Метод конечных элементов
/ МКЭ (Метод Конечных Элементов)
Метод конечных элементов. решение плоской задачи
Основные определения метода конечных элементов. Но диапазон его применения чрезвычайно широк: Метод конечных элементов впервые был применен в инженерной практике в начале х гг. Первоначально он развивался по двум независимым один от другого направлениям — инженерному и математическому. На раннем этапе формулировки МКЭ основывались на принципах строительной механики, что ограничивало сферу его применения. И только когда были сформулированы основы метода в вариационной форме, стало возможным распространение его на многие другие задачи. Быстрое развитие МКЭ шло параллельно с прогрессом современной компьютерной техники и ее применением в различных областях науки и инженерной практики. Значительный вклад в разработку МКЭ был сделан Дж. Им впервые дана общая матричная формулировка расчета стержневых систем на базе фундаментальных энергетических принципов, определена матрица податливости, а также введено понятие матрицы жесткости как обратной матрице податливости. Аргириса и его сотрудников, опубликованные в период — гг. Для развития МКЭ особое значение имели вариационные принципы механики и математические методы, основанные на этих принципах. Дискретизацию задачи на основе вариационного метода Ритца впервые в г. Лишь в е гг. Топп, решая плоскую задачу теории упругости, ввели элемент треугольного вида, для которого сформировали матрицу жесткости и вектор узловых сил. В период — гг. Чанга, в которой изложены основы метода и области его применения. К семидесятым годам относится появление математической теории конечных элементов. Здесь можно выделить труды И. Значительный вклад в разработку теоретических основ МКЭ внесли и российские ученые. Корнеев указал на совпадение математической сущности МКЭ и ВРМ. Сопоставление МКЭ с рядом вариационных методов приведено в трудах Л. Сахарова разработана моментная схема конечных элементов. Период последних десятилетий особенно характерен для развития и применения МКЭ в таких областях механики сплошных сред, как оптимальное проектирование, учет нелинейного поведения, динамика конструкций и т. Вместе с тем МКЭ допускает ясную геометрическую, конструктивную и физическую интерпретацию. Суть метода заключается в том, что область одно- , двух- или трехмерная , занимаемая конструкцией, разбивается на некоторое число малых, но конечных по размерам подобластей рис. В зависимости от типа конструкции и характера ее деформации КЭ могут иметь различную форму. МКЭ — это вариационный метод. По области каждого элемента, независимо от других, задается свой закон распределения искомых функций. С их помощью искомые непрерывные величины перемещения, напряжения и т. При такой кусочно-непрерывной аппроксимации обеспечивается условие совместности лишь в узлах, а в остальных точках по границам КЭ это условие удовлетворяется в общем случае приближенно в связи с этим различают КЭ разной степени совместности. Наибольшее распространение получил метод конечных элементов в перемещениях, имеющий много общего с методом Ритца и вариационно-разностным методом в дальнейшем мы будем в основном рассматривать именно этот вариант МКЭ. Различие между традиционной схемой метода Ритца и МКЭ в форме метода перемещений заключается в выборе системы аппроксимирующих функций. Если в методе Ритца аппроксимация перемещений производится по всей области их определения, то в МКЭ — по каждому конечному элементу в отдельности, что позволяет использовать аппроксимирующие функции более простого вида. Число узлов и число перемещений в узле степень свободы узла , принятые для конечного элемента, могут быть различными, однако не должны быть меньше минимально необходимых для описания напряженно-деформированного состояния КЭ в рамках принятой физической модели. Поскольку основными неизвестными МКЭ в форме метода перемещений считаются узловые перемещения, степень свободы КЭ и всей конструкции в целом является чрезвычайно важным понятием в МКЭ. Следует отметить, что простым увеличением числа конечных элементов не всегда удается достичь повышения точности расчетов. Вопросы устойчивости и сходимости решения, а также оценки точности полученных результатов являются основными при использовании МКЭ. По сравнению с другими численными методами МКЭ в лучшей степени алгоритмизирован и более гибок при описании геометрии и граничных условий рассчитываемой области. Кроме того, к достоинствам метода следует отнести его физическую наглядность и универсальность. Применительно к стержневым системам МКЭ в форме метода перемещений может рассматриваться как матричная форма классического метода перемещений, отличающаяся только более глубокой формализацией алгоритма и ориентацией его на использование ЭВМ. Метод