componente non \`e $C^1$ quindi $\sggr$ non \`e regolare. Sembra abbastanza ragionevole che la nostra definizione contempli che oggetti di questo tipo, gli angoli, non siano regolari. Pu\`o sembrare meno intuitivo richiedere che $\sggr^\1\neq0$.
\begin{es}
$$\sggr(t)=\pa{t^3,t^2},\quad t\in[-1,1].$$
\end{es}
Questa \`e $C^\8$. Non \`e regolare perché in $0$ si annulla la derivata. Perché questa non dico che \`e regolare? Pensate un attimo a com'\`e fatto il sostegno. Che legame c'\`e tra $x$ e $y$?
$$y=x^{\dbfr23},$$
quindi ha una cuspide in $0$. Fisicamente si annulla la velocit\`a, quindi posso ripartire un po\6 come voglio, la traiettoria pu\`o avere delle irregolarit\`a.
\begin{defi}
Una curva $\sggr:[a,b]\to\R^n$ si dice \emph{chiusa} se $\sggr(a)=\sggr(b)$, ossia il primo estremo coincide coll\6altro estremo.
\end{defi}
\begin{es}
Per esempio riprendiamo la circonferenza.
\end{es}
\begin{defi}
Una curva si dice \emph{semplice} se $\sggr\eval{[a,b)}{}$ e $\sggr\eval{(a,b]}{}$ sono iniettive, cio\`e se:
$$t,s\in[a,b],\,t<s,\,\sggr(t)=\sggr(s)\quad t=a,\,s=b.$$
\end{defi}
La circonferenza \`e semplice. Quando ci va male? Prendete una cosa cos\`i una figura a 8, quindi quando ci sono delle autointersecazioni. Anche aperta eh.

\ssect{Diffeomorfismi e curve equivalenti, propriet\`a della relazione di equivalenza, relazioni tra curve equivalenti}
Dunque adesso vediamo di riflettere sul fatto che da certi punti di vista questa definizione non ci soddisfa pienamente, perché la legge oraria per esempio dipende molto dall\6orologio che si usa, la funzione \`e diversa ma il fenomeno \`e lo stesso. Formalizziamo questa cosa introducendo la definizione di curve equivalenti.
\begin{defi}
Prima una definizione preliminare. $\lgr:[c,d]\to[a,b]$ si dice \emph{diffeomorfismo di classe $C^1$} se $\lgr\in C^1([c,d])$, $\lgr$ \`e invertibile e $\lgr^{-1}:[a,b]\to[c,d]$ \`e anch\6essa $C^1([a,b])$.
\end{defi}
Questa funzione ha derivata che non si annulla mai perché se si annullasse avrei come minimo un flesso e quindi non sarebbe derivabile l\6inversa, e inoltre \`e sempre strettamente positiva o sempre strettamente negativa.
\begin{defi}
Se $\lgr^\1(t)>0$ $\VA t\in[c,d]$ diciamo che $\lgr$ \emph{mantiene l\6orientamento}.
\end{defi}
\begin{defi}
Se invece $\lgr^\1(t)<0$ $\VA t\in[c,d]$ si dice che $\lgr$ \emph{inverte l\6orientamento.}
\end{defi}
E quindi possiamo dare la definizione di curve equivalenti.
\begin{defi}
Si dice che le curve $\sggr_1:[a,b]\to\R^n$ e $\sggr_2:[c,d]\to\R^n$ \emph{sono equivalenti} (oppure che \emph{stanno nello stesso cammino}) se $\3\lgr:[c,d]\to[a,b]$ diffeomorfismo di classe $C^1$ tale che $\sggr_2=\sggr_1\circ\lgr$.
\end{defi}
\hsp{3cm}\includegraphics[width=6cm]{SchemaComposizione.jpg}
\begin{defi}
Inoltre, se $\lgr$ mantiene l\6orientamento, $\sggr_1,\sggr_2$ come sopra \emph{stanno nello stesso cammino orientato}.
\end{defi}
Nel primo caso si scrive:
$$\sggr_1\~\sggr_2,$$
nel secondo si aggiunge un asterisco per ricordare che \`e una nozione un po\6 diversa:
$$\sggr_1\overset{\ast}{\~}\sggr_2.$$
\begin{propo}
$\~$ e $\overset{\ast}{\~}$ sono relazioni di equivalenza nella famiglia delle curve in $\R^n$.
\end{propo}
\begin{defi}
Le classi di equivalenza di $\~$ si dicono \emph{cammini}.
\end{defi}
\begin{defi}
Le classi di equivalenza di $\overset{\ast}{\~}$ si dicono \emph{cammini orientati}.
\end{defi}
Direi che possiamo fare adesso la pausa.
\par Pausa.
\begin{propo}
Siano $\sggr_1\~\sggr_2$. Allora:
\ben
\item $\sggr_1^\ast=\sggr_2^\ast$;
\item $\sggr_1$ \`e regolare (a tratti) $\sse$ lo \`e $\sggr_2$.
\een
\end{propo}
Dimostrazione per esercizio.
\begin{oss}
$$\sggr_1^\ast=\sggr_2^\ast\not\implies\ggr_1\~\ggr_2.$$
\end{oss}
\begin{es}
$\sggr_1(t)=\pa{\cos t,\sin t}\quad t\in[0,2\spg]$ e $\sggr_2(t)=\pa{\cos t,\sin t}\quad t\in[0,4\spg]$.
\end{es}
Chiaramente i sostegni coincidono, ma $\sggr_1\not\~\sggr_2$. Infatti $\sggr_1$ \`e iniettiva tolti gli estremi, la seconda no. Una funzione iniettiva composta con un diffeomorfismo rimane iniettiva, quindi non \`e possibile trovare un diffeomorfismo che renda equivalenti le due curve.
\begin{teor}
Se $\sggr_1,\sggr_2$ sono semplici, regolari e di estremi coincidenti allora
$$\sggr_1\~\sggr_2\sse\sggr_1^\ast=\sggr_2^\ast.$$
\end{teor}
Dimostrazione che per\`o non facciamo. Chiaramente non \`e applicabile all\6esempio di prima perché viene a mancare la semplicit\`a, l\6iniettivit\`a della funzione.

\ssect{Vettore tangente (velocit\`a)}
\begin{defi}
Sia $\sggr:[a,b]\to\R^n$ una curva $C^1$ e $t_0\in[a,b]$. Il vettore:
$$\sggr^\1(t_0)=\dlim_{t\to t_0}\fr{\sggr(t)-\sggr(t_0)}{t-t_0}$$
si dice \emph{vettore velocit\`a corrispondente al valore del parametro $t_0$}.
\end{defi}
\begin{defi}
Con $\sggr$ come sopra ma in pi\`u regolare, il vettore $T_{\sggr(t_0)}=\fr{\sggr^\1(t_0)}{\norm{\sggr^\1(t_0)}}$ definito colla norma euclidea di $\R^n$ si dice \emph{versore tangente a $\sggr$ corrispondente al valore del parametro $t_0$}.
\end{defi}
\begin{oss}
Se $\sggr$ \`e regolare e iniettiva posso vedere il versore tangente come una funzione definita sul sostegno $\sggr^\ast$
\end{oss}
Non basta che sia semplice, perché potrebbe chiudersi in modo irregolare. Definisco allora $T_{\sggr}^\ast:\sggr^\ast\to\R^n$ ponendo $T_{\sggr}^\ast(P)=T_{\sggr}(t):\sggr(t)=P$.
\begin{propo}
Se $\sggr_1:[a,b]\to\R^n,\sggr_2:[c,d]\to\R^n$ sono curve regolari e $\sggr_1\overset{\ast}{\~}\sggr_2$, allora
$$T_{\sggr_2}(t)=T_{\sggr_1}(\lgr(t))\quad\VA t\in[c,d],$$
ove $\lgr:[a,b]\to[c,d]$ \`e il diffeomorfismo di classe $C^1$ che mantiene l\6orientamento tale che $\sggr_2=\sggr_1\circ\lgr$.
\end{propo}
Dim.
$$T_{\sggr_2}(t)=\fr{\sggr_2^\1(t)}{\norm{\sggr_2^\1(t)}}=\fr{\sggr_1^\1(t)\lgr^\1(t)}{\abs{\lgr^\1(t)}\norm{\sggr_1^\1(t)}}=\fr{\sggr^\1(t)\lgr^\1(t)}{\norm{\sggr_1^\1(t)}\lgr^\1(t)}=T_{\sggr_1}(\lgr(t)).$$

\sect{Lunghezza di una curva}
Voglio intanto dare una definizione rigorosa di lunghezza di una curva e anche capire come fare a calcolarla.
\begin{defi}
Sia $\sggr:[a,b]\xrightarrow{C^0}\R^n$ una curva. Approssimiamo la curva con poligonali. Consideriamo $\s{P}=\br{P=\br{t_0,t_1,\dots,t_k}:t_0=a<t_1<\dots<t_k=b}$ la famiglia delle partizioni di $[a,b]$. Per ogni $P\in\s{P}$, con $P=\br{t_0,t_1,\dots,t_k}$, considero:
$$L(P)=\dsum_{i=1}^k\norm{\sggr(t_i)-\sggr(t_{i-1})}.$$
$L(P)$ \`e la \emph{lunghezza della poligonale inscritta a $\sggr$ associata alla partizione $P$}.
\end{defi}
\begin{defi}
Data $\sggr\in C^0([a,b],\R^n)$, se
$$L(\sggr)=\dsup_{P\in\s{P}}L(P)<+\8$$
si dice che $\sggr$ \`e \emph{rettificabile} e $L(\sggr)$ si dice \emph{lunghezza di $\sggr$}.
\end{defi}
\begin{oss}
\`E facile vedere che se due curve rettificabili $\sggr_1,\sggr_2$ sono equivalenti allora
$$L(\sggr_1)=L(\sggr_2).$$
\end{oss}
Di fatto, la lunghezza dipende solo dal sostegno. No, perché se lo percorro due volte la lunghezza raddoppia: esempio di prima delle due circonferenze. Questa definizione non ci soddisfa pienamente perché dal punto di vista del calcolo non ci dice niente. Per\`o nel caso che sia $C^1$ abbiamo un teorema.
\begin{teor}
Ogni curva $\sggr\in C^0([a,b]\to\R^n)$ \`e rettificabile e:
$$L(\sggr)=\xxouint{a\,\,\,\,}{\,\,\,\,b}\norm{\ggr^\1(t)}dt.$$
\end{teor}
Esiste l\6integrale perché $\sggr$ \`e $C^1$, dimostrata l\6uguaglianza \`e provato il teorema.\lfeed
Dim.
\par Cominciamo dimostrando $L(\sggr)\leq\xxouint{a\,\,\,\,}{\,\,\,\,b}\norm{\ggr^\1(t)}dt$. Consideriamo una partizione {\color{white}aaaaaaaaaaaaaaaa} $\br{t_0,t_1,\dots,t_k}=P\in\s{P}$. Scriviamo:
$$L(P)=\dsum_{i=1}^k\norm{\sggr(t_i)-\sggr(t_{i-1})}=\dsum_{i=1}^k\norm{\xxouint{t_{i-1}}{\,\,\,t_i}\sggr^\1(s)ds}\leq\dsum_{i=1}^k\xxouint{t_{i-1}}{\,\,\,t_i}\norm{\sggr^\1(s)}ds=\xxouint{a\,\,\,\,}{\,\,\,\,b}\norm{\sggr^\1(s)}ds,$$
per ogni partizione $P$, quindi anche per il sup, C.V.D. Ci manca il viceversa, che direi che lo vediamo domani:
$$L(\sggr)\geq\xxouint{a\,\,\,\,}{\,\,\,\,b}\norm{\sggr^\1(s)}ds.$$
Questa parte la vediamo domani, o se insistete proprio tantissimo.... No. Non mi \`e mai capitato che gli studenti insistessero.


\incle
\chapter{\lez{20/12/2013}}

\sect{Finiamo la dimostrazione a met\`a ieri}
Richiama il teorema. Avevamo provato:
$$L(\sggr)\leq\xxouint{a\,\,\,\,}{\,\,\,\,b}\norm{\sggr^\1(t)}\dd t.$$
Ora dimostriamo la disuguaglianza inversa;
$$L(\sggr)\geq\xxouint{a\,\,\,\,}{\,\,\,\,b}\norm{\sggr^\1(t)}\dd t.$$
Siccome $\sggr\in C^1([a,b],\R)$, $\sggr^\1$ \`e $C^0$, siamo su $[a,b]$ compatto, quindi \`e uniformemente continua per Heine-Cantor. Quindi:
$$\VA\seg>0\quad\3\dg>0:\abs{t-\stg}<\dg\implies\norm{\sggr^\1(t)-\sggr^\1(\stg)}<\seg.$$
Prendiamo allora una partizione $P=\br{a=t_0,t_1,\dots,t_k=b}$. La prendiamo in modo tale che:
$$\abs{t_i-t_{i-1}}\leq\dg\quad\VA i=1,\dots,k.$$
Calcoliamo allora l\6integrale su un sottointervallo:
$$\xxouint{t_{i-1}\,\,\,}{\,\,\,\,\,t_i}\norm{\sggr^\1(t)}\dd t\overset{1}{=}\xxouint{t_{i-1}\,\,\,}{\,\,\,\,\,t_i}\norm{\sggr^\1(t)-\sggr^\1(t_i)+\sggr^\1(t_i)}\dd t\overset{2}{\leq}\xxouint{t_{i-1}\,\,\,}{\,\,\,\,\,t_i}\norm{\sggr^\1(t)-\sggr^\1(t_i)}\dd t+\xxouint{t_{i-1}\,\,\,}{\,\,\,\,\,t_i}\norm{\sggr^\1(t_i)}\dd t=$$
$$\overset{3}{=}\norm{\sggr^\1(t_i)}\pa{t_i-t_{i-1}}+\xxouint{t_{i-1}\,\,\,}{\,\,\,\,\,t_i}\norm{\sggr^\1(t)-\sggr^\1(t_i)}\dd t\overset{4}{=}\xxouint{t_{i-1}\,\,\,}{\,\,\,\,\,t_i}\norm{\sggr^\1(t)-\sggr^\1(t_i)}\dd t+
\fnt[1]{Aggiungo e tolgo la stessa cosa ($\sggr^\1(t_i)$) nella norma.}\fnt[2]{Subadditivit\`a della norma e linearit\`a dell\6integrale.}\fnt[3]{Il secondo pezzo \`e facile.}\fnt[4]{$t_i-t_{i-1}>0$, quindi si porta dentro la norma e si vede l\6argomento di quella norma come $\xxouint{t_{i-1}}{t_i}\ggr^\1(t)\dd t$, cui poi si aggiunge e si toglie $\ggr^\1(t)$ dentro l\6integrale.}$$
$$+\norm{\,\,\xxouint{t_{i-1}\,\,\,}{\,\,\,\,\,t_i}\pa{\sggr^\1(t_i)-\sggr^\1(t)+\sggr^\1(t)}\dd t}\overset{5}{=}\xxouint{t_{i-1}\,\,\,}{\,\,\,\,\,t_i}\norm{\sggr^\1(t)-\sggr^\1(t_i)}\dd t+$$
$$+\norm{\,\,\xxouint{t_{i-1}\,\,\,}{\,\,\,\,\,t_i}\sggr^\1(t_i)-\sggr^\1(t)\dd t+\xxouint{t_{i-1}\,\,\,}{\,\,\,\,\,t_i}\sggr^\1(t)\dd t}\overset{6}{\leq}2\xxouint{t_{i-1}\,\,\,}{\,\,\,\,\,t_i}\norm{\sggr^\1(t)-\sggr^\1(t_i)}\dd t+\norm{\xxouint{t_{i-1}}{t_i}\sggr^\1(t)\dd t}\leq$$
$$\overset{7}{\leq}2\seg\pa{t_i-t_{i-1}}+\norm{\sggr(t_i)-\sggr(t_{i-1})},\quad\VA i=1,\dots,k.\fnt[5]{Il primo pezzo lo ricopio uguale, il nel secondo uso la linearit\`a dell\6integrale.}\fnt[6]{Subadditivit\`a della norma. Un pezzo della subadditivit\`a finisce nel 2 combinato con $\norm{\xxouint{}{}\per}\leq\xxouint{}{}\norm{\per}$.}\fnt[7]{Per il primo pezzo noi sappiamo, per uniforme continuit\`a, che $\norm{\sggr^\1(t)-\sggr^\1(t_i)}\leq\seg$ $\VA t\in[t_{i-1},t_i]$, quindi operiamo la maggiorazione:
$$\xxouint{t_{i-1}\,\,\,}{\,\,\,\,\,t_i}\norm{\sggr^\1(t)-\sggr^\1(t_i)}\dd t\leq\xxouint{t_{i-1}\,\,\,}{\,\,\,\,\,t_i}\seg\dd t=\pa{b-a}\seg;$$
per il secondo pezzo usiamo il TFCI.}\ic{footnote}{+7}$$
Sommando su $i$:
$$\dsum_{i=1}^k\xxouint{t_{i-1}\,\,\,}{\,\,\,\,\,t_i}\norm{\sggr^\1(t)}\dd t\leq2\seg\pa{b-a}+L(P).$$
Questo equivale a:
$$\xxouint{a\,\,\,\,}{\,\,\,\,b}\norm{\sggr^\1(t)}\dd t\leq2\seg\pa{b-a}+L(P)\leq2\seg\pa{b-a}+L(\sggr),$$
per ogni $\seg$, ma allora per $\seg\to0$ ottengo la tesi. Cosa vuol dire invece che una curva non \`e rettificabile?
\begin{es}
$$\sggr(t)=\pa{t,f(t)}\quad t\in\sq{0,\fr{1}{\spg}}\quad f(t)=\sistbis{t\sin\fr{1}{t}}{t\in\(0,\fr{1}{\spg}\]}{0}{t=0}.$$
\end{es}
$f$ non \`e derivabile in $0$. La curva non \`e rettificabile: posso costruire poligonali lunghe quanto voglio. Ottenete una serie divergente, verificatelo.

\sect{Ascissa curvilinea}
Consideriamo una curva $\sggr:[a,b]\to\R^n$ regolare (quindi $C^1$, quindi rettificabile). Considero:
$$S(t)=\xxouint{a\,\,\,\,}{\,\,\,\,\,t}\norm{\sggr^\1(s)}ds,\quad t\in[a,b],$$
quindi la lunghezza fino al tempo $t$. $S\in C^1([a,b])$, e $S^\1(t)=\norm{\sggr^\1(t)}>0$, perché essendo regolare $\sggr^\1$ non si annulla mai quindi la norma \`e strettamente positiva. Quindi \`e una funzione strettamente crescente. Inoltre $S(a)=0,S(b)=L(\sggr)$. Possiamo infine osservare che \`e un diffeomorfismo $[a,b]\to[0,L(\sggr)]$. Infatti \`e strettamente crescente quindi iniettiva quindi invertibile, e per la formula di derivata della funzione inversa anche l\6inversa \`e derivabile. Quindi posso usarlo per costruire una curva equivalente. Consideriamo la curva:
$$\Gg=\sggr\circ S^{-1}:[0,L(\sggr)]\to\R^n.$$
Dato che $S$ conserva l\6orientamento, possiamo dire che:
$$\sggr\overset{\ast}{\~}\Gg.$$
Consideriamone la derivata:
$$\Gg\,^\1(\ssg)=\sggr^\1(S^{-1}(\ssg))\pa{S^{-1}}^\1(\ssg)=\sggr^\1(S^{-1}(\ssg))\fr{1}{S^\1(S^{-1}(\ssg))}=\fr{\sggr^\1(S^{-1}(\ssg))}{\norm{\sggr^\1(S^{-1}(\ssg))}}\quad\VA\ssg\in[0,L(\sggr)].$$
Quindi:
$$\norm{\Gg\,^\1(\ssg)}=1\quad\VA\ssg\in[0,L(\sggr)].$$
Quindi ho riparametrizzato la curva percorrendola con velocit\`a sempre unitaria in modulo.
\begin{defi}
La curva $\Gg$ si dice \emph{rappresentazione della curva $\sggr$ in termini dell\6ascissa curvilinea}, che \`e la $S$.
\end{defi}

\sect{Integrale di linea (o curvilineo)}
\begin{defi}
Siano $\Wg\sbse\R^n$ aperto, $f\in C^0(\Wg)$, $\sggr:[a,b]\to\R^n$ una curva regolare tale che $\sggr^\ast\sbse\Wg$. Si dice \emph{integrale curvilineo (o di linea)} di $f$ lungo $\sggr$ il valore:
$$\xxouint{\eggr\,\,\,}{}f\dd s=\xxouint{a\,\,\,\,}{\,\,\,\,b}f(\sggr(t))\norm{\sggr^\1(t)}\dd t.$$
\end{defi}
La definizione \`e ben posta perché integro su un chiuso e limitato di una funzione che \`e continua perché $f\circ\sggr$ \`e composizione di funzioni continue e la norma \`e di una funzione $C^0$ perché $\sggr$ \`e $C^1$ per ipotesi. Ci piacerebbe darne una nozione sui cammini anziché sulle curve.
\begin{propo}
Siano $\Wg\sbse\R^n$ aperto, $f\in C^0(\Wg)$, $\sggr_1:[a,b]\to\R^n$, $\sggr_2:[c,d]\to\R^n$ due curve regolari equivalenti e $\sggr_1^\ast=\sggr_2^\ast\sbse\Wg$. Allora:
$$\xxouint{\sggr_1}{}f\dd s=\xxouint{\sggr_2}{}f\dd s.$$
\end{propo}
Dim.
\par Chiamiamo $\lgr$ il diffeomorfismo $\lgr:[c,d]\to[a,b]$ per cui $\sggr_1=\sggr_2\circ\lgr$. Calcoliamo l\6integrale sulla due:
$$\xxouint{\sggr_2}{}f\dd s=\xxouint{c\,\,\,\,}{\,\,\,\,d}f(\sggr_2(t))\norm{\sggr_2^\1(t)}\dd t=\xxouint{c\,\,\,\,}{\,\,\,\,d}f(\sggr_1(\lgr(t)))\norm{\underbrace{\sggr_1^\1(t)}_{\substack{\mathclap{\text{vettore}}\\\mathclap{\text{di }\R^n}}}\per\underbrace{\lgr^\1(t)}_{\mathclap{\text{scalare}}}}\dd t=$$
$$=\xxouint{c\,\,\,\,}{\,\,\,\,d}f(\sggr_1(\lgr(t)))\norm{\sggr_1^\1(t)}\abs{\lgr^\1(t)}\dd t.$$
Ora facciamo il cambio di variabili $s=\lgr(t)$. Distinguiamo i casi. Se $\lgr^\1>0$, allora $\lgr(a)=c,\lgr(b)=d,\dd s=\lgr^\1(t)\dd t=\abs{\lgr^\1(t)}\dd t$, quindi:
$$=\xxouint{a\,\,\,\,}{\,\,\,\,b}f(\sggr_1(s))\norm{\sggr_1^\1(s)}\dd s.$$
Altrimenti compare un $-$ ($\dd s=\lgr^\1(t)\dd t=-\abs{\lgr^\1(t)}\dd t$) ma si scambiano gli estremi.
\begin{oss}
Posso quindi definire \emph{l\6integrale su un cammino} scegliendo un qualunque rappresentante della classe di equivalenza.
\end{oss}
\begin{oss}
Se $\Gg$ \`e la rappresentazione della curva $\sggr$ in termini dell\6ascissa curvilinea, allora:
$$\xxouint{\sggr\,\,\,}{}f\dd s=\xxouint{\Gg\,\,\,}{}f\dd s=\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\,L(\sggr)}f(\Gg(t))\per1\dd t.$$
\end{oss}
Facciamo la pausa o volete farne a meno? Tanto adesso vi riposate per due settimane. Anch\6io adesso mi riposo per due settimane. No facciamo allora la pausa.
\par Pausa.
\begin{es}
$$\sggr(t)=\pa{R\cos t,R\sin t,ct},\quad R,c>0,\quad\sggr:[0,4\spg]\to\R^3.$$
\includegraphics[width=12cm]{Elica.jpg}
\end{es}
\`E un\6elica cilindrica. Fa due giri perché va da $0$ a $4\spg$.
$$\sggr^\1(t)=\pa{-R\sin t,R\cos t,c},$$
$$\norm{\sggr^\1(t)}=\rad{R^2+c^2},$$
$$L(\sggr)=\xxouint{0\,\,\,}{\,\,4\epg}\rad{R^2+c^2}\dd t=4\spg\rad{R^2+c^2}.$$
Proviamo a parametrizzarla con l\6ascissa curvilinea.
$$S(t)=\xxouint{0\,\,\,}{\,\,4\epg}\norm{\sggr^\1(\stg)}\dd\scb{0.5}[0.5]{\!}\stg=\rad{E^2+c^2}t,$$
quindi:
$$S^{-1}(\ssg)=\fr{\ssg}{\rad{R^2+c^2}}.$$
Quindi la riparametrizzazione sar\`a:
$$\Gg:\[0,4\spg\rad{R^2+c^2}\],\quad\Gg(\ssg)=\sggr(S^{-1}(\ssg))=\sggr\(\fr{\ssg}{\rad{R^2+c^2}}\)=$$
$$=\pa{R\cos\fr{\ssg}{\rad{R^2+c^2}},R\sin\fr{\ssg}{\rad{R^2+c^2}},c\fr{\ssg}{\rad{R^2+c^2}}}.$$
\begin{es}
$$\sggr:[0,2\spg]\to\R^2,\quad\sggr(t)=\pa{t\cos t,t\sin t}.$$
\end{es}
\`E una chiocciola, una spirale. Si chiama \emph{spirale di Archimede}. Deriviamo:
$$\sggr^\1(t)=\pa{\cos t-t\sin t,\sin t+t\cos t}.$$
$$\norm{\sggr^\1(t)}=\rad{\cos^2t-2t\sin t\cos t+t^2\sin^2t+\sin^2t+2t\sin t\cos t+t^2\cos^2t}=\rad{1+t^2}.$$
Quindi sempre non nulla, quindi \`e regolare. La lunghezza \`e:
$$\xxouint{0\,\,\,\,}{\,\,2\epg}\rad{1+t^2}\dd t\overset{t=\sinh s}{=}\dots=\fr{1}{2}\pa{2\spg\rad{1+4\spg^2}+\log\pa{2\spg+\rad{1+4\spg^2}}}.$$

