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| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\r\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\r\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\r\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\r\n<head>\r\n<title>Els nombres</title>\r\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\r\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\r\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\r\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\r\n<![endif]><![endif]-->\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script> \r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js\"></script> \r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-algebra.ca.js\"></script> \r\n\t\t\r\n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\r\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\r\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\r\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\r\n</head>\r\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\r\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\r\n<div id=\"contenidor\">\r\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\r\n <div id=\"area_pagina\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL MENU -->\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\r\n <div id=\"searchDiv\">\r\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\r\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n\r\n <div id=\"barra_superior\">\r\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> Els nombres</div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n </div>\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\r\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \r\n\t\t\tTorna a cercar</a>\r\n </div>\r\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"1|1|1\" />\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\r\n <div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n </div>\r\n \r\n <div>\r\n\r\n<p>El coneixement de l'estructura bàsica dels nombres i de la seva\r\nmanipulació són essencials. Existeixen diversos tipus de nombres, encara que,\r\nen general, quan es realitzen càlculs, no s'acostumen a distingir. De tota \r\nmanera, és convenient conèixer-los\r\n(els naturals, els enters, els racionals i els reals; més endavant veurem els complexos), per\r\na distingir-los i saber com els podem manipular.</p>\r\n\r\n<p>La idea bàsica de cadascun dels tipus és la següent:</p>\r\n<ul>\r\n <li>Els nombres naturals són els que serveixen per a realitzar recomptes, i\r\n es designen amb la lletra <math>\r\n <semantics>\r\n <mi>ℕ</mi>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n\r\n\t.</li> <li>Els nombres enters permeten comptar tant allò que es té com allò que es\r\n deu, i es designen amb el símbol \t<math>\r\n <semantics>\r\n <mi>ℤ</mi>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n\t.</li>\r\n <li>Els nombres racionals donen compte de les situacions en les quals es\r\n tenen objectes fragmentats, i es designen amb el símbol <math>\r\n <semantics>\r\n <mi>ℚ</mi>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n\t.</li>\r\n <li>Els nombres reals afegeixen als racionals els denominats irracionals,\r\n entre els quals es troben les arrels de nombres primers o el nombre\r\n π. Els reals es designen amb el símbol <math>\r\n <semantics>\r\n <mi>ℝ</mi>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>.</li>\r\n</ul>\r\n\r\n<p>Cada tipus de nombres descrit conté l'anterior:</p>\r\n\r\n<p style=\"text-align: center\"><math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mi>ℕ</mi><mo>⊂</mo><mi>ℤ</mi><mo>⊂</mo><mi>ℚ</mi><mo>⊂</mo><mi>ℝ</mi>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n</p>\r\n\r\n<p>És a dir, tot nombre natural també és un nombre enter, tot enter és\r\nracional i tot racional, al seu torn, real.</p>\r\n\r\n<p>A l'hora de reconèixer la classe d'un nombre, ha de tenir-se en compte que\r\npot expressar-se de moltes maneres. Per exemple, el nombre natural 3 pot\r\nexpressar-se de maneres diferents:</p>\r\n\r\n<p style=\"text-align: center\"><math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mn>3</mn><mo>=</mo><mfrac>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mfrac>\r\n <mo>=</mo><mfrac>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo><mn>6</mn>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo><mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mfrac>\r\n <mo>=</mo><msqrt>\r\n <mn>9</mn>\r\n </msqrt>\r\n <mo>=</mo><mfrac>\r\n <mrow>\r\n <msqrt>\r\n <mrow>\r\n <mn>36</mn>\r\n </mrow>\r\n </msqrt>\r\n \r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <msqrt>\r\n <mn>4</mn>\r\n </msqrt>\r\n \r\n </mrow>\r\n </mfrac>\r\n \r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n\r\n\r\n</p>\r\n\r\n<p>sense deixar de ser el mateix nombre. Cal distingir, doncs, entre el\r\nnombre i la seva expressió.</p>\r\n\r\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquests vídeos (també tens la versió pdf):</p>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\r\n\t<tr>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ALG1Nombres%201.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG1Nombres%201.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\">\r\n <embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG1Nombres%201.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ALG1Nombres%201.2.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG1Nombres%201.2/0000C0A8011500003A9A342D0000013953B56EAFB147CC45.xml\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG1Nombres%201.2/0000C0A8011500003A9A342D0000013953B56EAFB147CC45.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td> </td>\r\n\t</tr>\r\n</table>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n<br /><br /> <br /><br />\r\n </div>\r\n \r\n </div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <div id=\"capsa_inferior\">\r\n <iframe src=\"../iframes/1_1_1.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n</div>\r\n\r\n</form>\r\n</body>\r\n</html> ", | |
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| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\r\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\r\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\r\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\r\n<head>\r\n<title>L'expressió dels nombres</title>\r\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\r\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\r\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\r\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\r\n<![endif]><![endif]-->\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script> \r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js\"></script> \r\n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\r\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\r\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\r\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\r\n</head>\r\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\r\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\r\n<div id=\"contenidor\">\r\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\r\n <div id=\"area_pagina\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL MENU -->\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\r\n <div id=\"searchDiv\">\r\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\r\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n\r\n <div id=\"barra_superior\">\r\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> L'expressió dels nombres</div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n </div>\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\r\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \r\n\t\t\tTorna a cercar</a>\r\n </div>\r\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"1|1|2\" />\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\r\n <div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n </div>\r\n \r\n <div>\r\n\r\n<p>Una de les maneres més usuals d'expressar un nombre és la forma decimal. De\r\nvegades, fins i tot, s'utilitza la forma decimal per a aproximar nombres\r\nescrits d'altres maneres (en forma fraccionària, utilitzant arrels, etc). Per\r\nexemple:</p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <mfrac>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mfrac>\r\n</math> es podria aproximar per <math>\r\n <mn>0.33</mn>\r\n</math>.</p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <msqrt>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msqrt>\r\n</math> es podria aproximar per <math>\r\n <mn>1.42</mn>\r\n</math>.</p>\r\n\r\n<p>A la vida quotidiana les maneres d'expressar un nombre són molt variades i depenen de l'ús que se'n faci (comercial, financer, per a fer mesures). \r\nEn entorns científics on s'han de fer càlculs automàtics (mitjançant calculadora o \r\nordinador), s'utilitza la notació científica. En les disciplines\r\nmatemàtiques és molt comú utilitzar els nombres exactes, i no aproximats,\r\nmantenint les arrels i les fraccions sempre que apareixen, encara que\r\nsimplificant-les al màxim. També és bastant habitual que els resultats dels\r\nexercicis i problemes d'aquestes disciplines siguin nombres \"fàcils\" (enters,\r\nen general), però això no deixa de ser una convenció i mai una obligació.</p>\r\n\r\n<p>En qualsevol cas, ha de tenir-se en compte que, per exemple, entre els\r\nnombres següents:</p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <mfrac>\r\n <mrow>\r\n <msqrt>\r\n <mn>3</mn>\r\n </msqrt>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <msqrt>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msqrt>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mroot>\r\n <mn>7</mn>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mroot>\r\n </mrow>\r\n </mfrac>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <mn>1</mn>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <mn>−3.23524524352</mn>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p>no hi ha uns nombres \"millors\" que uns altres, encara que, és clar, és molt més senzill\r\noperar amb el nombre <math>\r\n <mn>1</mn>\r\n</math> que amb qualsevol dels altres dos.</p>\r\n\r\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquests vídeos (també tens la versió pdf):</p>\r\n\r\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\r\n\t<tr>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ALG1Nombres%202.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG1Nombres%202.1/0000C0A8011600003A992C440000013930B73479ACD28A31.xml\"><embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG1Nombres%202.1/0000C0A8011600003A992C440000013930B73479ACD28A31.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ALG1Nombres%202.2.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG1Nombres%202.2/0000C0A8011600003A9BFA450000013930B67D30ACBB0E7D.xml\"><embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG1Nombres%202.2/0000C0A8011600003A9BFA450000013930B67D30ACBB0E7D.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td> </td>\r\n\t</tr>\r\n</table>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n<br /><br /> <br /><br />\r\n </div>\r\n \r\n </div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <div id=\"capsa_inferior\">\r\n <iframe src=\"../iframes/1_1_2.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n</div>\r\n\r\n</form>\r\n</body>\r\n</html> ", | |
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Ha de\r\ntenir-se en compte que es tracta de nombres reals i, per tant, per exemple, l'interval [–5,5] conté tots els nombres reals entre el –5 i el 5 \r\n(ambdós inclosos, en aquest cas). Així, per exemple, aquests nombres pertanyen a aquest interval, perquè tots es troben entre els dos extrems:</p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <mo>−</mo>\r\n <msqrt>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msqrt>\r\n <mo>,</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>,</mo>\r\n <mn>0</mn>\r\n <mo>,</mo>\r\n <mfrac>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mfrac>\r\n <mo>,</mo>\r\n <msqrt>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msqrt>\r\n <mo>,</mo>\r\n <mn>1.8643</mn>\r\n <mo>,</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo>,</mo>\r\n <mn>4.2</mn>\r\n <mover accent=\"true\">\r\n <mrow>\r\n <mn>23</mn>\r\n </mrow>\r\n <mo stretchy=\"true\">⌢</mo>\r\n </mover>\r\n <mo>,</mo>\r\n <mn>5.</mn>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p>Els intervals poden ser tancats o oberts, segons si inclouen els extrems (tancats) o \r\nno (oberts). Així, </p>\r\n<ul>\r\n\t<li>Un interval obert no inclou els extrems; per exemple, \r\n\t<math>\r\n\t <semantics>\r\n\t <mrow>\r\n\t <mo stretchy='false'>(</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>3</mn><mo stretchy='false'>)</mo>\r\n\t </mrow>\r\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\r\n\t </semantics>\r\n\t</math>\r\n\t és un interval obert, i el –2 i el 3 no pertanyen a aquest interval.</li>\r\n\t<li>Un interval tancat inclou els seus extrems; per exemple, \r\n\t<math>\r\n\t <semantics>\r\n\t <mrow>\r\n\t <mo stretchy='false'>[</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>3</mn><mo stretchy='false'>]</mo>\r\n\t </mrow>\r\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\r\n\t </semantics>\r\n\t</math>\r\n\t és un interval tancat, i el –2 i el 3 pertanyen a aquest interval.</li>\r\n\t<li>Un interval obert per un extrem no inclou aquest extrem, mentre que un \r\n\tinterval tancat per un extrem, l'inclou. Per exemple, \t\r\n\t<math>\r\n\t\t <semantics>\r\n\t\t <mrow>\r\n\t\t <mo stretchy='false'>[</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>3</mn><mo stretchy='false'>)</mo>\r\n\t\t </mrow>\r\n\t\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n\r\n\t\t </annotation>\r\n\t\t </semantics>\r\n\t\t</math>\r\n\t  és un interval obert per la dreta, i tancat per l'esquerra perquè el 3 no pertany a \r\n\tl'interval, mentre que el –2 sí que hi pertany.</li>\r\n</ul>\r\n<p>Gràficament es poden representar així aquests intervals (bàsicament, posant el \r\npunt en els extrems en què l'interval és tancat):</p>\r\n\r\n\r\n<p><applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\r\narchive=\"geogebra.jar\" width=\"622\" height=\"425\">\r\n<param name=\"filename\" value=\"Nombres1.ggb\" />\r\n</applet>\r\n</p>\r\n<p>Hi ha intervals que no estan limitats per un extrem; en aquest cas, a \r\nl'extrem corresponent s'hi posa \t<math>\r\n\t <semantics>\r\n\t <mrow>\r\n\t <mo>-</mo><mo>∞</mo>\r\n\t </mrow>\r\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n\r\n\t </annotation>\r\n\t </semantics>\r\n\t</math>\r\n o \t<math>\r\n\t <semantics>\r\n\t <mrow>\r\n\t <mo>+</mo><mo>∞</mo>\r\n\t </mrow>\r\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\r\n\t </semantics>\r\n\t</math>\r\n (menys infinit o més infinit), i això indica que per aquell extrem l'interval no té límit. Per a l'infinit, a més, sempre s'usa un parèntesi (perquè, evidentment, l'infinit no pertany a l'interval). Per exemple,</p>\r\n<ul>\r\n\t<li><math>\r\n\t <semantics>\r\n\t <mrow>\r\n\t <mo stretchy='false'>(</mo><mo>-</mo><mo>∞</mo><mo>,</mo><mn>4</mn><mo stretchy='false'>]</mo>\r\n\t </mrow>\r\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\r\n\t </semantics>\r\n\t</math>\r\n\t  és l'interval que conté tots els nombres fins a 4, amb el 4 inclòs.</li>\r\n\t<li><math>\r\n\t <semantics>\r\n\t <mrow>\r\n\t <mo stretchy='false'>(</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mo>∞</mo><mo stretchy='false'>)</mo>\r\n\t </mrow>\r\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\r\n\t </semantics>\r\n\t</math>\r\n\t  és l'interval que conté tots els nombres a partir del 3, \r\n\tsense incloure el 3.</li>\r\n</ul>\r\n\r\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquests vídeos (també tens la versió pdf):</p>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\r\n\t<tr>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ALG1Nombres%203.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG1Nombres%203.1/0000C0A8011700003A9BCE450000013930D679F52261FE15.xml\"><embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG1Nombres%203.1/0000C0A8011700003A9BCE450000013930D679F52261FE15.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ALG1Nombres%203.2.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG1Nombres%203.2/0000C0A8011700003A9A5C440000013930D28D1BC7128FEA.xml\"><embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG1Nombres%203.2/0000C0A8011700003A9A5C440000013930D28D1BC7128FEA.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ALG1Nombres%203.3.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG1Nombres%203.3/0000C0A8011700003A9B5C450000013930D679F52261FE15.xml\"><embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG1Nombres%203.3/0000C0A8011700003A9B5C450000013930D679F52261FE15.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" 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href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <div id=\"capsa_inferior\">\r\n <iframe src=\"../iframes/1_1_3.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n</div>\r\n\r\n</form>\r\n</body>\r\n</html> ", | |
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La manipulació\r\nd'expressions algebraiques té les mateixes propietats que la manipulació\r\nd'expressions numèriques, ja que les lletres es comporten com si fossin\r\nnombres. Les expressions algebraiques que es tractaran en aquest curs\r\ntindran, en general, una o dues lletres. Un exemple d'expressió amb una única\r\nlletra és:</p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <mn>3</mn>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>−</mo>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>7</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p>Davant qualsevol expressió, el primer que cal fer és simplificar-la,\r\nutilitzant les propietats de les expressions, que són equivalents a les\r\npropietats dels nombres. En el cas de l'exemple, han d'agrupar-se els termes\r\namb les mateixes lletres. D'una banda, hem de sumar <math>\r\n <mn>3</mn>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n</math> i <math>\r\n <mo>−</mo>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n</math>, mentre que, d'altra banda, s'ha de sumar <math>\r\n <mn>4</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n</math> i <math>\r\n <mn>7</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n</math>:</p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <msup>\r\n <mrow>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n </mrow>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <mn>4</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>7</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>11</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p>Així, doncs, l'expressió de segon grau 3<math>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>−</mo>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>7</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n</math> és igual a \r\n<math>\r\n <msup>\r\n <mrow>\r\n <mn></mn>\r\n <mi>2 x</mi>\r\n </mrow>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>11</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n</math>.\r\n</p>\r\n\r\n<p>El valor numèric d'una expressió algebraica es troba substituint la lletra\r\nper un nombre determinat. Per exemple, el valor numèric de <math>\r\n <msup>\r\n <mrow>\r\n <mn></mn>\r\n <mi>2 x</mi>\r\n </mrow>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>11</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n</math>2 quan <math>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n</math> és igual a</p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"> <math>\r\n <msup>\r\n <mrow>\r\n <mn></mn>\r\n <mo>2 ·</mo>\r\n <mn fontweight=\"bold\">3</mn>\r\n </mrow>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>11</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mn fontweight=\"bold\">3</mn>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>18</mn>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>33</mn>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>49</mn>\r\n <mo>.</mo>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p>El grau d'una expressió algebraica amb una única lletra és l'exponent\r\nmàxim d'aquesta lletra en l'expressió. Per exemple, el grau de <math>\r\n <msup>\r\n <mrow>\r\n <mn></mn>\r\n <mi>2 x</mi>\r\n </mrow>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>11</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n<mo>−</mo>\r\n</math>2 és 2.</p>\r\n\r\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquest vídeo (també tens la versió pdf):</p>\r\n\r\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\r\n\t<tr>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ALG2Equacions%201.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG2Equacions%201.1/0000C0A8011600003A9876450000013930B5B265ACD8691E.xml\"><embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG2Equacions%201.1/0000C0A8011600003A9876450000013930B5B265ACD8691E.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td> </td>\r\n\t</tr>\r\n</table>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n<br /><br /> <br /><br />\r\n </div>\r\n \r\n </div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <div id=\"capsa_inferior\">\r\n <iframe src=\"../iframes/1_2_1.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n</div>\r\n\r\n</form>\r\n</body>\r\n</html> ", | |
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| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\r\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\r\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\r\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\r\n<head>\r\n<title>Equacions</title>\r\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\r\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\r\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\r\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\r\n<![endif]><![endif]-->\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script> \r\n<!--<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js\"></script> \r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>-->\r\n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\r\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\r\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\r\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\r\n</head>\r\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\r\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\r\n<div id=\"contenidor\">\r\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\r\n <div id=\"area_pagina\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL MENU -->\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\r\n <div id=\"searchDiv\">\r\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\r\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n\r\n <div id=\"barra_superior\">\r\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> Equacions</div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n </div>\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\r\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \r\n\t\t\tTorna a cercar</a>\r\n </div>\r\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"1|2|2\" />\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\r\n <div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n </div>\r\n \r\n <div>\r\n\r\n<p>Una <strong>equació</strong> és una igualtat entre expressions\r\nalgebraiques. Per exemple,</p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>8</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p>és una equació. Les lletres d'una equació es denominen\r\n<strong>incògnites</strong>. Resoldre una equació consisteix a buscar aquells\r\nnombres que, substituïts per les incògnites, converteixen la igualtat\r\nresultant en correcta. El nombre (o nombres) que resol l'equació s'anomena\r\n<strong>una solució</strong> de l'equació. Per exemple:</p>\r\n\r\n<p class=\"ex\">0 no és solució de l'equació, ja que <math>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mn>0</mn>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n <mo>≠</mo>\r\n <mn>8</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mn>0</mn>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p class=\"ex\">1 és solució de l'equació, ja que <math>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>8</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mn>1.</mn>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p>El <strong>grau</strong> d'una equació és el grau màxim de les expressions\r\nque conté. La resolució d'equacions de grau 1 (o primer grau) i de grau 2 (o\r\nsegon grau) és relativament senzilla. Existeixen fórmules per a resoldre\r\nequacions de grau 3 (o tercer grau), i fins i tot de grau 4 i 5; en general, \r\nperò, tret que sigui molt senzill trobar-ne les solucions (per exemple, l'equació <math>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>4</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>16</mn>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>0</mn>\r\n</math> té dues solucions evidents que són <math>\r\n <mn>2</mn>\r\n</math> i <math>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n</math>), les equacions de grau més gran que 2 es resolen mitjançant mètodes \r\nnumèrics que no veurem en aquest curs.</p>\r\n\r\n<p>Si no es diu explícitament, considerarem a partir d'aquest moment solament\r\naquelles equacions que tinguin una única incògnita.</p>\r\n\r\n\r\n<br /><br /> <br /><br />\r\n </div>\r\n \r\n </div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <div id=\"capsa_inferior\">\r\n <iframe src=\"../iframes/1_2_2.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n</div>\r\n\r\n</form>\r\n</body>\r\n</html> ", | |
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| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\r\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\r\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\r\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\r\n<head>\r\n<title>Equacions de primer grau</title>\r\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\r\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\r\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\r\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\r\n<![endif]><![endif]-->\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script> \r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js\"></script> \r\n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\r\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\r\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\r\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\r\n</head>\r\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\r\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\r\n<div id=\"contenidor\">\r\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\r\n <div id=\"area_pagina\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL MENU -->\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\r\n <div id=\"searchDiv\">\r\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\r\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n\r\n <div id=\"barra_superior\">\r\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> Equacions de primer grau</div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n </div>\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\r\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \r\n\t\t\tTorna a cercar</a>\r\n </div>\r\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"1|2|3\" />\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\r\n <div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n </div>\r\n \r\n <div>\r\n\r\n<p>La incògnita en una equació de primer grau té exponent igual que 1. Per\r\nexemple, són equacions de primer grau:</p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p>Aquesta seqüència mostra els passos per a resoldre una equació de primer\r\ngrau, tenint en compte que ambdós membres de la igualtat ja han d'estar\r\nsimplificats:</p>\r\n\r\n<p><object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\"\r\ncodebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=7,0,0,0\"\r\nwidth=\"550\" height=\"400\" id=\"prova\" align=\"middle\">\r\n <param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\" />\r\n <param name=\"movie\" value=\"equacions1.swf\" />\r\n <param name=\"quality\" value=\"high\" />\r\n <param name=\"bgcolor\" value=\"#ffffff\" />\r\n <embed src=\"equacions1.swf\" bgcolor=\"#ffffff\" width=\"550\" height=\"400\"\r\n name=\"prova\" align=\"middle\" type=\"application/x-shockwave-flash\"\r\n pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\" /></object>\r\n</p>\r\n\r\n\r\n\r\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquest vídeo (també tens la versió pdf):</p>\r\n\r\n\r\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\r\n\t<tr>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ALG2Equacions%203.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG2Equacions%203.1/0000C0A8011800003A982E450000013930EF7CA70D6ACAE6.xml\"><embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG2Equacions%203.1/0000C0A8011800003A982E450000013930EF7CA70D6ACAE6.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td> </td>\r\n\t</tr>\r\n</table>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n<br /><br /> <br /><br />\r\n </div>\r\n \r\n </div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <div id=\"capsa_inferior\">\r\n <iframe src=\"../iframes/1_2_3.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n</div>\r\n\r\n</form>\r\n</body>\r\n</html> ", | |
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Per a \r\nutilitzar-la, és necessari expressar l'equació en <strong>forma normal</strong>,\r\nés a dir, de manera que a la dreta del signe igual hi hagi un 0. Per exemple,\r\nsón equacions de segon grau en forma normal:</p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <mn>3</mn>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>0</mn>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <mo>−</mo>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>0.</mn>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p>Aquesta seqüència mostra com es pot expressar en forma normal una equació de\r\nsegon grau:</p>\r\n\r\n<p><object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\"\r\ncodebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=7,0,0,0\"\r\nwidth=\"550\" height=\"400\" id=\"prova\" align=\"middle\">\r\n <param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\" />\r\n <param name=\"movie\" value=\"2grau.swf\" />\r\n <param name=\"quality\" value=\"high\" />\r\n <param name=\"bgcolor\" value=\"#ffffff\" />\r\n <embed src=\"2grau.swf\" bgcolor=\"#ffffff\" width=\"550\" height=\"400\"\r\n name=\"prova\" align=\"middle\" type=\"application/x-shockwave-flash\"\r\n pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\" /></object>\r\n</p>\r\n\r\n<p>Una vegada expressada una equació de segon grau en forma normal, només és\r\nnecessari aplicar la fórmula per a la resolució d'equacions de segon grau. Si\r\nl'equació és del tipus <math>\r\n <mi>a</mi>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mi>b</mi>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mi>c</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>0</mn>\r\n</math> totes les seves solucions es poden trobar usant aquesta fórmula:</p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mfrac>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mi>b</mi>\r\n <mo>±</mo>\r\n <msqrt>\r\n <msup>\r\n <mi>b</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n <mi>ac</mi>\r\n </msqrt>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>a</mi>\r\n </mrow>\r\n </mfrac>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p>Així, en el cas de l'exemple anterior, la forma normal del qual era <math>\r\n <mn>2</mn>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>0</mn>\r\n</math>, els coeficients són <math>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mo></mo>\r\n <mn>= 2</mn>\r\n <mo>,</mo>\r\n <mi>b</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>,</mo>\r\n <mi>c</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n</math> per tant:</p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mfrac>\r\n <mrow>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>±</mo>\r\n <msqrt>\r\n <msup>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n </msqrt>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mfrac>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p>Les solucions són <math>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n</math> i \r\n 2, i totes dues són correctes. \r\nPot passar, però, que una\r\nequació de segon grau tingui solament una solució, i fins i tot cap, segons \r\nsigui\r\nel valor del <strong>discriminant</strong>, que és <math>\r\n <mi>Δ</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <msup>\r\n <mi>b</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mi>c</mi>\r\n</math>:</p>\r\n<ul>\r\n <li><math>\r\n <mi>Δ</mi>\r\n <mo>></mo>\r\n <mn>0</mn>\r\n </math>, l'equació té dues solucions.</li>\r\n <li><math>\r\n <mi>Δ</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>0</mn>\r\n </math>, l'equació té una única solució.</li>\r\n <li><math>\r\n <mi>Δ</mi>\r\n <mo><</mo>\r\n <mn>0</mn>\r\n </math>, l'equació no té cap solució.</li>\r\n</ul>\r\n\r\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquests vídeos (també tens la versió pdf):</p>\r\n\r\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\r\n\t<tr>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ALG2Equacions%204.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG2Equacions%204.1/0000C0A8011800003A999A450000013930EFDF29F4C425D3.xml\"><embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG2Equacions%204.1/0000C0A8011800003A999A450000013930EFDF29F4C425D3.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ALG2Equacions%204.2.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG2Equacions%204.2/0000C0A8011500003A9B7E4600000139308E159096F33F60.xml\"><embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG2Equacions%204.2/0000C0A8011500003A9B7E4600000139308E159096F33F60.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td> </td>\r\n\t</tr>\r\n</table>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n<br /><br /> <br /><br />\r\n </div>\r\n \r\n </div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <div id=\"capsa_inferior\">\r\n <iframe src=\"../iframes/1_2_4.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n</div>\r\n\r\n</form>\r\n</body>\r\n</html> ", | |
| "ocurrenceTitle": "Equacions de segon grau" | |
| }, { | |
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| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\r\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\r\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\r\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\r\n<head>\r\n<title>Inequacions</title>\r\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\r\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\r\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\r\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\r\n<![endif]><![endif]-->\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script> \r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js\"></script> \r\n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\r\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\r\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\r\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\r\n</head>\r\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\r\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\r\n<div id=\"contenidor\">\r\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\r\n <div id=\"area_pagina\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL MENU -->\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\r\n <div id=\"searchDiv\">\r\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\r\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n\r\n <div id=\"barra_superior\">\r\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> Inequacions</div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n </div>\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\r\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \r\n\t\t\tTorna a cercar</a>\r\n </div>\r\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"1|2|5\" />\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\r\n <div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n </div>\r\n \r\n <div>\r\n\r\n<p>Una <strong>inequació</strong> és una desigualtat entre expressions\r\nalgebraiques. Per exemple, són inequacions:</p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n <mo><</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <mn>2</mn>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>≥</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>−</mo>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2.</mn>\r\n </msup>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p>Una solució d'una inequació amb una incògnita és un nombre que en\r\nsubstituir la incògnita transforma la inequació en una desigualtat correcta.\r\nPer exemple,</p>\r\n\r\n<p class=\"ex\">0 no és una solució de <math>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n <mo><</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n</math>, ja que en substituir la <math>\r\n <mi>x</mi>\r\n</math> per 0, la desigualtat resultant és falsa: <math>\r\n <mn>4</mn>\r\n <mo><</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p class=\"ex\">1 és una solució de <math>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n <mo><</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n</math>, ja que en substituir la <math>\r\n <mi>x</mi>\r\n</math> per 1, la desigualtat resultant és correcta: <math>\r\n <msup>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n <mo><</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n</math>.</p>\r\n\r\n<p>Per a resoldre una inequació amb una incògnita han de seguir-se aquests\r\npassos:</p>\r\n<ol>\r\n <li>Es resol l'equació associada que s'obté en substituir el signe de\r\n desigualtat pel signe d'igualtat.</li>\r\n <li>S'assenyalen les solucions de l'equació en la recta real.</li>\r\n <li>S'utilitza un nombre de cada interval de la recta delimitada per les\r\n solucions de l'equació, i es comprova si compleix la inequació. Les\r\n solucions de l'equació també han de tenir-se en compte.</li>\r\n <li>Finalment, la solució és la unió de tots els intervals els nombres\r\n dels quals escollits en el punt anterior compleixen la inequació.</li>\r\n</ol>\r\nAquest exemple il·lustra el procediment a seguir:\r\n\r\n<p><object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\"\r\ncodebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=7,0,0,0\"\r\nwidth=\"550\" height=\"400\" id=\"prova\" align=\"middle\">\r\n <param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\" />\r\n <param name=\"movie\" value=\"inequacions.swf\" />\r\n <param name=\"quality\" value=\"high\" />\r\n <param name=\"bgcolor\" value=\"#ffffff\" />\r\n <embed src=\"inequacions.swf\" bgcolor=\"#ffffff\" width=\"550\" height=\"400\"\r\n name=\"prova\" align=\"middle\" type=\"application/x-shockwave-flash\"\r\n pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\" /></object>\r\n</p>\r\n\r\n\r\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquest vídeo (també tens la versió pdf):</p>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\r\n\t<tr>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ALG2Equacions%205.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG2Equacions%205.1/0000C0A8011600003A9878450000013930B5B265ACD8691E.xml\"><embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG2Equacions%205.1/0000C0A8011600003A9878450000013930B5B265ACD8691E.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td> </td>\r\n\t</tr>\r\n</table>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n<br /><br /> <br /><br />\r\n </div>\r\n \r\n </div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <div id=\"capsa_inferior\">\r\n <iframe src=\"../iframes/1_2_5.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n</div>\r\n\r\n</form>\r\n</body>\r\n</html> ", | |
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| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\r\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\r\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\r\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\r\n<head>\r\n<title>Manipulació d'equacions</title>\r\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\r\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\r\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\r\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\r\n<![endif]><![endif]-->\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script> \r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js\"></script> \r\n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\r\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\r\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\r\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\r\n</head>\r\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\r\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\r\n<div id=\"contenidor\">\r\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\r\n <div id=\"area_pagina\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL MENU -->\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\r\n <div id=\"searchDiv\">\r\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\r\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n\r\n <div id=\"barra_superior\">\r\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> Manipulació d'equacions</div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n </div>\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\r\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \r\n\t\t\tTorna a cercar</a>\r\n </div>\r\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"1|2|6\" />\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\r\n <div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n </div>\r\n \r\n <div>\r\n\r\n<p>L'aspecte d'algunes equacions podria fer pensar que són difícils de\r\nresoldre. En canvi, en molts casos, una vegada simplificada, l'equació\r\nresultant pot resoldre's fàcilment. Per això sempre és recomanable\r\nsimplificar-les al màxim, expressant-les, si és possible, en forma normal. A\r\nmés, si apareixen fraccions o arrels és convenient intentar eliminar-les en\r\nel procés de simplificació, seguint aquestes recomanacions:</p>\r\n<ul>\r\n <li>Si apareixen denominadors, han de multiplicar-se ambdós membres de\r\n l'equació per aquests denominadors, i així eliminar-los. Per exemple,\r\n l'equació\r\n <p><math>\r\n <mfrac>\r\n <mrow>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mfrac>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2.</mn>\r\n </math></p>\r\n <p>pot simplificar-se multiplicant ambdós costats per <math\r\n >\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </math>:</p>\r\n <p><math>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mfrac>\r\n <mrow>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mfrac>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n </math></p>\r\n <p>amb la qual cosa s'obté una equació de segon grau:</p>\r\n <p><math>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n </math></p>\r\n </li>\r\n <li>Si apareixen arrels, han d'eliminar-se. És recomanable aïllar-les, successivament, en un dels membres de l'equació, i \r\n\tdesprés elevar al quadrat els dos membres de la igualtat.\r\n Per exemple, per a resoldre:\r\n <p><math>\r\n <msqrt>\r\n <mn>3</mn>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </msqrt>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>2.</mn>\r\n </math></p>\r\n <p>ha d'aïllar-se l'arrel del membre de l'esquerra:</p>\r\n <p><math>\r\n <msqrt>\r\n <mn>3</mn>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </msqrt>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2.</mn>\r\n </math></p>\r\n <p>i elevar al quadrat:</p>\r\n <p><math>\r\n <msup>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <msqrt>\r\n <mn>3</mn>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </msqrt>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>=</mo>\r\n <msup>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mn>2.</mn>\r\n </msup>\r\n </math></p>\r\n <p>amb la qual cosa ens queda una equació de segon grau:</p>\r\n <p><math>\r\n <mn>3</mn>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>=</mo>\r\n <msup>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mn>2.</mn>\r\n </msup>\r\n </math></p>\r\n </li>\r\n</ul>\r\n\r\n<p>Finalment, una vegada resolta l'equació modificada, han de comprovar-se\r\nles solucions en l'equació original, ja que l'equació original i la\r\nmodificada no són sempre equivalents (per exemple, en multiplicar per\r\n<math>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n</math> l'original, i si la <math>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n</math>, llavors estaríem multiplicant per 0).</p>\r\n\r\n\r\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquests vídeos (també tens la versió pdf):</p>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\r\n\t<tr>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ALG2Equacions%206.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG2Equacions%206.1/0000C0A8011600003A9A2809000001397CB39C0FF6432BF1.xml\"><embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG2Equacions%206.1/0000C0A8011600003A9A2809000001397CB39C0FF6432BF1.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ALG2Equacions%206.2.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param 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class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <div id=\"capsa_inferior\">\r\n <iframe src=\"../iframes/1_2_6.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n</div>\r\n\r\n</form>\r\n</body>\r\n</html> ", | |
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Una\r\n<strong>solució</strong> d'un sistema lineal d'equacions és un conjunt de\r\nnombres que, en substituir les incògnites, converteix totes\r\nles equacions en igualtats numèriques correctes. Per exemple, aquest sistema\r\nlineal d'equacions:</p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>{</mo>\r\n <mtable columnalign=\"left\">\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>4</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>y</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>8</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mi>y</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>4.</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding=\"MathType-MTEF\">\r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p>Una solució d'aquest sistema és <math>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n</math> i <math>\r\n <mi>y</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>0</mn>\r\n</math>, ja que:</p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>{</mo>\r\n <mtable columnalign=\"left\">\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>4</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mn>0</mn>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>8</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>0</mn>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>4.</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding=\"MathType-MTEF\">\r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p>Existeixen mètodes senzills per a resoldre un sistema de dues equacions\r\namb dues incògnites, i són:</p>\r\n<ol>\r\n <li>Mètode de substitució, que consisteix a aïllar una de les incògnites\r\n d'una de les dues equacions i substituir el seu valor en l'altra equació.\r\n Una vegada resolta aquesta última, es resol l'altra equació substituint la \r\n\tincògnita per aquest valor.</li>\r\n <li>Mètode d'igualació, que consisteix a aïllar la mateixa incògnita d'ambdues \r\n\tequacions i igualar els resultats obtinguts. Una vegada resolta aquesta \r\n\túltima equació, pot substituir-se el valor de la incògnita en una de les \r\n\tequacions inicials i resoldre l'equació resultant per a trobar l'altre valor.</li>\r\n <li>Mètode de reducció, que consisteix a multiplicar convenientment ambdues\r\n equacions de manera que, una vegada restades, desaparegui una de les\r\n incògnites.</li>\r\n</ol>\r\n\r\n<p>Cal recordar que els passos de cadascun d'aquests mètodes són\r\ncorrectes perquè transformen les equacions del sistema en equacions\r\nequivalents: en sumar o restar una combinació d'equacions d'un mateix\r\nsistema, l'equació resultant també tindrà la mateixa solució que les\r\nanteriors, ja que la solució és compartida per totes les equacions del\r\nsistema.</p>\r\n\r\n\r\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquests vídeos (també tens la versió pdf):</p>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\r\n\t<tr>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ALG3Sistemes%201.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG3Sistemes%201.1/0000C0A8011700003A9B64450000013930D679F52261FE15.xml\"><embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG3Sistemes%201.1/0000C0A8011700003A9B64450000013930D679F52261FE15.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ALG3Sistemes%201.2.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG3Sistemes%201.2/0000C0A8011600003A9A2C09000001397CB39C0FF6432BF1.xml\"><embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG3Sistemes%201.2/0000C0A8011600003A9A2C09000001397CB39C0FF6432BF1.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td> </td>\r\n\t</tr>\r\n</table>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n<br /><br /> <br /><br />\r\n </div>\r\n \r\n </div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <div id=\"capsa_inferior\">\r\n <iframe src=\"../iframes/1_3_1.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n</div>\r\n\r\n</form>\r\n</body>\r\n</html> ", | |
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| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\n<head>\n<title>Resolució d'un sistema de tres equacions amb tres incògnites</title>\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\n<![endif]><![endif]-->\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script> \n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js\"></script> \n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\n</head>\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\n<div id=\"contenidor\">\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\n <div id=\"area_pagina\">\n\n<!-- CAPA DEL MENU -->\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\n\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\n <div id=\"searchDiv\">\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\n </div>\n\n </div>\n\n <div id=\"barra_superior\">\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> Resolució d'un sistema de tres equacions amb tres incògnites</div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n </div>\n\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \n\t\t\tTorna a cercar</a>\n </div>\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"1|3|2\" />\n\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\n <div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n </div>\n \n <div>\n\n\n<p>Per a resoldre un sistema lineal de tres equacions amb tres incògnites, s'usa\nel mètode de Gauss, que és una generalització del mètode de reducció\nper al cas d'un sistema de dues equacions amb dues incògnites. En el cas\nmés senzill, aquesta seqüència mostra com es resol el següent sistema\nmitjançant el mètode de Gauss:</p>\n\n<p><object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\"\ncodebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=7,0,0,0\"\nwidth=\"550\" height=\"400\" id=\"prova\" align=\"middle\">\n <param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\" />\n <param name=\"movie\" value=\"Gauss1.swf\" />\n <param name=\"quality\" value=\"high\" />\n <param name=\"bgcolor\" value=\"#ffffff\" />\n <embed src=\"Gauss1.swf\" bgcolor=\"#ffffff\" width=\"550\" height=\"400\"\n name=\"prova\" align=\"middle\" type=\"application/x-shockwave-flash\"\n pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\" /></object>\n</p>\n\n\n<br /><br /> <br /><br />\n </div>\n \n </div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <div id=\"capsa_inferior\">\n <iframe src=\"../iframes/1_3_2.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\n </div>\n\n </div>\n</div>\n\n</form>\n</body>\n</html> ", | |