конечных элементов позволяет практически полностью автоматизировать расчет стержневых систем, хотя, как правило, требует выполнения значительно большего числа вычислительных операций по сравнению с классическими методами строительной механики. Однако, в современных условиях большой объем вычислений не является серьезной проблемой, и, в связи с этим, при внедрении ЭВМ в инженерную практику МКЭ получил широчайшее распространение. Поэтому, знание основ метода конечных элементов и современных программных средств, позволяющих на его основе решать разнообразные задачи, в наше время для инженера является абсолютно необходимым. По способу получения основных, т. Этот метод удобен своей простотой и очевидным геометрическо-физическим значением отдельных шагов аппроксимации. Соотношения для КЭ здесь строятся непосредственно на основе трех групп уравнений трех сторон задачи: Однако область применения прямого метода весьма ограничена: Применительно к механике деформируемого твердого тела эта переменная представляет собой потенциальную функционал Лагранжа или дополнительную функционал Кастилиано энергию системы или формируется на основе этих двух энергий функционалы Хеллингера-Рейсснера, Ху-Вашицу. Если в функционал подставить аппроксимирующие выражения искомых функций и применить к нему экстремальные принципы соответственно принцип Лагранжа, принцип Кастилиано и т. Этот метод целесообразно применять при решении задач, у которых трудно или невозможно сформулировать вариационное уравнение, то есть функционал. Выбор схемы минимизации и весовых функций определяет различные варианты метода невязок. Метод энергетического баланса метод Одена основан на балансе различных видов энергии, записанном в интегральной форме. Этот метод успешно применяется при решении нелинейных и динамических задач. Из приведенных видов МКЭ в строительной механике особенно актуальны вариационный метод и метод взвешенных невязок Галеркина, которые для рассматриваемой задачи представляют собой два взаимно дополняющих метода одинаковой точности. Широкое применение этих методов обусловлено тем, что выражения в функционале или во взвешенном интеграле, как правило, имеют низший порядок производных по сравнению с производными в соответствующем дифференциальном уравнении для данной задачи. Это позволяет выбирать аппроксимирующие функции из более широкого семейства простых функций. Можно сказать, что вариационный вид МКЭ вышел из классического метода Ритца, а метод Галеркина — из обобщенного метода Бубнова-Галеркина. В принципе, из других методов также выводятся соответствующие виды МКЭ, однако их применяют значительно реже. В МКЭ, аналогично классическим методам строительной механики, за основные неизвестные могут приниматься величины разного типа: В зависимости от выбора узловых неизвестных различают три формы МКЭ: С этой точки зрения МКЭ можно рассматривать как обобщение традиционных методов строительной механики стержневых систем применительно к расчету континуальных систем. Метод перемещений — в настоящее время наиболее распространенная форма МКЭ. К достоинствам метода относятся: Однако во многих случаях они могут быть эффективны, особенно в отношении вычисления напряжений. К тому же выполнение двойственных расчетов на основе альтернативных форм МКЭ позволяет, как правило, получить двухстороннюю оценку точного решения соответствующей задачи. И если бы в реализации метода сил не было определенных сложностей, значения напряжений можно было получать той же степени точности, что и перемещения в методе перемещений. Кроме того, использование принципа Кастилиано дает верхнюю границу приближенного решения т. Тем не менее, пока нет алгоритмов, в той же степени простых и устойчивых, имеющих гарантированную сходимость в обширном классе задач, подобно МКЭ в форме метода перемещений. При данном подходе перемещения и напряжения в пределах каждого КЭ аппроксимируются одновременно, поэтому нет необходимости завышать требования к непрерывности искомых функций и их производных. Напротив, можно задавать именно нужные аппроксимации, а поскольку смешанные вариационные принципы приводят и к смешанному виду соотношений между напряжениями и перемещениями для конечного элемента, можно получать более точное решение. Однако имеются и большие минусы. Так, функционал Рейсснера не является выпуклым, поверхность его в точке стационарности имеет вырожденную седлообразную форму. Система разрешающих уравнений, отвечающая формулировке смешанного метода, не является положительно определенной. Эти обстоятельства значительно затрудняют прямое использование функционала Рейсснера в методе конечных элементов. По сути гибридные подходы схожи со смешанным методом. Отличает их то, что в гибридных моделях внутри конечного элемента за основные неизвестные принимаются