\sect{Superfici in $\R^3$}
Quindi dopo aver visto cosa sono le curve in $\R^n$ passiamo a vedere cosa sono le superfici in $\R^n$. Anzi in $\R^3$. Diciamo un oggetto bidimensionale che vive in $\R^3$, questa \`e la nostra idea intuitiva. Diamone una definizione rigorosa.
\begin{defi}
Una \emph{superficie regolare in $\R^3$} \`e una funzione $\sfg:K\to\R^3$ tale che:
\ben
\item $K\sbse\R^2$ sia connesso, compatto e non vuoto, e $K=\lbar{\pint K}$;
\item $\sfg\in C^1(K,\R^3)$;
\item $\sfg\eval{\pint K}{}$ sia iniettiva;
\item Per ogni punto $(u,v)\in\pint K$ la matrice jacobiana di $\sfg$:
$$J_{\sfg}(u,v)=\pa{\mat{cc}\fr{\pd\sfg_1}{\pd u}&\fr{\pd\sfg_1}{\pd v}\\[1em]\fr{\pd\sfg_2}{\pd u}&\fr{\pd\sfg_2}{\pd v}\\[1em]\fr{\pd\sfg_3}{\pd u}&\fr{\pd\sfg_3}{\pd v}\emat},$$
con $\sfg_i$ le 3 componenti di $\sfg$, abbia rango $2$.
\een
\end{defi}
\begin{defi}
L\6insieme $\sfg(K)=\sfg^\ast$ immagine di $K$ mediante $\sfg$ si dice \emph{sostegno della superficie}.
\end{defi}
\begin{oss}
Dalla prima condizione deduco che ogni punto di $K$ \`e ``approssimabile con punti interni''.
\end{oss}
In parole povere per esempio devo escludere che abbia dei baffi. Quindi deve essere davvero bidimensionale, non pu\`o avere pezzi per esempio unidimensionali.
\begin{defi}
$C^1(K,\R^3)$ significa che $\3\Wg\sbse\R^2$ aperto per cui $K\sbse\Wg$ e $\sfg$ sia la restrizione a $K$ di una funzione $C^1(\Wg,\R^3)$.
\end{defi}
\begin{oss}
La condizione 4 equivale a chiedere che le due colonne siano linearmente indipendenti, cio\`e che siano linearmente indipendenti:
$$\sfg_u=\pa{\mat{c}\fr{\pd\sfg_1}{\pd u}\\[1em]\fr{\pd\sfg_2}{\pd u}\\[1em]\fr{\pd\sfg_3}{\pd u}\emat},$$
$$\sfg_v=\pa{\mat{c}\fr{\pd\sfg_1}{\pd v}\\[1em]\fr{\pd\sfg_2}{\pd v}\\[1em]\fr{\pd\sfg_3}{\pd v}\emat},$$
per ogni $(u,v)\in\pint K$. Questo equivale a chiedere che per ogni $(u,v)\in\pint K$,
$$\sfg_u(u,v)\x\sfg_v(u,v)\neq\ubar{0}.$$
\end{oss}
Ricorda la definizione di prodotto vettoriale scrivendone le componenti moltiplicando due vettori $\vct{a},\vct{b}$ 3D generici e poi come:
$$``\det\hbox{'\6}\pa{\mat{ccc}\vct{i}&\vct{j}&\vct{k}\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\emat}.$$
\begin{es}
Sia $K\sbse\R^2$ compatto, connesso, non vuoto, e coincidente con $\lbar{\pint K}$, e sia $f\in C^1(K,\R)$. Le associamo una superficie $\sfg$ cos\`i definita:
$$\sfg:K\to\R^3,\quad\sfg(u,v)=\pa{u,v,f(u,v)}.$$
\end{es}
Verifichiamo che soddisfa la definizione. La condizione 1 \`e richiesta, come la 2. L\2iniet-tivit\`a \`e ovvia, dalle prime due componenti. Il rango?
$$\sfg_u(u,v)=\pa{\mat{c}1\\0\\\fr{\pd f}{\pd u}(u,v)\emat},$$
$$\sfg_v(u,v)=\pa{\mat{c}0\\1\\\fr{\pd f}{\pd v}(u,v)\emat}.$$
Quindi la 4 \`e soddisfatta. Cos'\`e il sostegno della superficie? \`E il grafico della funzione:
$$\sfg^\ast=\Graf{f}.$$
\begin{defi}
In analogia colle curve, una superficie di questo tipo si dice \emph{superficie cartesiana}.
\end{defi}
\begin{es}
$$\sfg(u,v)=\pa{\sin u\cos v,\sin u\cos v,\cos u},\quad\sfg:[0,\spg]\x[0,2\spg]\to\R^3.$$
\end{es}
Che superficie \`e mai questa? Avendo imparato a suo tempo le coordinate sferiche dovrebbe essere immediato. \`E una sfera unitaria (di raggio 1) centrata nell\6origine. $u$ \`e $\qg$, $v$ \`e $\sfg$, $\srg$ \`e fissato a $1$. $K$ \`e un rettangolo chiuso, $\sfg$ \`e regolare quanto volete, e iniettiva non su tutto $K$ ma sull\6interno s\`i. Controlliamo la 4.
$$\sfg_u(u,v)=\pa{\mat{c}\cos u\cos v\\\cos u\sin v\\-\sin u\emat},$$
$$\sfg_v(u,v)=\pa{\mat{c}-\sin u\sin v\\\sin u\cos v\\\cos u\emat}.$$
Vediamone il prodotto vettoriale.
$$\sfg_u(u,v)\x\sfg_v(u,v)=\det\pa{\mat{ccc}\vct i&\vct j&\vct k\\\cos u\cos v&\cos u\sin v&-\sin u\\-\sin u\sin v&\sin u\cos v&\cos u\emat}=$$
$$=\pa{\mat{c}\sin^2u\cos v\\\sin^2u\sin v\\\sin u\cos u\pa{\cos^2v+\sin^2v}\emat}.$$
Questo \`e nullo se e solo se lo \`e la norma, che \`e:
$$\norm{\sfg_u\x\sfg_v}=\rad{\sin^4u+\sin^2\cos^2u}=\rad{\sin^2u}\underset{\substack{u\in[0,\epg]\implies\\\implies\sin u>0}}{=}\sin u,$$
sicuramente non nullo in $\pint K$.


\chapter{Esercizi vigiliari}

\sect{Per prima cosa riempiamo i buchi delle ultime due lezioni}
\begin{esecasa}
Dimostrare che se $\sggr_1\~\sggr_2$, allora i sostegni coincidono e $\sggr_1$ \`e regolare se e solo se $\sggr_2$ lo \`e.
\end{esecasa}
Consideriamo un punto $P\in\sggr_1^\ast$. Questa condizione significa che $\3r\in[a,b]:\sggr_1(r)=P$, dove $\sggr_1:[a,b]\to\R^n$. Diciamo ora $\lgr:[c,d]\to[a,b]$ e quindi $\sggr_2:[c,d]\to\R^n$. $\lgr$ \`e il diffeomorfismo dell\6equivalenza tra le due curve, quindi \`e invertibile. Consideriamo allora $s=\lgr^{-1}(r)$. Dato che $\sggr_2=\sggr_1\circ\lgr$, avremo:
$$\sggr_2(s)=\sggr_1(\lgr(s))=\sggr_1(r)=P,$$
quindi $P\in\sggr_2^\ast$. Considerando $\sggr_1$ come $\sggr_2\circ\lgr^{-1}$, si mostra in maniera identica che se $P\in\sggr_2^\ast$, allora $P\in\sggr_1^\ast$. Quindi si ha la tesi. Supponiamo ora che $\sggr_1$ sia regolare. Questo significa che $\sggr_1\in C^1([a,b],\R^n)$. Siccome la composizione di funzioni $C^k$ \`e $C^k$, componento $\sggr_1$ con $\lgr$ si manterr\`a la classe di regolarit\`a. Ma cos\`i facendo si ottiene $\sggr_2$, che quindi \`e regolare. Se $\sggr_1$ non \`e regolare, $\sggr_2$ non lo \`e. Infatti se lo fosse ripetendo il ragionamento di sopra con $\lgr^{-1}$ avrei che $\sggr_1$ lo sarebbe, assurdo.
\begin{esecasa}
Dimostriamo ora che $\~$ e $\overset{\ast}{\~}$ sono entrambe relazioni di equivalenza.
\end{esecasa}
Dimostriamo dapprima che ogni curva soddisfa $\sggr\~(\overset{\ast}{\~})\sggr$. Questo \`e evidente, poiché $\sggr=\sggr\circ Id$, con $Id$ la funzione identit\`a, che \`e un diffeomorfismo di classe $C^\8$ che naturalmente mantiene l\6orientamento. Dimostriamo che per ogni $\sggr_1,\sggr_2$, se $\sggr_1\~(\overset{\ast}{\~})\sggr_2$, allora $\sggr_2\~(\overset{\ast}{\~})\sggr_1$. Se esiste $\lgr$ un diffeomorfismo per cui $\sggr_2=\sggr_1\circ\lgr$, chiaramente si avr\`a $\sggr_1=\sggr_2\circ\lgr^{-1}$. Infatti $\sggr_2\circ\lgr^{-1}=\pa{\sggr_1\circ\lgr}\circ\lgr^{-1}=\sggr_1\circ\pa{\lgr\circ\lgr^{-1}}=\sggr_1\circ Id=\sggr_1$. Ma $\lgr^{-1}$ \`e un diffeomorfismo a sua volta, e questo prova l\6equivalenza al contrario delle due curve. Se $\lgr$ mantiene l\6orientamento, anche $\lgr^{-1}$ lo mantiene, dato che:
$$\pa{\lgr^{-1}}^\1(r)=\fr{1}{\lgr^\1(\lgr^{-1}(r)},$$
che quindi \`e sempre strettamente positivo per la propriet\`a di $\lgr$. Per la propriet\`a transitiva il diffeomorfismo che lega $\sggr_1$ s $\sggr_3$ sar\`a naturalmente $\lgr_{13}=\lgr_{23}\circ\lgr_{12}$, con $\lgr_{ij}$ il diffeomorfismo che lega $\sggr_i$ a $\sggr_j$. Questo sar\`a un diffeomorfismo e manterr\`a l\6orientamento se entrambi i fattori lo mantengono, per la regola della catena.
\begin{esecasa}
Dimostrare che se due curve rettificabili sono equivalenti allora hanno lunghezze eguali.
\end{esecasa}
Due curve equivalenti sono collegate da una relazione $\sggr_2=\sggr_1\circ\lgr$, con $\lgr$ un diffeomorfismo. Quindi ad ogni partizione $P^1$ di $\sggr_1$ \`e associata in modo biiettivo dall\6omeomorfismo una partizione $P^2$ di $\sggr_2$, che restituiranno la stessa lunghezza una volta passate per le rispettive curve, dato che restituiscono gli stessi punti di $\R^n$. Quindi $\s{P}^1=\br{P^1}=\s{P}^2=\br{P^2}$, e necessariamente il sup dei due insiemi \`e lo stesso, da cui la lunghezza identica.
\begin{esecasa}
Ripassiamo un po\6 di integrazioni cornute riempiendo i puntini in cima a pagina 413.
\end{esecasa}
$$\xxouint{0\,\,\,}{\,\,2\epg}\rad{1+t^2}\dd t\overset{t=\sinh s}{=}\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\sinh^{-1}(2\epg)}\rad{1+\sinh^2s}\cosh s\dd s=\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\sinh^{-1}(2\epg)}\cosh^2s\dd s=$$
$$=\sinh s\cosh s\eval{0}{\sinh^{-1}(2\epg)}-\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\sinh^{-1}(2\epg)}\sinh^2s\dd s=t\rad{t^2+1}\eval{0}{2\epg}-$$
$$+\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\sinh^{-1}(2\epg)}\pa{\cosh^2s-1}\dd s=2\spg\rad{4\spg^2+1}-1+\sinh^{-1}(2\spg)-\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\sinh^{-1}(2\epg)}\cosh^2s\dd s.$$
Quindi l\6integrale di partenza \`e la met\`a dei termini espliciti di qua, cio\`e:
$$\fr{1}{2}\pa{2\spg\rad{4\spg^2+1}-1+\sinh^{-1}(2\spg)}.$$
Stando a Wolfram, quest\6ultimo numero \`e $\log\pa{2\spg+\rad{4\spg^2+1}}$.

\sect{Ora contraiamo}
\begin{esecasa}
In $X=\br{f\in C^1([0,1]):f(0)=0}$ si definisca:
$$\norm{\per}:X\to\R,\quad\norm{f}=\max_{x\in[0,1]}\abs{f^\1(x)}.$$
Sia $T:X\to C^1([0,1])$ definita come:
$$\pa{T(f)}(x)=\fr13\pa{f(x)+\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\,\,x}f(t)dt}.$$
Si dimostri che:
\bde
\item[(i)] $\norm{\per}$ \`e una norma su $X$ e $\pa{X,\norm{\per}}$ \`e uno spazio di Banach.
\item[(ii)] $T(X)\sbse X$.
\item[(iii)] $T$ \`e una contrazione in $\pa{X,\norm{\per}}$.
\ede
Si determinino infine esplicitamente i punti fissi di $T$.
\end{esecasa}
Osserviamo che quella norma \`e la norma uniforme della derivata. Quindi sappiamo che \`e nulla se e solo se la derivata \`e costantemente nulla, e altrimenti \`e sempre positiva. D\6altronde aver la derivata costantemente nulla significa essere costanti, e $X$ contiene una sola costante: la funzione nulla. Quindi le prime due propriet\`a sono dimostrate. La terza discende dalla linearit\`a della derivata e dalla propriet\`a analoga della norma uniforme. La quarta si prova cos\`i:
$$\abs{(f+g)^\1(x)}=\abs{f^\1(x)+g^\1(x)}\leq\abs{f^\1(x)}+\abs{g^\1(x)}\leq\dmax\abs{f^\1(x)}+\dmax\abs{g^\1(x)},$$
tutto ci\`o per ogni $x\in[0,1]$ e quindi anche per il max del lato destro, quindi abbiamo ottenuto la disuguaglianza cercata. Quindi questa cosa \`e una norma. Se una successione $f_n$ \`e di Cauchy in questo spazio, la successione $f_n^\1$ delle derivate \`e di Cauchy nello stesso spazio con la norma uniforme. Tale spazio \`e di Banach, come provato a lezione, quindi la successione converge a un limite che chiamiamo $f_\8^\1$. Cerchiamo di dimostrare allora che $\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\,\,x}f_\8^\1(t)\dd t=f_\8(x)=\dlim_{n\to+\8}f_n$. Chiaramente la distanza uniforme tra $f_\8^\1$ e $f_n^\1$ tende a 0, per costruzione di $f_\8^\1$, ma tale distanza \`e proprio la distanza nel nostro spazio normato tra $f_\8$ e $f_n$, quindi $f_\8$ \`e il limite di $f_n$, che pertanto converge. Dunque il nostro spazio \`e completo, ovvero di Banach. Prendiamo una funzione $f\in X$. $T(f)$ \`e una funzione da $[0,1]$ a $[0,1]$. \`E somma di due termini, uno $C^1$ (poiché $f\in X$), e l\6altro pure, dato che \`e l\6integrale di una funzione $C^1$ che pertanto risulta $C^0$, e quindi la derivata di quell\6integrale \`e $C^0$ e dunque l\6integrale \`e $C^1$. Inoltre si vede facilmente che $(T(f))(0)=f(0)+\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\,0}f(t)dt=0+0=0$. Quindi $T(f)\in X$, ossia $T(X)\sbse X$. Resta da dimostrare che $T$ \`e una contrazione, ossia che esiste $L<1$ per cui, per ogni $f,g\in X$,
$$\norm{T(f)-T(g)}\leq L\norm{f-g}.$$
Una volta dimostrata questa cosa, per il Teorema di Banach-Cacioppoli (ovvero il Teorema delle Contrazioni) $T$ ha un solo punto fisso, che chiaramente \`e lo $0$. Innanzitutto noto che:
$$\norm{T(f)-T(g)}=\fr{1}{3}\norm{f-g+\dint f-\dint g}=\fr13\dmax_{x\in[0,1]}\abs{f^\1(x)-g^\1(x)+f(x)-g(x)}.$$
Quindi io dovrei cercare una $L\in(0,1)$ per cui:
$$\fr{1}{3}\dmax_{x\in[0,1]}\abs{f^\1(x)-g^\1(x)+f(x)-g(x)}\leq L\dmax_{x\in[0,1]}\abs{f^\1(x)-g^\1(x)}.$$
Grazie alla subadditivit\`a del modulo, se dimostro che esiste $C<\fr23$ per cui per ogni $x$ si ha:
$$\fr{1}{3}\abs{f(x)-g(x)}\leq C\dmax_{x\in[0,1]}\abs{f^\1(x)-g^\1(x)},$$
allora sono a posto. Mi trovo davanti, posto $h=f-g$, a una funzione $h$ che \`e $C^1$, e di cui devo dimostrare che:
$$\fr13\abs{h(x)}\leq C\dmax_{x\in[0,1]}\abs{h^\1(x)}\implies\abs{h(x)}\leq3C\dmax_{x\in[0,1]}\abs{h^\1(x)},$$
per ogni $x$ a sinistra e per qualche $C\in\pa{0,\fr23}$. La funzione \`e continua su un compatto come $[0,1]$, quindi anche uniformemente continua. Questo significa che:
$$\VA\eg>0\,\,\3\dg>0:\abs{x-y}\leq\dg\implies\abs{h(x)-h(y)}\leq\seg.$$
Ma forse questo non serve. Noi possiamo scrivere:
$$h(x)=\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\,\,x}h^\1(t)dt\leq\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\,\,x}\dmax_{x\in[0,1]}h^\1(x)dt=x\dmax_{x\in[0,1]}f(x)\leq\dmax_{x\in[0,1]}f(x).$$
Per\`o aggiungendo il modulo si creano problemi di disuguaglianza. Allora partiamo con il modulo:
$$\abs{h(x)}=\abs{\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\,\,x}h^\1(t)dt}\leq\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\,\,x}\abs{h^\1(t)}dt\leq\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\,\,x}\dmax_{x\in[0,1]}\abs{h^\1(x)}dt=x\dmax_{x\in[0,1]}\abs{h^\1(x)}\leq\dmax_{x\in[0,1]}\abs{h^\1(x)}.$$
Tornando quindi di sopra basta porre $3C=1\implies C=\fr13$, e va tutto bene. Quindi abbiamo finito.
\begin{esecasa}
Data l\6applicazione $T:\R\to\R$ definita come $T(x)=\cos x$, si dimostri che esiste $z\in\R$ tale che, per ogni $x\in\R$,
$$\3\!\!\dlim_{n\to+\8}T^n(x)=z.$$
\end{esecasa}
Il coseno \`e una funzione $C^1$, quindi anche lipschitziana. \`E poi anche periodica, quindi posso restringere il dominio da $\R$ a $[0,2\spg]$. Dalla lipschitzianit\`a deduco che:
$$\3L:x,y\in\R\implies\abs{\cos x-\cos y}\leq L\abs{x-y}.$$
\`E quindi facile vedere che, detto $\pa{\cos}^n=\cos\circ\cos\circ\dots\circ\cos$ $n$ volte,
$$\abs{\pa{\cos}^nx-\pa{\cos}^ny}\leq L^n\abs{x-y}.$$
Pertanto il modulo a sinistra tende sempre a $0$. Lavoriamo su questa cosa:
$$\abs{\pa{\cos}^nx-\pa{\cos}^ny}=o(1)\implies\pa{\cos}^nx-\pa{\cos}^ny=\pm o(1)=o(1)\implies$$
$$\implies\pa{\cos}^nx=\pa{\cos}^ny+o(1)\implies\pa{\cos}^nx\~\pa{\cos}^ny,$$
quindi hanno lo stesso limite. Questo vale $\VA x,y\in\R$, quindi la tesi \`e provata.
\begin{esecasa}
Sia $h\in C^0([0,1])$. Dimostrare che l\6equazione integrale
$$f(x)=h(x)+\fr12\sin x\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\,\,x}f(t)dt$$
ha un\6unica soluzione $f$ in $C^0([0,1])$.
\end{esecasa}
Visto che siamo nel pdf sul Teorema delle Contrazioni, qualcosa mi dice che qua bisogna trasformare il lato destro in una funzione da $C^0([0,1])$ in sé stesso e vedere che \`e una contrazione rispetto ad un\6opportuna norma. Chiaramente facendo le differenze possiamo frecarcene altamente del termine $h$ che viene riassorbito. Quindi la tesi, presa una norma $\norm{\per}$, \`e che:
$$\norm{\fr{1}{2}\sin x\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\,\,x}\pa{f(t)-g(t)}dt}\leq L\norm{f-g},$$
per ogni $f,g\in C^0([0,1])$, e per qualche $L<1$. \`E comunque chiaro che:
$$\abs{\sin x\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\,\,x}\pa{f(t)-g(t)}dt}\leq\abs{f(x)-g(x)},$$
per ogni $x\in[0,1]$. Passando al massimo prima a destra e poi a sinistra si ottiene:
$$\dmax_{x\in[0,1]}\abs{\sin x\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\,\,x}\pa{f(t)-g(t)}dt}\leq\dmax_{x\in[0,1]}\abs{f(x)-g(x)},$$
cio\`e:
$$\norm{\sin x\xxouint{0\,\,\,}{\,\,\,\,x}\pa{f(t)-g(t)}dt}_\8\leq\norm{f-g}_\8,$$
dove $\norm{\per}_\8$ \`e la norma uniforme. Quindi sopra basta porre $L=\fr12$ e si ha la tesi. Inoltre ci va di lusso perché sappiamo gi\`a che con $\norm{\per}_\8$ lo spazio $C^0([0,1])$ \`e completo, quindi applichiamo direttamente il Teorema di Banach-Cacioppoli e deduciamo che questa cosa ha un solo punto fisso, che \`e la soluzione dell\6integrale di partenza.
\begin{esecasa}
Sullo spazio vettoriale $\f{M}_{n\x n}(\R)$ delle matrici quadrate reali $n\x n$ si definisca
$$\norm{A}_{\f{M}}=\dsup_{\ubar{x}\in\R^n\ssm\br{0}}\fr{\norm{A\ubar{x}}}{\norm{\ubar{x}}},$$
dove $\norm{\per}$ denota la norma euclidea di $\R^n$.
\bde
\item[(i)] Si verifichi che $\norm{\per}_{\f{M}}$ \`e una norma su $\f{M}_{n\x n}(\R)$ e che $\pa{\f{M}_{n\x n}(\R),\norm{\per}_{\f{M}}}$ \`e uno spazio di Banach.
\item[(ii)] Siano $A,B\in\f{M}_{n\x x}(\R)$ tali che $A$ \`e invertibile e $\norm{A^{-1}}_{\f{M}}\norm{B}_{\f{M}}<1$. Si dimostri che, per ogni $\ubar{h}\in\R^n$, la mappa $T_{\ubar{h}}:\R^n\to\R^n,\,\,\ubar{x}\xmapsto[\,\,T_{\ubar{h}}\,\,]{}A^{-1}B\ubar{x}+\ubar{h}$ \`e una contrazione di $\R^n$.
\item[(iii)] Si deduca che, se $A,B\in\f{M}_{n\x n}(\R)$ sono tali che $A$ \`e invertibile e
$$\norm{A^{-1}}_{\f{M}}\norm{B}_{\f{M}}<1,$$
allora $A-B$ \`e invertibile.
\ede
\end{esecasa}
Innanzitutto notiamo che:
$$\norm{A}_{\f{M}}=\dsup_{\ubar{x}\in\R^n\ssm\br{0}}\fr{\norm{A\ubar{x}}}{\norm{x}}=\dsup_{\ubar{x}\in\R^n\ssm\br{0}}\norm{A\fr{\ubar{x}}{\norm{\ubar{x}}}}=\dsup_{\substack{\ubar{x}\in\R^n\ssm\br{0}\\\norm{x}=1}}\norm{A\ubar{x}},$$
e quindi quel sup \`e un max poiché \`e il sup di una funzione continua (la norma \`e continua e $\ubar{x}\mapsto A\ubar{x}$ \`e continua perché lineare) su un insieme compatto come l\6ipersfera di raggio 1 in $S^{n-1}\sbse\R^n$. Che quel max sia sempre non negativo \`e garantito dalla norma euclidea. Se quel max \`e $0$ vuol dire che su tutta la sfera la matrice $A$ restituisce il vettore nullo, e se non fosse la matrice nulla almeno un vettore sarebbe mandato in qualcosa di non nullo, e quindi un vettore della sfera non ci andrebbe, dato che ogni vettore, diviso per la propria norma, finisce nella sfera. Quindi le prime due propriet\`a della norma sono dimostrate. La terza si prova cos\`i:
$$\norm{cA}_{\f{M}}=\dmax_{S^{n-1}}\norm{cA\ubar{x}}=\abs{c}\dmax_{S^{n-1}}\norm{A\ubar{x}}=\abs{c}\norm{A}_{\f{M}}.$$
La quarta invece:
$$\norm{\pa{A+B}}_{\f{M}}=\dmax_{S^{n-1}}\norm{\pa{A+B}\ubar{x}}\leq\dmax_{S^{n-1}}\pa{\norm{A\ubar{x}}+\norm{B\ubar{x}}}\leq\dmax_{S^{n-1}}\norm{A\ubar{x}}+\dmax_{S^{n-1}}\norm{B\ubar{x}}=$$
$$=\norm{A}_{\f{M}}+\norm{B}_{\f{M}},$$
dove l\6ultima disuguaglianza sfrutta il fatto che $f(x)+g(x)\leq\dmax f+\dmax g$ per ogni $x$ e quindi anche il max a sinistra soddisfa la disuguaglianza. Quindi siamo effettivamente davanti ad una norma. Ora devo dimostrare che \`e uno spazio di Banach. E qui si parr\`a la mia nobilitate. Consideriamo una successione $A_n$ di Cauchy secondo quella norma. Questo significa che:
$$\norm{A_{n}-A_{n-1}}_{\f{M}}\to0.$$
Quindi:
$$\VA\seg>0\,\,\3\lbar{n}:n>\lbar{n}\implies\norm{A_{n}-A_{n-1}}_{\f{M}}\leq\seg.$$
Guardando la definizione della norma $\norm{\per}_{\f{M}}$, vediamo che se $n>\lbar{n}$, per ogni $\ubar{x}\in\R^n$ si ha:
$$\norm{\pa{A_n-A_{n-1}}\ubar{x}}\leq\seg\norm{\ubar{x}}.$$
Se $A_n-A_{n-1}$ ha autovalori reali, sicuramente sono numeri $\lgr_i$ tali che:
$$\abs{\lgr_i}\leq\seg\quad\VA i.$$
Quindi gli autovalori reali della differenza tendono tutti a $0$. Se dunque la differenza si mantiene sempre diagonalizzabile sui reali, essa tende alla matrice nulla, quindi le differenze delle singole entrate tendono a $0$, sono successioni di Cauchy in $\R$, convergono a dei limiti, e quindi abbiamo la matrice $A_\8$ dei limiti dei coefficienti. Qualcosa ci fa pensare che questa sia il limite di $A_n$. Sicuramente per definizione dei coefficienti di $A_\8$ si avr\`a che per ogni $\seg>0$ esister\`a $N$ per cui
$$n>N\implies\abs{A_{n,ij}-A_{\8,ij}}\leq\seg.$$
Con una condizione del genere \`e possibile che $\norm{\pa{A_n-A_\8}\ubar{x}}$ vada oltre una certa costante? In generale se mi limito alla sfera sicuramente la norma di quella funzione si mantiene limitata. Inoltre si rimpicciolisce sempre di pi\`u,  per l\6omogeneit\`a della norma. Quindi tende a $0$. Ci\`o implica necessariamente che $A_n-A_\8\to0\implies A_n\to A_\8$, quindi se $A_n-A_{n-1}$ si mantiene diagonalizzabile sui reali abbiamo trovato il limite. Quindi il passaggio problematico \`e trovare la matrice dei limiti dei coefficienti. D\6altronde se la differenza tende ad avere norma nulla, vuol dire che sulla sfera, per $n>\lbar{n}(\seg)$, si mantiene sempre tale che, detta $D_n=A_n-A_{n-1}$, si abbia $\norm{D_n\ubar{x}}\leq\seg$. Al limite sar\`a minore di qualsiasi $\seg>0$, e dunque sar\`a costantemente nulla. Pertanto $D_n\to0$, quindi abbiamo la matrice dei limiti. Gli altri passaggi non dipendono da nessuna diagonalizzabilit\`a. Quindi siamo a posto: lo spazio \`e di Banach. Procediamo col secondo punto. Vediamo se riesco a farlo in una riga:
$$\norm{A^{-1}B\ubar{x}+\ubar{h}-A^{-1}B\ubar{y}-\ubar{h}}=\norm{A^{-1}B\pa{\ubar{x}-\ubar{y}}}=\fr{\norm{A^{-1}B\pa{\ubar{x}-\ubar{y}}}}{\norm{\ubar{x}-\ubar{y}}}\norm{\ubar{x}-\ubar{y}}\leq$$
$$\leq\pa{\dsup_{\ubar{t}\in\R^n\ssm\br{0}}\fr{\norm{A^{-1}B\ubar{t}}}{\norm{\ubar{t}}}}\per\norm{\ubar{x}-\ubar{y}}=\norm{A^{-1}B}_{\f{M}}\per\norm{\ubar{x}-\ubar{y}}\leq\norm{A^{-1}}_{\f{M}}\norm{B}_{\f{M}}\per\norm{\ubar{x}-\ubar{y}},$$
e $\norm{A^{-1}}_{\f{M}}\norm{B}_{\f{M}}=L<1$, quindi siamo a posto. Infatti:
$$\norm{AB}_{\f{M}}=\dsup_{\ubar{x}\in\R^n\ssm\br{0}}\fr{\norm{AB\ubar{x}}}{\norm{\ubar{x}}}=\dsup_{\ubar{x}\in\R^n\ssm\br{0}}\fr{\norm{AB\ubar{x}}}{\norm{B\ubar{x}}}\fr{\norm{B\ubar{x}}}{\norm{\ubar{x}}}\leq\dsup_{\ubar{t}\in\R^n\ssm\br{0}}\fr{\norm{A\ubar{t}}}{\norm{\ubar{t}}}\dsup_{\ubar{x}\in\R^n\ssm\br{0}}\fr{\norm{B\ubar{x}}}{\norm{\ubar{x}}}=$$
$$=\norm{A}_{\f{M}}\norm{B}_{\f{M}},$$
dato che se $B\ubar{x}=\ubar{0}$ sicuramente o $B=0$ oppure $\ubar{x}$ non realizza il sup della norma e quindi posso fregarmene. Terzo punto. Se $AB$ \`e invertibile e $A$ \`e invertibile, lo \`e anche $B$. Infatti se $AB$ \`e invertibile esiste $D$ per cui:
$$ABD=I\implies A^{-1}ABD=A^{-1}\implies BDA=I,$$
quindi avr\`o:
$$B^{-1}=(AB)^{-1}A.$$
I passaggi sopra sono leciti perché esiste l\6inversa $A^{-1}$ di $A$. Quindi sappiamo che:
$$A-B\hbox{ invertibile}\sse A^{-1}\pa{A-B}=I_n-A^{-1}B\hbox{ invertibile}.$$
Se quella matrice \`e invertibile, ha determinante non nullo, quindi $A^{-1}B$ non ha autovalore 1, cio\`e non fissa niente. Ma noi dobbiamo ragionare al contrario. $A^{-1}B$ \`e una contrazione: quella di prima per $\ubar{h}=0$. Quindi ha uno e un solo punto fisso, poiché $\R^n$ \`e completo. Naturalmente quel punto fisso \`e lo $0$. Quindi chiaramente $A^{-1}B$ non ha autovalore $0$. Quindi la matrice $I_n-A^{-1}B$ \`e invertibile, altrimenti contraddirei il fatto che $A^{-1}B$ non ha autovalore 1. Quindi l\6esercizio \`e concluso.
\begin{esecasa}
Usando il Teorema delle Contrazioni, si dimostri che la successione:
$$\rad2,\rad{2+\rad2},\rad{2+\rad{2+\rad2}},\rad{2+\rad{2+\rad{2+\rad2}}},\dots$$
\`e convergente e se ne calcoli il limite. \tbold{Suggerimento:} si scriva la successione come successione delle iterate di una mappa e si verifichi che tale mappa \`e una contrazione su un opportuno spazio metrico completo.
\end{esecasa}
Questa successione \`e definita come:
$$\begin{sistema}
a_1=\rad2\\
a_n=\rad{2+a_{n-1}}
\end{sistema}.$$
Da questa scrittura vediamo con evidenza la mappa:
$$f(x)=\rad{2+x},$$
per cui si ha:
$$a_n=f(a_{n-1}).$$
Questa funzione per\`o non \`e Lipschitziana in $\R$, poiché in $-2$ la derivata tende all\6infinito. Per\`o in un intorno di $\rad2$ lo \`e, quindi per esempio lo \`e in $[0,4]$. Tale spazio colla metrica indotta da $\R$ (``euclidea'') \`e completo, e la mappa essendo lipschitziana \`e una contrazione, purché la costante di lipschitz sia minore di 1, ma per quello basta restringere l\6intorno. Tale contrazione ha un unico punto fisso, e le sue iterate tendono a quel punto per ogni $x$. Per calcolare il punto fisso scriviamo:
$$\rad{2+t}=t\implies t^2-t-2=0\implies t=\fr{1\pm\rad{1+8}}{2}=\fr{1\pm3}{2}=\langle^{^{\,\,\,2}}_{_{-1}}.$$
Essendo a termini positivi il limite non potr\`a mai essere negativo, quindi la cosa tende a 2.

