Исследовательская работа на тему "Методы построения сечений многогранников"
Метод внутреннего проецирования
Построения сечений многогранников
Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно. Методы построения сечений многогранников. В школе плоские сечения многогранников строят лишь на основании аксиом и теорем стереометрии. Вместе с тем существуют и другие методы построения плоских сечений многогранников. Наиболее эффективными являются метод следов, метод внутреннего проектирования и комбинированный метод. Очень интересен и перспективен в плане применения к решению различных задач координатный метод. Если многогранник поместить в систему координат, а секущую плоскость задать уравнением, то построение сечения сведется к отысканию координат точек пересечения плоскости с ребрами многогранника. Целью исследования является изучение различных методов построения сечений многогранников. Для этого и зучен теоретический материал по данной теме , систематизированы методы решения задач на построение сечений, приведены примеры задач на применение каждого метода, рассмотрены примеры задач единого государственного экзамена на построение сечений и вычисление их элементов. Выпускникам предстоит сдавать экзамен по математике , а знание и умение решать стереометрические задачи необходимо для того , чтобы написать данный экзамен на максимальное количество баллов. Актуальность данной работы состоит в необходимости самостоятельно готовиться к экзамену, а рассматриваемая тема является одной из важнейших. А нализ демонстрационных , диагностических и тренировочных вариантов ЕГЭ с гг. В учебном плане задачам на построение сечений многогранников отводится 2 академических часа , что недостаточно для изучения данной темы. Сечением многогранника плоскостью называется геометрическая фигура, представляющая собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данным многограннику и плоскости; плоскость при этом называется секущей плоскостью. Поверхность многогранника состоит из ребер - отрезков и граней - плоских многоугольников. Так как прямая и плоскость пересекаются в точке, а две плоскости - по прямой, то сечением многогранника плоскостью является плоский многоугольник; вершинами этого многоугольника служат точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а сторонами - отрезки, по которым секущая плоскость пересекает его грани. Затем последовательно соединить отрезками эти точки. В параллелепипеде АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 постройте сечение плоскостью , проходящей через вершины C и D 1 и точку K отрезка B 1 C 1 рис. Аналогично в плоскости А 1 В 1 С 1 построим след DK, в плоскости BB 1 C 1 построим след CK. D 1 KC — искомое сечение рис. Следовательно, отрезок МК — одна из сторон искомого сечения рис. Аналогично, отрезок КН — другая сторона искомого сечения рис. Точки М и Н не лежат одновременно ни в одной из граней пирамиды РАВС, поэтому отрезок МН не является стороной сечения этой пирамиды. Прямые КН и РА лежат в плоскости грани АВР и пересекаются. Следовательно, искомое сечение — четырехугольник MKHR рис. Рассмотрим более сложную задачу. Постройте сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью. Прямые QK и АС лежат в одной плоскости АСР по аксиоме прямой и плоскости и пересекаются в некоторой точке T 1 , рис. Прямая РR пересекает DE в некоторой точке F рис. Прямая Т 3 К пересекает ребро РВ в точке L рис. Шестиугольник MNKLQH - искомое сечение. Сечение многогранника, имеющего параллельные грани призма, куб параллелепипед , можно строить, используя свойства параллельных плоскостей. Точки M, P и R расположены на ребрах параллелепипеда. Пользуясь свойствами параллельных прямых и плоскостей, построить сечение данного параллелепипеда плоскостью MPR. Проводим отрезки MR и PR рис. Отрезки MR и PR - стороны искомого сечения. Далее используем теоремы о пересечении двух параллельных плоскостей третьей. Проводим отрезок QH и получаем пятиугольник MRPQH - искомое сечение параллелепипеда. Из определения следа получаем: Именно это свойство следа используют при построении плоских сечений многогранников методом следов. При этом в секущей плоскости удобно использовать такие прямые, которые пересекают ребра многогранника. Сначала секущую плоскость зададим ее следом в плоскости основания призмы пирамиды и точкой, принадлежащей поверхности призмы пирамиды. Предположим, что пятиугольник MNPQR — искомое сечение рис. Как построить такую точку? Пятиугольник MNPQR — искомое сечение рис. Следовательно, MNPQR - искомое сечение. Следовательно, точки N, Р, Q и R пересечения этой плоскости с боковыми ребрами призмы или продолжениями этих ребер всегда существуют. Это означает, что задача имеет единственное решение. Построить сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью, которая задана следом l и внутренней точкой К ребра РЕ. Схематически построение искомого сечения можно изобразить так рис. Пятиугольник MNKQR — искомое сечение. Секущая плоскость часто задается тремя точками, принадлежащими многограннику. В таком случае для построения искомого сечения методом следов сначала строят след секущей плоскости в плоскости основания данного многогранника. Метод внутреннего проектирования называют еще методом соответствий, или методом диагональных сечений. При применении этого метода каждая заданная точка проектируется на плоскость основания. Существует два возможных вида проектирования: Центральное проектирование, как правило, используется при построении сечений пирамид, вершина пирамиды при этом является центром проекции. Параллельное проектирование используется при построении сечений призм. Построим точку пересечения секущей плоскости с ребром РD данной пирамиды. Точка Q— вершина искомого сечения. Пятиугольник MNFQR — искомое сечение рис. Точку пересечения этой прямой с прямой QМ обозначим: Пятиугольник MNPQR— искомое сечение. Сущность комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в следующем. На некоторых этапах построения сечения применяется или метод следов, или метод внутреннего проектирования, а на других этапах построения этого же сечения используются изученные теоремы о параллельности, перпендикулярности прямых и плоскостей. Построив след Т 1 Т 2 , замечаем, что точка Р лежит в плоскости А 1 B 1 C 1 , которая параллельна плоскости АВС. Тогда отрезки ЕR и QМ являются сторонами искомого сечения. Таким образом, пятиугольник ERFQM - искомое сечение. Поэтому точка Е - еще одна вершина искомого сечения. Любую плоскость можно задать уравнением первой степени вида. Уравнение плоскости, проходящей через точку M x 0 , y 0 , z 0 , перпендикулярно вектору нормали n A; B; C имеет вид: Если заданы координаты трех точек A x 1 , y 1 , z 1 , B x 2 , y 2 , z 2 и C x 3 , y 3 , z 3 , лежащих на плоскости, уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой можно найти по следующей формуле: Уравнение плоскости записывается так: Построим точку L она совпала с точкой С. Поэтому если одна из этих плоскостей уже построена, то вторую можно построить как параллельную первой, то есть не подсчитывая координат точек пересечения её с какими-нибудь прямыми. Будем поэтому искать точки пересечения её с осями координат. Получаем четырёхугольник TPQR рис. Пусть ребро заданной призмы равно 2. Введем декартову систему координат. При выбранной системе координат и длине ребра призмы найдем координаты нужных точек: Искомое уравнение имеет вид: Целью исследования было изучение различных методов построения сечений многогранников. Данная работа может быть использована учащимися старших классов для самостоятельной подготовки к ЕГЭ по математике, для углубленного изучения материала на факультативах. Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. Задачник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. Изображение пространственных фигур на плоскости. Учебное пособие для студентов физико-математического факультета педвуза. Выберите специальность, которую Вы хотите получить: Учитель английского языка Учитель биологии Учитель географии Учитель информатики Учитель испанского языка Учитель истории Учитель китайского языка Учитель математики Учитель мировой художественной культуры Учитель начальных классов Учитель немецкого языка Учитель обществознания Учитель основ безопасности жизнедеятельности Учитель основ религиозных культур и светской этики Учитель русского языка и литературы Учитель физики Учитель физической культуры Учитель французского языка Учитель химии Воспитатель детей дошкольного возраста Главный бухгалтер образовательного учреждения Менеджер образования Методист образовательной организации Педагог дополнительного образования детей и взрослых Педагог по обучению лиц с ограниченными возможностями здоровья Педагог среднего профессионального образования Педагог-библиотекарь Педагог-воспитатель группы продлённого дня Педагог-организатор Педагого-психолог Преподаватель бухгалтерского учета Преподаватель высшей школы Преподаватель маркетинга Преподаватель права Преподаватель экологии Преподаватель экономики Социальный педагог Специалист в области воспитания Специалист в области охраны труда Специалист в сфере закупок Специалист по безопасности и антитеррористической защищенности объектов территорий образовательной организации Специалист по организации и предоставлению туристских услуг Специалист по организационному и документационному обеспечению управления организацией Специалист по управлению персоналом и оформлению трудовых отношений. Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок". По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца. ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ. Профессиональной переподготовки 30 курсов от руб. Курсы для всех от руб. Повышение квалификации 36 курсов от руб. Лицензия на осуществление образовательной деятельности: Адрес редакции и издательства: Правообладатель товарного знака ИНФОУРОК: Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов. Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи. Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ Эл. Астрономия Биология Воспитательная работа География Директору, завучу Доп. Классному руководителю Логопедия Математика Музыка Начальные классы ОБЖ Обществознание Русский язык и литература Социальному педагогу Технология Украинский язык Физика Физкультура Химия Школьному психологу Языки народов РФ. Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца часов. Начало обучения новой группы: Подать заявку на курс. Исследовательская работа на тему "Методы построения сечений многогранников". Тезисы Методы построения сечений многогранников Отделение: Учитель английского языка Учитель биологии Учитель географии Учитель информатики Учитель испанского языка Учитель истории Учитель китайского языка Учитель математики Учитель мировой художественной культуры Учитель начальных классов Учитель немецкого языка Учитель обществознания Учитель основ безопасности жизнедеятельности Учитель основ религиозных культур и светской этики Учитель русского языка и литературы Учитель физики Учитель физической культуры Учитель французского языка Учитель химии Воспитатель детей дошкольного возраста Главный бухгалтер образовательного учреждения Менеджер образования Методист образовательной организации Педагог дополнительного образования детей и взрослых Педагог по обучению лиц с ограниченными возможностями здоровья Педагог среднего профессионального образования Педагог-библиотекарь Педагог-воспитатель группы продлённого дня Педагог-организатор Педагого-психолог Преподаватель бухгалтерского учета Преподаватель высшей школы Преподаватель маркетинга Преподаватель права Преподаватель экологии Преподаватель экономики Социальный педагог Специалист в области воспитания Специалист в области охраны труда Специалист в сфере закупок Специалист по безопасности и антитеррористической защищенности объектов территорий образовательной организации Специалист по организации и предоставлению туристских услуг Специалист по организационному и документационному обеспечению управления организацией Специалист по управлению персоналом и оформлению трудовых отношений Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок". Чтобы добавить отзыв, войдите в Ваш кабинет или зарегистрируйтесь. Вы первый можете оставить свой комментарий. Урок в 6 классе "Приведение дробей к новому знаменателю" Исследовательская работа на тему "Бином Ньютона" Исследовательская работа на тему "Функции комплексного переменного" Урок математики в 1 классе " Плоские и объёмные фигуры" Исследовательская работа на тему "Полуправильные многогранники и многоугольники" Исследовательская работа на тему "Геометрические построения с помощью двусторонней линейки" Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Методы построения сечений Метод следов Метод внутреннего проектирования Комбинированный метод Учитель: Сергеева Елена Александровна МОУ СОШ 26 г.Мурманск. - презентация
В своей работе Максимова Е, разбирает всевозможные методы построения сечений многогранников, проводит подробные исследования для каждого случая, приводит сравнительный анализ этих методов, рассматривает применение их в школе. Региональная конференция — конкурс индивидуальных исследовательских проектов, выполняемых школьником при научном консультировании ученых Международной ассоциации международных вузов АСВ. Методы построения сечений многогранников. Вся история геометрии и некоторых других разделов математики тесно связана с развитием теории геометрических построений. Важнейшие аксиомы геометрии, сформированные Евклидом около года до нашей эры, ясно показывают, какую роль сыграли геометрические построения в формировании геометрии. Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. И тогда урок геометрии становится своеобразным исследованием неожиданных сторон привычного школьного предмета. В рамках программы мы изучили один метод построения сечений, но мне стало интересно, а какие методы ещё существуют. Изучить все методы построения сечений многогранников. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как многогранники. Кэролл, - но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук". В настоящее время теория геометрических построений представляет обширную и глубоко развитую область математики, связанную с решением разнообразных принципиальных вопросов, уходящих в другие ветви математики. Еще в глубокой древности человек чертил и рисовал на скалах, камнях, стенах и предметах домашнего обихода изображения вещей, деревьев, животных и людей. Он делал это для удовлетворения своих потребностей, в том числе эстетических. При этом основное требование к таким изображениям заключалось в том, чтобы изображение вызывало правильное зрительное представление о форме изображаемого предмета. С ростом практических и технических применений изображений в строительстве зданий и других гражданских и военных сооружений и т. О таких требованиях можно судить по многим памятникам древности, уцелевшим до наших дней. Однако строгие геометрические обоснованные правила и методы изображения пространственных фигур с соблюдением перспективы стали систематически разрабатывать художники, архитекторы и скульпторы лишь в эпоху Возрождения: Леонардо да Винчи, Дюрер, Рафаэль, Микеланджело, Тициан и др. Начертательная геометрия как наука была создана в конце XVIII века великим французским геометром и инженером Гаспаром Монжем — В XVII веке в России успешно развивались технические чертежи, выполненные в виде планов и профилей в масштабе. Здесь в первую очередь следует назвать чертежи выдающегося русского механика и изобретателя И. Кулибина — В его проекте деревянного арочного моста впервые были использованы ортогональные проекции Ортогональное проектирование плоскости на лежащую в ней прямую или пространства на плоскость — это частный случай параллельного проектирования, в котором направление проекции перпендикулярно прямой или плоскости, на которую проектируют. Большой вклад в развитие ортогональных проекций внес французский инженер А. Фрезье — , который впервые рассмотрел проецирование объекта на две плоскости — горизонтальную и фронтальную. Монжа явилось обобщение всех научных трудов его предшественников, всей теории о методах изображения пространственных фигур и создание единой математической науки об ортогональном проецировании — начертательной геометрии. Рождение этой новой науки почти совпало с основанием в Петербурге первого в России высшего транспортного учебного заведения — Института Корпуса инженеров путей сообщения 2 декабря г. Выпускники этого института, его профессора и ученые внесли существенный вклад в развитие геометрических методов изображения, в теорию и практику начертательной геометрии. В стереометрии изучаются фигуры в пространстве, называемые телами. Наглядно геометрическое тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью. Многогранник называется выпуклым , если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника , а вершины — вершинами многогранника. Поверхность многогранника состоит из ребер, отрезков и граней плоских многоугольников. Так как прямая и плоскость пересекаются в точке, а две плоскости - по прямой, то сечением многогранника плоскостью является плоский многоугольник ; вершинами этого многоугольника служат точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а сторонами - отрезки, по которым секущая плоскость пересекает его грани. Затем последовательно соединить отрезками эти точки, при этом выделить сплошными линиями, видимые и штриховыми невидимые стороны полученного многоугольника сечения. Метод сечений многогранников в стереометрии используется в задачах на построение. В его основе лежит умение строить сечение многогранника и определять вид сечения. Чтобы решить задачу построения сечения многогранника ученик должен знать: Построение плоскости сечения проходит в зависимости от задания этой плоскости. Поэтому все способы построения сечений многогранников можно разделить на методы. Следовательно, отрезок МК — одна из сторон искомого сечения рис. Аналогично, отрезок КН — другая сторона искомого сечения рис. Точки М и Н не лежат одновременно ни в одной из граней пирамиды РАВС, поэтому отрезок МН не является стороной сечения этой пирамиды. Прямые КН и РА лежат в плоскости грани АВР и пересекаются. Следовательно, искомое сечение — четырехугольник MKHR рис. Первые два шага аналогичны шагам 1 и 2 предыдущей задачи. В результате получим стороны КР и КН рис. Построим остальные вершины и стороны многоугольника — сечения. Продолжим отрезок КР до пересечения с прямой AD в точке F рис. Продолжим отрезок КН до пересечения с прямой АВ в точке L рис. Эта прямая пересекает ребра ВС и DС соответственно в точках R и T рис. Теперь проводим отрезки RH и РТ рис. Получаем пятиугольник РКНRТ - искомое сечение пирамиды MABCD рис. Прямые QK и АС лежат в одной плоскости АСР по аксиоме прямой и плоскости и пересекаются в некоторой точке T1, рис. Прямая РR пересекает DE в некоторой точке F рис. Тогда прямые КR и АF лежат в одной плоскости