functor_proof.swift

// https://ko.wikipedia.org/wiki/함자_(수학)

struct F<X> {
    let x : X?
    
    init(_ x: X?) { self.x = x }
    
    func map<Y>(_ f : @escaping (X) -> Y?) -> F<Y> {
        guard let x = self.x else {
            return F<Y>(nil)
        }
        return F<Y>(f(x))
    }
}

// C와 D가 범주라 하자. 이때 C와 D 사이의 함자 F: C -> D는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
// C의 임의의 대상 X에 대해 대응되는 D의 대상 F(X)
// => F: X -> F(X), 임의의 값 X 로 init 이 가능해야 하며, 리턴값은 랩핑되어 있음

// C의 임의의 사상 f: X -> Y 에 대해 대응되는 D의 사상 F(f): F(X) -> F(Y)
// => X 를 Int, Y 를 Double 으로 가정하면
typealias X = Int
typealias Y = Double

func f(_ x: X) -> Y {
    return Y(x)     // Double(Int)
}

let x = X()
print("F(f): F(X) -> F(Y) = \(F(x).map(f))")    // F(f): F(X) -> F(Y) = F<Double>(x: Optional(0.0))

// 이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
// (항등사상의 보존) F(id(x)) = id(F(X))
func id<X>(_ x: X) -> X {
    return x
}

print("항등사상의 보존, F(id(X)) = id(F(X))")
print("F(id(X)) = \(F(id(x)))")     // F(id(X)) = F<Int>(x: Optional(0))
print("id(F(X)) = \(id(F(x)))")     // id(F(X)) = F<Int>(x: Optional(0))

print("사상 합성의 보존, C의 임의의 사상 f: X -> Y 와 g: Y -> Z 에 대해 F(g o f) = F(g) o F(f)")

typealias Z = String

func g(_ y: Y) -> Z {
    return Z(y)
}

print(F(g(f(x))))           // F<String>(x: Optional("0.0"))
print(F(f(x)).map(g))       // F<String>(x: Optional("0.0"))