Training data

1.txt

Egzaminator przygotował 30 pytań, wypisując na każdej kartce 4 pytania. Zdający umie odpowiedzieć poprawnie na połowę pytań. Jakie jest prawdopodobieństwo że zdający odpowie poprawnie na 4 pytania?


Rozwiązanie:

1. Oblicz |Ω|

|Ω| oznacza liczbę wszystkich możliwych wyników. W tym przypadku mamy 30 pytań, a zdający może wybrać 4 z nich. Możemy to obliczyć na dwa sposoby:

Metoda 1: Kombinacja

Używamy kombinacji, ponieważ kolejność wyboru pytań nie ma znaczenia.

|Ω| = 30C4 = 30! / (4! * 26!) = 27405

Metoda 2: Wariacja z powtórzeniami

Możemy również użyć wariacji z powtórzeniami, ponieważ zdający może wybrać to samo pytanie kilka razy.

|Ω| = 30^4 = 810000

2. Oblicz |A|

|A| oznacza liczbę wyników sprzyjających, czyli liczbę sposobów, w jakie zdający może wybrać 4 pytania, na które odpowie poprawnie.

Zdający umie odpowiedzieć poprawnie na połowę pytań, czyli na 15 pytań. Musimy wybrać 4 z tych 15 pytań.

|A| = 15C4 = 15! / (4! * 11!) = 1365

3. Oblicz prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe ilorazowi |A| do |Ω|:

P(A) = |A| / |Ω| = 1365 / 27405 = 0.05

Wniosek:

Prawdopodobieństwo, że zdający odpowie poprawnie na 4 pytania, wynosi 0.05, czyli 5%.

Uwaga:

W obliczeniach |Ω| można było użyć dowolnej z dwóch metod. Ważne jest, aby stosować tę samą metodę do obliczenia |A|.

2.txt

Do pudełka z 9 nowymi bateriami wrzucono 5 wyczerpanych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 4 wyjętych z pudełka baterii znaida sie co najmniej 2 nowe?

Rozwiązanie:

1. Oblicz |Ω|

|Ω| to liczba wszystkich możliwych wyników losowania 4 baterii z 14. Możemy to obliczyć za pomocą kombinacji:

|Ω| = C(14,4) = 14! / (4! * 10!) = 1001

2. Oblicz |A|

|A| to liczba sposobów na wylosowanie co najmniej 2 nowych baterii. Możemy to obliczyć na kilka sposobów:

Metoda 1: Suma prawdopodobieństw

Możemy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania 2, 3 lub 4 nowych baterii i zsumować te prawdopodobieństwa:

|A| = P(2 nowe) + P(3 nowe) + P(4 nowe)

P(2 nowe) = C(9,2) * C(5,2) / C(14,4) = 360 / 1001

P(3 nowe) = C(9,3) * C(5,1) / C(14,4) = 420 / 1001

P(4 nowe) = C(9,4) / C(14,4) = 126 / 1001

|A| = 360/1001 + 420/1001 + 126/1001 = 906/1001

Metoda 2: Uzupełnienie

Możemy obliczyć liczbę sposobów na wylosowanie 0 lub 1 nowej baterii, a następnie odjąć tę liczbę od |Ω|, aby uzyskać liczbę sposobów na wylosowanie co najmniej 2 nowych baterii:

|A| = |Ω| - (P(0 nowych) + P(1 nowa))

P(0 nowych) = C(5,4) / C(14,4) = 5/1001

P(1 nowa) = C(9,1) * C(5,3) / C(14,4) = 720 / 1001

|A| = 1001 - (5/1001 + 720/1001) = 906/1001

3. Oblicz prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej 2 nowych baterii to:

P(A) = |A| / |Ω| = 906/1001 = 0.905
Wniosek:

Prawdopodobieństwo, że wśród 4 wyjętych z pudełka baterii znajdą się co najmniej 2 nowe, wynosi 0.905.