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La classificació general dels sistemes\r\nd'equacions, segons el nombre de solucions, és la següent:</p>\r\n<ul>\r\n <li>Si té solució, es denomina sistema compatible:\r\n <ul>\r\n <li>Si la solució és única, el sistema és compatible determinat.</li>\r\n <li>Si la solucíó no és única, el sistema és compatible\r\n indeterminat.</li>\r\n </ul>\r\n </li>\r\n <li>Si no té solució, es denomina sistema incompatible.</li>\r\n</ul>\r\n\r\n<p>El mètode de Gauss permet reconèixer quin tipus de sistema és. Un sistema\r\ncompatible determinat és molt senzill de reconèixer, perquè es troba\r\ndirectament la solució. El sistema incompatible també és fàcil de reconèixer,\r\nperquè en algun moment de la resolució, alguna de les equacions resultants\r\nés una expressió impossible, del tipus <math>\r\n <mn>0</mn>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n</math>, <math>\r\n <mn>0</mn>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n</math>, és a dir, el 0 igual a una altre nombre, un resultat impossible, cosa \r\nque ens indica que el sistema és incompatible.</p>\r\n\r\n<p>Si la resolució del sistema no condueix ni a un sistema compatible\r\ndeterminat ni a un sistema incompatible el sistema serà un\r\nsistema compatible indeterminat. En algun moment de la resolució, arribarem a\r\nuna equació trivial del tipus <math>\r\n <mn>0</mn>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>0</mn>\r\n</math>, que, evidentment, hauríem d'eliminar perquè no aporta cap informació\r\naddicional. Vegem-ne un exemple,</p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>{</mo>\r\n <mtable columnalign=\"left\">\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>y</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mi>z</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>16</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>6</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mi>y</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>18</mn>\r\n <mi>z</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>8</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mi>y</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>12</mn>\r\n <mi>z</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>24.</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding=\"MathType-MTEF\">\r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p>Després d'aplicar Gauss resulta:</p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>{</mo>\r\n <mtable columnalign=\"left\">\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>y</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mi>z</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>16</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mtext> </mtext>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>13</mn>\r\n <mi>y</mi>\r\n <mtext> </mtext>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>104</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mtext> </mtext>\r\n <mn>0</mn>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>0.</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n </semantics>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p>Hem d'eliminar l'última expressió, que no aporta cap informació, i\r\nassociar, per exemple, l'última variable a un valor <math>\r\n <mi>a</mi>\r\n</math>; i després desplaçar-lo a l'altre membre de la igualtat. És a dir, si\r\n<math>\r\n <mi>z</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mi>a</mi>\r\n</math>:</p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>{</mo>\r\n <mtable columnalign=\"left\">\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>y</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>16</mn>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mi>a</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>13</mn>\r\n <mi>y</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>104.</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding=\"MathType-MTEF\">\r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p>Queda, doncs un sistema de dues equacions amb dues incògnites, que conté\r\nuna valor <math>\r\n <mi>a</mi>\r\n</math> indeterminat. Per a <math>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n</math>, tindrem una solució; per a <math>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2.5</mn>\r\n</math>, tindrem una altra solució, etc. Així, doncs, el sistema tindrà\r\ninfinites solucions, una per a cadascun dels valors possibles de <math>\r\n <mi>a</mi>\r\n</math>.</p>\r\n\r\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquest vídeo (també tens la versió pdf):</p>\r\n\r\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\r\n\t<tr>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ALG3Sistemes%203.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG3Sistemes%203.1/0000C0A8011500003A99024400000139309412BEC1954D89.xml\"><embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG3Sistemes%203.1/0000C0A8011500003A99024400000139309412BEC1954D89.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td> </td>\r\n\t</tr>\r\n</table>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n<br /><br /> <br /><br />\r\n </div>\r\n \r\n </div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <div id=\"capsa_inferior\">\r\n <iframe src=\"../iframes/1_3_3.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n</div>\r\n\r\n</form>\r\n</body>\r\n</html> ", | |
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| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\n<head>\n<title>El mètode de Gauss en un sistema qualsevol</title>\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\n<![endif]><![endif]-->\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script> \n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js\"></script> \n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\n</head>\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\n<div id=\"contenidor\">\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\n <div id=\"area_pagina\">\n\n<!-- CAPA DEL MENU -->\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\n\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\n <div id=\"searchDiv\">\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\n </div>\n\n </div>\n\n <div id=\"barra_superior\">\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> El mètode de Gauss en un sistema qualsevol</div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n </div>\n\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \n\t\t\tTorna a cercar</a>\n </div>\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"1|3|4\" />\n\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\n <div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n </div>\n \n <div>\n\n<p>La resolució d'un sistema qualsevol, amb <em>n</em> equacions i <em>m</em>\nincògnites, segueix el mateix procés que la d'un sistema amb tres equacions i\ntres incògnites. Han de tenir-se en compte dues situacions especials, no\nprevistes en el mètode general, i que també afecten sistemes de tres\nequacions amb tres incògnites:</p>\n<ol>\n <li>El terme amb el qual hem de treballar és zero. La següent animació\n explica com cal resoldre aquests casos:\n <p><object\n classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\"\n codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=7,0,0,0\"\n width=\"611.55\" height=\"335\" id=\"prova\" align=\"middle\">\n <param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\" />\n <param name=\"movie\" value=\"Gauss2.swf\" />\n <param name=\"quality\" value=\"high\" />\n <param name=\"bgcolor\" value=\"#ffffff\" />\n <embed src=\"Gauss2.swf\" bgcolor=\"#ffffff\" width=\"611.55\" height=\"335\"\n name=\"prova\" align=\"middle\" type=\"application/x-shockwave-flash\"\n pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\" /></object></p>\n </li>\n <li>Tots els termes a partir del que estem treballant són zero. La següent\n seqüència mostra com podem fer-ho. \n<p><object\n classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\"\n codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=7,0,0,0\"\n width=\"600\" height=\"227\" id=\"prova\" align=\"middle\">\n <param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\" />\n <param name=\"movie\" value=\"Gauss3.swf\" />\n <param name=\"quality\" value=\"high\" />\n <param name=\"bgcolor\" value=\"#ffffff\" />\n <embed src=\"Gauss3.swf\" bgcolor=\"#ffffff\" width=\"600\" height=\"227\"\n name=\"prova\" align=\"middle\" type=\"application/x-shockwave-flash\"\n pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\" /></object></p>\n </li>\n</ol>\n\n\n<br /><br /> <br /><br />\n </div>\n \n </div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <div id=\"capsa_inferior\">\n <iframe src=\"../iframes/1_3_4.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\n </div>\n\n </div>\n</div>\n\n</form>\n</body>\n</html> ", | |
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| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\r\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\r\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\r\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\r\n<head>\r\n<title>Sistemes d'inequacions amb una incògnita</title>\r\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\r\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\r\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\r\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\r\n<![endif]><![endif]-->\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script> \r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js\"></script> >\r\n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\r\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\r\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\r\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\r\n</head>\r\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\r\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\r\n<div id=\"contenidor\">\r\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\r\n <div id=\"area_pagina\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL MENU -->\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\r\n <div id=\"searchDiv\">\r\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\r\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n\r\n <div id=\"barra_superior\">\r\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> Sistemes d'inequacions amb una incògnita</div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n </div>\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\r\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \r\n\t\t\tTorna a cercar</a>\r\n </div>\r\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"1|3|5\" />\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\r\n <div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n </div>\r\n \r\n <div>\r\n\r\n<p>Un sistema d'inequacions amb una incògnita està format per diverses\r\ninequacions. Per a resoldre'l només han de resoldre's independentment\r\ncadascuna de les inequacions i trobar la intersecció de les seves solucions.\r\nPer exemple, per a resoldre aquest sistema d'inequacions:</p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>{</mo>\r\n <mtable columnalign=\"left\">\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n <mo>≥</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>≤</mo>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding=\"MathType-MTEF\">\r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p class=\"MsoNormal\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">Es resolen les\r\n</span><span xml:lang=\"ES-TRAD\">dues</span><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"> inequacions per separat.</span><span xml:lang=\"ES\"\r\nlang=\"ES\"></span></p>\r\n\r\n<p class=\"MsoNormal\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">La solució de\r\n2</span><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><i>x</i> + 5 <span\r\nclass=\"MPEntity\">≥</span> 2<math style=\"background-color:#\">\r\n <mo>−</mo>\r\n</math><i>x</i> és <math style=\"background-color:#\">\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mo stretchy=\"false\">[</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>, +</mo>\r\n <mi>∞</mi>\r\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding=\"MathType-MTEF\"></annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>.</span></p>\r\n\r\n<p class=\"MsoNormal\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"> </span><span\r\nxml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"><img width=\"473\" height=\"84\"\r\nsrc=\"image001.gif\" /></span><span xml:lang=\"ES-TRAD\"\r\nlang=\"ES-TRAD\"></span></p>\r\n\r\n<p class=\"MsoNormal\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">La solució de\r\n</span><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">2<i>x</i><sup>2</sup> – 2<i>x</i> – 2\r\n<span class=\"MPEntity\">≤</span><i> x</i><sup>2</sup> – <i>x</i> + 4 és\r\nl'interval [<math style=\"background-color:#\">\r\n <mo>−</mo>\r\n</math>2, 3].</span><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"></span></p>\r\n<img width=\"449\" height=\"72\" src=\"image002.gif\" />\r\n\r\n<p class=\"MsoNormal\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">Es busca la zona comuna de\r\nla solució d'ambdues inequacions, que és [–1, 3]:</span></p>\r\n\r\n<p class=\"MsoNormal\"><img width=\"461\" height=\"72\" src=\"image003.gif\" /></p>\r\n\r\n<p class=\"MsoNormal\">Per tant, les solucions del sistema d'equacions de\r\nsegon grau:</p>\r\n\r\n<p class=\"MsoNormal\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\"\r\nlang=\"ES-TRAD\"> <math\r\nstyle=\"background-color:#\">\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>{</mo>\r\n <mtable columnalign=\"left\">\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n <mo>≥</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>≤</mo>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding=\"MathType-MTEF\"></annotation>\r\n </semantics>\r\n</math></span></p>\r\n\r\n<p class=\"MsoNormal\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">són tots els\r\nnombres majors o iguals que –1 i menors o iguals que 3, o sigui, tots els\r\nnombres, <i>x</i>, que compleixin <math style=\"background-color:#\">\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>≤</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>≤</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding=\"MathType-MTEF\"></annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>. En forma d'interval, la solució s'expressaria de la següent\r\nmanera: [<math style=\"background-color:#\">\r\n <semantics>\r\n <mo>–</mo>\r\n <annotation encoding=\"MathType-MTEF\"></annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>1, 3].</span></p>\r\n\r\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquests vídeos (també tens la versió pdf):</p>\r\n\r\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\r\n\t<tr>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ALG3Sistemes%205.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG3Sistemes%205.1/0000C0A8011800003A9B32460000013930F0001FD3083293.xml\"><embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG3Sistemes%205.1/0000C0A8011800003A9B32460000013930F0001FD3083293.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ALG3Sistemes%205.2.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG3Sistemes%205.2/0000C0A8011500003A98CC4500000139308D3789136E3242.xml\"><embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG3Sistemes%205.2/0000C0A8011500003A98CC4500000139308D3789136E3242.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td> </td>\r\n\t</tr>\r\n</table>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n<br /><br /> <br /><br />\r\n </div>\r\n \r\n </div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <div id=\"capsa_inferior\">\r\n <iframe src=\"../iframes/1_3_5.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n</div>\r\n\r\n</form>\r\n</body>\r\n</html> ", | |
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Els termes d'aquesta expressió són el producte d'un\r\nnombre per una potència positiva de la variable, excepte en el cas d'un\r\nterme, que només consta d'un nombre, i que es denomina terme independent. Un\r\nexemple de polinomi és <math>\r\n <mn>3</mn>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>3</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n</math>.</p>\r\n\r\n<p>Un <strong>monomi</strong> és un polinomi amb un únic terme. Les\r\noperacions bàsiques entre polinomis són la suma, la resta, la multiplicació i\r\nla divisió, que es defineixen fàcilment a partir de les operacions entre\r\nmonomis:</p>\r\n<ul>\r\n <li>La suma i la resta\r\n <p class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">La\r\n suma (o resta) de dos monomis de grau diferent és un binomi. Per\r\n exemple, la suma dels monomis 3<i>x</i><sup>4</sup> i 2<i>x</i>, és igual\r\n al binomi 3<i>x</i><sup>4</sup> + 2<i>x</i>.</span></p>\r\n <p class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">La\r\n suma (o resta) de dos monomis del mateix grau és </span>\r\n\t<span xml:lang=\"ES-TRAD\">un </span><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">altre monomi amb un grau idèntic, i amb coeficient igual a la suma (o resta) dels coeficients. Per\r\n exemple, la suma de <i>5x</i><sup>3</sup> i 2<i>x</i><sup>3</sup> és\r\n igual al monomi 7<i>x</i><sup>3</sup>.</span></p>\r\n <p>Per a sumar (o restar) dos polinomis, només cal sumar (o restar)\r\n successivament els termes del mateix grau.</p>\r\n </li>\r\n <li>El producte\r\n <p class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">El\r\n producte de dos monomis és un altre monomi, el coeficient del qual és el\r\n producte de coeficients, i el seu grau és la suma de graus d'ambdós\r\n monomis. Per exemple, el producte dels monomis 4<i>x</i><sup>3</sup> i\r\n5<i>x</i><sup>2</sup> és el monomi: 4<i>x</i><sup>3</sup> ·\r\n (5<i>x</i><sup>2</sup>) = 20<i>x</i><sup>5</sup>.</span></p>\r\n <p>Per a multiplicar dos polinomis només ha d'aplicar-se la propietat\r\n distributiva, multiplicant tots els termes d'un polinomi per tots i\r\n cadascun dels termes de l'altre, i sumant el resultat.</p>\r\n </li>\r\n</ul>\r\n<ul>\r\n <li>El quocient\r\n <p class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">El\r\n quocient de dos monomis és un altre monomi, el coeficient del qual és el\r\n quocient de coeficients, i el seu grau és la diferència de graus d'ambdós\r\n monomis. El grau del numerador mai no ha de ser inferior al grau del\r\n denominador. Per exemple, el quocient dels monomis 8<i>x</i><sup>4</sup>\r\n i 2<i>x</i><sup>3</sup> és el monomi:\r\n 8<i>x</i><sup>4</sup>/2<i>x</i><sup>3</sup> = 4<i>x</i>.</span></p>\r\n <p>La regla per a la divisió de dos polinomis és semblant a la regla per\r\n a la divisió comuna entre nombres, tenint en compte que els termes dels\r\n polinomis realitzen el paper de les diferents xifres dels nombres.</p>\r\n </li>\r\n</ul>\r\n\r\n\r\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquest vídeo (també tens la versió pdf):</p>\r\n\r\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\r\n\t<tr>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ALG4Polinomis%201.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG4Polinomis%201.1/0000C0A8011700003A9A66440000013930D28D1BC7128FEA.xml\"><embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG4Polinomis%201.1/0000C0A8011700003A9A66440000013930D28D1BC7128FEA.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td> </td>\r\n\t</tr>\r\n</table>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n<br /><br /> <br /><br />\r\n </div>\r\n \r\n </div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <div id=\"capsa_inferior\">\r\n <iframe src=\"../iframes/1_4_1.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n</div>\r\n\r\n</form>\r\n</body>\r\n</html> ", | |
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Aquest és un bon motiu per a conèixer quin és el seu\ndesenvolupament i les possibles equivalències amb altres expressions més\nútils o simples. Normalment, aquestes expressions acostumen a enunciar-se en\nforma de producte d'altres expressions, i per això es coneixen com a\n<b>productes notables</b>. Alguns d'aquests productes notables i els seus\nresultats són els següents (també es dóna l'expressió amb la qual s'acostuma\na denominar-los):</span></p>\n\n<p class=\"TextBasedelllibre\">Productes de 2 expressions</p>\n\n<p class=\"TextBasedelllibre\">\n<blockquote>\n\t<table border=\"0\">\n\t\t<tr>\n\t\t\t<td ><font size=\"2\"><math>\n\t\t\t <semantics>\n\t\t\t <mrow>\n\t\t\t <msup>\n\t\t\t <mrow>\n\t\t\t <mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n\t\t\t </mrow>\n\t\t\t <mn>2</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mo>=</mo><msup>\n\t\t\t <mi>a</mi>\n\t\t\t <mn>2</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mo>+</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><msup>\n\t\t\t <mi>b</mi>\n\t\t\t <mn>2</mn>\n\t\t\t </msup>\n\n\t\t\t </mrow>\n\t\t\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t\t\t </annotation>\n\t\t\t </semantics>\n\t\t\t</math>\n\t\t\t</font></td>\n\t\t\t<td><font size=\"2\">el quadrat d'una suma</font></td>\n\t\t</tr>\n\t\t<tr>\n\t\t\t<td><font size=\"2\"><math>\n\t\t\t <semantics>\n\t\t\t <mrow>\n\t\t\t <msup>\n\t\t\t <mrow>\n\t\t\t <mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n\t\t\t </mrow>\n\t\t\t <mn>2</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mo>=</mo><msup>\n\t\t\t <mi>a</mi>\n\t\t\t <mn>2</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mo>-</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><msup>\n\t\t\t <mi>b</mi>\n\t\t\t <mn>2</mn>\n\t\t\t </msup>\n\n\t\t\t </mrow>\n\t\t\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t\t\t </annotation>\n\t\t\t </semantics>\n\t\t\t</math>\n\t\t\t</font></td>\n\t\t\t<td><font size=\"2\">la diferència de quadrats</font></td>\n\t\t</tr>\n\t\t<tr>\n\t\t\t<td><font size=\"2\"><math>\n\t\t\t <semantics>\n\t\t\t <mrow>\n\t\t\t <mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><msup>\n\t\t\t <mi>a</mi>\n\t\t\t <mn>2</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mo>-</mo><msup>\n\t\t\t <mi>b</mi>\n\t\t\t <mn>2</mn>\n\t\t\t </msup>\n\n\t\t\t </mrow>\n\t\t\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t\t\t </annotation>\n\t\t\t </semantics>\n\t\t\t</math>\n\t\t\t</font></td>\n\t\t\t<td><font size=\"2\">suma per diferencia, igual a diferència de \n\t\t\tquadrats</font></td>\n\t\t</tr>\n\t\t<tr>\n\t\t\t<td><font size=\"2\"><math>\n\t\t\t <semantics>\n\t\t\t <mrow>\n\t\t\t <mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>(</mo><msup>\n\t\t\t <mi>a</mi>\n\t\t\t <mn>3</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mo>+</mo><msup>\n\t\t\t <mi>a</mi>\n\t\t\t <mn>2</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mi>b</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><msup>\n\t\t\t <mi>b</mi>\n\t\t\t <mn>2</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mo>+</mo><msup>\n\t\t\t <mi>b</mi>\n\t\t\t <mn>3</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><msup>\n\t\t\t <mi>a</mi>\n\t\t\t <mn>4</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mo>-</mo><msup>\n\t\t\t <mi>b</mi>\n\t\t\t <mn>4</mn>\n\t\t\t </msup>\n\n\t\t\t </mrow>\n\t\t\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t\t\t </annotation>\n\t\t\t </semantics>\n\t\t\t</math>\n\t\t\t</font></td>\n\t\t\t<td> </td>\n\t\t</tr>\n\t\t<tr>\n\t\t\t<td><font size=\"2\"><math>\n\t\t\t <semantics>\n\t\t\t <mrow>\n\t\t\t <mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>(</mo><msup>\n\t\t\t <mi>a</mi>\n\t\t\t <mn>4</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mo>+</mo><msup>\n\t\t\t <mi>a</mi>\n\t\t\t <mn>3</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mi>b</mi><mo>+</mo><msup>\n\t\t\t <mi>a</mi>\n\t\t\t <mn>2</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <msup>\n\t\t\t <mi>b</mi>\n\t\t\t <mn>2</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mo>+</mo><mi>a</mi><msup>\n\t\t\t <mi>b</mi>\n\t\t\t <mn>3</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mo>+</mo><msup>\n\t\t\t <mi>b</mi>\n\t\t\t <mn>4</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><msup>\n\t\t\t <mi>a</mi>\n\t\t\t <mn>5</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mo>-</mo><msup>\n\t\t\t <mi>b</mi>\n\t\t\t <mn>5</mn>\n\t\t\t </msup>\n\n\t\t\t </mrow>\n\t\t\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t\t\t </annotation>\n\t\t\t </semantics>\n\t\t\t</math>\n\t\t\t</font></td>\n\t\t\t<td> </td>\n\t\t</tr>\n\t\t<tr>\n\t\t\t<td> </td>\n\t\t\t<td> </td>\n\t\t</tr>\n\t\t<tr>\n\t\t\t<td><font size=\"2\"><math>\n\t\t\t <semantics>\n\t\t\t <mrow>\n\t\t\t <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><msup>\n\t\t\t <mi>x</mi>\n\t\t\t <mn>2</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mo>+</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><mi>b</mi>\n\t\t\t </mrow>\n\t\t\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t\t\t </annotation>\n\t\t\t </semantics>\n\t\t\t</math>\n\t\t\t</font></td>\n\t\t\t<td> </td>\n\t\t</tr>\n\t\t<tr>\n\t\t\t<td><font size=\"2\"><math>\n\t\t\t <semantics>\n\t\t\t <mrow>\n\t\t\t <mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><mi>d</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>d</mi>\n\t\t\t </mrow>\n\t\t\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t\t\t </annotation>\n\t\t\t </semantics>\n\t\t\t</math>\n\t\t\t</font></td>\n\t\t\t<td> </td>\n\t\t</tr>\n\t\t<tr>\n\t\t\t<td ><font size=\"2\"><math>\n\t\t\t <semantics>\n\t\t\t <mrow>\n\t\t\t <mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mi>c</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mi>a</mi><mi>c</mi><msup>\n\t\t\t <mi>x</mi>\n\t\t\t <mn>2</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mo>+</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mi>d</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>c</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>d</mi>\n\t\t\t </mrow>\n\t\t\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t\t\t </annotation>\n\t\t\t </semantics>\n\t\t\t</math>\n\t\t\t</font></td>\n\t\t\t<td> </td>\n\t\t</tr>\n\t\t<tr>\n\t\t\t<td><font size=\"2\"><math>\n\t\t\t <semantics>\n\t\t\t <mrow>\n\t\t\t <msup>\n\t\t\t <mrow>\n\t\t\t <mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n\t\t\t </mrow>\n\t\t\t <mn>2</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mo>=</mo><msup>\n\t\t\t <mi>a</mi>\n\t\t\t <mn>2</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mo>+</mo><msup>\n\t\t\t <mi>b</mi>\n\t\t\t <mn>2</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mo>+</mo><msup>\n\t\t\t <mi>c</mi>\n\t\t\t <mn>2</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mo>+</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>b</mi><mi>c</mi>\n\t\t\t </mrow>\n\t\t\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t\t\t </annotation>\n\t\t\t </semantics>\n\t\t\t</math>\n\t\t\t</font></td>\n\t\t\t<td> </td>\n\t\t</tr>\n\t</table>\n</blockquote>\n</p>\n\n\n\n<p class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\"\nlang=\"ES\">Producte de 3 expressions</span></p>\n\n<blockquote>\n\t<table border=\"0\" width=\"555\">\n\t\t<tr>\n\t\t\t<td ><font size=\"2\"><math>\n\t\t\t <semantics>\n\t\t\t <mrow>\n\t\t\t <mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><msup>\n\t\t\t <mrow>\n\t\t\t <mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n\t\t\t </mrow>\n\t\t\t <mn>3</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mo>=</mo><msup>\n\t\t\t <mi>a</mi>\n\t\t\t <mn>3</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mo>+</mo><mn>3</mn><msup>\n\t\t\t <mi>a</mi>\n\t\t\t <mn>2</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mi>b</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>a</mi><msup>\n\t\t\t <mi>b</mi>\n\t\t\t <mn>2</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mo>+</mo><msup>\n\t\t\t <mi>b</mi>\n\t\t\t <mn>3</mn>\n\t\t\t </msup>\n\n\t\t\t </mrow>\n\t\t\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t\t\t </annotation>\n\t\t\t </semantics>\n\t\t\t</math>\n\t\t\t</font></td>\n\t\t\t<td><font size=\"2\">el cub d'una suma</font></td>\n\t\t</tr>\n\t\t<tr>\n\t\t\t<td><font size=\"2\"><math>\n\t\t\t <semantics>\n\t\t\t <mrow>\n\t\t\t <mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><msup>\n\t\t\t <mrow>\n\t\t\t <mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n\t\t\t </mrow>\n\t\t\t <mn>3</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mo>=</mo><msup>\n\t\t\t <mi>a</mi>\n\t\t\t <mn>3</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mo>-</mo><mn>3</mn><msup>\n\t\t\t <mi>a</mi>\n\t\t\t <mn>2</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mi>b</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>a</mi><msup>\n\t\t\t <mi>b</mi>\n\t\t\t <mn>2</mn>\n\t\t\t </msup>\n\t\t\t <mo>-</mo><msup>\n\t\t\t <mi>b</mi>\n\t\t\t <mn>3</mn>\n\t\t\t </msup>\n\n\t\t\t </mrow>\n\t\t\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t\t\t </annotation>\n\t\t\t </semantics>\n\t\t\t</math>\n\t\t\t</font></td>\n\t\t\t<td><font size=\"2\">el cub d'una diferència</font></td>\n\t\t</tr>\n\t</table>\n</blockquote>\n\n<p class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">Seguint les\npropietats esmentades amb anterioritat, poden demostrar-se totes aquestes\nigualtats; per exemple:</span></p>\n\n<p class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">El quadrat de la\nsuma: \t<math>\n\t <semantics>\n\t <mrow>\n\t <msup>\n\t <mrow>\n\t <mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n\t </mrow>\n\t <mn>2</mn>\n\t </msup>\n\t <mo>=</mo><msup>\n\t <mi>a</mi>\n\t <mn>2</mn>\n\t </msup>\n\t <mo>+</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><msup>\n\t <mi>b</mi>\n\t <mn>2</mn>\n\t </msup>\n\n\t </mrow>\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t </annotation>\n\t </semantics>\n\t</math>\n</span></p>\n\n<p class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">Desenvolupem <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <msup>\n <mrow>\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>=</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n</span></p>\n\n<p class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">S'aplica la\npropietat distributiva dues vegades, amb la qual cosa:</span></p>\n<p class=\"TextBasedelllibre\"><math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mi>b</mi><mo>=</mo><msup>\n <mi>a</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>+</mo><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>a</mi><mo>+</mo><msup>\n <mi>b</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n \n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n</p>\n\n<p class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">Per la propietat\ncommutativa del producte \t<math>\n\t <semantics>\n\t <mrow>\n\t <mi>b</mi><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><mi>b</mi>\n\t </mrow>\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t </annotation>\n\t </semantics>\n\t</math>\n, de manera que \t<math>\n\t <semantics>\n\t <mrow>\n\t <mi>b</mi><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi>\n\t </mrow>\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t </annotation>\n\t </semantics>\n\t</math>\n. Per tant, l'expressió anterior és igual a \n<math>\n <semantics>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>a</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>+</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><msup>\n <mi>b</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n \n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n, tal com s'ha\nenunciat al principi.</span></p>\n\n<p class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">El quadrat de la\ndiferència es realitza de manera similar, tenint en compte que es tracta d'una\nresta.</span></p>\n\n<p class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">La suma per la\ndiferència: \t<math>\n\t <semantics>\n\t <mrow>\n\t <mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><msup>\n\t <mi>a</mi>\n\t <mn>2</mn>\n\t </msup>\n\t <mo>-</mo><msup>\n\t <mi>b</mi>\n\t <mn>2</mn>\n\t </msup>\n\n\t </mrow>\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t </annotation>\n\t </semantics>\n\t</math>\n</span></p>\n\n<p class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">En aquest cas,\ntambé ha d'aplicar-se dues vegades la propietat distributiva:</span></p>\n\n<p class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mi>a</mi><mo>-</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mi>b</mi><mo>=</mo><msup>\n <mi>a</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>+</mo><mi>b</mi><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>-</mo><msup>\n <mi>b</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>=</mo><msup>\n <mi>a</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>-</mo><msup>\n <mi>b</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n \n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n, tal com\nes deia al principi.</span></p>\n\n\n<br /><br /> <br /><br />\n </div>\n \n </div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <div id=\"capsa_inferior\">\n <iframe src=\"../iframes/1_4_2.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\n </div>\n\n </div>\n</div>\n\n</form>\n</body>\n</html> ", | |
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És a\ndir, quan el polinomi divisor és de la forma <math>\n <mi>x</mi>\n <mo>−</mo>\n <mi>a</mi>\n</math>, si <math>\n <mi>a</mi>\n</math> és un nombre. La regla de Ruffini utilitza solament els coeficients dels\npolinomis implicats. Per exemple, per a dividir <math>\n <mn>2</mn>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>4</mn>\n </msup>\n <mo>−</mo>\n <mn>3</mn>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>+</mo>\n <mn>2</mn>\n <mi>x</mi>\n <mo>−</mo>\n <mn>3</mn>\n</math> entre <math>\n <mi>x</mi>\n <mo>+</mo>\n <mn>3</mn>\n</math>, es fa el següent:</p>\n<object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\"\ncodebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=7,0,0,0\"\nwidth=\"600\" height=\"227\" id=\"prova\" align=\"middle\">\n <param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\" />\n <param name=\"movie\" value=\"ruffini.swf\" />\n <param name=\"quality\" value=\"high\" />\n <param name=\"bgcolor\" value=\"#ffffff\" />\n <embed src=\"ruffini.swf\" bgcolor=\"#ffffff\" width=\"550\" height=\"300\"\n name=\"prova\" align=\"middle\" type=\"application/x-shockwave-flash\"\n pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\" /></object>\n\n\n\n<br /><br /> <br /><br />\n </div>\n \n </div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <div id=\"capsa_inferior\">\n <iframe src=\"../iframes/1_4_3.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\n </div>\n\n </div>\n</div>\n\n</form>\n</body>\n</html> ", | |
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| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\r\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\r\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\r\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\r\n<head>\r\n<title>Teorema del residu i les arrels d'un polinomi</title>\r\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\r\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\r\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\r\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\r\n<![endif]><![endif]-->\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script> \r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js\"></script> \r\n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\r\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\r\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\r\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\r\n</head>\r\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\r\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\r\n<div id=\"contenidor\">\r\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\r\n <div id=\"area_pagina\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL MENU -->\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\r\n <div id=\"searchDiv\">\r\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\r\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n\r\n <div id=\"barra_superior\">\r\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> Teorema del residu i les arrels d'un polinomi</div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n </div>\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\r\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \r\n\t\t\tTorna a cercar</a>\r\n </div>\r\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"1|4|4\" />\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\r\n <div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n </div>\r\n \r\n <div>\r\n\r\n<p>En substituir la variable del polinomi per un nombre s'obté una expressió\r\nnumèrica, el resultat de la qual és el <strong>valor numèric del\r\npolinomi</strong> en aquest punt. Per exemple, donat el polinomi <math>\r\n <mi>p</mi>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>3</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n</math>, el valor del polinomi quan <math>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n</math>, és <math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mi></mi>\r\n <mo stretchy=\"false\">p (</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <msup>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mn>3</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <msup>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding=\"MathType-MTEF\">\r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>. Es diu que el valor del polinomi en el punt 1 és 5, és a dir,\r\n<math>\r\n <mi>p</mi>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n</math>.</p>\r\n\r\n<p>El <strong>teorema del residu</strong> és un resultat interessant que\r\nrelaciona el valor numèric d'un polinomi amb la divisió de polinomis, i\r\nafirma que en dividir un polinomi qualsevol <math>\r\n <mi>p</mi>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>)</mo>\r\n</math> entre <math>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mi>a</mi>\r\n</math>, si <math>\r\n <mi>a</mi>\r\n</math> és un nombre, el residu d'aquesta divisió és precisament <math>\r\n <mi>p</mi>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mo></mo>\r\n</math>) . Així, en el cas de l'exemple anterior, podem assegurar que el residu de la divisió de <math>\r\n <mi>p</mi>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>3</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n</math> entre <math>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n</math> és <math>\r\n <mi>p</mi>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n</math>.</p>\r\n\r\n<p>D'altra banda, sabem que un polinomi és divisible per un altre polinomi quan\r\nla divisió és exacta, és a dir, quan el residu de la divisió és 0.\r\nUtilitzant el teorema del residu, podem assegurar que un polinomi <math>\r\n <mi>p</mi>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>)</mo>\r\n</math> és divisible per <math>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mi>a</mi>\r\n</math>, si <math>\r\n <mi>p</mi>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mo></mo>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>0</mn>\r\n</math>. El valor <math>\r\n <mi>que</mi>\r\n</math> compleix aquesta condició s'anomena <strong>arrel del\r\npolinomi</strong><math>\r\n <mi>p</mi>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>)</mo>\r\n</math>. Així, doncs, una arrel d'un polinomi <math>\r\n <mi>p</mi>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>)</mo>\r\n</math> és un valor numèric que compleix que <math>\r\n <mi>p</mi>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mo></mo>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>0</mn>\r\n</math>.</p>\r\n\r\n<p>El teorema del residu permet afirmar que aquestes dues afirmacions són\r\nequivalents:</p>\r\n<ul>\r\n <li><math>\r\n <mi>a</mi>\r\n </math> és una arrel del polinomi <math\r\n >\r\n <mi>p</mi>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>)</mo>\r\n </math>.</li>\r\n <li><math>\r\n <mi>p</mi>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>)</mo>\r\n </math> és divisible entre <math\r\n >\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mi>a</mi>\r\n </math>.</li>\r\n</ul>\r\nPer exemple, el polinomi <math>\r\n <mi>p</mi>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n</math> té una arrel <math>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n</math>, ja que <math>\r\n <mi>p</mi>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>0</mn>\r\n</math>. Així, doncs, pot assegurar-se que aquest polinomi és divisible\r\nentre <math>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n</math>. De la mateixa manera, aquest polinomi té arrel <math>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n</math>, ja que <math>\r\n <mi>p</mi>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>0</mn>\r\n</math>. Així, doncs, pot assegurar-se que aquest polinomi és divisible\r\nentre <math>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n</math>, és a dir, entre <math>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n</math>. Per tant, ja que <math>\r\n <mi>p</mi>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n</math> és divisible entre <math>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n</math>, la divisió ha de tenir residu 0. Si fem la divisió:\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <mfrac>\r\n <mrow>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mfrac>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p>I passant el denominador a l'altre membre ens queda: <math>\r\n <mi>p</mi>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n</math>.</p>\r\n<p>Una arrel doble apareix dues vegades en el llistat d'arrels d'un polinomi. Per exemple,\r\n<math display='inline'>\r\n <mrow>\r\n <mi>q</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><msup>\r\n <mrow>\r\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo stretchy='false'>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n \r\n </mrow>\r\n</math>\r\n té una arrel doble, que és <math display='inline'>\r\n <mrow>\r\n <mtext>-1</mtext>\r\n </mrow>\r\n</math>. És a dir, si un polinomi té una arrel doble a, significa que el polinomi és divisible per <math display='inline'>\r\n <mrow>\r\n <msup>\r\n <mrow>\r\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>a</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n \r\n </mrow>\r\n</math>.</p>\r\n\r\n\r\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquests vídeos (també tens la versió pdf):</p>\r\n\r\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\r\n\t<tr>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ALG4Polinomis%204.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG4Polinomis%204.1/0000C0A8011700003A9B68450000013930D679F52261FE15.xml\"><embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG4Polinomis%204.1/0000C0A8011700003A9B68450000013930D679F52261FE15.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ALG4Polinomis%204.2.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG4Polinomis%204.1/0000C0A8011500003A9A442D0000013953B56EAFB147CC45.xml\"><embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG4Polinomis%204.2/0000C0A8011500003A9A442D0000013953B56EAFB147CC45.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td> </td>\r\n\t</tr>\r\n</table>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n<br /><br /> <br /><br />\r\n </div>\r\n \r\n </div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <div id=\"capsa_inferior\">\r\n <iframe src=\"../iframes/1_4_4.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n</div>\r\n\r\n</form>\r\n</body>\r\n</html> ", | |
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| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\n<head>\n<title>Descomposició de polinomis</title>\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\n<![endif]><![endif]-->\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js\"></script> \n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\n <script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script>\n <script type=\"text/javascript\" src=\"/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\n <script type=\"text/javascript\" src=\"/verbalize/verbalize.js\"></script>\n \n<style>\n<!--\nspan.MTConvertedEquation\n\t{}\n-->\n</style>\n\n</head>\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\n<div id=\"contenidor\">\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\n <div id=\"area_pagina\">\n\n<!-- CAPA DEL MENU -->\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\n\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\n <div id=\"searchDiv\">\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\n </div>\n\n </div>\n\n <div id=\"barra_superior\">\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> Descomposició de polinomis</div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n </div>\n\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \n\t\t\tTorna a cercar</a>\n </div>\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"1|4|5\" />\n\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\n <div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n </div>\n \n <div>\n\n<p>La descomposició d'un polinomi, de manera semblant a la descomposició \nd'un nombre, és la seva expressió com a producte de polinomis de menor grau, \ndenominats <strong>factors</strong>. El més desitjable seria obtenir una descomposició en un producte de polinomis de grau 1, però això no \nsempre és possible. En cas que fos possible i es pogués descompondre \ncompletament el polinomi de grau <math>\n <semantics>\n <mi>n</mi>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n, <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>p</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n, en factors de grau 1, tindríem una expressió del tipus:</p>\n\n<p class=\"ex\"><math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>p</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mi>a</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><msub>\n <mi>r</mi>\n <mn>1</mn>\n </msub>\n <mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><msub>\n <mi>r</mi>\n <mn>2</mn>\n </msub>\n <mo stretchy='false'>)</mo><mn>...</mn><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><msub>\n <mi>r</mi>\n <mi>n</mi>\n </msub>\n <mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n</p>\n\n<p>si <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <msub>\n <mi>r</mi>\n <mn>1</mn>\n </msub>\n <mo>,</mo><msub>\n <mi>r</mi>\n <mn>2</mn>\n </msub>\n <mn>...</mn><msub>\n <mi>r</mi>\n <mi>n</mi>\n </msub>\n \n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n són les arrels del polinomi i <math>\n <semantics>\n <mi>a</mi>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n un nombre real. Podem deduir que un polinomi de grau \n<math>\n <semantics>\n <mi>n</mi>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n pot tenir, com a màxim, <math>\n <semantics>\n <mi>n</mi>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n arrels reals, encara que no pot preveure's <i>a priori</i> quantes en tindrà exactament. Solament si les arrels \nsón enteres és relativament senzill \ndescompondre el polinomi: les úniques arrels enteres que pot tenir un \npolinomi els coeficients del qual siguin enters, són aquelles que són \ndivisors del terme independent. Si les arrels no són enteres, trobar-les no \nés un problema senzill i, per tant, no hi aprofundirem. En qualsevol cas, pot \nutilitzar-se <a href=\"e1.html\" target=\"_blank\"\nonclick=\"window.open(this.href, this.target, 'width=650,height=300,scrollbars=yes'); return false;\">\nla calculadora Wiris</a> per a trobar, aproximadament, totes les arrels reals \nd'un polinomi.</p>\n\n\n<p>En <a href=\"../videos/4.descomp.avi\">aquest vídeo</a> s'explica com pot \ndescompondre's el polinomi \t<math>\n\t <semantics>\n\t <mrow>\n\t <mi>p</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mn>3</mn><msup>\n\t <mi>x</mi>\n\t <mn>3</mn>\n\t </msup>\n\t <mo>-</mo><mn>9</mn><msup>\n\t <mi>x</mi>\n\t <mn>2</mn>\n\t </msup>\n\t <mo>-</mo><mn>18</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>24</mn>\n\t </mrow>\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t </annotation>\n\t </semantics>\n\t</math>\n. En\n<a href=\"../videos/4.descomp2.avi\">aquest altre vídeo</a> pots observar com \nno sempre és possible descompondre un polinomi en factors de grau 1, en \naquest cas, <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>p</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>4</mn>\n </msup>\n <mo>-</mo><mn>2</mn><msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>3</mn>\n </msup>\n <mo>-</mo><msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>-</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>6</mn>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n; a més, s'usa la calculadora Wiris per \nal càlcul d'arrels i, també, per a la descomposició del polinomi.</p>\n\n\n<br /><br /> <br /><br />\n </div>\n \n </div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <div id=\"capsa_inferior\">\n <iframe src=\"../iframes/1_4_5.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\n </div>\n\n </div>\n</div>\n\n</form>\n</body>\n</html> ", | |