величины одного типа, а на границах элемента независимо и в другой форме — величины другого или же обоих типов. Как правило, гибридные формулировки приводят к значительному усложнению алгоритма, поэтому эффективны лишь для ограниченного класса задач. Однако аппроксимация перемещений вдоль контура элемента накладывает некоторые ограничения на математическую модель, уменьшает податливость и тем самым смещает получаемое решение в сторону точного. Сложность в том, что имеется возможность перегрузить ограничениями функционал дополнительной энергии и легко проскочить точное решение в сторону нижней границы. МКЭ относится к методам дискретного анализа. Однако в отличие от численных методов, основывающихся на математической дискретизации дифференциальных уравнений, МКЭ базируется на физической дискретизации рассматриваемого объекта. Реальная конструкция как сплошная среда с бесконечно многим числом степеней свободы заменяется дискретной моделью связанных между собой элементов с конечным числом степеней свободы. Так как число возможных дискретных моделей для континуальной области неограниченно велико, то основная задача заключается в том, чтобы выбрать такую модель, которая лучше всего аппроксимирует данную область. Сущность аппроксимации сплошной среды по МКЭ состоит в следующем: Аппроксимация, как правило, дает приближенное, а не точное, описание действительного распределения искомых величин в элементе. Поэтому результаты расчета конструкции в общем случае также являются приближенными. Закономерно может быть поставлен вопрос о точности, устойчивости и сходимости решений, полученных МКЭ. В этом смысле понятие сходимости аналогично тому значению, которое оно имеет в обычных итерационных процессах. Таким образом, в сходящейся процедуре различие между последующими решениями уменьшается, стремясь в пределе к нулю. Перечисленные выше понятия иллюстрируются рис. Здесь абсцисса обозначает степень уточнения параметров дискретной модели, а ордината определяет полученное при этом уточнении приближенное решение. На графике показан монотонный тип сходимости, при котором точность решения повышается плавно. Ошибки метода конечных элементов. Как следует их вышеизложенного, критерии устойчивости, сходимости и точности в основном определяются погрешностями различного рода операций, проводимых в МКЭ. Наряду с обычными ошибками округления и погрешностью приближенных методов линейной алгебры, применяемых в МКЭ, есть и ошибки, имеющие непосредственное отношение к методу конечных элементов: Ошибки дискретизации уменьшаются с увеличением числа конечных элементов и соответственно с уменьшением их размеров, причем они стремятся к нулю, когда размер элемента стремится к нулю. Требование полноты аппроксимирующих функций необходимо для учета смещения КЭ как жесткого целого и обеспечения состояния постоянных деформаций в элементе. Механический смысл совместности заключается в непрерывности основных неизвестных на смежных границах соседних КЭ. В сложных эрмитовых элементах выполнение условий совместности достигается сложнее. Между тем имеются случаи, когда несовместные элементы дают очень хорошие результаты при быстрой сходимости решения к точному. Общий алгоритм статического расчета МКЭ. В принципе общий алгоритм расчета МКЭ сводится к последовательности шагов матричных операций , в результате выполнения которых определяются необходимые параметры решения задачи перемещения, деформации, напряжения. На практике расчеты по МКЭ всегда выполняются с применением компьютерных технологий, реализующих известные матричные формулы и выражения для получения промежуточных и конечных результатов. Ниже приведены основные этапы статического расчета конструкции МКЭ. Рассматриваемая область представляется в виде совокупности конечных элементов, соединенных между собой в узловых точках. Сами элементы могут иметь различную форму и размеры, например, в виде стержня, треугольной пластинки, прямоугольной в плане оболочки, пространственного тетраэдра рис. Например, при расчете стержневых систем каждый стержень постоянного сечения принимается за отдельный элемент рис. Решение в этом случае получается точным. Дискретизация континуальных систем пластины, оболочки, массивы является более сложной задачей. Общих рекомендаций по нанесению сетки или разбивке области на отдельные элементы нет. Обычно руководствуются предварительными представлениями о характере ожидаемого результата и в местах предполагаемых высоких градиентов искомых величин сетку КЭ сгущают. Она может быть самой разнообразной. При решении двумерных задач балка-стенка, изгиб плиты дискретизация области обычно производится треугольными и прямоугольными элементами рис. Предполагается, что вся действующая нагрузка приводится к узловой, поэтому, например, в случае