\sect{Le EDO}
\begin{esecasa}
Si determini la soluzione dell\6equazione differenziale:
$$y^\1(x)=-\fr{\pa{1+y^2(x)}}{2y(x)}$$
che passa per il punto $(1,1)$, specificando qual \`e il suo intervallo massimale di definizione.
\end{esecasa}
La cosa si riscrive come:
$$-\fr{2y(x)y^\1(x)}{\pa{1+2y^2(x)}}=1.$$
Quindi integriamo:
$$\dint\fr{2y(x)y^\1(x)}{\pa{1+2y^2(x)}}dx=-x+c\implies\dint\fr{2y}{1+2y^2}dy=-x+c\implies\fr12\log\abs{1+2y^2}=$$
$$=-x+c\implies\log\pa{2y^2+1}=-2x+2c\implies2y^2=e^{2c}e^{-2x}-1\implies$$
$$\implies y=\pm\rad{\fr12e^{2c}e^{-2x}-\fr12}.$$
A questo punto noi abbiamo che $y(1)=1$. Sostituiamo:
$$y(1)=\pm\rad{\fr12\fr{e^{2c}}{e^2}-\fr12}=1\implies\fr12\fr{e^{2c}}{e^2}=\fr32\implies e^{2c}=3e^2\implies2c=2+\ln3\implies$$
$$\implies c=1+\fr12\ln3.$$
Quindi la soluzione \`e:
$$y(x)=\pm\rad{\fr{e^{2+\ln3}}2e^{-2x}-\fr12}=\pm\rad{\fr{3}{2}e^{-2x+2}-\fr12}.$$
Ma che segno? Chiaramente $+$, altrimenti $y(1)$ non pu\`o venire 1 per nessun $c$ e per questo $c$ viene $-1$. Siccome la funzione a secondo membro nell\6EDO era $C^0$ tranne in $x=0$, tale deve essere anche $y^\1$, quindi $y$ deve essere $C^1$. Quindi per prima cosa non potr\`o mai prolungarla oltre $0$, dove ``oltre'', partendo dall\61 della condizione iniziale, significa nelle $x$ negative, altrimenti esco dal dominio della funzione a membro destro. Inoltre devo verificare che nell\6intervallo in questione non ci siano punti di non derivabilit\`a, ossia in questo caso zeri del radicando. Quindi troviamo gli zeri:
$$\fr32e^{2-2x}=\fr12\implies e^{2-2x}=\fr13\implies2-2x=\ln\fr13\implies2x=2+\ln3\implies x=1+\fr12\ln3,$$
guarda caso il valore di $c$. Quindi l\6intervallo massimale sar\`a $[0,\ln3]$, verificato che $\ln3>1$ poiché $3>e$. Infatti prima ho detto una cavolata: non \`e affatto detto che in $0$ ci siano problemi alla funzione di cui sopra, dipende da $y$. Quindi l\6intervallo in realt\`a \`e $(-\8,\ln3]$.


\chapter{Esercizi natalizi}
\begin{esecasa}
Si determini la soluzione dell\6equazione differenziale:
$$y^\1(x)=1-\pa{y(x)-x}\pa{y(x)-x-2}$$
che passa per il punto $(0,1)$, specificando qual \`e il suo intervallo massimo di definizione.
\end{esecasa}
Innanzitutto sistemiamo il secondo membro:
$$y^\1=-y^2+2xy-x^2-2x+2y+1.$$
A questo punto vediamo il secondo membro come segue:
$$y^\1=-\pa{y-x}^2+2\pa{y-x}+1.$$
Quindi sostituiamo:
$$u(x)=y(x)-x.$$
Di conseguenza:
$$u^\1=y^\1-1=-u^2+2u+1-1=-u^2+2u,$$
ovvero:
$$\fr{du}{2u-u^2}=dt\implies -x-c=\dint\fr{du}{u^2-2u}.$$
Cerchiamo di scrivere:
$$\fr{1}{u^2-2u}=\fr{a}{u-2}+\fr{b}{u}=\fr{au+bu-2b}{u^2-2u},$$
da cui:
$$\begin{sistema}
a+b=0\\
-2b=1
\end{sistema}
\implies
\begin{sistema}
a=-b\\
b=-\fr12
\end{sistema},$$
quindi:
$$\fr{1}{u^2-2u}=\fr{1}{2\pa{u-2}}-\fr{1}{2u}.$$
Quindi:
$$-x-c=\dint\fr{du}{2\pa{u-2}}-\dint\fr{du}{2u}=\fr{1}{2}\log\abs{u-2}-\fr{1}{2}\log\abs{u}.$$
Moltiplicando ambo i membri per due, applicando la propriet\`a del logaritmo e mettendo ambo i membri ad esponente di $e$ si ottiene:
$$e^{-2x-2c}=\abs{\fr{u-2}{u}}.$$
Togliendo il modulo e risostituendo u:
$$\fr{y-x-2}{y-x}=\pm e^{-2x-2c}.$$
Moltiplichiamo ambo i membri per $y-x$ e raduniamo le $y$ a sinistra e il resto a destra:
$$y\pa{1\mp e^{-2x-2c}}=x+2\mp xe^{-2x-2c}\implies y=\fr{x+2\mp xe^{-2x-2c}}{1\mp e^{-2x-2c}}.$$
Imponiamo la condizione iniziale valutando $y(0)$:
$$y(0)=\fr{0+2\mp 0e^{0-2c}}{1\mp e^{0-2c}}=\fr{2}{1\mp e^{-2c}}.$$
Prima di procedere osserviamo che per $u>2\vel u<0$ il segno sopra era $+$, qua diventa $-$, mentre viceversa per $0<u<2$. In $(0,1)$ si ha $u=y-x=1-0=1$, quindi il segno \`e $+$ sotto. Dunque:
$$\fr{2}{1+e^{-2c}}=1.$$
Questo significa che:
$$e^{-2c}+1=2\implies e^{-2c}=1\implies c=0.$$
Quindi la soluzione cercata, ricordando il segno $+$, \`e:
$$y(x)=\fr{x+2+xe^{-2x}}{1+e^{-2x}}.$$
E dopo questo esercizio ho capito che per andare avanti aggi'a studi\`a, quindi bando agli esercizi e passiamo a studiare. Ora aggiorniamo il Dropbox. Il capitolo \`e chiuso.

\renewcommand\listtheoremname{Definizioni}
\listoftheorems[ignoreall,show={defi,deficonn}]
\renewcommand\listtheoremname{Teoremi}
\listoftheorems[ignoreall,show={teor}]
\renewcommand\listtheoremname{Osservazioni, Corollari, Proposizioni, Fatti e Lemmi}
\listoftheorems[ignoreall,show={coro,propo,fatto,lemma,pt,riass,}]
\renewcommand\listtheoremname{Esempi}
\listoftheorems[ignoreall,show={es}]
\renewcommand\listtheoremname{Esercizi assegnati a lezione}
\listoftheorems[ignoreall,show={ese}]
\tableofcontents

\end{document}

run1.log

This is XeTeX, Version 3.1415926-2.4-0.9998 (TeX Live 2012)
 restricted \write18 enabled.
entering extended mode
(./app_An_2.tex
LaTeX2e <2011/06/27>
Babel <v3.8m> and hyphenation patterns for english, dumylang, nohyphenation, ge
rman-x-2012-05-30, ngerman-x-2012-05-30, afrikaans, ancientgreek, ibycus, arabi
c, armenian, basque, bulgarian, catalan, pinyin, coptic, croatian, czech, danis
h, dutch, ukenglish, usenglishmax, esperanto, estonian, ethiopic, farsi, finnis
h, french, friulan, galician, german, ngerman, swissgerman, monogreek, greek, h
ungarian, icelandic, assamese, bengali, gujarati, hindi, kannada, malayalam, ma
rathi, oriya, panjabi, tamil, telugu, indonesian, interlingua, irish, italian, 
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lovak, slovenian, spanish, swedish, turkish, turkmen, ukrainian, uppersorbian, 
welsh, loaded.
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Document Class: report 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/base/size10.clo))
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For additional information on amsmath, use the `?' option.
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(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3keys.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3fp.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3box.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3coffins.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3color.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3luatex.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xparse/xparse.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/fontspec/fontspec-patches.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/base/fixltx2e.sty)
*************************************************
* LaTeX warning: "xparse/redefine-command"
* 
* Redefining document command \oldstylenums with arg. spec. 'm' on line 107.
*************************************************
) (/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/fontspec/fontspec-xetex.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/euenc/eu1enc.def)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/euenc/eu1lmr.fd))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/xelatex/xunicode/xunicode.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/tipa/t3enc.def
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/euenc/eu1lmss.fd))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/fontspec/fontspec.cfg)))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/xltxtra/xltxtra.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/ifxetex/ifxetex.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/realscripts/realscripts.sty
*************************************************
* LaTeX warning: "xparse/redefine-command"
* 
* Redefining document command \textsubscript with arg. spec. 's' on line 25.
*************************************************
*************************************************
* LaTeX warning: "xparse/redefine-command"
* 
* Redefining document command \textsuperscript with arg. spec. 's' on line 28.
*************************************************
) (/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/metalogo/metalogo.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/psnfss/mathptmx.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/hobsub-hyperref.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/hobsub-generic.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/hyperref/pd1enc.def)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/xelatex/xetexconfig/hyperref.cfg)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty))

Package hyperref Message: Driver (autodetected): hxetex.

(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hxetex.def
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/hyperref/puenc.def)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/stringenc.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/rerunfilecheck.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/base/textcomp.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/base/ts1enc.def)) (./app_An_2.aux
) (/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/babel/lgrcmr.fd)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/tipa/t3cmr.fd)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/base/ts1cmr.fd)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/hyperref/nameref.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/gettitlestring.sty))
(./app_An_2.out) (./app_An_2.out)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/psnfss/ot1ztmcm.fd)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/psnfss/omlztmcm.fd)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/psnfss/omsztmcm.fd)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/psnfss/omxztmcm.fd)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/psnfss/ot1ptm.fd)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/se-ascii-print.def)
[1] [0]
Capitolo 1.

Overfull \hbox (3.07216pt too wide) in paragraph at lines 480--481
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 poi Barutello-Conti-Ferrario-Terracini (Ferrario
 è QUEL Ferrario) Analisi Ma-
[1]
Overfull \hbox (31.02466pt too wide) in paragraph at lines 525--526
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 il più piccolo chiuso che contiene $\OML/ztmcm/m
/it/10 A$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 , e si indica con $[] \OT1/ztmcm/m/n/10 
= [] \OML/ztmcm/m/it/10 C$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 , ove $\OMS/ztmcm/m/n/1
0 C \OT1/ztmcm/m/n/10 = []$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 ;

Overfull \hbox (1.42163pt too wide) in paragraph at lines 528--529
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 La \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 frontiera di $\
OML/ztmcm/m/it/10 A \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^R \OML/ztmcm/m/it/10 X$ \EU1/TimesNewRo
man(1)/m/it/10 è $\OML/ztmcm/m/it/10 @A \OT1/ztmcm/m/n/10 = [] \OMS/ztmcm/m/n/
10 \ []$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 . 
[2]
Overfull \hbox (3.0502pt too wide) in paragraph at lines 568--569
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Disegnare le palle $\OML/ztmcm/m/it/10 B\OT1/zt
mcm/m/n/10 ([]\OML/ztmcm/m/it/10 ; \OT1/ztmcm/m/n/10 1)$ \EU1/TimesNewRoman(1)/
m/it/10 ri-

Package thmtools Warning: Unused key `d_e)$' on input line 578.

[3]

Package thmtools Warning: Unused key `X)' on input line 581.


Package thmtools Warning: Unused key `d_{infinito})$' on input line 581.


Overfull \hbox (4.0918pt too wide) in paragraph at lines 582--583
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Sia $\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 X; d
[]\OT1/ztmcm/m/n/10 )$
<use  "PallaNormaUniforme.jpg" >
Overfull \hbox (0.7008pt too wide) in paragraph at lines 590--591
[]

Overfull \hbox (11.58691pt too wide) in paragraph at lines 592--593
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 a[] []a[]
[4] [5] [6]
Capitolo 2.

Overfull \hbox (11.33545pt too wide) in paragraph at lines 643--644
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 È cruciale che

Overfull \hbox (0.81293pt too wide) in paragraph at lines 662--663
[]$\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 X; d[]\OT1/ztmcm/m/n/10 )\OML/ztmcm/m/
it/10 ; \OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 Y; d[]\OT1/ztmcm/m/n/10 )$ \EU1/T
imesNewRoman(1)/m/it/10 spa-
[7] [8]
Overfull \hbox (2.02637pt too wide) in paragraph at lines 734--735
[]
[9]
Overfull \hbox (0.17279pt too wide) in paragraph at lines 742--743
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Le funzioni $\OML/ztmcm/m/it/10 ^^Y[] \OT1/ztmc
m/m/n/10 : \U/msb/m/n/10 R[] \OMS/ztmcm/m/n/10 ! \U/msb/m/n/10 R$ \EU1/TimesNew
Roman(1)/m/it/10 de-
[10]

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Overfull \hbox (1.37788pt too wide) in paragraph at lines 792--793
[]$\OML/ztmcm/m/it/10 f$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 è continua
[11] <use  "GraficoAggiuntivo3.10.jpg" > [12]
Capitolo 3.

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Overfull \hbox (3.87569pt too wide) in paragraph at lines 825--826
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Dati []a[]
[13]
Overfull \hbox (5.51538pt too wide) in paragraph at lines 856--857
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se $\OML/ztmcm/m/it/10 f[]$ \EU1/TimesNewRoman(
1)/m/it/10 conver-

Overfull \hbox (14088.24751pt too wide) in paragraph at lines 858--860
\OML/ztmcm/m/it/10 t$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 , e quindi anche per il $\OML
/ztmcm/m/it/10 t$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 della convergenza puntuale. []a[
]

Overfull \hbox (13890.2549pt too wide) in paragraph at lines 858--860
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[] []a[]

Overfull \hbox (2.49187pt too wide) in paragraph at lines 861--862
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Consideriamo  []a[]
[14]
Overfull \hbox (13995.25569pt too wide) in paragraph at lines 890--892
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Il ragionamento è identico[][][]. []a[]

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Overfull \hbox (2.43004pt too wide) in paragraph at lines 902--903
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Si dice \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Spazio Met
rico Completo \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 uno

Overfull \hbox (4.79169pt too wide) in paragraph at lines 911--912
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Un sottospazio chiuso di uno

Overfull \hbox (14.07715pt too wide) in paragraph at lines 917--918
[]

Overfull \hbox (14009.39554pt too wide) in paragraph at lines 919--921
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Dimostrazione dopo una pausa. []a[]
[15]
Overfull \hbox (14067.50195pt too wide) in paragraph at lines 948--951
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 ossia $\OML/ztmcm/m/it/10 f$ \EU1/TimesNewRoman(1)
/m/n/10 è limitata perché $\OMS/ztmcm/m/n/10 8\OML/ztmcm/m/it/10 t$ \EU1/Time
sNewRoman(1)/m/n/10 sta in $\OML/ztmcm/m/it/10 B\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m
/it/10 x[]; [] \OT1/ztmcm/m/n/10 + \OML/ztmcm/m/it/10 R\OT1/ztmcm/m/n/10 )$[][]
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 . []a[]
[16]
Overfull \hbox (0.27507pt too wide) in paragraph at lines 958--959
[] \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se 

Overfull \hbox (7.26709pt too wide) in paragraph at lines 973--974
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se $\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 X; d[
]\OT1/ztmcm/m/n/10 )\OML/ztmcm/m/it/10 ; \OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 
Y; d[]\OT1/ztmcm/m/n/10 )$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 sono spazi me-
[17] <use  "Grafico1.jpg" > [18] <use  "Grafico2.jpg" >
Overfull \hbox (21.34341pt too wide) in paragraph at lines 1007--1008
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Verificare che $\OML/ztmcm/m/it/10 C[]\OT1/ztmc
m/m/n/10 ([\OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@\OT1/ztmcm/m/n/10 1\OML/ztmcm/m/it/10 ; \OT1/zt
mcm/m/n/10 1])$
[19]
Capitolo 4.

Overfull \hbox (13.8305pt too wide) in paragraph at lines 1041--1042
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Che sia positiva è ovvio: l’integrale di una 
funzione positiva è positivo, e l’integranda
[20]
Overfull \hbox (6.93695pt too wide) in paragraph at lines 1051--1052
\OML/ztmcm/m/it/10 X \OMS/ztmcm/m/n/10 ! \U/msb/m/n/10 R$\EU1/TimesNewRoman(1)/
m/it/10 , è continua se $\OML/ztmcm/m/it/10 X[]$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10
 è munito della metrica prodotto $[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ((\OML/ztmcm/m/it/10 x[]
; x[]\OT1/ztmcm/m/n/10 )\OML/ztmcm/m/it/10 ; \OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it
/10 x[]; x[]\OT1/ztmcm/m/n/10 )) = \OML/ztmcm/m/it/10 d\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/
ztmcm/m/it/10 x[]; x[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ) +

Overfull \hbox (2.69273pt too wide) detected at line 1060
\OML/ztmcm/m/it/10 d\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 x[]; x[]\OT1/ztmcm/m/
n/10 ) + \OML/ztmcm/m/it/10 d\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 x[]; x[]\OT1
/ztmcm/m/n/10 ) \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^U \OML/ztmcm/m/it/10 d\OT1/ztmcm/m/n/10 (\O
ML/ztmcm/m/it/10 x[]; x[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ) \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ \OML/ztmcm/m
/it/10 d\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 x[]; x[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ) + \OM
L/ztmcm/m/it/10 d\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 x[]; x[]\OT1/ztmcm/m/n/1
0 ) \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ \OML/ztmcm/m/it/10 d\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/i
t/10 x[]; x[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ) = \OML/ztmcm/m/it/10 d\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/
ztmcm/m/it/10 x[]; x[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ) \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ \OML/ztmcm/m/it
/10 d\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 x[]; x[]\OT1/ztmcm/m/n/10 );
[21] [22]
Overfull \hbox (10.98886pt too wide) in paragraph at lines 1122--1124
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Verificare che $\OML/ztmcm/m/it/10 C[]\OT1/ztmc
m/m/n/10 ([\OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@\OT1/ztmcm/m/n/10 1\OML/ztmcm/m/it/10 ; \OT1/zt
mcm/m/n/10 1])\OML/ztmcm/m/it/10 ; d[]$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 ove $\OML
/ztmcm/m/it/10 d[]\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 f; g\OT1/ztmcm/m/n/10 )
 = [][] \OMS/ztmcm/m/n/10 j\OML/ztmcm/m/it/10 f\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/
it/10 x\OT1/ztmcm/m/n/10 )\OML/ztmcm/m/it/10 g\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/i
t/10 x\OT1/ztmcm/m/n/10 )\OMS/ztmcm/m/n/10 j\OML/ztmcm/m/it/10 dx$
[23] <use  "GraficoEffeEnne.jpg" > [24]
Capitolo 5.
[25] [26]
Overfull \hbox (5.33203pt too wide) in paragraph at lines 1214--1215
[]
[27]
Overfull \hbox (2.23633pt too wide) in paragraph at lines 1226--1227
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Una fun-
<use  "GraficiTanti.png" > [28] [29] [30] [31] [32] [33]
Capitolo 6.

Overfull \hbox (19.36523pt too wide) in paragraph at lines 1362--1363
[]

Overfull \hbox (17.47559pt too wide) in paragraph at lines 1376--1377
[]

Overfull \hbox (2.19238pt too wide) in paragraph at lines 1379--1380
[]
[34]

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(hyperref)                removing `math shift' on input line 1386.


Overfull \hbox (3.47523pt too wide) in paragraph at lines 1405--1406
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se $\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 X; []
\OT1/ztmcm/m/n/10 )$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 è uno spazio normato e $\OT
1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 X; d[]\OT1/ztmcm/m/n/10 )$
[35]
Overfull \hbox (0.18137pt too wide) in paragraph at lines 1422--1423
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se invece introduco 

Overfull \hbox (1.49252pt too wide) in paragraph at lines 1435--1436
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Siano $\OML/ztmcm/m/it/10 f[] \OMS/ztmcm/m/n/10
 2 \OML/ztmcm/m/it/10 C[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ([\OML/ztmcm/m/it/10 a; b\OT1/ztmcm/
m/n/10 ])$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 una suc-
[36]
Overfull \hbox (4.43848pt too wide) in paragraph at lines 1472--1473
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Su uno
[37] [38]
Overfull \hbox (0.33118pt too wide) in paragraph at lines 1501--1502
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Siano $\OML/ztmcm/m/it/10 X$ \EU1/TimesNewRoman
(1)/m/it/10 uno spa-

Overfull \hbox (2.07358pt too wide) in paragraph at lines 1516--1517
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Dimostrare la proposizio-
[39] [40]
Capitolo 7.