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Per exemple, aquestes són dues matrius:</p>\n\n<p class=\"ex\"><math>\n <mrow>\n <mrow>\n <mo>(</mo>\n <mrow>\n <mtable columnalign=\"right\">\n <mtr columnalign=\"right\">\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <mo>−</mo>\n <mn>1</mn>\n </mrow>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mn>3</mn>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mn>5</mn>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr columnalign=\"right\">\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mn>2</mn>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <mo>−</mo>\n <mn>2</mn>\n </mrow>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mn>2</mn>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr columnalign=\"right\">\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mn>2</mn>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <mo>−</mo>\n <mn>7</mn>\n </mrow>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mn>8</mn>\n </mtd>\n </mtr>\n </mtable>\n </mrow>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n</math>  <math>\n <mrow>\n <mrow>\n <mo>(</mo>\n <mrow>\n <mtable columnalign=\"right\">\n <mtr columnalign=\"right\">\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <mo>−</mo>\n <mn>1</mn>\n </mrow>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mn>4</mn>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mn>5</mn>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <mn>23</mn>\n </mrow>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr columnalign=\"right\">\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mn>6</mn>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <mn>11</mn>\n </mrow>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <mo>−</mo>\n <mn>8</mn>\n </mrow>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mn>2</mn>\n </mtd>\n </mtr>\n </mtable>\n </mrow>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n</math></p>\n\n<p>La primera té 3 files i 3 columnes, i es diu que la seva dimensió és\n<math>\n <mn>3</mn>\n <mo>×</mo>\n <mn>3</mn>\n</math>, mentre que la segona té 2 files i 4 columnes, és a dir, la seva\ndimensió és <math>\n <mn>2</mn>\n <mo>×</mo>\n <mn>4</mn>\n</math>. En general, una matriu <i>A</i> de dimensió <math>\n <mi>m</mi>\n <mo>×</mo>\n <mi>n</mi>\n</math>, és a dir, de <math>\n <mi>m</mi>\n</math> files i <math>\n <mi>n</mi>\n</math> columnes s'escriu de la següent manera:</p>\n\n<p class=\"ex\"><math>\n <mrow>\n <mi>A</mi>\n <mo></mo>\n <mrow>\n <mo>=</mo>\n <mo>(</mo>\n <mtable columnalign=\"right\">\n <mtr columnalign=\"right\">\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <msub>\n <mi>a</mi>\n <mrow>\n <mn>11</mn>\n </mrow>\n </msub>\n </mrow>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <msub>\n <mi>a</mi>\n <mrow>\n <mn>12</mn>\n </mrow>\n </msub>\n </mrow>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <msub>\n <mi>a</mi>\n <mrow>\n <mn>13</mn>\n </mrow>\n </msub>\n </mrow>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mo>⋯</mo>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <msub>\n <mi>a</mi>\n <mrow>\n <mn></mn>\n <mi>1 n</mi>\n </mrow>\n </msub>\n </mrow>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr columnalign=\"right\">\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <msub>\n <mi>a</mi>\n <mrow>\n <mn>21</mn>\n </mrow>\n </msub>\n </mrow>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <msub>\n <mi>a</mi>\n <mrow>\n <mn>22</mn>\n </mrow>\n </msub>\n </mrow>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <msub>\n <mi>a</mi>\n <mrow>\n <mn>23</mn>\n </mrow>\n </msub>\n </mrow>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mo>⋯</mo>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <msub>\n <mi>a</mi>\n <mrow>\n <mn></mn>\n <mi>2 n</mi>\n </mrow>\n </msub>\n </mrow>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr columnalign=\"right\">\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <msub>\n <mi>a</mi>\n <mrow>\n <mn>31</mn>\n </mrow>\n </msub>\n </mrow>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <msub>\n <mi>a</mi>\n <mrow>\n <mn>32</mn>\n </mrow>\n </msub>\n </mrow>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <msub>\n <mi>a</mi>\n <mrow>\n <mn>33</mn>\n </mrow>\n </msub>\n </mrow>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mo>⋯</mo>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <msub>\n <mi>a</mi>\n <mrow>\n <mn></mn>\n <mi>3 n</mi>\n </mrow>\n </msub>\n </mrow>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr columnalign=\"right\">\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mo>⋮</mo>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mo>⋮</mo>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mo>⋮</mo>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mo>⋱</mo>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mo>⋮</mo>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr columnalign=\"right\">\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <msub>\n <mi>a</mi>\n <mrow>\n <mi></mi>\n <mn>m 1</mn>\n </mrow>\n </msub>\n </mrow>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <msub>\n <mi>a</mi>\n <mrow>\n <mi></mi>\n <mn>m 2</mn>\n </mrow>\n </msub>\n </mrow>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <msub>\n <mi>a</mi>\n <mrow>\n <mi></mi>\n <mn>m 3</mn>\n </mrow>\n </msub>\n </mrow>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <mn>...</mn>\n </mrow>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <msub>\n <mi>a</mi>\n <mrow>\n <mi></mi>\n <mi>m n</mi>\n </mrow>\n </msub>\n </mrow>\n </mtd>\n </mtr>\n </mtable>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n</math></p>\n\n<p>Pot observar-se com cada element de la matriu es descriu amb dos\nsubíndexs, el primer referit a la fila, i el segon, a la columna. Així,\n<math>\n <msub>\n <mi>a</mi>\n <mn>35</mn>\n </msub>\n</math> indicaria l'element de la fila 3, columna 5 de la matriu <i>A</i>. La\ndiagonal d'una matriu està formada per aquells elements els subíndexs dels quals\nsón iguals, és a dir, la diagonal és <math>\n <mrow>\n <msub>\n <mi>a</mi>\n <mrow>\n <mn>11</mn>\n </mrow>\n </msub>\n <mo>,</mo>\n <msub>\n <mi>a</mi>\n <mrow>\n <mn>22</mn>\n </mrow>\n </msub>\n <mo>⋯</mo>\n <msub>\n <mi>a</mi>\n <mrow>\n <mi>k</mi>\n <mi>k</mi>\n </mrow>\n </msub>\n <mo>⋯</mo>\n </mrow>\n</math></p>\n\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">Algunes\nmatrius destacables són:</span></p>\n\n<p class=\"LarousseBase\" style=\"margin-left: 0cm; text-indent: 0cm;\"><span\nxml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\" style=\"font-family: Symbol;\"><span\nstyle=\"font-family: "Times New Roman"; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; font-size: 7pt; line-height: normal; font-size-adjust: none; font-stretch: normal;\"></span></span><span\nxml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">La matriu quadrada: la que té el mateix\nnombre de files que de columnes, és a dir, de dimensió <em>n<span\nclass=\"MPEntity\">×</span>n</em>. La diagonal d'una matriu la formen aquells\nelements la fila i columna dels quals tenen el mateix nombre, és a dir,\n<i>a</i><sub>11</sub>, <i>a</i><sub>22</sub>, <i>a</i><sub>33</sub>\n…</span></p>\n\n<p class=\"LarousseBase\" style=\"margin-left: 0cm; text-indent: 0cm;\"><span\nxml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\" style=\"font-family: Symbol;\"><span\nstyle=\"font-family: "Times New Roman"; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; font-size: 7pt; line-height: normal; font-size-adjust: none; font-stretch: normal;\"></span></span><span\nxml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">La matriu diagonal: és la matriu quadrada els\nelements de la qual són 0 excepte els de la diagonal.</span></p>\n\n<p class=\"LarousseBase\" style=\"margin-left: 0cm; text-indent: 0cm;\"><span\nxml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\" style=\"font-family: Symbol;\"><span\nstyle=\"font-family: "Times New Roman"; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; font-size: 7pt; line-height: normal; font-size-adjust: none; font-stretch: normal;\"></span></span><span\nxml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">La matriu identitat: matriu diagonal en \nquè<span\nxml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"> tots els elements de la diagonal són 1. La matriu identitat de dimensió\n<em>n<span class=\"MPEntity\">×</span>n</em> s'indica amb\n<i>I</i><sub>n</sub>.</span></p>\n\n<p class=\"LarousseBase\" style=\"margin-left: 0cm; text-indent: 0cm;\"><span\nxml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\" style=\"font-family: Symbol;\"><span\nstyle=\"font-family: "Times New Roman"; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; font-size: 7pt; line-height: normal; font-size-adjust: none; font-stretch: normal;\"></span></span><span\nxml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">La matriu transposada d'una matriu <i>A</i>,\ndenominada <math>\n <msup>\n <mi>A</mi>\n <mi>T</mi>\n </msup>\n</math>, és la matriu que resulta de canviar files per columnes en la\nmatriu <i>A</i>. Per exemple:</span></p>\n\n<p class=\"ex\"><math>\n <mrow>\n <mi>A</mi>\n <mo></mo>\n <mrow>\n <mo>=</mo>\n <mo>(</mo>\n <mrow>\n <mtable columnalign=\"right\">\n <mtr columnalign=\"right\">\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <mo>−</mo>\n <mn>1</mn>\n </mrow>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mn>3</mn>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mn>5</mn>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr columnalign=\"right\">\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mn>2</mn>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <mo>−</mo>\n <mn>2</mn>\n </mrow>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mn>2</mn>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr columnalign=\"right\">\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mn>2</mn>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <mo>−</mo>\n <mn>7</mn>\n </mrow>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mn>8</mn>\n </mtd>\n </mtr>\n </mtable>\n </mrow>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n <mo>→</mo>\n <msup>\n <mi>A</mi>\n <mi>T</mi>\n </msup>\n <mo>=</mo>\n <mrow>\n <mo>(</mo>\n <mrow>\n <mtable columnalign=\"right\">\n <mtr columnalign=\"right\">\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <mo>−</mo>\n <mn>1</mn>\n </mrow>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mn>2</mn>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mn>2</mn>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr columnalign=\"right\">\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mn>3</mn>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <mo>−</mo>\n <mn>2</mn>\n </mrow>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mrow>\n <mo>−</mo>\n <mn>7</mn>\n </mrow>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr columnalign=\"right\">\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mn>5</mn>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mn>2</mn>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"right\">\n <mn>8</mn>\n </mtd>\n </mtr>\n </mtable>\n </mrow>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n</math></p>\n\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">Pot observar-se que,\nper exemple, la primera fila de <i>A</i> és (<math>\n <mo>–</mo>\n</math>1 3 5) i coincideix amb la primera columna de <math>\n <msup>\n <mi>A</mi>\n <mi>T</mi>\n </msup>\n</math> . Pot comprovar-se que això succeeix en tots els parells\nfila-columna.</span><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"></span></p>\n\n\n<br /><br /> <br /><br />\n </div>\n \n </div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <div id=\"capsa_inferior\">\n <iframe src=\"../iframes/1_5_1.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\n </div>\n\n </div>\n</div>\n\n</form>\n</body>\n</html> ", | |
| "ocurrenceTitle": "Conceptes bàsics" | |
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Evidentment, la suma solament pot realitzar-se entre\r\nmatrius de la mateixa dimensió, i el seu resultat també tindrà idèntica\r\ndimensió. Per exemple, donades aquestes matrius</p>\r\n\r\n<p><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math>\r\n <mrow>\r\n <mi>A</mi>\r\n <mo></mo>\r\n <mrow>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n</math> <math>\r\n <mrow>\r\n <mi>B</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>4</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n</math> <math>\r\n <mrow>\r\n <mi>C</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable columnalign=\"right\">\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>6</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n</math></span></p>\r\n\r\n<p>La sumes <math>\r\n <mi>A +</mi>\r\n <mo></mo>\r\n <mi>C</mi>\r\n</math> i <math>\r\n <mi>B</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mi>C</mi>\r\n</math> no poden realitzar-se perquè són matrius de diferent dimensió. En\r\ncanvi, sí que és possible sumar <math>\r\n <mi>A +</mi>\r\n <mo></mo>\r\n <mi>B</mi>\r\n</math>, d'aquesta manera:</p>\r\n<math>\r\n <mrow>\r\n <mi>A +</mi>\r\n <mo></mo>\r\n <mi>B</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>4</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>0</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>6</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>4</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>7</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n</math>\r\n\r\n<p>La resta entre matrius es realitza de manera similar, tenint en compte que\r\nen lloc de sumar els elements de les matrius, es resten.</p>\r\n\r\n<h5>El producte d'un nombre per una matriu</h5>\r\n\r\n<p>Per a realitzar el producte d'un nombre per una matriu només cal\r\nmultiplicar cada element d'aquesta matriu pel nombre. Per exemple, seguint\r\namb la mateixa matriu <i>A</i>, si la multipliquem per 3, aquest és el resultat:</p>\r\n\r\n<p><math>\r\n <mrow>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mi>A</mi>\r\n <mo></mo>\r\n <mn>= 3</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>6</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>9</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>6</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>6</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>9</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n</math></p>\r\n\r\n<h5>El producte de dues matrius</h5>\r\n\r\n<p>No ha de confondre's aquest producte amb l'anterior. Per a multiplicar\r\ndues matrius ha de tenir-se en compte el següent:</p>\r\n<ul>\r\n <li>El nombre de columnes de la primera matriu ha de coincidir amb el\r\n nombre de files de la segona matriu.</li>\r\n <li>La matriu resultant tindrà tantes files com la primera, i tantes\r\n columnes com la segona.</li>\r\n</ul>\r\n\r\n<p>Aquesta seqüència mostra com cal realitzar el producte <math>\r\n <mi>C</mi>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mi>A</mi>\r\n</math> (el símbol de la multiplicació pot ser, indistintament, <math>\r\n <mo>·</mo>\r\n</math>, o bé, ×):</p>\r\n<object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\"\r\ncodebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=7,0,0,0\"\r\nwidth=\"550\" height=\"350\" id=\"prova\" align=\"middle\">\r\n <param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\" />\r\n <param name=\"movie\" value=\"producto.swf\" />\r\n <param name=\"quality\" value=\"high\" />\r\n <param name=\"bgcolor\" value=\"#ffffff\" />\r\n <embed src=\"producto.swf\" bgcolor=\"#ffffff\" width=\"550\" height=\"300\"\r\n name=\"prova\" align=\"middle\" type=\"application/x-shockwave-flash\"\r\n pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\" /></object>\r\n\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">El producte\r\nde matrius té les següents propietats:</span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\" style=\"margin-left: 0cm; text-indent: 0cm;\"><span\r\nxml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\" style=\"font-family: Symbol;\"><span\r\nstyle=\"font-family: "Times New Roman"; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; font-size: 7pt; line-height: normal; font-size-adjust: none; font-stretch: normal;\"></span></span><span\r\nxml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">Associativa: <i>A</i> × <span\r\nclass=\"MPEntity\"></span> <i>B</i> <span class=\"MPEntity\">×</span> <i>C</i> = <i>A</i> × <span\r\nclass=\"MPEntity\"></span> (<i>B</i> <span class=\"MPEntity\">×</span> <i>C</i>) = (<i>A</i> × <span\r\nclass=\"MPEntity\"></span> <i>B</i>) <span class=\"MPEntity\">×</span> <i>C</i></span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\" style=\"margin-left: 0cm; text-indent: 0cm;\"><span\r\nxml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\" style=\"font-family: Symbol;\"><span\r\nstyle=\"font-family: "Times New Roman"; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; font-size: 7pt; line-height: normal; font-size-adjust: none; font-stretch: normal;\"></span></span><span\r\nxml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">L'element neutre del producte de matrius és\r\nla matriu identitat, <i>I</i><sub>n</sub>. És a dir, si <i>A</i> és una matriu quadrada\r\n<em>n<span class=\"MPEntity\">×</span></em><i>n</i>, <i>A</i> × <span\r\nclass=\"MPEntity\"></span> <i>I</i><sub><i>n</i></sub> = <i>I</i><sub><i>n</i></sub> <span\r\nclass=\"MPEntity\">×</span> <i>A</i> = <i>A</i>.</span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\" style=\"margin-left: 0cm; text-indent: 0cm;\"><span\r\nxml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\" style=\"font-family: Symbol;\"></span><span\r\nxml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">De vegades (encara que no sempre),\r\nexisteixen matrius quadrades que tenen element invers. Aquesta matriu, quan\r\nexisteix, es denomina <strong>inversa</strong>; també es diu que la matriu <i>A</i>\r\nés invertible. La matriu inversa d'una matriu quadrada de dimensió <i>n</i><span\r\nclass=\"MPEntity\">×</span><i>n</i> <i>A</i>, s'indica <i>A</i><sup><span\r\nclass=\"MPEntity\">−1</span></sup>, i compleix:</span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"\r\nstyle=\"margin-left: 70.8pt; text-indent: 35.4pt;\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\"\r\nlang=\"ES-TRAD\"><i>A</i> × <span class=\"MPEntity\"></span> <i>A</i><sup><span\r\nclass=\"MPEntity\">−1</span></sup> = <i>A</i><sup><span\r\nclass=\"MPEntity\">−1</span></sup><span class=\"MPEntity\"> ×</span> <i>A</i> =\r\n<i>I</i><sub><i>n</i></sub></span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\" style=\"margin-left: 0cm; text-indent: 0cm;\"><span\r\nxml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\" style=\"font-family: Symbol;\"><span\r\nstyle=\"font-family: "Times New Roman"; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; font-size: 7pt; line-height: normal; font-size-adjust: none; font-stretch: normal;\"></span></span><span\r\nxml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">En general, el producte de matrius <i>no</i> és\r\ncommutatiu. És a dir, si <i>A</i> i <i>B</i> són dues matrius, quan poden realitzar-se els\r\nproductes <i>A</i> ×<span class=\"MPEntity\"></span> <i>B</i> i <i>B</i> <span\r\nclass=\"MPEntity\">×</span> <i>A</i>, generalment:</span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\" style=\"margin-left: 106.2pt;\"><span\r\nxml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"><i>A</i> × <span class=\"MPEntity\"></span> <i>B</i>\r\n≠ <i>B</i> <span class=\"MPEntity\">×</span> <i>A</i></span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">encara que en algunes,\r\nmolt poques, ocasions, pot ser igual.</span> En el cas de l'exemple anterior,\r\nno pot realitzar-se <math>\r\n <mi>A</mi>\r\n <mo>×</mo>\r\n <mi>C</mi>\r\n</math>, ja que <math>\r\n <mi>A</mi>\r\n</math> té 3 columnes, mentre que <math>\r\n <mi>C</mi>\r\n</math> només té 2 files.</p>\r\n\r\n\r\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquest vídeo (també tens la versió pdf):</p>\r\n\r\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\r\n\t<tr>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ALG5Matrius%202.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG5Matrius%202.1/0000C0A8011800003A9A0E050000013982849BBE9391FE51.xml\"><embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG5Matrius%202.1/0000C0A8011800003A9A0E050000013982849BBE9391FE51.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td> </td>\r\n\t</tr>\r\n</table>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n<br /><br /> <br /><br />\r\n </div>\r\n \r\n </div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <div id=\"capsa_inferior\">\r\n <iframe src=\"../iframes/1_5_2.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n</div>\r\n\r\n</form>\r\n</body>\r\n</html> ", | |
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| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\r\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\r\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\r\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\r\n<head>\r\n<title>El determinant d'una matriu quadrada</title>\r\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\r\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\r\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\r\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\r\n<![endif]><![endif]-->\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script> \r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js\"></script> \r\n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\r\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\r\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\r\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\r\n</head>\r\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\r\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\r\n<div id=\"contenidor\">\r\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\r\n <div id=\"area_pagina\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL MENU -->\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\r\n <div id=\"searchDiv\">\r\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\r\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n\r\n <div id=\"barra_superior\">\r\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> El determinant d'una matriu quadrada</div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n </div>\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\r\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \r\n\t\t\tTorna a cercar</a>\r\n </div>\r\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"1|5|3\" />\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\r\n <div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n </div>\r\n \r\n <div>\r\n\r\n<div xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\" class=\"Section1\">\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">Cada matriu\r\nquadrada pot associar-se a un nombre que és de gran ajuda. Aquest nombre es\r\ndenomina <strong>determinant</strong> de la matriu.</span><span\r\nxml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"> Per a indicar el determinant d'una matriu</span><span\r\nxml:lang=\"ES-TRAD\"> es col·loquen els seus</span><span\r\nxml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"> elements entre dos segments verticals, i no\r\nentre parèntesis. Per exemple, el determinant de la matriu <i>A</i> s'indica com\r\nsegueix:</span></p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\">\r\n <mrow>\r\n <mi>A</mi>\r\n <mo></mo>\r\n <mrow>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <munder>\r\n <mo>→</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtext>el seu determinant s'indica així</mtext>\r\n </mrow>\r\n </munder>\r\n <mrow>\r\n <mo>∣</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>∣</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">També pot\r\nindicar-se d'aquesta altra manera: det(<i>A</i>).</span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">Es definirà\r\nel determinant de manera recursiva, és a dir, primer per a matrius de\r\ndimensió 1<span class=\"MPEntity\">×</span>1, a continuació per a matrius de\r\ndimensió 2<span class=\"MPEntity\">×</span>2, i així successivament.</span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">El\r\ndeterminant d'una matriu 1<span class=\"MPEntity\">×</span>1 és igual al nombre\r\nque compon la matriu. Per exemple,</span><span xml:lang=\"ES-TRAD\"\r\nlang=\"ES-TRAD\"> si <i>A</i> = (3), det(<i>A</i>) = |3| = 3</span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">El\r\ndeterminant d'una matriu 2<span class=\"MPEntity\">×</span>2 és igual al\r\nproducte dels elements de la diagonal menys el producte dels altres dos\r\nelements. Per exemple,</span></p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">si <math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mi>A</mi>\r\n <mo></mo>\r\n <mrow>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>4</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n</math> aleshores, det(<i>A</i>) = <math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>∣</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>4</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>∣</mo>\r\n </mrow>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>6</mn>\r\n </mrow>\r\n</math></span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">El\r\ndeterminant d'una matriu 3<span class=\"MPEntity\">×</span>3 es calcula\r\nd'aquesta manera:</span></p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"><math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>∣</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable columnalign=\"right\">\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>11</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>12</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>13</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>21</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>22</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>23</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>31</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>32</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>33</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>∣</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n</math> = <i>a</i><sub>11</sub><i>a</i><sub>22</sub><i>a</i><sub>33</sub>\r\n+ <i>a</i><sub>12</sub><i>a</i><sub>23</sub><i>a</i><sub>31</sub> +\r\n<i>a</i><sub>21</sub><i>a</i><sub>13</sub><i>a</i><sub>32</sub> <span\r\nclass=\"MPEntity\">−</span>\r\n<i>a</i><sub>31</sub><i>a</i><sub>22</sub><i>a</i><sub>13</sub> <span\r\nclass=\"MPEntity\">−</span>\r\n<i>a</i><sub>12</sub><i>a</i><sub>21</sub><i>a</i><sub>33</sub> <span\r\nclass=\"MPEntity\">−</span>\r\n<i>a</i><sub>11</sub><i>a</i><sub>23</sub><i>a</i><sub>32</sub></span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">En l'exemple\r\nanterior, el determinant de <i>A</i> és igual a:</span></p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"><math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>∣</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>∣</mo>\r\n </mrow>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>14</mn>\r\n </mrow>\r\n</math></span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">Per a\r\ncalcular el determinant de matrius de dimensió 4<span\r\nclass=\"MPEntity\">×</span>4, s'ha de descompondre el determinant de la següent\r\nmanera:</span></p>\r\n\r\n<p><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"><math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>∣</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable columnalign=\"right\">\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>11</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>12</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>13</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>14</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>21</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>22</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>23</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>24</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>31</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>32</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>33</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>34</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>41</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>42</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>43</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>44</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>∣</mo>\r\n </mrow>\r\n <mo>=</mo>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>11</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n <mrow>\r\n <mo>∣</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable columnalign=\"right\">\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>22</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>23</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>24</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>32</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>33</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>34</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>42</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>43</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>44</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>∣</mo>\r\n </mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>21</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n <mrow>\r\n <mo>∣</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable columnalign=\"right\">\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>12</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>13</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>14</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>32</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>33</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>34</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>42</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>43</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>44</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>∣</mo>\r\n </mrow>\r\n <mo>+</mo>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>31</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n <mrow>\r\n <mo>∣</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable columnalign=\"right\">\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>12</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>13</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>14</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>22</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>23</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>24</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>42</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>43</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>44</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>∣</mo>\r\n </mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>41</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n <mrow>\r\n <mo>∣</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable columnalign=\"right\">\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>12</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>13</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>14</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>22</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>23</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>24</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>32</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>33</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>34</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>∣</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n</math></span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">És a dir, es\r\ntracta de multiplicar cada element de la primera columna pel determinant de\r\nla matriu 3<span class=\"MPEntity\">×</span>3 que resulta d'eliminar la fila i\r\nla columna corresponent a aquest element.</span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\">El<span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">\r\ndeterminant</span><span xml:lang=\"ES-TRAD\"> que</span><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"> resulta d'eliminar la fila <em>i</em> i la columna <em>j</em> s'anomena menor complementari de l'element <i>a</i><sub><i>ij</i></sub>, i s'indica\r\n<span class=\"MPEntity\">α</span><sub>ij</sub> (<span\r\nclass=\"MPEntity\">α</span>, alfa, és la primera lletra de l'alfabet\r\ngrec). Per exemple, en el cas de la matriu 4<span class=\"MPEntity\">×</span>4\r\nanterior, el menor complementari de <i>α</i><sub>31</sub> és</span></p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"><span\r\nclass=\"MPEntity\">α</span><sub>31</sub> = <math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>∣</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable columnalign=\"right\">\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>12</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>13</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>14</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>22</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>23</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>24</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>42</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>43</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>44</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>∣</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n</math></span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">Així, doncs,\r\nl'expressió que calcula el determinant 4<span class=\"MPEntity\">×</span>4 pot\r\nsimplificar-se més:</span></p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"><math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>∣</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable columnalign=\"right\">\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>11</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>12</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>13</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>14</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>21</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>22</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>23</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>24</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>31</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>32</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>33</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>34</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>41</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>42</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>43</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>44</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>∣</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n</math> =<i>a</i><sub>11</sub><span\r\nclass=\"MPEntity\">α</span><sub>11</sub> <span\r\nclass=\"MPEntity\">−</span> <i>a</i><sub>21</sub><span\r\nclass=\"MPEntity\">α</span><sub>21</sub> + <i>a</i><sub>31</sub><span\r\nclass=\"MPEntity\">α</span><sub>31</sub> <span\r\nclass=\"MPEntity\">−</span><i>a</i><sub>41</sub><span\r\nclass=\"MPEntity\">α</span><sub>41</sub></span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">Per exemple,\r\npot calcular-se aquest determinant seguint la fórmula anterior:</span></p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"><math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>∣</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable columnalign=\"right\">\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>6</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>∣</mo>\r\n </mrow>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>9</mn>\r\n </mrow>\r\n</math></span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">Per a\r\ncalcular el determinant de qualsevol matriu quadrada se segueix el mateix\r\nprocediment: es multiplica cada element de la primera columna pel seu menor\r\ncomplementari; a més, s'han d'alternar els signes, començant sempre pel signe\r\n+. És a dir:</span></p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"><math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>∣</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable columnalign=\"right\">\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>11</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>12</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>13</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>⋯</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn></mn>\r\n <mi>1 n</mi>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>21</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>22</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>23</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>⋯</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn></mn>\r\n <mi>2 n</mi>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>31</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>32</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>33</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>⋯</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn></mn>\r\n <mi>3 n</mi>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>⋮</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>⋮</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>⋮</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>⋱</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>⋮</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mi></mi>\r\n <mn>n 1</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mi></mi>\r\n <mn>n 2</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mi></mi>\r\n <mn>n 3</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <mn>...</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mi></mi>\r\n <mi>n n</mi>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>∣</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n</math> = <i>a</i><sub>11</sub><span\r\nclass=\"MPEntity\">α</span><sub>11</sub> <span\r\nclass=\"MPEntity\">−</span> <i>a</i><sub>21</sub><span\r\nclass=\"MPEntity\">α</span><sub>21</sub> + <i>a</i><sub>31</sub><span\r\nclass=\"MPEntity\">α</span><sub>31</sub> + ... + (–1)<sup><i>n</i> + 1</sup><i>a</i><sub><i>n</i>1</sub><span\r\nclass=\"MPEntity\">α</span><sub><i>n</i>1</sub></span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">El càlcul del\r\ndeterminant pot desenvolupar-se des de qualsevol columna (o fila) de la\r\nmatriu.</span></p>\r\n</div>\r\n\r\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquests vídeos (també tens la versió pdf):</p>\r\n\r\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\r\n\t<tr>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ALG5Matrius%203.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG5Matrius%203.1/0000C0A8011600003A9938440000013930B73479ACD28A31.xml\"><embed 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src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <div id=\"capsa_inferior\">\r\n <iframe src=\"../iframes/1_5_3.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n</div>\r\n\r\n</form>\r\n</body>\r\n</html> ", | |
| "ocurrenceTitle": "El determinant d'una matriu quadrada" | |
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A més, la\r\nmatriu ha de tenir un determinant diferent de <span xml:lang=\"ES-TRAD\"\r\nlang=\"ES-TRAD\">0. Per a trobar la inversa d'una matriu s'ha de definir,\r\nprimer, el concepte d'adjunt d'un element de la matriu: l'adjunt de l'element\r\n<i>a</i><sub><i>ij</i></sub> de la matriu <i>A</i> s'indica amb <i>A</i><sub><i>ij</i></sub> i es\r\ndefineix de la següent </span> <span xml:lang=\"ES-TRAD\">manera</span><span xml:lang=\"ES-TRAD\"\r\nlang=\"ES-TRAD\">:</span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\"\r\nlang=\"ES-TRAD\"><i>A</i><sub><i>ij</i></sub> = (–1)<sup><i>i + j</i></sup><span\r\nclass=\"MPEntity\">α</span><sub><i>ij</i></sub> si <span\r\nclass=\"MPEntity\">α</span><sub><i>ij</i></sub> és el menor complementari de\r\n<em>a</em><sub><i>ij</i></sub></span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">Es pot\r\nobservar que si <i>i + j</i> és un nombre parell, <i>A</i><sub><i>ij</i></sub> = <span\r\nclass=\"MPEntity\">α</span><sub><i>ij</i></sub>; en canvi, si <i>i + j</i> és un nombre\r\nimparell, <i>A<sub>ij</sub></i> = <span class=\"MPEntity\">−</span><span\r\nclass=\"MPEntity\">α</span><sub><i>ij</i></sub>. És a dir, el signe que ha\r\n</span><span xml:lang=\"ES-TRAD\">de posar-se al davant del</span><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"> menor complementari per a obtenir l'element corresponent\r\nadjunt es regeix per la següent matriu de signes:</span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"><math\r\nstyle=\"background-color:#\">\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable columnalign=\"right\">\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>+</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>-</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>+</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>⋯</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>-</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>+</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>-</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>⋯</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>+</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>-</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>+</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>⋯</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>⋮</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>⋮</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>⋮</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>⋱</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>+</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding=\"MathType-MTEF\"></annotation>\r\n </semantics>\r\n</math></span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">Per exemple,\r\nl'adjunt de l'element <i>a</i><sub>34</sub> ha de ser <i>A</i><sub>34</sub> =\r\n(<math style=\"background-color:#\">\r\n <semantics>\r\n <mo>-</mo>\r\n <annotation encoding=\"MathType-MTEF\"></annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>1)<sup>3 + 4</sup><span class=\"MPEntity\">α</span><sub>34</sub> =\r\n<math style=\"background-color:#\">\r\n <semantics>\r\n <mo>-</mo>\r\n <annotation encoding=\"MathType-MTEF\"></annotation>\r\n </semantics>\r\n</math><span class=\"MPEntity\">α</span><sub>34</sub>.</span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">La matriu\r\nformada per tots els adjunts dels elements de la matriu <i>A</i> </span>\r\n<span xml:lang=\"ES-TRAD\">es</span><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"> denomina matriu\r\nd'adjunts de <i>A</i>, i s'indica amb <i>A</i>'.</span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">Una vegada\r\ntrobada la matriu d'adjunts, és molt senzill de trobar la matriu inversa:</span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"><math\r\nstyle=\"background-color:#\">\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <msup>\r\n <mi>A</mi>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </msup>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mfrac>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mrow>\r\n <mi>det</mi>\r\n <mo>⁡</mo>\r\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\r\n <mi>A</mi>\r\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\r\n </mrow>\r\n </mfrac>\r\n <msup>\r\n <mrow>\r\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\r\n <mi>A</mi>\r\n <mo></mo>\r\n <mo stretchy=\"false\">' )</mo>\r\n </mrow>\r\n <mi>T</mi>\r\n </msup>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding=\"MathType-MTEF\"></annotation>\r\n </semantics>\r\n</math></span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">Dit d'altra\r\nmanera, la matriu inversa de <i>A</i> és la matriu d'adjunts, transposada i dividida\r\nentre el valor del determinant de <i>A</i>. </span><span xml:lang=\"ES-TRAD\">E</span><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">l\r\ndeterminant de <i>A</i> ha de ser diferent de 0; en cas contrari, la fórmula no pot\r\naplicar-se.</span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">Per exemple,\r\nsi la matriu <i>A</i> és <math style=\"background-color:#\">\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mi>A</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding=\"MathType-MTEF\"></annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>, calculem la seva inversa:</span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">Sabem que\r\n<math style=\"background-color:#\">\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>∣</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>∣</mo>\r\n </mrow>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>14</mn>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding=\"MathType-MTEF\"></annotation>\r\n </semantics>\r\n</math></span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">Calculem la\r\nmatriu d'adjunts i la seva transposada:</span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"><i>A</i>’ =\r\n<math style=\"background-color:#\">\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>7</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>7</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>11</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding=\"MathType-MTEF\"></annotation>\r\n </semantics>\r\n</math> (<i>A</i>’)<sup><i>T</i></sup> = <math style=\"background-color:#\">\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>7</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>11</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>7</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding=\"MathType-MTEF\"></annotation>\r\n </semantics>\r\n</math></span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">Per tant, la\r\ninversa de <i>A</i> és:</span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"><math\r\nstyle=\"background-color:#\">\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <msup>\r\n <mi>A</mi>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </msup>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mfrac>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mn>14</mn>\r\n </mrow>\r\n </mfrac>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>7</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>11</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>7</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding=\"MathType-MTEF\"></annotation>\r\n </semantics>\r\n</math></span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">cosa que pot\r\ncomprovar-se fàcilment:</span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"><math\r\nstyle=\"background-color:#\">\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mi>A</mi>\r\n <mo>·</mo>\r\n <msup>\r\n <mi>A</mi>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </msup>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mfrac>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mn>14</mn>\r\n </mrow>\r\n </mfrac>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>7</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>11</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>7</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mfrac>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mn>14</mn>\r\n </mrow>\r\n </mfrac>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>14</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>14</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>14</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding=\"MathType-MTEF\"></annotation>\r\n </semantics>\r\n</math> = <i>I<sub>n</sub></i></span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">De la mateixa manera\r\npot comprovar-se fàcilment que <i>A</i><sup><span\r\nclass=\"MPEntity\">−1</span></sup> · <i>A</i> = <i>I</i><sub>3</sub>.</span><span\r\nxml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"></span></p>\r\n\r\n\r\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquests vídeos (també tens la versió pdf):</p>\r\n\r\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\r\n\t<tr>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ALG5Matrius%204.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG5Matrius%204.1/0000C0A8011800003A9838450000013930EF7CA70D6ACAE6.xml\"><embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ALG5Matrius%204.1/0000C0A8011800003A9838450000013930EF7CA70D6ACAE6.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" 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ESTUDI -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <div id=\"capsa_inferior\">\r\n <iframe src=\"../iframes/1_5_4.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n</div>\r\n\r\n</form>\r\n</body>\r\n</html> ", | |
