Курсовая работа: Методы решения задач линейного программирования с n-переменными
Решение задач линейного программирования
1.2 Методы решения задач линейного программирования
Линейное программирование 4
Решение задач линейного программирования графическим методом
Графический метод решения задач линейного программирования: схема и примеры
Цель курсового проектирования — закрепить, систематизировать и комплексно обобщить знания по методам решения задач линейного программирования с n-переменными и развить навыки самостоятельной творческой работы; научиться практически применять полученные теоретические знания при решении конкретных вопросов; научиться пользоваться справочной литературой, стандартами, другими нормативно-техническими документами и средствами вычислительной техники. Объектом исследования будет конкретная задача, описанная ниже. В курсовой работе рассмотрим графический и симплекс-методы линейного программирования с n-переменными и найдем оптимальный план производства товаров, обеспечивающего предприятию максимальную прибыль. Актуальность подобных задач в настоящее время сомнений, как правило, ни у кого не вызывает, так как проблема оптимального планирования производства сейчас, в постиндустриальный век, является, наверное, второй по степени важности после проблемы наилучшей организации передачи и хранения информации, а в России, скорее всего, главной, если говорить исключительно о развитии научного прогресса в нашей стране. Линейное программирование — математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения экстремальных задач на множествах n-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств. Называется программированием условно, не имея ничего общего с написанием машинного кода. Линейное программирование является частным случаем выпуклого программирования, которое в свою очередь является частным случаем математического программирования. Одновременно оно — основа нескольких методов решения задач целочисленного и нелинейного программирования. Одним из обобщений линейного программирования является дробно-линейное программирование. Многие свойства задач линейного программирования можно интерпретировать также как свойства многогранников и таким образом геометрически формулировать и доказывать их. Он был предложен в середине х годов Джорджем Данцигом, одним из основателей линейного программирования, ещё до того, как компьютеры были использованы для решения линейных задач оптимизации. В линейном программировании изучаются свойства решений линейных систем уравнений и неравенств с n-переменными следующего вида:. Основной задачей линейного программирования ОЗЛП с n-переменными называется задача о нахождении такого допустимого плана, который доставляет максимум функции. Иногда в задачах линейного программирования вместо нахождения максимума функции прибыли Z требуется найти минимум функции затрат. Некоторое предприятие может выпускать определённый набор продукции. Требуется построить производственный план, учитывающий ограниченность ресурсов. Необходимо определить нормы выпуска каждого вида продукции, чтобы прибыль от её реализации была максимальной. Таким образом, получаем следующую экономико-математическую модель задачи линейного программирования:. Задачу линейного программирования для N любое целое число переменных можно представить в следующем виде:. Решения, удовлетворяющие системе ограничений условий задачи и требованиям неотрицательности, называются допустимыми, а решения, удовлетворяющие одновременно и требованиям минимизации максимализации целевой функции, — оптимальными. Используя метод Жордана-Гаусса, производим M исключений, в результате которых базисными неизвестными оказались, например, M первых неизвестных х 1 , х 2 , С помощью уравнений преобразованной системы выражаем линейную функцию только через свободные неизвестные и, учитывая, что все базисные неизвестные — неотрицательные: Симплекс-метод является основным в линейном программировании. Решение задачи начинается с рассмотрений одной из вершин многогранника условий. Если исследуемая вершина не соответствует максимуму минимуму , то переходят к соседней, увеличивая значение функции цели при решении задачи на максимум и уменьшая при решении задачи на минимум. Таким образом, переход от одной вершины к другой улучшает значение функции цели. Так как число вершин многогранника ограничено, то за конечное число шагов гарантируется нахождение оптимального значения или установление того факта, что задача неразрешима. Этот метод является универсальным, применимым к любой задаче линейного программирования в канонической форме. Система ограничений здесь — система линейных уравнений, в которой количество неизвестных больше количества уравнений. Если ранг системы равен r, то мы можем выбрать r неизвестных, которые выразим через остальные неизвестные. Для определенности предположим, что выбраны первые, идущие подряд, неизвестные x 1 , x 2 , Тогда наша система уравнений может быть записана как. К такому виду можно привести любую совместную систему, например, методом Гаусса. Правда, не всегда можно выражать через остальные первые r неизвестных мы это сделали для определенности записи. Однако такие r неизвестных обязательно найдутся. Эти неизвестные переменные называются базисными, остальные свободными. Придавая определенные значения свободным переменным и вычисляя значения базисных выраженных через свободные , мы будем получать различные решения нашей системы ограничений. Таким образом, можно получить любое ее решение. Нас будут интересовать особые решения, получаемые в случае, когда свободные переменные равны нулю. Такие решения называются базисными, их столько же, сколько различных