АРR и пересекаются в некоторой точке Т2 рис. Прямая Т3К пересекает ребро РВ в точке L рис. Сечение пирамиды на рис. Вместе с тем сечение многогранника, имеющего параллельные грани призма, параллелепипед, куб , можно строить, используя свойства параллельных плоскостей. Из определения следа получаем: Именно это свойство следа используют при построении плоских сечений многогранников методом следов. Причем в секущей плоскости, удобно использовать такие прямые, которые пересекают ребра многогранника. Сначала секущую плоскость зададим ее следом в плоскости основания призмы пирамиды и точкой, принадлежащей поверхности призмы пирамиды. Предположим, что пятиугольник MNPQR — искомое сечение рис. Как построить такую точку? Следовательно, точки N, Р, Q и R пересечения этой плоскости с боковыми ребрами призмы или продолжениями этих ребер всегда существуют. Это означает, что задача имеет всегда единственное решение. Построим точку пересечения секущей плоскости с ребром РD данной пирамиды. Точка Q— вершина искомого сечения. Для иллюстрации применения этого метода рассмотрим следующую задачу. Решим эту задачу с применением метода следов и теорем о параллельности прямых и плоскостей. Таким образом, пятиугольник ERFQM - искомое сечение. Решим эту задачу, применяя метод внутреннего проектирования и теоремы о параллельности прямых и плоскостей. Поэтому точка Е - еще одна вершина искомого сечения. Благодаря этой работе я обобщила и систематизировала знания, полученные за курс геометрии этого года, ознакомилась с правилами выполнения творческой работы, получила новые знания и применила их на практике. Мне бы хотелось чаще использовать свои новые полученные знания на практике. К сожалению, я рассмотрела не все методы построения сечений многогранников. Существует ещё множество частных случаев: В будущем я планирую расширить своё исследование и дополнить свою работу разбором выше перечисленных частных случаев. Я считаю, что моя работа актуальна, так как она может быть использована учащимися средних и старших классов для самостоятельной подготовки к ЕГЭ по математике, для углубленного изучения материала на факультативах и для самообразования молодых учителей. Выпускники средних школ должны не только овладеть материалом школьных программ, но и уметь творчески применять его, находить решение любой проблемы. Литературное творчество Музыкальное творчество Научно-техническое творчество Художественно-прикладное творчество. Построения сечений многогранников Опубликовано Мухаметшина Рузалия Алиевна вкл История начертательной геометрии Еще в глубокой древности человек чертил и рисовал на скалах, камнях, стенах и предметах домашнего обихода изображения вещей, деревьев, животных и людей. Определения многогранников В стереометрии изучаются фигуры в пространстве, называемые телами. Методы построения сечений многогранников Метод сечений многогранников в стереометрии используется в задачах на построение. Данный материал характеризуется следующим особенностями: Метод сечений применяется только для многогранников, так как различные сложные наклонные виды сечений тел вращения не входят в программу средней школы. В задачах используются в основном простейшие многогранники. Задачи представлены в основном без числовых данных, чтобы создать возможность их многовариантного использования. Что значит построить сечение многогранника плоскостью; Как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость; Как задается плоскость; Когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной. Тремя точками; Прямой и точкой; Двумя параллельными прямыми; Двумя пересекающимися прямыми, Построение плоскости сечения проходит в зависимости от задания этой плоскости. Рассмотрим более сложную задачу. Шестиугольник MNKLQH - искомое сечение. Следовательно, MNPQR - искомое сечение. Пятиугольник MNFQR — искомое сечение. Заключение Благодаря этой работе я обобщила и систематизировала знания, полученные за курс геометрии этого года, ознакомилась с правилами выполнения творческой работы, получила новые знания и применила их на практике. Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. Задачник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. Изображение пространственных фигур на плоскости. Учебное пособие для студентов физико-математического факультета педвуза. Геометрия в таблицах - Учебное пособие для учащихся старших классов - Нелин Е. Геометрия, класс, Справочные материалы, Безрукова Г. Математика, Справочное пособие, Для школьников старших классов и поступающих в ВУЗы, Рывкин А. Алгебра и геометрия в таблицах и схемах, Роганин А.
Рукой закрывал отверстие карбюратора восход
Лоперамид способ применения
Открытая кухня в ресторане
График стоимости квартир в москве
Каталог мужских часов casio