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-->\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\r\n <div id=\"searchDiv\">\r\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\r\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n\r\n <div id=\"barra_superior\">\r\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> Les matrius en la resolució d'un sistema d'equacions</div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n </div>\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\r\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \r\n\t\t\tTorna a cercar</a>\r\n </div>\r\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"1|5|5\" />\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\r\n <div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n </div>\r\n \r\n <div>\r\n\r\n<p><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">Un sistema d'equacions lineals pot\r\nexpressar-se en forma matricial de la següent manera:</span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"><math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable columnalign=\"right\">\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>11</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>12</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>13</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>⋯</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn></mn>\r\n <mi>1 n</mi>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>21</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>22</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>23</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>⋯</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn></mn>\r\n <mi>2 n</mi>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>31</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>32</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn>33</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>⋯</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mn></mn>\r\n <mi>3 n</mi>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>⋮</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>⋮</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>⋮</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>⋱</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>⋮</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mi></mi>\r\n <mn>m 1</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mi></mi>\r\n <mn>m 2</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mi></mi>\r\n <mn>m 3</mn>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <mn>...</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mrow>\r\n <mi></mi>\r\n <mi>m n</mi>\r\n </mrow>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable columnalign=\"right\">\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>1</mn>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>3</mn>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>⋮</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mi>n</mi>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable columnalign=\"right\">\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>b</mi>\r\n <mn>1</mn>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>b</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>b</mi>\r\n <mn>3</mn>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mo>⋮</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <msub>\r\n <mi>b</mi>\r\n <mi>m</mi>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n</math></span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">Això es\r\ndenomina <strong>equació matricial</strong>, i pot expressar-se com <i>A·X = B</i>,\r\nsi <i>X</i> és una matriu <i>n</i><span class=\"MPEntity\">×</span>1 formada per les\r\nvariables, <i>A</i> una matriu <i>m</i><span class=\"MPEntity\">×</span><i>n</i>, i <i>B</i> una matriu\r\n<i>m</i><span class=\"MPEntity\">×</span>1. Els <strong>rangs</strong> de les matrius (el rang d'una matriu és el nombre de files o de columnes del menor més gran amb determinant diferent de 0)\r\n<i>A</i> i de la seva ampliada, <i>A</i><sup>*</sup>, ens permeten conèixer el nombre de solucions\r\nd'aquest sistema:</span></p>\r\n<ul>\r\n <li>El sistema té solució quan el rang de la matriu <i>A</i> i el de\r\n la matriu ampliada són iguals: rang(<i>A</i>) = rang(<i>A</i><sup>*</sup>). Poden\r\n donar-se els següents casos:\r\n <ul>\r\n <li><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">Si rang(<i>A</i>) = <i>n</i> la solució\r\n és única, és a dir, existeix una única matriu <i>n</i><span\r\n class=\"MPEntity\">×</span>1 que compleix que <i>A·X = B</i>.</span></li>\r\n <li><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">Si rang(<i>A</i>) < <i>n</i> la\r\n solució no és única; de fet, en aquest cas, el sistema té\r\n infinites solucions.</span></li>\r\n </ul>\r\n </li>\r\n</ul>\r\n<ul>\r\n <li>El sistema no té solució si el rang de la matriu <i>A</i> i el de la matriu\r\n ampliada són diferents, és a dir, si rang(<i>A</i>) ≠\r\n rang(<i>A</i><sup>*</sup>)</li>\r\n</ul>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">Per a</span><span xml:lang=\"ES-TRAD\"> </span><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">trobar\r\nla solució en el cas que el sistema tingui solució única (és a dir, si es\r\ncompl</span><span xml:lang=\"ES-TRAD\">e</span><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">ix que rang(<i>A</i>) = rang(<i>A</i><sup>*</sup>) = <i>n</i>), s'escull un menor d'ordre <i>n</i> de\r\nla matriu <i>A</i>, el determinant del qual no sigui 0 (i es denomina <math\r\nstyle=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mover accent=\"true\">\r\n <mi>A</mi>\r\n <mo stretchy=\"true\">-</mo>\r\n </mover>\r\n </mrow>\r\n</math> ) i s'escullen les files de <i>B</i> que coincideixin amb les files del\r\nmenor d'ordre <i>n</i> escollit (aquestes files es denominen <math\r\nstyle=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mover accent=\"true\">\r\n <mi>B</mi>\r\n <mo stretchy=\"true\">-</mo>\r\n </mover>\r\n </mrow>\r\n</math> ). Per a resoldre el sistema <i>A·X = B</i>, n'hi ha prou </span>\r\n<span xml:lang=\"ES-TRAD\">de</span><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"> resoldre\r\n<math style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mover accent=\"true\">\r\n <mi>A ·</mi>\r\n <mo stretchy=\"true\">-</mo>\r\n </mover>\r\n <mo></mo>\r\n <mi>X</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mover accent=\"true\">\r\n <mi>B</mi>\r\n <mo stretchy=\"true\">-</mo>\r\n </mover>\r\n </mrow>\r\n</math>. Ara bé, com <math style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mover accent=\"true\">\r\n <mi>A</mi>\r\n <mo stretchy=\"true\">-</mo>\r\n </mover>\r\n </mrow>\r\n</math> és una matriu quadrada el determinant de la qual no és 0, existeix\r\nla seva inversa. Per tant, podem fer multiplicar a banda i banda per <math\r\nstyle=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <msup>\r\n <mrow>\r\n <mover accent=\"true\">\r\n <mi>A</mi>\r\n <mo stretchy=\"true\">-</mo>\r\n </mover>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </msup>\r\n </mrow>\r\n</math>:</span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"><math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <msup>\r\n <mrow>\r\n <mover accent=\"true\">\r\n <mi>A</mi>\r\n <mo stretchy=\"true\">-</mo>\r\n </mover>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </msup>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mover accent=\"true\">\r\n <mi>A ·</mi>\r\n <mo stretchy=\"true\">-</mo>\r\n </mover>\r\n <mo></mo>\r\n <mi>X</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <msup>\r\n <mrow>\r\n <mover accent=\"true\">\r\n <mi>A</mi>\r\n <mo stretchy=\"true\">-</mo>\r\n </mover>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </msup>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mover accent=\"true\">\r\n <mi>B</mi>\r\n <mo stretchy=\"true\">-</mo>\r\n </mover>\r\n </mrow>\r\n</math></span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">Sabem que\r\n<math xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\r\nstyle=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <msup>\r\n <mrow>\r\n <mover accent=\"true\">\r\n <mi>A</mi>\r\n <mo stretchy=\"true\">-</mo>\r\n </mover>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>-</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </msup>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mover accent=\"true\">\r\n <mi>A</mi>\r\n <mo stretchy=\"true\">-</mo>\r\n </mover>\r\n <mo>=</mo>\r\n <msub>\r\n <mi>I</mi>\r\n <mi>n</mi>\r\n </msub>\r\n </mrow>\r\n</math>; per tant, la solució del sistema és</span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"><math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mi>X</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <msup>\r\n <mrow>\r\n <mover accent=\"true\">\r\n <mi>A</mi>\r\n <mo stretchy=\"true\">-</mo>\r\n </mover>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </msup>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mover accent=\"true\">\r\n <mi>B</mi>\r\n <mo stretchy=\"true\">-</mo>\r\n </mover>\r\n </mrow>\r\n</math></span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">Per exemple,\r\nla solució del sistema:</span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"><math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>{</mo>\r\n <mtable columnalign=\"left\">\r\n <mtr>\r\n <mtd columnalign=\"left\">\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mi>y</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mi>z</mi>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n <mi>y</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>z</mi>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n <mi>y</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mi>z</mi>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>=</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>=</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>=</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>8</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd columnalign=\"left\">\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>y</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>z</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n</math> equivalent a <math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo></mo>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mtable columnalign=\"right\">\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>4</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>x</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>y</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>z</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable columnalign=\"right\">\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>8</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n</math></span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">és única\r\nperquè rang(<i>A</i>) = rang(<i>A</i><sup>*</sup>) = 3. Per a resoldre</span><span xml:lang=\"ES-TRAD\"> \r\nel sistema</span><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"> s'ha d'escollir un\r\nmenor d'ordre 3 que no sigui 0 (per exemple, les tres primeres\r\nfiles)</span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"><math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mover accent=\"true\">\r\n <mi>A</mi>\r\n <mo stretchy=\"true\">-</mo>\r\n </mover>\r\n <mo></mo>\r\n <mrow>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable columnalign=\"right\">\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>4</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n</math> <math xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\r\nstyle=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mover accent=\"true\">\r\n <mi>B</mi>\r\n <mo stretchy=\"true\">-</mo>\r\n </mover>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mtable columnalign=\"right\">\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>8</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n</math> i la solució del sistema és <math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mi>X</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <msup>\r\n <mrow>\r\n <mover accent=\"true\">\r\n <mi>A</mi>\r\n <mo stretchy=\"true\">-</mo>\r\n </mover>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </msup>\r\n <mo>·</mo>\r\n <mover accent=\"true\">\r\n <mi>B</mi>\r\n <mo stretchy=\"true\">-</mo>\r\n </mover>\r\n </mrow>\r\n</math></span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"><math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <msup>\r\n <mrow>\r\n <mover accent=\"true\">\r\n <mi>A</mi>\r\n <mo stretchy=\"true\">-</mo>\r\n </mover>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </msup>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mfrac>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mrow>\r\n <mn>18</mn>\r\n </mrow>\r\n </mfrac>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>8</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>4</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>23</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>7</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mo>→</mo>\r\n <mi>X</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mfrac>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mrow>\r\n <mn>18</mn>\r\n </mrow>\r\n </mfrac>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>8</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mn>4</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>23</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>7</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable columnalign=\"right\">\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>8</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n</math></span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">Així, doncs,\r\n<i>x</i> = 1 <i>, y</i> = 2 <i>, z</i> = <math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" style=\"background-color:#\">\r\n <mo>–</mo>\r\n</math>3</span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">En el cas que\r\nel rang(<i>A</i>) = rang(<i>A</i><sup>*</sup>) = <i>r</i> < <i>n</i>, s'ha de fer el mateix, però una\r\nvegada escollit el menor d'ordre <i>r</i>, s'ha de transformar el sistema\r\nd'equacions inicial, de manera que les incògnites que no corresponguin amb\r\nuna columna del menor anterior han de situar-se a l'altre costat del signe\r\nigual. Així s'obtindrà un sistema amb <i>r</i> incògnites, que podrà expressar-se en\r\nforma matricial. En aquest cas, també la <i>B</i> contindrà alguna de les\r\nincògnites. Ara ja podrà resoldre's el nou sistema de la manera anterior\r\n(perquè es tracta d'un sistema amb <i>r</i> incògnites, la matriu de la qual té rang\r\n<i>r</i>). </span><span xml:lang=\"ES-TRAD\">Cal dir</span><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"> que la solució, en aquest cas, estarà donada en termes\r\nd'algunes de les incògnites</span><span xml:lang=\"ES-TRAD\"> i, per tant, la \r\nsolució no serà única</span><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">.</span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">Per exemple,\r\nel sistema</span></p>\r\n\r\n<p><math>\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>{</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>x</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mtext> </mtext>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mtext> </mtext>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>+</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mtext> </mtext>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mtext> </mtext>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mtext> </mtext>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>y</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>y</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mtext> </mtext>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>-</mo>\r\n <mi>y</mi>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>+</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>-</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>+</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>+</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>z</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>z</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>6</mn>\r\n <mi>z</mi>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>z</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mtable>\r\n <mtd>\r\n <mo>-</mo>\r\n </mtd>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>+</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>-</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>-</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>w</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>w</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>6</mn>\r\n <mi>w</mi>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>w</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>=</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>=</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>=</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>=</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>-</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>6</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd></mtr></mtable></mrow></mrow></mrow></math> es pot expressar <math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable columnalign=\"right\">\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <mo>-</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <mo>-</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>6</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <mo>-</mo>\r\n <mn>6</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <mo>-</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <mo>-</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable columnalign=\"right\">\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mi>x</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mi>y</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mi>z</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mi>w</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable columnalign=\"right\">\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <mo>-</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>6</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">En aquest\r\ncas, rang(<i>A</i>) = rang(<i>A</i><sup>*</sup>) = 2 < 4. Per tant, primer ha de\r\nmodificar-se el sistema original:</span></p>\r\n\r\n<p><math>\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>{</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>x</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mtext> </mtext>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mtext> </mtext>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>+</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mtext> </mtext>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mtext> </mtext>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mtext> </mtext>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>y</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>y</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mtext> </mtext>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mi>y</mi>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>+</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>-</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>+</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>+</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>z</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>z</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>6</mn>\r\n <mi>z</mi>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>z</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>-</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>+</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>-</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>-</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>w</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>w</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>6</mn>\r\n <mi>w</mi>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>w</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>=</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>=</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>=</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>=</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>6</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n <mover>\r\n <mo>→</mo>\r\n <mrow>\r\n </mrow>\r\n </mover>\r\n <mrow>\r\n <mo>{</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>x</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mtext> </mtext>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mtext> </mtext>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>+</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mtext> </mtext>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mtext> </mtext>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mtext> </mtext>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>y</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>y</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mtext> </mtext>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mi>y</mi>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>=</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>=</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>=</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>=</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>6</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>-</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>+</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>-</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>-</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>z</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>z</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>6</mn>\r\n <mi>z</mi>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>z</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>+</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>-</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>+</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>+</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>w</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>w</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>6</mn>\r\n <mi>w</mi>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>w</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">que en forma\r\nmatricial s'expressa així:</span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"><math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable columnalign=\"right\">\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>3</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>x</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>y</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>−</mo>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>+</mo>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>6</mn>\r\n <mo>−</mo>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>−</mo>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>z</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>z</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>6</mn>\r\n <mi>z</mi>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>z</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>+</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>-</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>+</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mo>+</mo>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>w</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>w</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>6</mn>\r\n <mi>w</mi>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>w</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n</math></span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">Si escollim\r\nun menor de rang 2 obtenim:</span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\"><math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable columnalign=\"right\">\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>x</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>y</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mtable columnalign=\"left\">\r\n <mtr>\r\n <mtd columnalign=\"left\">\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mi>z</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mi>w</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd columnalign=\"left\">\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mi>z</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mi>w</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n</math></span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES-TRAD\" lang=\"ES-TRAD\">i, per tant,</span></p>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>x</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mi>y</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mo>=</mo>\r\n <msup>\r\n <mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable columnalign=\"right\">\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </msup>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mtable columnalign=\"left\">\r\n <mtr>\r\n <mtd columnalign=\"left\">\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mi>z</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mi>w</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd columnalign=\"left\">\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mi>z</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mi>w</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable columnalign=\"right\">\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr columnalign=\"right\">\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>0</mn>\r\n </mtd>\r\n <mtd columnalign=\"right\">\r\n <mn>1</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mtable columnalign=\"left\">\r\n <mtr>\r\n <mtd columnalign=\"left\">\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mi>z</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mi>w</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd columnalign=\"left\">\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mi>z</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mi>w</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>z</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>w</mi>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mi>z</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mi>w</mi>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n</math></span></p>\r\n\r\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquests vídeos (també tens la versió pdf):</p>\r\n\r\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\r\n\t<tr>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ALG5Matrius%205.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" 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align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <div id=\"capsa_inferior\">\r\n <iframe src=\"../iframes/1_5_5.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n</div>\r\n\r\n</form>\r\n</body>\r\n</html> ", | |
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| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\n<head>\n<title>El mètode de Gauss amb matrius</title>\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\n<![endif]><![endif]-->\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script> \n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js\"></script> \n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\n</head>\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\n<div id=\"contenidor\">\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\n <div id=\"area_pagina\">\n\n<!-- CAPA DEL MENU -->\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\n\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\n <div id=\"searchDiv\">\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\n </div>\n\n </div>\n\n <div id=\"barra_superior\">\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> El mètode de Gauss amb matrius</div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n </div>\n\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \n\t\t\tTorna a cercar</a>\n </div>\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"1|5|6\" />\n\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\n <div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n </div>\n \n <div>\n\n<p>Sabem que <a href=\"../s3/1_3_2.html\">el\nmètode de Gauss</a> per a resoldre un sistema d'equacions modifica el\nsistema d'equacions original a fi d'aconseguir eliminar certs coeficients. El\nmateix procés pot realitzar-se matricialment, seguint exactament els mateixos\npassos, però sense haver d'escriure les incognites. Aquest és l'únic\navantatge del mètode de Gauss amb matrius. Per a això s'utilitza la\nmatriu ampliada. Cal recordar que:</p>\n<ul>\n <li>Es poden intercanviar files de la matriu, perquè representen equacions\n que també poden intercanviar-se.</li>\n <li>Poden intercanviar-se columnes, tenint en compte que cada columna\n representa els coeficients d'una variable concreta. Per tant, al final\n hauríem d'associar la solució a la variable correcta.</li>\n</ul>\n\n<p>Per exemple, donat aquest sistema,</p>\n\n<p class=\"ex\"><math>\n <mrow>\n <mrow>\n <mo>{</mo>\n <mrow>\n <mtable>\n <mtr>\n <mtd>\n <mi>x</mi>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mrow>\n <mn>2</mn>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n </mtable>\n </mrow>\n </mrow>\n <mtable>\n <mtr>\n <mtd>\n <mo>-</mo>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mo>-</mo>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n </mtable>\n <mtable>\n <mtr>\n <mtd>\n <mi>y</mi>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mrow>\n <mn>2</mn>\n <mi>y</mi>\n </mrow>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mi>y</mi>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n </mtable>\n <mtable>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mo>+</mo>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n </mtable>\n <mtable>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mi>z</mi>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mrow>\n <mn>2</mn>\n <mi>z</mi>\n </mrow>\n </mtd>\n </mtr>\n </mtable>\n <mtable>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mo>+</mo>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mo>+</mo>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mo>+</mo>\n </mtd>\n </mtr>\n </mtable>\n <mtable>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mrow>\n <mn>2</mn>\n <mi>w</mi>\n </mrow>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mi>w</mi>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mi>w</mi>\n </mtd>\n </mtr>\n </mtable>\n <mtable>\n <mtr>\n <mtd>\n <mo>=</mo>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mo>=</mo>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mo>=</mo>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mo>=</mo>\n </mtd>\n </mtr>\n </mtable>\n <mtable>\n <mtr>\n <mtd>\n <mn>0</mn>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mn>4</mn>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mn>0</mn>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mn>5.</mn>\n </mtd>\n </mtr>\n </mtable>\n </mrow>\n</math></p>\n\n<p>les transformacions que provoca el mètode de Gauss en la seva matriu\nampliada poden seguir-se en aquesta seqüència (els espais en blanc de la\nmatriu substitueixen zeros):</p>\n<object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\"\ncodebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=7,0,0,0\"\nwidth=\"539,25\" height=\"299,95\" id=\"prova\" align=\"middle\">\n <param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\" />\n <param name=\"movie\" value=\"gauss.swf\" />\n <param name=\"quality\" value=\"high\" />\n <param name=\"bgcolor\" value=\"#ffffff\" />\n <embed src=\"gauss.swf\" bgcolor=\"#ffffff\" width=\"550\" height=\"300\"\n name=\"prova\" align=\"middle\" type=\"application/x-shockwave-flash\"\n pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\" /></object>\n\n\n<p>El sistema resultant, sobre el qual s'aplicarà la substitució cap enrere,\nés el següent:</p>\n\n<p class=\"ex\"><math>\n <mrow>\n <mrow>\n <mo>{</mo>\n <mrow>\n <mtable>\n <mtr>\n <mtd>\n <mi>x</mi>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n </mtable>\n </mrow>\n </mrow>\n <mtable>\n <mtr>\n <mtd>\n <mo>-</mo>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n </mtable>\n <mtable>\n <mtr>\n <mtd>\n <mi>y</mi>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mi>y</mi>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n </mtable>\n <mtable>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n </mtable>\n <mtable>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mi>z</mi>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n </mtable>\n <mtable>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mo>+</mo>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mo>+</mo>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n </mtable>\n <mtable>\n <mtr>\n <mtd>\n <mtext> </mtext>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mrow>\n <mi>w</mi>\n </mrow>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mrow>\n <mn>2</mn>\n <mi>w</mi>\n </mrow>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mrow>\n <mo>-</mo>\n <mn>3</mn>\n <mi>w</mi>\n </mrow>\n </mtd>\n </mtr>\n </mtable>\n <mtable>\n <mtr>\n <mtd>\n <mo>=</mo>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mo>=</mo>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mo>=</mo>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mo>=</mo>\n </mtd>\n </mtr>\n </mtable>\n <mtable>\n <mtr>\n <mtd>\n <mn>0</mn>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mn>0</mn>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mn>4</mn>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mrow>\n <mo>-</mo>\n <mn>3</mn>\n </mrow>\n </mtd>\n </mtr>\n </mtable>\n </mrow>\n</math></p>\n\n\n<br /><br /> <br /><br />\n </div>\n \n </div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <div id=\"capsa_inferior\">\n <iframe src=\"../iframes/1_5_6.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\n </div>\n\n </div>\n</div>\n\n</form>\n</body>\n</html> ", | |
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El primer conjunt es denomina <strong>domini</strong> de la\r\nfunció, i el segon, <strong>imatge</strong> o <strong>recorregut</strong> de\r\nla funció. Per a reconèixer la funció, acostuma a designar-se amb una o\r\ndiverses lletres. Per exemple, si la funció <math>\r\n <mi>f</mi>\r\n</math> entre dos conjunts numèrics associa l'element 3 del domini de\r\n<math>\r\n <mi>f</mi>\r\n</math> (o <em>Dom f</em>) l'element –7 de la imatge de <math>\r\n <mi>f</mi>\r\n</math> (o <em>Im f</em>), pot expressar-se així:</p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <mrow>\r\n <mi>f</mi>\r\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\r\n <munder>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mrow>\r\n <munder>\r\n <mo>↑</mo>\r\n <mtable columnalign=\"left\">\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mtext>element</mtext>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mtext>del</mtext>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mtext>domini</mtext>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </munder>\r\n </mrow>\r\n </munder>\r\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <munder>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>7</mn>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <munder>\r\n <mo>↑</mo>\r\n <mtable columnalign=\"left\">\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mtext>element</mtext>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mtext>de la</mtext>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mtext>imatge</mtext>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </munder>\r\n </mrow>\r\n </munder>\r\n </mrow>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p>És útil conèixer certes eines que ajuden a treballar amb funcions:</p>\r\n<ul>\r\n <li>La taula d'una funció</li>\r\n</ul>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">Una taula d'una funció\r\nés una taula amb dues columnes; la primera compta valors del domini de\r\nla funció, i la segona els valors corresponents de la seva imatge. Per\r\nexemple, aquesta és una taula d'una funció <i>F</i>, de manera que <i>F</i>(2) = 1, <i>F</i>(4) = 6,\r\n<i>F</i>(6) = 3, <i>F</i>(8) = 1 i <i>F</i>(41) = 5.</span></p>\r\n\r\n<table border=\"1\">\r\n <caption></caption>\r\n <tbody>\r\n <tr>\r\n <td><em>Dom F</em></td>\r\n <td><em>Im F</em></td>\r\n </tr>\r\n <tr>\r\n <td>2</td>\r\n <td>1</td>\r\n </tr>\r\n <tr>\r\n <td>4</td>\r\n <td>6</td>\r\n </tr>\r\n <tr>\r\n <td>6</td>\r\n <td>3</td>\r\n </tr>\r\n <tr>\r\n <td>8</td>\r\n <td>1</td>\r\n </tr>\r\n <tr>\r\n <td>41</td>\r\n <td>5</td>\r\n </tr>\r\n </tbody>\r\n</table>\r\n<ul>\r\n <li>L'expressió d'una funció</li>\r\n</ul>\r\n\r\n<p class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">L'expressió d'una\r\nfunció és una expressió algebraica amb una variable que permet trobar la\r\nimatge de qualsevol element del domini de la funció. Per a aconseguir-ho s'ha\r\nde substituir la variable de l'expressió pel valor del domini. Per exemple,\r\nsi la funció <i>g</i> fa correspondre a un nombre el seu quadrat, l'expressió\r\nd'aquesta funció ha de ser:</span></p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><i>g</i>(<i>x</i>) =\r\n<i>x</i><sup>2.</sup></span></p>\r\n<ul>\r\n <li>La gràfica d'una funció</li>\r\n</ul>\r\n\r\n<p class=\"LarousseBase\"><img xmlns:v=\"urn:schemas-microsoft-com:vml\"\r\nwidth=\"222\" hspace=\"12\" height=\"137\" align=\"left\" src=\"image002.jpg\"\r\nv:shapes=\"_x0000_s1026\" /><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"></span></p>\r\n\r\n<p class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">La gràfica d'una\r\nfunció és el conjunt de tots els punts del pla cartesià les coordenades del\r\nqual coincideixen amb valors d'aquesta funció, si la coordenada <i>x</i> és un\r\nvalor del domini, i la coordenada <i>y</i> un valor de la imatge. Per a\r\ndibuixar la gràfica d'una funció, s'han de dibuixar tots els punts de la\r\nfunció. Per exemple, aquesta és la gràfica de la funció <i>f</i>(<i>x</i>) =\r\n2<i>x</i>, el domini de la qual és l'interval [<math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\">\r\n <mo>−</mo>\r\n</math>3, 3].</span></p>\r\n\r\n<p>Les operacions bàsiques entre funcions són la suma, la resta, la multiplicació,\r\nla divisió i la potenciació de funcions. Existeix també la composició de funcions:\r\nsi <math xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\">\r\n <mi>f</mi>\r\n</math> és una funció, i <math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\">\r\n <mi>g</mi>\r\n</math> és una altra funció, la funció composició de <math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\">\r\n <mi>f</mi>\r\n</math> amb <math xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\">\r\n <mi>g</mi>\r\n</math>, <math xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\">\r\n <mi>go</mi>\r\n <mi>f</mi>\r\n</math> és defineix així: <math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\">\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>g</mi>\r\n<mi>o</mi>\r\n <mi>f</mi>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mi>g</mi>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>f</mi>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mo>)</mo>\r\n</math>. Per exemple, si <math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\">\r\n <mi>f</mi>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n</math>, i <math xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\">\r\n <mi>g</mi>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n</math>, llavors, <math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\">\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>gof</mi>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mi>g</mi>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>f</mi>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mi>g</mi>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mn>5</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n</math>. Es tracta, doncs, d'aplicar la funció <math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\">\r\n <mi>g</mi>\r\n</math> al resultat de la funció <math\r\nxmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\">\r\n <mi>f</mi>\r\n</math>.</p>\r\n\r\n\r\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquests vídeos (també tens la versió pdf):</p>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\r\n\t<tr>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ANA1Funcions_poli1.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA1Funcions_poli1.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\">\r\n <embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA1Funcions_poli1.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ANA1Funcions_poli1.2.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA1Funcions_poli1.2/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\">\r\n <embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA1Funcions_poli1.2/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td> </td>\r\n\t</tr>\r\n</table>\r\n\r\n\r\n\r\n<br /><br /> <br /><br />\r\n </div>\r\n \r\n </div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <div id=\"capsa_inferior\">\r\n <iframe src=\"../iframes/2_1_1.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n</div>\r\n\r\n</form>\r\n</body>\r\n</html> ", | |
| "ocurrenceTitle": "Concepte de funció" | |
| }, { | |
| "url": "s6/2_1_2.html", | |
| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\n<head>\n<title>Les funció afí</title>\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\n<![endif]><![endif]-->\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script> \n<script language=\"javascript\"><!-- \n\tif (document.location.href.substring(0,4) == \"http\"){\n\t\tvar script = document.createElement('script'); \n\t\tscript.type = 'text/javascript'; \n\t\tscript.src = 'http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js'; \n\t\tdocument.getElementsByTagName('head')[0].appendChild(script);\n\t}\n//--></script>\n<script language=\"javascript\"><!-- \n\tif (document.location.href.substring(0,4) == \"http\"){\n\t\tvar script = document.createElement('script'); \n\t\tscript.type = 'text/javascript'; \n\t\tscript.src = 'http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js'; \n\t\tdocument.getElementsByTagName('head')[0].appendChild(script); \n\t\t\n\t}\n//--></script>\n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\n</head>\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\n<div id=\"contenidor\">\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\n <div id=\"area_pagina\">\n\n<!-- CAPA DEL MENU -->\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\n\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\n <div id=\"searchDiv\">\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\n </div>\n\n </div>\n\n <div id=\"barra_superior\">\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> Les funció afí</div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n </div>\n\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \n\t\t\tTorna a cercar</a>\n </div>\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"2|1|2\" />\n\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\n <div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n </div>\n \n <div>\n\n<p>Una funció polinòmica té per expressió un polinomi. Les funcions\npolinòmiques es classifiquen segons el grau del polinomi. Les funcions\npolinòmiques de grau 1 es denominen, també, funcions <strong>afins</strong>,\ni són de la forma:</p>\n\n<p class=\"ex\"><math>\n <mi>f</mi>\n <mo>(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>)</mo>\n <mo>=</mo>\n <mi>a</mi>\n <mi>x</mi>\n <mo>+</mo>\n <mi>b</mi>\n</math></p>\n\n<p>La representació d'una funció afí és una recta. La relació de <em>a</em>\ni <em>b</em> amb la posició de la recta és la següent, com es pot\ncomprovar en el gràfic interactiu:</p>\n<ul>\n <li><em>a</em> és <em>el pendent</em> de la recta, ja que la seva variació\n modifica la inclinació de la recta. Si modifiques aquest valor\n (desplaçant el punt corresponent del segment verd), podràs observar com\n la inclinació de la recta també varia.</li>\n <li>Si <em>b</em> = 0, la recta passa per l'origen de coordenades, i la\n funció es denomina <strong>lineal</strong>. La variació de la <em>b</em> produeix un desplaçament lateral de la recta al llarg de l'eix <i>X</i>.\n Comprova aquest fet movent el punt corresponent del segment verd.</li>\n</ul>\n\n<p class=\"nota\"><a href=\"../videos/6.funcions.avi\">Aquest vídeo</a> explica\nquines manipulacions es poden fer en els gràfics d'aquest tema.<br />\n<applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"385\">\n<param name=\"filename\" value=\"f_afin.ggb\" />\n</applet>\n</p>\n\n<p>El fet que una funció afí sigui una recta ens ajuda a visualitzar la\nsolució d'un sistema d'equacions amb dues incògnites. Aquest pot\ninterpretar-se ara com la intersecció de dues rectes, considerant cada\nequació com una funció afí, l'expressió de la qual s'obté en aïllar la\n<em>y</em>. És a dir, la solució del sistema d'equacions:</p>\n\n<p class=\"ex\"><math>\n <mrow>\n <mrow>\n <mo>{</mo>\n <mrow>\n <mtable>\n <mtr>\n <mtd>\n <mrow>\n <mi>a</mi>\n <mi>x</mi>\n <mo>+</mo>\n <mi>b</mi>\n <mi>y</mi>\n <mo>=</mo>\n <mi>c</mi>\n </mrow>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mrow>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n <mo>+</mo>\n <mi>e</mi>\n <mi>y</mi>\n <mo>=</mo>\n <mi>f</mi>\n </mrow>\n </mtd>\n </mtr>\n </mtable>\n </mrow>\n </mrow>\n </mrow>\n</math></p>\n\n<p>pot interpretar-se com la intersecció de dues rectes, <em>g</em>(<i>x</i>) i\n<em>h</em>(<i>x</i>), l'expressió de la qual es troba aïllant la <em>y</em>:</p>\n\n<p class=\"ex\"><math>\n <mrow>\n <mrow>\n <mo>{</mo>\n <mrow>\n <mtable>\n <mtr>\n <mtd>\n <mrow>\n <mi>g</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n <mo>=</mo>\n <mo>−</mo>\n <mfrac>\n <mi>a</mi>\n <mi>b</mi>\n </mfrac>\n <mi>x</mi>\n <mo>+</mo>\n <mfrac>\n <mi>c</mi>\n <mi>b</mi>\n </mfrac>\n </mrow>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr>\n <mtd>\n <mrow>\n <mi>h</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n <mo>=</mo>\n <mo>−</mo>\n <mfrac>\n <mi>d</mi>\n <mi>e</mi>\n </mfrac>\n <mi>x</mi>\n <mo>+</mo>\n <mfrac>\n <mi>f</mi>\n <mi>e</mi>\n </mfrac>\n </mrow>\n </mtd>\n </mtr>\n </mtable>\n </mrow>\n </mrow>\n </mrow>\n</math></p>\n\n<p>En aquesta aplicació pots comprovar com variant els diferents coeficients\nde les rectes se'n modifica el punt d'intersecció, les coordenades del qual\nformen la solució del sistema format per les equacions d'ambdues rectes.</p>\n\n<p><applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"385\">\n<param name=\"filename\" value=\"sistemaRectes.ggb\" />\n</applet>\n</p>\n\n\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquests vídeos (també tens la versió pdf):</p>\n\n\n\n\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\n\t<tr>\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ANA1Funcions_poli2.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA1Funcions_poli2.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\">\n <embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA1Funcions_poli2.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\n\t\t<td> </td>\n\t</tr>\n</table>\n\n\n\n\n\n<br /><br /> <br /><br />\n </div>\n \n </div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <div id=\"capsa_inferior\">\n <iframe src=\"../iframes/2_1_2.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\n </div>\n\n </div>\n</div>\n\n</form>\n</body>\n</html> \n", | |
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| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\n<head>\n<title>La funció quadràtica</title>\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\n<![endif]><![endif]-->\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script> \n<script language=\"javascript\"><!-- \n\tif (document.location.href.substring(0,4) == \"http\"){\n\t\tvar script = document.createElement('script'); \n\t\tscript.type = 'text/javascript'; \n\t\tscript.src = 'http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js'; \n\t\tdocument.getElementsByTagName('head')[0].appendChild(script);\n\t}\n//--></script>\n<script language=\"javascript\"><!-- \n\tif (document.location.href.substring(0,4) == \"http\"){\n\t\tvar script = document.createElement('script'); \n\t\tscript.type = 'text/javascript'; \n\t\tscript.src = 'http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js'; \n\t\tdocument.getElementsByTagName('head')[0].appendChild(script); \n\t\t\n\t}\n//--></script>\n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\n</head>\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\n<div id=\"contenidor\">\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\n <div id=\"area_pagina\">\n\n<!-- CAPA DEL MENU -->\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\n\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\n <div id=\"searchDiv\">\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\n </div>\n\n </div>\n\n <div id=\"barra_superior\">\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> La funció quadràtica</div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n </div>\n\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \n\t\t\tTorna a cercar</a>\n </div>\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"2|1|3\" />\n\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\n <div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n </div>\n \n <div>\n\n<p>Una funció <strong>quadràtica</strong> és una funció polinòmica de grau 2.\nLa seva expressió és, doncs, del tipus:</p>\n\n<p class=\"ex\"><math>\n <mi>f</mi>\n <mo>(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>)</mo>\n <mo>=</mo>\n <mi>a</mi>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>+</mo>\n <mi>b</mi>\n <mi>x</mi>\n <mo>+</mo>\n <mi>c</mi>\n</math></p>\n\n<p>La gràfica d'una funció cuadrática és una paràbola, les característiques\nbàsiques de la qual són:</p>\n<ul>\n <li>El seu vèrtex té coordenada <math>\n <mi>x</mi>\n <mo>=</mo>\n <mfrac>\n <mrow>\n <mo>−</mo>\n <mi>b</mi>\n </mrow>\n <mrow>\n <mn>2</mn>\n <mi>a</mi>\n </mrow>\n </mfrac>\n </math>.</li>\n <li>Si <math>\n <mi>a</mi>\n <mo>></mo>\n <mo></mo>\n <mn>0</mn>\n </math>, les branques de la paràbola apunten cap amunt; si <math>\n <mi>a</mi>\n <mo><</mo>\n <mn>0</mn>\n </math>, la branques apunten cap avall.</li>\n <li>Les solucions de l'equació de segon grau <math>\n <mi>f</mi>\n <mo>(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>)</mo>\n <mo>=</mo>\n <mn>0</mn>\n </math> són els punts de tall de la paràbola amb l'eix <i>X</i>.</li>\n <li>El nombre de solucions depèn del discriminant, <math>\n <mi>Δ</mi>\n <mo>=</mo>\n <msup>\n <mi>b</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>−</mo>\n <mn>4</mn>\n <mi>a</mi>\n <mi>c</mi>\n </math>, de l'equació:\n <ul>\n <li>Si <math>\n <mi>Δ</mi>\n <mo>=</mo>\n <mn>0</mn>\n </math>, una única solució.</li>\n <li>Si <math>\n <mi>Δ</mi>\n <mo>></mo>\n <mn>0</mn>\n </math>, dues solucions.</li>\n <li>Si <math>\n <mi>Δ</mi>\n <mo><</mo>\n <mn>0</mn>\n </math>, cap solució.</li>\n </ul>\n </li>\n</ul>\n\n<p>Pots comprovar aquests fets amb aquesta aplicació, en la qual pots\nmodificar els valors de <em>a</em><em>, b</em> i <em>c</em>.</p>\n\n<p><applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"450\">\n<param name=\"filename\" value=\"quadratica.ggb\" />\n</applet>\n</p>\n\n<p>La gràfica d'una funció quadràtica permet descobrir gràficament les\nsolucions d'una inequació de segon grau (per al cas més senzill d'una\ninequació de primer grau, n'hi ha prou amb una funció afí), si tenim en\ncompte que els punts de la funció per sobre de l'eix <i>X</i> són positius, mentre\nque els punts de la funció per sota de l'eix <i>X</i> són negatius. Per exemple, si\nmodifiques els valors dels coeficients de la funció <math>\n <mi>f</mi>\n</math>, veuràs com varia la solució de la inequació <math>\n <mi>f</mi>\n <mo>(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>)</mo>\n <mo><</mo>\n <mn>0</mn>\n</math> (segment en vermell):</p>\n\n<p><applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"400\">\n<param name=\"filename\" value=\"ineq_segon.ggb\" />\n</applet>\n</p>\n\n\n\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquests vídeos (també tens la versió pdf):</p>\n\n\n\n\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\n\t<tr>\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ANA1Funcions_poli3.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA1Funcions_poli3.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\">\n <embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA1Funcions_poli3.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\n\t\t<td> </td>\n\t</tr>\n</table>\n\n\n\n<br /><br /> <br /><br />\n </div>\n \n </div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <div id=\"capsa_inferior\">\n <iframe src=\"../iframes/2_1_3.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\n </div>\n\n </div>\n</div>\n\n</form>\n</body>\n</html> \n", | |
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| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\n<head>\n<title>Altres funcions polinòmiques</title>\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\n<![endif]><![endif]-->\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script> \n<script language=\"javascript\"><!-- \n\tif (document.location.href.substring(0,4) == \"http\"){\n\t\tvar script = document.createElement('script'); \n\t\tscript.type = 'text/javascript'; \n\t\tscript.src = 'http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js'; \n\t\tdocument.getElementsByTagName('head')[0].appendChild(script);\n\t}\n//--></script>\n<script language=\"javascript\"><!-- \n\tif (document.location.href.substring(0,4) == \"http\"){\n\t\tvar script = document.createElement('script'); \n\t\tscript.type = 'text/javascript'; \n\t\tscript.src = 'http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js'; \n\t\tdocument.getElementsByTagName('head')[0].appendChild(script); \n\t\t\n\t}\n//--></script>\n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\n</head>\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\n<div id=\"contenidor\">\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\n <div id=\"area_pagina\">\n\n<!-- CAPA DEL MENU -->\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\n\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\n <div id=\"searchDiv\">\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\n </div>\n\n </div>\n\n <div id=\"barra_superior\">\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> Altres funcions polinòmiques</div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n </div>\n\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \n\t\t\tTorna a cercar</a>\n </div>\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"2|1|4\" />\n\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\n <div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n </div>\n \n <div>\n\n<p>En general, s'utilitzen indistintament els termes <i>polinomi</i> i <i>funció\npolinòmica</i>. Com ja s'ha vist amb les funcions afins i quadràtiques, la\ngràfica d'una funció polinòmica permet conèixer més en profunditat els\nelements d'un polinomi.</p>\n\n<p>Per exemple, aquesta és la gràfica del polinomi <math>\n <mi>p</mi>\n <mo>(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>)</mo>\n <mo>=</mo>\n <mn>2</mn>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>3</mn>\n </msup>\n <mo>+</mo>\n <mn>4</mn>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>−</mo>\n <mn>4</mn>\n <mi>x</mi>\n <mo>−</mo>\n <mn>2</mn>\n</math>:</p>\n\n<p><applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"450\">\n<param name=\"filename\" value=\"polinomio2.ggb\" />\n</applet>\n</p>\n\n<p>Poden observar-se les següents característiques:</p>\n<ul>\n <li>El polinomi té tres arrels, ja que talla a l'eix <i>X</i> en tres punts, que\n són <math>\n <msub>\n <mi>R</mi>\n <mn>1</mn>\n </msub>\n </math>, <math>\n <msub>\n <mi>R</mi>\n <mn>2</mn>\n </msub>\n </math> i <math>\n <msub>\n <mi>R</mi>\n <mn>3</mn>\n </msub>\n </math>.</li>\n <li>Podem observar dos <strong>extrems</strong>, <math\n >\n <msub>\n <mi>E</mi>\n <mn>1</mn>\n </msub>\n </math> i <math>\n <msub>\n <mi>E</mi>\n <mn>2</mn>\n </msub>\n </math>, que són punts en què la funció canvia el seu creixement (és a\n dir, passa de créixer a decréixer, o bé, de decréixer a créixer).</li>\n <li>Finalment, observem que la branca de l'esquerra continua indefinidament\n cap avall, mentre que la de la dreta ho fa cap amunt .</li>\n</ul>\nPot modificar-se aquesta funció seleccionant-la amb el ratolí i movent-la a voluntat. Si, per exemple, la movem cap amunt (o cap avall), arribarà un\nmoment que dues de les arrels convergeixen en una; aquesta arrel és una arrel\ndoble (és a dir, apareixerà dues vegades en la descomposició del polinomi).\nDe la mateixa manera, si seguim pujant (baixant) la gràfica, podrem observar\nque tan sols quedarà una arrel.\n\n<p>En general, com hem vist en l'exemple, podem afirmar que un polinomi de\ngrau tres ha de tenir com a mínim una arrel, i com a màxim tres.</p>\n\n\n\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquests vídeos (també tens la versió pdf):</p>\n\n\n\n\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\n\t<tr>\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ANA1Funcions_poli4.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA1Funcions_poli4.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\">\n <embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA1Funcions_poli4.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\n\t\t<td> </td>\n\t</tr>\n</table>\n\n\n\n<br /><br /> <br /><br />\n </div>\n \n </div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <div id=\"capsa_inferior\">\n <iframe src=\"../iframes/2_1_4.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\n </div>\n\n </div>\n</div>\n\n</form>\n</body>\n</html> \n", | |