Overfull \hbox (5.64885pt too wide) in paragraph at lines 1545--1546
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Sia $\OML/ztmcm/m/it/10 f[]$ \EU1/TimesNewRoman
(1)/m/it/10 una suc-

Overfull \hbox (5.8008pt too wide) in paragraph at lines 1548--1549
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Si dice che con-

Overfull \hbox (9.13576pt too wide) in paragraph at lines 1551--1552
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Si diche che con-

Overfull \hbox (29.7151pt too wide) in paragraph at lines 1562--1563
[]  \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Sia $[]$ una successione in $\OMS/ztmcm/m/n/1
0 L\OT1/ztmcm/m/n/10 ((\OML/ztmcm/m/it/10 a; b\OT1/ztmcm/m/n/10 )\OML/ztmcm/m/i
t/10 ; \U/msb/m/n/10 R\OT1/ztmcm/m/n/10 )$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 .
[41]
Overfull \hbox (13.2666pt too wide) in paragraph at lines 1569--1570
[]

Overfull \hbox (14053.27283pt too wide) in paragraph at lines 1572--1583
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 rie numeriche: $[] \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^T \OML/ztmc
m/m/it/10 a[]$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 e $\OML/ztmcm/m/it/10 a[]$ \EU1/Tim
esNewRoman(1)/m/n/10 converge[][][]. []a[]
[42]

Package thmtools Warning: Unused key `Assoluta ed Uniforme di una serie di funz
ioni' on input line 1606.


Overfull \hbox (9.56871pt too wide) in paragraph at lines 1607--1608
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Determinare gli insiemi di convergenza pun-
[43]
Capitolo 8.
[44] [45] [46] [47]
Capitolo 9.

Overfull \hbox (3.612pt too wide) in paragraph at lines 1724--1725
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Disuguaglianza triangolare: segue dalla subaddit
ività della norma; infatti $\OML/ztmcm/m/it/10 d\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/
m/it/10 x; z\OT1/ztmcm/m/n/10 ) =
[48]
Capitolo 10.
[49] [50] [51]

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[52]
Overfull \hbox (5.22136pt too wide) in paragraph at lines 1852--1853
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Imitare la

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[53]

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[54] [55]
Capitolo 11.
[56] [57] [58]
Capitolo 12.

Overfull \hbox (6.42036pt too wide) detected at line 2000
[] [] \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^T [] \OML/ztmcm/m/it/10 g[]\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/zt
mcm/m/it/10 x\OT1/ztmcm/m/n/10 ) \OMS/ztmcm/m/n/10 ^ \OML/ztmcm/m/it/10 g[]\OT1
/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 x\OT1/ztmcm/m/n/10 ) \OMS/ztmcm/m/n/10 ! \OT1
/ztmcm/m/n/10 0    \OML/ztmcm/m/it/10 uniformemente  \OT1/ztmcm/m/n/10 =[]\OMS/
ztmcm/m/n/10 )  \OML/ztmcm/m/it/10 f[] \OMS/ztmcm/m/n/10 ! \OT1/ztmcm/m/n/10 0 
   \OML/ztmcm/m/it/10 unformemente:

Overfull \hbox (11.91194pt too wide) detected at line 2003
\OML/ztmcm/m/it/10 g[]\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 x\OT1/ztmcm/m/n/10 
) = \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@[] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 = \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@[] [] \
OML/ztmcm/m/it/10 :
[59] [60]
Overfull \hbox (32577.95602pt too wide) in paragraph at lines 2048--2050
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Il tutto si riassume nel seguente grafico:   
<use  "GraficoLogModuloUnoSuXAllaN.jpg" > [61] [62] [63]
<use  "GraficoOsta.jpg" >
Overfull \hbox (11.43306pt too wide) in paragraph at lines 2086--2088
[][]
[64] [65] [66]
Capitolo 13.

Overfull \hbox (14014.9115pt too wide) in paragraph at lines 2125--2127
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 lor centrata nel centro della serie. []a[]
<use  "FunzioneStrana.png" > [67]
Overfull \hbox (22.82028pt too wide) in paragraph at lines 2138--2139
[]
[68]
Overfull \hbox (5.1815pt too wide) in paragraph at lines 2156--2157
[]$\OML/ztmcm/m/it/10 f\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 x\OT1/ztmcm/m/n/10
 ) = \OML/ztmcm/m/it/10 e[]$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 ,
[69]
Overfull \hbox (2.09459pt too wide) in paragraph at lines 2198--2199
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Dirò che $\OML/ztmcm/m/it/10 f$ \EU1/TimesNewR
oman(1)/m/it/10 è con-

Overfull \hbox (0.61064pt too wide) in paragraph at lines 2201--2202
[]$\OML/ztmcm/m/it/10 f\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 x\OT1/ztmcm/m/n/10
 ) = \OML/ztmcm/m/it/10 x \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ \OT1/ztmcm/m/n/10 [\OML/ztmcm/m
/it/10 x\OT1/ztmcm/m/n/10 ]$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 è chiaramente non c
on-
<use  "x-[x].jpg" > [70]

LaTeX Warning: File `rad(abs(x)).jpg' not found on input line 2207.

<use  "rad(abs(x)).jpg" >
Overfull \hbox (11370.1878pt too wide) in paragraph at lines 2207--2209
[][]  []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]

Overfull \hbox (1.5788pt too wide) in paragraph at lines 2210--2211
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Si dice \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 somma trig
onometrica $\OML/ztmcm/m/it/10 n$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 -sima
[71] [72]
Overfull \hbox (2.21844pt too wide) in paragraph at lines 2239--2240
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Questi coefficienti si dicono \EU1/TimesNewRoma
n(1)/m/n/10 coefficien-

Overfull \hbox (10.54524pt too wide) in paragraph at lines 2245--2246
[]
[73] [74]

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[75]

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[76] [77]
Capitolo 14.

Overfull \hbox (2.64648pt too wide) in paragraph at lines 2350--2351
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Prendia-
[78] [79] [80]
Overfull \hbox (5.40527pt too wide) in paragraph at lines 2399--2400
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Prendia-
[81]
Overfull \hbox (5.98633pt too wide) in paragraph at lines 2422--2423
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 L’ipo-

Overfull \hbox (2.61719pt too wide) in paragraph at lines 2425--2426
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Provare che

Overfull \hbox (3.72559pt too wide) in paragraph at lines 2431--2432
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Prendia-
<use  "BizzarriaPeriodica.png" >
Overfull \hbox (10.65944pt too wide) in paragraph at lines 2437--2439
[]
[82] [83] [84] [85]
Capitolo 15.
<use  "Strana.png" > [86]
Overfull \hbox (13900.81642pt too wide) in paragraph at lines 2517--2519
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[87]
** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 1 267.772 0]
 [88]
Overfull \hbox (3.50586pt too wide) in paragraph at lines 2565--2566
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se

Overfull \hbox (12.66113pt too wide) in paragraph at lines 2583--2584
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 a[] []a[]
[89]
Overfull \hbox (3.15198pt too wide) in paragraph at lines 2611--2612
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se $\OML/ztmcm/m/it/10 f$ \EU1/TimesNewRoman(1)
/m/it/10 è differen-
[90]
Overfull \hbox (3.79538pt too wide) in paragraph at lines 2636--2637
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 In $[][]$ consideria-

Overfull \hbox (4.28981pt too wide) in paragraph at lines 2651--2652
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se 
[91]** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 1 325.883 0]
 [92]
Underfull \hbox (badness 3769) in paragraph at lines 2685--2685
[][][]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/8 Infatti la prima parentesi risulterà moltipl
icata per $[] \OMS/ztmcm/m/n/8 ^^T \OT1/ztmcm/m/n/8 1$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n
/8 , e la seconda per
[93] [94] [95]
Capitolo 16.
[96] [97]
Overfull \hbox (2.6265pt too wide) detected at line 2820
\OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@\OT1/ztmcm/m/n/10 1 \OML/ztmcm/m/it/10 < [] < \OT1/ztmcm/m
/n/10 1 \OMS/ztmcm/m/n/10 _ [] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 = 4  =[]\OMS/ztmcm/m/n/10 )
  ^^@\OT1/ztmcm/m/n/10 4 \OML/ztmcm/m/it/10 < [] [] < \OT1/ztmcm/m/n/10 4 \OMS/
ztmcm/m/n/10 _ [] \OT1/ztmcm/m/n/10 = \OML/ztmcm/m/it/10 e[]  \OT1/ztmcm/m/n/10
 =[]\OMS/ztmcm/m/n/10 ) 
[98] [99] [100] <use  "EffeEnneSchifosa.jpg" >
Overfull \hbox (14213.79672pt too wide) in paragraph at lines 2868--2870
[][] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[101]
Overfull \hbox (8.19376pt too wide) detected at line 2871
\OT1/ztmcm/m/n/10 = \OML/ztmcm/m/it/10 n [] x [] [][] \OT1/ztmcm/m/n/10 = \OML/
ztmcm/m/it/10 n [] [] [][] \OT1/ztmcm/m/n/10 =
[102]
Overfull \hbox (0.22302pt too wide) in paragraph at lines 2893--2894
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Si studino la convergenza puntuale ed uniforme 
della suc-
[103] <use  "SchifoIntegrale.jpg" >
Overfull \hbox (14213.79672pt too wide) in paragraph at lines 2906--2908
[][] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[104]
Overfull \hbox (1.12056pt too wide) in paragraph at lines 2910--2912
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Innanzitutto noto che per $\OML/ztmcm/m/it/10 x < 
\OT1/ztmcm/m/n/10 0$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 il limite è $[][] []\OML/ztm
cm/m/it/10 e[]dx \OT1/ztmcm/m/n/10 = \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@1$\EU1/TimesNewRoman(
1)/m/n/10 , e questo valore dell’inte-
[105] [106]
Capitolo 17.
[107] [108] [109] [110] [111] [112] [113]
Capitolo 18.
[114]

Package thmtools Warning: Unused key `ed espressione del Differenziale' on inpu
t line 3131.


Overfull \hbox (19.96582pt too wide) in paragraph at lines 3132--3133
[]
[115]
Overfull \hbox (17.70459pt too wide) in paragraph at lines 3143--3143
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/bx/n/14.4 Operazioni che mantengono la differenziabilit
à: som-

Package thmtools Warning: Unused key `prodotto e inverso' on input line 3145.

[116]

Package thmtools Warning: Unused key `Proprietà (Lipschitzianità in ogni $U(\
relax $\@@underline {\hbox {0}}\mathsurround \z@ $\relax )$) di una funzione li
neare' on input line 3166.


Overfull \hbox (5.30495pt too wide) in paragraph at lines 3181--3182
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/bx/n/10 (Regola della Catena) \EU1/TimesNewRoman(1)/m/i
t/10 Siano $\OT1/ztmcm/m/n/10 
 \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^R \U/msb/m/n/10 R[]$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 ,

Overfull \hbox (12.41966pt too wide) detected at line 3193
\OT1/ztmcm/m/n/10 +\OML/ztmcm/m/it/10 ^^Z\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 
f\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 P \OT1/ztmcm/m/n/10 + \OML/ztmcm/m/it/10
 H\OT1/ztmcm/m/n/10 ) \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ \OML/ztmcm/m/it/10 f\OT1/ztmcm/m/n/
10 (\OML/ztmcm/m/it/10 P\OT1/ztmcm/m/n/10 )) = \OML/ztmcm/m/it/10 g\OT1/ztmcm/m
/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 f\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 P\OT1/ztmcm/m/
n/10 )) + \OML/ztmcm/m/it/10 dg\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 f\OT1/ztmc
m/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 P\OT1/ztmcm/m/n/10 ))(\OML/ztmcm/m/it/10 df\OT1/zt
mcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 P\OT1/ztmcm/m/n/10 )(\OML/ztmcm/m/it/10 H\OT1/zt
mcm/m/n/10 ) + \OML/ztmcm/m/it/10 R\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 H\OT1/
ztmcm/m/n/10 )) + \OML/ztmcm/m/it/10 ^^Z\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 f
\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 P \OT1/ztmcm/m/n/10 + \OML/ztmcm/m/it/10 
H\OT1/ztmcm/m/n/10 ) \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ \OML/ztmcm/m/it/10 f\OT1/ztmcm/m/n/1
0 (\OML/ztmcm/m/it/10 P\OT1/ztmcm/m/n/10 )) =
[117]
Overfull \hbox (1.27605pt too wide) in paragraph at lines 3213--3214
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Supponiamo di []a[]
[118]
Overfull \hbox (7.96199pt too wide) detected at line 3223
\OML/ztmcm/m/it/10 J[]\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 t\OT1/ztmcm/m/n/10 
) = \OML/ztmcm/m/it/10 J[]\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 f[]\OT1/ztmcm/m
/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 t\OT1/ztmcm/m/n/10 )\OML/ztmcm/m/it/10 ; f[]\OT1/ztmc
m/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 t\OT1/ztmcm/m/n/10 ))\OML/ztmcm/m/it/10 J[]\OT1/zt
mcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 t\OT1/ztmcm/m/n/10 ) = [] \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^A 
[] \OT1/ztmcm/m/n/10 =
[119]
Capitolo 19.
[120] [121] [122] <use  "BizzarriaPeriodica2.png" >
Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 3296--3298
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[123] [124] [125] [126]
Capitolo 20.

Overfull \hbox (14.21387pt too wide) in paragraph at lines 3361--3362
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Siano $\OML/ztmcm/m/it/10 f \OT1/ztmcm/m/n/10 :
 
 \OMS/ztmcm/m/n/10 !
[127] [128]** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 1 249.297 0]

Overfull \hbox (49.19547pt too wide) in paragraph at lines 3407--3408
\U/msb/m/n/10 R[]$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 aperto e $\OML/ztmcm/m/it/10 P
 \OMS/ztmcm/m/n/10 2 \OT1/ztmcm/m/n/10 
$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 , e $\OML/ztmcm/m/it/10 k; h \OMS/ztmcm/m/n/10 2
$ $2
[129]
Overfull \hbox (31.38315pt too wide) in paragraph at lines 3445--3446
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se $[] \OMS/ztmcm/m/n/10 2 \U/msb/m/n/10 R[]$ \
EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 con $[] \OT1/ztmcm/m/n/10 = []$

Overfull \hbox (4.84012pt too wide) in paragraph at lines 3453--3454
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Dato $\OML/ztmcm/m/it/10 k \OMS/ztmcm/m/n/10 2 
\U/msb/m/n/10 N$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 e $\OT1/ztmcm/m/n/10 
 \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^R

Overfull \hbox (6.43936pt too wide) in paragraph at lines 3471--3472
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Siano $\OT1/ztmcm/m/n/10 
 \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^R
[130]

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Package hyperref Warning: Token not allowed in a PDF string (Unicode):
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[131] [132] [133]** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 1 344.216 0]
 [134]
Capitolo 21.
[135] [136] [137]
Overfull \hbox (2.4921pt too wide) in paragraph at lines 3596--3598
$\OML/ztmcm/m/it/10 x$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 darebbe problemi se fosse m
inore di $\OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@\OT1/ztmcm/m/n/10 1$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/1
0 perché renderebbe negativo l’argomento

Overfull \hbox (13937.48637pt too wide) in paragraph at lines 3599--3601
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]AnCo:
[138]
Overfull \hbox (2.24658pt too wide) in paragraph at lines 3603--3604
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 cioè se converge uniformemente su $\OT1/ztmcm/m
/n/10 [0\OML/ztmcm/m/it/10 ; \OT1/ztmcm/m/n/10 1]$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10
 convergerà anche puntualmente su $\OT1/ztmcm/m/n/10 [0\OML/ztmcm/m/it/10 ; \O
T1/ztmcm/m/n/10 1]$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 ? 

Overfull \hbox (13939.67876pt too wide) in paragraph at lines 3604--3611
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 grazie” []a[]

Overfull \hbox (14076.17456pt too wide) in paragraph at lines 3604--3611
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Io: “Dimmi di ke esercizio stai parlando .” []
a[]

Overfull \hbox (14105.24716pt too wide) in paragraph at lines 3604--3611
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 AnCo: “pagina 137 del pdf.. $[]$ in $\OT1/ztmcm/
m/n/10 (0\OML/ztmcm/m/it/10 ; \OT1/ztmcm/m/n/10 1)$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10
 ” []a[]

Overfull \hbox (14038.4304pt too wide) in paragraph at lines 3604--3611
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Io: “Finisco Cinese poi guardo.” []a[]

Overfull \hbox (14006.46425pt too wide) in paragraph at lines 3604--3611
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 AnCo: “perfetto grazie” []a[]
[139] [140] [141] [142] <use  "MantissaStrana.jpg" >
Overfull \hbox (14223.79675pt too wide) in paragraph at lines 3708--3710
[][] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[143] [144] [145]
Capitolo 22.

Overfull \hbox (7.181pt too wide) in paragraph at lines 3769--3770
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Si dice \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 de-
[146]
Overfull \hbox (4.44658pt too wide) in paragraph at lines 3786--3787
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se $\OML/ztmcm/m/it/10 f$ \EU1/TimesNewRoman(1)
/m/it/10 è continua, de-
[147] [148]
Overfull \hbox (6.92216pt too wide) detected at line 3854
[] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 = [] [] =

Overfull \hbox (5.48344pt too wide) detected at line 3855
\OT1/ztmcm/m/n/10 = [] [] =

Overfull \hbox (34.26433pt too wide) detected at line 3856
\OT1/ztmcm/m/n/10 = [] [] = [] [] =
[149] [150] [151] [152] [153]
Capitolo 23.
[154] [155]
Overfull \hbox (13.3039pt too wide) in paragraph at lines 4021--4022
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se invece $\OML/ztmcm/m/it/10 f \OMS/ztmcm/m/n/
10 2 \OML/ztmcm/m/it/10 C[]\OT1/ztmcm/m/n/10 (
)$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 ,
[156] [157] [158]
Overfull \hbox (8.91835pt too wide) in paragraph at lines 4096--4098
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 di Ferrario, equivalente a quella della Felli con 
dimostrazione immediata dell’equivalenza,
[159] [160]
Capitolo 24.
[161] [162] [163]
Overfull \hbox (11.47821pt too wide) in paragraph at lines 4229--4229
\EU1/TimesNewRoman(1)/bx/n/14.4 Algebra Lineare, sistemiamo quel problema di es
em-
[164] [165] [166] <use  "SezioniFunzioneStrana.png" >
Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 4272--4276
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[167] [168]
Capitolo 25.
[169] [170]
Overfull \hbox (0.36993pt too wide) detected at line 4334
[] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 = [] \OML/ztmcm/m/it/10 h[] [] h[] \OT1/ztmcm/m/n/10 = 
[] \OML/ztmcm/m/it/10 :

Overfull \hbox (6.72116pt too wide) detected at line 4338
[] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 = [] []\OML/ztmcm/m/it/10 :

Overfull \hbox (12.45284pt too wide) detected at line 4351
[] []\OT1/ztmcm/m/n/10 (0\OML/ztmcm/m/it/10 ; \OT1/ztmcm/m/n/10 0) = [] [] \OML
/ztmcm/m/it/10 :

Overfull \hbox (13.56497pt too wide) detected at line 4353
[] \OT1/ztmcm/m/n/10 4\OML/ztmcm/m/it/10 ^^K^^Z[] [][] [] ^^Z[] \OMS/ztmcm/m/n/
10 ^^A \OML/ztmcm/m/it/10 ^^Z [] ^^R \OT1/ztmcm/m/n/10 + \OML/ztmcm/m/it/10 ^^Z
[] [][] []:
[171] [172]
Capitolo 26.
[173]** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 1 317.206 0]
** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 1 317.206 0]
 <use  "PeriodicitaStrana.png" >
Overfull \hbox (14011.32916pt too wide) in paragraph at lines 4385--4388
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Guardiamo com’è fatta $\OML/ztmcm/m/it/10 g$\
EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 : []a[]

Overfull \hbox (14223.79675pt too wide) in paragraph at lines 4385--4388
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[174] [175]
Capitolo 27.
[176] [177] [178] [179] [180] [181] [182]
Overfull \hbox (1.02652pt too wide) in paragraph at lines 4616--4616
\EU1/TimesNewRoman(1)/bx/n/14.4 no nuovi o sono una riscrittura delle condizion
i del-

Overfull \hbox (14017.44946pt too wide) in paragraph at lines 4620--4622
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Ricordiamole prima tutte. Soave: []a[]
[183]
Overfull \hbox (14053.12338pt too wide) in paragraph at lines 4647--4653
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Quelle della sella sono ancora $[] \OMS/ztmcm/m/n/
10 H 6\OT1/ztmcm/m/n/10 = 0$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 .” []a[]

Overfull \hbox (13906.9297pt too wide) in paragraph at lines 4647--4653
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Felli: []a[]

Overfull \hbox (13934.13837pt too wide) in paragraph at lines 4647--4653
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 “\EU1/TimesNewRoman(1)/bx/n/10 Teorema a []\EU1/
TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]

Overfull \hbox (13932.18687pt too wide) in paragraph at lines 4665--4671
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 cioè la tesi.: []a[]

Overfull \hbox (13974.12862pt too wide) in paragraph at lines 4665--4671
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 [defi di punto di sella]: []a[]

Overfull \hbox (13933.03973pt too wide) in paragraph at lines 4665--4671
\EU1/TimesNewRoman(1)/bx/n/10 Teorema b\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 : []a[]
[184]
Overfull \hbox (14166.7069pt too wide) in paragraph at lines 4680--4683
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 e strettamente maggiore se $\OML/ztmcm/m/it/10 H \
OMS/ztmcm/m/n/10 6\OT1/ztmcm/m/n/10 = 0$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 . Quindi $
\OML/ztmcm/m/it/10 P$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 è un minimo locale stretto.
” []a[]
[185]
Overfull \hbox (0.36465pt too wide) detected at line 4706
\OML/ztmcm/m/it/10 i\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 ae \OMS/ztmcm/m/n/10 
^^@ \OML/ztmcm/m/it/10 b[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ) \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ \OML/ztmcm/
m/it/10 f\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 af \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ \OML/zt
mcm/m/it/10 cb\OT1/ztmcm/m/n/10 ) + \OML/ztmcm/m/it/10 c\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML
/ztmcm/m/it/10 bf \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ \OML/ztmcm/m/it/10 ce\OT1/ztmcm/m/n/10 
) \OML/ztmcm/m/it/10 > \OT1/ztmcm/m/n/10 0  =[]\OMS/ztmcm/m/n/10 )  \OML/ztmcm/
m/it/10 i\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 ae \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ \OML/zt
mcm/m/it/10 b[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ) \OML/ztmcm/m/it/10 > f\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OM
L/ztmcm/m/it/10 af \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ \OML/ztmcm/m/it/10 cb\OT1/ztmcm/m/n/10
 ) \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ \OML/ztmcm/m/it/10 c\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it
/10 bf \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ \OML/ztmcm/m/it/10 ce\OT1/ztmcm/m/n/10 )  =[]\OMS/
ztmcm/m/n/10 ) 
[186] [187]
Capitolo 28.
[188] <use  "GraficoSegno.jpg" >
Overfull \hbox (14213.79672pt too wide) in paragraph at lines 4746--4748
[][] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[189] [190] [191] <use  "Rettangoli.jpg" >
Overfull \hbox (14213.79672pt too wide) in paragraph at lines 4824--4826
[][] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[192] [193] [194] [195]
Capitolo 29.
[196] [197] [198] [199] [200] [201] [202]
Capitolo 30.
[203]
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5114--5114
[]

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5114--5114
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Insieme

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5116--5116
[]

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5116--5116


Underfull \hbox (badness 1303) in paragraph at lines 5116--5116
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Misura di un

Overfull \hbox (0.11882pt too wide) in paragraph at lines 5124--5135
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Dimostrare che se $\OML/ztmcm/m/it/10 A$ \EU1/T
imesNewRoman(1)/m/it/10 è un insieme misurabile secondo Peano-Jordan

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5138--5138
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 La caratteri-

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5138--5138
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 stica è inte-

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5138--5138
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 grabile,

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5138--5138
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 quindi per
[204]
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5143--5143
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Rappresentate

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5143--5143
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 le scale, ci

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5143--5143
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 costruiamo

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5143--5143
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 dei curiosi

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5143--5143
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 insiemi che

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5143--5143
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 poi confron-

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5143--5143
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 teremo con
<use  "Disegno1.20131108.jpg" >
Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 5146--5150
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[205]
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5150--5150
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 plurirettango-

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5161--5161
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Dalle inclu-

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5161--5161
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 sioni, disu-

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5161--5161
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 guaglianza

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5161--5161
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 e poi sulle

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5161--5161
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 misure di

Overfull \hbox (13885.81642pt too wide) in paragraph at lines 5160--5162
 []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[206]
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5165--5165
[]

Underfull \hbox (badness 3148) in paragraph at lines 5173--5173
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 siemi limitati

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5179--5179
[]$[][] \OML/ztmcm/m/it/10 P \OT1/ztmcm/m/n/10 =$

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5179--5179
\OT1/ztmcm/m/n/10 = [] \OML/ztmcm/m/it/10 ^^_[] \OT1/ztmcm/m/n/10 =$

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5179--5179
[] [] \OML/ztmcm/m/it/10 ^^_[] \OT1/ztmcm/m/n/10 =

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5184--5184
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Infatti $\U/msb/m/n/10 ?$ \EU1/TimesNewRoman(1)/
m/n/10 è

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5184--5184
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 un pluriret-

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5184--5184
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 tangolo e

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Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5191--5191
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 La frontiera

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5191--5191
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 deve avere

Overfull \hbox (13885.81642pt too wide) in paragraph at lines 5195--5198
 []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]

Overfull \hbox (13890.2549pt too wide) in paragraph at lines 5195--5198
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[] []a[]
[207]
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5198--5198
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Cominciamo

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5204--5204
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Ora $\OMS/ztmcm/m/n/10 ([]\OT1/ztmcm/m/n/10 =$\E
U1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 .

