Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия [1]:. Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице [1]. Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего либо второй коэффициент, либо свободный член , равен нулю. Уже во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения [1]. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:. Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены. Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному Брахмагупте около г. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным. Изложенный метод универсален, однако он далеко не единственный. К решению одного уравнения можно подойти различными способами, предпочтения обычно зависят от самого решающего. Кроме того, часто для этого некоторый из способов оказывается значительно более элегантным, простым, менее трудоёмким, чем стандартный. К решению неполных квадратных уравнений следует подходить по-особому. Рассмотрим три возможных ситуации. Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще. Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня в том числе, два совпадающих:. Используем геометрическую модель корней квадратного уравнения: Это означает, что отрезок всякой перпендикулярной к ней прямой, отсекаемый на ней параболой, делится осью симметрии пополам. Сказанное, в частности, верно и для оси абсцисс. Таким образом, для всякой параболы справедливо одно из следующих равенств: Во втором случае,совершив аналогичные преобразования, придём к тому же результату, ч. При любых значениях коэффициентов уравнение имеет хотя бы один корень: Пользуясь данным выше определением корня квадратного уравнения, обнаруживаем путём подстановки, что число 1 является таковым в рассматриваемом случае: Далее, по теореме Виета находим второй корень: Отметим, что квадратный трёхчлен не всегда раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами: Применительно к приведённому квадратному уравнению с введёнными ранее обозначениями, это означает следующее:. Этот факт не просто совпадение: Прямая теорема Виета см. Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:. Он заключается в следующем:. Если мы попробуем разделить обе его части на 8, то получим приведённое уравнение с дробными коэффициентами, поэтому применить к нему теорему будет трудно. Однако, воспользовавшись методом переброски, мы сумеем получить приведённое с целыми коэффициентами:. Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями корнями квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке в вершине параболы , уравнение имеет один вещественный корень также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня. Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня см. Помимо универсального способа, описанного выше, существует так называемый графический способ. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой. Этот метод имеет границу применимости: Описанные выше методы графического решения имеют существенные недостатки: Указанные проблемы не присущи предлагаемому ниже методу, предполагающему относительно более точные построения циркулем и линейкой. Рассматриваемый способ предполагает построение окружности, пересекающей ось ординат в точках точке , абсциссы которых являются корнями или корнем решаемого уравнения. Как нужно строить такую окружность? Предположим, что она уже построена. Окружность определяется однозначно заданием трёх своих точек. Найдём координаты центра такой окружности. Преобразовывая это выражение, получаем величину отрезка OD, которой и определяется искомая ордината точки D: Пускай S - центр окружности, имеющей с осью абсцисс две общие точки. Найдём координаты середин названных отрезков. Следовательно, абсцисса точки S равна этому числу. В случае же, если уравнение имеет один корень, то ось x является касательной по отношению к окружности,поэтому, согласно её свойству, её радиус перпендикулярен оси, следовательно, и в этом случае указанное число - абсцисса центра. Её ординату найдём так: Итак, нами найдены необходимые для построения данные. Причём, если длина радиуса больше длины перпендикуляра к оси Ox, то уравнение имеет два корня предположив обратное, мы бы получили противоречие с доказанным выше , если длины равны, то один по той же причине , если же длина радиуса меньше длины перпендикуляра, то окружность не имеет общих точек с осью x, следовательно, и действительных корней у уравнения нет доказывается тоже от противного: В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле 1 и указанным выше её вариантам, но различимыми являются только два случая: В этом случае формула для корней 1 упрощается до. Ну, а под корнем, приятель, Сводится всё к пустяку: А под корнем очень кстати Половина p в квадрате Минус q — и вот решенья, То есть корни уравненья. Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Виета. Подставим эти соотношения в квадратный трёхчлен:. В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности. Тогда, переписав это разложение, получим:. Такое уравнение называется биквадратным [3] [1]. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка. Уравнения такого типа часто встречаются в самых разнообразных задачах математики и физики, например, в теории колебаний или теории цепей переменного тока. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия [1]: Формулу можно получить следующим образом: Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня в том числе, два совпадающих: Однако, воспользовавшись методом переброски, мы сумеем получить приведённое с целыми коэффициентами: Очевидно, что его корнями будут числа -4 и 2. Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники , подтверждающие написанное. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Алгебраические уравнения Элементарная математика Элементарная алгебра. Статьи со ссылками на Викиучебник Википедия: Ссылка на Викиучебник непосредственно в статье Википедия: Статьи без ссылок на источники Википедия: Статьи без источников объекты менее указанного лимита: Стилистически некорректные статьи Википедия: Статьи к доработке по математике. Навигация Персональные инструменты Вы не представились системе Обсуждение Вклад Создать учётную запись Войти. Пространства имён Статья Обсуждение. Просмотры Читать Править Править вики-текст История. В других проектах Викисклад. Эта страница последний раз была отредактирована 20 марта в Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Свяжитесь с нами Политика конфиденциальности Описание Википедии Отказ от ответственности Разработчики Соглашение о cookie Мобильная версия. Квадратное уравнение в Викиучебнике. Квадратное уравнение на Викискладе.