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| }, { | |
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| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\n<head>\n<title>Raons trigonomètriques</title>\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\n<![endif]><![endif]-->\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script> \n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js\"></script> \n\t\t\n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\n</head>\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\n<div id=\"contenidor\">\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\n <div id=\"area_pagina\">\n\n<!-- CAPA DEL MENU -->\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\n\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\n <div id=\"searchDiv\">\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\n </div>\n\n </div>\n\n <div id=\"barra_superior\">\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> Raons trigonomètriques</div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n </div>\n\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \n\t\t\tTorna a cercar</a>\n </div>\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"2|2|1\" />\n\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\n <div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n </div>\n \n <div>\n\n<p>Les raons trigonomètriques d'un angle agut són, bàsicament, el sinus, el\ncosinus i la tangent. Es defineixen a partir d'un angle agut, <math>\n <mi>α</mi>\n</math>, d'un triangle rectangle, els elements del qual són la hipotenusa,\n<em>h</em>, el catet contigu a l'angle, <math>\n <msub>\n <mi>c</mi>\n <mi>c</mi>\n </msub>\n</math>, i el catet oposat a l'angle, <math>\n <msub>\n <mi>c</mi>\n <mi>o</mi>\n </msub>\n</math>:</p>\n<ul>\n <li>El sinus de l'angle és el catet oposat dividit per la hipotenusa.</li>\n <li>El cosinus de l'angle és el catet contigu dividit per la\n hipotenusa.</li>\n <li>La tangent de l'angle és el catet oposat dividit pel catet contigu, o\n el que és el mateix, el sinus de l'angle dividit pel cosinus de\n l'angle.</li>\n</ul>\n\n<p>Aquesta aplicació permet calcular les raons trigonomètriques d'angles\naguts (tant en graus com en radians), i a més mostra la igualtat bàsica de la\ntrigonometria, és a dir, que la suma de quadrats del sinus i del cosinus d'un\nmateix angle sempre és 1:</p>\n\n<p class=\"ex\"><math>\n <msup>\n <mtext>sin</mtext>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mi>α</mi>\n <mo>+</mo>\n <msup>\n <mtext>cos</mtext>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mi>α</mi>\n <mo>=</mo>\n <mn>1.</mn>\n</math></p>\n\n<p class=\"nota\"><a href=\"../videos/7.funcions2.avi\">Aquest vídeo</a> explica les manipulacions que es poden fer en els gràfics que apareixeran en aquest tema i els següents<br />\n<applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"700\" height=\"350\">\n<param name=\"filename\" value=\"raons.ggb\" />\n</applet>\n</p>\n\n<p>Existeixen d'altres raons trigonomètriques derivades de les anteriors:</p>\n<ul>\n <li>La cosecant, que és la inversa del sinus: <math\n >\n <mtext>cosec</mtext>\n <mi>x</mi>\n <mo>=</mo>\n <mfrac>\n <mn>1</mn>\n <mrow>\n <mtext>sin</mtext>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n </mfrac>\n </math>.</li>\n <li>La secant, que és la inversa del cosinus:\n\t<math\n >\n <mtext>sec</mtext>\n <mi>x</mi>\n <mo>=</mo>\n <mfrac>\n <mn>1</mn>\n <mrow>\n <mtext>cos</mtext>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n </mfrac>\n </math>.</li>\n <li>La cotangent, que és la inversa de la tangent: <math\n >\n <mtext>cotg</mtext>\n <mi>x</mi>\n <mo>=</mo>\n <mfrac>\n <mn>1</mn>\n <mrow>\n <mtext>tg</mtext>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n </mfrac>\n </math>.</li>\n</ul>\n\n\n\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquests vídeos (també tens la versió pdf):</p>\n\n\n\n\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\n\t<tr>\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ANA2Trigonometria1.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA2Trigonometria1.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\">\n <embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA2Trigonometria1.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ANA2Trigonometria1.2.pdf\">versió pdf</a></p><p>\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA2Trigonometria1.2/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\">\n <embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA2Trigonometria1.2/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\n\t\t<td> </td>\n\t</tr>\n</table>\n\n\n\n<br /><br /> <br /><br />\n </div>\n \n </div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <div id=\"capsa_inferior\">\n <iframe src=\"../iframes/2_2_1.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\n </div>\n\n </div>\n</div>\n\n</form>\n</body>\n</html> \n", | |
| "ocurrenceTitle": "Raons trigonomètriques" | |
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| "url": "s7/2_2_2.html", | |
| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\n<head>\n<title>Raons trigonomètriques d'un angle qualsevol</title>\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\n<![endif]><![endif]-->\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script> \n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js\"></script> \n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\n</head>\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\n<div id=\"contenidor\">\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\n <div id=\"area_pagina\">\n\n<!-- CAPA DEL MENU -->\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\n\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\n <div id=\"searchDiv\">\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\n </div>\n\n </div>\n\n <div id=\"barra_superior\">\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> Raons trigonomètriques d'un angle qualsevol</div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n </div>\n\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \n\t\t\tTorna a cercar</a>\n </div>\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"2|2|2\" />\n\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\n <div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n </div>\n \n <div>\n\n<p>Per a definir les raons trigonomètriques d'un angle qualsevol, es dibuixa\nuna circumferència de radi 1. Els punts sobre aquesta circumferència tindran\nper component <em>x</em> el valor del cosinus de l'angle, i per component\n<em>y</em> el valor del sinus de l'angle. Si s'observa detingudament, aquesta\ndefinició és equivalent per a angles aguts a la definició de sinus i cosinus\nde l'apartat anterior, tenint en compte que la hipotenusa mesura 1, com pot\nobservar-se en aquest gràfic interactiu:</p>\n\n<p><applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"400\">\n<param name=\"filename\" value=\"totsangles.ggb\" />\n</applet>\n</p>\n\n<p>La tangent i les raons trigonomètriques restants (secant, cosecant i\ncotangent), es defineixen a partir del sinus i el cosinus. Ha de tenir-se en\ncompte que existeixen angles per als quals no és possible calcular alguna\nd'aquestes raons trigonomètriques, perquè en la seva expressió hi ha un\nquocient amb denominador 0.</p>\n\n<p>Per a valors negatius o per a valors majors de 2<math>\n <mi>π</mi>\n</math> (en radians, és a dir, 360°), es van repetint periòdicament les\nseves raons trigonomètriques, a partir dels de la primera circumferència, tal\ncom pot comprovar-se:</p>\n\n<p><applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"400\">\n<param name=\"filename\" value=\"totsangles2.ggb\" />\n</applet>\n</p>\n\n<p>És a dir, en radians:</p>\n\n<blockquote>\n\t<p><math>\n\t <semantics>\n\t <mrow>\n\t <mtext>sin</mtext><mo stretchy='false'>(</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=<mtext>sin</mtext><mo stretchy='false'>(</mo><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mtext>sin</mtext><mo stretchy='false'>(</mo><mi>α</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n\t </mrow>\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t </annotation>\n\t </semantics>\n\t</math>\n\t</p>\n\t<p><math>\n\t <semantics>\n\t <mrow>\n\t <mtext>cos</mtext><mo stretchy='false'>(</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mtext>cos</mtext><mo stretchy='false'>(</mo><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mtext>cos</mtext><mo stretchy='false'>(</mo><mi>α</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n\t </mrow>\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t </annotation>\n\t </semantics>\n\t</math>\n\t</p>\n</blockquote>\n\n<p>A més, per a qualsevol angle se segueix complint la igualtat bàsica de la\ntrigonometria:</p>\n\n<p class=\"ex\"><math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mtext>sin</mtext><msup>\n <mi></mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mi>x</mi><mo>+</mo><mtext>cos</mtext><msup>\n <mi></mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mi>x</mi><mo>=</mo><mn>1</mn>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n</p>\n\n\n\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquests vídeos (també tens la versió pdf):</p>\n\n\n\n\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\n\t<tr>\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ANA2Trigonometria2.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA2Trigonometria2.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\">\n <embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA2Trigonometria2.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\n\t\t<td> </td>\n\t</tr>\n</table>\n\n\n\n<br /><br /> <br /><br />\n </div>\n \n </div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <div id=\"capsa_inferior\">\n <iframe src=\"../iframes/2_2_2.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\n </div>\n\n </div>\n</div>\n\n</form>\n</body>\n</html> \n", | |
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| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\n<head>\n<title>Les funcions sinus i cosinus</title>\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\n<![endif]><![endif]-->\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script> \n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js\"></script> \n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\n</head>\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\n<div id=\"contenidor\">\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\n <div id=\"area_pagina\">\n\n<!-- CAPA DEL MENU -->\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\n\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\n <div id=\"searchDiv\">\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\n </div>\n\n </div>\n\n <div id=\"barra_superior\">\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> Les funcions sinus i cosinus</div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n </div>\n\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \n\t\t\tTorna a cercar</a>\n </div>\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"2|2|3\" />\n\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\n <div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n </div>\n \n <div>\n\n<p>La funció sinus es defineix a partir del concepte de sinus, considerant\nque l'angle sempre ha d'expressar-se en radians. Per a representar aquesta\nfunció, només han de traslladar-se els valors del sinus obtinguts a partir de\nla circumferència unitària a la gràfica de la funció, tal com pot fer-se en\naquesta aplicació desplaçant el punt que representa el valor de <em>x</em>\n(és a dir, el valor de l'angle α) a dreta i esquerra.</p>\n\n<p><applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"250\">\n<param name=\"filename\" value=\"seno.ggb\" />\n</applet>\n</p>\n\n<p>Podem observar diverses característiques de la funció sinus:</p>\n<ul>\n <li>El seu domini conté tots els reals. En canvi, la seva imatge és\n l'interval [–1, 1], ja que el sinus d'un angle sempre es troba entre\n aquests valors.</li>\n <li>Aquesta funció es repeteix exactament igual cada 2π; és a dir,\n els valors de la funció en l'interval del domini [0, 2π) són\n suficients per a conèixer la funció en qualsevol punt. Es diu, en aquest\n cas, que la funció és <strong>periòdica</strong>, de\n <strong>període</strong> 2π.</li>\n <li>La funció s'anul·la en els valors <em>x</em> iguals a <math\n >\n <mi>k</mi><mi>π</mi>\n </math> , si <em>k</em> és un nombre enter.</li>\n <li>La funció té els seus extrems <strong>màxims,</strong> és a dir, els\n valors majors de la <em></em><em>y</em>, quan el sinus de l'angle és 1,\n és a dir, quan la <em></em><em>x</em> és <math\n >\n <mfrac>\n <mi>π</mi>\n <mn>2</mn>\n </mfrac>\n <mo>+</mo>\n <mn>2</mn>\n <mi>k</mi>\n <mi>π</mi>\n </math>, si <i>k</i> és un nombre enter qualsevol. Els seus extrems\n <strong>mínims</strong>, és a dir, els valors menors de la <em>y</em>\n (quan el sinus és <math>\n <mo>−</mo>\n <mn>1</mn>\n </math>), es troben quan la <em></em><em>x</em> és <math\n >\n <mfrac>\n <mrow>\n <mn>3</mn>\n <mi>π</mi>\n </mrow>\n <mn>2</mn>\n </mfrac>\n <mo>+</mo>\n <mn>2</mn>\n <mi>k</mi>\n <mi>π</mi>\n </math>, si <em>k</em> és qualsevol nombre enter.</li>\n</ul>\n\n<p>La funció cosinus es defineix a partir del concepte de cosinus,\nconsiderant que l'angle sempre ha d'expressar-se en radians. Per a\nrepresentar aquesta funció, només cal traslladar els valors del cosinus\nobtinguts a partir de la circumferència unitària a la gràfica de la funció,\ntal com pot fer-se en aquesta aplicació desplaçant el punt que representa el\nvalor de <em>x</em> (és a dir, el valor de l'angle α) a dreta i\nesquerra.</p>\n\n<p><applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"250\">\n<param name=\"filename\" value=\"coseno.ggb\" />\n</applet>\n</p>\n\n<p>Podem observar diverses característiques de la funció cosinus:</p>\n<ul>\n <li>El seu domini conté tots els reals. En canvi, la seva imatge és\n l'interval [–1, 1], ja que el cosinus d'un angle sempre es troba entre\n aquests valors.</li>\n <li>Aquesta funció es repeteix exactament igual cada 2π; és a dir,\n els valors de la funció en l'interval del domini [0, 2π) són\n suficients per a conèixer la funció en qualsevol punt. Així, doncs, és\n periòdica, de període 2π.</li>\n <li>La funció s'anul·la en <math>\n <mfrac>\n <mi>π</mi>\n <mn>2</mn>\n </mfrac>\n <mo>+</mo>\n <mn>k</mn>\n <mi>π</mi>\n </math>, si <em>k</em> és qualsevol nombre enter.</li>\n <li>La funció té el seus extrems màxims, és a dir, els valors majors de la\n <em></em><em>y</em>, quan el cosinus de l'angle és 1, és a dir, quan la\n <em>x</em> és <math>\n <mn>2</mn>\n <mi>k</mi>\n <mi>π</mi>\n </math> , si <em>k</em> és un nombre enter qualsevol. Els seus extrems\n mínims, és a dir, els valors menors de la <em>y</em> (quan el cosinus és\n <math>\n <mo>−</mo>\n <mn>1</mn>\n </math>), es troben quan la <em>x</em> és <math\n >\n <mi>π</mi>\n <mo>+</mo>\n <mn>2</mn>\n <mi>k</mi>\n <mi>π</mi>\n </math>, si <em>k</em> és qualsevol nombre enter.</li>\n</ul>\n\n\n<br /><br /> <br /><br />\n </div>\n \n </div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <div id=\"capsa_inferior\">\n <iframe src=\"../iframes/2_2_3.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\n </div>\n\n </div>\n</div>\n\n</form>\n</body>\n</html> ", | |
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| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\n<head>\n<title>La funció tangent</title>\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\n<![endif]><![endif]-->\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script> \n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js\"></script> \n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\n</head>\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\n<div id=\"contenidor\">\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\n <div id=\"area_pagina\">\n\n<!-- CAPA DEL MENU -->\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\n\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\n <div id=\"searchDiv\">\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\n </div>\n\n </div>\n\n <div id=\"barra_superior\">\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> La funció tangent</div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n </div>\n\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \n\t\t\tTorna a cercar</a>\n </div>\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"2|2|4\" />\n\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\n <div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n </div>\n \n <div>\n\n<p>La funció tangent es defineix a partir del concepte de tangent,\nconsiderant que l'angle sempre ha d'expressar-se en radians. Per a poder\nentendre la construcció de la seva gráfica és molt útil, com en el cas del\nsinus i del cosinus, oferir, en primer lloc, una interpretació gràfica de la\ntangent.</p>\n\n<p><applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"350\">\n<param name=\"filename\" value=\"tangentInterp.ggb\" />\n</applet>\n</p>\n\n<p>És evident que la coordenada <em>y</em> del punt ressaltat és la tangent\nde l'angle, perquè la seva coordenada <em>x</em> és sempre 1, i el quocient\nd'ambdues coordenades ha de ser precisament la tangent de α:</p>\n\n<p class=\"ex\"><math>\n <mtext>tgα</mtext>\n <mo>=</mo>\n <mfrac>\n <mi>y</mi>\n <mi>x</mi>\n </mfrac>\n <mo>=</mo>\n <mfrac>\n <mi>y</mi>\n <mn>1</mn>\n </mfrac>\n <mo>=</mo>\n <mn>1</mn>\n</math></p>\n\n<p>Per a representar aquesta funció només cal traslladar els valors de la\ntangent obtinguts a partir de la circumferència unitària a la gràfica de la\nfunció, tal com pot fer-se en aquesta aplicació desplaçant el punt que\nrepresenta el valor de <em>x</em> (és a dir, el valor de l'angle α) a\ndreta i esquerra:</p>\n\n<p><applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"400\">\n<param name=\"filename\" value=\"tangent.ggb\" />\n</applet>\n</p>\n\n<p>Podem observar diverses característiques de la funció tangent:</p>\n<ul>\n <li>El seu domini conté tots els reals excepte aquells per als quals no\n existeix la tangent, que són els angles <math\n >\n <mfrac>\n <mrow>\n <mo>(</mo>\n <mn>2</mn>\n <mi>k</mi>\n <mo>−</mo>\n <mn>1</mn>\n <mo>)</mo>\n <mi>π</mi>\n </mrow>\n <mn>2</mn>\n </mfrac>\n </math>, si <math>\n <mi>k</mi>\n </math> és un nombre enter. En canvi, qualsevol nombre real pertany a la\n seva imatge.</li>\n <li>Aquesta funció es repeteix exactament igual cada π; és a dir, els\n valors de la funció en l'interval de domini <math\n >\n <mo>(</mo>\n <mfrac>\n <mrow>\n <mo>−</mo>\n <mi>π</mi>\n </mrow>\n <mn>2</mn>\n </mfrac>\n </math>,<math>\n <mfrac>\n <mi>π</mi>\n <mn>2</mn>\n </mfrac>\n <mo>)</mo>\n </math> són suficients per a conèixer la funció en qualsevol punt. Així,\n doncs, és periòdica, de període π.</li>\n <li>La funció s'anul·la en <math>\n <mi>k</mi>\n <mi>π</mi>\n </math>, si <em>k</em> és un nombre sencer.</li>\n <li>La funció no té ni màxims ni mínims, perquè sempre creix (dintre del\n seu domini, és clar).</li>\n</ul>\n\n\n<br /><br /> <br /><br />\n </div>\n \n </div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <div id=\"capsa_inferior\">\n <iframe src=\"../iframes/2_2_4.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\n </div>\n\n </div>\n</div>\n\n</form>\n</body>\n</html> ", | |
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| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\n<head>\n<title>La funció exponencial</title>\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\n<![endif]><![endif]-->\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js\"></script> \n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\n</head>\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\n<div id=\"contenidor\">\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\n <div id=\"area_pagina\">\n\n<!-- CAPA DEL MENU -->\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\n\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\n <div id=\"searchDiv\">\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\n </div>\n\n </div>\n\n <div id=\"barra_superior\">\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> La funció exponencial</div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n </div>\n\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \n\t\t\tTorna a cercar</a>\n </div>\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"2|3|1\" />\n\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\n <div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n </div>\n \n <div>\n\n<p>La funció exponencial de base <math>\n <mi>a</mi>\n <mo>></mo>\n <mo></mo>\n <mn>0</mn>\n</math> relaciona cada nombre <em>x</em> amb la potència de base <em>a</em>\nde <em>x</em>, és a dir, <math>\n <msup>\n <mi>a</mi>\n <mi>x</mi>\n </msup>\n</math>. En aquest gràfic es pot observar la gràfica de la funció <math>\n <mi>f</mi>\n <mo>(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>)</mo>\n <mo>=</mo>\n <msup>\n <mi>a</mi>\n <mi>x</mi>\n </msup>\n</math>, i es pot modificar <em>a</em>. Es poden recórrer els diferents\npunts de la funció movent el punt vermell, que representa el valor de la\n<em>x</em> (ha de tenir-se en compte que la precisió dels valors és de 2\ndecimals i, per tant, si el valor de la funció és, per exemple, 0.003, el\nvalor que veurem estarà arrodonit a 0).</p>\n\n<p><applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"350\">\n<param name=\"filename\" value=\"exp.ggb\" />\n</applet>\n</p>\n\n<p>Les característiques bàsiques d'aquest grup de funcions són:</p>\n<ul>\n <li>El seu domini és tot el conjunt dels nombres reals, i la seva imatge el\n conjunt dels reals positius, que s'indica amb el símbol <math>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>ℝ</mi>\n <mo>+</mo>\n </msup>\n </mrow>\n </math>(excepte en el cas <math\n >\n <mi>a</mi>\n <mo>=</mo>\n <mn>1</mn>\n </math>, que la funció és la recta <math\n >\n <mi>y</mi>\n <mo>=</mo>\n <mn>1</mn>\n </math>).</li>\n <li>Mai no s'anul·len, és a dir, mai no tallen l'eix <i>X</i>. En canvi, totes tallen\n l'eix <i>Y</i> en el punt (0,1).</li>\n <li>No tenen extrems, perquè, o bé sempre són creixents (quan <math\n >\n <mi>a</mi>\n <mo>></mo>\n <mo></mo>\n <mn>1</mn>\n </math>), o bé són sempre decreixents (quan <math\n >\n <mi>a</mi>\n <mo><</mo>\n <mo></mo>\n <mn>1</mn>\n </math>).</li>\n</ul>\n\n<p>La funció exponencial principal és la que té com a base el nombre\n<em>e</em>, que, com sabem, és un nombre irracional els primers decimals del\nqual són 2.71828182845904523... Si no s'indica el contrari, s'entén per\nfunció exponencial la funció <math>\n <msup>\n <mi>e</mi>\n <mi>x</mi>\n </msup>\n</math>.</p>\n\n\n\n\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquests vídeos (també tens la versió pdf):</p>\n\n\n\n\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\n\t<tr>\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ANA3ExpLog1.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA3ExpLog1.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\">\n <embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA3ExpLog1.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\n\t\t<td> </td>\n\t</tr>\n</table>\n\n\n<br /><br /> <br /><br />\n </div>\n \n </div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <div id=\"capsa_inferior\">\n <iframe src=\"../iframes/2_3_1.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\n </div>\n\n </div>\n</div>\n\n</form>\n</body>\n</html> ", | |
| "ocurrenceTitle": "La funció exponencial" | |
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| "url": "s8/2_3_2.html", | |
| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\n<head>\n<title>La funció logaritme</title>\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\n<![endif]><![endif]-->\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script> \n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js\"></script> \n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\n</head>\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\n<div id=\"contenidor\">\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\n <div id=\"area_pagina\">\n\n<!-- CAPA DEL MENU -->\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\n\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\n <div id=\"searchDiv\">\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\n </div>\n\n </div>\n\n <div id=\"barra_superior\">\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> La funció logaritme</div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n </div>\n\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \n\t\t\tTorna a cercar</a>\n </div>\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"2|3|2\" />\n\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\n <div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n </div>\n \n <div>\n\n<p>El <strong>logaritme</strong> de base <em>a</em> (<math>\n<mi>a</mi>\n <mo>></mo>\n <mn>0</mn>\n</math> i <math>\n <mi>a</mi>\n <mo>≠</mo>\n <mn>1</mn>\n</math>) d'un nombre positiu s'obté a partir de la funció potencial:</p>\n\n<p class=\"ex\"><math>\n <mrow>\n <msub>\n <mrow>\n <mtext>log</mtext>\n <mo>⁡</mo>\n </mrow>\n <mi>a</mi>\n </msub>\n <mi>x</mi>\n <mo>=</mo>\n <mi>y</mi>\n <mo>⇔</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>=</mo>\n <msup>\n <mi>a</mi>\n <mi>y</mi>\n </msup>\n </mrow>\n</math></p>\n\n<p>El subíndex <em>a</em> no es posa quan el logaritme té base 10. En el cas\nque la base sigui igual al nombre <em>e</em>, el logaritme corresponent es\ndenomina <strong>logaritme neperià</strong>, i es denota ln, que és\nel logaritme més usat</p>\n\n<p class=\"ex\"><math>\n <mrow>\n <mtext>ln</mtext>\n <mi>x</mi>\n <mo>=</mo>\n <mi>y</mi>\n <mo>⇔</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>=</mo>\n <msup>\n <mi>e</mi>\n <mi>y</mi>\n </msup>\n </mrow>\n</math></p>\n\n<p>En aquest gràfic es pot observar la gràfica de la funció <math>\n <mi>f</mi>\n <mo>(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>)</mo>\n <mo>=</mo>\n <msub>\n <mtext>log</mtext>\n <mi>a</mi>\n </msub>\n <mi>x</mi>\n</math>, i es pot modificar <em>a</em>. Es poden recórrer els diferents\npunts de la funció movent el punt vermell, que representa el valor de la\n<em>x</em> (ha de tenir-se en compte que si la precisió dels valors és de 2\ndecimals i, per tant, si el valor de la funció és, per exemple, 0.003, el\nvalor que veurem estarà arrodonit a 0).</p>\n\n<p></p>\n\n<p><applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"350\">\n<param name=\"filename\" value=\"log.ggb\" />\n</applet>\n</p>\n\n<p>Les característiques bàsiques d'aquest grup de funcions són:</p>\n<ul>\n <li>El seu domini és el conjunt dels reals positius, és a dir, <math>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>ℝ</mi>\n <mo>+</mo>\n </msup>\n </mrow>\n </math>, mentre que la seva imatge és el conjunt dels reals.</li>\n <li>S'anul·len en el punt (1, 0); en canvi, mai no tallen l'eix <i>Y</i>.</li>\n <li>No tenen extrems, perquè, o bé sempre són creixents (quan <math>\n <mi>a</mi>\n <mo>></mo>\n <mo></mo>\n <mn>1</mn>\n </math>), o bé són sempre decreixents (quan <math>\n <mi>a</mi>\n <mo><</mo>\n <mn>1</mn>\n </math>).</li>\n</ul>\n\n\n<br /><br /> <br /><br />\n </div>\n \n </div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <div id=\"capsa_inferior\">\n <iframe src=\"../iframes/2_3_2.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\n </div>\n\n </div>\n</div>\n\n</form>\n</body>\n</html> ", | |
| "ocurrenceTitle": "La funció logaritme" | |
| }, { | |
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| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\n<head>\n<title>El logaritme, inversa de l'exponencial</title>\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\n<![endif]><![endif]-->\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script> \n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js\"></script> \n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\n</head>\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\n<div id=\"contenidor\">\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\n <div id=\"area_pagina\">\n\n<!-- CAPA DEL MENU -->\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\n\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\n <div id=\"searchDiv\">\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\n </div>\n\n </div>\n\n <div id=\"barra_superior\">\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> El logaritme, inversa de l'exponencial</div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n </div>\n\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \n\t\t\tTorna a cercar</a>\n </div>\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"2|3|3\" />\n\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\n <div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n </div>\n \n <div>\n\n<p>La funció logaritme de base <em>a</em> és la inversa de l'exponencial de\nbase <em>a</em><em></em>. Sabem que una funció <i>g</i> és la inversa d'una funció\n<em>f</em> sempre que es compleixi:</p>\n\n<p class=\"ex\"><math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>g</mi><mo>°</mo><mi>f</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mi>x</mi>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n<br><math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>f</mi><mo>°</mo><mi>g</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mi>x</mi>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n</p>\n\n<p>tenint en compte el domini en cada cas.</p>\n\n<p>En el cas de l'exponencial i el logaritme, això és evident, ja que:</p>\n\n<p class=\"ex\"><math>\n <mrow>\n <msub>\n <mrow>\n <mtext>log</mtext>\n <mo>⁡</mo>\n </mrow>\n <mi>a</mi>\n </msub>\n <mrow>\n <mo>(</mo>\n <msup>\n <mi>a</mi>\n <mi>x</mi>\n </msup>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n <mo>=</mo>\n <mi>z</mi>\n <mo>⇔</mo>\n <msup>\n <mi>a</mi>\n <mi>x</mi>\n </msup>\n <mo>=</mo>\n <msup>\n <mi>a</mi>\n <mi>z</mi>\n </msup>\n </mrow>\n</math></p>\n\n<p>Per tant, <math>\n <mrow>\n <msub>\n <mrow>\n <mtext>log</mtext>\n <mo>⁡</mo>\n </mrow>\n <mi>a</mi>\n </msub>\n <mrow>\n <mo>(</mo>\n <msup>\n <mi>a</mi>\n <mi>x</mi>\n </msup>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n <mo>=</mo>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n</math>. De la mateixa manera pot comprovar-se que <math>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>a</mi>\n <mrow>\n <msub>\n <mrow>\n <mtext>log</mtext>\n <mo>⁡</mo>\n </mrow>\n <mi>a</mi>\n </msub>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n </msup>\n <mo>=</mo>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n</math>.</p>\n\n<p>Gràficament, això pot observar-se en el fet que les gràfiques de les\nfuncions logaritme de base <em>a</em> i l'exponencial de base <em>a</em> són\n<strong>simètriques</strong> respecte de la recta <math>\n <mi>y</mi>\n <mo>=</mo>\n <mi>x</mi>\n</math> (ja que per a representar la funció inversa només han\nd'intercanviar-se els eixos <i>X</i> i <i>Y</i>), és a dir, la funció logaritme es troba a\nla mateixa \"distància\" de la recta <math>\n <mi>y</mi>\n <mo>=</mo>\n <mi>x</mi>\n</math> que la funció exponencial, però en el \"costat oposat\":</p>\n\n<p><applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"350\">\n<param name=\"filename\" value=\"ExpLog.ggb\" />\n</applet>\n</p>\n\n\n\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquests vídeos (també tens la versió pdf):</p>\n\n\n\n\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\n\t<tr>\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ANA3ExpLog3.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA3ExpLog3.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\">\n <embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA3ExpLog3.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ANA3ExpLog3.2.pdf\">versió pdf</a></p><p>\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA3ExpLog3.2/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\">\n <embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA3ExpLog3.2/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\n\t\t<td> </td>\n\t</tr>\n</table>\n\n\n\n<br /><br /> <br /><br />\n </div>\n \n </div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <div id=\"capsa_inferior\">\n <iframe src=\"../iframes/2_3_3.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\n </div>\n\n </div>\n</div>\n\n</form>\n</body>\n</html> ", | |
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| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\n<head>\n<title>Altres funcions inverses</title>\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\n<![endif]><![endif]-->\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script> \n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js\"></script> \n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\n</head>\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\n<div id=\"contenidor\">\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\n <div id=\"area_pagina\">\n\n<!-- CAPA DEL MENU -->\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\n\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\n <div id=\"searchDiv\">\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\n </div>\n\n </div>\n\n <div id=\"barra_superior\">\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> Altres funcions inverses</div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n </div>\n\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \n\t\t\tTorna a cercar</a>\n </div>\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"2|3|4\" />\n\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\n <div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n </div>\n \n <div>\n\n<p>La funció inversa de la funció <math>\n <mi>f</mi>\n <mo>(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>)</mo>\n <mo>=</mo>\n <mi>x</mi>\n</math> és, evidentment, ella mateixa. Aquesta funció es denomina\n<b>identitat</b></p>\n\n<p>La funció inversa de <math>\n <mi>g</mi>\n <mo>(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>)</mo>\n <mo>=</mo>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n</math> és <math>\n <mi>h</mi>\n <mo>(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>)</mo>\n <mo>=</mo>\n <mo>+</mo>\n <msqrt>\n <mi>x</mi>\n </msqrt>\n</math>. Posant el signe positiu vol indicar-se que considerem l'arrel\npositiva, ja que la funció <em>h</em> no pot tenir dos valors per a la\nmateixa <em>x</em>. De la mateixa manera, el domini de la funció\n<em>g</em>(<i>x</i>) són els reals no negatius, ja que, perquè tingui inversa, la funció original ha de ser\nbijectiva (és a dir, a cada element de la imatge només li correspon un\nelement del domini).</p>\n\n<p>Desplaçant el punt vermell sobre l'eix <i>X</i> pots observar com les gràfiques\nsón inverses una de l'altra, perquè els punts d'una s'obtenen\nintercanviant les coordenades dels punts de l'altra (ha de tenir-se en compte\nque els nombres estan arrodonits a les centèsimes).</p>\n\n<p><applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"300\">\n<param name=\"filename\" value=\"arrel.ggb\" />\n</applet>\n</p>\n\n<p>Evidentment, la funció inversa de <math>\n <mi>f</mi>\n <mo>(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>)</mo>\n <mo>=</mo>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n</math> quan <em>x</em> és negativa, és l'arrel negativa, <math>\n <mi>g</mi>\n <mo>(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>)</mo>\n <mo>=</mo>\n <mo>−</mo>\n <msqrt>\n <mi>x</mi>\n </msqrt>\n</math>:</p>\n\n<p><applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"300\">\n<param name=\"filename\" value=\"-arrel.ggb\" />\n</applet>\n</p>\n\n<p>Les arrels poden tenir índexs superiors, i continuaran sent les funcions\ninverses de les potències l'exponent de les quals sigui el mateix que\nl'índex, tal com pot veure's en aquest exemple en el qual és possible\nmodificar l'exponent-índex (encara que, per simplificar, quan l'índex és\nimparell, no apareix en el gràfic ni el domini complet de la funció ni el de la\nseva inversa, que són tota la recta real):</p>\n\n<p><applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"300\">\n<param name=\"filename\" value=\"arreln.ggb\" />\n</applet>\n</p>\n\n\n<br /><br /> <br /><br />\n </div>\n \n </div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <div id=\"capsa_inferior\">\n <iframe src=\"../iframes/2_3_4.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\n </div>\n\n </div>\n</div>\n\n</form>\n</body>\n</html> ", | |
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Podem estudiar ara les\nfuncions d'exponents negatius, i les seves inverses. Recordem que:</p>\n\n<p class=\"ex\"><math>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mrow>\n <mo>−</mo>\n <mi>n</mi>\n </mrow>\n </msup>\n <mo>=</mo>\n <mfrac>\n <mn>1</mn>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mi>n</mi>\n </msup>\n </mfrac>\n</math></p>\n\n<p>Aquestes funcions tenen una característica comuna: que el 0 no pertany al\nseu domini, ja que anul·la el denominador, i aquest fet es reflecteix en la\nseva gràfica de forma remarcable.</p>\n\n<p>Les funcions inverses de les potencials amb exponent negatiu són\naquestes:</p>\n\n<p class=\"ex\"><math>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mrow>\n <mo>−</mo>\n <mfrac>\n <mn>1</mn>\n <mi>n</mi>\n </mfrac>\n </mrow>\n </msup>\n <mo>=</mo>\n <mfrac>\n <mn>1</mn>\n <mroot>\n <mi>x</mi>\n <mi>n</mi>\n </mroot>\n </mfrac>\n</math></p>\n\n<p>I tenen la mateixa característica remarcable: el 0 tampoc no pertany al seu\ndomini.</p>\n\n<p>Per altra banda, per a ambdós tipus de funcions contínua sent cert el fet\nque, si l'exponent és parell, el seu domini és igual en els positius, mentre que\nsi l'exponent és imparell, el seu domini és igual en tots els reals. A més, en\nel cas <math>\n <mi>n</mi>\n <mo>=</mo>\n <mn>1</mn>\n</math>, la funció és igual a la seva inversa.</p>\n\n<p><applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"400\">\n<param name=\"filename\" value=\"arrel-nsenar.ggb\" />\n</applet>\n</p>\n\n<p>Aquest tipus de funcions ens condueixen a les funcions racionals: una funció\nracional té per expressió un quocient de polinomis. Per exemple, aquesta és\nuna funció racional:</p>\n\n<p class=\"ex\"><math>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n <mo>=</mo>\n <mfrac>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>3</mn>\n </msup>\n <mo>−</mo>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>+</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>+</mo>\n <mn>5</mn>\n </mrow>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>+</mo>\n <mn>2.</mn>\n </mrow>\n </mfrac>\n</math></p>\n\n<p>i aquesta és la seva gràfica:</p>\n\n<p><applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"400\">\n<param name=\"filename\" value=\"racional.ggb\" />\n</applet>\n</p>\n\n<p>Pots canviar els valors del terme independent del denominador. Observa que\nsi el denominador té arrels reals, la funció \"es trenca\", ja que les arrels\ndel denominador no pertanyen al domini de la funció.</p>\n\n<p><a href=\"../videos/8.domini.avi\">Aquest vídeo</a> resumeix molt breument\nel tipus d'informació bàsica que s'ha d'obtenir d'una funció qualsevol:\nbàsicament, el domini i els punts de tall amb els eixos.</p>\n\n\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquests vídeos (també tens la versió pdf):</p>\n\n\n\n\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\n\t<tr>\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ANA3ExpLog5.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA3ExpLog5.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\">\n <embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA3ExpLog5.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\n\t\t<td> </td>\n\t</tr>\n</table>\n\n\n\n<br /><br /> <br /><br />\n </div>\n \n </div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <div id=\"capsa_inferior\">\n <iframe src=\"../iframes/2_3_5.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\n </div>\n\n </div>\n</div>\n\n</form>\n</body>\n</html> ", | |
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| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\r\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\r\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\r\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\r\n<head>\r\n<title>Els conceptes de límit i la continuïtat</title>\r\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\r\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\r\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\r\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\r\n<![endif]><![endif]-->\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script> \r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js\"></script> \r\n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\r\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\r\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\r\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\r\n</head>\r\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\r\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\r\n<div id=\"contenidor\">\r\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\r\n <div id=\"area_pagina\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL MENU -->\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\r\n <div id=\"searchDiv\">\r\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\r\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n\r\n <div id=\"barra_superior\">\r\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> Els conceptes de límit i la continuïtat</div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n </div>\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\r\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \r\n\t\t\tTorna a cercar</a>\r\n </div>\r\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"2|4|1\" />\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\r\n <div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n </div>\r\n \r\n <div>\r\n\r\n<p>Encara que la descripció precisa del concepte de límit no és un objectiu\r\nd'aquest curs, sí que és necessari tenir una idea del concepte de límit d'una\r\nfunció en un punt. El límit d'una funció en un valor determinat de <em>x</em>\r\nés igual a un nombre al qual tendeix la funció quan la variable tendeix a\r\naquest valor (però mai no arriba a ser-ho). Si el límit d'una funció <em>f</em>\r\nen un valor <em>a</em> és igual a <em></em><em>b</em>, s'escriu d'aquesta\r\nmanera:</p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <mrow>\r\n <munder>\r\n <mrow>\r\n <mo>lim</mo>\r\n <mo>⁡</mo>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>→</mo>\r\n <mi>a</mi>\r\n </mrow>\r\n </munder>\r\n <mi>f</mi>\r\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mi>b</mi>\r\n </mrow>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p>És senzill visualitzar aquest fet, dibuixant la funció, el punt al qual\r\ntendeix la funció, i un punt qualsevol, com pot veure's en el següent\r\nexemple, en el qual es mostra el límit quan <em>x</em> tendeix a <math>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n</math> de la funció <math>\r\n <mi>f</mi>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>3</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n</math>: si desplacem lentament la coordenada <em>x</em> d'aquest punt (<i>C</i>,\r\nen vermell) cap al valor desitjat (en aquest cas, <math>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n</math>), el valor de <em>f(x)</em> (el punt <i>D</i>) ha de desplaçar-se cap al\r\nvalor de la funció en aquest punt (F):</p>\r\n\r\n<p><applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\r\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"400\">\r\n<param name=\"filename\" value=\"polinomio.ggb\" />\r\n</applet>\r\n</p>\r\n\r\n<p>És fàcil comprovar com, en aquest cas, el valor del límit quan <em>x</em>\r\ntendeix a <math>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n</math> és igual al valor de la funció en aquest punt, és a dir, 4. És a\r\ndir,</p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <mrow>\r\n <munder>\r\n <mrow>\r\n <mo>lim</mo>\r\n <mo>⁡</mo>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>→</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </mrow>\r\n </munder>\r\n <mi>f</mi>\r\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>4</mn>\r\n </mrow>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p>En casos com aquest, es diu que la funció és <strong>contínua</strong> en\r\naquest punt, perquè el valor del límit tendeix al valor de la funció en el\r\npunt. És a dir, una funció és contínua en el punt <em>a</em>, si es compleix\r\nque:</p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <mrow>\r\n <munder>\r\n <mrow>\r\n <mo>lim</mo>\r\n <mo>⁡</mo>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>→</mo>\r\n <mi>a</mi>\r\n </mrow>\r\n </munder>\r\n <mi>f</mi>\r\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mi>f</mi>\r\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\r\n </mrow>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p>A més, es diu que una funció és contínua si ho és en tots i cadascun dels\r\nvalors del seu domini. Els punts en què una funció no és contínua es\r\ndenominen <strong>discontinuïtats</strong> de la funció. És senzill\r\ndetectar-los, ja que són punts en què la gràfica es \"trenca\". Dit d'una altra\r\nmanera, una funció és contínua si pot dibuixar-se d'un sol traç. Així, la\r\nfunció de l'exemple anterior és, evidentment, contínua.</p>\r\n\r\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquests vídeos (també tens la versió pdf):</p>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\r\n\t<tr>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ANA4Continuitat1.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA4Continuitat1.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\">\r\n <embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA4Continuitat1.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n<td><p><a href=\"../pdf/ANA4Continuitat1.2.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA4Continuitat1.2/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\">\r\n <embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA4Continuitat1.2/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n<td><p><a href=\"../pdf/ANA4Continuitat1.3.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA4Continuitat1.3/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\">\r\n <embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA4Continuitat1.3/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td> </td>\r\n\t</tr>\r\n</table>\r\n\r\n\r\n<br /><br /> <br /><br />\r\n </div>\r\n \r\n </div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <div id=\"capsa_inferior\">\r\n <iframe src=\"../iframes/2_4_1.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n</div>\r\n\r\n</form>\r\n</body>\r\n</html> ", | |
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En canvi, les funcions racionals tenen\r\ndiscontinuïtats en aquells punts en què s'anul·la el denominador, com ja\r\nhavíem vist en algun exemple anterior. Bàsicament, poden tenir dos tipus de\r\ndiscontinuïtats:</p>\r\n<ol>\r\n <li><strong>Discontinuïtat evitable</strong>: es dóna quan el numerador i\r\n el denominador de la funció tenen una mateixa arrel. En aquest cas, no\r\n existeix la funció en l'arrel (perquè el denominador és 0), però sí que\r\n existeix el límit de la funció en aquest valor.\r\n <p>Per exemple, el numerador i el denominador de la la funció</p>\r\n <p class=\"ex\"><math>\r\n <mi>f</mi>\r\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mfrac>\r\n <mrow>\r\n <mn>3</mn>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>3</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>18</mn>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>33</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>18</mn>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2.</mn>\r\n </mrow>\r\n </mfrac>\r\n </math></p>\r\n <p>tenen com a arrel <math>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </math> i, per tant, <math>\r\n <mi>f</mi>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n </math> no existeix (hi hauria un 0 en el denominador). En canvi, el límit\r\n per la dreta i per l'esquerra de la funció sí que existeix, com pot\r\n veure's en aquest gràfic:</p>\r\n <p><applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\r\n archive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"350\">\r\n <param name=\"filename\" value=\"continuitatPol.ggb\" />\r\n </applet>\r\n </p>\r\n <p>L'únic punt problemàtic en un entorn de <math\r\n >\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </math> és aquest mateix punt, ja que no existeix la funció (per això\r\n hem posat un punt en blanc). Però en aproximar-nos per l'esquerra i per\r\n la dreta a aquest punt, la funció tendeix clarament a 2. Això és així\r\n perquè, si descomponem i simplifiquem la funció</p>\r\n <p class=\"ex\"><math>\r\n <mi>f</mi>\r\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mfrac>\r\n <mrow>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n </mfrac>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mfrac>\r\n <mrow>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mfrac>\r\n </math></p>\r\n <p>\"desapareix\" la discontinuïtat en el punt <math\r\n >\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </math>. Per això mateix, aquest tipus de discontinuïtat es denomina\r\n \"evitable\", perquè és molt senzill eliminar-la simplificant l'expressió\r\n de la funció. En qualsevol cas, cal destacar que ambdues funcions,\r\n l'original i la simplificada, no són idèntiques, ja que en un cas té una\r\n discontinuïtat en <math>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n </math>, que la simplificada no té.</p>\r\n </li>\r\n <li><strong>Discontinuïtat asímptòtica</strong>: aquest tipus de\r\n discontinuïtat es dóna quan la funció tendeix a infinit en un punt, tant\r\n quan ens acostem al punt per la dreta, com si ho fem per l'esquerra. En el\r\n cas de la funció anterior, en el punt <math\r\n >\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </math>, té una discontinuïtat asímptòtica. Per exemple, si desplacem\r\n el punt de l'eix <i>X</i>, <i>B</i>, cap a <math\r\n >\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn></mn>\r\n </math>2 , observarem que la imatge d'aquest punt, representat per <i>E</i>,\r\n creix sense límit; en canvi, si desplacem el punt de l'eix <i>X</i>, <i>C</i>, cap a\r\n <math>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn></mn>\r\n </math>2 , observarem que la imatge d'aquest punt, representat per <i>G</i>,\r\n decreix sense límit:\r\n <p><applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\r\n archive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"350\">\r\n <param name=\"filename\" value=\"continuitatPol2.ggb\" />\r\n </applet>\r\n </p>\r\n <p>és a dir, els límits per la dreta i per l'esquerra en el punt <math\r\n >\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </math> són infinit:</p>\r\n <p class=\"ex\"><math>\r\n <mtable columnalign=\"left\">\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <munder>\r\n <mrow>\r\n <mo>lim</mo>\r\n <mo>⁡</mo>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>→</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <msup>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>−</mo>\r\n </msup>\r\n </mrow>\r\n </munder>\r\n <mi>f</mi>\r\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mi>∞</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <munder>\r\n <mrow>\r\n <mo>lim</mo>\r\n <mo>⁡</mo>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>→</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <msup>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>+</mo>\r\n </msup>\r\n </mrow>\r\n </munder>\r\n <mi>f</mi>\r\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mi>∞</mi>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </math></p>\r\n <p>En aquest cas, la funció té una <strong>asímptota</strong> en la recta\r\n <math>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </math>, perquè com més s'acosten els valors de la <em>x</em> a <math\r\n >\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn></mn>\r\n </math>2 , més pròxima a la recta es troba la funció, com s'observa\r\n clarament en la gràfica anterior.</p>\r\n </li>\r\n</ol>\r\n\r\n\r\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquests vídeos (també tens la versió pdf):</p>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\r\n\t<tr>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ANA4Continuitat2.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA4Continuitat2.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\">\r\n <embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA4Continuitat2.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td> </td>\r\n\t</tr>\r\n</table>\r\n\r\n<br /><br /> <br /><br />\r\n </div>\r\n \r\n </div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <div id=\"capsa_inferior\">\r\n <iframe src=\"../iframes/2_4_2.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n</div>\r\n\r\n</form>\r\n</body>\r\n</html> ", | |
