analysis-topics.md

Вопросы к экзамену по математическому анализу

Первый семестр

1. Определение функции, эквивалентности множеств, кардинального числа, счётного множества и множества мощности континуум. Эквивалентность множества всех чётных положительных чисел множеству всех натуральных чисел.
2. Сумма, произведение, степень кардинальных чисел. Доказательство утверждения о том, что множество всех подмножеств счётного множества имеет мощность континуум.
3. Доказательство счётности счётного объединения счётных множеств, доказательство счётности множества рациональных чисел.
4. Теорема Кантора.
5. Вещественные числа и правила их сравнения. Теорема о существовании точной верхней границы у ограниченного сверху числового множества. Определение суммы и произведения вещественных чисел.
6. Ограниченные и неограниченные числовые последовательности. Предел последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности, их основные свойства.
7. Основные теоремы о сходящихся последовательностях (единственность предела, ограниченность, арифметические операции).
8. Предельный переход в неравенствах. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности, число $e$.
9. Принцип вложенных отрезков и лемма Гейне — Бореля.
10. Частичные пределы, верхний и нижний пределы. Теорема Больцано — Вейерштрасса, существование верхнего и нижнего пределов последовательности.
11. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
12. Определения предела функции по Коши и по Гейне, доказательство их эквивалентности. Предел последовательности как предел функции.
13. Теорема о пределе композиции функций. Арифметические операции над функциями, имеющими предел. Принцип двустороннего ограничения.
14. Определение $о$ и $О$ и их основные свойства.
15. Замечательные пределы.
16. Асимптотические представления некоторых элементарных функций в нуле.
17. Понятие непрерывности функции в точке и на множестве. Теорема о непрерывности композиции непрерывных функций. Арифметические операции над непрерывными функциями. Классификация точек разрыва.
18. Локальные свойства непрерывных функций: локальная ограниченность, устойчивость знака. Теорема о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение.
19. Теоремы Вейерштрасса.
20. Монотонные функции. Теорема о точках разрыва монотонной функции.
21. Теорема о непрерывной обратной функции.
22. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора — Гейне и её обобщение на случай неограниченных лучей.
23. Ограниченность функции, непрерывной на отрезке (первая теорема Вейерштрасса).
24. О достижении функцией, непрерывной на отрезке, своих точной верхней и нижней границ (вторая теорема Вейерштрасса).
25. Понятие производной и дифференцируемой функции в точке,
26. Правила дифференцирования суммы, произведения я частного двух функций, сложной функции и обратной функции. Формулы дифференцирования простейших элементарных функций.
27. Первый дифференциал функции. Инвариантность его формы. Использование дифференциала для приближенного вычисления приращения функции.
28. Производные и дифференциалы высших порядков, формула Лейбница. Дифференцирование функции, заданной параметрически.
29. Понятие возрастания (убывания) в точке и локального экстремума функции. Достаточное условие возрастания (убывания) я необходимее условие экстремума дифференцируемой в данной точке функции.
30. Теорема о нуле производной (теорема Ролля) и ее геометрический смысл.
31. Формула конечных приращений (формула Лагранжа). Следствия из теоремы Лагранжа.
32. Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши).
33. Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя).
34. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме.
35. Остаточный член в формуле Тейлора в форме Лагранжа и Пеано.
36. Разложение элементарных функций в ряды Маклорена.
37. Понятие первообразной и неопределенного интеграла функции. Таблица неопределенных интегралов.
38. Простейшие методы интегрирования (замена переменной, интегрирование по частям).
39. Интегрируемость в элементарных функциях класса рациональных дробей (с вещественными коэффициентами).
40. Интегрируемость в элементарных функциях дробно-линейных иррациональностей и других классов функций.