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Notations de Laudau

Négligeabilité

Soient deux fonctions $f$ et $g$, on dit que $f$ est négligeable devant $g$ en $x_{0}\in \overline{\mathbb{R}}$, et on note $f = o_{x_{0}}(g)$ : $f = o_{x_{0}}(g) \iff \lim\limits_{ x \to x_{0} } \frac{f(x)}{g(x)} = 0$

Définitions

Définition formelle

$f = o_{x_{0}}(g)$ ssi il existe une fonction $h$ telle que :

• $\lim\limits_{ x_{0}} g = 0$
• $f = hg$

Définition pratique

Pour les calculs, on utilise plutôt : $f = o_{x_{0}}(g) \iff \lim\limits_{ x \to x_{0} } \frac{f(x)}{g(x)} = 0$

Propriétés

• $f = o_{x_{0}}(g) \implies f=O_{x_{0}}(g)$
  • où $O$ désigne la domination en un point
• Si $f = o_{+\infty}(g)$ et $h = o_{+\infty}(g)$, alors $\lambda f+\mu h=o_{+\infty}(g)$
• $o(1)=\varepsilon(x)$ car $\lim\limits \frac{o(1)}{1} = 0$ donc $\lim\limits$
• $f \sim {x{0}} g \iff f = g+o_{x_{0}}(g)$

Domination en un point

Soient deux fonctions $f$ et $g$ de $I \setminus { a }$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ (avec $a \in \overline{\mathbb{R}}$) $f$ est dominée par $g$ en $a$, ssi $\frac{f}{g}$ est bornée au voisinage de $a$. On note alors $f = \mathcal{O}_{a}(g)$

Définition

$f = \mathcal{O}_{a}(g) \iff \exists M \in \mathbb{R}^{+},\quad |f(x)| \leq M|g(x)| \text{au voisinage de } a$ Soit, formellement : $\exists M\in\mathbb{R}^{+},\quad > \exists \alpha \in\mathbb{R}^{+*},\quad \forall x \in ]a-\alpha; a+\alpha[,\quad |f(x)| \leq M|g(x)|$

Propriétés

• $f = \mathcal{O}{x{0}}(g) \iff g = \mathcal{O}{x{0}}(f)$

  • la domination est commutative
  • évident, car si $\frac{f}{g}$ est bornée, alors $\frac{g}{f}$ l'est aussi

• $\mathcal{O}_{a}(1)$ désigne toute fonction bornée au voisinage de $a$

• Si $f = \mathcal{O}(g)$ et $h = \mathcal{O}(g)$, alors $\lambda f + \mu h = \mathcal{O}(g) \mid_{(\lambda, \mu)\in\mathbb{R}^{2}}$

  • stable par combinaison linéaire

• $\mathcal{O}(\mathcal{O}(f)) = \mathcal{O}(f)$

  • formellement : si $f = \mathcal{O}(g)$ et $g = \mathcal{O}(h)$ alors $f=\mathcal{O}(h)$
  • la domination est transitive

Fonctions équivalentes

Soient $f$ et $g$ deux fonctions, on dit qu'elles sont équivalentes en $x_{0}\in \overline{\mathbb{R}}$, et on note $f(x) \sim_{x_{0}} g(x)$ ssi : $\boxed{f(x)\sim {x{0}} \iff \lim\limits_{ x \to x_{0} } \frac{f(x)}{g(x)} = 1}$

Remarques :

• on écrit pas $0 \sim_{x_{0}} f$ car c'est évidamment toujours faux
• ⚠️ $f \sim_{x_{0}} 0$ n'a pas de sens

Autre définition

$f \sim_{x_{0}} g$ si il existe une fonction $h$ telle que :

• $\lim\limits_{ x_{0} } h = 1$
• $f = hg$ Remarques :
• Dans cette définition, on peut avoir $f \sim_{x_{0}}0$
• Si $x_{0}=\pm\infty$, on peut définir $h$ seulement $b \geq x_{0}$

Propriétés

• l'équivalence de fonctions est une relation d'équivalence

• $f \sim g \implies f \circ \varphi \sim g \circ \varphi$varphi

  • composition à droite
  • la composition à gauche ne fonctionne pas
    • $x+1 \sim_{+\infty} x$ alors que $e^{x+1}\not\sim_{+\infty} e^{x}$
    • la composition fonctionne avec $\ln$ :
      • $f \sim g \implies \ln(f) \sim \ln(g)$

• si $\lim\limits_{ x \to x_{0} }f(x) = a \mid_{a \in \mathbb{R}^{*}}$ on a : $f \sim_{x_{0}} a$

  • si $a = 0$ ou $a = \pm \infty$ alors $f \not\sim_{x_{0}} a$

• $f \sim_{x_{0}} g \iff \alpha f \sim_{x_{0}} \alpha g \mid_{\alpha \neq 0}$

  • stable par multiplication par un scalaire

• $f \sim g \iff f^{\alpha}\sim g^{\alpha}\mid_{\alpha \in\mathbb{R}}$

  • stable par puissance

• $\boxed{f\sim_{x_{0}}g \iff f = g+o_{x_{0}}(g)}$

• Avec les polynômes : Soit $P(x) = a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}$ un polynôme de degré $n$ (donc $a_{n} \neq 0$)

  • au voisinage de $0$ : $P(x) \sim a_{0}$
  • au voisinage de $\pm\infty$ $P(x) \sim a_{n}x^{n}$

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