floats allocate bits to three different parts: the sign indicator, s, which says whether a number is positive or negative; characteristic or exponent, e, which is the power of 2; and the fraction, f, which is the coefficient of the exponent.
浮点数的表示分为三个部分：
- 符号位
s，指示该浮点数为正数还是负数； - 指数位
e，表示为2为底的幂； - 分数位
f，表示幂的系数部分；
所有平台的Python都使用IEEE754标准的64位浮点数表示。最高位为符号位，随后11位为指数位，最后的52位为分数位。
因为有11位作为幂指数位，因此表示范围为0～2047，因为浮点数需要能够表示很高的精度，因此，这个指数需要减去1023，真正的范围为-1023～1024。通常被称为bias。
分数位通常是一个1~2的数值，因为使用的是52位二进制表示，因此第一位将永远是1，所以没必要使用一个bit来存储1。
整个浮点数可以使用下面的公式表示：
n = (-1)**s * 2**(e - 1023) * (1 + f)举例：我们有着如下的一个64bit浮点数，1_10000000010_1000000000000000000000000000000000000000000000000000，按照公式计算：
-1 * 2**(0b10000000010 - 1023) * (1 + .5)因为二进制中1000000000000000000000000000000000000000000000000000小数表示为
1 * (1 / 2 ** 1) + 0 * (1 / 2 ** 2) # + ... 后面项都是0因此f是0.5，最终公式计算结果为-12.0。
还可以使用下面的方法来验证结果：
import struct
bytes = 0b1_10000000010_1000000000000000000000000000000000000000000000000000.to_bytes(8, 'little')
struct.unpack('d', bytes)[0]得到同样的结果-12.0。
反过来，十进制15.0，在IEEE754中将会表达成什么形式？因为是正数，所以s为0，比15小的2的幂是8，因此，e为1023 + 3 = 1026，换成二进制为10000000011，分数部分只剩下15 / 8 = 1.875，所以f为0.875，即0.5 + 0.25 + 0.125，换成二进制为1110000000000000000000000000000000000000000000000000。最终得到的二进制表示为0_10000000010_1110000000000000000000000000000000000000000000000000。
可以用下面的方法来验证结果：
bytes = struct.pack('d', 15.0)
assert(bytes == 0b0_10000000010_1110000000000000000000000000000000000000000000000000.to_bytes(8, 'little'))15.0的上一个浮点数为0_10000000010_1101111111111111111111111111111111111111111111111111，换算成10进制为14.9999999999999982236431605997495353221893310546875。下一个浮点数为0_10000000010_1110000000000000000000000000000000000000000000000001，换算成10进制为15.0000000000000017763568394002504646778106689453125。
两个相邻浮点数之间的距离被称为gap，这个距离不是恒定的，浮点数越大，gap也就越大，这也是可以接受的，因为随着浮点数不断增大，那么gap造成的误差相对于浮点数本身仍然是可忽略的。numpy的spacing函数可以用来获得某个浮点数的gap。
import numpy as np
np.spacing(1e3) # output 1.1368683772161603e-13
np.spacing(1e50) # output 2.076918743413931e+34幂指数e有两个取值是保留的，0和2047，当e=0时，浮点数被称为次正规数，用来表示一个非常高精度的小数，公式为n = (-1) ** s * 2 ** (-1022) * f，这里有两个变化，第一个是幂指数不是-1023，而是固定的-1022，第二个是分数部分不再加1，而是直接的分数值。例如正规数中二进制0_00000000001_0000000000000000000000000000000000000000000000000000是最小的正浮点数。它的十进制值是2.2250738585072014e-308。
b = 0b0_00000000000_0000000000000000000000000000000000000000000000000001.to_bytes(8, 'little')
struct.unpack('d', b)[0]而次正规数中二进制 0_00000000000_0000000000000000000000000000000000000000000000000001是最小的正浮点数。它的十进制值是5e-324。
b = 0b0_00000000000_0000000000000000000000000000000000000000000000000001.to_bytes(8, 'little')
struct.unpack('d', b)[0]而e=2047时，如果f不为0，那么该浮点数被定义为nan，不是合法的浮点数。如果f为0，按照s分为以下两种情况：
- s=0，该浮点数为
inf，正无穷。 - s=1，该浮点数为
-inf，负无穷。
因此最大非无穷的浮点数二进制为0_11111111110_1111111111111111111111111111111111111111111111111111，它的十进制值是1.7976931348623157e+308。以上结果都可以使用同样的python程序验证。