Охрана вахтовым методом в москве
Таблица имен существительных 2 класс
Шляпка из бумаги своими руками
Как приватизировать землю двухквартирного дома
Самая короткая война в истории человечества
Решение квадратных уравнений, формула корней, примеры
Основные понятия и законы теории электрических цепей
Лагман история происхождения
Клевые статусы про любовь
Просмотр удаленной истории браузера
Способы похудения имбирем
Мы уже познакомились с линейными уравнениями и переходим к знакомству с квадратными уравнениями. Сначала мы разберем, что такое квадратное уравнение, как оно записывается в общем виде, и дадим связанные определения. После этого на примерах подробно разберем, как решаются неполные квадратные уравнения. Дальше перейдем к решению полных уравнений, получим формулу корней, познакомимся с дискриминантом квадратного уравнения и рассмотрим решения характерных примеров. Наконец, проследим связи между корнями и коэффициентами. Для начала надо отчетливо понимать, что такое квадратное уравнение. Поэтому разговор о квадратных уравнениях логично начать с определения квадратного уравнения, а также связанных с ним определений. После этого можно рассмотреть основные виды квадратных уравнений: Сразу скажем, что квадратные уравнения часто называют уравнениями второй степени. Это связано с тем, что квадратное уравнение является алгебраическим уравнением второй степени. Озвученное определение позволяет привести примеры квадратных уравнений. В зависимости от значения старшего коэффициента различают приведенные и неприведенные квадратные уравнения. Квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен 1 , называют приведенным квадратным уравнением. В противном случае квадратное уравнение является неприведенным. От любого неприведенного квадратного уравнения с помощью деления его обеих частей на старший коэффициент можно перейти к приведенному. Это действие является равносильным преобразованием , то есть, полученное таким способом приведенное квадратное уравнение имеет те же корни, что и исходное неприведенное квадратное уравнение, или, так же как оно, не имеет корней. Разберем на примере, как выполняется переход от неприведенного квадратного уравнения к приведенному. Нам достаточно выполнить деление обеих частей исходного уравнения на старший коэффициент 3 , он отличен от нуля, поэтому мы можем выполнить это действие. Так мы получили приведенное квадратное уравнение, равносильное исходному. Что касается коэффициентов b и c , то они могут быть равны нулю, причем как по отдельности, так и вместе. В этих случаях квадратное уравнение называют неполным. Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля. Полученные уравнения отличаются от полного квадратного уравнения тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с переменной x, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения. Из информации предыдущего пункта следует, что существует три вида неполных квадратных уравнений: Краткое решение в этом случае можно оформить следующим образом: Мы знаем, что перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также деление обеих частей уравнения на отличное от нуля число дают равносильное уравнение. Полученное уравнение позволяет сделать выводы о его корнях. Отдельно разберем случаи и. Если , то уравнение не имеет корней. Это утверждение следует из того, что квадрат любого числа есть число неотрицательное. Из этого вытекает, что когда , то ни для какого числа p равенство не может быть верным. Если , то дело с корнями уравнения обстоит иначе. В этом случае, если вспомнить о квадратном корне , то сразу становится очевиден корень уравнения , им является число , так как. Несложно догадаться, что и число тоже является корнем уравнения , действительно,. Других корней это уравнение не имеет, что можно показать, например, методом от противного. Известно, что подстановка в уравнение вместо x его корней обращает уравнение в верное числовое равенство. Мы знаем, что произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Этим доказано, что уравнение не имеет других корней, кроме и. Обобщим информацию этого пункта. Разделив обе части полученного уравнения на 9 , придем к. Переносим девятку в правую часть: В правой части находится положительное число, откуда заключаем, что или. После извлечения корня записываем окончательный ответ: Очевидно, мы можем разложить на множители многочлен , находящийся в левой части уравнения, для чего достаточно вынести за скобки общий множитель x. Выносим x за скобки, это дает уравнение. Решаем полученное линейное уравнение: После получения необходимой практики, решения подобных уравнений можно записывать кратко: Для решения квадратных уравнений существуют формула корней. Запишем формулу корней квадратного уравнения: Запись по сути означает, что. Полезно знать, как была получена формула корней, и как она применяется при нахождении корней квадратных уравнений. Выполним некоторые равносильные преобразования:. Аналогичные по форме уравнения мы уже решали в предыдущих пунктах, когда разбирали решение неполных квадратных уравнений. Это позволяет сделать следующие выводы, касающиеся корней уравнения:. Таким образом, наличие или