распределенной нагрузки для ее более точного моделирования бывает необходимо вводить дополнительные узлы и элементы. Заданные перемещения, жесткие или упругие связи также должны быть отнесены к узлам. Таким образом, первый этап заключается в составлении конечно-элементной схемы — дискретной модели конструкции. Здесь можно выделить следующие действия: Несмотря на то, что перечисленные выше действия не опираются на строгие теоретические рекомендации и во многом выполняются интуитивно, первый этап имеет большое значение для дальнейшего расчета конструкции. Построение глобальных матрицы жесткости и вектора узловых сил. Процедура основана на формировании МЖ и ВН отдельных элементов и их размещении в глобальных МЖ и ВН путем обхода по всем конечным элементам дискретной модели. Расчеты по МКЭ различных конструкций отличаются принципиально только применяемыми элементными МЖ, ВН и матричными операторами для определения внутренних усилий и напряжений. Данные матрицы и векторы строятся на основе вариационных принципов с учетом принятой геометрии КЭ и выбранных аппроксимаций. Размещение элементных МЖ ВН в глобальной МЖ ВН может быть выполнено одним из следующих способов: Способ непосредственного сложения жесткостей , используемый в большинстве случаев, реализуется следующим образом: По аналогичной схеме из элементных ВН формируется глобальный ВН для всей конструкции. Таким образом, данный этап включает следующие основные действия, выполняемые в цикле для каждого из конечных элементов: Сформированная на этом этапе МЖ системы является вырожденной или особенной. Она может быть преобразована в невырожденную при учете кинематических граничных условий внешних связей, наложенных на некоторые узлы и исключающих перемещение конструкции как абсолютно твердого тела. Учет заданных граничных условий. Пусть в результате выполнения второго этапа система разрешающих уравнений имеет вид. Кинематические граничные условия , как правило, представляются в виде заданных узловых перемещений равных и не равных нулю. Отличные от нуля заданные перемещения могут быть обусловлены неточностью изготовления монтажа , регулированием усилий, смещением осадкой опор и т. Тогда корректировка системы уравнений 9. Помимо жестких связей и смещений опор в реальной конструкции могут иметь место упругие связи упругое основание. Наиболее простой является дискретная модель основания, когда упругие связи приложены в отдельных узлах. В этом случае к МЖ всей системы просто добавляется диагональная матрица, состоящая из коэффициентов жесткости упругих связей: Учет распределенного упругого основания будет более точным, если при его дискретизации использовать вариационные принципы например, принцип Лагранжа. Последняя добавляется к МЖ элемента, и далее расчет производится в обычном порядке. Последовательность действий при учете заданных граничных условий: В результате учета граничных условий глобальная система разрешающих уравнений будет сформирована в окончательном и в то же время достаточном для получения искомого решения виде. Решение системы разрешающих уравнений. Прежде всего следует выбрать метод решения СЛАУ. Для небольших и средних задач — от несколько десятков до несколько десятков тысяч неизвестных — обычно используются известные прямые методы: Для более сложных систем, требующих огромного объема вычислений и значительной памяти, приходится искать и, если необходимо, создавать специально подходящие для данной задачи эффективные алгоритмы, основанные как на прямых, так и на итерационных методах. В ряде случаев целесообразно применять методы, учитывающие разреженность матриц, а также плохую обусловленность систем уравнений. Касаясь итерационных методов , отметим следующее. Классические из них — методы Якоби, Гаусса-Зейделя, несмотря на сравнительную простоту, при решении даже средних задач характеризуются крайне медленной сходимостью. Более эффективными в которых при меньшем числе итераций достигается такая же точность решения являются следующие итерационные методы: Можно применять и комбинированные подходы. Отметим некоторые особенности, присущие системе разрешающих уравнений МКЭ. Эти особенности могут значительно влиять на точность получаемого решения, объем вычислений и режим работы вычислительной техники. Во-первых , при рациональной нумерации узлов матрица коэффициентов СЛАУ имеет ленточную структуру. Это означает, что ненулевые коэффициенты матрицы содержатся только в пределах некоторой полосы — ленты , занимающей диагональное положение в матрице рис. Внутри ленты могут находиться и нулевые коэффициенты. Важным моментом является то, что область нулевых элементов матрицы, расположенная выше и ниже ленты, остается нулевой и в процессе решения системы уравнений. Очевидно, что с уменьшением ширины ленты уменьшается