Задача, приводящая к понятию двойного интеграла Определение двойного интеграла Основные свойства двойного интеграла Площадь плоской области Сведение двойного интеграла к повторному Замена переменных в двойном интеграле Элемент площади в криволинейных координатах Якобиан и его геометрический смысл Формула замены переменных в двойном интеграле Двойной интеграл в полярных координатах
Введение.
Общее понятие определённого интеграла, его геометрический и механический смысл
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла - раздел Математика, Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Определенные Интегралы, Как И Неопределенные Интегралы, Введены В Математику Определенные интегралы, как и неопределенные интегралы, введены в математику Ньютоном и Лейбницем. К понятию неопределенного интеграла их привела проблема нахождения первообразных для заданной функции, то есть задача, обратная задаче нахождения производных функций. А к понятию определенного интеграла их привела совсем другая проблема - проблема точного решения ряда фундаментальных для практики числовых задач, к рассмотрению которых мы сейчас и переходим. Заштрихованная на этом рисунке фигура называется криволинейной трапецией. А S - площадь этой трапеции. Поставим, вслед за Ньютоном и Лейбницем, задачу: Разобьем мысленно отрезок оси ох основание трапеции на бесконечно малые участки, как это показано на рис. Для простоты будем считать их одинаковыми по длине. Эту бесконечно малую длину каждого участка обозначим символом dx. Если через концы этих участков провести вертикальные прямые, то вся криволинейная трапеция разобьется на бесконечно большое число бесконечно узких вертикальных полосок шириной dx. Рассмотрим одну из таких полосок любую , и найдем ее площадь dS см. Возьмем в основании полоски некоторую произвольную точку х. Так как полоска бесконечно узкая то есть она представляет собой вертикальную нить , то х — это точка, являющаяся основанием этой нити. Впрочем, такой была бы площадь dS полоски, если бы полоска была прямоугольником с основанием dx и высотой f x. Но наша полоска имеет сверху криволинейную границу, а f x - высота, на которой находится лишь одна из точек точка М этой границы. Все остальные точки указанной верхней границы полоски находятся, вообще говоря, на другой, хоть и близкой к f x , высоте. Так что формула 1 для площади каждой из полосок, на которые мы мысленно разбили криволинейную трапецию, не точная, а приближенная. Но очевидно, чем уже полоска, тем точнее формула для ее площади dS. А так как наша полоска как и все остальные не просто узкая, а бесконечно узкая , то мы вправе считать формулу 1 точной. Складывая теперь площади dS всех вертикальных полосок, найдем, причем точно , и всю площадь S криволинейной трапеции:. Этой сумме Лейбниц дал специальное обозначение. Здесь f x — подынтегральная функция; f x dx - подынтегральное выражение; x — переменная интегрирования; a и b - пределы интегрирования нижний и верхний. Пусть некоторая материальная точка движения по некоторой траектории с известной в каждый момент времени переменной скоростью Требуется получить формулу для пути перемещения , пройденного точкой по траектории своего движения с некоторого данного момента времени до некоторого данного момента времени. Если бы скорость движения точки была постоянной, то поставленная задача никакого труда бы не представляла: Но у нас скорость точки переменная в разные моменты времени она разная. Для такого случая разобьем мысленно временной промежуток на бесконечно малые промежутки времени и найдем путь , проходимый точкой за каждое время. Рассмотрим один из промежутков любой и выберем на этом промежутке некоторую точку некоторый момент времени. В этот момент времени скорость движения точки равна рис. Практически такой же, в силу малости , она будет в других точках в другие моменты времени этого же промежутка времени. То есть можем считать, что в течение времени точка движется практически с постоянной скоростью. А тогда путь , пройденный точкой за время , найдется по формуле:. Впрочем, таким был бы путь , если бы в течение времени точка двигалась строго с постоянной скоростью. Но эта скорость хоть и незначительно, но все же меняется в течение времени. Поэтому формула 5 не точная, а приближенная. Однако очевидно, что с уменьшением времени она будет становиться все точнее и точнее. А так как наш промежуток времени не просто мал, а бесконечно мал , то мы вправе считать формулу 5 точной. Складывая теперь пути , пройденные точкой за все промежутки времени , найдем, причем точно , и общий путь общее перемещение точки по траектории ее движения за время от момента до момента:. Формула 6 по своей структуре совершенно аналогична формуле 2. Она, как и формула 2 , представляет собой сумму бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых. То есть представляет собой определенный интеграл вида Пусть по оси ох из точки a в точку b под действием заданной переменной силы движется материальная точка точка приложения силы - см. Требуется вывести формулу для работы А , которую совершит сила F x при перемещении материальной точки х из положения а в положение b. Если бы сила , приложенная к движущейся точке , была постоянной, то мы нашли бы работу по известной школьной формуле. Но у нас сила переменная - она меняется с изменением координаты движущейся точки. В связи с этим разобьем мысленно промежуток [ а ; b ] на бесконечно малые участки длиной и найдем работу силы на каждом участке