отсутствие корней уравнения , а значит и исходного квадратного уравнения, зависит от знака выражения , стоящего в правой части. Отсюда понятна суть дискриминанта — по его значению и знаку делают вывод, имеет ли квадратное уравнение действительные корни, и если имеет, то каково их количество - один или два. Возвращаемся к уравнению , перепишем его с использованием обозначения дискриминанта: С их помощью при положительном дискриминанте можно вычислить оба действительных корня квадратного уравнения. При равном нулю дискриминанте обе формулы дают одно и то же значение корня, соответствующее единственному решению квадратного уравнения. А при отрицательном дискриминанте при попытке воспользоваться формулой корней квадратного уравнения мы сталкиваемся с извлечением квадратного корня из отрицательного числа, что выводит нас за рамки действительных чисел и школьной программы. При отрицательном дискриминанте квадратное уравнение не имеет действительных корней, но имеет пару комплексно сопряженных корней, которые можно найти по тем же полученным нами формулам корней. На практике при решении квадратных уравнения можно сразу использовать формулу корней, с помощью которой вычислить их значения. Но это больше относиться к нахождению комплексных корней. Однако в школьном курсе алгебры обычно речь идет не о комплексных, а о действительных корнях квадратного уравнения. В этом случае целесообразно перед использованием формул корней квадратного уравнения предварительно найти дискриминант, убедиться, что он неотрицательный в противном случае можно делать вывод, что уравнение не имеет действительных корней , и уже после этого вычислять значения корней. Приведенные рассуждения позволяют записать алгоритм решения квадратного уравнения. Здесь лишь заметим, что при равном нулю дискриминанте можно использовать и формулу , она даст то же значение, что и. Рассмотрим решения трех квадратных уравнений с положительным, отрицательным и равным нулю дискриминантом. Разобравшись с их решением, по аналогии можно будет решить любое другое квадратное уравнение. В этом случае имеем следующие коэффициенты квадратного уравнения: Найдем их по формуле корней , получаем , здесь можно упростить полученные выражения, выполнив вынесение множителя за знак корня с последующим сокращением дроби: Начинаем с нахождения дискриминанта: Следовательно, это квадратное уравнение имеет единственный корень, который находим как , то есть,. Здесь такие коэффициенты квадратного уравнения: Дискриминант отрицательный, следовательно, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Если же потребуется указать комплексные корни, то применяем известную формулу корней квадратного уравнения , и выполняем действия с комплексными числами: Еще раз отметим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицательный, то в школе обычно сразу записывают ответ, в котором указывают, что действительных корней нет, и не находят комплексные корни. Найдем его корни с использованием известной нам формулы. Другими словами, D 1 — это четвертая часть дискриминанта. Понятно, что знак D 1 такой же, как знак D. То есть, знак D 1 также является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения. Так как его значение положительно, то уравнение имеет два действительных корня. Найдем их, используя соответствующую формулу корней: Заметим, что можно было использовать обычную формулу корней квадратного уравнения, но в этом случае пришлось бы выполнить больший объем вычислительной работы. Порой, прежде чем пускаться в вычисление корней квадратного уравнения по формулам, не помешает задаться вопросом: Обычно упрощение вида квадратного уравнения достигается путем умножения или деления его обеих частей на некоторое число. Подобное преобразование проводят с квадратными уравнениями, коэффициенты которого не являются взаимно простыми числами. При этом обычно делят обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов. Найдем НОД абсолютных величин его коэффициентов: А умножение обеих частей квадратного уравнения обычно производится для избавления от дробных коэффициентов. При этом умножение проводят на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты. Отталкиваясь от формулы корней, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами. Наиболее известны и применимы формулы из теоремы Виета вида и. В частности, для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Используя уже записанные формулы можно получить и ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. К примеру, можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты: Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www. Что такое квадратное уравнение? Определение и примеры квадратных уравнений. Приведенные и неприведенные квадратные уравнения. Полные и неполные квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Дискриминант, формула корней квадратного уравнения. Вывод формулы корней квадратного уравнения. Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней. Примеры решения квадратных уравнений. Формула корней для четных вторых коэффициентов. Упрощение вида квадратных уравнений. Связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.