| "ocurrenceTitle": "Les funcions polinòmiques i racionals" | |
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| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\n<head>\n<title>Continuïtat de les funcions trigonomètriques, exponencial i logarítmica</title>\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\n<![endif]><![endif]-->\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script> \n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js\"></script> \n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\n</head>\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\n<div id=\"contenidor\">\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\n <div id=\"area_pagina\">\n\n<!-- CAPA DEL MENU -->\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\n\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\n <div id=\"searchDiv\">\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\n </div>\n\n </div>\n\n <div id=\"barra_superior\">\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> Continuïtat de les funcions trigonomètriques, exponencial i logarítmica</div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n </div>\n\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \n\t\t\tTorna a cercar</a>\n </div>\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"2|4|3\" />\n\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\n <div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n </div>\n \n <div>\n\n<p>Les funcions sinus i cosinus són contínues. No així la funció tangent, que\npresenta discontinuïtats en aquells punts que no pertanyen al seu domini. En\ntots té, a més, una discontinuïtat asimptòtica, com pot observar-se en\naquest gràfic:</p>\n\n<p><applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"350\">\n<param name=\"filename\" value=\"tangent.ggb\" />\n</applet>\n</p>\n\n<p>És a dir, la funció té discontinuïtats asimptòtiques en <math>\n <mi>x</mi>\n <mo>=</mo>\n <mfrac>\n <mrow>\n <mo>(</mo>\n <mn>2</mn>\n <mi>k</mi>\n <mo>−</mo>\n <mn>1</mn>\n <mo>)</mo>\n <mi>π</mi>\n </mrow>\n <mn>2</mn>\n </mfrac>\n</math>, si <math>\n <mi>k</mi>\n</math> és un nombre enter.</p>\n\n<p>Les funcions exponencials de base <em>a</em> són contínues, mentre que les\nfuncions logaritme de base <em>a</em> també són contínues, encara que en\n<math>\n <mi>x</mi>\n <mo>=</mo>\n <mn>0</mn>\n</math> tenen una asímptota vertical, mentre que les funcions exponencials\ntenen una asímptota horitzontal en <math>\n <mi>y</mi>\n <mo>=</mo>\n <mn>0</mn>\n</math>.</p>\n\n\n<br /><br /> <br /><br />\n </div>\n \n </div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <div id=\"capsa_inferior\">\n <iframe src=\"../iframes/2_4_3.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\n </div>\n\n </div>\n</div>\n\n</form>\n</body>\n</html> ", | |
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| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\r\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\r\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\r\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\r\n<head>\r\n<title>Altres funcions</title>\r\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\r\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\r\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\r\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\r\n<![endif]><![endif]-->\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script> \r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js\"></script> \r\n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\r\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\r\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\r\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\r\n</head>\r\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\r\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\r\n<div id=\"contenidor\">\r\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\r\n <div id=\"area_pagina\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL MENU -->\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\r\n <div id=\"searchDiv\">\r\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\r\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n\r\n <div id=\"barra_superior\">\r\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> Altres funcions</div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n </div>\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\r\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \r\n\t\t\tTorna a cercar</a>\r\n </div>\r\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"2|4|4\" />\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\r\n <div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n </div>\r\n \r\n <div>\r\n\r\n<p>Les funcions definides per parts poden presentar discontinuïtats en els\r\nseus extrems, asimptòtiques i evitables, però també <strong>discontinuïtats\r\nde salt</strong>. Per exemple, aquesta és la gràfica de la funció</p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <mrow>\r\n <mi>f</mi>\r\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mrow>\r\n <mo>{</mo>\r\n <mrow>\r\n <mtable>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>+</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo><</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>3</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>≥</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2.</mn>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n </mrow>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p><applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\r\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"350\">\r\n<param name=\"filename\" value=\"continuitatParts.ggb\" />\r\n</applet>\r\n</p>\r\n\r\n<p>El punt <math>\r\n <mi>A</mi>\r\n <mo></mo>\r\n <mo>= (</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2,1</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n</math> pertany a la gràfica, mentre que el punt <math>\r\n <mi>B</mi>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>,</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>)</mo>\r\n</math> no, i per això s'ha marcat en blanc. Els límits per la dreta i per\r\nl'esquerra de la funció existeixen, però no coincideixen; per tant, la funció\r\nno és contínua:</p>\r\n\r\n<p class=\"ex\"><math>\r\n <mtable columnalign=\"left\">\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <munder>\r\n <mrow>\r\n <mo>lim</mo>\r\n <mo>⁡</mo>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>→</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <msup>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>−</mo>\r\n </msup>\r\n </mrow>\r\n </munder>\r\n <mi>f</mi>\r\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>2</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <mrow>\r\n </mrow>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n <mtr>\r\n <mtd>\r\n <munder>\r\n <mrow>\r\n <mo>lim</mo>\r\n <mo>⁡</mo>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo>→</mo>\r\n <mo>−</mo>\r\n <msup>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mo>+</mo>\r\n </msup>\r\n </mrow>\r\n </munder>\r\n <mi>f</mi>\r\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mn>1.</mn>\r\n </mtd>\r\n </mtr>\r\n </mtable>\r\n</math></p>\r\n\r\n<p>En aquesta situació en què els límits laterals són finits es diu que la\r\nfunció presenta una discontinuïtat de salt.</p>\r\n\r\n<p>Finalment, existeix un altre tipus de discontinuïtat, anomenada de\r\n<strong>2a espècie</strong>, que es produeix quan els límits laterals són un\r\nde finit i l'altre d'infinit, o bé, quan algun no existeix. Per exemple, la\r\nfunció <math>\r\n <mi>f</mi>\r\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\r\n <mo>=</mo>\r\n <mo>sin</mo>\r\n <mo>(</mo>\r\n <mfrac>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n </mfrac>\r\n <mo>)</mo>\r\n</math>, la representació de la qual és:</p>\r\n\r\n<p><applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\r\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"400\">\r\n<param name=\"filename\" value=\"continuitat2especie.ggb\" />\r\n</applet>\r\n</p>\r\n\r\n<p>Desplaçant lentament el punt <i>A</i> de l'eix <i>X</i> cap a 0, veiem que la seva\r\nimatge per la funció (punt <i>B</i>), no tendeix a cap valor concret, sinó que va\r\noscil·lant sense parar entre <math>\r\n <mo>−</mo>\r\n <mn>1</mn>\r\n</math> i 1. Per això mateix, és impossible dibuixar amb precisió la\r\ngràfica d'aquesta funció en un entorn del 0 (tal com pot observar-se en el\r\ngràfic).</p>\r\n\r\n\r\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquests vídeos (també tens la versió pdf):</p>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\r\n\t<tr>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ANA4Continuitat4.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA4Continuitat4.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\">\r\n <embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA4Continuitat4.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ANA4Continuitat4.2.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA4Continuitat4.2/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\">\r\n <embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA4Continuitat4.2/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ANA4Continuitat4.3.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA4Continuitat4.3/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\">\r\n <embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA4Continuitat4.3/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td> </td>\r\n\t</tr>\r\n</table>\r\n\r\n<br /><br /> <br /><br />\r\n </div>\r\n \r\n </div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <div id=\"capsa_inferior\">\r\n <iframe src=\"../iframes/2_4_4.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n</div>\r\n\r\n</form>\r\n</body>\r\n</html> ", | |
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Així, doncs, les asímptotes poden\nclassificar-se en:</p>\n<ol>\n <li>Asímptota vertical, és a dir, una recta del tipus <math>\n <mi>x</mi>\n <mo>=</mo>\n <mi>a</mi>\n </math>, a la qual s'aproxima la funció quan <math>\n <mi>x</mi>\n </math> tendeix al valor <math>\n <mi>a</mi>\n </math>. Ja hem estudiat, per exemple, les asímptotes verticals de la\n tangent, l'asímptota vertical de les funcions logarítmiques i, també, les\n d'alguna funció racional. Aquestes últimes tenen asímptotes verticals en\n les arrels del denominador que no són, al mateix temps, arrels del\n numerador.</li>\n <li>Asímptota horitzontal, és a dir, una recta del tipus <math>\n <mi>y</mi>\n <mo>=</mo>\n <mi>a</mi>\n </math>, a la qual s'aproxima la funció quan <math>\n <mi>x</mi>\n </math> tendeix a +<math>\n <mo>∞</mo>\n </math> o a <math>\n <mo>−</mo>\n <mo>∞</mo>\n </math>. Les funcions exponencials tenen una asímptota horitzontal en\n <math>\n <mi>x</mi>\n <mo>=</mo>\n <mn>0</mn>\n </math>. També totes les funcions racionals el grau del numerador de les\n quals és igual al grau del denominador tenen una asímptota\n horitzontal.</li>\n <li>Asímptota obliqua, és a dir, una recta del tipus <math>\n <mi>y</mi>\n <mo>=</mo>\n <mi>a</mi>\n <mi>x</mi>\n <mo>+</mo>\n <mi>b</mi>\n </math>, a la qual s'aproxima la funció quan <math>\n <mi>x</mi>\n </math> tendeix a <math>\n <mo>+</mo>\n <mo>∞</mo>\n </math> o a <math>\n <mo>−</mo>\n <mo>∞</mo>\n </math>. Totes les funcions racionals el grau del numerador de les\n quals supera en una unitat el grau del denominador tenen una asímptota\n obliqua. Per a calcular els coeficients <math>\n <mi>a</mi>\n </math> i <math>\n <mi>b</mi>\n </math> de l'asímptota, han de calcular-se els següents límits de la\n funció <math>\n <mi>f</mi>\n <mo>(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>)</mo>\n </math>:\n <p class=\"ex\"><math>\n <mrow>\n <mi>a</mi>\n <mo>=</mo>\n <munder>\n <mrow>\n <mo>lim</mo>\n <mo>⁡</mo>\n </mrow>\n <mrow>\n <mi>x</mi>\n <mo>→</mo>\n <mo>±</mo>\n <mo>∞</mo>\n </mrow>\n </munder>\n <mfrac>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n </mrow>\n <mi>x</mi>\n </mfrac>\n </mrow>\n </math></p>\n <p class=\"ex\"><math>\n <mrow>\n <mi>b</mi>\n <mo>=</mo>\n <munder>\n <mrow>\n <mo>lim</mo>\n <mo>⁡</mo>\n </mrow>\n <mrow>\n <mi>x</mi>\n <mo>→</mo>\n <mo>±</mo>\n <mo>∞</mo>\n </mrow>\n </munder>\n <mo>(</mo>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n <mo>−</mo>\n <mi>a</mi>\n <mi>x</mi>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n </math></p>\n <p>Per exemple, la funció:</p>\n <p class=\"ex\"><math>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n <mo>=</mo>\n <mfrac>\n <mrow>\n <mn>2</mn>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>3</mn>\n </msup>\n <mo>−</mo>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>+</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>+</mo>\n <mn>5</mn>\n </mrow>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>−</mo>\n <mn>1.</mn>\n </mrow>\n </mfrac>\n </math></p>\n <p>té una asímptota obliqua, ja que:</p>\n <p class=\"ex\"><math>\n <mi>a</mi>\n <mo>=</mo>\n <munder>\n <mrow>\n <mo>lim</mo>\n <mo>⁡</mo>\n </mrow>\n <mrow>\n <mi>x</mi>\n <mo>→</mo>\n <mo>±</mo>\n <mo>∞</mo>\n </mrow>\n </munder>\n <mfrac>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n </mrow>\n <mi>x</mi>\n </mfrac>\n <mo>=</mo>\n <munder>\n <mrow>\n <mo>lim</mo>\n <mo>⁡</mo>\n </mrow>\n <mrow>\n <mi>x</mi>\n <mo>→</mo>\n <mo>±</mo>\n <mo>∞</mo>\n </mrow>\n </munder>\n <mfrac>\n <mrow>\n <msup>\n <mrow>\n <mn>2</mn>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n <mn>3</mn>\n </msup>\n <mo>−</mo>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>+</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>+</mo>\n <mn>5</mn>\n </mrow>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>3</mn>\n </msup>\n <mo>-</mo>\n <mn>x</mn>\n </mrow>\n </mfrac>\n <mo>=</mo>\n <mn>2</mn>\n </math></p>\n <p>i, per tant,</p>\n <p class=\"ex\"><math>\n <mi>b</mi>\n <mo>=</mo>\n <munder>\n <mrow>\n <mo>lim</mo>\n <mo>⁡</mo>\n </mrow>\n <mrow>\n <mi>x</mi>\n <mo>→</mo>\n <mo>±</mo>\n <mo>∞</mo>\n </mrow>\n </munder>\n <mo>(</mo>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n <mo>−</mo>\n <mi>a</mi>\n <mi>x</mi>\n <mo>=</mo>\n <munder>\n <mrow>\n <mo>lim</mo>\n <mo>⁡</mo>\n </mrow>\n <mrow>\n <mi>x</mi>\n <mo>→</mo>\n <mo>±</mo>\n <mo>∞</mo>\n </mrow>\n </munder>\n <mo>(</mo>\n <mfrac>\n <mrow>\n <msup>\n <mrow>\n <mn>2</mn>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n <mn>3</mn>\n </msup>\n <mo>−</mo>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>+</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>+</mo>\n <mn>5</mn>\n </mrow>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>-</mo>\n <mn>1</mn>\n </mrow>\n </mfrac>\n <mo>−</mo>\n <mn>2</mn>\n <mi>x</mi>\n <mo>)</mo>\n <mo>=</mo>\n <mo>−</mo>\n <mn>1</mn>\n </math></p>\n <p>Per tant, l'asímptota obliqua de <math\n >\n <mi>f</mi>\n <mo>(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>)</mo>\n </math> és <math>\n <mi>y</mi>\n <mo>=</mo>\n <mn>2</mn>\n <mi>x</mi>\n <mo>−</mo>\n <mn>1</mn>\n </math>, com pot observar-se en aquest gràfic:</p>\n <p><applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\n archive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"350\">\n <param name=\"filename\" value=\"racional.ggb\" />\n </applet>\n </p>\n </li>\n</ol>\n\n\n<br /><br /> <br /><br />\n </div>\n \n </div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <div id=\"capsa_inferior\">\n <iframe src=\"../iframes/2_4_5.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\n </div>\n\n </div>\n</div>\n\n</form>\n</body>\n</html> ", | |
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La derivada \nd'una funció \t<math>\n\t <semantics>\n\t <mrow>\n\t <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n\t </mrow>\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t </annotation>\n\t </semantics>\n\t</math>\n, en un punt \t<math>\n\t <semantics>\n\t <mrow>\n\t <msub>\n\t <mi>x</mi>\n\t <mn>0</mn>\n\t </msub>\n\n\t </mrow>\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t </annotation>\n\t </semantics>\n\t</math> \n del domini de la funció, es defineix \nde la següent manera:</p>\n\n <blockquote><math>\n <semantics>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>f</mi>\n <mo>′</mo>\n </msup>\n <mo stretchy='false'>(</mo><msub>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n </msub>\n <mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><munder>\n <mrow>\n <mo>lim</mo>\n </mrow>\n <mrow>\n <mi>x</mi><mo>→</mo><msub>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n </msub>\n\n </mrow>\n </munder>\n <mfrac>\n <mrow>\n <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>-</mo><mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><msub>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n </msub>\n <mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow>\n <mrow>\n <mi>x</mi><mo>-</mo><msub>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n </msub>\n\n </mrow>\n </mfrac>\n\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n equivalent a \n\t<math>\n\t <semantics>\n\t <mrow>\n\t <msup>\n\t <mi>f</mi>\n\t <mo>′</mo>\n\t </msup>\n\t <mo stretchy='false'>(</mo><msub>\n\t <mi>x</mi>\n\t <mn>0</mn>\n\t </msub>\n\t <mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><munder>\n\t <mrow>\n\t <mo>lim</mo>\n\t </mrow>\n\t <mrow>\n\t <mi>x</mi><mo>→</mo><msub>\n\t <mi>x</mi>\n\t <mn>0</mn>\n\t </msub>\n\n\t </mrow>\n\t </munder>\n\t <mfrac>\n\t <mrow>\n\t <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><msub>\n\t <mi>x</mi>\n\t <mn>0</mn>\n\t </msub>\n\t <mo stretchy='false'>)</mo><mo>-</mo><mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n\t </mrow>\n\t <mrow>\n\t <msub>\n\t <mi>x</mi>\n\t <mn>0</mn>\n\t </msub>\n\t <mo>-</mo><mi>x</mi>\n\t </mrow>\n\t </mfrac>\n\n\t </mrow>\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t </annotation>\n\t </semantics>\n\t</math>\n\t</blockquote>\n \n<p>També pot expressar-se com (fent el senzill canvi \t<math>\n\t <semantics>\n\t <mrow>\n\t <mi>x</mi><mo>=</mo><msub>\n\t <mi>x</mi>\n\t <mn>0</mn>\n\t </msub>\n\t <mo>+</mo><mi>h</mi>\n\t </mrow>\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t </annotation>\n\t </semantics>\n\t</math>\n):</p>\n\n <blockquote><math>\n <semantics>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>f</mi>\n <mo>′</mo>\n </msup>\n <mo stretchy='false'>(</mo><msub>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n </msub>\n <mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><munder>\n <mrow>\n <mo>lim</mo>\n </mrow>\n <mrow>\n <mi>h</mi><mo>→</mo><mn>0</mn>\n </mrow>\n </munder>\n <mfrac>\n <mrow>\n <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><msub>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n </msub>\n <mo>+</mo><mi>h</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>-</mo><mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><msub>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n </msub>\n <mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow>\n <mi>h</mi>\n </mfrac>\n\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n</blockquote>\n \n<p>Si aquest límit existeix, es diu que la funció és derivable en el punt <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <msub>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n </msub>\n \n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n, \ni com es pot deduir de la definició, la derivada <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>f</mi>\n <mo>′</mo>\n </msup>\n <mo stretchy='false'>(</mo><msub>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n </msub>\n <mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n ens dóna una idea \nde la velocitat amb què varia la funció en <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <msub>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n </msub>\n\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n. El següent gràfic \nofereix \nuna interpretació geomètrica de la derivada en un punt, que confirma aquesta \nidea de la derivada de la funció en un punt com la velocitat de variació \nen aquest punt:</p>\n\n<p><applet name=\"aple\" code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"450\">\n<param name=\"filename\" value=\"derivada.ggb\" >\n</applet>\n</p>\n\n<p>Tenim una funció <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n, i <input type=\"button\" value=\"situem\" onClick=\"document.applets['aple'].setVisible('B', true);\">\n un punt <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>B</mi><mo>=</mo><mo stretchy='false'>(</mo><msub>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n </msub>\n <mo>,</mo><mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><msub>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n </msub>\n <mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n sobre la gràfica (en aquest cas, per exemple, hem \nescollit <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>B</mi><mo>=</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mn>3,</mn><mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mn>3</mn><mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\n </semantics>\n</math>\n\n). Hem de \ncalcular la derivada de la funció en aquest punt <i>B</i>. Per a això \n<input type=\"button\" value=\"dibuixarem\" onClick=\"document.applets['aple'].setVisible('A', true);\" >\n un punt qualsevol <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>A</mi><mo>=</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n, en aquest cas, per exemple, <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>A</mi><mo>=</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mn>8,</mn><mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mn>8</mn><mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\n </semantics>\n</math>\n\n. Per la \ndefinició de derivada, hem de buscar el límit quan <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>x</mi><mo>→</mo><mn>3</mn>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n de \n<math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mfrac>\n <mrow>\n <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>-</mo><mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><msub>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n </msub>\n <mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow>\n <mrow>\n <mi>x</mi><mo>-</mo><mi>g</mi><msub>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n </msub>\n\n </mrow>\n </mfrac>\n\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n , en el nostre cas <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mfrac>\n <mrow>\n <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>-</mo><mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mn>3</mn><mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow>\n <mrow>\n <mi>x</mi><mo>-</mo><mn>3</mn>\n </mrow>\n </mfrac>\n\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n. <input type=\"button\" value=\"Marquem\" onClick=\"document.applets['aple'].setVisible('T6', true);document.applets['aple'].setVisible('T7', true);document.applets['aple'].setVisible('T8', true);document.applets['aple'].setVisible('T9', true);document.applets['aple'].setVisible('g', true);document.applets['aple'].setVisible('h', true);document.applets['aple'].setVisible('i', true);document.applets['aple'].setVisible('j', true);document.applets['aple'].setVisible('G', true);\" >\n sobre la gràfica els valors de <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>x</mi><mo>=</mo><mn>8</mn>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n, <math>\n <semantics>\n <mn>3</mn>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n, <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mn>8</mn><mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n i <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mn>3</mn><mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n: <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mn>8</mn><mo stretchy='false'>)</mo><mo>-</mo><mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mn>3</mn><mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n i \n<math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mn>8</mn><mo>-</mo><mn>3</mn>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n són els catets del <input type=\"button\" value=\"triangle\" onClick=\"document.applets['aple'].setVisible('P', true);document.applets['aple'].setVisible('T1', true);document.applets['aple'].setVisible('T2', true);\" >, \n la hipotenusa dels quals és el segment <i>AB</i>. El quocient <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mfrac>\n <mrow>\n <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>-</mo><mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mn>3</mn><mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow>\n <mrow>\n <mi>x</mi><mo>-</mo><mn>3</mn>\n </mrow>\n </mfrac>\n\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n és la tangent de l'<input type=\"button\" value=\"angle\" onClick=\"document.applets['aple'].setVisible('α', true);\" > \n<math>\n <semantics>\n <mi>α</mi>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n o, també, el pendent de la <input type=\"button\" value=\"recta\" onClick=\"document.applets['aple'].setVisible('e', true);\" > \nque passa pels punts <i>A</i> i <i>B</i> (sabem que el pendent és igual a la tangent \nde l'angle que forma aquesta recta amb l'eix <i>X</i>, que no és un altre que <math>\n <semantics>\n <mi>α</mi>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n). \nQuan acostem la <math>\n <semantics>\n <mi>x</mi>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n (que ara és 8) cap a <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <msub>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n </msub>\n <mo>=</mo><mn>3</mn>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n (mou el punt vermell), \nobservem que la recta que passa per <i>A</i> i <i>B</i> tendeix a <input type=\"button\" value=\"recta tangent\" onClick=\"document.applets['aple'].setVisible('d', true);document.applets['aple'].setVisible('T4', true);\" > \na\n la funció en el punt <i>B</i>. Així, doncs, el límit que defineix la derivada en <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <msub>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n </msub>\n\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n \nés el pendent de la recta tangent en aquest punt, és a dir, la tangent de l'<input type=\"button\" value=\"angle\" onClick=\"document.applets['aple'].setVisible('β', true);\" >\nque forma aquesta recta amb l'eix <i>X</i>, i a la qual <input type=\"button\" value=\"tendeix\" onClick=\"document.applets['aple'].setVisible('T3', true);\" > \nla tangent de <math>\n <semantics>\n <mi>α</mi>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n. <input type=\"button\" value=\"Netejar\" onClick=\"document.applets['aple'].reset();\" style=\"font-size: 8pt\"></p>\n\n<p>Desplaçant el punt negre sobre el segment de la part superior del següent \ngràfic canvia la funció \t<math>\n\t <semantics>\n\t <mrow>\n\t <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n\t </mrow>\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t </annotation>\n\t </semantics>\n\t</math>\n, i pots observar que la definició s'aplica de la \nmateixa manera en el mateix punt <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mo stretchy='false'>(</mo><mn>3,</mn><mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mn>3</mn><mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\n </semantics>\n</math>\n\n. Evidentment, la derivada pot ser un \nnombre positiu, o bé, un nombre negatiu.</p>\n\n<p><applet name=\"aple2\" code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\n archive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"450\">\n<param name=\"filename\" value=\"derivadaCompleta.ggb\" >\n</applet></p>\n<p>Les funcions que hem anat estudiant acostumen a poder derivar-se en tots \nels seus punts. La <b>funció derivada</b> de \t<math>\n\t <semantics>\n\t <mrow>\n\t <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n\t </mrow>\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t </annotation>\n\t </semantics>\n\t</math>\n, que designarem com \t<math>\n\t <semantics>\n\t <mrow>\n\t <msup>\n\t <mi>f</mi>\n\t <mo>′</mo>\n\t </msup>\n\t <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n\t </mrow>\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t </annotation>\n\t </semantics>\n\t</math>\n, \nfa correspondre a cada valor del <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>D</mi><mi>o</mi><mi>m</mi><mi>f</mi>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n la derivada en aquest valor \n(sempre que existeixi, cosa que succeeix en la majoria de casos habituals). Una \nfunció derivada pot derivar-se al seu torn, amb la qual cosa obtenim la derivada <b> \nsegona</b>, \t<math>\n\t <semantics>\n\t <mrow>\n\t <msup>\n\t <mi>f</mi>\n\t <mo>″</mo>\n\t </msup>\n\t <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n\t </mrow>\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t </annotation>\n\t </semantics>\n\t</math>\n. Aquest procés pot repetir-se indefinidament, i obtenim la derivada <b>\nenèsima</b> de la funció, que designarem com \t<math>\n\t <semantics>\n\t <mrow>\n\t <msup>\n\t <mi>f</mi>\n\t <mrow>\n\t <mi>n</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n\t </mrow>\n\t </msup>\n\t <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n\t </mrow>\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t </annotation>\n\t </semantics>\n\t</math>\n.</p>\n\n\n<br /><br /> <br /><br />\n </div>\n \n </div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <div id=\"capsa_inferior\">\n <iframe src=\"../iframes/2_5_1.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\n </div>\n\n </div>\n</div>\n\n</form>\n</body>\n</html> ", | |
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document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\n<div id=\"contenidor\">\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\n <div id=\"area_pagina\">\n\n<!-- CAPA DEL MENU -->\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\n\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\n <div id=\"searchDiv\">\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\n </div>\n\n </div>\n\n <div id=\"barra_superior\">\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> Les propietats bàsiques de la derivada</div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n </div>\n\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \n\t\t\tTorna a cercar</a>\n </div>\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"2|5|2\" />\n\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\n <div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n </div>\n \n <div>\n\n\n<p>Les propietats bàsiques de la derivada són:</p>\n<ul>\n\t<li>La derivada d'una suma de funcions és la suma de les seves derivades, és a dir \n\t, la derivada de \t<math>\n\t\t <semantics>\n\t\t <mrow>\n\t\t <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>+</mo><mi>g</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n\t\t </mrow>\n\t\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t\t </annotation>\n\t\t </semantics>\n\t\t</math> \n\t és igual a \t<math>\n\t\t <semantics>\n\t\t <mrow>\n\t\t <msup>\n\t\t <mi>f</mi>\n\t\t <mo>′</mo>\n\t\t </msup>\n\t\t <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>+</mo><msup>\n\t\t <mi>g</mi>\n\t\t <mo>′</mo>\n\t\t </msup>\n\t\t <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n\t\t </mrow>\n\t\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t\t </annotation>\n\t\t </semantics>\n\t\t</math>\n\t.</li>\n\t<li>La derivada del producte d'una constant per una funció és igual a la \n\tconstant multiplicada per la derivada de la funció. És a dir:\n\t<math>\n <semantics>\n <mrow>\n <msup>\n <mrow>\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>k</mi><mo>·</mo><mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow>\n <mo>′</mo>\n </msup>\n <mo>=</mo><mi>k</mi><mo>·</mo><msup>\n <mi>f</mi>\n <mo>′</mo>\n </msup>\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\n </semantics>\n</math>\n\n\t.</li>\n</ul>\n<p>Aquestes dues propietats són molt útils per a establir, per exemple, la derivada \nd'un polinomi, ja que un polinomi no és una altra cosa que una suma de \nmonomis, <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>a</mi><msup>\n <mi>x</mi>\n <mi>n</mi>\n </msup>\n \n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n; per això, només és necessari conèixer les derivades de <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mi>n</mi>\n </msup>\n \n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n \nper a trobar la derivada de qualsevol polinomi.</p>\n<ul>\n\t<li>La derivada d'un producte de funcions es calcula de la següent \n\tmanera: si \t<math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>h</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>·</mo><mi>g</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\n </semantics>\n</math>\n\n\t, la seva derivada és<br>\n \t<math>\n <semantics>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>h</mi>\n <mo>′</mo>\n </msup>\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><msup>\n <mi>f</mi>\n <mo>′</mo>\n </msup>\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>·</mo><mi>g</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>+</mo><mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>·</mo><msup>\n <mi>g</mi>\n <mo>′</mo>\n </msup>\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\n </semantics>\n</math>\n\n</li>\n\t<li>La derivada d'un quocient de funcions es calcula de la següent \n\tmanera: si \t<math>\n\t\t <semantics>\n\t\t <mrow>\n\t\t <mi>h</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mfrac>\n\t\t <mrow>\n\t\t <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n\t\t </mrow>\n\t\t <mrow>\n\t\t <mi>g</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n\t\t </mrow>\n\t\t </mfrac>\n\n\t\t </mrow>\n\t\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t\t </annotation>\n\t\t </semantics>\n\t\t</math>\n\t, la seva derivada és<br>\n \t<math>\n <semantics>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>h</mi>\n <mo>′</mo>\n </msup>\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mfrac>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>f</mi>\n <mo>′</mo>\n </msup>\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>·</mo><mi>g</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>-</mo><mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>·</mo><msup>\n <mi>g</mi>\n <mo>′</mo>\n </msup>\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>g</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow>\n </mfrac>\n \n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\n </semantics>\n</math>\n\n.</li>\n\t<li>La derivada d'una composició es calcula amb la denominada <b>regla de la \n\tcadena</b>: si \t<math>\n\t\t <semantics>\n\t\t <mrow>\n\t\t <mi>h</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mi>g</mi><mi>o</mi><mi>f</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>)</mo>\n\t\t </mrow>\n\t\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t\t </annotation>\n\t\t </semantics>\n\t\t</math>\n\t, llavors la seva derivada és<br>\n \t<math>\n <semantics>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>h</mi>\n <mo>′</mo>\n </msup>\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><msup>\n <mi>g</mi>\n <mo>′</mo>\n </msup>\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>)</mo><mo>·</mo><msup>\n <mi>f</mi>\n <mo>′</mo>\n </msup>\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\n </semantics>\n</math>\n\n</li>\n</ul>\n\n\n<br /><br /> <br /><br />\n </div>\n \n </div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <div id=\"capsa_inferior\">\n <iframe src=\"../iframes/2_5_2.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\n </div>\n\n 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| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\n<head>\n<title>Derivada de les funcions de tipus polinòmic</title>\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\n<![endif]><![endif]-->\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\n <script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js\"></script> \n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\n</head>\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\n<div id=\"contenidor\">\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\n <div id=\"area_pagina\">\n\n<!-- CAPA DEL MENU -->\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\n\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\n <div id=\"searchDiv\">\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\n </div>\n\n </div>\n\n <div id=\"barra_superior\">\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> Derivada de les funcions de tipus polinòmic</div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n </div>\n\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \n\t\t\tTorna a cercar</a>\n </div>\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"2|5|3\" />\n\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\n <div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n </div>\n \n <div>\n\n<p>Com hem vist, la derivada d'una funció polinòmica es pot deduir a partir de les \nderivades dels termes \t<math>\t <semantics>\t <mrow>\t <msup>\t <mi>x</mi>\t <mi>n</mi>\t </msup>\t </mrow>\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\t </annotation>\t </semantics>\t</math>. Per tant, vegem com es \nderiven aquests termes.</p>\n<p>En primer lloc, la derivada d'una constant és igual a 0. És a dir, si \n\t<math>\n\t <semantics>\n\t <mrow>\n\t <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mi>k</mi>\n\t </mrow>\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t </annotation>\n\t </semantics>\n\t</math>\n, si \t<math>\n\t <semantics>\n\t <mi>k</mi>\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t </annotation>\n\t </semantics>\n\t</math> \n és un nombre, \t<math>\n\t <semantics>\n\t <mrow>\n\t <msup>\n\t <mi>f</mi>\n\t <mo>′</mo>\n\t </msup>\n\t <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn>\n\t </mrow>\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t </annotation>\n\t </semantics>\n\t</math>\n. Vegem-ho:</p>\n<blockquote>\n\t<p><math>\n\t <semantics>\n\t <mrow>\n\t <msup>\n\t <mi>f</mi>\n\t <mo>′</mo>\n\t </msup>\n\t <mo stretchy='false'>(</mo><msub>\n\t <mi>x</mi>\n\t <mn>0</mn>\n\t </msub>\n\t <mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><munder>\n\t <mrow>\n\t <mo>lim</mo>\n\t </mrow>\n\t <mrow>\n\t <mi>x</mi><mo>→</mo><msub>\n\t <mi>x</mi>\n\t <mn>0</mn>\n\t </msub>\n\n\t </mrow>\n\t </munder>\n\t <mfrac>\n\t <mrow>\n\t <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>-</mo><mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><msub>\n\t <mi>x</mi>\n\t <mn>0</mn>\n\t </msub>\n\t <mo stretchy='false'>)</mo>\n\t </mrow>\n\t <mrow>\n\t <mi>x</mi><mo>-</mo><msub>\n\t <mi>x</mi>\n\t <mn>0</mn>\n\t </msub>\n\n\t </mrow>\n\t </mfrac>\n\t <mo>=</mo><munder>\n\t <mrow>\n\t <mo>lim</mo>\n\t </mrow>\n\t <mrow>\n\t <mi>x</mi><mo>→</mo><msub>\n\t <mi>x</mi>\n\t <mn>0</mn>\n\t </msub>\n\n\t </mrow>\n\t </munder>\n\t <mfrac>\n\t <mrow>\n\t <mi>k</mi><mo>-</mo><mi>k</mi>\n\t </mrow>\n\t <mrow>\n\t <mi>x</mi><mo>-</mo><msub>\n\t <mi>x</mi>\n\t <mn>0</mn>\n\t </msub>\n\n\t </mrow>\n\t </mfrac>\n\t <mo>=</mo><munder>\n\t <mrow>\n\t <mo>lim</mo>\n\t </mrow>\n\t <mrow>\n\t <mi>x</mi><mo>→</mo><msub>\n\t <mi>x</mi>\n\t <mn>0</mn>\n\t </msub>\n\n\t </mrow>\n\t </munder>\n\t <mfrac>\n\t <mn>0</mn>\n\t <mrow>\n\t <mi>x</mi><mo>-</mo><msub>\n\t <mi>x</mi>\n\t <mn>0</mn>\n\t </msub>\n\n\t </mrow>\n\t </mfrac>\n\t <mo>=</mo><mn>0</mn>\n\t </mrow>\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t </annotation>\n\t </semantics>\n\t</math>\n\t</p>\n</blockquote>\n\n<p>Per a calcular la derivada de qualsevol funció del tipus <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><msup>\n <mi>x</mi>\n <mi>n</mi>\n </msup>\n \n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n, \nutilitzem aquesta definició equivalent de límit:</p>\n\n <blockquote>\n \t<math>\n <semantics>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>f</mi>\n <mo>′</mo>\n </msup>\n <mrow><mo>(</mo>\n <mrow>\n <msub>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n </msub>\n \n </mrow>\n <mo>)</mo></mrow>\n <mo>=</mo><munder>\n <mrow>\n <mo>lim</mo>\n </mrow>\n <mrow>\n <mi>h</mi><mo>→</mo><mn>0</mn>\n </mrow>\n </munder>\n <mfrac>\n <mrow>\n <mi>f</mi><mrow><mo>(</mo>\n <mrow>\n <msub>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n </msub>\n <mo>+</mo><mi>h</mi>\n </mrow>\n <mo>)</mo></mrow>\n <mo>-</mo><mi>f</mi><mrow><mo>(</mo>\n <mrow>\n <msub>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n </msub>\n \n </mrow>\n <mo>)</mo></mrow>\n \n </mrow>\n <mi>h</mi>\n </mfrac>\n <mo>=</mo><munder>\n <mrow>\n <mo>lim</mo>\n </mrow>\n <mrow>\n <mi>h</mi><mo>→</mo><mn>0</mn>\n </mrow>\n </munder>\n <mfrac>\n <mrow>\n <msup>\n <mrow>\n <mrow><mo>(</mo>\n <mrow>\n <msub>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n </msub>\n <mo>+</mo><mi>h</mi>\n </mrow>\n <mo>)</mo></mrow>\n \n </mrow>\n <mi>n</mi>\n </msup>\n <mo>-</mo><msubsup>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n <mi>n</mi>\n </msubsup>\n \n </mrow>\n <mi>h</mi>\n </mfrac>\n <mo>=</mo><munder>\n <mrow>\n <mo>lim</mo>\n </mrow>\n <mrow>\n <mi>h</mi><mo>→</mo><mn>0</mn>\n </mrow>\n </munder>\n <mfrac>\n <mrow>\n <msubsup>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n <mi>n</mi>\n </msubsup>\n <mo>+</mo><mi>h</mi><mo>⋅</mo><mi>n</mi><mo>⋅</mo><msubsup>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n <mrow>\n <mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn>\n </mrow>\n </msubsup>\n <mo>+</mo><msup>\n <mi>h</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>⋅</mo><mrow><mo>(</mo>\n <mo>…</mo>\n <mo>)</mo></mrow>\n <mo>-</mo><msubsup>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n <mi>n</mi>\n </msubsup>\n \n </mrow>\n <mi>h</mi>\n </mfrac>\n \n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\n </semantics>\n</math>\n \t</blockquote>\n\n\n<p>Això és així, ja que si desenvolupem <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <msup>\n <mrow>\n <mo stretchy='false'>(</mo><msub>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n </msub>\n <mo>+</mo><mi>h</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow>\n <mi>n</mi>\n </msup>\n\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n, ens dóna un terme sense <math>\n <semantics>\n <mi>h</mi>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n, \nun terme amb <math>\n <semantics>\n <mi>h</mi>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math> \n (i és fàcil deduir que és <math> <semantics> <mrow> <mi>h</mi><mo>⋅</mo><mi>n</mi><mo>⋅</mo><msubsup> <mi>x</mi> <mn>0</mn> <mrow> <mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation> </semantics></math>), i la resta de \ntermes amb <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>h</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n, <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>h</mi>\n <mn>3</mn>\n </msup>\n \n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mn>...</mn>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>h</mi>\n <mi>n</mi>\n </msup>\n\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n; per tant, el grau de <math>\n <semantics>\n <mi>h</mi>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math> \n per a la \nresta de termes és com a mínim 2. És a dir, <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <msup>\n <mrow>\n <mrow><mo>(</mo>\n <mrow>\n <msub>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n </msub>\n <mo>+</mo><mi>h</mi>\n </mrow>\n <mo>)</mo></mrow>\n \n </mrow>\n <mi>n</mi>\n </msup>\n <mo>=</mo><msubsup>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n <mi>n</mi>\n </msubsup>\n <mo>+</mo><mi>h</mi><mo>⋅</mo><mi>n</mi><mo>⋅</mo><msubsup>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n <mrow>\n <mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn>\n </mrow>\n </msubsup>\n <mo>+</mo><msup>\n <mi>h</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mrow><mo>(</mo>\n <mo>…</mo>\n <mo>)</mo></mrow>\n \n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\n </semantics>\n</math>. Continuem, doncs, amb el càlcul del límit:</p>\n<blockquote>\n\t<p>\n<math>\n <semantics>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>f</mi>\n <mo>′</mo>\n </msup>\n <mrow><mo>(</mo>\n <mrow>\n <msub>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n </msub>\n \n </mrow>\n <mo>)</mo></mrow>\n <mo>=</mo><munder>\n <mrow>\n <mo>lim</mo>\n </mrow>\n <mrow>\n <mi>h</mi><mo>→</mo><mn>0</mn>\n </mrow>\n </munder>\n <mfrac>\n <mrow>\n <msubsup>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n <mi>n</mi>\n </msubsup>\n <mo>+</mo><mi>h</mi><mo>⋅</mo><mi>n</mi><mo>⋅</mo><msubsup>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n <mrow>\n <mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn>\n </mrow>\n </msubsup>\n <mo>+</mo><msup>\n <mi>h</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>⋅</mo><mrow><mo>(</mo>\n <mo>…</mo>\n <mo>)</mo></mrow>\n <mo>-</mo><msubsup>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n <mi>n</mi>\n </msubsup>\n \n </mrow>\n <mi>h</mi>\n </mfrac>\n <mo>=</mo><munder>\n <mrow>\n <mo>lim</mo>\n </mrow>\n <mrow>\n <mi>h</mi><mo>→</mo><mn>0</mn>\n </mrow>\n </munder>\n <mfrac>\n <mrow>\n <mi>h</mi><mo>⋅</mo><mi>n</mi><mo>⋅</mo><msubsup>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n <mrow>\n <mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn>\n </mrow>\n </msubsup>\n <mo>+</mo><msup>\n <mi>h</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>⋅</mo><mrow><mo>(</mo>\n <mo>…</mo>\n <mo>)</mo></mrow>\n \n </mrow>\n <mi>h</mi>\n </mfrac>\n <mo>=</mo><munder>\n <mrow>\n <mo>lim</mo>\n </mrow>\n <mrow>\n <mi>h</mi><mo>→</mo><mn>0</mn>\n </mrow>\n </munder>\n <mrow><mo>(</mo>\n <mrow>\n <mi>n</mi><msubsup>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n <mrow>\n <mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn>\n </mrow>\n </msubsup>\n <mo>+</mo><mi>h</mi><mo>⋅</mo><mrow><mo>(</mo>\n <mo>…</mo>\n <mo>)</mo></mrow>\n \n </mrow>\n <mo>)</mo></mrow>\n <mo>=</mo><mi>n</mi><msubsup>\n <mi>x</mi>\n <mn>0</mn>\n <mrow>\n <mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn>\n </mrow>\n </msubsup>\n \n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\n </semantics>\n</math>\t\t\n\t</p>\n</blockquote>\n\n\n<p>En definitiva, la derivada de <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><msup>\n <mi>x</mi>\n <mi>n</mi>\n </msup>\n \n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n és <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>f</mi>\n <mo>′</mo>\n </msup>\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mi>n</mi><msup>\n <mi>x</mi>\n <mrow>\n <mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn>\n </mrow>\n </msup>\n\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n. Trobar la derivada \nd'un polinomi qualsevol és, ara, molt senzill. Per exemple, la derivada \nde <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>p</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mn>4</mn><msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>3</mn>\n </msup>\n <mo>-</mo><mn>5</mn><msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>-</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math> \n és la següent:</p>\n<blockquote>\n\t<p><math>\n\t <semantics>\n\t <mrow>\n\t <msup>\n\t <mi>p</mi>\n\t <mo>′</mo>\n\t </msup>\n\t <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mn>4</mn><mo stretchy='false'>(</mo><msup>\n\t <mi>x</mi>\n\t <mn>3</mn>\n\t </msup>\n\t <msup>\n\t <mo stretchy='false'>)</mo>\n\t <mo>′</mo>\n\t </msup>\n\t <mo>-</mo><mn>5</mn><mo stretchy='false'>(</mo><msup>\n\t <mi>x</mi>\n\t <mn>2</mn>\n\t </msup>\n\t <msup>\n\t <mo stretchy='false'>)</mo>\n\t <mo>′</mo>\n\t </msup>\n\t <mo>-</mo><mn>2</mn><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><msup>\n\t <mo stretchy='false'>)</mo>\n\t <mo>′</mo>\n\t </msup>\n\t <mo>+</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mn>1</mn><msup>\n\t <mo stretchy='false'>)</mo>\n\t <mo>′</mo>\n\t </msup>\n\t <mo>=</mo><mn>4</mn><mo stretchy='false'>(</mo><mn>3</mn><msup>\n\t <mi>x</mi>\n\t <mn>2</mn>\n\t </msup>\n\t <mo stretchy='false'>)</mo><mo>-</mo><mn>5</mn><mo stretchy='false'>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mo stretchy='false'>(</mo><mn>1</mn><mo stretchy='false'>)</mo><mo>+</mo><mn>0</mn><mo>=</mo><mn>12</mn><msup>\n\t <mi>x</mi>\n\t <mn>2</mn>\n\t </msup>\n\t <mo>-</mo><mn>10</mn><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>2</mn>\n\t </mrow>\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t </annotation>\n\t </semantics>\n\t</math>\n\t</p>\n</blockquote>\n<p>També és molt senzill calcular la derivada d'una funció racional, ja que \nes tracta de derivar un quocient de polinomis. Per exemple, la derivada de \n<math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>g</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mfrac>\n <mrow>\n <mn>3</mn><msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>-</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn>\n </mrow>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>+</mo><mn>1</mn>\n </mrow>\n </mfrac>\n \n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math> \n és</p>\n<blockquote>\n\t<p><math>\n\t <semantics>\n\t <mrow>\n\t <msup>\n\t <mi>g</mi>\n\t <mo>′</mo>\n\t </msup>\n\t <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mfrac>\n\t <mrow>\n\t <mo stretchy='false'>(</mo><mn>6</mn><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>(</mo><msup>\n\t <mi>x</mi>\n\t <mn>2</mn>\n\t </msup>\n\t <mo>+</mo><mn>1</mn><mo stretchy='false'>)</mo><mo>-</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mn>3</mn><msup>\n\t <mi>x</mi>\n\t <mn>2</mn>\n\t </msup>\n\t <mo>-</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n\t </mrow>\n\t <mrow>\n\t <msup>\n\t <mrow>\n\t <mo stretchy='false'>(</mo><msup>\n\t <mi>x</mi>\n\t <mn>2</mn>\n\t </msup>\n\t <mo>+</mo><mn>1</mn><mo stretchy='false'>)</mo>\n\t </mrow>\n\t <mn>2</mn>\n\t </msup>\n\n\t </mrow>\n\t </mfrac>\n\n\t </mrow>\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t </annotation>\n\t </semantics>\n\t</math>\n\t</p>\n</blockquote>\n<p>Finalment, la fórmula per a derivar una potència també és útil per a \nexponents de qualsevol tipus; és a dir, si \t<math>\n\t <semantics>\n\t <mi>n</mi>\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t </annotation>\n\t </semantics>\n\t</math>\n és un nombre qualsevol, \n<math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mo stretchy='false'>(</mo><msup>\n <mi>x</mi>\n <mi>n</mi>\n </msup>\n <msup>\n <mo stretchy='false'>)</mo>\n <mo>′</mo>\n </msup>\n <mo>=</mo><mi>n</mi><msup>\n <mi>x</mi>\n <mrow>\n <mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn>\n </mrow>\n </msup>\n\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n. Per exemple, la funció <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><msup>\n <mi>x</mi>\n <mrow>\n <mfrac>\n <mrow>\n <mo>-</mo><mn>2</mn>\n </mrow>\n <mn>3</mn>\n </mfrac>\n \n </mrow>\n </msup>\n \n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n, és a dir, \n<math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>f</mi><mrow><mo>(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>)</mo></mrow>\n <mo>=</mo><mfrac>\n <mn>1</mn>\n <mrow>\n <msqrt>\n <mrow>\n <mn>3</mn><msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n \n </mrow>\n </msqrt>\n \n </mrow>\n </mfrac>\n \n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\n </semantics>\n</math>\n, té per derivada:</p>\n<blockquote>\n\t<p><math>\n <semantics>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>f</mi>\n <mo>′</mo>\n </msup>\n <mrow><mo>(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>)</mo></mrow>\n <mo>=</mo><mfrac>\n <mrow>\n <mo>-</mo><mn>2</mn>\n </mrow>\n <mn>3</mn>\n </mfrac>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mrow>\n <mfrac>\n <mrow>\n <mo>-</mo><mn>2</mn>\n </mrow>\n <mn>3</mn>\n </mfrac>\n <mo>-</mo><mn>1</mn>\n </mrow>\n </msup>\n <mo>=</mo><mfrac>\n <mrow>\n <mo>-</mo><mn>2</mn>\n </mrow>\n <mn>3</mn>\n </mfrac>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mrow>\n <mfrac>\n <mrow>\n <mo>-</mo><mn>5</mn>\n </mrow>\n <mn>3</mn>\n </mfrac>\n \n </mrow>\n </msup>\n <mo>=</mo><mfrac>\n <mrow>\n <mo>-</mo><mn>2</mn>\n </mrow>\n <mrow>\n <mn>3</mn><mroot>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>5</mn>\n </msup>\n \n </mrow>\n <mn>3</mn>\n </mroot>\n \n </mrow>\n </mfrac>\n \n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\n </semantics>\n</math>\n\t</p>\n</blockquote>\n\n\n<br /><br /> <br /><br />\n </div>\n \n </div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <div id=\"capsa_inferior\">\n <iframe src=\"../iframes/2_5_3.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\n </div>\n\n </div>\n</div>\n\n</form>\n</body>\n</html> ", | |