рис. Если — некоторая точка на участке , то очевидно, что. Мы записали эту формулу, считая, что в любой точке, находящейся на данном участке , сила, действующая на движущуюся точку, такая же, как и в выбранной точке , то есть постоянная. Но это, вообще говоря, не так: Впрочем, изменение этой силы на тем меньше, чем меньше. А значит, с уменьшением формула 9 будет становиться все точнее и точнее. Но так как наш участок не просто мал, а бесконечно мал, то формулу 9 мы вправе считать точной. А теперь, складывая работы силы на всех участках , на которые мы разбили отрезок [ а ; b ], мы получим, причем точно , всю искомую работу А:. Это и есть формула для работы А , которую совершит переменная сила , если её точка приложения переместится вдоль оси ох из положения в положение рис. Пусть функция описывает изменение производительности труда рабочего, бригады или целого предприятия с течением времени. Требуется найти формулу для объема произведенной продукции с момента времени до момента времени , где и - заданные числа. Если бы производительность труда количество продукции, производимой в единицу времени была постоянной, то искомый объем произведенной продукции мы нашли бы, умножив производительность труда на время работы, то есть нашли бы по формуле. Но, по условию, производительность труда меняется со временем. Чтобы в этом случае найти искомый объем произведенной продукции, нужно, очевидно, разбить промежуток времени на бесконечно малые промежутки времени , выбрать внутри каждого произвольную точку , найти объем произведенной за время продукции, и сложить все - то есть по существу проделать ту же процедуру, что была проделана в предыдущих трех задачах. В итоге получим формулу. Эта формула выражает объем продукции, произведенной за время от до , через производительность труда. Итак, мы получим итоговые формулы 4 , 8 , 12 и 13 для четырех рассмотренных выше и имеющих важное практическое значение задач. Можно было бы и продолжить рассмотрение аналогичных задач, но мы ограничимся теми, что уже рассмотрели. Вместо этого осмыслим ту общую идею, которая была заложена при решении всех этих задач. А эта идея следующая: Эта величина оказывалась выраженной через новое математическое понятие - определенный интеграл. Теперь, очевидно, нужно понять, какими свойствами обладают определенные интегралы и как их вычислять. Эта тема принадлежит разделу: Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Задачи приводящие к понятию определенного интеграла Задача о вычислении площади произвольной Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:. Пусть отрезок [а; b] оси ox — материальная нить, у которой - заданная линейная плотность. Свойства и вычисление определенных интегралов. Начнем с того, что введем понятие определенного интеграла без привязки его к каким-либо геометрическим, физическим и экономическим задачам что было сделано выше. То есть введем е. Основные свойства определенных интегралов Наиболее просто и естественно установить эти свойства, опираясь на какой-либо наглядный смысл определенного интеграла. Вычисление определенных интегралов приближенное и точное. Формула Ньютона-Лейбница Определенный интеграл , согласно его математическому определению 18 , представляет собой сумму бесконечно большого числа бесконе. На основании формулы 33 формулы грубой оценки определенных интегралов оценить величину следующих интегралов: Информация в виде рефератов, конспектов, лекций, курсовых и дипломных работ имеют своего автора, которому принадлежат права. Поэтому, прежде чем использовать какую либо информацию с этого сайта, убедитесь, что этим Вы не нарушаете чье либо право. Задача о вычислении площади произвольной криволинейной трапеции. Складывая теперь площади dS всех вертикальных полосок, найдем, причем точно , и всю площадь S криволинейной трапеции: Итак, согласно 2 и 3 , 4 - площадь криволинейной трапеции, изображенной на рис. Задача о вычислении пути при переменной скорости движения. А тогда путь , пройденный точкой за время , найдется по формуле: Складывая теперь пути , пройденные точкой за все промежутки времени , найдем, причем точно , и общий путь общее перемещение точки по траектории ее движения за время от момента до момента: То есть представляет собой определенный интеграл вида 3: Если — некоторая точка на участке , то очевидно, что 9 Мы записали эту формулу, считая, что в любой точке, находящейся на данном участке , сила, действующая на движущуюся точку, такая же, как и в выбранной точке , то есть постоянная. А теперь, складывая работы силы на всех участках , на которые мы разбили отрезок [ а ; b ], мы получим, причем точно , всю искомую работу А: В итоге получим формулу , 13 совершенно аналогичную формулам 4 , 8 и Что будем делать с полученным материалом: Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях: Все темы данного раздела: Пусть отрезок [а; b] оси ox — материальная нить, у которой - заданная линейная плотность Свойства и вычисление определенных интегралов. То есть введем е Основные свойства определенных интегралов Наиболее просто и естественно установить эти свойства, опираясь на какой-либо наглядный смысл определенного интеграла. Например, Вычисление определенных интегралов приближенное и точное. Подпишитесь на Нашу рассылку. Новости и инфо для студентов Свежие новости Актуальные обзоры событий Студенческая жизнь. Соответствующий теме материал Похожее Популярное Облако тегов. О Сайте Рефераты Правила Пользования Правообладателям Обратная связь.