и объем производимых вычислений. Ширина ленты определяется по формуле. Пример разбивки двумерной области на прямоугольные элементы с разными вариантами нумерации узлов приведен на рис. Во-вторых , при решении больших СЛАУ свыше тысячи уравнений важным фактором является значительное накопление ошибок округления, возникающих в процессе огромного количества арифметических операций. В этом случае уже при нескольких сот уравнений рекомендуется применять двойную точность вычислений 16 знаков после запятой , иначе следует считаться с неизбежной погрешностью получаемого решения. Основная доля задач в строительстве исключение составляют крупные сооружения, сложные и ответственные в инженерном плане конструкции и т. Определение внутренних усилий напряжений. Результатом решения системы разрешающих уравнений МКЭ в форме метода перемещений будут компоненты узловых перемещений дискретной модели конструкции. Вычисление же необходимых компонент напряженного состояния конструкции производится поэлементно в следующем порядке: Основные этапы статического расчета конструкций МКЭ и последовательность их выполнения приведены в виде схемы на рис. Формирование глобальных МЖ и ВН. Решение системы обратный ход. Понятие о суперэлементном подходе. Сложная структура современных инженерных сооружений: Разделение системы разрешающих уравнений МКЭ на несколько систем меньшего порядка может быть выполнено уже на этапе построения конечно-элементной модели. СЭ — это укрупненный элемент, включающий в себя некоторую группу обычных базисных конечных элементов. Суперэлементы обычно повторяют форму и размеры естественных частей реальных конструкций и сооружений: Применение МКЭ при расчете стержневых систем. В МКЭ стержневая система мысленно разбивается на отдельные части - конечные элементы, соединяющиеся между собой в узлах рис. Узлы могут быть жесткими и шарнирными. Совокупность соединенных между собой и прикрепленных к основанию конечных элементов образует расчетную схему метода, называемую конечно-элементной схемой или конечно-элементной моделью или просто системой элементов. Элементы и узлы конечно-элементной схемы нумеруются. Внешняя нагрузка считается приложенной только в узлах конечно-элементной схемы. В общем случае переход от заданной нагрузки к узловой осуществляется следующим образом. На основании принципа суперпозиций рассматриваемое состояние стержневой системы может быть представлено как сумма двух состояний рис. В первом состоянии задача 1 вводятся связи, препятствующие всем возможным смещениям узлов системы, аналогично тому, как образуется основная система в методе перемещений. При этом, однако, продольными деформациями стержней не пренебрегают. От действия заданных нагрузок во введенных связях возникают реакции. Во втором состоянии задача 2 узлы конечно-элементной схемы не закреплены от смещений, но к ним прикладываются усилия равные по модулю реакциям в связях, определенным в первом состоянии, но противоположные им по направлению рис. Расчет системы в первом состоянии не представляет труда. В частности, если конечно-элементная схема создается таким образом, чтобы элементы представляли собой отдельные стержни элементы 1, 2 и 3 на рис. Для расчета же системы во втором состоянии, то есть для решения задачи 2, и применяется метод конечных элементов. Окончательное решение задачи будет представлять собой сумму решений этих двух задач. В задаче 2 усилия, действующие на любой элемент приложены исключительно в узлах. В этом случае перемещения узлов любого элемента, взятого в отдельности рис. Как известно, для стержневых систем решение такой задачи может быть найдено точно. Каждый, взятый отдельно от системы, конечный элемент должен быть достаточно простым, чтобы имелась возможность легко определить перемещения и усилия в любом сечении стержней элемента по заданным перемещениям его узлов. Связь между перемещениями узлов элемента и усилиями в них задается при помощи матрицы жесткости элемента. Количество перемещений узлов элемента, которые однозначно определяют состояние данного элемента называют числом степеней свободы элемента. Оно определяется по формуле: Действительно, если узел представляет собой шарнир, то его положение на плоскости можно охарактеризовать двумя линейными перемещениями, например в вертикальном и горизонтальном направлениях. В случае жесткого узла необходимо еще дополнительно к линейным смещениям задать его поворот. При отсутствии нагрузки, кроме приложенной в самих узлах, положение на плоскости любой точки этого элемента определяется четырьмя параметрами - двумя вертикальными и двумя горизонтальными перемещениями узлов элемента. У второго элемента на рис. У третьего элемента - шесть степеней свободы, которым соответствуют четыре линейных и два угловых перемещения. Аналогично, для