Координатный способ задания движения точки.
Координатный способ задания движения точки
Способы задания движения точки
Непрерывную кривую, которую описывает точка в своем движении, называют траекторией точки. Если траектория точки является прямой линией, то движение точки называют прямолинейным. Если же траектория — кривая линия не обязательно плоская , то движение точки называется криволинейным. Движение точки по отношению к выбранной системе координат считается заданным, если известен способ, при помощи которого можно определить положение точки в любой момент времени. В теоретической механике используются три основных способа задания движения точки: При векторном способе положение точки в пространстве определяется радиус-вектором , проводимым из какого-либо заданного центра рис. Таким образом, траектория движения точки является геометрическим местом концов радиус-вектора движущейся точки. Векторный способ задания движения используется в основном при теоретических выкладках, так как он значительно упрощает многие выводы и иногда подчеркивает физическую сущность явлений. Следует, однако, иметь в виду, что задать вектор как функцию времени, значит уметь находить его модуль и направление в любой момент времени. Это можно сделать, если избрана какая-либо определенная система координат. При решении конкретных задач обычно переходят от векторного к координатному и естественному способам задания движения. При координатном способе положение точки определяется координатами точки в выбранной системе координат. Наиболее часто используется прямоугольная декартова система координат Oxyz рис. При движении точки М ее координаты изменяются с течением времени. Следовательно, координаты x,y,z движущейся точки М являются функциями времени, то есть:. Естественный способ задания положения и движения точки применяется в тех случаях, когда траектория движения точки заранее известна. На траектории выбирается некоторая неподвижная относительно траектории точка О, которая называется началом отсчета дуговой координаты рис. Расстояния, отложенные в одну сторону от точки О, считают положительными, а в противоположную — отрицательными. То есть, устанавливается направление отсчета дуговой координаты. Эта равенство называется законом или уравнением движения точки в естественной форме. Скорость — это векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчета рис. Направление вектора характеризует направление движения точки, модуль вектора — быстроту движения. Принято вектор скорости обозначать буквой. Очень важно помнить, что вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории движения в данной точке. Размерность скорости равна единице измерения длины, деленной на единицу измерения времени. При векторном способе задания движения точки скорость определяется как первая производная от радиус-вектора по времени: To есть проекции вектора скорости на координатные оси равны первым производным по времени от соответствующих координат точки. Модуль скорости определяется формулой. При неравномерном движении точки по траектории изменяются модуль и направление скорости. Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая быстроту изменения модуля и направления скорости. В литературе принято вектор ускорения обозначать или. Про направление вектора ускорения относительно траектории движения точки достоверно можно сказать только то, что он всегда направлен в сторону вогнутости кривой траектории движения рис. Размерность ускорения равна единицам измерения длины, деленным на единицу измерения времени в квадрате. При векторном способе задания движения ускорение точки определяется как первая производная от вектора скорости или вторая производная от радиус-вектора по времени: To есть проекции вектора ускорения на координатные оси равны первым производным по времени от соответствующих проекций вектора скорости или вторым производным по времени от координат точки. При естественном способе задания движения точки вектор ускорения складывается из двух взаимно перпендикулярных составляющих — нормальной и касательной. Для определения направлений этих составляющих рассмотрим пространственную кривую рис. Проведем в некоторой произвольной точке М этой кривой касательную. Ее направление принято характеризовать единичным вектором ортом. Пусть 1 — единичный вектор, определяющий направление касательной к кривой в какой-либо точке М 1. Параллельно перенеся вектор 1 в точку М, проведем плоскость через векторы и 1 , приложенные в точке М. Если расстояние между точками М и M 1 уменьшать, устремив к нулю, то эта плоскость в пределе займет определенное положение. Полученную таким путем плоскость называют соприкасающейся плоскостью в точке М. Если рассматриваемая кривая плоская, она будет целиком расположена в соприкасающейся плоскости. Ось, проведенная из точки М в соприкасающейся плоскости перпендикулярно к касательной к кривой в данной точке и направленная в сторону вогнутости кривой, называется главной нормалью. Ее направление принято характеризовать единичным вектором ортом рис. Соответственно, касательная составляющая ускорения направлена по касательной оси к траектории в данной точке, нормальная составляющая — по главной нормали рис. Вектор ускорения при естественном способе задания движения точки можно