| "ocurrenceTitle": "Derivada de les funcions de tipus polinòmic" | |
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document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\r\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\r\n<div id=\"contenidor\">\r\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\r\n <div id=\"area_pagina\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL MENU -->\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\r\n <div id=\"searchDiv\">\r\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\r\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n\r\n <div id=\"barra_superior\">\r\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> Aproximació gràfica a la derivada d'un polinomi</div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n </div>\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\r\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \r\n\t\t\tTorna a cercar</a>\r\n </div>\r\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"2|5|4\" />\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\r\n <div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n </div>\r\n \r\n <div>\r\n\r\n<p>Una vegada obtingut el procediment per a trobar l'expressió de la derivada d'una \r\nfunció polinòmica, és útil comprovar com aquesta és consistent amb la seva \r\ninterpretació geomètrica. </p>\r\n<p>El gràfic que segueix aquest paràgraf conté la gràfica de <math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>-</mo><mn>4</mn>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n. \r\nCalculem, per exemple, la derivada en <input type=\"button\" value=\"x = 5\" onClick=\"document.applets['ap1'].openFile('derivadax2.ggb');document.applets['ap1'].setVisible('T2', true);document.ap1.setRepaintingActive(false);document.ap1.evalCommand('A = (5,f(5))');document.aple2.setRepaintingActive(true);\">. \r\nLa derivada en el <input type=\"button\" value=\"punt\" onClick=\"document.applets['ap1'].setVisible('B', true);document.applets['ap1'].setVisible('e', true);\"> \r\n<math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mo stretchy='false'>(</mo><mn>5,</mn><mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mn>5</mn><mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\r\n </semantics>\r\n</math> \r\n\r\n és el <input type=\"button\" value=\"pendent de la recta\" onClick=\"document.applets['ap1'].setVisible('b', true);document.applets['ap1'].setVisible('pendiente', true);\"> \r\ntangent en aquest punt; en aquest cas, 10. Així doncs, la derivada de la funció en \r\n<math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mi>x</mi><mo>=</mo><mn>5</mn>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math> \r\n és 10. Dit d'una altra manera <input type=\"button\" value=\"f'(5) = 10\" onClick=\"document.applets['ap1'].setVisible('T1', true);document.applets['ap1'].setVisible('D', true);\">. \r\nPer tant, el <input type=\"button\" value=\"punt\" onClick=\"document.applets['ap1'].setVisible('C', true);document.applets['ap1'].setVisible('c', true);document.applets['ap1'].setVisible('d', true);\"> \r\n<math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mo stretchy='false'>(</mo><mn>5,10</mn><mo stretchy='false'>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\r\n </semantics>\r\n</math> \r\n\r\n pertany a la gràfica de la funció derivada de <math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n\r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n, <math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <msup>\r\n <mi>f</mi>\r\n <mo>′</mo>\r\n </msup>\r\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n. Si \r\nrepetim el procés per a altres valors de <math>\r\n <semantics>\r\n <mi>x</mi>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n, per exemple <input type=\"button\" value=\"x = 4\" onClick=\"document.ap1.setRepaintingActive(false);document.ap1.evalCommand('A = (4,f(4))');document.ap1.setRepaintingActive(true);\" >, \r\n<input type=\"button\" value=\"x = 2\" onClick=\"document.ap1.setRepaintingActive(false);document.ap1.evalCommand('A = (2,f(2))');document.apl.setRepaintingActive(true);\" >, \r\n<input type=\"button\" value=\"x = -1\" onClick=\"document.ap1.setRepaintingActive(false);document.ap1.evalCommand('A = (-1,f(-1))');document.apl.setRepaintingActive(true);\" >, \r\n<input type=\"button\" value=\"x = -3\" onClick=\"document.ap1.setRepaintingActive(false);document.ap1.evalCommand('A = (-3,f(-3))');document.apl.setRepaintingActive(true);\" >, \r\nobtindrem altres punts de la gràfica de <math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <msup>\r\n <mi>f</mi>\r\n <mo>′</mo>\r\n </msup>\r\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n. Pots trobar més valors de la \r\nderivada <input type=\"button\" value=\"movent\" onClick=\"document.applets['ap1'].setVisible('A', true);\"> \r\nla <math>\r\n <semantics>\r\n <mi>x</mi>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math> \r\n a dreta i esquerra. Sembla clar que la derivada de <math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mo>-</mo><mn>4</mn>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n\r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math> \r\n és <input type=\"button\" value=\"recta\" onClick=\"document.applets['ap1'].setVisible('g', true);document.applets['ap1'].setVisible('T4', true);\"> \r\nla <math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mi>i</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>x</mi>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n\r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n, valor que s'obté en aplicar la derivació de polinomis, <math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <msup>\r\n <mi>f</mi>\r\n <mo>′</mo>\r\n </msup>\r\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>x</mi>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n. <input type=\"button\" value=\"Netejar\" onClick=\"document.applets['ap1'].openFile('derivadax2.ggb');document.applets['ap1'].reset();\" style=\"font-size: 8pt\"></p> \r\n\r\n<p><applet name=\"ap1\" code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\r\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"450\">\r\n<param name=\"filename\" value=\"derivadax2.ggb\" >\r\n</applet>\r\n</p>\r\n\r\n\r\n<p>Pots comprovar com el resultat és equivalent quan es <input type=\"button\" value=\"varia\" onClick=\"document.applets['ap1'].openFile('derivadax2notrace.ggb');\"> \r\nel \r\ncoeficient, <math>\r\n <semantics>\r\n <mi>a</mi>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n, del terme de <math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n \r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n. Veuràs que el resultat segueix sent \r\nla derivada de <math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math> \r\n calculada segons les regles que ja coneixes. Si la <input type=\"button\" value=\"funció\" onClick=\"document.applets['ap1'].openFile('derivadax3.ggb');\"> \r\n<math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n\r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math> \r\n és un polinomi de grau 3, pot observar-se com els punts de la \r\nderivada formen una paràbola, l'expressió de la qual és, evidentment, l'obtinguda a partir del \r\nprocés de derivació de polinomis. En aquest cas, també pots \r\nvariar els valors del coeficient de grau màxim, <math>\r\n <semantics>\r\n <mi>a</mi>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n.</p>\r\n\r\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquests vídeos (també tens la versió pdf):</p>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\r\n\t<tr>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ANA5Derivacio4.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA5Continuitat4.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\">\r\n <embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA5Continuitat4.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td> </td>\r\n\t</tr>\r\n</table>\r\n\r\n<br /><br /> <br /><br />\r\n </div>\r\n \r\n </div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <div id=\"capsa_inferior\">\r\n <iframe src=\"../iframes/2_5_4.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n</div>\r\n\r\n</form>\r\n</body>\r\n</html> ", | |
| "ocurrenceTitle": "Aproximació gràfica a la derivada d'un polinomi" | |
| }, { | |
| "url": "s10/2_5_5.html", | |
| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\r\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\r\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\r\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\r\n<head>\r\n<title>Altres derivades</title>\r\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\r\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\r\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\r\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\r\n<![endif]><![endif]-->\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js\"></script> \r\n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\r\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\r\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\r\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\r\n\r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script>\r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"/verbalize/verbalize.js\"></script>\r\n\r\n</head>\r\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\r\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\r\n<div id=\"contenidor\">\r\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\r\n <div id=\"area_pagina\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL MENU -->\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\r\n <div id=\"searchDiv\">\r\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\r\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n\r\n <div id=\"barra_superior\">\r\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> Altres derivades</div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n </div>\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\r\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \r\n\t\t\tTorna a cercar</a>\r\n </div>\r\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"2|5|5\" />\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\r\n <div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n </div>\r\n \r\n <div>\r\n\r\n<p>En el següent gràfic pots construir la derivada de la funció <input type=\"button\" value=\"sinus\" onClick=\"document.applets['ap1'].openFile('derivadaSinus.ggb');\">, \r\ndesplaçant la \t<math>\r\n\t <semantics>\r\n\t <mi>x</mi>\r\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n\r\n\t </annotation>\r\n\t </semantics>\r\n\t</math>\r\n (en vermell) a dreta o esquerra; com en el cas dels \r\npolinomis, la traça del punt blau forma part de la gràfica de la funció \r\nderivada del sinus. No és difícil deduir que aquesta derivada és la funció <input type=\"button\" value=\"cosinus\" onClick=\"document.applets['ap1'].setVisible('g', true);document.applets['ap1'].setVisible('T4', true);\">, \r\n<math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mo stretchy='false'>(</mo><mtext>sin</mtext><mi>x</mi><msup>\r\n <mo stretchy='false'>)</mo>\r\n <mo>′</mo>\r\n </msup>\r\n <mo>=</mo><mtext>cos</mtext><mi>x</mi>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n. De manera similar, la derivada de la funció <input type=\"button\" value=\"cosinus\" onClick=\"document.applets['ap1'].openFile('derivadaCosinus.ggb');\"> \r\nés la funció <input type=\"button\" value=\"sinus\" onClick=\"document.applets['ap1'].setVisible('g', true);document.applets['ap1'].setVisible('T4', true);\">, \r\nperò canviada de signe, <math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mo stretchy='false'>(</mo><mtext>cos</mtext><mi>x</mi><msup>\r\n <mo stretchy='false'>)</mo>\r\n <mo>′</mo>\r\n </msup>\r\n <mo>=</mo><mo>-</mo><mtext>sin</mtext><mi>x</mi>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n. </p>\r\n\r\n\r\n<p><applet name=\"ap1\" code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\r\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"300\">\r\n<param name=\"filename\" value=\"titolOtrasDerivadas.ggb\" >\r\n</applet>\r\n</p>\r\n<p>Per a trobar la derivada de la funció <input type=\"button\" value=\"tangent\" onClick=\"document.applets['ap1'].openFile('derivadaTangent.ggb');\">, \r\n\t<math>\r\n\t <semantics>\r\n\t <mrow>\r\n\t <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mtext>tan</mtext><mi>x</mi>\r\n\t </mrow>\r\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n\r\n\t </annotation>\r\n\t </semantics>\r\n\t</math>\r\n, només cal aplicar la derivació d'un \r\nquocient:</p>\r\n<blockquote>\r\n\t<p><math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <msup>\r\n <mi>f</mi>\r\n <mo>′</mo>\r\n </msup>\r\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mfrac>\r\n <mrow>\r\n <mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>x</mi><mi>·</mi><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>x</mi><mi>·</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mo>−</mo><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mi>c</mi><mi>o</mi><msup>\r\n <mi>s</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n </mrow>\r\n </mfrac>\r\n <mo>=</mo><mfrac>\r\n <mrow>\r\n <mi>c</mi><mi>o</mi><msup>\r\n <mi>s</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mi>x</mi><mo>+</mo><mi>s</mi><mi>i</mi><msup>\r\n <mi>n</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mi>c</mi><mi>o</mi><msup>\r\n <mi>s</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n </mrow>\r\n </mfrac>\r\n <mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac>\r\n <mrow>\r\n <mi>s</mi><mi>i</mi><msup>\r\n <mi>n</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n </mrow>\r\n <mrow>\r\n <mi>c</mi><mi>o</mi><msup>\r\n <mi>s</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n </mrow>\r\n </mfrac>\r\n <mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>t</mi><mi>a</mi><msup>\r\n <mi>n</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n\r\n\t</p>\r\n</blockquote>\r\n<p>I, efectivament, si desplaces la <math>\r\n <semantics>\r\n <mi>x</mi>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n de la gràfica, t'apareixerà la traça \r\nformada pels punts de la seva <input type=\"button\" value=\"derivada\" onClick=\"document.applets['ap1'].setVisible('g', true);document.applets['ap1'].setVisible('T4', true);\">, \r\nque coincideix amb la que hem trobat algebraicament.</p>\r\n<p>Finalment, estudiem les derivades de les funcions exponencials i \r\nlogarítmiques. Si traces els punts de la gràfica de la derivada de l'exponencial <input type=\"button\" value=\"funció\" onClick=\"document.applets['ap2'].openFile('derivadaExponencial.ggb');\"> \r\nde base 2, pot comprovar-se que la <input type=\"button\" value=\"funció\" onClick=\"document.applets['ap2'].setVisible('g', true);document.applets['ap2'].setVisible('T4', true);\"> \r\nresultant és <math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>l</mi><mi>n</mi><mn>2</mn><mo stretchy='false'>)</mo><mi>·</mi><msup>\r\n <mn>2</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n </msup>\r\n \r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n\r\n. En general, la gràfica de la derivada \r\nde la funció exponencial de base <math>\r\n <semantics>\r\n <mi>a</mi>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math> \r\n és <input type=\"button\" value=\"funció\" onClick=\"document.applets['ap2'].openFile('derivadaExponencial2.ggb');\"> \r\nla <math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>l</mi><mi>n</mi><mi>a</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mi>·</mi><msup>\r\n <mi>a</mi>\r\n <mi>x</mi>\r\n </msup>\r\n \r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'></annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n\r\n. L'exponencial de base <math>\r\n <semantics>\r\n <mi>e</mi>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math> \r\n és l'única d'aquestes derivades \r\nque coincideix exactament amb la <input type=\"button\" value=\"funció\" onClick=\"document.applets['ap2'].openFile('derivadaExp.ggb');\"> original, és a dir, si <math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><msup>\r\n <mi>e</mi>\r\n <mi>x</mi>\r\n </msup>\r\n\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n\r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n, llavors, <math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <msup>\r\n <mi>f</mi>\r\n <mo>′</mo>\r\n </msup>\r\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><msup>\r\n <mi>e</mi>\r\n <mi>x</mi>\r\n </msup>\r\n \r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math> \r\n i, és clar, \r\nqualsevol derivada enèsima d'aquesta exponencial serà la mateixa funció.</p>\r\n\r\n<p><applet name=\"ap2\" code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\r\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"350\">\r\n<param name=\"filename\" value=\"titolOtrasDerivadas.ggb\" >\r\n</applet>\r\n\r\n<p>Si traces els punts de la gràfica de la derivada de la <input type=\"button\" value=\"funció\" onClick=\"document.applets['ap2'].openFile('derivadaLogaritmica.ggb');\"> \r\nlogarítmica de base 2, pot comprovar-se que la <input type=\"button\" value=\"funció\" onClick=\"document.applets['ap2'].setVisible('g', true);document.applets['ap2'].setVisible('T4', true);\"> \r\nresultant és <math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mo stretchy='false'>(</mo><msub>\r\n <mrow>\r\n <mtext>log</mtext>\r\n </mrow>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msub>\r\n <mi>e</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mfrac>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n </mfrac>\r\n \r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n. En general, la gràfica de la \r\nderivada de la funció logarítmica de base <math>\r\n <semantics>\r\n <mi>a</mi>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n és la <input type=\"button\" value=\"funció\" onClick=\"document.applets['ap2'].openFile('derivadaLogaritmica2.ggb');\"> \r\n<math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mo stretchy='false'>(</mo><msub>\r\n <mrow>\r\n <mtext>log</mtext>\r\n </mrow>\r\n <mi>a</mi>\r\n </msub>\r\n <mi>e</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mfrac>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n </mfrac>\r\n\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n\r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n. En el cas del logaritme neperià, \r\n<math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mtext>ln</mtext><mi>x</mi>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n, la seva <input type=\"button\" value=\"derivada\" onClick=\"document.applets['ap2'].openFile('derivadaLn.ggb');\"> \r\nés exactament <math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <msup>\r\n <mi>f</mi>\r\n <mo>′</mo>\r\n </msup>\r\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mfrac>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n </mfrac>\r\n \r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n.\r\n\r\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquests vídeos (també tens la versió pdf):</p>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\r\n\t<tr>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ANA5Derivacio5.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA5Derivacio5.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\">\r\n <embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA5Derivacio5.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td> </td>\r\n\t</tr>\r\n</table>\r\n\r\n<br /><br /> <br /><br />\r\n </div>\r\n \r\n </div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <div id=\"capsa_inferior\">\r\n <iframe src=\"../iframes/2_5_5.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n</div>\r\n\r\n</form>\r\n</body>\r\n</html> ", | |
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| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\r\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\r\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\r\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\r\n<head>\r\n<title>Taula de derivades</title>\r\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\r\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\r\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\r\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\r\n<![endif]><![endif]-->\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\r\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script> \r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\r\n<script type=\"text/javascript\" src=\"http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js\"></script> \r\n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\r\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\r\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\r\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\r\n</head>\r\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\r\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\r\n<div id=\"contenidor\">\r\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\r\n <div id=\"area_pagina\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL MENU -->\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\r\n\r\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\r\n <div id=\"searchDiv\">\r\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\r\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n\r\n <div id=\"barra_superior\">\r\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> Taula de derivades</div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\r\n </div>\r\n </div>\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\r\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \r\n\t\t\tTorna a cercar</a>\r\n </div>\r\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"2|5|6\" />\r\n\r\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\r\n <div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\r\n </div>\r\n </div>\r\n \r\n <div>\r\n\r\n<p class=\"MsoNormal\">A partir de les funcions estudiades, aquesta és la taula\r\nde derivades de les funcions més usuals:</p>\r\n\r\n<table cellspacing=\"0\" cellpadding=\"0\" border=\"1\" class=\"MsoNormalTable\"\r\nstyle=\"border: medium none ; margin-left: 44.25pt; border-collapse: collapse;\">\r\n <tbody>\r\n <tr style=\"page-break-inside: avoid;\">\r\n <td width=\"508\" valign=\"top\" colspan=\"3\"\r\n style=\"border: 1pt solid windowtext; padding: 0cm 3.5pt; background: rgb(204, 204, 204) none repeat scroll 0% 50%; width: 381.1pt; -moz-background-clip: -moz-initial; -moz-background-origin: -moz-initial; -moz-background-inline-policy: -moz-initial;\"><p\r\n align=\"center\" class=\"TextBasedelllibre\"\r\n style=\"text-align: center;\"><b><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">Taula de\r\n derivades</span></b></p>\r\n </td>\r\n </tr>\r\n <tr>\r\n <td width=\"216\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-left:1pt solid windowtext; border-right:1pt solid windowtext; border-top:medium none -moz-use-text-color; border-bottom:1pt solid windowtext; background:rgb(204, 204, 204) 0% 50%; width: 161.8pt; -moz-background-clip: -moz-initial; -moz-background-origin: -moz-initial; -moz-background-inline-policy: -moz-initial; padding-left:3.5pt; padding-right:3.5pt; padding-top:0cm; padding-bottom:0cm\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\r\n lang=\"ES\">f</span></i><span xml:lang=\"ES\"\r\n lang=\"ES\">(<i>x</i>)</span></p>\r\n </td>\r\n <td width=\"90\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-left:medium none -moz-use-text-color; border-right:1pt solid windowtext; border-top:medium none -moz-use-text-color; border-bottom:1pt solid windowtext; background:rgb(204, 204, 204) 0% 50%; width: 67.3pt; -moz-background-clip: -moz-initial; -moz-background-origin: -moz-initial; -moz-background-inline-policy: -moz-initial; padding-left:3.5pt; padding-right:3.5pt; padding-top:0cm; padding-bottom:0cm\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\r\n lang=\"ES\">f</span></i><span xml:lang=\"ES\"\r\n lang=\"ES\">'(<i>x</i>)<i></i></span></p>\r\n </td>\r\n <td width=\"203\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-left:medium none -moz-use-text-color; border-right:1pt solid windowtext; border-top:medium none -moz-use-text-color; border-bottom:1pt solid windowtext; background:rgb(204, 204, 204) 0% 50%; width: 152pt; -moz-background-clip: -moz-initial; -moz-background-origin: -moz-initial; -moz-background-inline-policy: -moz-initial; padding-left:3.5pt; padding-right:3.5pt; padding-top:0cm; padding-bottom:0cm\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\"\r\n lang=\"ES\">Exemples</span></p>\r\n </td>\r\n </tr>\r\n <tr>\r\n <td width=\"216\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 161.8pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\r\n lang=\"ES\">k</span></i><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"> si <i>k</i> és un\r\n nombre</span></p>\r\n </td>\r\n <td width=\"90\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 67.3pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">0</span></p>\r\n </td>\r\n <td width=\"203\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 152pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\r\n lang=\"ES\">f</span></i><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">(<i>x</i>) = 3\r\n <i>f</i>'(<i>x</i>) = 0.</span></p>\r\n </td>\r\n </tr>\r\n <tr>\r\n <td width=\"216\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 161.8pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\r\n lang=\"ES\">x</span></i></p>\r\n </td>\r\n <td width=\"90\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 67.3pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\r\n lang=\"ES\">1</span></i></p>\r\n </td>\r\n <td width=\"203\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 152pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\r\n lang=\"ES\"></span></i></p>\r\n </td>\r\n </tr>\r\n <tr>\r\n <td width=\"216\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 161.8pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\r\n lang=\"ES\">x<sup>n</sup></span></i><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"> si\r\n <i>n</i> és un nombre enter</span></p>\r\n </td>\r\n <td width=\"90\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 67.3pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\r\n lang=\"ES\">n</span></i><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">·\r\n <i>x<sup>n</sup></i><sup>-1.</sup></span></p>\r\n </td>\r\n <td width=\"203\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 152pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\r\n lang=\"ES\">f</span></i><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">(<i>x</i>) =\r\n <i>x</i><sup>3</sup> <i>f</i>'(<i>x</i>) =\r\n 3<i>x</i><sup>2.</sup></span></p>\r\n </td>\r\n </tr>\r\n <tr>\r\n <td width=\"216\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 161.8pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\r\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\r\n style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <msqrt>\r\n <mi>x</mi>\r\n </msqrt>\r\n </mrow>\r\n </math></span></p>\r\n </td>\r\n <td width=\"90\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 67.3pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\r\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\r\n style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mfrac>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mrow>\r\n <mn>2</mn>\r\n <msqrt>\r\n <mi>x</mi>\r\n </msqrt>\r\n </mrow>\r\n </mfrac>\r\n </mrow>\r\n </math></span></p>\r\n </td>\r\n <td width=\"203\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 152pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"></span></p>\r\n </td>\r\n </tr>\r\n <tr>\r\n <td width=\"216\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 161.8pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">sin\r\n <i>x</i></span></p>\r\n </td>\r\n <td width=\"90\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 67.3pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">cos\r\n <i>x</i></span></p>\r\n </td>\r\n <td width=\"203\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 152pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"></span></p>\r\n </td>\r\n </tr>\r\n <tr>\r\n <td width=\"216\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 161.8pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">cos\r\n <i>x</i></span></p>\r\n </td>\r\n <td width=\"90\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 67.3pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\r\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\r\n style=\"background-color:#\">\r\n <mo>–</mo>\r\n </math>sin <i>x</i></span></p>\r\n </td>\r\n <td width=\"203\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 152pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"></span></p>\r\n </td>\r\n </tr>\r\n <tr>\r\n <td width=\"216\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 161.8pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">tan\r\n <i>x</i></span></p>\r\n </td>\r\n <td width=\"90\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 67.3pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\r\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\r\n style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mfrac>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mrow>\r\n <msup>\r\n <mrow>\r\n <mo>cos</mo>\r\n <mo>⁡</mo>\r\n </mrow>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n </mrow>\r\n </mfrac>\r\n </mrow>\r\n </math></span></p>\r\n </td>\r\n <td width=\"203\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 152pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"></span></p>\r\n </td>\r\n </tr>\r\n <tr>\r\n <td width=\"216\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 161.8pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\r\n lang=\"ES\">a<sup>x</sup></span></i><span xml:lang=\"ES\"\r\n lang=\"ES\"></span></p>\r\n </td>\r\n <td width=\"90\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 67.3pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\r\n lang=\"ES\">a<sup>x</sup></span></i><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"> · ln\r\n <i>a.</i></span></p>\r\n </td>\r\n <td width=\"203\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 152pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\r\n lang=\"ES\">f</span></i><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">(<i>x</i>) =\r\n 3<i><sup>x</sup></i> <i>f</i>'(<i>x</i>) = 3<i><sup>x</sup></i> · ln\r\n 3</span></p>\r\n\r\n <p class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\r\n lang=\"ES\">g</span></i><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">(<i>x</i>) =\r\n <i>e<sup>x</sup></i> <i>g</i>'(<i>x</i>) =\r\n <i>e<sup>x</sup></i></span></p>\r\n </td>\r\n </tr>\r\n <tr>\r\n <td width=\"216\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 161.8pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\"\r\n lang=\"ES\">log<i><sub>a</sub></i> <i>x</i></span></p>\r\n </td>\r\n <td width=\"90\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 67.3pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\r\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\r\n style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mfrac>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mi>x</mi>\r\n </mfrac>\r\n <msub>\r\n <mrow>\r\n <mo>log</mo>\r\n <mo>⁡</mo>\r\n </mrow>\r\n <mi>a</mi>\r\n </msub>\r\n <mi>i</mi>\r\n </mrow>\r\n </math></span></p>\r\n </td>\r\n <td width=\"203\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 152pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"DE\"\r\n lang=\"DE\">f</span></i><span xml:lang=\"DE\" lang=\"DE\">(<i>x</i>) =\r\n log<sub>3</sub> <i>x</i></span></p>\r\n\r\n <p class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"DE\"\r\n lang=\"DE\"><i>f</i>'(<i>x</i>) = (1/<i>x</i>) · log<sub>3</sub>\r\n <i>i</i></span></p>\r\n\r\n <p class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\r\n lang=\"ES\">g</span></i><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">(<i>x</i>) = ln\r\n <i>x</i></span></p>\r\n\r\n <p class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\"\r\n lang=\"ES\"><i>g</i>'(<i>x</i>) = 1/<i>x</i></span></p>\r\n </td>\r\n </tr>\r\n <tr>\r\n <td width=\"216\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 161.8pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">arcsin\r\n <i>x</i></span></p>\r\n </td>\r\n <td width=\"90\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 67.3pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\r\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\r\n style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mfrac>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mrow>\r\n <msqrt>\r\n <mrow>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>−</mo>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n </mrow>\r\n </msqrt>\r\n </mrow>\r\n </mfrac>\r\n </mrow>\r\n </math></span></p>\r\n </td>\r\n <td width=\"203\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 152pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\r\n lang=\"ES\"></span></i></p>\r\n </td>\r\n </tr>\r\n <tr>\r\n <td width=\"216\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 161.8pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">arccos\r\n <i>x</i></span></p>\r\n </td>\r\n <td width=\"90\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 67.3pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\r\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\r\n style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mfrac>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mrow>\r\n <mo>−</mo>\r\n <msqrt>\r\n <mrow>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>−</mo>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n </mrow>\r\n </msqrt>\r\n </mrow>\r\n </mfrac>\r\n </mrow>\r\n </math></span><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"></span></p>\r\n </td>\r\n <td width=\"203\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 152pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\r\n lang=\"ES\"></span></i></p>\r\n </td>\r\n </tr>\r\n <tr>\r\n <td width=\"216\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 161.8pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">arctan\r\n <i>x</i></span></p>\r\n </td>\r\n <td width=\"90\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 67.3pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\r\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\r\n style=\"background-color:#\">\r\n <mrow>\r\n <mfrac>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mrow>\r\n <mn>1</mn>\r\n <mo>+</mo>\r\n <msup>\r\n <mi>x</mi>\r\n <mn>2</mn>\r\n </msup>\r\n </mrow>\r\n </mfrac>\r\n </mrow>\r\n </math></span><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"></span></p>\r\n </td>\r\n <td width=\"203\" valign=\"top\"\r\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 152pt;\"><p\r\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\r\n lang=\"ES\"></span></i></p>\r\n </td>\r\n </tr>\r\n </tbody>\r\n</table>\r\n\r\n\r\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquests vídeos (també tens la versió pdf):</p>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\r\n\t<tr>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ANA5Derivacio6.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA5Derivacio6.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\">\r\n <embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA5Derivacio6.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td> </td>\r\n\t</tr>\r\n</table>\r\n\r\n<br /><br /> <br /><br />\r\n </div>\r\n \r\n </div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <div id=\"capsa_inferior\">\r\n <iframe src=\"../iframes/2_5_6.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n</div>\r\n\r\n</form>\r\n</body>\r\n</html> ", | |
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En concret:</p>\r\n<ul>\r\n\t<li>Una funció és <b>creixent</b> en un punt si la seva derivada en aquest punt \r\n\tés positiva.</li>\r\n<li>Una funció és <b>decreixent</b> en un punt si la seva derivada en aquest punt és \r\nnegativa.</li>\r\n</ul>\r\n<p>És fàcil deduir que, si el pendent de la recta tangent és positiva, en \r\naquest punt la funció creix, com pot observar-se en <input type=\"button\" value=\"aquesta\" onClick=\"document.applets['ap2'].openFile('derivadaCrecimiento.ggb');\"> \r\ngràfica: en el punt <math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mi>x</mi><mo>=</mo><mn>7</mn>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n la funció té per derivada <math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <msup>\r\n <mi>f</mi>\r\n <mo>′</mo>\r\n </msup>\r\n <mo stretchy='false'>(</mo><mn>7</mn><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mn>10</mn>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n\r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n, positiva, \r\ni és creixent en aquest punt. En canvi, en el punt \r\n<input type=\"button\" value=\"x = -2\" onClick=\"document.ap2.setRepaintingActive(false);document.ap2.evalCommand('A = (-2,f(-2))');document.ap2.setRepaintingActive(true);\" >, \r\nel valor de la derivada és <math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mi>f</mi><mo>'</mo><mo stretchy='false'>(</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>8</mn>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n i, evidentment, la funció és \r\ndecreixent en aquest punt. Si mous la <math>\r\n <semantics>\r\n <mi>x</mi>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n\r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n (punt en vermell), observaràs que \r\nsempre es compleix aquesta relació entre signe de la derivada i creixement de la \r\nfunció.</p>\r\n\r\n<p><applet name=\"ap2\" code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\r\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"350\">\r\n<param name=\"filename\" value=\"titolOtrasDerivadas.ggb\" >\r\n</applet>\r\n\r\n<p>En la gràfica, a més, existeix un punt, concretament <input type=\"button\" value=\"x = 2\" onClick=\"document.ap2.setRepaintingActive(false);document.ap2.evalCommand('A = (2,f(2))');document.ap2.setRepaintingActive(true);\" >, \r\nen el qual la derivada és 0; per tant, ni positiva ni negativa. Dit d'una altra manera, el pendent de la recta tangent és 0, després la recta tangent és \r\nhoritzontal. En aquest punt, doncs, la funció no és ni creixent ni decreixent. \r\nHabitualment aquest fet és un indici que es tracta d'un extrem, en aquest cas \r\nun mínim de la funció. A més, veiem com el punt <input type=\"button\" value=\"divideix\" onClick=\"document.applets['ap2'].setVisible('h', true);\"> \r\nla funció en dues parts: quan <math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mi>x</mi><mo><</mo><mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n, la funció és decreixent (la derivada \r\nnegativa); quan <math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mi>x</mi><mo>></mo><mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n, la funció és creixent (la derivada positiva). Es pot \r\nconcloure que les arrels o zeros de la funció derivada separen les zones \r\nde creixement de la funció; en el cas que ens ocupa, l'única arrel de la \r\nderivada (<math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mi>x</mi><mo>=</mo><mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n) separa la zona en què la funció és decreixent (<math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mi>x</mi><mo><</mo><mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n), de la \r\nzona en què la funció és creixent (<math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mi>x</mi><mo>></mo><mn>2</mn>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n). Pots practicar tot el que s'ha dit amb <input type=\"button\" value=\"aquesta\" onClick=\"document.applets['ap2'].openFile('derivadaCrecimiento2.ggb');\"> \r\naltra funció, la derivada de la qual té dos zeros (<input type=\"button\" value=\"x = -1\" onClick=\"document.ap2.setRepaintingActive(false);document.ap2.evalCommand('A = (-1,f(-1))');document.ap2.setRepaintingActive(true);document.applets['ap2'].setVisible('i', true);\" > \r\ni <input type=\"button\" value=\"x = 3\" onClick=\"document.ap2.setRepaintingActive(false);document.ap2.evalCommand('A = (3,f(3))');document.ap2.setRepaintingActive(true);document.applets['ap2'].setVisible('j', true);\" >, \r\nun corresponent a un màxim, i l'altre a un mínim), i, també, amb \r\ntotes les gràfiques de les funcions estudiades fins al moment.</p>\r\n\r\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquests vídeos (també tens la versió pdf):</p>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\r\n\t<tr>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ANA5Derivacio7.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA5Derivacio7.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\">\r\n <embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA5Derivacio7.1/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ANA5Derivacio7.2.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA5Derivacio7.2/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\">\r\n <embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA5Derivacio7.2/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" pluginspage=\"http://www.macromedia.com/go/getflashplayer\"></object></p></td>\r\n\t\t<td> </td>\r\n\t</tr>\r\n</table>\r\n\r\n<br /><br /> <br /><br />\r\n </div>\r\n \r\n </div>\r\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n\r\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\r\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\r\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\r\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \r\n </div>\r\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <div id=\"capsa_inferior\">\r\n <iframe src=\"../iframes/2_5_7.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n</div>\r\n\r\n</form>\r\n</body>\r\n</html> ", | |
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En <input type=\"button\" value=\"aquest\" onClick=\"document.applets['ap1'].openFile('derivadaConcavidad.ggb');\"> \ngràfic pot comprovar-se que la derivada de la funció <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n s'anul·la en <input type=\"button\" value=\"x = 2\" onClick=\"document.ap1.setRepaintingActive(false);document.ap1.evalCommand('A = (2,f(2))');document.ap1.setRepaintingActive(true);\" >, \nperò la funció no té un extrem en aquest punt, ja que sempre és creixent \n(de fet, la derivada sempre és positiva, excepte en <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>x</mi><mo>=</mo><mn>2</mn>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n). Per tant, \nencara que en la majoria dels casos és cert, no sempre un zero de la derivada \nens donarà un extrem de la funció. També pot assenyalar un <b>punt d'inflexió</b>, com en aquesta gràfica.</p>\n\n<p><applet name=\"ap1\" code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"350\">\n<param name=\"filename\" value=\"titolOtrasDerivadas.ggb\" >\n</applet>\n\n\n<p>Un punt d'inflexió es caracteritza pel fet que la tangent a la \nfunció en aquest punt no només toca la funció, sinó que la parteix en dues, tal \ncom podem observar en el punt <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>x</mi><mo>=</mo><mn>2</mn>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n. Dit de manera més tècnica, en \nel punt d'inflexió, la funció canvia la seva <b>concavitat</b> (passa de còncava a \nconvexa, o de convexa a còncava):\n\n<ul>\n\t<li>Una funció és <b>còncava</b> en un punt quan la funció cau per sobre de la \n\ttangent en aquest punt. En l'exemple, pot comprovar-se que la \n\tfunció en <input type=\"button\" value=\"x = 4\" onClick=\"document.ap1.setRepaintingActive(false);document.ap1.evalCommand('A = (4,f(4))');document.ap1.setRepaintingActive(true);\" > \n\tés còncava.</li>\n\t<li>Una funció és <b>convexa</b> en un punt quan la funció cau per sota \n\tde la tangent en aquest punt. En l'exemple, pot comprovar-se que la \n\tfunció en <input type=\"button\" value=\"x = 0\" onClick=\"document.ap1.setRepaintingActive(false);document.ap1.evalCommand('A = (0,f(0))');document.ap1.setRepaintingActive(true);\" > \n\tés convexa.</li>\n\t</ul>\n\n\n<p>I com hem dit, en <input type=\"button\" value=\"x = 2\" onClick=\"document.ap1.setRepaintingActive(false);document.ap1.evalCommand('A = (2,f(2))');document.ap1.setRepaintingActive(true);\" >, \nla funció canvia la seva concavitat (en aquest cas, passa de convexa a còncava).</p>\n<p>En qualsevol cas, la condició requerida perquè una funció tingui un punt \nd'inflexió és que la seva segona derivada en aquest punt sigui 0. Comprovem-ho en \nla gràfica anterior: <input type=\"button\" value=\"aquesta\" onClick=\"document.applets['ap1'].setVisible('m', true);document.applets['ap1'].setVisible('T5', true);\"> \nés la segona derivada, i és evident que en <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>x</mi><mo>=</mo><mn>2</mn>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>f</mi>\n <mo>″</mo>\n </msup>\n <mo stretchy='false'>(</mo><mn>2</mn><mo stretchy='false'>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n. </p>\n<p>En qualsevol cas, no és necessari que la primera derivada també sigui 0 perquè \nla funció tingui un punt d'inflexió. En <input type=\"button\" value=\"aquest\" onClick=\"document.applets['ap2'].openFile('derivadaConcavidad2.ggb');\"> \ngràfic pot observar-se que existeix un punt d'inflexió en <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>x</mi><mo>=</mo><mn>1</mn>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n, però la derivada \n<input type=\"button\" value=\"primera\" onClick=\"document.applets['ap2'].setVisible('g', true);document.applets['ap2'].setVisible('T4', true);\"> \nen aquest punt no és zero, mentre que la derivada <input type=\"button\" value=\"segona\" onClick=\"document.applets['ap2'].setVisible('m', true);document.applets['ap2'].setVisible('T5', true);\"> \nsí que ho és. </p>\n\n\n<p><applet name=\"ap2\" code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"350\">\n<param name=\"filename\" value=\"titolOtrasDerivadas.ggb\" >\n</applet>\n\n<p>Així, doncs, podem resumir les característiques més importants de les \nfuncions que poden desvetllar-se a través de les seves derivades:<ul>\n\t<li>Si la segona derivada és en un punt diferent de 0, si la primera \n\tderivada en aquest punt és zero, la funció té en aquest punt un:<ul>\n\t\t<li>mínim, si la segona derivada en el punt és positiva.</li>\n\t\t<li>màxim, si la segona derivada en el punt és negativa.</li>\n\t</ul>\n\t</li>\n\t<li>Si la derivada tercera és diferent de 0 en un punt, i la segona \n\tderivada en aquest punt és 0, la funció té un punt d'inflexió.</li>\n\t</ul>\n\t<p>Ara bé, quan la derivada següent de la que és zero també és \n\tzero en el mateix punt, han de mirar-se les derivades successives (la tercera i \n\tla quarta, en el primer cas, i la quarta i la cinquena, en el segon cas, i \n\taixí successivament).</p>\n\n\n<br /><br /> <br /><br />\n </div>\n \n </div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <div id=\"capsa_inferior\">\n <iframe src=\"../iframes/2_5_8.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\n </div>\n\n </div>\n</div>\n\n</form>\n</body>\n</html> ", | |