В элементарной геометрии рассматривались площади плоских фигур, ограниченных прямолинейными отрезками, а также площадь круга и его частей. Поставим задачу о вычислении площади плоской фигуры К, ограниченной произвольной замкнутой линией рис. Вначале рассмотрим частный случай, когда фигура К лежит в плоскости и ограничена кривой АВ, отрезком CD оси абсцисс и двумя прямыми СА и DB, проведенными в концах отрезка параллельно оси рис. Назовем эту фигуру криволинейной трапецией, а отрезок CD — ее основанием. Разобьем сегмент на части с помощью точек деления с абсциссами Кроме того, для единообразия записи положим. Точки деления разбивают сегмент [а, b] на малых сегментов: Проведя через точки деления прямые, параллельные оси Оу, мы разобьем криволинейную трапецию на малых криволинейных трапеций рис. Ясно, что площадь всей криволинейной тралеции равна сумме площадей всех малых криволинейных трапеций. Поэтому если обозначить через S площадь всей криволинейной трапеции, а через - площадь малой криволинейной трапеции с основанием принимает значения от 1 до , то или, в более короткой записи, где буква сигма есть знак суммы, а символ 2 означает, что суммируются слагаемых при изменении индекса i от 1 до Рис. Поэтому мы поступим следующим образом! Площадь этого прямоугольника равна так как - длина малого сегмента Приняв площадь этого прямоугольника за приближенное значение площади малой криволинейной трапеции, получим Заменив площадь каждой малой криволинейной трапеции площадью прямоугольника с тем же основанием, но с высотой, равной ординате кривой в некоторой произвольной точке основания, получим ступенчатую фигуру, показанную на рис. Площадь этой ступенчатой фигуры дает нам приближенное значение площади криволинейной трапеции. Поэтому для площади S криволинейной трапеции получаем следующее приближенное равенство или в более короткой записи, Обозначим через X наибольшую из длин малых сегментов! С уменьшением точность приближенной формулы 4 увеличивается. Поэтому вполне естественно за точное значение площади S криволинейной трапеции принять предел суммы площадей ступенчатых фигур при условии, что наибольшая длина Я малых сегментов стремится к нулю. Таким образом, 5 Рис. Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции привело нас к нахождению предела некоторой суммы вида 6. Возвращаясь к задаче о вычислении площади плоской области К, ограниченной произвольной замкнутой линией, заметим, что эта задача может быть сведена к задаче нахождения криволинейных трапеций. Геометрическое изображение действительных чисел. Координаты точки на прямой 3. Абсолютная величина действительного числа 4. Расстояние между двумя точками на плоскости 3. Деление отрезка в данном отношении 4. Координаты точки в пространстве 5. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ОСЯМИ. Способы задания функций 5. Основные элементарные функции и их графики 6. Целые и дробно-рациональные функции 8. Функции четные и нечетные. Поворот осей координат ГЛАВА II. Уравнение прямой с угловым коэффициентом 3. Уравнение прямой, параллельной оси ординат 4. Общее уравнение прямой и его частные случаи 5. Построение прямой по ее уравнению 6. Вычисление угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых 7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении 8. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Окружность, эллипс, гипербола и парабола как конические сечения 7. Упрощение уравнения кривой второго порядка. График квадратного трехчлена 8. Уравнение равносторонней гиперболы, асимптоты которой приняты за оси координат 9. График дробно-линейной функции Преобразование уравнения кривой второго порядка, не содержащего члена с произведением координат ГЛАВА III. Определитель третьего порядка 3. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 2. Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными 3. Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными 4. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 2. Линейные операции над векторами 4. Проекция вектора на ось и составляются вектора по оси 5. Разложение вектора на составляющие по осям координат 6. Направляющие косинусы вектора 7. Условие коллинеарности двух векторов 8. Выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов Косинус угла между двумя векторами Выражение векторного произведения через проекции перемножаемых векторов Смешанное произведение трех векторов Геометрический смысл смешанного произведения МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 2. Действия над матрицами 3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду 4. Упрощение общего уравнения кривой второго порядка ГЛАВА IV. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку 3. Общее уравнение плоскости и его частные случаи 4. Построение плоскости по ее уравнению 5. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей 6. Общие уравнения прямой 3. Параметрические уравнения прямой 4. Канонические уравнения прямой 5. Уравнения прямой, проходящей через две точки 6. Угол между двумя прямыми. Прямая и плоскость в пространстве 2. Точка пересечения прямой с плоскостью 3. Расстояние от точки до плоскости 4. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями 6. Основные теоремы о пределах 7. Операции над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций 3. Свойства функций, непрерывных на сегменте 4. Понятие об обратной функции 5. Обратные тригонометрические функции 6. Показательная и логарифмическая функции 7. Понятие о гиперболических функциях ГЛАВА VI. Приращение аргумента и приращение функции 2. Определение непрерывности функции с помощью понятии приращения аргумента и приращения функции 3. Задачи, приводящие к понятию производной 4. Определение производной и ее механический смысл 5. Геометрический смысл производной 7. Производные некоторых основных элементарных функций 8. Основные правила дифференцирования 9. Производная обратной функции Производные обратных тригонометрических функций Производные гиперболических функций Производная степенной функции с любым показателем Сводная таблица формул дифференцирования Неявные функции и их дифференцирование Уравнения касательной а нормали к кривой Нахождение производных высших порядков 2. Производная как отношение дифференциалов 3. Дифференциал суммы, произведения и частного функций 4. Инвариантность формы дифференциала 5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям 6. Векторная функция скалярного аргумента и ее производная 3. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к пространственной кривой 4. Максимум и минимум функции 3. Достаточный признак существования экстремума, основанный на знаке второй производной 4. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции 5. Применение теории максимума и минимума к решению задач 6. Выпуклость и вогнутость графика функции. Асимптоты графика функции 8. Геометрический смысл неопределенного интеграла 3. Таблица основных интегралов 4. Интегрирование методом замены переменной 3. Выделение правильной рациональной дроби 3. Интегрирование простейших рациональных дробей 4. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби 5. Метод неопределенных коэффициентов 6. Интегрирование тригонометрических функций 2. Рациональные функции двух переменных 3. Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях ГЛАВА VIII. Свойства определенного интеграла 3. Производная интеграла по переменной верхней границе 4. Замена переменной в определенном интеграле 6. Вычисление площади в полярных координатах 3. Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям 4. Объем тела вращения 5. Длина дуги кривой 6. Площадь поверхности вращения 8. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ 2. Интегралы от разрывных функций 3. Метод параболических трапеций метод Симпсона ГЛАВА IX. График функции двух переменных 3. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции нескольких переменных 3. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных 3. Полный дифференциал функции 3. Дифференцирование сложных и неявных функций 2. Инвариантность формы полного дифференциала 3. Производная по направлению 3. Касательная плоскость а нормаль к поверхности 5. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных ГЛАВА X. Свойства двойного интеграла 4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах 5. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах 6. Тройной интеграл и его свойства 3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах 4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах 5. Вычисление криволинейного интеграла 4. Формула Остроградского — Грина 5. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования 6. Отыскание первообразной по полному дифференциалу 7. Криволинейный интеграл по длине дуги ГЛАВА XI. Простейшие свойства числовых рядов 4. Необходимый признак сходимости ряда 5. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов 6. Свойства степенных рядов 3. Ряды по степеням разности х-а 4. Разложение функций в степенные ряды. Числовые ряды с комплексными членами 3. Сходимость ряда Фурье 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций 5. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2l ГЛАВА XII. Дифференциальные уравнения первого порядка 3. Уравнения с разделяющимися переменными 4. Уравнение в полных дифференциалах 7. Простейшие уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка 3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка 3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 3. Задача о площади В элементарной геометрии рассматривались площади плоских фигур, ограниченных прямолинейными отрезками, а также площадь круга и его частей. Площадь этого прямоугольника равна так как - длина малого сегмента Приняв площадь этого прямоугольника за приближенное значение площади малой криволинейной трапеции, получим. Заменив площадь каждой малой криволинейной трапеции площадью прямоугольника с тем же основанием, но с высотой, равной ординате кривой в некоторой произвольной точке основания, получим ступенчатую фигуру, показанную на рис.
Каравай по госту рецептура и технологическая инструкция
Hdmi displayport 3м
Автор экономической таблицы
Maybe i maybe you перевод на русский
Классификатор приказов организации скачать