Односторонний предел
Левый и правый пределы функции
Предел функции. Односторонний предел
Пусть функция определена на некотором интервале , кроме, быть может, точки. Число A называется пределом функции при , если для любой последовательности значений аргумента , сходящейся к и такой, что , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу: Тот факт, что есть предел функции при в точке , будем записывать следующим образом:. Из определения следует, что значения функции в точках , лежащих вне некоторой окрестности точки , и значение функции в точке не влияют ни на существование, ни на величину предела функции в точке. Покажем, что функция имеет предельное значение в каждой точке бесконечной прямой. В самом деле, для любой сходящейся к последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции имеет вид , то есть сходится к. Значит, предельное значение функции в любой точке равно. Функция в каждой точке бесконечной прямой имеет предельное значение. Действительно, пусть - любая сходящаяся к последовательность значений аргумента. Соответствующая последовательность значений функции имеет вид , то есть сходится к. Найти предел функции рис. Будем рассматривать данную функцию в некоторой окрестности точки , например, на интервале. Функция определена всюду на указанном интервале, в том числе и в точке. Возьмем какую-нибудь последовательность значений аргумента , и рассмотрим соответствующую последовательность значений функции. На основании теорем о пределе последовательности имеем. Ввиду произвольности выбранной последовательности согласно определению предела функции в точке. В точке функция не определена. Будем рассматривать функцию в некоторой окрестности точки , например, на интервале. Возьмем какую-нибудь последовательность значений аргумента сходящуюся к точке: Ввиду произвольности выбранной последовательности согласно определению предела функции в точке получаем. Заметим, что функции и тождественны всюду, кроме точки , где функция не определена. Для того чтобы доказать, что функция не имеет предела в точке , достаточно указать какую-нибудь сходящуюся к последовательность значений аргумента чтобы соответствующая последовательность значений функции не имела предела или указать такие две сходящиеся к последовательности и , что и имеют разные пределы. Возьмем две последовательности значений аргумента и: В точках последовательности заданная функция принимает значение , а в точках последовательности - значение. Поэтому , , то есть. Число A называется пределом функции при , если для любого найдется такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство. Мы должны найти такое , чтобы из неравенства вытекало неравенство. Решая это неравенство относительно , находим. Значит, в качестве можно взять или любое меньшее число. Пусть функция определена на интервале. Число называется пределом слева функции в точке при , если для любого существует такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство. Аналогично, в случае, когда функция определена на интервале , вводится понятие предела справа. Предел справа обозначают так:. Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют пределы слева и справа и они равны, то есть. Действительно, пусть - любая сходящаяся к нулю последовательность значений аргумента, элементы которой. Соответствующая последовательность значений функции имеет вид , т. Если элементы сходящейся к нулю последовательности отрицательны, то им соответствует последовательность значений функции , сходящаяся к А это в силу определения и означает, что. Таким образом, функция имеет в точке и правое, и левое предельные значения, но они не совпадают: Поэтому в точке не имеет предельного значения. Для функций, область определения которых - интервал или , вводится понятие предела при или при. Число называют пределом функции при , если для любого существует такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство. Для односторонних пределов справедливы теоремы о пределе суммы, разности, произведения, частного. Другими словами, попадание аргумента в правую -окрестность точки 1 гарантирует попадание значений функции в левую нижнюю -окрестность точки Эскиз графика функции расположен в прямоугольнике. Это значит, что попадание аргумента в левую -окрестность точки 2 гарантирует выполнение неравенства. Эскиз графика функции расположен в полуполосе. Прямая - вертикальная асимптота графика функции. Раскроем модули в неравенствах:. Иначе, если для аргумента выполняется неравенство , это гарантирует попадание значений функции в правую верхнюю -окрестность точки Эскиз графика функции расположен в полуполосе ,. Эскиз графика функции расположен внутри угла. Археология Архитектура Астрономия Аудит Биология Ботаника Бухгалтерский учёт Войное дело Генетика География Геология Дизайн Искусство История Кино Кулинария Культура Литература Математика Медицина Металлургия Мифология Музыка Психология Религия Спорт Строительство Техника Транспорт Туризм Усадьба Физика Фотография Химия Экология Электричество Электроника Энергетика. Односторонние пределы функций 1 2 3 4 5 6.
Динамика курса шекеля к доллару
Филипс 377 характеристики отзывы
Аванта архангельск официальный сайт каталог товаров
Сколько выплачивают по соглашению сторон
Свойство простого вещества калия
Структура библиотеки университета
Игра дневники тайн пройти эпизод
Где снимался фильм убежать догнать влюбиться
Ювиком саратов каталог
Давит шею причины
Неполноценные деньги характеристика их видов
Myaccount google изменить пароль
Сложные системы основные понятия
Таблица имен существительных 2 класс
График приёма врачей детской поликлиники