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| "sourceCode": "<?xml version=\"1.0\" encoding=\"iso-8859-1\"?>\n<!DOCTYPE html PUBLIC \"-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0 plus SVG 1.1//EN\"\n\"http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd\">\n<html xmlns=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\">\n<head>\n<title>Concepte d'integral</title>\n<link href=\"../css/estils.css\" type=\"text/css\" rel=\"stylesheet\"></link>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/matematiques.css\"></link>\n<!--[if gte IE 5.5]><![if lt IE 7]>\n<link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"../css/ie.css\"></link>\n<![endif]><![endif]-->\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/loadingxml.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/uocViewer.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/params.js\"></script>\n<script language=\"JavaScript1.2\" src=\"../js/highligth_function.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script> \n<script language=\"javascript\"><!-- \n\tif (document.location.href.substring(0,4) == \"http\"){\n\t\tvar script = document.createElement('script'); \n\t\tscript.type = 'text/javascript'; \n\t\tscript.src = 'http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js'; \n\t\tdocument.getElementsByTagName('head')[0].appendChild(script);\n\t}\n//--></script>\n<script language=\"javascript\"><!-- \n\tif (document.location.href.substring(0,4) == \"http\"){\n\t\tvar script = document.createElement('script'); \n\t\tscript.type = 'text/javascript'; \n\t\tscript.src = 'http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js'; \n\t\tdocument.getElementsByTagName('head')[0].appendChild(script);\n\t\t \n\t}\n//--></script>\n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\n</head>\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\n<div id=\"contenidor\">\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\n <div id=\"area_pagina\">\n\n<!-- CAPA DEL MENU -->\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\n\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\n <div id=\"searchDiv\">\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\n </div>\n\n </div>\n\n <div id=\"barra_superior\">\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> Concepte d'integral</div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n </div>\n\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \n\t\t\tTorna a cercar</a>\n </div>\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"2|6|1\" />\n\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\n <div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n </div>\n \n <div>\n\n<p>El procés d'integració d'una funció, <i>f</i>(<i>x</i>), és el procés invers al de\nderivació; és a dir, una <b>integral</b> d'aquesta funció és una altra funció,\n<i>F</i>(<i>x</i>), denominada <b>primitiva</b>, que compleixi que <i>F</i>´(<i>x</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>). La\nprimera característica evident d'aquest procés és que la primitiva d'una\nfunció no és única, ja que si <i>F</i>(<i>x</i>) és una primitiva de <i>f</i>(<i>x</i>), també ho és\n<i>G</i>(<i>x</i>) = <i>F</i>(<i>x</i>) + <i>c</i>, si <i>c</i> és un nombre, ja que la seva derivada és <i>G</i>´(<i>x</i>) = <i>F</i>´(<i>x</i>).\nAixí, doncs, en general en expressar el resultat de la integració, sempre se\nli afegeix una <i>c</i>, és a dir, una constant. Així, doncs, la primitiva, per\nexemple, de <i>x</i>, és <math>\n <mrow>\n <mfrac>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n \n </mrow>\n <mn>2</mn>\n </mfrac>\n <mo>+</mo><mi>c</mi>\n </mrow>\n</math>\n, cosa que s'expressa de la següent\nmanera:</p>\n\n<blockquote>\n<math displaystyle='true'>\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mi>x</mi><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n \n </mrow>\n <mn>2</mn>\n </mfrac>\n \n </mrow>\n <mo>+</mo><mi>c</mi>\n </mrow>\n</math>\n</blockquote>\n\n<p class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">Les propietats\nbàsiques de la integració són les següents:</span></p>\n<ul>\n <li><p class=\"TextBasedelllibre\"\n style=\"margin: 0cm 0cm 6pt; text-indent: 0cm;\"><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\">La integral de la suma de funcions és igual a la suma de la\n integral de les funcions. <br />\n <math xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mrow>\n <mo>(</mo>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n <mo>+</mo>\n <mi>g</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n </mrow>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n <mo>=</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n <mo>+</mo>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mi>g</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n </mrow>\n </math><span style=\"color: red;\"></span></span></p>\n </li>\n <li><p class=\"TextBasedelllibre\"\n style=\"margin: 0cm 0cm 6pt; text-indent: 0cm;\"><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\" style=\"font-family: Symbol;\"><span\n style=\"font-family: "Times New Roman"; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; font-size: 7pt; line-height: normal; font-size-adjust: none; font-stretch: normal;\"></span></span><span\n xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">La integral del producte d'un nombre per una\n funció és igual al producte del nombre per la integral de la funció. <br\n />\n <math xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mi>k</mi>\n <mo>·</mo>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n <mo>=</mo>\n <mi>k</mi>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n </mrow>\n </math><span style=\"color: red;\"></span></span></p>\n </li>\n</ul>\n\n<p class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">Per\nexemple:</span></p>\n\n<p class=\"TextBasedelllibre\" style=\"text-indent: 35.4pt;\"><span xml:lang=\"ES\"\nlang=\"ES\"><math xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\nstyle=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mrow>\n <mo>(</mo>\n <mrow>\n <mn>3</mn>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>+</mo>\n <mn>5</mn>\n </mrow>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n <mo>=</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mn>3</mn>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n <mo>+</mo>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mn>5</mn>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n <mo>=</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n <mn>3</mn>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n <mo>+</mo>\n <mn>5</mn>\n <mi>x</mi>\n <mo>=</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>3</mn>\n </msup>\n <mo>+</mo>\n <mn>5</mn>\n <mi>x</mi>\n <mo>+</mo>\n <mi>c</mi>\n </mrow>\n</math></span></p>\n\n<p class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">A més, de manera\nevident pot deduir-se que:</span></p>\n<ul>\n <li><p class=\"TextBasedelllibre\"\n style=\"margin-left: 0cm; text-indent: 0cm;\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"\n style=\"font-family: Symbol;\"><span\n style=\"font-family: "Times New Roman"; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; font-size: 7pt; line-height: normal; font-size-adjust: none; font-stretch: normal;\"></span></span><span\n xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">si <math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mi>g</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n <mo>=</mo>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n </mrow>\n </math> llavors <i>g</i>´(<i>x</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>)</span></p>\n </li>\n <li><p class=\"TextBasedelllibre\"\n style=\"margin-left: 0cm; text-indent: 0cm;\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"\n style=\"font-family: Symbol;\"></span><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">La\n regla de la cadena (és a dir, (<i>f</i>o<i>g</i>)' = (<i>f</i>'o<i>g</i>)\n · <i>g</i>') ens permet escriure que:</span></p>\n <p class=\"TextBasedelllibre\" style=\"margin-left: 35.4pt;\"><span\n xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>f</mi>\n <mo>'</mo>\n <mi>o</mi>\n <mi>g</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n <mi>g</mi>\n <mo>'</mo>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n <mo>=</mo>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>f</mi>\n <mi>o</mi>\n <mi>g</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n </mrow>\n </math></span></p>\n </li>\n</ul>\n\n\n<br /><br /> <br /><br />\n </div>\n \n </div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <div id=\"capsa_inferior\">\n <iframe src=\"../iframes/2_6_1.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\n </div>\n\n </div>\n</div>\n\n</form>\n</body>\n</html> ", | |
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width: 390.5pt; margin-left: 36pt; border-collapse: collapse;\">\n <tbody>\n <tr style=\"page-break-inside: avoid;\">\n <td width=\"521\" valign=\"top\" colspan=\"3\"\n style=\"border: 1pt solid windowtext; padding: 0cm 3.5pt; background: rgb(204, 204, 204) none repeat scroll 0% 50%; width: 390.5pt; -moz-background-clip: -moz-initial; -moz-background-origin: -moz-initial; -moz-background-inline-policy: -moz-initial;\"><p\n align=\"center\" class=\"TextBasedelllibre\"\n style=\"text-align: center;\"><b><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">Taula de\n las integrals immediates</span></b></p>\n </td>\n </tr>\n <tr>\n <td width=\"132\" valign=\"top\"\n style=\"border-left:1pt solid windowtext; border-right:1pt solid windowtext; border-top:medium none -moz-use-text-color; border-bottom:1pt solid windowtext; background:rgb(204, 204, 204) 0% 50%; width: 99.25pt; -moz-background-clip: -moz-initial; -moz-background-origin: -moz-initial; -moz-background-inline-policy: -moz-initial; padding-left:3.5pt; padding-right:3.5pt; padding-top:0cm; padding-bottom:0cm\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\">f</span></i><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\">(<i>x</i>)</span></p>\n </td>\n <td width=\"132\" valign=\"top\"\n style=\"border-left:medium none -moz-use-text-color; border-right:1pt solid windowtext; border-top:medium none -moz-use-text-color; border-bottom:1pt solid windowtext; background:rgb(204, 204, 204) 0% 50%; width: 99.25pt; -moz-background-clip: -moz-initial; -moz-background-origin: -moz-initial; -moz-background-inline-policy: -moz-initial; padding-left:3.5pt; padding-right:3.5pt; padding-top:0cm; padding-bottom:0cm\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n </mrow>\n </math></span></p>\n </td>\n <td width=\"256\" valign=\"top\"\n style=\"border-left:medium none -moz-use-text-color; border-right:1pt solid windowtext; border-top:medium none -moz-use-text-color; border-bottom:1pt solid windowtext; background:rgb(204, 204, 204) 0% 50%; width: 192pt; -moz-background-clip: -moz-initial; -moz-background-origin: -moz-initial; -moz-background-inline-policy: -moz-initial; padding-left:3.5pt; padding-right:3.5pt; padding-top:0cm; padding-bottom:0cm\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\">Exemples</span></p>\n </td>\n </tr>\n <tr>\n <td width=\"132\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 99.25pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\">k</span></i><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"> si <i>k</i>\n és un nombre</span></p>\n </td>\n <td width=\"132\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 99.25pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\">kx</span></i><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">+\n <i>c</i></span></p>\n </td>\n <td width=\"256\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 192pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\">f</span></i><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">(<i>x</i>) = 3\n <math xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n </mrow>\n </math> = 3<i>x</i> + <i>c</i></span></p>\n </td>\n </tr>\n <tr>\n <td width=\"132\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 99.25pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\">x</span></i></p>\n </td>\n <td width=\"132\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 99.25pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\">x</span></i><sup><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\">2</span></sup><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">/2 +\n <i>c</i></span></p>\n </td>\n <td width=\"256\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 192pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\"></span></i></p>\n </td>\n </tr>\n <tr>\n <td width=\"132\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 99.25pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\">x<sup>n</sup></span></i><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"> si\n <i>n</i> és un nombre enter diferent de <math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mo>–</mo>\n </math>1</span></p>\n </td>\n <td width=\"132\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 99.25pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\"><i>x<sup>n+</sup></i><sup>1</sup>/(<i>n</i> + 1) +\n <i>c</i></span></p>\n </td>\n <td width=\"256\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 192pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\">f</span></i><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">(<i>x</i>) =\n <i>x</i><sup>3</sup> <math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n </mrow>\n </math> = <i>x</i><sup>4</sup>/4 + <i>c</i></span></p>\n </td>\n </tr>\n <tr>\n <td width=\"132\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 99.25pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\">1/<i>x</i></span></p>\n </td>\n <td width=\"132\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 99.25pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">ln |<i>x</i>| +\n <i>c</i></span></p>\n </td>\n <td width=\"256\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 192pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"></span></p>\n </td>\n </tr>\n <tr>\n <td width=\"132\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 99.25pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <msqrt>\n <mi>x</mi>\n </msqrt>\n </mrow>\n </math></span></p>\n </td>\n <td width=\"132\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 99.25pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mfrac>\n <mn>2</mn>\n <mn>3</mn>\n </mfrac>\n <msup>\n <mrow>\n <mrow>\n <mo>(</mo>\n <mrow>\n <msqrt>\n <mi>x</mi>\n </msqrt>\n </mrow>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n <mn>3</mn>\n </msup>\n </mrow>\n </math> + <i>c</i></span></p>\n </td>\n <td width=\"256\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 192pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"></span></p>\n </td>\n </tr>\n <tr>\n <td width=\"132\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 99.25pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">cos\n <i>x</i></span></p>\n </td>\n <td width=\"132\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 99.25pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">sin <i>x +\n c</i></span></p>\n </td>\n <td width=\"256\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 192pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"></span></p>\n </td>\n </tr>\n <tr>\n <td width=\"132\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 99.25pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">sin\n <i>x</i></span></p>\n </td>\n <td width=\"132\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 99.25pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mo>–</mo>\n </math>cos <i>x + c</i></span></p>\n </td>\n <td width=\"256\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 192pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"></span></p>\n </td>\n </tr>\n <tr>\n <td width=\"132\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 99.25pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">tan\n <i>x</i></span></p>\n </td>\n <td width=\"132\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 99.25pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mo>–</mo>\n </math>ln(cos<i>x</i>) + <i>c</i></span></p>\n </td>\n <td width=\"256\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 192pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"></span></p>\n </td>\n </tr>\n <tr>\n <td width=\"132\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 99.25pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mfrac>\n <mn>1</mn>\n <mrow>\n <msqrt>\n <mrow>\n <mn>1</mn>\n <mo>−</mo>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n </mrow>\n </msqrt>\n </mrow>\n </mfrac>\n </mrow>\n </math></span><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"></span></p>\n </td>\n <td width=\"132\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 99.25pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">arcsin\n <i>x</i> + <i>c</i></span></p>\n </td>\n <td width=\"256\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 192pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\"></span></i></p>\n </td>\n </tr>\n <tr>\n <td width=\"132\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 99.25pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mfrac>\n <mrow>\n <mo>−</mo>\n <mn>1</mn>\n </mrow>\n <mrow>\n <msqrt>\n <mrow>\n <mn>1</mn>\n <mo>−</mo>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n </mrow>\n </msqrt>\n </mrow>\n </mfrac>\n </mrow>\n </math></span></i><i><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"></span></i></p>\n </td>\n <td width=\"132\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 99.25pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">arccos\n <i>x</i> + <i>c</i></span></p>\n </td>\n <td width=\"256\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 192pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\"></span></i></p>\n </td>\n </tr>\n <tr>\n <td width=\"132\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 99.25pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mfrac>\n <mn>1</mn>\n <mrow>\n <mn>1</mn>\n <mo>+</mo>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n </mrow>\n </mfrac>\n </mrow>\n </math></span><i><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"></span></i></p>\n </td>\n <td width=\"132\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 99.25pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">arctan\n <i>x</i> + <i>c</i></span></p>\n </td>\n <td width=\"256\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 192pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\"></span></i></p>\n </td>\n </tr>\n <tr>\n <td width=\"132\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 99.25pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\">a<sup>x</sup></span></i><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\"></span></p>\n </td>\n <td width=\"132\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 99.25pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\">a<i><sup>x</sup></i>/ln <i>a</i></span></p>\n </td>\n <td width=\"256\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 192pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\">f</span></i><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">(<i>x</i>) =\n 3<i><sup>x</sup></i> <math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n </mrow>\n </math> = 3<i><sup>x</sup></i>/ln 3 + <i>c</i></span></p>\n\n <p class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\">g</span></i><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">(<i>x</i>) =\n <i>e<sup>x</sup></i> <math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mi>g</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n </mrow>\n </math> = <i>e<sup>x</sup></i> + <i>c</i></span></p>\n </td>\n </tr>\n <tr>\n <td width=\"132\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 99.25pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\">log<i><sub>a</sub></i> <i>x</i></span></p>\n </td>\n <td width=\"132\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 99.25pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mfrac>\n <mrow>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mo>ln</mo>\n <mo>⁡</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>−</mo>\n <mn>1</mn>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n </mrow>\n <mrow>\n <mo>ln</mo>\n <mo>⁡</mo>\n <mi>a</mi>\n </mrow>\n </mfrac>\n <mo>+</mo>\n <mi>c</mi>\n </mrow>\n </math></span></p>\n </td>\n <td width=\"256\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 192pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"DE\"\n lang=\"DE\">f</span></i><span xml:lang=\"DE\" lang=\"DE\">(<i>x</i>) =\n log<sub>3</sub> <i>x</i></span><i><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\"><math xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n </mrow>\n </math></span></i><span xml:lang=\"DE\" lang=\"DE\">=</span><span\n xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mfrac>\n <mrow>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mo>ln</mo>\n <mo>⁡</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>−</mo>\n <mn>1</mn>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n </mrow>\n <mrow>\n <mo>ln</mo>\n <mo>⁡</mo>\n <mn>3</mn>\n </mrow>\n </mfrac>\n <mo>+</mo>\n <mi>c</mi>\n </mrow>\n </math></span><span xml:lang=\"DE\" lang=\"DE\"></span></p>\n\n <p class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"DE\"\n lang=\"DE\">g</span></i><span xml:lang=\"DE\" lang=\"DE\">(<i>x</i>) = ln\n <i>x</i></span><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mi>g</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n </mrow>\n </math></span><span xml:lang=\"DE\" lang=\"DE\">= <i>x</i>·<i></i>(ln\n <i>x</i> <math xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mo>–</mo>\n </math> 1) + <i>c</i></span></p>\n </td>\n </tr>\n </tbody>\n</table>\n\n<p class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">A més, la\npropietat que es dedueix de la regla de la cadena permet trobar d'altres\nprimitives de manera senzilla:</span></p>\n\n<p>\n<table width=\"477\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"0\" border=\"1\"\nstyle=\"border: medium none ; width: 358pt; border-collapse: collapse; margin-left: 4.8pt; margin-right: 4.8pt;\">\n <tbody>\n <tr>\n <td width=\"477\" valign=\"top\" colspan=\"2\"\n style=\"border: 1pt solid windowtext; padding: 0cm 3.5pt; background: rgb(204, 204, 204) none repeat scroll 0% 50%; width: 358pt; -moz-background-clip: -moz-initial; -moz-background-origin: -moz-initial; -moz-background-inline-policy: -moz-initial;\"><p\n align=\"center\" class=\"TextBasedelllibre\"\n style=\"text-align: center;\"><b><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\">Generalització de la taula d'integrals\n immediates</span></b></p>\n </td>\n </tr>\n <tr>\n <td width=\"240\" valign=\"top\"\n style=\"border-left:1pt solid windowtext; border-right:1pt solid windowtext; border-top:medium none -moz-use-text-color; border-bottom:1pt solid windowtext; background:rgb(204, 204, 204) 0% 50%; width: 180pt; -moz-background-clip: -moz-initial; -moz-background-origin: -moz-initial; -moz-background-inline-policy: -moz-initial; padding-left:3.5pt; padding-right:3.5pt; padding-top:0cm; padding-bottom:0cm\"><p\n align=\"center\" class=\"TextBasedelllibre\"\n style=\"text-align: center;\"><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\">Integral</span></p>\n </td>\n <td width=\"237\" valign=\"top\"\n style=\"border-left:medium none -moz-use-text-color; border-right:1pt solid windowtext; border-top:medium none -moz-use-text-color; border-bottom:1pt solid windowtext; background:rgb(204, 204, 204) 0% 50%; width: 178pt; -moz-background-clip: -moz-initial; -moz-background-origin: -moz-initial; -moz-background-inline-policy: -moz-initial; padding-left:3.5pt; padding-right:3.5pt; padding-top:0cm; padding-bottom:0cm\"><p\n align=\"center\" class=\"TextBasedelllibre\"\n style=\"text-align: center;\"><span xml:lang=\"ES\"\n lang=\"ES\">Exemple</span></p>\n </td>\n </tr>\n <tr>\n <td width=\"240\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 180pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><p><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\">si n\n ≠ 1</span></p>\n <math displaystyle='true'>\n <mrow>\n <msup>\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mrow><mo>[</mo> <mrow>\n <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n </mrow> <mo>]</mo></mrow>\n </mrow>\n \n </mrow>\n <mi>n</mi>\n </msup>\n <mo>·</mo><mi>f</mi><mo>'</mo><mrow><mo>(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>)</mo></mrow>\n <mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac>\n <mrow>\n <msup>\n <mrow>\n <mrow><mo>[</mo> <mrow>\n <mi>f</mi><mrow><mo>(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>)</mo></mrow>\n \n </mrow> <mo>]</mo></mrow>\n </mrow>\n <mrow>\n <mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn>\n </mrow>\n </msup>\n \n </mrow>\n <mrow>\n <mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn>\n </mrow>\n </mfrac>\n <mo>+</mo><mi>c</mi>\n </mrow>\n</math><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"></span></p>\n </td>\n <td width=\"237\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 178pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <msup>\n <mrow>\n <mrow>\n <mo>[</mo>\n <mo>sin</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>]</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n <mn>4</mn>\n </msup>\n <mo>·</mo>\n <mo>cos</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>⁡</mo>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n <mo>=</mo>\n <mfrac>\n <mrow>\n <msup>\n <mrow>\n <mrow>\n <mo>[</mo>\n <mrow>\n <mo>sin</mo>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n <mo>]</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n <mn>5</mn>\n </msup>\n </mrow>\n <mn>5</mn>\n </mfrac>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n <mo>+</mo>\n <mi>c</mi>\n </mrow>\n </math></span></p>\n </td>\n </tr>\n <tr>\n <td width=\"240\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 180pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mfrac>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo>'</mo>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n </mrow>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n </mrow>\n </mfrac>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n <mo>=</mo>\n <mo>ln</mo>\n <mo>⁡</mo>\n <mrow>\n <mo>(</mo>\n <mo>|</mo>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n </mrow>\n <mo>|</mo>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n <mo>+</mo>\n <mi>c</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n </mrow>\n </math></span></p>\n </td>\n <td width=\"237\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 178pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><i><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mfrac>\n <mrow>\n <mn>2</mn>\n <mi>x</mi>\n <mo>−</mo>\n <mn>3</mn>\n </mrow>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>−</mo>\n <mn>3</mn>\n <mi>x</mi>\n <mo>+</mo>\n <mn>13</mn>\n </mrow>\n </mfrac>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n <mo>=</mo>\n <mo>ln</mo>\n <mo>⁡</mo>\n <mrow>\n <mo>(</mo>\n <mo>|</mo>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>−</mo>\n <mn>3</mn>\n <mi>x</mi>\n <mo>+</mo>\n <mn>13</mn>\n </mrow>\n <mo>|</mo>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n <mo>+</mo>\n <mi>c</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n </mrow>\n </math></span></i></p>\n </td>\n </tr>\n <tr>\n <td width=\"240\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 180pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>e</mi>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n </mrow>\n </msup>\n <mo>·</mo>\n <mi>f</mi>\n <mo>'</mo>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n <mo>=</mo>\n <msup>\n <mi>e</mi>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n </mrow>\n </msup>\n <mo>+</mo>\n <mi>c</mi>\n </mrow>\n </math></span></p>\n </td>\n <td width=\"237\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 178pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>e</mi>\n <mrow>\n <mn>4</mn>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>+</mo>\n <mn>3</mn>\n <mi>x</mi>\n <mo>−</mo>\n <mn>2</mn>\n </mrow>\n </msup>\n <mo>·</mo>\n <mrow>\n <mo>(</mo>\n <mrow>\n <mn>8</mn>\n <mi>x</mi>\n <mo>+</mo>\n <mn>3</mn>\n </mrow>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n <mo>=</mo>\n <msup>\n <mi>e</mi>\n <mrow>\n <mn>4</mn>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>+</mo>\n <mn>3</mn>\n <mi>x</mi>\n <mo>−</mo>\n <mn>2</mn>\n </mrow>\n </msup>\n <mo>+</mo>\n <mi>c</mi>\n </mrow>\n </math></span></p>\n </td>\n </tr>\n <tr>\n <td width=\"240\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 180pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>a</mi>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n </mrow>\n </msup>\n <mo>·</mo>\n <mi>f</mi>\n <mo>'</mo>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n <mo>=</mo>\n <mfrac>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>a</mi>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n </mrow>\n </msup>\n </mrow>\n <mrow>\n <mo>ln</mo>\n <mo>⁡</mo>\n <mi>a</mi>\n </mrow>\n </mfrac>\n <mo>+</mo>\n <mi>c</mi>\n </mrow>\n </math></span></p>\n </td>\n <td width=\"237\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 178pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <msup>\n <mn>5</mn>\n <mrow>\n <mn>4</mn>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>+</mo>\n <mn>3</mn>\n <mi>x</mi>\n <mo>−</mo>\n <mn>2</mn>\n </mrow>\n </msup>\n <mo>·</mo>\n <mrow>\n <mo>(</mo>\n <mrow>\n <mn>8</mn>\n <mi>x</mi>\n <mo>+</mo>\n <mn>3</mn>\n </mrow>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n <mo>=</mo>\n <mfrac>\n <mrow>\n <msup>\n <mn>5</mn>\n <mrow>\n <mn>4</mn>\n <msup>\n <mi>x</mi>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n <mo>+</mo>\n <mn>3</mn>\n <mi>x</mi>\n <mo>−</mo>\n <mn>2</mn>\n </mrow>\n </msup>\n </mrow>\n <mrow>\n <mo>ln</mo>\n <mo>⁡</mo>\n <mn>5</mn>\n </mrow>\n </mfrac>\n <mo>+</mo>\n <mi>c</mi>\n </mrow>\n </math></span></p>\n </td>\n </tr>\n <tr>\n <td width=\"240\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 180pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo>'</mo>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n <mo>·</mo>\n <mrow>\n <mrow>\n <mo>sin</mo>\n <mo>(</mo>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n </mrow>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n <mo>=</mo>\n <mo>−</mo>\n <mo>cos</mo>\n <mo>⁡</mo>\n <mrow>\n <mo>(</mo>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n </mrow>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n <mo>+</mo>\n <mi>c</mi>\n </mrow>\n </math></span></p>\n </td>\n <td width=\"237\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 178pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mo>cos</mo>\n <mo>⁡</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo>·</mo>\n <mrow>\n <mo>sin</mo>\n <mo>(</mo>\n <mo>sin</mo>\n <mrow>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n <mo>=</mo>\n <mo>−</mo>\n <mo>cos</mo>\n <mo>⁡</mo>\n <mrow>\n <mo>(</mo>\n <mrow>\n <mo>sin</mo>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n <mo>+</mo>\n <mi>c</mi>\n </mrow>\n </math></span></p>\n </td>\n </tr>\n <tr>\n <td width=\"240\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 180pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo>'</mo>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n <mo>·</mo>\n <mo>cos</mo>\n <mo>⁡</mo>\n <mrow>\n <mo>(</mo>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n </mrow>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n <mo>=</mo>\n <mo>sin</mo>\n <mrow>\n <mo>(</mo>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n </mrow>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n <mo>+</mo>\n <mi>c</mi>\n </mrow>\n </math></span></p>\n </td>\n <td width=\"237\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 178pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mn>6</mn>\n <mo>·</mo>\n <mo>cos</mo>\n <mo>⁡</mo>\n <mrow>\n <mo>(</mo>\n <mrow>\n <mn>6</mn>\n <mi>x</mi>\n <mo>−</mo>\n <mn>2</mn>\n </mrow>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n <mo>=</mo>\n <mo>sin</mo>\n <mrow>\n <mo>(</mo>\n <mrow>\n <mn>6</mn>\n <mi>x</mi>\n <mo>−</mo>\n <mn>2</mn>\n </mrow>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n <mo>+</mo>\n <mi>c</mi>\n </mrow>\n </math></span></p>\n </td>\n </tr>\n <tr>\n <td width=\"240\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 180pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mfrac>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo>'</mo>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n </mrow>\n <mrow>\n <mn>1</mn>\n <mo>+</mo>\n <msup>\n <mrow>\n <mrow>\n <mo>(</mo>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n </mrow>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n </mrow>\n </mfrac>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n <mo>=</mo>\n <mi>arctan</mi>\n <mo>⁡</mo>\n <mrow>\n <mo>(</mo>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n </mrow>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n <mo>+</mo>\n <mi>c</mi>\n </mrow>\n </math></span></p>\n </td>\n <td width=\"237\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 178pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mfrac>\n <mrow>\n <mn>1</mn>\n <mo>/</mo>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n <mrow>\n <mn>1</mn>\n <mo>+</mo>\n <msup>\n <mrow>\n <mrow>\n <mo>(</mo>\n <mrow>\n <mo>ln</mo>\n <mo>⁡</mo>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n </mrow>\n </mfrac>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n <mo>=</mo>\n <mi>arctan</mi>\n <mo>⁡</mo>\n <mrow>\n <mo>(</mo>\n <mrow>\n <mo>ln</mo>\n <mo>⁡</mo>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n <mo>+</mo>\n <mi>c</mi>\n </mrow>\n </math></span></p>\n </td>\n </tr>\n <tr>\n <td width=\"240\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext; border-width: medium 1pt 1pt; padding: 0cm 3.5pt; width: 180pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mfrac>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo>'</mo>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n </mrow>\n <mrow>\n <msqrt>\n <mrow>\n <mn>1</mn>\n <mo>−</mo>\n <msup>\n <mrow>\n <mrow>\n <mo>(</mo>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n </mrow>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n </mrow>\n </msqrt>\n </mrow>\n </mfrac>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n <mo>=</mo>\n <mo>arcsin</mo>\n <mrow>\n <mo>(</mo>\n <mrow>\n <mi>f</mi>\n <mo stretchy=\"false\">(</mo>\n <mi>x</mi>\n <mo stretchy=\"false\">)</mo>\n </mrow>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n <mo>+</mo>\n <mi>c</mi>\n </mrow>\n </math></span></p>\n </td>\n <td width=\"237\" valign=\"top\"\n style=\"border-style: none solid solid none; border-color: -moz-use-text-color windowtext windowtext -moz-use-text-color; border-width: medium 1pt 1pt medium; padding: 0cm 3.5pt; width: 178pt;\"><p\n class=\"TextBasedelllibre\"><span xml:lang=\"ES\" lang=\"ES\"><math\n xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"\n style=\"background-color:#\">\n <mrow>\n <mstyle displaystyle=\"true\">\n <mrow>\n <mo>∫</mo>\n <mrow>\n <mfrac>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>e</mi>\n <mi>x</mi>\n </msup>\n </mrow>\n <mrow>\n <msqrt>\n <mrow>\n <mn>1</mn>\n <mo>−</mo>\n <msup>\n <mrow>\n <mrow>\n <mo>(</mo>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>e</mi>\n <mi>x</mi>\n </msup>\n </mrow>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n <mn>2</mn>\n </msup>\n </mrow>\n </msqrt>\n </mrow>\n </mfrac>\n <mi>d</mi>\n <mi>x</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n </mstyle>\n <mo>=</mo>\n <mo>arcsin</mo>\n <mrow>\n <mo>(</mo>\n <mrow>\n <msup>\n <mi>e</mi>\n <mi>x</mi>\n </msup>\n </mrow>\n <mo>)</mo>\n </mrow>\n <mo>+</mo>\n <mi>c</mi>\n </mrow>\n </math></span></p>\n </td>\n </tr>\n </tbody>\n</table>\n</p>\n\n\n<br /><br /> <br /><br />\n </div>\n \n </div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_material_complementari\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div class=\"text\" id=\"capa_guia_estudi\">\n <div align=\"right\" id=\"barra_superior_opcions\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_guia_estudi','','hide','capa_material_complementari','','hide');\">\n\t\t\t\t<img src=\"../img/tanca.gif\" alt=\"tanca\" width=\"10\" height=\"10\" border=\"0\" /></a> </div> \n </div>\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <div id=\"capsa_inferior\">\n <iframe src=\"../iframes/2_6_2.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\n </div>\n\n </div>\n</div>\n\n</form>\n</body>\n</html> ", | |
| "ocurrenceTitle": "Taula de primitives" | |
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Les regles de derivació permeten derivar totes les funcions \r\nessencials i les compostes a partir d'aquestes; en canvi, existeixen \r\nfuncions d'expressió senzilla de les quals desconeixem una expressió de la \r\nprimitiva. Per exemple, desconeixem l'expressió de la primitiva de</p>\r\n<blockquote>\r\n\t<p><math>\r\n\t <semantics>\r\n\t <mrow>\r\n\t <mrow><mo>∫</mo>\r\n\t <mrow>\r\n\t <mfrac>\r\n\t <mrow>\r\n\t <mtext>sin</mtext><mi>x</mi>\r\n\t </mrow>\r\n\t <mi>x</mi>\r\n\t </mfrac>\r\n\r\n\t </mrow>\r\n\t </mrow>\r\n\t <mi>d</mi><mi>x</mi>\r\n\t </mrow>\r\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n\r\n\t </annotation>\r\n\t </semantics>\r\n\t</math>\r\n\t</p>\r\n</blockquote>\r\n<p>En tot cas, existeixen dos mètodes que permeten trobar la primitiva de certes \r\nfuncions, i que tenen el seu origen en la derivada d'una composició i d'un \r\nproducte, respectivament:</p>\r\n<ul>\r\n\t<li>Mètode de substitució<p>És el nom que rep el mètode que té \r\n\tel seu origen en la regla de la cadena per a derivades. Es pot expressar de la \r\n\tsegüent manera:</p>\r\n\t<p><math>\r\n\t <semantics>\r\n\t <mrow>\r\n\t <mrow><mo>∫</mo>\r\n\t <msup>\r\n\t <mi>F</mi>\r\n\t <mo>′</mo>\r\n\t </msup>\r\n\r\n\t </mrow>\r\n\t <mo stretchy='false'>(</mo><mi>g</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>t</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo stretchy='false'>)</mo><msup>\r\n\t <mi>g</mi>\r\n\t <mo>′</mo>\r\n\t </msup>\r\n\t <mo stretchy='false'>(</mo><mi>t</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mrow><mo>∫</mo>\r\n\t <mi>F</mi>\r\n\t </mrow>\r\n\t <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mi>d</mi><mi>x</mi>\r\n\t </mrow>\r\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n\r\n\t </annotation>\r\n\t </semantics>\r\n\t</math>\r\n\t amb la substitució 3; <math>\r\n\t <semantics>\r\n\t <mrow>\r\n\t <mi>x</mi><mo>=</mo><mi>g</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>t</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\r\n\t </mrow>\r\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n\r\n\t </annotation>\r\n\t </semantics>\r\n\t</math>\r\n\t.</li>\r\n<li>Mètode d'integració per parts<p>Es tracta de substituir una integral que \r\nresulta difícil de resoldre, per una altra d'equivalent, de la següent manera:</p>\r\n<p><math>\r\n <semantics>\r\n <mrow>\r\n <mrow><mo>∫</mo>\r\n <mi>f</mi>\r\n </mrow>\r\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><msup>\r\n <mi>g</mi>\r\n <mo>′</mo>\r\n </msup>\r\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mtext><mo>·</mo></mtext><mi>g</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>-</mo><mrow><mo>∫</mo>\r\n <msup>\r\n <mi>f</mi>\r\n <mo>′</mo>\r\n </msup>\r\n \r\n </mrow>\r\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mtext><mo>·</mo></mtext><mi>g</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mi>d</mi><mi>x</mi>\r\n </mrow>\r\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\r\n \r\n </annotation>\r\n </semantics>\r\n</math>\r\n</p>\r\n<p>Fórmula que s'extreu de la derivació d'un producte.</li>\r\n</ul>\r\n\r\n\r\n<p>Per acabar aquesta secció mira aquests vídeos (també tens la versió pdf):</p>\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n<table border=\"0\" width=\"100%\">\r\n\t<tr>\r\n\t\t<td><p><a href=\"../pdf/ANA6Integracio3.1.pdf\">versió pdf</a></p><p>\r\n <object classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" 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classid=\"clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000\" codebase=\"http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,0,0\" width=\"228\" height=\"316\" id=\"PencastPlayer\" align=\"middle\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowScriptAccess\" value=\"sameDomain\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"allowFullScreen\" value=\"true\">\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"quality\" value=\"high\"><param name=\"bgcolor\" value=\"#eeeeee\">\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t<param name=\"movie\" value=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA6Integracio3.4/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\">\r\n <embed src=\"pencastPlayer.swf?path=../videos/ANA6Integracio3.4/0000C0A8011500003A9A322D0000013953B56EAFB147CC45.xml\" quality=\"high\" bgcolor=\"#eeeeee\" width=\"228\" height=\"316\" name=\"PencastPlayer\" align=\"middle\" allowscriptaccess=\"sameDomain\" allowfullscreen=\"true\" type=\"application/x-shockwave-flash\" 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</div> \r\n </div>\r\n <!-- FINAL DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\r\n <div id=\"capsa_inferior\">\r\n <iframe src=\"../iframes/2_6_3.html\" frameborder=\"0\" scrolling=\"no\" id=\"iframeactivitate\" style=\"background-image: url(../img/basenews2.gif);background-repeat: repeat;\" />\r\n </div>\r\n\r\n </div>\r\n</div>\r\n\r\n</form>\r\n</body>\r\n</html> ", | |
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\n\t\tscript.type = 'text/javascript'; \n\t\tscript.src = 'http://cimanet.uoc.edu/verbalize/UOC-calculus.ca.js'; \n\t\tdocument.getElementsByTagName('head')[0].appendChild(script);\n\t}\n//--></script>\n<script language=\"javascript\"><!-- \n\tif (document.location.href.substring(0,4) == \"http\"){\n\t\tvar script = document.createElement('script'); \n\t\tscript.type = 'text/javascript'; \n\t\tscript.src = 'http://cimanet.uoc.edu/verbalize/verbalize.js'; \n\t\tdocument.getElementsByTagName('head')[0].appendChild(script);\n\t\t \n\t}\n//--></script>\n<META NAME=\"Generator\" CONTENT=\"TextPad 4.6\" />\n<META NAME=\"Author\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Keywords\" CONTENT=\"?\" />\n<META NAME=\"Description\" CONTENT=\"?\" />\n\n<script type=\"text/javascript\" src=\"../especial/MathMLinHTMLforFirefoxAndIE.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"/verbalize/UOC-calculus.ca.js\"></script>\n<script type=\"text/javascript\" src=\"/verbalize/verbalize.js\"></script>\n</head>\n<body onload=\"loadXML();if(getValue('searchStr')!= '') { highlightSearchTerms(getValue('searchStr')); document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'block';} else { document.getElementById('contingut_pagina_altras').style.display = 'none'; };setFooter();\">\n<form onsubmit=\"search(this)\" method=\"get\" id=\"searchForm\" name=\"searchForm\" action=\"search.html\">\n<div id=\"contenidor\">\n <div id=\"capsalera\" class=\"texteblanc\"></div>\n <div id=\"area_pagina\">\n\n<!-- CAPA DEL MENU -->\n <div class=\"opciomenu\" id=\"menuesquerre\">\n\n<!-- CAPA DEL BUSCADOR -->\n <div id=\"searchDiv\">\n <input id=\"searchStr\" name=\"searchStr\" size=\"13\" type=\"text\"/>\n <input type=\"button\" id=\"searchInput\" name=\"search\" value=\"Cerca\" OnClick=\"window.location.href='../search/search.html?searchStr='+document.searchForm.searchStr.value+''\" />\n </div>\n\n </div>\n\n <div id=\"barra_superior\">\n <div class=\"titol\" id=\"barra_superior_titol\"> Integral definida</div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_material\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_material_complementari','show','capa_guia_estudi','capa_material_complementari','hide')\">material complementari<img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"material complementari\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n <div class=\"opciomenu\" id=\"barra_superior_opcions_guia\"><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\">guia d'estudi</a><a href=\"JavaScript:MM_showHideLayers('capa_material_complementari','capa_guia_estudi','hide','capa_guia_estudi','capa_guia_estudi','show')\"><img src=\"../img/desplegable.gif\" alt=\"guia d'estudi\" width=\"24\" height=\"8\" border=\"0\" /></a>\n </div>\n </div>\n\n <div class=\"text\" id=\"contingut_pagina_altras\">\n <a href=\"JavaScript:window.location.href='../search/search.html?searchStr='+getValue('searchStr');\"> \n\t\t\tTorna a cercar</a>\n </div>\n <input type=\"hidden\" name=\"page\" value=\"2|6|4\" />\n\n <div class=\"text\" id=\"caixa_texte\">\n <div>\n <!-- PRINCIPIO DE LAS CAPAS DE MATERIALS Y DE GUIA DE ESTUDI No cambiar nada -->\n <!-- CAPA DE MATERIALS -->\n <div id=\"capa_material_complementari\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n\n <!-- CAPA DE GUIA D ESTUDI -->\n <div id=\"capa_guia_estudi\" style=\"display:none\" class=\"textecapa\">\n </div>\n </div>\n \n <div>\n\n<p>La integral definida d'una funció, \t\t\t\t<math>\n\t\t\t\t <semantics>\n\t\t\t\t <mrow>\n\t\t\t\t <mi>f</mi><mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n\t\t\t\t </mrow>\n\t\t\t\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t\t\t\t </annotation>\n\t\t\t\t </semantics>\n\t\t\t\t</math>\n, entre dos punts, \t\t\t\t<math>\n\t\t\t\t <semantics>\n\t\t\t\t <mi>a</mi>\n\t\t\t\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t\t\t\t </annotation>\n\t\t\t\t </semantics>\n\t\t\t\t</math> \n i  <math>\n\t\t\t\t <semantics>\n\t\t\t\t <mi>b</mi>\n\t\t\t\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t\t\t\t </annotation>\n\t\t\t\t </semantics>\n\t\t\t\t</math>\n, és \nl'àrea (tenint en compte el signe, és a dir, si la funció és negativa, l'àrea \nserà negativa) que es tanca entre la funció, aquests dos punts i l'eix \n<i>X</i>, i s'expressa així: <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mrow>\n <msubsup>\n <mo>∫</mo>\n <mi>a</mi>\n <mi>b</mi>\n </msubsup>\n <mi>f</mi>\n </mrow>\n <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mi>d</mi><mi>x</mi>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n.</p>\n\n<p><applet code=\"geogebra.GeoGebraApplet\" codebase=\"./\"\narchive=\"../especial/geogebra.jar\" width=\"650\" height=\"350\">\n<param name=\"filename\" value=\"Integral.ggb\" >\n</applet>\n\n<p>Per a calcular aquesta integral es pot aproximar aquesta àrea per dos valors, \nun de superior i l'altre inferior. Podem dividir l'interval <math>\n\t <semantics>\n\t <mrow>\n\t <mo stretchy='false'>[</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>]</mo>\n\t </mrow>\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t </annotation>\n\t </semantics>\n\t</math> \n en <math>\n\t <semantics>\n\t <mi>n</mi>\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t </annotation>\n\t </semantics>\n\t</math> \n \nvalors equidistants, <math>\n\t <semantics>\n\t <mrow>\n\t <msub>\n\t <mi>x</mi>\n\t <mn>1</mn>\n\t </msub>\n\t <mo>=</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><msub>\n\t <mi>x</mi>\n\t <mn>2</mn>\n\t </msub>\n\t <mn>...</mn><msub>\n\t <mi>x</mi>\n\t <mi>n</mi>\n\t </msub>\n\t <mo>=</mo><mi>b</mi>\n\t </mrow>\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t </annotation>\n\t </semantics>\n\t</math>\n, i calcular en cada petit \ninterval, <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mo stretchy='false'>[</mo><mi>x</mi><mi>i</mi><mo>,</mo><msub>\n <mi>x</mi>\n <mrow>\n <mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn>\n </mrow>\n </msub>\n <mo stretchy='false'>]</mo>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n, el màxim i el mínim de la funció, que \ndenominarem <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <msub>\n <mi>M</mi>\n <mi>i</mi>\n </msub>\n\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n </annotation>\n </semantics>\n</math> \n i <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <msub>\n <mi>m</mi>\n <mi>i</mi>\n </msub>\n\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n, llavors podrem assegurar que la integral definida \nentre <math>\n <semantics>\n <mi>a</mi>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math> \n i  <math>\n <semantics>\n <mi>b</mi>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n </annotation>\n </semantics>\n</math> \n és un valor entre entre aquestes dues sumes, la primera denominada \nsuma inferior, i la segona suma superior:<blockquote>\n\t<p><math>\n\t <semantics>\n\t <mrow>\n\t <munderover>\n\t <mo>∑</mo>\n\t <mrow>\n\t <mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn>\n\t </mrow>\n\t <mrow>\n\t <mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn>\n\t </mrow>\n\t </munderover>\n\t <mrow>\n\t <msub>\n\t <mi>m</mi>\n\t <mi>i</mi>\n\t </msub>\n\n\t </mrow>\n\t <mo stretchy='false'>(</mo><msub>\n\t <mi>x</mi>\n\t <mrow>\n\t <mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn>\n\t </mrow>\n\t </msub>\n\t <mo>-</mo><mi>x</mi><mi>i</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mo>≤</mo><mrow><munderover>\n\t <mo>∫</mo>\n\t <mi>a</mi>\n\t <mi>b</mi>\n\t </munderover>\n\t <mi>f</mi>\n\t </mrow>\n\t <mo stretchy='false'>(</mo><mi>x</mi><mo stretchy='false'>)</mo><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>≤</mo><munderover>\n\t <mo>∑</mo>\n\t <mrow>\n\t <mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn>\n\t </mrow>\n\t <mrow>\n\t <mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn>\n\t </mrow>\n\t </munderover>\n\t <mrow>\n\t <msub>\n\t <mi>M</mi>\n\t <mi>i</mi>\n\t </msub>\n\n\t </mrow>\n\t <mo stretchy='false'>(</mo><msub>\n\t <mi>x</mi>\n\t <mrow>\n\t <mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn>\n\t </mrow>\n\t </msub>\n\t <mo>-</mo><mi>x</mi><mi>i</mi><mo stretchy='false'>)</mo>\n\t </mrow>\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t </annotation>\n\t</semantics>\n\t</math>\n\t</blockquote>\n<p>Gràficament és molt senzill de comprovar: en el cas més senzill, <math>\n\t <semantics>\n\t <mrow>\n\t <mi>n</mi><mo>=</mo><mn>2</mn>\n\t </mrow>\n\t <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n\t </annotation>\n\t </semantics>\n\t</math>\n, la suma \ninferior resulta de multiplicar el mínim de la funció en tot l'interval \nper la diferència <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>b</mi><mo>-</mo><mi>a</mi>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math>\n, el resultat de la qual és l'àrea d'<input type=\"button\" value=\"aquest\" onClick=\"document.applets['ap1'].setVisible('e', false);document.applets['ap1'].setVisible('d', true);document.ap1.evalCommand('n = 1');document.ap1.setRepaintingActive(true);\" >\nrectangle, que sens dubte és inferior (podria ser igual) al valor de la integral \ndefinida. Quan <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mi>n</mi><mo>=</mo><mn>3</mn>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math> \n l'interval <math>\n <semantics>\n <mrow>\n <mo stretchy='false'>[</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo stretchy='false'>]</mo>\n </mrow>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n\n </annotation>\n </semantics>\n</math> \n es divideix en dos intervals més \npetits, i la suma inferior corresponent és igual a la suma d'<input type=\"button\" value=\"aquests dos\" onClick=\"document.ap1.setRepaintingActive(false);document.ap1.evalCommand('n = 2');document.ap1.setRepaintingActive(true);\" > \nrectangles. Si augmentem el valor de <math>\n <semantics>\n <mi>n</mi>\n <annotation encoding='MathType-MTEF'>\n \n </annotation>\n </semantics>\n</math> \n (<input type=\"button\" value=\"n = 4\" onClick=\"document.ap1.setRepaintingActive(false);document.ap1.evalCommand('n = 3');document.ap1.setRepaintingActive(true);\" >, <input type=\"button\" value=\"n=5\" onClick=\"document.ap1.setRepaintingActive(false);document.ap1.evalCommand('n = 4');document.ap1.setRepaintingActive(true);\" >, <input type=\"button\" value=\"n=10\" onClick=\"document.ap1.setRepaintingActive(false);document.ap1.evalCommand('n = 9');document.ap1.setRepaintingActive(true);\" > \ni <input type=\"button\" value=\"n = 50\" onClick=\"document.ap1.setRepaintingActive(false);document.ap1.evalCommand('n = 49 |
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