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5204--5204
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5204--5204
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Definizione
<use  "Disegno2.20131108.jpg" >
Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 5212--5216
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]

Overfull \hbox (14161.82774pt too wide) in paragraph at lines 5212--5216
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 rettangolo $\OML/ztmcm/m/it/10 R$\EU1/TimesNewRoma
n(1)/m/n/10 , che è diviso in rettangoli. Colorato in bianco, ancora, $\OML/zt
mcm/m/it/10 P[]$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 .  []a[]
[208] [209]
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5247--5247
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Chiusura e
[210]
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5259--5259
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Chiusura e

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5259--5259
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 interno han-

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5259--5259
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 no misure

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5259--5259
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 diverse, ri-

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5259--5259
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 spettivamente
[211]
Capitolo 31.
[212] [213]
Overfull \hbox (15.72667pt too wide) detected at line 5361
\OMS/ztmcm/m/n/10 H[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ([]\OML/ztmcm/m/it/10 ; []\OT1/ztmcm/m/n
/10 ) = [] = [] \OML/ztmcm/m/it/10 ;
[214] <use  "Bordo.jpg" >
Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 5373--5375
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[215] [216] [217] [218]
Capitolo 32.

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[219]
Overfull \hbox (6.4392pt too wide) in paragraph at lines 5489--5490
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/bx/n/10 (Additività rispetto all’insieme di integraz
ione) \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Siano $\OML/ztmcm/m/it/10 A; B \OMS/ztmcm/m
/n/10 ^^R
[220] <use  "Frontiera.jpg" >
Overfull \hbox (14203.2352pt too wide) in paragraph at lines 5508--5512
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[] [] []a[]
[221]
Overfull \hbox (5.63254pt too wide) detected at line 5530
[]\OML/ztmcm/m/it/10 s[] \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ []\OML/ztmcm/m/it/10 s[] \OT1/zt
mcm/m/n/10 = [] [] + [] [] [][] \OML/ztmcm/m/it/10 R[] \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^T
[222] [223]** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 1 143.712 0]
** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 1 236.901 0]
** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 1 342.045 0]
** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 1 263.471 0]
 <use  "Ax.jpg" >
Overfull \hbox (13924.43134pt too wide) in paragraph at lines 5547--5551
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 gno sotto. []a[]

Overfull \hbox (14230.09494pt too wide) in paragraph at lines 5547--5551
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[224] <use  "D.jpg" >
Overfull \hbox (14210.17809pt too wide) in paragraph at lines 5568--5570
 [] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[225] [226]** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 1 3046.37 0]
** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 1 202.526 0]

Capitolo 33.
[227] [228] [229] [230] [231] [232]** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 0.27 224.685 -309.778]
** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 0.45 291.611 -214.787]

Capitolo 34.

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<use  "Regione.jpg" >
Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 5756--5758
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[233]

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Overfull \hbox (9.50966pt too wide) in paragraph at lines 5770--5771
\U/msb/m/n/10 R[] \OT1/ztmcm/m/n/10 = \U/msb/m/n/10 R[] \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^B \
U/msb/m/n/10 R$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 . Invece $\OML/ztmcm/m/it/10 A[]$ \
EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 è l’insieme degli $\OML/ztmcm/m/it/10 z$ \EU1/Ti
mesNewRoman(1)/m/n/10 per cui $\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 x; y; z\OT
1/ztmcm/m/n/10 ) \OMS/ztmcm/m/n/10 2 \OML/ztmcm/m/it/10 A$\EU1/TimesNewRoman(1)
/m/n/10 , quindi $\OT1/ztmcm/m/n/10 [\OML/ztmcm/m/it/10 u[]\OT1/ztmcm/m/n/10 (\
OML/ztmcm/m/it/10 x; y\OT1/ztmcm/m/n/10 )\OML/ztmcm/m/it/10 ; u[]\OT1/ztmcm/m/n
/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 x; y\OT1/ztmcm/m/n/10 )]$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 .

[234] [235]** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 0.61 1566.41 -136.791]
** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 0.61 1581.75 -136.791]
** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 0.61 1566.41 -213.845]
** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 0.61 1581.75 -213.845]


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[236] [237] [238]
Capitolo 35.
<use  "Grafico3D.jpg" >
Overfull \hbox (14115.7812pt too wide) in paragraph at lines 5860--5863
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 ci sono massimi locali. Quindi ha un grafico di qu
esto tipo: []a[]
[239] [240] <use  "Regione_.jpg" >
Overfull \hbox (13997.45706pt too wide) in paragraph at lines 5892--5896
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Quindi l’immagine è questa: []a[]

Overfull \hbox (14224.40404pt too wide) in paragraph at lines 5892--5896
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]

Overfull \hbox (5.76065pt too wide) detected at line 5900
[] \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ [][] \OML/ztmcm/m/it/10 dx \OT1/ztmcm/m/n/10 = [] \OMS
/ztmcm/m/n/10 ^^@ [] \OML/ztmcm/m/it/10 dx \OT1/ztmcm/m/n/10 =
[241]
Overfull \hbox (31.02837pt too wide) in paragraph at lines 5903--5904
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Calcolare, dopo aver invertito l’ordine di in
tegrazione, l’integrale: 
<use  "Regione2.jpg" >
Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 5908--5912
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[242]
Overfull \hbox (4.87456pt too wide) detected at line 5925
[] [] []\OML/ztmcm/m/it/10 dx \OT1/ztmcm/m/n/10 = [][][][][]\OML/ztmcm/m/it/10 
dx \OT1/ztmcm/m/n/10 = [][][]\OML/ztmcm/m/it/10 dx \OT1/ztmcm/m/n/10 =
<use  "Area.jpg" >
Overfull \hbox (13885.81642pt too wide) in paragraph at lines 5938--5941
 []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]

Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 5938--5941
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[243] [244] <use  "Area2.jpg" >
Overfull \hbox (14048.2546pt too wide) in paragraph at lines 5958--5962
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 quindi fuori dal cerchio dell’uguaglianza. []a[]


Overfull \hbox (14224.40404pt too wide) in paragraph at lines 5958--5962
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[245] [246] [247]
Capitolo 36.
[248] [249] [250]
Overfull \hbox (6.11407pt too wide) detected at line 6107
\OT1/ztmcm/m/n/10 ^^I[](\OML/ztmcm/m/it/10 Q[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ) = [] = [] \OM
L/ztmcm/m/it/10 :
[251] [252] [253] <use  "Sferiche.jpg" >
Overfull \hbox (13929.68199pt too wide) in paragraph at lines 6155--6158
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Vale a dire: []a[]

Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 6155--6158
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[254]
Capitolo 37.
[255] [256]
Overfull \hbox (14.36774pt too wide) detected at line 6223
[] [] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 = [] [][] 4[] [] \OML/ztmcm/m/it/10 ^^Rd^^R \OT1/ztm
cm/m/n/10 =
[257]** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 25 1445.25 -22149.4]

Overfull \hbox (0.80244pt too wide) in paragraph at lines 6277--6278
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Si dice \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 equazione 
differenziale a variabili separabili \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 un’equazio
ne
[258]
Overfull \hbox (6.11548pt too wide) in paragraph at lines 6296--6297
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/bx/n/10 (dinamica delle popolazioni) \EU1/TimesNewRoman
(1)/m/it/10 Modello di Malthus (Thomas). Chia-

Overfull \hbox (0.9218pt too wide) in paragraph at lines 6312--6313
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/bx/n/10 (dinamica delle popolazioni 2) \EU1/TimesNewRom
an(1)/m/it/10 Modello logistico di Verhulst. De-
[259] [260] [261]
Capitolo 38.
[262]
Overfull \hbox (34.77005pt too wide) detected at line 6369
\OT1/ztmcm/m/n/10 = [] [] \OML/ztmcm/m/it/10 dz \OT1/ztmcm/m/n/10 =
[263]
Overfull \hbox (3.10394pt too wide) in paragraph at lines 6399--6401
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 dove $\OML/ztmcm/m/it/10 h$ \EU1/TimesNewRoman(1)/
m/n/10 è una coordinata $\OML/ztmcm/m/it/10 z$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 . Q
uesto è il cerchio, lo strato. Noi vogliamo scrivere l’integrale
[264] [265] [266] <use  "Regionexy.jpg" >
Overfull \hbox (14034.94295pt too wide) in paragraph at lines 6474--6477
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Siamo nel I quadrante. È un triangolo. []a[]

Overfull \hbox (14203.2352pt too wide) in paragraph at lines 6474--6477
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[] [] []a[]
[267] <use  "Regioneuv.jpg" >
Overfull \hbox (14042.42126pt too wide) in paragraph at lines 6497--6501
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 La regione in queste coordinate diventa: []a[]

Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 6497--6501
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[268] [269]
Capitolo 39.
[270] [271] <use  "RegioneStrana.png" >
Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 6559--6561
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[272]
Overfull \hbox (2.62732pt too wide) detected at line 6597
[]\OML/ztmcm/m/it/10 ue[][]dudv \OT1/ztmcm/m/n/10 = [][]\OML/ztmcm/m/it/10 e[]d
udv \OT1/ztmcm/m/n/10 = [][] [] \OML/ztmcm/m/it/10 du \OT1/ztmcm/m/n/10 = [] []
 [] = [] [] \OML/ztmcm/m/it/10 :
[273] <use  "TraConi.jpg" >
Overfull \hbox (14033.26926pt too wide) in paragraph at lines 6606--6610
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 quindi sta tra le superfici dei due coni. []a[]

Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 6606--6610
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[274] [275] <use  "ConoParaboloide.jpg" >
Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 6643--6646
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[276] [277] <use  "Tetraedro.jpg" >
Overfull \hbox (14169.30495pt too wide) in paragraph at lines 6694--6697
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 A questo punto è abbastanza facile fare l’integ
razione. E chiudiamo qua. []a[]
[278]
Capitolo 40.
[279] [280] [281] <use  "Pennello.png" >
Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 6797--6801
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[282]
Overfull \hbox (17.59918pt too wide) in paragraph at lines 6814--6815
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se $\OML/ztmcm/m/it/10 F \OT1/ztmcm/m/n/10 = []
 \OMS/ztmcm/m/n/10 2 \OML/ztmcm/m/it/10 C[]\OT1/ztmcm/m/n/10 (
\OML/ztmcm/m/it/10 ; \U/msb/m/n/10 R[]\OT1/ztmcm/m/n/10 )$ \EU1/TimesNewRoman(1
)/m/it/10 con $\OT1/ztmcm/m/n/10 
 \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^R \U/msb/m/n/10 R[] \OT1/ztmcm/m/n/10 = []$
[283] [284] [285] [286]
Capitolo 41.
<use  "Guldino1.jpg" >
Overfull \hbox (1.9448pt too wide) in paragraph at lines 6906--6909
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Supponiamo di avere $\OML/ztmcm/m/it/10 E \OMS/
ztmcm/m/n/10 ^^R \U/msb/m/n/10 R[]$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 misurabile. S
upponiamo $\OML/ztmcm/m/it/10 E \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^Z []\OML/ztmcm/m/it/10 xz$

Overfull \hbox (13940.73016pt too wide) in paragraph at lines 6906--6909
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 chiaro subito. []a[]

Overfull \hbox (14227.811pt too wide) in paragraph at lines 6906--6909
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 a[]
[287] <use  "Guldino2.jpg" >
Overfull \hbox (14048.31021pt too wide) in paragraph at lines 6913--6916
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Immaginiamo di proiettare il solido su $\OML/ztmcm
/m/it/10 xy$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 . []a[]

Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 6913--6916
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[288] [289]
Overfull \hbox (4.91095pt too wide) in paragraph at lines 6937--6939
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 che va bene su $\OT1/ztmcm/m/n/10 3\OML/ztmcm/m/it
/10 x[] \OT1/ztmcm/m/n/10 + \OML/ztmcm/m/it/10 y[] \OT1/ztmcm/m/n/10 = 1$ \EU1/
TimesNewRoman(1)/m/n/10 perché quella roba viene $\OML/ztmcm/m/it/10 ^^Z[] \OT
1/ztmcm/m/n/10 = 1$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 . Quindi si guarda l’equazion
e
[290] [291] [292]** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 0.7 237.96 -139.86]
** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 1 237.96 0]

Overfull \hbox (0.95163pt too wide) detected at line 6993
[] [] \OML/ztmcm/m/it/10 dx[] \OT1/ztmcm/m/n/10 = []\OML/ztmcm/m/it/10 x[] [] d
x[] \OT1/ztmcm/m/n/10 = []\OML/ztmcm/m/it/10 x[] [] dx[] \OT1/ztmcm/m/n/10 =
[293]
Overfull \hbox (3.3737pt too wide) in paragraph at lines 7012--7014
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Adesso viene la parte difficile. Andiamo per induz
ione. Passo base: $\OML/ztmcm/m/it/10 n \OT1/ztmcm/m/n/10 = 3$\EU1/TimesNewRoma
n(1)/m/n/10 . L’integralone
[294] <use  "DoppiaPalla.jpg" >
Overfull \hbox (14062.85034pt too wide) in paragraph at lines 7031--7034
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 fuori da quella centrata in $\OT1/ztmcm/m/n/10 (0\
OML/ztmcm/m/it/10 ; \OT1/ztmcm/m/n/10 0)$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 e di rag
gio $[]$. []a[]

Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 7031--7034
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[295] [296]
Capitolo 42.
[297]
Overfull \hbox (14196.38124pt too wide) in paragraph at lines 7088--7089
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/bx/n/10 (di Cauchy-Lipschitz o di esistenza ed unicità
 in piccolo) []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 a[]
[298] [299] [300] [301] [302]
Overfull \hbox (14173.1971pt too wide) in paragraph at lines 7181--7184
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 soluzione. Noi ci vediamo Mercoledì. Lunedì inve
ce avete esercitazione. []a[]
[303]** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 1 162.156 0]
 [304]
Capitolo 43.
[305] [306] [307] [308] [309]
Overfull \hbox (14052.15271pt too wide) in paragraph at lines 7326--7330
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Quindi la funzione è continua nell’origine. []a
[]

Overfull \hbox (13938.54755pt too wide) in paragraph at lines 7326--7330
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 rimane $[] \OML/ztmcm/m/it/10 ^^R$\EU1/TimesNewRom
an(1)/m/n/10 . []a[]
[310] [311]
Capitolo 44.

Overfull \hbox (15.68362pt too wide) in paragraph at lines 7377--7379
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Quindi è continua nell’origine. Vediamo le deri
vate direzionali. Fissiamo $[] \OT1/ztmcm/m/n/10 = []$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n
/10 .

Overfull \hbox (14027.51729pt too wide) in paragraph at lines 7386--7389
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Quindi la funzione è differenziabile. []a[]
[312]
Overfull \hbox (34.15723pt too wide) detected at line 7408
[] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 = [] [] =
[313]
Overfull \hbox (5.96678pt too wide) in paragraph at lines 7420--7422
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Quindi la continuità c’è. A questo punto deriv
ate direzionali. Fissiamo $[] \OT1/ztmcm/m/n/10 = [] \OML/ztmcm/m/it/10 :$

Overfull \hbox (13984.19371pt too wide) in paragraph at lines 7423--7426
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 tazzo di differenziabilità. []a[]

Overfull \hbox (14047.51892pt too wide) in paragraph at lines 7437--7440
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Quindi la differenziabilità ce la sognamo. []a[]
[314]
Overfull \hbox (55.23761pt too wide) detected at line 7449
\OT1/ztmcm/m/n/10 = [] [] =
[315]
Capitolo 45.
[316]

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[317] [318] [319] [320] [321] [322]
Capitolo 46.
[323]
Overfull \hbox (1.82454pt too wide) detected at line 7668
[] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 = [] [] = [] [] =
[324]
Capitolo 47.
[325] [326]
Overfull \hbox (1.27225pt too wide) detected at line 7725
[] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 = [] [] =
[327]
Overfull \hbox (17.55904pt too wide) in paragraph at lines 7756--7758
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 mentre per $\OML/ztmcm/m/it/10 y \OMS/ztmcm/m/n/10
 2 []$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 varierà in $[]$. Quindi l’integrale
[328] [329] [330] [331]
Capitolo 48.
[332]
Overfull \hbox (13920.52997pt too wide) in paragraph at lines 7853--7856
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 scio qua. []a[]
[333] [334]
Capitolo 49.

Overfull \hbox (1.00645pt too wide) in paragraph at lines 7896--7898
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Capire l’intervallo massimale di unicità della 
soluzione è un problema importante. Chie-
[335]
Overfull \hbox (6.14328pt too wide) in paragraph at lines 7930--7932
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 re $[] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 = +\OMS/ztmcm/m/n/10 
1$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 , ove $\OML/ztmcm/m/it/10 d\OT1/ztmcm/m/n/10 ((
\OML/ztmcm/m/it/10 t; Y\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 t\OT1/ztmcm/m/n/10
 ))\OML/ztmcm/m/it/10 ; @\OT1/ztmcm/m/n/10 
) = [] []$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 . 
[336] [337] [338]** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 0.5 1659.39 -255.826]
** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 4 2896.86 1313.61]

Overfull \hbox (9.05284pt too wide) in paragraph at lines 8007--8008
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/bx/n/10 (di dipendenza continua dai dati) \EU1/TimesNew
Roman(1)/m/it/10 Siano $\OT1/ztmcm/m/n/10 
 \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^R \U/msb/m/n/10 R[]$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 aperto,
 $\OML/ztmcm/m/it/10 t[]; a; b \OMS/ztmcm/m/n/10 2

Overfull \hbox (51.60872pt too wide) detected at line 8017
[] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 + [] + [] \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^T
[339]
Overfull \hbox (3.40408pt too wide) detected at line 8029
[] \OT1/ztmcm/m/n/10 + [] [] + [] [] + [] [] =

Overfull \hbox (14101.1703pt too wide) in paragraph at lines 8030--8033
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 di domani avete esercitazione, noi ci vediamo Vene
rdì? []a[]
[340] [341]
Overfull \hbox (1.4482pt too wide) in paragraph at lines 8056--8058
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 nella disuguaglianza assunta vera per ipotesi, si 
ottiene la tesi. Quindi diamo un’occhiata
[342]
Capitolo 50.

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[343] [344] [345]
Overfull \hbox (7.11844pt too wide) detected at line 8134
\OML/ztmcm/m/it/10 f[]\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 x\OT1/ztmcm/m/n/10 
) = [][] [] \OML/ztmcm/m/it/10 n [] x \OT1/ztmcm/m/n/10 + [] [] [] \OML/ztmcm/m
/it/10 :
[346] [347] [348]
Capitolo 51.
[349] [350]

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[351] [352] [353] [354]
Capitolo 52.
[355] [356] [357] [358] <use  "SoluzioniEqDiff_.jpg" > [359] [360] [361]
Capitolo 53.
[362] [363] [364] [365] [366] [367] [368]
Capitolo 54.
[369] [370] <use  "Lav.jpg" > [371] [372] [373] [374]
Overfull \hbox (16.74725pt too wide) detected at line 8838
[] \OT1/ztmcm/m/n/10 = \OML/ztmcm/m/it/10 e[] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 = []

Overfull \hbox (6.26563pt too wide) in paragraph at lines 8844--8844
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/bx/n/12 Teorema: soluzione particolare più soluzioni d
el sistema omo-
[375] [376] [377]
Capitolo 55.
<use  "Felli_1.jpg" > [378]
Overfull \vbox (59.42555pt too high) has occurred while \output is active
[379] <use  "Felli_2.jpg" >
Overfull \hbox (13905.2549pt too wide) in paragraph at lines 8913--8915
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[] []a[]
<use  "Felli_3.jpg" >
Overfull \hbox (13905.2549pt too wide) in paragraph at lines 8915--8917
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[] []a[]
[380] <use  "Felli_4.jpg" >
Overfull \hbox (13905.2549pt too wide) in paragraph at lines 8917--8920
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[] []a[]

Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 8917--8920
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]

Overfull \hbox (14111.42519pt too wide) in paragraph at lines 8917--8920
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 zione parla di \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Equaz
ioni (differenziali) lineari di ordine $\OML/ztmcm/m/it/10 n$\EU1/TimesNewRoman
(1)/m/n/10 . []a[] 
[381] [382] [383]** WARNING ** Invalid ICC profile: Inconsistent checksum.
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[384]
Overfull \hbox (13890.81642pt too wide) in paragraph at lines 8989--8992
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 * []a[]

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[385] [386] [387]

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[388]

LaTeX Warning: Command \l invalid in math mode on input line 9110.


Overfull \hbox (7.81845pt too wide) in paragraph at lines 9117--9118
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 reali del polinomio caratteristico associato allâ
€™equazione, con molteplicità [][][] $[][]\OML/ztmcm/m/it/10 ; [][]; [] ; [][]$

[389] [390]
Capitolo 56.
[391] [392] [393] [394] [395] [396]
Capitolo 57.

Overfull \hbox (0.48544pt too wide) in paragraph at lines 9282--9284
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Allora supponiamo di avere $\OML/ztmcm/m/it/10 z[]
; [] ; z[]$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 soluzioni linearmente indipendenti del
l’equazione
[397] [398] [399]
Overfull \hbox (44.00395pt too wide) in paragraph at lines 9357--9359
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Sommando a $\OML/ztmcm/m/it/10 u$ \EU1/TimesNewRom
an(1)/m/n/10 l’integrale generale dell’omogenea otteniamo l’integrale gen
erale dell’inomogenea.
[400] [401]
Overfull \hbox (14099.89362pt too wide) in paragraph at lines 9427--9430
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 la cui ampiezza aumenta man mano che passa il temp
o. []a[]
[402] [403]
Capitolo 58.

Overfull \hbox (8.13388pt too wide) in paragraph at lines 9434--9434
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/bx/n/14.4 Curve in $\U/msb/m/n/14.4 R[]$\EU1/TimesNewRo
man(1)/bx/n/14.4 : definizione, curve regolari, curve equi-

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Overfull \hbox (15.98764pt too wide) in paragraph at lines 9441--9442
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se $[] \OMS/ztmcm/m/n/10 2 \OML/ztmcm/m/it/10 C
[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ([\OML/ztmcm/m/it/10 a; b\OT1/ztmcm/m/n/10 ]\OML/ztmcm/m/it
/10 ; \U/msb/m/n/10 R[]\OT1/ztmcm/m/n/10 )$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 (cioÃ
š ogni sua componente $[][] \OT1/ztmcm/m/n/10 = [][] \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^N []$ 
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Ú $\OML/ztmcm/m/it/10 C[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ([\OM
L/ztmcm/m/it/10 a; b\OT1/ztmcm/m/n/10 ])$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 )
[404] [405]
Overfull \hbox (0.81007pt too wide) in paragraph at lines 9522--9523
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se invece $\OML/ztmcm/m/it/10 ^^U[]\OT1/ztmcm/m
/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 t\OT1/ztmcm/m/n/10 ) \OML/ztmcm/m/it/10 < \OT1/ztmcm/
m/n/10 0$ $\OMS/ztmcm/m/n/10 8\OML/ztmcm/m/it/10 t \OMS/ztmcm/m/n/10 2 \OT1/ztm
cm/m/n/10 [\OML/ztmcm/m/it/10 c; d\OT1/ztmcm/m/n/10 ]$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/
it/10 si dice che $\OML/ztmcm/m/it/10 ^^U$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 inverte
 l’orientamento. 
<use  "SchemaComposizione.jpg" > [406] [407]
Overfull \hbox (14189.78685pt too wide) in paragraph at lines 9610--9612
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Esiste l’integrale perché $[]$ è $\OML/ztmcm/m
/it/10 C[]$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 , dimostrata l’uguaglianza è provato
 il teorema. []a[]
[408]
Overfull \hbox (45.45709pt too wide) in paragraph at lines 9612--9613
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Cominciamo dimostrando $\OML/ztmcm/m/it/10 L\OT1
/ztmcm/m/n/10 ([]) \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^T [] [] \OML/ztmcm/m/it/10 dt$\EU1/Times
NewRoman(1)/m/n/10 . Consideriamo una partizione []aaaaaaaaaaaaaaaa[]
[409]
Capitolo 59.