всей конечно-элементной схемы вводятся матрица жесткости системы или глобальная матрица жесткости, устанавливающая связь между перемещениями узлов системы и усилиями в них, а также число степеней свободы системы или глобальное число степеней свободы - количество перемещений узлов системы, которые достаточно знать, чтобы однозначно определить состояние всей системы. Оно также определяется по формуле 9. Например, конечно-элементная схема висячей системы, изображенной на рис. В конечно-элементной схеме балки рис. Следовательно, в соответствии с 9. Для всех элементов, из которых состоит конечно-элементная схема, должны быть построены матрицы жесткости элементов. В программных комплексах, реализующих алгоритм метода конечных элементов, хранятся готовые матрицы жесткости для элементов различных типов. На практике, при расчете плоских стержневых систем используют готовые матрицы жесткости для элементов только трех типов: В этом случае при разбивке стержневой системы на элементы узлы вводятся в местах соединения и изломов стержней, в опорах, шарнирах и на свободных концах консольных стержней. В принципе узел может быть введен и в любых других точках, например, в точках приложения сосредоточенных сил. В учебных целях могут использоваться и элементы других типов рис. Из построенных матриц жесткости элементов формируется матрица жесткости системы. Для этого все матрицы жесткости элементов и матрица жесткости системы должны быть сформированы в единой системе осей координат, называемой глобальной системой осей координат. При расчете плоских стержневых систем традиционно используется следующая глобальная система осей координат рис. Матрицы жесткости элементов могут формироваться и храниться в памяти ЭВМ в своих , локальных системах осей координат , в общем случае отличных от глобальной системы осей координат. В данной ситуации при помощи специальной процедуры эти матрицы должны быть перестроены для глобальной системы осей координат. Так как матрица жесткости системы устанавливает связь между усилиями, приложенными к ее узлам и перемещениями ее узлов, то имея построенную матрицу жесткости системы и зная внешнюю узловую нагрузку, можно найти перемещения всех узлов конечно-элементной схемы. Для этого требуется решить систему линейных алгебраических уравнений. Порядок этой системы равен числу ее степеней свободы. По известным перемещениям узлов системы для каждого элемента при помощи имеющихся матриц жесткости элементов можно найти внутренние усилия в элементах от действия нагрузки, приложенной в узлах задача 2. Окончательное решение задачи, как уже упоминалось, ищется как сумма решений задачи 1 и задачи 2. Таким образом, метод конечных элементов в данном виде аналогичен методу перемещений, так как сначала определяются перемещения узлов системы, а затем по ним - деформации и усилия в стержнях. Возможна реализация метода конечных элементов и в форме метода сил, однако она имеет ряд существенных недостатков и поэтому представляет большей частью чисто научный, но не практический интерес. Итак, расчет стержневой системы методом конечных элементов в форме метода перемещений состоит из следующих этапов: Создание конечно-элементной схемы разбивка системы на элементы и их нумерация. Сведение заданной внешней нагрузки к узловой. Формирование матриц жесткости всех элементов системы в локальных системах координат и их преобразование в глобальную систему координат. Формирование глобальной матрицы жесткости, системы уравнений метода конечных элементов и ее решение. Определение усилий в элементах от действия узловой нагрузки. Определение окончательных значений усилий в элементах путем сложения решений задач 1 и 2. Уфа, почтовый ящик Обход по всем элементам. Разбивка области на конечные элементы. Выбор типа конечных элементов. Описание каждого конечного элемента. Описание каждого узла дискретной модели. Описание заданных граничных условий. Составление элементных МЖ и ВН. Преобразование элементных МЖ и ВН. Размещение их в глобальных МЖ и ВН. Учет внешней узловой нагрузки. Учет заданного упругого основания. Учет заданных ненулевых смещений узлов. Учет заданных опорных связей. Составление вектора перемещений для КЭ. Преобразование перемещений для ЛСК. Построение матрицы усилий напряжений. Определение усилий напряжений для КЭ.
Тамбовская мебельная фабрика стрела каталог
Тест драйв приора универсал
Капли для восстановления зрения при близорукости
Ингибиторы апф для кошек
Сколько стоит виза в канаду для россиян
Какая свадьба 32 года совместной
Эротика очень крупным планом
Гост 22853 86 статус
Чем лечить десну после удаления
Какиеесть правила общения
Standard side sea view hb перевод
Сколько стоит бензин 80 1 литр
Молния график работы челябинск
Предел функции справа
Карта рб подробная с расстояниями