определить по правилу параллелограмма рис. Иногда уравнения движения точки заданы в координатной форме, а требуется определить нормальную и касательную составляющие ускорения и радиус кривизны траектории в некоторой точке. В этом случае для определения модулей нормальной и касательной составляющих удобно использовать выражения:. Если известно, что траектория движения точки плоская и расположена в плоскости Oxy , то выражение 2. Задачи на определение законов движения и уравнений траектории. Они решаются в следующей последовательности:. Задачи на определение по заданным уравнениям движения в координатной форме траектории движения, скорости, составляющих ускорения и модуля ускорения точки, а также радиуса кривизны траектории в данной точке. Задачи на определение уравнений движения и траектории, если ускорение движения точки задано. Кривошип ОМ длиной l вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку О рис. Введем ось Оу декартовой системы координат, направив ее вверх перпендикулярно оси Ох. Координаты точки М в этой системе координат будут равны:. Чтобы найти уравнение траектории в явной форме, надо исключить из уравнений движения время. Для этого возведем каждое из уравнений 2. Учитывая известную формулу тригонометрии, получим:. Следовательно, траекторией движения точки М является окружность с радиусом l и центром в начале координат. Определим время одного оборота точки М. Для определения уравнений траектории движения точки исключим время t из уравнений движения. Для этого выразим t из уравнения для координаты х и подставим в уравнение для координаты у, получим:. На графике траектории рис. Из пушки выстреливают снарядом со скоростью V 0 под углом к горизонту. Считая поверхность Земли горизонтальной, определить уравнение траектории движения снаряда и максимальную высоту, на которую поднимется снаряд, а также при каком значении угла будет достигнута максимальная дальность полета. Так как траектория полета снаряда лежит в вертикальной плоскости, введем в рассмотрение декартову систему координат, состоящую из двух взаимно перпендикулярных осей. Начало системы координат расположим в точке вылета снаряда из ствола орудия, ось Оу направим вертикально вверх, ось Ох — горизонтально в направлении полета снаряда рис. Проецируя вектор на оси координат, определим начальные условия по скорости:. Подставляя найденные постоянные интегрирования в 2. Для определения уравнения траектории в явной форме исключим из уравнений 2. Для этого выразим t из первого уравнения 2. Приравнивая к нулю правую часть второго уравнения 2. Заменяя в правой части второго уравнения 2. Первое решение соответствует моменту вылета снаряда из ствола, второе — достижению поверхности Земли в конце траектории. Очевидно, что правая часть 2. Движение твердого тела называется поступательным, если отрезок, проведенный через две произвольные точки тела, во все время движения остается параллельным своему первоначальному положению. Так, если рассматривать тело, изображенное на рис. Доказано, что при поступательном движении скорости всех точек тела равны и ускорения всех точек тела равны. Поэтому при поступательном движении можно говорить о скорости и ускорении тела. При всех остальных видах движения этого делать нельзя. При поступательном движении траектории точек тела, по форме повторяя друг друга, смещены относительно друг друга в пространстве. Поэтому закон поступательного движения тела можно задавать как функции x t , y t , z t , описывающие изменение во времени координат какой-то одной точки тела. Очень часто при поступательном движении траектории точек тела представляют собой параллельные прямые. В этом случае движение тела принято называть прямолинейным поступательным движением. Студент - человек, постоянно откладывающий неизбежность Еще раз посмотрите на карточки VI. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки Анализ взаимосвязи затрат, объема производства и прибыли. Способы расчета точки безубыточности и запаса финансовой прочности Анализ жанров литературы с точки зрения их возможности в библиотерапии Аналитическая геометрия на плоскости. Системой координат называют совокупность условий , определяющих положение точки на прямой, на плоскости Антициклическое регулирование: П Блюда из каш: Искусственное отклонение — это направление ствола скважины в процессе бурения по определенному плану с доведением забоя до заданной точки В связи с этим с клинической точки зрения логично подразделять нарушения ритма и проводимости на тахиаритмии и брадиаритмии. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Следовательно, координаты x,y,z движущейся точки М являются функциями времени, то есть: Эти равенства называются законом или уравнениями движения точки в декартовых координатах.
Характеристика основных понятий
Как делать слойки из слоеного теста
Джонни депп и эмбер херд причина развода
Фольксваген пассат 2017 характеристики
Usb hub с выключателями
Характеристика samsung gt i9082
Детское население в возрастной структуре населения
Сколько калорий в бутылке
Расписание электричек с финляндского до петяярви
Гидрасек инструкция по применению
Способы получения биополимеров
Серый кузнечик описание
Экономический индекс понятие виды экономических индексов
Виды задач принятия решений
Знак бмв м