Overfull \hbox (3.68584pt too wide) detected at line 9632
[] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 d\OML/ztmcm/m/it/10 t [] [] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 d\OML/
ztmcm/m/it/10 t [] [] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 d\OML/ztmcm/m/it/10 t \OT1/ztmcm/m/n
/10 + [] [] d\OML/ztmcm/m/it/10 t \OT1/ztmcm/m/n/10 =
[410] [411]
Overfull \hbox (13.32672pt too wide) detected at line 9658
\OT1/ztmcm/m/n/10 ^^@ []([]) = [][](\OML/ztmcm/m/it/10 S[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ([]
)) [][] ([]) = [][](\OML/ztmcm/m/it/10 S[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ([]))[] = [] \OMS/z
tmcm/m/n/10 8[] 2 \OT1/ztmcm/m/n/10 [0\OML/ztmcm/m/it/10 ; L\OT1/ztmcm/m/n/10 (
[])]\OML/ztmcm/m/it/10 :

Overfull \hbox (20.92345pt too wide) in paragraph at lines 9663--9664
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 La curva $\OT1/ztmcm/m/n/10 ^^@$ \EU1/TimesNewR
oman(1)/m/it/10 si dice \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 rappresentazione della cur
va $[]$ in termini dell’ascissa
[412] <use  "Elica.jpg" > [413]

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[414] [415] [416]
Capitolo 60.
[417]
Overfull \hbox (2.78299pt too wide) in paragraph at lines 9792--9794
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 smo. Quindi ad ogni partizione $\OML/ztmcm/m/it/10
 P[]$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 di $[][]$ è associata in modo biiettivo dal
l’omeomorfismo
[418] [419] [420] [421] [422] [423]
Overfull \hbox (3.37502pt too wide) in paragraph at lines 9917--9919
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Questa funzione però non è Lipschitziana in $\U/
msb/m/n/10 R$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 , poiché in $\OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@\O
T1/ztmcm/m/n/10 2$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 la derivata tende all’infinit
o.
[424] [425]
Capitolo 61.
[426]
showing defi
showing deficonn
[427] (./app_An_2.loe [428] [429]
Overfull \hbox (2.5pt too wide) detected at line 464
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 40.1.0.10 

Overfull \hbox (2.1289pt too wide) detected at line 465
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 40.1.0.11 

Overfull \hbox (2.5pt too wide) detected at line 467
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 40.1.0.12 

Overfull \hbox (2.5pt too wide) detected at line 470
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 40.1.0.13 

Overfull \hbox (2.5pt too wide) detected at line 471
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 40.1.0.14 

Overfull \hbox (2.5pt too wide) detected at line 474
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 40.2.0.15 

Overfull \hbox (2.5pt too wide) detected at line 477
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 40.2.0.16 
[430]
Overfull \hbox (2.5pt too wide) detected at line 615
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 58.1.1.10 

Overfull \hbox (2.5pt too wide) detected at line 651
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 59.4.0.10 
)
showing teor
[431] (./app_An_2.loe
Overfull \hbox (7.46133pt too wide) in paragraph at lines 107--107
 [][] [][]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Teorema (Integrale del limite uniforme e
 limite uniforme dell’integrale 
[432]
Overfull \hbox (2.5pt too wide) detected at line 558
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 52.1.0.10 

Overfull \hbox (2.1289pt too wide) detected at line 559
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 52.1.0.11 

Overfull \hbox (2.5pt too wide) detected at line 565
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 53.1.0.12 

Overfull \hbox (2.5pt too wide) detected at line 567
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 53.2.0.13 

Overfull \hbox (2.5pt too wide) detected at line 572
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 53.3.0.14 
[433])
showing coro
showing propo
showing fatto
showing lemma
showing pt
showing riass
showing 
[434] (./app_An_2.loe
Overfull \hbox (3.00333pt too wide) in paragraph at lines 250--250
 [][] [][]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Proposizione (Differenziabilità di funz
ioni vettoriali e delle loro com- 
[435])
showing es
[436] (./app_An_2.loe [437] [438])
showing ese
[439] (./app_An_2.loe [440]) [441] (./app_An_2.toc
Overfull \hbox (0.47398pt too wide) in paragraph at lines 14--14
 [][] [][]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Definizione, relazione tra continuità d
i $\OML/ztmcm/m/it/10 f$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 e continuità delle com- 

[442] [443]
Overfull \hbox (12.0004pt too wide) in paragraph at lines 102--102
 [][] [][]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Gradiente e differenziale, differenziabi
lità delle proiezioni, espres- 
[444] [445] [446] [447] [448] [449] [450]) [451] [452] (./app_An_2.aux) )
(see the transcript file for additional information)
Output written on app_An_2.pdf (454 pages).
SyncTeX written on app_An_2.synctex.gz.
Transcript written on app_An_2.log.

run2.log

This is XeTeX, Version 3.1415926-2.4-0.9998 (TeX Live 2012)
 restricted \write18 enabled.
entering extended mode
(./app_An_2.tex
LaTeX2e <2011/06/27>
Babel <v3.8m> and hyphenation patterns for english, dumylang, nohyphenation, ge
rman-x-2012-05-30, ngerman-x-2012-05-30, afrikaans, ancientgreek, ibycus, arabi
c, armenian, basque, bulgarian, catalan, pinyin, coptic, croatian, czech, danis
h, dutch, ukenglish, usenglishmax, esperanto, estonian, ethiopic, farsi, finnis
h, french, friulan, galician, german, ngerman, swissgerman, monogreek, greek, h
ungarian, icelandic, assamese, bengali, gujarati, hindi, kannada, malayalam, ma
rathi, oriya, panjabi, tamil, telugu, indonesian, interlingua, irish, italian, 
kurmanji, latin, latvian, lithuanian, mongolian, mongolianlmc, bokmal, nynorsk,
 polish, portuguese, romanian, romansh, russian, sanskrit, serbian, serbianc, s
lovak, slovenian, spanish, swedish, turkish, turkmen, ukrainian, uppersorbian, 
welsh, loaded.
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/base/report.cls
Document Class: report 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/base/size10.clo))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/units/nicefrac.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/base/ifthen.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/thmtools/thmtools.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/thmtools/thm-patch.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/thmtools/parseargs.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/thmtools/thm-kv.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/kvsetkeys.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/infwarerr.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/etexcmds.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/ifluatex.sty))))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/thmtools/thm-autoref.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/thmtools/aliasctr.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/carlisle/remreset.sty)))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/thmtools/thm-listof.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/thmtools/thm-restate.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/graphics/color.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/latexconfig/color.cfg)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/xelatex/xetex-def/xetex.def))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/mh/mathtools.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/mh/mhsetup.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/mathdots/mathdots.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/babel/italian.ldf
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.def)))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/fontspec/fontspec.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3names.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3bootstrap.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/etex-pkg/etex.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/latexconfig/graphics.cfg))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3basics.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3expan.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3tl.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3seq.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3int.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3quark.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3prg.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3clist.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3token.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3prop.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3msg.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3file.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3skip.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3keys.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3fp.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3box.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3coffins.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3color.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3luatex.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xparse/xparse.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/fontspec/fontspec-patches.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/base/fixltx2e.sty)
*************************************************
* LaTeX warning: "xparse/redefine-command"
* 
* Redefining document command \oldstylenums with arg. spec. 'm' on line 107.
*************************************************
) (/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/fontspec/fontspec-xetex.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/euenc/eu1enc.def)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/euenc/eu1lmr.fd))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/xelatex/xunicode/xunicode.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/tipa/t3enc.def
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/euenc/eu1lmss.fd))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/fontspec/fontspec.cfg)))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/xltxtra/xltxtra.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/ifxetex/ifxetex.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/realscripts/realscripts.sty
*************************************************
* LaTeX warning: "xparse/redefine-command"
* 
* Redefining document command \textsubscript with arg. spec. 's' on line 25.
*************************************************
*************************************************
* LaTeX warning: "xparse/redefine-command"
* 
* Redefining document command \textsuperscript with arg. spec. 's' on line 28.
*************************************************
) (/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/metalogo/metalogo.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/psnfss/mathptmx.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/hobsub-hyperref.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/hobsub-generic.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/hyperref/pd1enc.def)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/xelatex/xetexconfig/hyperref.cfg)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty))

Package hyperref Message: Driver (autodetected): hxetex.

(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hxetex.def
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/hyperref/puenc.def)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/stringenc.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/rerunfilecheck.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/base/textcomp.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/base/ts1enc.def)) (./app_An_2.aux
) (/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/babel/lgrcmr.fd)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/tipa/t3cmr.fd)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/base/ts1cmr.fd)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/hyperref/nameref.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/gettitlestring.sty))
(./app_An_2.out) (./app_An_2.out)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/psnfss/ot1ztmcm.fd)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/psnfss/omlztmcm.fd)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/psnfss/omsztmcm.fd)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/psnfss/omxztmcm.fd)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/psnfss/ot1ptm.fd)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/se-ascii-print.def)
[1] [0]
Capitolo 1.

Overfull \hbox (3.07216pt too wide) in paragraph at lines 480--481
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 poi Barutello-Conti-Ferrario-Terracini (Ferrario
 è QUEL Ferrario) Analisi Ma-
[1]
Overfull \hbox (31.02466pt too wide) in paragraph at lines 525--526
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 il più piccolo chiuso che contiene $\OML/ztmcm/m
/it/10 A$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 , e si indica con $[] \OT1/ztmcm/m/n/10 
= [] \OML/ztmcm/m/it/10 C$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 , ove $\OMS/ztmcm/m/n/1
0 C \OT1/ztmcm/m/n/10 = []$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 ;

Overfull \hbox (1.42163pt too wide) in paragraph at lines 528--529
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 La \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 frontiera di $\
OML/ztmcm/m/it/10 A \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^R \OML/ztmcm/m/it/10 X$ \EU1/TimesNewRo
man(1)/m/it/10 è $\OML/ztmcm/m/it/10 @A \OT1/ztmcm/m/n/10 = [] \OMS/ztmcm/m/n/
10 \ []$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 . 
[2]
Overfull \hbox (3.0502pt too wide) in paragraph at lines 568--569
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Disegnare le palle $\OML/ztmcm/m/it/10 B\OT1/zt
mcm/m/n/10 ([]\OML/ztmcm/m/it/10 ; \OT1/ztmcm/m/n/10 1)$ \EU1/TimesNewRoman(1)/
m/it/10 ri-

Package thmtools Warning: Unused key `d_e)$' on input line 578.

[3]

Package thmtools Warning: Unused key `X)' on input line 581.


Package thmtools Warning: Unused key `d_{infinito})$' on input line 581.


Overfull \hbox (4.0918pt too wide) in paragraph at lines 582--583
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Sia $\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 X; d
[]\OT1/ztmcm/m/n/10 )$
<use  "PallaNormaUniforme.jpg" >
Overfull \hbox (0.7008pt too wide) in paragraph at lines 590--591
[]

Overfull \hbox (11.58691pt too wide) in paragraph at lines 592--593
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 a[] []a[]
[4] [5] [6]
Capitolo 2.

Overfull \hbox (11.33545pt too wide) in paragraph at lines 643--644
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 È cruciale che

Overfull \hbox (0.81293pt too wide) in paragraph at lines 662--663
[]$\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 X; d[]\OT1/ztmcm/m/n/10 )\OML/ztmcm/m/
it/10 ; \OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 Y; d[]\OT1/ztmcm/m/n/10 )$ \EU1/T
imesNewRoman(1)/m/it/10 spa-
[7] [8]
Overfull \hbox (2.02637pt too wide) in paragraph at lines 734--735
[]
[9]
Overfull \hbox (0.17279pt too wide) in paragraph at lines 742--743
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Le funzioni $\OML/ztmcm/m/it/10 ^^Y[] \OT1/ztmc
m/m/n/10 : \U/msb/m/n/10 R[] \OMS/ztmcm/m/n/10 ! \U/msb/m/n/10 R$ \EU1/TimesNew
Roman(1)/m/it/10 de-
[10]

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Overfull \hbox (1.37788pt too wide) in paragraph at lines 792--793
[]$\OML/ztmcm/m/it/10 f$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 è continua
[11] <use  "GraficoAggiuntivo3.10.jpg" > [12]
Capitolo 3.

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Overfull \hbox (3.87569pt too wide) in paragraph at lines 825--826
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Dati []a[]
[13]
Overfull \hbox (5.51538pt too wide) in paragraph at lines 856--857
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se $\OML/ztmcm/m/it/10 f[]$ \EU1/TimesNewRoman(
1)/m/it/10 conver-

Overfull \hbox (14088.24751pt too wide) in paragraph at lines 858--860
\OML/ztmcm/m/it/10 t$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 , e quindi anche per il $\OML
/ztmcm/m/it/10 t$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 della convergenza puntuale. []a[
]

Overfull \hbox (13890.2549pt too wide) in paragraph at lines 858--860
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[] []a[]

Overfull \hbox (2.49187pt too wide) in paragraph at lines 861--862
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Consideriamo  []a[]
[14]
Overfull \hbox (13995.25569pt too wide) in paragraph at lines 890--892
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Il ragionamento è identico[][][]. []a[]

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Overfull \hbox (2.43004pt too wide) in paragraph at lines 902--903
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Si dice \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Spazio Met
rico Completo \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 uno

Overfull \hbox (4.79169pt too wide) in paragraph at lines 911--912
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Un sottospazio chiuso di uno

Overfull \hbox (14.07715pt too wide) in paragraph at lines 917--918
[]

Overfull \hbox (14009.39554pt too wide) in paragraph at lines 919--921
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Dimostrazione dopo una pausa. []a[]
[15]
Overfull \hbox (14067.50195pt too wide) in paragraph at lines 948--951
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 ossia $\OML/ztmcm/m/it/10 f$ \EU1/TimesNewRoman(1)
/m/n/10 è limitata perché $\OMS/ztmcm/m/n/10 8\OML/ztmcm/m/it/10 t$ \EU1/Time
sNewRoman(1)/m/n/10 sta in $\OML/ztmcm/m/it/10 B\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m
/it/10 x[]; [] \OT1/ztmcm/m/n/10 + \OML/ztmcm/m/it/10 R\OT1/ztmcm/m/n/10 )$[][]
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 . []a[]
[16]
Overfull \hbox (0.27507pt too wide) in paragraph at lines 958--959
[] \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se 

Overfull \hbox (7.26709pt too wide) in paragraph at lines 973--974
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se $\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 X; d[
]\OT1/ztmcm/m/n/10 )\OML/ztmcm/m/it/10 ; \OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 
Y; d[]\OT1/ztmcm/m/n/10 )$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 sono spazi me-
[17] <use  "Grafico1.jpg" > [18] <use  "Grafico2.jpg" >
Overfull \hbox (21.34341pt too wide) in paragraph at lines 1007--1008
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Verificare che $\OML/ztmcm/m/it/10 C[]\OT1/ztmc
m/m/n/10 ([\OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@\OT1/ztmcm/m/n/10 1\OML/ztmcm/m/it/10 ; \OT1/zt
mcm/m/n/10 1])$
[19]
Capitolo 4.

Overfull \hbox (13.8305pt too wide) in paragraph at lines 1041--1042
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Che sia positiva è ovvio: l’integrale di una 
funzione positiva è positivo, e l’integranda
[20]
Overfull \hbox (6.93695pt too wide) in paragraph at lines 1051--1052
\OML/ztmcm/m/it/10 X \OMS/ztmcm/m/n/10 ! \U/msb/m/n/10 R$\EU1/TimesNewRoman(1)/
m/it/10 , è continua se $\OML/ztmcm/m/it/10 X[]$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10
 è munito della metrica prodotto $[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ((\OML/ztmcm/m/it/10 x[]
; x[]\OT1/ztmcm/m/n/10 )\OML/ztmcm/m/it/10 ; \OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it
/10 x[]; x[]\OT1/ztmcm/m/n/10 )) = \OML/ztmcm/m/it/10 d\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/
ztmcm/m/it/10 x[]; x[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ) +

Overfull \hbox (2.69273pt too wide) detected at line 1060
\OML/ztmcm/m/it/10 d\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 x[]; x[]\OT1/ztmcm/m/
n/10 ) + \OML/ztmcm/m/it/10 d\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 x[]; x[]\OT1
/ztmcm/m/n/10 ) \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^U \OML/ztmcm/m/it/10 d\OT1/ztmcm/m/n/10 (\O
ML/ztmcm/m/it/10 x[]; x[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ) \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ \OML/ztmcm/m
/it/10 d\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 x[]; x[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ) + \OM
L/ztmcm/m/it/10 d\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 x[]; x[]\OT1/ztmcm/m/n/1
0 ) \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ \OML/ztmcm/m/it/10 d\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/i
t/10 x[]; x[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ) = \OML/ztmcm/m/it/10 d\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/
ztmcm/m/it/10 x[]; x[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ) \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ \OML/ztmcm/m/it
/10 d\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 x[]; x[]\OT1/ztmcm/m/n/10 );
[21] [22]
Overfull \hbox (10.98886pt too wide) in paragraph at lines 1122--1124
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Verificare che $\OML/ztmcm/m/it/10 C[]\OT1/ztmc
m/m/n/10 ([\OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@\OT1/ztmcm/m/n/10 1\OML/ztmcm/m/it/10 ; \OT1/zt
mcm/m/n/10 1])\OML/ztmcm/m/it/10 ; d[]$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 ove $\OML
/ztmcm/m/it/10 d[]\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 f; g\OT1/ztmcm/m/n/10 )
 = [][] \OMS/ztmcm/m/n/10 j\OML/ztmcm/m/it/10 f\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/
it/10 x\OT1/ztmcm/m/n/10 )\OML/ztmcm/m/it/10 g\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/i
t/10 x\OT1/ztmcm/m/n/10 )\OMS/ztmcm/m/n/10 j\OML/ztmcm/m/it/10 dx$
[23] <use  "GraficoEffeEnne.jpg" > [24]
Capitolo 5.
[25] [26]
Overfull \hbox (5.33203pt too wide) in paragraph at lines 1214--1215
[]
[27]
Overfull \hbox (2.23633pt too wide) in paragraph at lines 1226--1227
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Una fun-
<use  "GraficiTanti.png" > [28] [29] [30] [31] [32] [33]
Capitolo 6.

Overfull \hbox (19.36523pt too wide) in paragraph at lines 1362--1363
[]

Overfull \hbox (17.47559pt too wide) in paragraph at lines 1376--1377
[]

Overfull \hbox (2.19238pt too wide) in paragraph at lines 1379--1380
[]
[34]

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(hyperref)                removing `math shift' on input line 1386.


Overfull \hbox (3.47523pt too wide) in paragraph at lines 1405--1406
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se $\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 X; []
\OT1/ztmcm/m/n/10 )$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 è uno spazio normato e $\OT
1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 X; d[]\OT1/ztmcm/m/n/10 )$
[35]
Overfull \hbox (0.18137pt too wide) in paragraph at lines 1422--1423
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se invece introduco 

Overfull \hbox (1.49252pt too wide) in paragraph at lines 1435--1436
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Siano $\OML/ztmcm/m/it/10 f[] \OMS/ztmcm/m/n/10
 2 \OML/ztmcm/m/it/10 C[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ([\OML/ztmcm/m/it/10 a; b\OT1/ztmcm/
m/n/10 ])$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 una suc-
[36]
Overfull \hbox (4.43848pt too wide) in paragraph at lines 1472--1473
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Su uno
[37] [38]
Overfull \hbox (0.33118pt too wide) in paragraph at lines 1501--1502
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Siano $\OML/ztmcm/m/it/10 X$ \EU1/TimesNewRoman
(1)/m/it/10 uno spa-

Overfull \hbox (2.07358pt too wide) in paragraph at lines 1516--1517
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Dimostrare la proposizio-
[39] [40]
Capitolo 7.

Overfull \hbox (5.64885pt too wide) in paragraph at lines 1545--1546
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Sia $\OML/ztmcm/m/it/10 f[]$ \EU1/TimesNewRoman
(1)/m/it/10 una suc-

Overfull \hbox (5.8008pt too wide) in paragraph at lines 1548--1549
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Si dice che con-

Overfull \hbox (9.13576pt too wide) in paragraph at lines 1551--1552
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Si diche che con-

Overfull \hbox (29.7151pt too wide) in paragraph at lines 1562--1563
[]  \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Sia $[]$ una successione in $\OMS/ztmcm/m/n/1
0 L\OT1/ztmcm/m/n/10 ((\OML/ztmcm/m/it/10 a; b\OT1/ztmcm/m/n/10 )\OML/ztmcm/m/i
t/10 ; \U/msb/m/n/10 R\OT1/ztmcm/m/n/10 )$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 .
[41]
Overfull \hbox (13.2666pt too wide) in paragraph at lines 1569--1570
[]

Overfull \hbox (14053.27283pt too wide) in paragraph at lines 1572--1583
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 rie numeriche: $[] \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^T \OML/ztmc
m/m/it/10 a[]$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 e $\OML/ztmcm/m/it/10 a[]$ \EU1/Tim
esNewRoman(1)/m/n/10 converge[][][]. []a[]
[42]

Package thmtools Warning: Unused key `Assoluta ed Uniforme di una serie di funz
ioni' on input line 1606.


Overfull \hbox (9.56871pt too wide) in paragraph at lines 1607--1608
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Determinare gli insiemi di convergenza pun-
[43]
Capitolo 8.
[44] [45] [46] [47]
Capitolo 9.

Overfull \hbox (3.612pt too wide) in paragraph at lines 1724--1725
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Disuguaglianza triangolare: segue dalla subaddit
ività della norma; infatti $\OML/ztmcm/m/it/10 d\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/
m/it/10 x; z\OT1/ztmcm/m/n/10 ) =
[48]
Capitolo 10.
[49] [50] [51]

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[52]
Overfull \hbox (5.22136pt too wide) in paragraph at lines 1852--1853
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Imitare la

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[53]

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[54] [55]
Capitolo 11.
[56] [57] [58]
Capitolo 12.

Overfull \hbox (6.42036pt too wide) detected at line 2000
[] [] \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^T [] \OML/ztmcm/m/it/10 g[]\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/zt
mcm/m/it/10 x\OT1/ztmcm/m/n/10 ) \OMS/ztmcm/m/n/10 ^ \OML/ztmcm/m/it/10 g[]\OT1
/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 x\OT1/ztmcm/m/n/10 ) \OMS/ztmcm/m/n/10 ! \OT1
/ztmcm/m/n/10 0    \OML/ztmcm/m/it/10 uniformemente  \OT1/ztmcm/m/n/10 =[]\OMS/
ztmcm/m/n/10 )  \OML/ztmcm/m/it/10 f[] \OMS/ztmcm/m/n/10 ! \OT1/ztmcm/m/n/10 0 
   \OML/ztmcm/m/it/10 unformemente:

Overfull \hbox (11.91194pt too wide) detected at line 2003
\OML/ztmcm/m/it/10 g[]\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 x\OT1/ztmcm/m/n/10 
) = \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@[] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 = \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@[] [] \
OML/ztmcm/m/it/10 :
[59] [60]
Overfull \hbox (32577.95602pt too wide) in paragraph at lines 2048--2050
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Il tutto si riassume nel seguente grafico:   
<use  "GraficoLogModuloUnoSuXAllaN.jpg" > [61] [62] [63]
<use  "GraficoOsta.jpg" >
Overfull \hbox (11.43306pt too wide) in paragraph at lines 2086--2088
[][]
[64] [65] [66]
Capitolo 13.

Overfull \hbox (14014.9115pt too wide) in paragraph at lines 2125--2127
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 lor centrata nel centro della serie. []a[]
<use  "FunzioneStrana.png" > [67]
Overfull \hbox (22.82028pt too wide) in paragraph at lines 2138--2139
[]
[68]
Overfull \hbox (5.1815pt too wide) in paragraph at lines 2156--2157
[]$\OML/ztmcm/m/it/10 f\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 x\OT1/ztmcm/m/n/10
 ) = \OML/ztmcm/m/it/10 e[]$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 ,
[69]
Overfull \hbox (2.09459pt too wide) in paragraph at lines 2198--2199
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Dirò che $\OML/ztmcm/m/it/10 f$ \EU1/TimesNewR
oman(1)/m/it/10 è con-

Overfull \hbox (0.61064pt too wide) in paragraph at lines 2201--2202
[]$\OML/ztmcm/m/it/10 f\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 x\OT1/ztmcm/m/n/10
 ) = \OML/ztmcm/m/it/10 x \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ \OT1/ztmcm/m/n/10 [\OML/ztmcm/m
/it/10 x\OT1/ztmcm/m/n/10 ]$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 è chiaramente non c
on-
<use  "x-[x].jpg" > [70]

LaTeX Warning: File `rad(abs(x)).jpg' not found on input line 2207.

<use  "rad(abs(x)).jpg" >
Overfull \hbox (11370.1878pt too wide) in paragraph at lines 2207--2209
[][]  []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]

Overfull \hbox (1.5788pt too wide) in paragraph at lines 2210--2211
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Si dice \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 somma trig
onometrica $\OML/ztmcm/m/it/10 n$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 -sima
[71] [72]
Overfull \hbox (2.21844pt too wide) in paragraph at lines 2239--2240
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Questi coefficienti si dicono \EU1/TimesNewRoma
n(1)/m/n/10 coefficien-

Overfull \hbox (10.54524pt too wide) in paragraph at lines 2245--2246
[]
[73] [74]

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(hyperref)                removing `math shift' on input line 2287.


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[75]

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(hyperref)                removing `superscript' on input line 2327.


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(hyperref)                removing `math shift' on input line 2327.

[76] [77]
Capitolo 14.

Overfull \hbox (2.64648pt too wide) in paragraph at lines 2350--2351
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Prendia-
[78] [79] [80]
Overfull \hbox (5.40527pt too wide) in paragraph at lines 2399--2400
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Prendia-
[81]
Overfull \hbox (5.98633pt too wide) in paragraph at lines 2422--2423
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 L’ipo-

Overfull \hbox (2.61719pt too wide) in paragraph at lines 2425--2426
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Provare che

Overfull \hbox (3.72559pt too wide) in paragraph at lines 2431--2432
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Prendia-
<use  "BizzarriaPeriodica.png" >
Overfull \hbox (10.65944pt too wide) in paragraph at lines 2437--2439
[]
[82] [83] [84] [85]
Capitolo 15.
<use  "Strana.png" > [86]
Overfull \hbox (13900.81642pt too wide) in paragraph at lines 2517--2519
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[87]
** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 1 267.772 0]
 [88]
Overfull \hbox (3.50586pt too wide) in paragraph at lines 2565--2566
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se

Overfull \hbox (12.66113pt too wide) in paragraph at lines 2583--2584
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 a[] []a[]
[89]
Overfull \hbox (3.15198pt too wide) in paragraph at lines 2611--2612
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se $\OML/ztmcm/m/it/10 f$ \EU1/TimesNewRoman(1)
/m/it/10 è differen-
[90]
Overfull \hbox (3.79538pt too wide) in paragraph at lines 2636--2637
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 In $[][]$ consideria-

Overfull \hbox (4.28981pt too wide) in paragraph at lines 2651--2652
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se 
[91] [92** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 1 325.883 0]
]
Underfull \hbox (badness 3769) in paragraph at lines 2685--2685
[][][]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/8 Infatti la prima parentesi risulterà moltipl
icata per $[] \OMS/ztmcm/m/n/8 ^^T \OT1/ztmcm/m/n/8 1$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n
/8 , e la seconda per
[93] [94] [95]
Capitolo 16.
[96] [97]
Overfull \hbox (2.6265pt too wide) detected at line 2820
\OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@\OT1/ztmcm/m/n/10 1 \OML/ztmcm/m/it/10 < [] < \OT1/ztmcm/m
/n/10 1 \OMS/ztmcm/m/n/10 _ [] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 = 4  =[]\OMS/ztmcm/m/n/10 )
  ^^@\OT1/ztmcm/m/n/10 4 \OML/ztmcm/m/it/10 < [] [] < \OT1/ztmcm/m/n/10 4 \OMS/
ztmcm/m/n/10 _ [] \OT1/ztmcm/m/n/10 = \OML/ztmcm/m/it/10 e[]  \OT1/ztmcm/m/n/10
 =[]\OMS/ztmcm/m/n/10 ) 
[98] [99] [100] <use  "EffeEnneSchifosa.jpg" >
Overfull \hbox (14213.79672pt too wide) in paragraph at lines 2868--2870
[][] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[101]
Overfull \hbox (8.19376pt too wide) detected at line 2871
\OT1/ztmcm/m/n/10 = \OML/ztmcm/m/it/10 n [] x [] [][] \OT1/ztmcm/m/n/10 = \OML/
ztmcm/m/it/10 n [] [] [][] \OT1/ztmcm/m/n/10 =
[102]
Overfull \hbox (0.22302pt too wide) in paragraph at lines 2893--2894
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Si studino la convergenza puntuale ed uniforme 
della suc-
[103] <use  "SchifoIntegrale.jpg" >
Overfull \hbox (14213.79672pt too wide) in paragraph at lines 2906--2908
[][] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[104]
Overfull \hbox (1.12056pt too wide) in paragraph at lines 2910--2912
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Innanzitutto noto che per $\OML/ztmcm/m/it/10 x < 
\OT1/ztmcm/m/n/10 0$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 il limite è $[][] []\OML/ztm
cm/m/it/10 e[]dx \OT1/ztmcm/m/n/10 = \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@1$\EU1/TimesNewRoman(
1)/m/n/10 , e questo valore dell’inte-
[105] [106]
Capitolo 17.
[107] [108] [109] [110] [111] [112] [113]
Capitolo 18.
[114]

Package thmtools Warning: Unused key `ed espressione del Differenziale' on inpu
t line 3131.


Overfull \hbox (19.96582pt too wide) in paragraph at lines 3132--3133
[]
[115]
Overfull \hbox (17.70459pt too wide) in paragraph at lines 3143--3143
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/bx/n/14.4 Operazioni che mantengono la differenziabilit
à: som-

Package thmtools Warning: Unused key `prodotto e inverso' on input line 3145.

[116]

Package thmtools Warning: Unused key `Proprietà (Lipschitzianità in ogni $U(\
relax $\@@underline {\hbox {0}}\mathsurround \z@ $\relax )$) di una funzione li
neare' on input line 3166.


Overfull \hbox (5.30495pt too wide) in paragraph at lines 3181--3182
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/bx/n/10 (Regola della Catena) \EU1/TimesNewRoman(1)/m/i
t/10 Siano $\OT1/ztmcm/m/n/10 
 \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^R \U/msb/m/n/10 R[]$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 ,

Overfull \hbox (12.41966pt too wide) detected at line 3193
\OT1/ztmcm/m/n/10 +\OML/ztmcm/m/it/10 ^^Z\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 
f\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 P \OT1/ztmcm/m/n/10 + \OML/ztmcm/m/it/10
 H\OT1/ztmcm/m/n/10 ) \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ \OML/ztmcm/m/it/10 f\OT1/ztmcm/m/n/
10 (\OML/ztmcm/m/it/10 P\OT1/ztmcm/m/n/10 )) = \OML/ztmcm/m/it/10 g\OT1/ztmcm/m
/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 f\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 P\OT1/ztmcm/m/
n/10 )) + \OML/ztmcm/m/it/10 dg\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 f\OT1/ztmc
m/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 P\OT1/ztmcm/m/n/10 ))(\OML/ztmcm/m/it/10 df\OT1/zt
mcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 P\OT1/ztmcm/m/n/10 )(\OML/ztmcm/m/it/10 H\OT1/zt
mcm/m/n/10 ) + \OML/ztmcm/m/it/10 R\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 H\OT1/
ztmcm/m/n/10 )) + \OML/ztmcm/m/it/10 ^^Z\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 f
\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 P \OT1/ztmcm/m/n/10 + \OML/ztmcm/m/it/10 
H\OT1/ztmcm/m/n/10 ) \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ \OML/ztmcm/m/it/10 f\OT1/ztmcm/m/n/1
0 (\OML/ztmcm/m/it/10 P\OT1/ztmcm/m/n/10 )) =
[117]
Overfull \hbox (1.27605pt too wide) in paragraph at lines 3213--3214
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Supponiamo di []a[]
[118]
Overfull \hbox (7.96199pt too wide) detected at line 3223
\OML/ztmcm/m/it/10 J[]\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 t\OT1/ztmcm/m/n/10 
) = \OML/ztmcm/m/it/10 J[]\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 f[]\OT1/ztmcm/m
/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 t\OT1/ztmcm/m/n/10 )\OML/ztmcm/m/it/10 ; f[]\OT1/ztmc
m/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 t\OT1/ztmcm/m/n/10 ))\OML/ztmcm/m/it/10 J[]\OT1/zt
mcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 t\OT1/ztmcm/m/n/10 ) = [] \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^A 
[] \OT1/ztmcm/m/n/10 =
[119]
Capitolo 19.
[120] [121] [122] <use  "BizzarriaPeriodica2.png" >
Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 3296--3298
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[123] [124] [125] [126]
Capitolo 20.

Overfull \hbox (14.21387pt too wide) in paragraph at lines 3361--3362
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Siano $\OML/ztmcm/m/it/10 f \OT1/ztmcm/m/n/10 :
 
 \OMS/ztmcm/m/n/10 !
[127] [128]** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 1 249.297 0]

Overfull \hbox (49.19547pt too wide) in paragraph at lines 3407--3408
\U/msb/m/n/10 R[]$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 aperto e $\OML/ztmcm/m/it/10 P
 \OMS/ztmcm/m/n/10 2 \OT1/ztmcm/m/n/10 
$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 , e $\OML/ztmcm/m/it/10 k; h \OMS/ztmcm/m/n/10 2
$ $2
[129]
Overfull \hbox (31.38315pt too wide) in paragraph at lines 3445--3446
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se $[] \OMS/ztmcm/m/n/10 2 \U/msb/m/n/10 R[]$ \
EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 con $[] \OT1/ztmcm/m/n/10 = []$

Overfull \hbox (4.84012pt too wide) in paragraph at lines 3453--3454
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Dato $\OML/ztmcm/m/it/10 k \OMS/ztmcm/m/n/10 2 
\U/msb/m/n/10 N$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 e $\OT1/ztmcm/m/n/10 
 \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^R

Overfull \hbox (6.43936pt too wide) in paragraph at lines 3471--3472
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Siano $\OT1/ztmcm/m/n/10 
 \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^R
[130]

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(hyperref)                removing `math shift' on input line 3493.


Package hyperref Warning: Token not allowed in a PDF string (Unicode):
(hyperref)                removing `math shift' on input line 3493.

[131] [132] [133]** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 1 344.216 0]
 [134]
Capitolo 21.
[135] [136] [137]
Overfull \hbox (2.4921pt too wide) in paragraph at lines 3596--3598
$\OML/ztmcm/m/it/10 x$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 darebbe problemi se fosse m
inore di $\OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@\OT1/ztmcm/m/n/10 1$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/1
0 perché renderebbe negativo l’argomento

Overfull \hbox (13937.48637pt too wide) in paragraph at lines 3599--3601
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]AnCo:
[138]
Overfull \hbox (2.24658pt too wide) in paragraph at lines 3603--3604
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 cioè se converge uniformemente su $\OT1/ztmcm/m
/n/10 [0\OML/ztmcm/m/it/10 ; \OT1/ztmcm/m/n/10 1]$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10
 convergerà anche puntualmente su $\OT1/ztmcm/m/n/10 [0\OML/ztmcm/m/it/10 ; \O
T1/ztmcm/m/n/10 1]$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 ? 

Overfull \hbox (13939.67876pt too wide) in paragraph at lines 3604--3611
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 grazie” []a[]

Overfull \hbox (14076.17456pt too wide) in paragraph at lines 3604--3611
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Io: “Dimmi di ke esercizio stai parlando .” []
a[]

Overfull \hbox (14105.24716pt too wide) in paragraph at lines 3604--3611
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 AnCo: “pagina 137 del pdf.. $[]$ in $\OT1/ztmcm/
m/n/10 (0\OML/ztmcm/m/it/10 ; \OT1/ztmcm/m/n/10 1)$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10
 ” []a[]

Overfull \hbox (14038.4304pt too wide) in paragraph at lines 3604--3611
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Io: “Finisco Cinese poi guardo.” []a[]

Overfull \hbox (14006.46425pt too wide) in paragraph at lines 3604--3611
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 AnCo: “perfetto grazie” []a[]
[139] [140] [141] [142] <use  "MantissaStrana.jpg" >
Overfull \hbox (14223.79675pt too wide) in paragraph at lines 3708--3710
[][] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[143] [144] [145]
Capitolo 22.

Overfull \hbox (7.181pt too wide) in paragraph at lines 3769--3770
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Si dice \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 de-
[146]
Overfull \hbox (4.44658pt too wide) in paragraph at lines 3786--3787
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se $\OML/ztmcm/m/it/10 f$ \EU1/TimesNewRoman(1)
/m/it/10 è continua, de-
[147] [148]
Overfull \hbox (6.92216pt too wide) detected at line 3854
[] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 = [] [] =

Overfull \hbox (5.48344pt too wide) detected at line 3855
\OT1/ztmcm/m/n/10 = [] [] =

Overfull \hbox (34.26433pt too wide) detected at line 3856
\OT1/ztmcm/m/n/10 = [] [] = [] [] =
[149] [150] [151] [152] [153]
Capitolo 23.
[154] [155]
Overfull \hbox (13.3039pt too wide) in paragraph at lines 4021--4022
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se invece $\OML/ztmcm/m/it/10 f \OMS/ztmcm/m/n/
10 2 \OML/ztmcm/m/it/10 C[]\OT1/ztmcm/m/n/10 (
)$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 ,
[156] [157] [158]
Overfull \hbox (8.91835pt too wide) in paragraph at lines 4096--4098
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 di Ferrario, equivalente a quella della Felli con 
dimostrazione immediata dell’equivalenza,
[159] [160]
Capitolo 24.
[161] [162] [163]
Overfull \hbox (11.47821pt too wide) in paragraph at lines 4229--4229
\EU1/TimesNewRoman(1)/bx/n/14.4 Algebra Lineare, sistemiamo quel problema di es
em-
[164] [165] [166] <use  "SezioniFunzioneStrana.png" >
Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 4272--4276
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[167] [168]
Capitolo 25.
[169] [170]
Overfull \hbox (0.36993pt too wide) detected at line 4334
[] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 = [] \OML/ztmcm/m/it/10 h[] [] h[] \OT1/ztmcm/m/n/10 = 
[] \OML/ztmcm/m/it/10 :

Overfull \hbox (6.72116pt too wide) detected at line 4338
[] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 = [] []\OML/ztmcm/m/it/10 :

Overfull \hbox (12.45284pt too wide) detected at line 4351
[] []\OT1/ztmcm/m/n/10 (0\OML/ztmcm/m/it/10 ; \OT1/ztmcm/m/n/10 0) = [] [] \OML
/ztmcm/m/it/10 :

Overfull \hbox (13.56497pt too wide) detected at line 4353
[] \OT1/ztmcm/m/n/10 4\OML/ztmcm/m/it/10 ^^K^^Z[] [][] [] ^^Z[] \OMS/ztmcm/m/n/
10 ^^A \OML/ztmcm/m/it/10 ^^Z [] ^^R \OT1/ztmcm/m/n/10 + \OML/ztmcm/m/it/10 ^^Z
[] [][] []:
[171] [172]
Capitolo 26.
[173]** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 1 317.206 0]
** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 1 317.206 0]
 <use  "PeriodicitaStrana.png" >
Overfull \hbox (14011.32916pt too wide) in paragraph at lines 4385--4388
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Guardiamo com’è fatta $\OML/ztmcm/m/it/10 g$\
EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 : []a[]

Overfull \hbox (14223.79675pt too wide) in paragraph at lines 4385--4388
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[174] [175]
Capitolo 27.
[176] [177] [178] [179] [180] [181] [182]
Overfull \hbox (1.02652pt too wide) in paragraph at lines 4616--4616
\EU1/TimesNewRoman(1)/bx/n/14.4 no nuovi o sono una riscrittura delle condizion
i del-

Overfull \hbox (14017.44946pt too wide) in paragraph at lines 4620--4622
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Ricordiamole prima tutte. Soave: []a[]
[183]
Overfull \hbox (14053.12338pt too wide) in paragraph at lines 4647--4653
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Quelle della sella sono ancora $[] \OMS/ztmcm/m/n/
10 H 6\OT1/ztmcm/m/n/10 = 0$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 .” []a[]

Overfull \hbox (13906.9297pt too wide) in paragraph at lines 4647--4653
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Felli: []a[]

Overfull \hbox (13934.13837pt too wide) in paragraph at lines 4647--4653
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 “\EU1/TimesNewRoman(1)/bx/n/10 Teorema a []\EU1/
TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]

Overfull \hbox (13932.18687pt too wide) in paragraph at lines 4665--4671
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 cioè la tesi.: []a[]

Overfull \hbox (13974.12862pt too wide) in paragraph at lines 4665--4671
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 [defi di punto di sella]: []a[]

Overfull \hbox (13933.03973pt too wide) in paragraph at lines 4665--4671
\EU1/TimesNewRoman(1)/bx/n/10 Teorema b\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 : []a[]
[184]
Overfull \hbox (14166.7069pt too wide) in paragraph at lines 4680--4683
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 e strettamente maggiore se $\OML/ztmcm/m/it/10 H \
OMS/ztmcm/m/n/10 6\OT1/ztmcm/m/n/10 = 0$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 . Quindi $
\OML/ztmcm/m/it/10 P$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 è un minimo locale stretto.
” []a[]
[185]
Overfull \hbox (0.36465pt too wide) detected at line 4706
\OML/ztmcm/m/it/10 i\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 ae \OMS/ztmcm/m/n/10 
^^@ \OML/ztmcm/m/it/10 b[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ) \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ \OML/ztmcm/
m/it/10 f\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 af \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ \OML/zt
mcm/m/it/10 cb\OT1/ztmcm/m/n/10 ) + \OML/ztmcm/m/it/10 c\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML
/ztmcm/m/it/10 bf \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ \OML/ztmcm/m/it/10 ce\OT1/ztmcm/m/n/10 
) \OML/ztmcm/m/it/10 > \OT1/ztmcm/m/n/10 0  =[]\OMS/ztmcm/m/n/10 )  \OML/ztmcm/
m/it/10 i\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 ae \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ \OML/zt
mcm/m/it/10 b[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ) \OML/ztmcm/m/it/10 > f\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OM
L/ztmcm/m/it/10 af \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ \OML/ztmcm/m/it/10 cb\OT1/ztmcm/m/n/10
 ) \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ \OML/ztmcm/m/it/10 c\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it
/10 bf \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ \OML/ztmcm/m/it/10 ce\OT1/ztmcm/m/n/10 )  =[]\OMS/
ztmcm/m/n/10 ) 
[186] [187]
Capitolo 28.
[188] <use  "GraficoSegno.jpg" >
Overfull \hbox (14213.79672pt too wide) in paragraph at lines 4746--4748
[][] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[189] [190] [191] <use  "Rettangoli.jpg" >
Overfull \hbox (14213.79672pt too wide) in paragraph at lines 4824--4826
[][] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[192] [193] [194] [195]
Capitolo 29.
[196] [197] [198] [199] [200] [201] [202]
Capitolo 30.
[203]
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5114--5114
[]

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5114--5114
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Insieme

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5116--5116
[]

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5116--5116


Underfull \hbox (badness 1303) in paragraph at lines 5116--5116
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Misura di un

Overfull \hbox (0.11882pt too wide) in paragraph at lines 5124--5135
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Dimostrare che se $\OML/ztmcm/m/it/10 A$ \EU1/T
imesNewRoman(1)/m/it/10 è un insieme misurabile secondo Peano-Jordan

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5138--5138
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 La caratteri-

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5138--5138
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 stica è inte-

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5138--5138
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 grabile,

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5138--5138
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 quindi per
[204]
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5143--5143
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Rappresentate

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5143--5143
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 le scale, ci

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5143--5143
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 costruiamo

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5143--5143
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 dei curiosi

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5143--5143
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 insiemi che

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5143--5143
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 poi confron-

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5143--5143
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 teremo con
<use  "Disegno1.20131108.jpg" >
Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 5146--5150
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[205]
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5150--5150
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 plurirettango-

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5161--5161
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Dalle inclu-

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5161--5161
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 sioni, disu-

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5161--5161
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 guaglianza

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5161--5161
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 e poi sulle

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5161--5161
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 misure di

Overfull \hbox (13885.81642pt too wide) in paragraph at lines 5160--5162
 []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[206]
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5165--5165
[]

Underfull \hbox (badness 3148) in paragraph at lines 5173--5173
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 siemi limitati

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5179--5179
[]$[][] \OML/ztmcm/m/it/10 P \OT1/ztmcm/m/n/10 =$

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5179--5179
\OT1/ztmcm/m/n/10 = [] \OML/ztmcm/m/it/10 ^^_[] \OT1/ztmcm/m/n/10 =$

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5179--5179
[] [] \OML/ztmcm/m/it/10 ^^_[] \OT1/ztmcm/m/n/10 =

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5184--5184
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Infatti $\U/msb/m/n/10 ?$ \EU1/TimesNewRoman(1)/
m/n/10 è

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5184--5184
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 un pluriret-

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5184--5184
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 tangolo e

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Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5191--5191
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 La frontiera

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5191--5191
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 deve avere

Overfull \hbox (13885.81642pt too wide) in paragraph at lines 5195--5198
 []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]

Overfull \hbox (13890.2549pt too wide) in paragraph at lines 5195--5198
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[] []a[]
[207]
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5198--5198
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Cominciamo

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5204--5204
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Ora $\OMS/ztmcm/m/n/10 ([]\OT1/ztmcm/m/n/10 =$\E
U1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 .

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5204--5204
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5204--5204
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Definizione
<use  "Disegno2.20131108.jpg" >
Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 5212--5216
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]

Overfull \hbox (14161.82774pt too wide) in paragraph at lines 5212--5216
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 rettangolo $\OML/ztmcm/m/it/10 R$\EU1/TimesNewRoma
n(1)/m/n/10 , che è diviso in rettangoli. Colorato in bianco, ancora, $\OML/zt
mcm/m/it/10 P[]$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 .  []a[]
[208] [209]
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5247--5247
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Chiusura e
[210]
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5259--5259
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Chiusura e

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5259--5259
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 interno han-

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5259--5259
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 no misure

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5259--5259
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 diverse, ri-

Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5259--5259
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 spettivamente
[211]
Capitolo 31.
[212] [213]
Overfull \hbox (15.72667pt too wide) detected at line 5361
\OMS/ztmcm/m/n/10 H[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ([]\OML/ztmcm/m/it/10 ; []\OT1/ztmcm/m/n
/10 ) = [] = [] \OML/ztmcm/m/it/10 ;
[214] <use  "Bordo.jpg" >
Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 5373--5375
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[215] [216] [217] [218]
Capitolo 32.

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[219]
Overfull \hbox (6.4392pt too wide) in paragraph at lines 5489--5490
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/bx/n/10 (Additività rispetto all’insieme di integraz
ione) \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Siano $\OML/ztmcm/m/it/10 A; B \OMS/ztmcm/m
/n/10 ^^R
[220] <use  "Frontiera.jpg" >
Overfull \hbox (14203.2352pt too wide) in paragraph at lines 5508--5512
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[] [] []a[]
[221]
Overfull \hbox (5.63254pt too wide) detected at line 5530
[]\OML/ztmcm/m/it/10 s[] \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ []\OML/ztmcm/m/it/10 s[] \OT1/zt
mcm/m/n/10 = [] [] + [] [] [][] \OML/ztmcm/m/it/10 R[] \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^T
[222] [223]** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 1 143.712 0]
** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 1 236.901 0]
** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 1 342.045 0]
** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 1 263.471 0]
 <use  "Ax.jpg" >
Overfull \hbox (13924.43134pt too wide) in paragraph at lines 5547--5551
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 gno sotto. []a[]

Overfull \hbox (14230.09494pt too wide) in paragraph at lines 5547--5551
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[224] <use  "D.jpg" >
Overfull \hbox (14210.17809pt too wide) in paragraph at lines 5568--5570
 [] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[225] [226]** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 1 3046.37 0]
** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 1 202.526 0]

Capitolo 33.
[227] [228] [229] [230] [231] [232]** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 0.27 224.685 -309.778]
** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 0.45 291.611 -214.787]

Capitolo 34.

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<use  "Regione.jpg" >
Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 5756--5758
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[233]

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Overfull \hbox (9.50966pt too wide) in paragraph at lines 5770--5771
\U/msb/m/n/10 R[] \OT1/ztmcm/m/n/10 = \U/msb/m/n/10 R[] \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^B \
U/msb/m/n/10 R$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 . Invece $\OML/ztmcm/m/it/10 A[]$ \
EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 è l’insieme degli $\OML/ztmcm/m/it/10 z$ \EU1/Ti
mesNewRoman(1)/m/n/10 per cui $\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 x; y; z\OT
1/ztmcm/m/n/10 ) \OMS/ztmcm/m/n/10 2 \OML/ztmcm/m/it/10 A$\EU1/TimesNewRoman(1)
/m/n/10 , quindi $\OT1/ztmcm/m/n/10 [\OML/ztmcm/m/it/10 u[]\OT1/ztmcm/m/n/10 (\
OML/ztmcm/m/it/10 x; y\OT1/ztmcm/m/n/10 )\OML/ztmcm/m/it/10 ; u[]\OT1/ztmcm/m/n
/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 x; y\OT1/ztmcm/m/n/10 )]$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 .

[234] [235]** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 0.61 1566.41 -136.791]
** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 0.61 1581.75 -136.791]
** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 0.61 1566.41 -213.845]
** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 0.61 1581.75 -213.845]


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[236] [237] [238]
Capitolo 35.
<use  "Grafico3D.jpg" >
Overfull \hbox (14115.7812pt too wide) in paragraph at lines 5860--5863
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 ci sono massimi locali. Quindi ha un grafico di qu
esto tipo: []a[]
[239] [240] <use  "Regione_.jpg" >
Overfull \hbox (13997.45706pt too wide) in paragraph at lines 5892--5896
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Quindi l’immagine è questa: []a[]

Overfull \hbox (14224.40404pt too wide) in paragraph at lines 5892--5896
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]

Overfull \hbox (5.76065pt too wide) detected at line 5900
[] \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@ [][] \OML/ztmcm/m/it/10 dx \OT1/ztmcm/m/n/10 = [] \OMS
/ztmcm/m/n/10 ^^@ [] \OML/ztmcm/m/it/10 dx \OT1/ztmcm/m/n/10 =
[241]
Overfull \hbox (31.02837pt too wide) in paragraph at lines 5903--5904
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Calcolare, dopo aver invertito l’ordine di in
tegrazione, l’integrale: 
<use  "Regione2.jpg" >
Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 5908--5912
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[242]
Overfull \hbox (4.87456pt too wide) detected at line 5925
[] [] []\OML/ztmcm/m/it/10 dx \OT1/ztmcm/m/n/10 = [][][][][]\OML/ztmcm/m/it/10 
dx \OT1/ztmcm/m/n/10 = [][][]\OML/ztmcm/m/it/10 dx \OT1/ztmcm/m/n/10 =
<use  "Area.jpg" >
Overfull \hbox (13885.81642pt too wide) in paragraph at lines 5938--5941
 []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]

Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 5938--5941
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[243] [244] <use  "Area2.jpg" >
Overfull \hbox (14048.2546pt too wide) in paragraph at lines 5958--5962
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 quindi fuori dal cerchio dell’uguaglianza. []a[]


Overfull \hbox (14224.40404pt too wide) in paragraph at lines 5958--5962
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[245] [246] [247]
Capitolo 36.
[248] [249] [250]
Overfull \hbox (6.11407pt too wide) detected at line 6107
\OT1/ztmcm/m/n/10 ^^I[](\OML/ztmcm/m/it/10 Q[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ) = [] = [] \OM
L/ztmcm/m/it/10 :
[251] [252] [253] <use  "Sferiche.jpg" >
Overfull \hbox (13929.68199pt too wide) in paragraph at lines 6155--6158
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Vale a dire: []a[]

Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 6155--6158
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[254]
Capitolo 37.
[255] [256]
Overfull \hbox (14.36774pt too wide) detected at line 6223
[] [] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 = [] [][] 4[] [] \OML/ztmcm/m/it/10 ^^Rd^^R \OT1/ztm
cm/m/n/10 =
[257]** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 25 1445.25 -22149.4]

Overfull \hbox (0.80244pt too wide) in paragraph at lines 6277--6278
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Si dice \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 equazione 
differenziale a variabili separabili \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 un’equazio
ne
[258]
Overfull \hbox (6.11548pt too wide) in paragraph at lines 6296--6297
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/bx/n/10 (dinamica delle popolazioni) \EU1/TimesNewRoman
(1)/m/it/10 Modello di Malthus (Thomas). Chia-

Overfull \hbox (0.9218pt too wide) in paragraph at lines 6312--6313
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/bx/n/10 (dinamica delle popolazioni 2) \EU1/TimesNewRom
an(1)/m/it/10 Modello logistico di Verhulst. De-
[259] [260] [261]
Capitolo 38.
[262]
Overfull \hbox (34.77005pt too wide) detected at line 6369
\OT1/ztmcm/m/n/10 = [] [] \OML/ztmcm/m/it/10 dz \OT1/ztmcm/m/n/10 =
[263]
Overfull \hbox (3.10394pt too wide) in paragraph at lines 6399--6401
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 dove $\OML/ztmcm/m/it/10 h$ \EU1/TimesNewRoman(1)/
m/n/10 è una coordinata $\OML/ztmcm/m/it/10 z$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 . Q
uesto è il cerchio, lo strato. Noi vogliamo scrivere l’integrale
[264] [265] [266] <use  "Regionexy.jpg" >
Overfull \hbox (14034.94295pt too wide) in paragraph at lines 6474--6477
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Siamo nel I quadrante. È un triangolo. []a[]

Overfull \hbox (14203.2352pt too wide) in paragraph at lines 6474--6477
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[] [] []a[]
[267] <use  "Regioneuv.jpg" >
Overfull \hbox (14042.42126pt too wide) in paragraph at lines 6497--6501
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 La regione in queste coordinate diventa: []a[]

Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 6497--6501
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[268] [269]
Capitolo 39.
[270] [271] <use  "RegioneStrana.png" >
Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 6559--6561
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[272]
Overfull \hbox (2.62732pt too wide) detected at line 6597
[]\OML/ztmcm/m/it/10 ue[][]dudv \OT1/ztmcm/m/n/10 = [][]\OML/ztmcm/m/it/10 e[]d
udv \OT1/ztmcm/m/n/10 = [][] [] \OML/ztmcm/m/it/10 du \OT1/ztmcm/m/n/10 = [] []
 [] = [] [] \OML/ztmcm/m/it/10 :
[273] <use  "TraConi.jpg" >
Overfull \hbox (14033.26926pt too wide) in paragraph at lines 6606--6610
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 quindi sta tra le superfici dei due coni. []a[]

Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 6606--6610
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[274] [275] <use  "ConoParaboloide.jpg" >
Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 6643--6646
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[276] [277] <use  "Tetraedro.jpg" >
Overfull \hbox (14169.30495pt too wide) in paragraph at lines 6694--6697
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 A questo punto è abbastanza facile fare l’integ
razione. E chiudiamo qua. []a[]
[278]
Capitolo 40.
[279] [280] [281] <use  "Pennello.png" >
Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 6797--6801
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[282]
Overfull \hbox (17.59918pt too wide) in paragraph at lines 6814--6815
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se $\OML/ztmcm/m/it/10 F \OT1/ztmcm/m/n/10 = []
 \OMS/ztmcm/m/n/10 2 \OML/ztmcm/m/it/10 C[]\OT1/ztmcm/m/n/10 (
\OML/ztmcm/m/it/10 ; \U/msb/m/n/10 R[]\OT1/ztmcm/m/n/10 )$ \EU1/TimesNewRoman(1
)/m/it/10 con $\OT1/ztmcm/m/n/10 
 \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^R \U/msb/m/n/10 R[] \OT1/ztmcm/m/n/10 = []$
[283] [284] [285] [286]
Capitolo 41.
<use  "Guldino1.jpg" >
Overfull \hbox (1.9448pt too wide) in paragraph at lines 6906--6909
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Supponiamo di avere $\OML/ztmcm/m/it/10 E \OMS/
ztmcm/m/n/10 ^^R \U/msb/m/n/10 R[]$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 misurabile. S
upponiamo $\OML/ztmcm/m/it/10 E \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^Z []\OML/ztmcm/m/it/10 xz$

Overfull \hbox (13940.73016pt too wide) in paragraph at lines 6906--6909
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 chiaro subito. []a[]

Overfull \hbox (14227.811pt too wide) in paragraph at lines 6906--6909
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 a[]
[287] <use  "Guldino2.jpg" >
Overfull \hbox (14048.31021pt too wide) in paragraph at lines 6913--6916
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Immaginiamo di proiettare il solido su $\OML/ztmcm
/m/it/10 xy$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 . []a[]

Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 6913--6916
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[288] [289]
Overfull \hbox (4.91095pt too wide) in paragraph at lines 6937--6939
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 che va bene su $\OT1/ztmcm/m/n/10 3\OML/ztmcm/m/it
/10 x[] \OT1/ztmcm/m/n/10 + \OML/ztmcm/m/it/10 y[] \OT1/ztmcm/m/n/10 = 1$ \EU1/
TimesNewRoman(1)/m/n/10 perché quella roba viene $\OML/ztmcm/m/it/10 ^^Z[] \OT
1/ztmcm/m/n/10 = 1$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 . Quindi si guarda l’equazion
e
[290] [291] [292]** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 0.7 237.96 -139.86]
** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 1 237.96 0]

Overfull \hbox (0.95163pt too wide) detected at line 6993
[] [] \OML/ztmcm/m/it/10 dx[] \OT1/ztmcm/m/n/10 = []\OML/ztmcm/m/it/10 x[] [] d
x[] \OT1/ztmcm/m/n/10 = []\OML/ztmcm/m/it/10 x[] [] dx[] \OT1/ztmcm/m/n/10 =
[293]
Overfull \hbox (3.3737pt too wide) in paragraph at lines 7012--7014
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Adesso viene la parte difficile. Andiamo per induz
ione. Passo base: $\OML/ztmcm/m/it/10 n \OT1/ztmcm/m/n/10 = 3$\EU1/TimesNewRoma
n(1)/m/n/10 . L’integralone
[294] <use  "DoppiaPalla.jpg" >
Overfull \hbox (14062.85034pt too wide) in paragraph at lines 7031--7034
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 fuori da quella centrata in $\OT1/ztmcm/m/n/10 (0\
OML/ztmcm/m/it/10 ; \OT1/ztmcm/m/n/10 0)$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 e di rag
gio $[]$. []a[]

Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 7031--7034
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]
[295] [296]
Capitolo 42.
[297]
Overfull \hbox (14196.38124pt too wide) in paragraph at lines 7088--7089
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/bx/n/10 (di Cauchy-Lipschitz o di esistenza ed unicità
 in piccolo) []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 a[]
[298] [299] [300] [301] [302]
Overfull \hbox (14173.1971pt too wide) in paragraph at lines 7181--7184
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 soluzione. Noi ci vediamo Mercoledì. Lunedì inve
ce avete esercitazione. []a[]
[303]** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 1 162.156 0]
 [304]
Capitolo 43.
[305] [306] [307] [308] [309]
Overfull \hbox (14052.15271pt too wide) in paragraph at lines 7326--7330
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Quindi la funzione è continua nell’origine. []a
[]

Overfull \hbox (13938.54755pt too wide) in paragraph at lines 7326--7330
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 rimane $[] \OML/ztmcm/m/it/10 ^^R$\EU1/TimesNewRom
an(1)/m/n/10 . []a[]
[310] [311]
Capitolo 44.

Overfull \hbox (15.68362pt too wide) in paragraph at lines 7377--7379
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Quindi è continua nell’origine. Vediamo le deri
vate direzionali. Fissiamo $[] \OT1/ztmcm/m/n/10 = []$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n
/10 .

Overfull \hbox (14027.51729pt too wide) in paragraph at lines 7386--7389
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Quindi la funzione è differenziabile. []a[]
[312]
Overfull \hbox (34.15723pt too wide) detected at line 7408
[] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 = [] [] =
[313]
Overfull \hbox (5.96678pt too wide) in paragraph at lines 7420--7422
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Quindi la continuità c’è. A questo punto deriv
ate direzionali. Fissiamo $[] \OT1/ztmcm/m/n/10 = [] \OML/ztmcm/m/it/10 :$

Overfull \hbox (13984.19371pt too wide) in paragraph at lines 7423--7426
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 tazzo di differenziabilità. []a[]

Overfull \hbox (14047.51892pt too wide) in paragraph at lines 7437--7440
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Quindi la differenziabilità ce la sognamo. []a[]
[314]
Overfull \hbox (55.23761pt too wide) detected at line 7449
\OT1/ztmcm/m/n/10 = [] [] =
[315]
Capitolo 45.
[316]

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[317] [318] [319] [320] [321] [322]
Capitolo 46.
[323]
Overfull \hbox (1.82454pt too wide) detected at line 7668
[] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 = [] [] = [] [] =
[324]
Capitolo 47.
[325] [326]
Overfull \hbox (1.27225pt too wide) detected at line 7725
[] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 = [] [] =
[327]
Overfull \hbox (17.55904pt too wide) in paragraph at lines 7756--7758
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 mentre per $\OML/ztmcm/m/it/10 y \OMS/ztmcm/m/n/10
 2 []$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 varierà in $[]$. Quindi l’integrale
[328] [329] [330] [331]
Capitolo 48.
[332]
Overfull \hbox (13920.52997pt too wide) in paragraph at lines 7853--7856
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 scio qua. []a[]
[333] [334]
Capitolo 49.

Overfull \hbox (1.00645pt too wide) in paragraph at lines 7896--7898
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Capire l’intervallo massimale di unicità della 
soluzione è un problema importante. Chie-
[335]
Overfull \hbox (6.14328pt too wide) in paragraph at lines 7930--7932
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 re $[] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 = +\OMS/ztmcm/m/n/10 
1$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 , ove $\OML/ztmcm/m/it/10 d\OT1/ztmcm/m/n/10 ((
\OML/ztmcm/m/it/10 t; Y\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 t\OT1/ztmcm/m/n/10
 ))\OML/ztmcm/m/it/10 ; @\OT1/ztmcm/m/n/10 
) = [] []$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 . 
[336] [337] [338]** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 0.5 1659.39 -255.826]
** WARNING ** Transformation matrix not invertible.
** WARNING ** --- M = [0 0 0 4 2896.86 1313.61]

Overfull \hbox (9.05284pt too wide) in paragraph at lines 8007--8008
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/bx/n/10 (di dipendenza continua dai dati) \EU1/TimesNew
Roman(1)/m/it/10 Siano $\OT1/ztmcm/m/n/10 
 \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^R \U/msb/m/n/10 R[]$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 aperto,
 $\OML/ztmcm/m/it/10 t[]; a; b \OMS/ztmcm/m/n/10 2

Overfull \hbox (51.60872pt too wide) detected at line 8017
[] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 + [] + [] \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^T
[339]
Overfull \hbox (3.40408pt too wide) detected at line 8029
[] \OT1/ztmcm/m/n/10 + [] [] + [] [] + [] [] =

Overfull \hbox (14101.1703pt too wide) in paragraph at lines 8030--8033
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 di domani avete esercitazione, noi ci vediamo Vene
rdì? []a[]
[340] [341]
Overfull \hbox (1.4482pt too wide) in paragraph at lines 8056--8058
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 nella disuguaglianza assunta vera per ipotesi, si 
ottiene la tesi. Quindi diamo un’occhiata
[342]
Capitolo 50.

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[343] [344] [345]
Overfull \hbox (7.11844pt too wide) detected at line 8134
\OML/ztmcm/m/it/10 f[]\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 x\OT1/ztmcm/m/n/10 
) = [][] [] \OML/ztmcm/m/it/10 n [] x \OT1/ztmcm/m/n/10 + [] [] [] \OML/ztmcm/m
/it/10 :
[346] [347] [348]
Capitolo 51.
[349] [350]

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[351] [352] [353] [354]
Capitolo 52.
[355] [356] [357] [358] <use  "SoluzioniEqDiff_.jpg" > [359] [360] [361]
Capitolo 53.
[362] [363] [364] [365] [366] [367] [368]
Capitolo 54.
[369] [370] <use  "Lav.jpg" > [371] [372] [373] [374]
Overfull \hbox (16.74725pt too wide) detected at line 8838
[] \OT1/ztmcm/m/n/10 = \OML/ztmcm/m/it/10 e[] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 = []

Overfull \hbox (6.26563pt too wide) in paragraph at lines 8844--8844
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/bx/n/12 Teorema: soluzione particolare più soluzioni d
el sistema omo-
[375] [376] [377]
Capitolo 55.
<use  "Felli_1.jpg" > [378]
Overfull \vbox (59.42555pt too high) has occurred while \output is active
[379] <use  "Felli_2.jpg" >
Overfull \hbox (13905.2549pt too wide) in paragraph at lines 8913--8915
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[] []a[]
<use  "Felli_3.jpg" >
Overfull \hbox (13905.2549pt too wide) in paragraph at lines 8915--8917
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[] []a[]
[380] <use  "Felli_4.jpg" >
Overfull \hbox (13905.2549pt too wide) in paragraph at lines 8917--8920
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[] []a[]

Overfull \hbox (14227.24948pt too wide) in paragraph at lines 8917--8920
[] []\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[]

Overfull \hbox (14111.42519pt too wide) in paragraph at lines 8917--8920
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 zione parla di \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Equaz
ioni (differenziali) lineari di ordine $\OML/ztmcm/m/it/10 n$\EU1/TimesNewRoman
(1)/m/n/10 . []a[] 
[381] [382] [383]** WARNING ** Invalid ICC profile: Inconsistent checksum.
** WARNING ** Invalid ICC profile: Inconsistent checksum.
** WARNING ** Invalid ICC profile: Inconsistent checksum.
** WARNING ** Invalid ICC profile: Inconsistent checksum.


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[384]
Overfull \hbox (13890.81642pt too wide) in paragraph at lines 8989--8992
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 * []a[]

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[385] [386] [387]

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[388]

LaTeX Warning: Command \l invalid in math mode on input line 9110.


Overfull \hbox (7.81845pt too wide) in paragraph at lines 9117--9118
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 reali del polinomio caratteristico associato allâ
€™equazione, con molteplicità [][][] $[][]\OML/ztmcm/m/it/10 ; [][]; [] ; [][]$

[389] [390]
Capitolo 56.
[391] [392] [393] [394] [395] [396]
Capitolo 57.

Overfull \hbox (0.48544pt too wide) in paragraph at lines 9282--9284
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Allora supponiamo di avere $\OML/ztmcm/m/it/10 z[]
; [] ; z[]$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 soluzioni linearmente indipendenti del
l’equazione
[397] [398] [399]
Overfull \hbox (44.00395pt too wide) in paragraph at lines 9357--9359
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Sommando a $\OML/ztmcm/m/it/10 u$ \EU1/TimesNewRom
an(1)/m/n/10 l’integrale generale dell’omogenea otteniamo l’integrale gen
erale dell’inomogenea.
[400] [401]
Overfull \hbox (14099.89362pt too wide) in paragraph at lines 9427--9430
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 la cui ampiezza aumenta man mano che passa il temp
o. []a[]
[402] [403]
Capitolo 58.

Overfull \hbox (8.13388pt too wide) in paragraph at lines 9434--9434
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/bx/n/14.4 Curve in $\U/msb/m/n/14.4 R[]$\EU1/TimesNewRo
man(1)/bx/n/14.4 : definizione, curve regolari, curve equi-

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Overfull \hbox (15.98764pt too wide) in paragraph at lines 9441--9442
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se $[] \OMS/ztmcm/m/n/10 2 \OML/ztmcm/m/it/10 C
[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ([\OML/ztmcm/m/it/10 a; b\OT1/ztmcm/m/n/10 ]\OML/ztmcm/m/it
/10 ; \U/msb/m/n/10 R[]\OT1/ztmcm/m/n/10 )$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 (cioÃ
š ogni sua componente $[][] \OT1/ztmcm/m/n/10 = [][] \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^N []$ 
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Ú $\OML/ztmcm/m/it/10 C[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ([\OM
L/ztmcm/m/it/10 a; b\OT1/ztmcm/m/n/10 ])$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 )
[404] [405]
Overfull \hbox (0.81007pt too wide) in paragraph at lines 9522--9523
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se invece $\OML/ztmcm/m/it/10 ^^U[]\OT1/ztmcm/m
/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 t\OT1/ztmcm/m/n/10 ) \OML/ztmcm/m/it/10 < \OT1/ztmcm/
m/n/10 0$ $\OMS/ztmcm/m/n/10 8\OML/ztmcm/m/it/10 t \OMS/ztmcm/m/n/10 2 \OT1/ztm
cm/m/n/10 [\OML/ztmcm/m/it/10 c; d\OT1/ztmcm/m/n/10 ]$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/
it/10 si dice che $\OML/ztmcm/m/it/10 ^^U$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 inverte
 l’orientamento. 
<use  "SchemaComposizione.jpg" > [406] [407]
Overfull \hbox (14189.78685pt too wide) in paragraph at lines 9610--9612
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Esiste l’integrale perché $[]$ è $\OML/ztmcm/m
/it/10 C[]$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 , dimostrata l’uguaglianza è provato
 il teorema. []a[]
[408]
Overfull \hbox (45.45709pt too wide) in paragraph at lines 9612--9613
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Cominciamo dimostrando $\OML/ztmcm/m/it/10 L\OT1
/ztmcm/m/n/10 ([]) \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^T [] [] \OML/ztmcm/m/it/10 dt$\EU1/Times
NewRoman(1)/m/n/10 . Consideriamo una partizione []aaaaaaaaaaaaaaaa[]
[409]
Capitolo 59.

Overfull \hbox (3.68584pt too wide) detected at line 9632
[] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 d\OML/ztmcm/m/it/10 t [] [] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 d\OML/
ztmcm/m/it/10 t [] [] [] \OT1/ztmcm/m/n/10 d\OML/ztmcm/m/it/10 t \OT1/ztmcm/m/n
/10 + [] [] d\OML/ztmcm/m/it/10 t \OT1/ztmcm/m/n/10 =
[410] [411]
Overfull \hbox (13.32672pt too wide) detected at line 9658
\OT1/ztmcm/m/n/10 ^^@ []([]) = [][](\OML/ztmcm/m/it/10 S[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ([]
)) [][] ([]) = [][](\OML/ztmcm/m/it/10 S[]\OT1/ztmcm/m/n/10 ([]))[] = [] \OMS/z
tmcm/m/n/10 8[] 2 \OT1/ztmcm/m/n/10 [0\OML/ztmcm/m/it/10 ; L\OT1/ztmcm/m/n/10 (
[])]\OML/ztmcm/m/it/10 :

Overfull \hbox (20.92345pt too wide) in paragraph at lines 9663--9664
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 La curva $\OT1/ztmcm/m/n/10 ^^@$ \EU1/TimesNewR
oman(1)/m/it/10 si dice \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 rappresentazione della cur
va $[]$ in termini dell’ascissa
[412] <use  "Elica.jpg" > [413]

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[414] [415] [416]
Capitolo 60.
[417]
Overfull \hbox (2.78299pt too wide) in paragraph at lines 9792--9794
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 smo. Quindi ad ogni partizione $\OML/ztmcm/m/it/10
 P[]$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 di $[][]$ è associata in modo biiettivo dal
l’omeomorfismo
[418] [419] [420] [421] [422] [423]
Overfull \hbox (3.37502pt too wide) in paragraph at lines 9917--9919
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Questa funzione però non è Lipschitziana in $\U/
msb/m/n/10 R$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 , poiché in $\OMS/ztmcm/m/n/10 ^^@\O
T1/ztmcm/m/n/10 2$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 la derivata tende all’infinit
o.
[424] [425]
Capitolo 61.
[426]
showing defi
showing deficonn
[427] (./app_An_2.loe [428] [429]
Overfull \hbox (2.5pt too wide) detected at line 464
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 40.1.0.10 

Overfull \hbox (2.1289pt too wide) detected at line 465
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 40.1.0.11 

Overfull \hbox (2.5pt too wide) detected at line 467
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 40.1.0.12 

Overfull \hbox (2.5pt too wide) detected at line 470
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 40.1.0.13 

Overfull \hbox (2.5pt too wide) detected at line 471
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 40.1.0.14 

Overfull \hbox (2.5pt too wide) detected at line 474
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 40.2.0.15 

Overfull \hbox (2.5pt too wide) detected at line 477
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 40.2.0.16 
[430]
Overfull \hbox (2.5pt too wide) detected at line 615
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 58.1.1.10 

Overfull \hbox (2.5pt too wide) detected at line 651
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 59.4.0.10 
)
showing teor
[431] (./app_An_2.loe
Overfull \hbox (7.46133pt too wide) in paragraph at lines 107--107
 [][] [][]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Teorema (Integrale del limite uniforme e
 limite uniforme dell’integrale 
[432]
Overfull \hbox (2.5pt too wide) detected at line 558
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 52.1.0.10 

Overfull \hbox (2.1289pt too wide) detected at line 559
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 52.1.0.11 

Overfull \hbox (2.5pt too wide) detected at line 565
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 53.1.0.12 

Overfull \hbox (2.5pt too wide) detected at line 567
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 53.2.0.13 

Overfull \hbox (2.5pt too wide) detected at line 572
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 53.3.0.14 
[433])
showing coro
showing propo
showing fatto
showing lemma
showing pt
showing riass
showing 
[434] (./app_An_2.loe
Overfull \hbox (3.00333pt too wide) in paragraph at lines 250--250
 [][] [][]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Proposizione (Differenziabilità di funz
ioni vettoriali e delle loro com- 
[435])
showing es
[436] (./app_An_2.loe [437] [438])
showing ese
[439] (./app_An_2.loe [440]) [441] (./app_An_2.toc
Overfull \hbox (0.47398pt too wide) in paragraph at lines 14--14
 [][] [][]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Definizione, relazione tra continuità d
i $\OML/ztmcm/m/it/10 f$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 e continuità delle com- 

[442] [443]
Overfull \hbox (12.0004pt too wide) in paragraph at lines 102--102
 [][] [][]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Gradiente e differenziale, differenziabi
lità delle proiezioni, espres- 
[444] [445] [446] [447] [448] [449] [450]) [451] [452] (./app_An_2.aux) )
(see the transcript file for additional information)
Output written on app_An_2.pdf (454 pages).
SyncTeX written on app_An_2.synctex.gz.
Transcript written on app_An_2.log.

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entering extended mode
(./app_An_2.tex
LaTeX2e <2011/06/27>
Babel <v3.8m> and hyphenation patterns for english, dumylang, nohyphenation, ge
rman-x-2012-05-30, ngerman-x-2012-05-30, afrikaans, ancientgreek, ibycus, arabi
c, armenian, basque, bulgarian, catalan, pinyin, coptic, croatian, czech, danis
h, dutch, ukenglish, usenglishmax, esperanto, estonian, ethiopic, farsi, finnis
h, french, friulan, galician, german, ngerman, swissgerman, monogreek, greek, h
ungarian, icelandic, assamese, bengali, gujarati, hindi, kannada, malayalam, ma
rathi, oriya, panjabi, tamil, telugu, indonesian, interlingua, irish, italian, 
kurmanji, latin, latvian, lithuanian, mongolian, mongolianlmc, bokmal, nynorsk,
 polish, portuguese, romanian, romansh, russian, sanskrit, serbian, serbianc, s
lovak, slovenian, spanish, swedish, turkish, turkmen, ukrainian, uppersorbian, 
welsh, loaded.
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/base/report.cls
Document Class: report 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/base/size10.clo))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/units/nicefrac.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/base/ifthen.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/thmtools/thmtools.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/thmtools/thm-patch.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/thmtools/parseargs.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/thmtools/thm-kv.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/kvsetkeys.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/infwarerr.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/etexcmds.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/ifluatex.sty))))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/thmtools/thm-autoref.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/thmtools/aliasctr.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/carlisle/remreset.sty)))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/thmtools/thm-listof.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/thmtools/thm-restate.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/graphics/color.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/latexconfig/color.cfg)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/xelatex/xetex-def/xetex.def))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/mh/mathtools.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/mh/mhsetup.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/mathdots/mathdots.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/babel/italian.ldf
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.def)))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/fontspec/fontspec.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/expl3.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3names.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3bootstrap.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/etex-pkg/etex.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/latexconfig/graphics.cfg))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3basics.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3expan.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3tl.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3seq.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3int.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3quark.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3prg.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3clist.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3token.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3prop.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3msg.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3file.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3skip.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3keys.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3fp.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3box.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3coffins.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3color.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3kernel/l3luatex.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/l3packages/xparse/xparse.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/fontspec/fontspec-patches.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/base/fixltx2e.sty)
*************************************************
* LaTeX warning: "xparse/redefine-command"
* 
* Redefining document command \oldstylenums with arg. spec. 'm' on line 107.
*************************************************
) (/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/fontspec/fontspec-xetex.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/euenc/eu1enc.def)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/euenc/eu1lmr.fd))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/xelatex/xunicode/xunicode.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/tipa/t3enc.def
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/euenc/eu1lmss.fd))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/fontspec/fontspec.cfg)))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/xltxtra/xltxtra.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/ifxetex/ifxetex.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/realscripts/realscripts.sty
*************************************************
* LaTeX warning: "xparse/redefine-command"
* 
* Redefining document command \textsubscript with arg. spec. 's' on line 25.
*************************************************
*************************************************
* LaTeX warning: "xparse/redefine-command"
* 
* Redefining document command \textsuperscript with arg. spec. 's' on line 28.
*************************************************
) (/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/metalogo/metalogo.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/psnfss/mathptmx.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/hobsub-hyperref.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/hobsub-generic.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/hyperref/pd1enc.def)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/xelatex/xetexconfig/hyperref.cfg)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty))

Package hyperref Message: Driver (autodetected): hxetex.

(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hxetex.def
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/hyperref/puenc.def)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/stringenc.sty)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/rerunfilecheck.sty))
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/base/textcomp.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/base/ts1enc.def)) (./app_An_2.aux
) (/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/babel/lgrcmr.fd)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/tipa/t3cmr.fd)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/base/ts1cmr.fd)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/hyperref/nameref.sty
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/gettitlestring.sty))
(./app_An_2.out) (./app_An_2.out)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/psnfss/ot1ztmcm.fd)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/psnfss/omlztmcm.fd)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/psnfss/omsztmcm.fd)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/psnfss/omxztmcm.fd)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/latex/psnfss/ot1ptm.fd)
(/usr/local/texlive/2012/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/se-ascii-print.def)
[1] [0]
Capitolo 1.

Overfull \hbox (3.07216pt too wide) in paragraph at lines 480--481
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 poi Barutello-Conti-Ferrario-Terracini (Ferrario
 è QUEL Ferrario) Analisi Ma-
[1]
Overfull \hbox (31.02466pt too wide) in paragraph at lines 525--526
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 il più piccolo chiuso che contiene $\OML/ztmcm/m
/it/10 A$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 , e si indica con $[] \OT1/ztmcm/m/n/10 
= [] \OML/ztmcm/m/it/10 C$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 , ove $\OMS/ztmcm/m/n/1
0 C \OT1/ztmcm/m/n/10 = []$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 ;

Overfull \hbox (1.42163pt too wide) in paragraph at lines 528--529
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 La \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 frontiera di $\
OML/ztmcm/m/it/10 A \OMS/ztmcm/m/n/10 ^^R \OML/ztmcm/m/it/10 X$ \EU1/TimesNewRo
man(1)/m/it/10 è $\OML/ztmcm/m/it/10 @A \OT1/ztmcm/m/n/10 = [] \OMS/ztmcm/m/n/
10 \ []$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 . 
[2]
Overfull \hbox (3.0502pt too wide) in paragraph at lines 568--569
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Disegnare le palle $\OML/ztmcm/m/it/10 B\OT1/zt
mcm/m/n/10 ([]\OML/ztmcm/m/it/10 ; \OT1/ztmcm/m/n/10 1)$ \EU1/TimesNewRoman(1)/
m/it/10 ri-

Package thmtools Warning: Unused key `d_e)$' on input line 578.

[3]

Package thmtools Warning: Unused key `X)' on input line 581.


Package thmtools Warning: Unused key `d_{infinito})$' on input line 581.


Overfull \hbox (4.0918pt too wide) in paragraph at lines 582--583
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Sia $\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 X; d
[]\OT1/ztmcm/m/n/10 )$
<use  "PallaNormaUniforme.jpg" >
Overfull \hbox (0.7008pt too wide) in paragraph at lines 590--591
[]

Overfull \hbox (11.58691pt too wide) in paragraph at lines 592--593
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 a[] []a[]
[4] [5] [6]
Capitolo 2.

Overfull \hbox (11.33545pt too wide) in paragraph at lines 643--644
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 È cruciale che

Overfull \hbox (0.81293pt too wide) in paragraph at lines 662--663
[]$\OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 X; d[]\OT1/ztmcm/m/n/10 )\OML/ztmcm/m/
it/10 ; \OT1/ztmcm/m/n/10 (\OML/ztmcm/m/it/10 Y; d[]\OT1/ztmcm/m/n/10 )$ \EU1/T
imesNewRoman(1)/m/it/10 spa-
[7] [8]
Overfull \hbox (2.02637pt too wide) in paragraph at lines 734--735
[]
[9]
Overfull \hbox (0.17279pt too wide) in paragraph at lines 742--743
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Le funzioni $\OML/ztmcm/m/it/10 ^^Y[] \OT1/ztmc
m/m/n/10 : \U/msb/m/n/10 R[] \OMS/ztmcm/m/n/10 ! \U/msb/m/n/10 R$ \EU1/TimesNew
Roman(1)/m/it/10 de-
[10]

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Overfull \hbox (1.37788pt too wide) in paragraph at lines 792--793
[]$\OML/ztmcm/m/it/10 f$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 è continua
[11] <use  "GraficoAggiuntivo3.10.jpg" > [12]
Capitolo 3.

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Overfull \hbox (3.87569pt too wide) in paragraph at lines 825--826
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Dati []a[]
[13]
Overfull \hbox (5.51538pt too wide) in paragraph at lines 856--857
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Se $\OML/ztmcm/m/it/10 f[]$ \EU1/TimesNewRoman(
1)/m/it/10 conver-

Overfull \hbox (14088.24751pt too wide) in paragraph at lines 858--860
\OML/ztmcm/m/it/10 t$\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 , e quindi anche per il $\OML
/ztmcm/m/it/10 t$ \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 della convergenza puntuale. []a[
]

Overfull \hbox (13890.2549pt too wide) in paragraph at lines 858--860
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 a[] []a[]

Overfull \hbox (2.49187pt too wide) in paragraph at lines 861--862
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Consideriamo  []a[]
[14]
Overfull \hbox (13995.25569pt too wide) in paragraph at lines 890--892
\EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Il ragionamento è identico[][][]. []a[]

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(hyperref)                removing `math shift' on input line 893.


Overfull \hbox (2.43004pt too wide) in paragraph at lines 902--903
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Si dice \EU1/TimesNewRoman(1)/m/n/10 Spazio Met
rico Completo \EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 uno

Overfull \hbox (4.79169pt too wide) in paragraph at lines 911--912
[]\EU1/TimesNewRoman(1)/m/it/10 Un sottospazio chiuso di uno

Overfull \hbox (14.07715pt too wide) in paragraph at lines 917--918
[]

Overfull \hbox (1