базисных видов у данной системы ограничений. Базисное решение называется допустимым базисным решением или опорным решением, если в нем значения переменных неотрицательны. Если в качестве базисных взяты переменные x 1 , x 2 , Симплекс-метод основан на теореме, которая называется фундаментальной теоремой симплекс-метода. Среди оптимальных планов задачи линейного программирования в канонической форме обязательно есть опорное решение ее системы ограничений. Если оптимальный план задачи единственен, то он совпадает с некоторым опорным решением. Различных опорных решений системы ограничений конечное число. Поэтому решение задачи в канонической форме можно было бы искать перебором опорных решений и выбором среди них того, для которого значение F самое большое. Но, во-первых, все опорные решения неизвестны и их нужно находить, a, во-вторых, в реальных задачах этих решений очень много и прямой перебор вряд ли возможен. Симплекс-метод представляет собой некоторую процедуру направленного перебора опорных решений. Исходя из некоторого, найденного заранее опорного решения по определенному алгоритму симплекс-метода мы подсчитываем новое опорное решение, на котором значение целевой функции F не меньше, чем на старом. После ряда шагов мы приходим к опорному решению, которое является оптимальным планом. Итак, симплексный метод вносит определенный порядок как при нахождении первого исходного базисного решения, так и при переходе к другим базисным решениям. Его идея состоит в следующем. Если первое же найденное базисное решение оказалось допустимым, то проверяют его на оптимальность. Если оно не оптимально, то, осуществляется переход к другому, обязательно допустимому базисному решению. Симплексный метод гарантирует, что при этом новом решении линейная форма, если и не достигнет оптимума, то приблизится к нему. С новым допустимым базисным решением поступают так же, пока не находят решение, которое является оптимальным. Если первое найденное базисное решение окажется недопустимым, то с помощью симплексного метода осуществляется переход к другим базисным решениям, которые приближают нас к области допустимых решений, пока на каком-то шаге решения либо базисное решение окажется допустимым и к нему применяют алгоритм симплексного метода, либо мы убеждаемся в противоречивости системы ограничений. Таким образом, применение симплексного метода распадается на два этапа: При этом каждый этап может включать несколько шагов, соответствующих тому или иному базисному решению. Но так как число базисных решений всегда ограниченно, то ограниченно и число шагов симплексного метода. Приведенная схема симплексного метода явно выражает его алгоритмический характер характер четкого предписания о выполнении последовательных операций , что позволяет успешно программировать и реализовать этот метод на ЭВМ. Задачи же с небольшим числом переменных и ограничений могут быть решены симплексным методом вручную. Торговое предприятие планирует организовать продажу 4 видов товара A, B, C, D, учитывая при этом только два вида ресурсов: Плановые нормативы затрат ресурсов в расчете на единицу товара каждого наименования и прибыль от их продажи заданы в таблице. Требуется определить оптимальную структуру товарооборота, обеспечивающую торговому предприятию максимум прибыли. Пусть x — количество товара, продажу которого планирует организовать торговое предприятие. Тогда x 1 — товар вида A, x 2 — товар вида B, x 3 — товар вида C и x 4 — товар вида D. Так как этот ресурс ограничен, имеем следующее ограничение: Задача состоит том, чтобы найти значения x 1 , x 2 , x 3 и x 4 при которых полученная прибыль будет наибольшей. Прибыль обозначим F, тогда. Перед нами открывается диалоговое окно Поиск решения. Далее нажимаем кнопку Добавить для добавления ограничений. И добавляем следующие ограничения:. После ввода каждого ограничения нажимаем кнопку Добавить. После ввода последнего ограничения нажимаем кнопку OK. И диалоговое окно Поиск решения принимает следующий вид:. Выбираем создание отчёта по результатам. Отчеты по устойчивости и пределам не создаются при использовании целочисленных ограничений на переменные. После нажатия кнопки OK в рабочей книге появляется новый лист с названием Отчет по результатам, содержащий отчёт по результатам, и получаем следующие результаты:. Чтобы прибыль максимальной — денежных единиц, предприятие должно выпустить 0 изделий товара A, изделий товара B, 0 изделий товара C и изделий товара D. Задача решается графическим методом, если разность между количеством переменных и количеством ограничений равна двум. Будем передвигать линию уровня, пока не выйдем из многоугольника, что произойдет в точке A с координатами ; В этой точке функция принимает максимальное значение Чтобы достичь максимальной прибыли предприятие должно выпустить изделий товара B и изделий товара D. Решим прямую задачу линейного программирования симплекс-методом. Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных переход к канонической форме. Поскольку задача решается на максимум, то переменную для включения в текущий план выбирают по максимальному положительному числу в уравнении для x 0. Полагая небазисные переменные x 5 и x 3 равными нулю, получим новый допустимый вектор и значение целевой функции:. Полагая небазисные переменные x 2 и x 3 равными нулю, получим новый допустимый вектор и значение целевой функции:. Полагая небазисные переменные x 2 и x 4 равными нулю, получим новый допустимый вектор и значение целевой функции:. Так как необходимо определить плановые нормативы затрат ресурсов в расчете на единицу товара каждого наименования, обеспечивающие торговому предприятию максимум прибыли, то оптимальный план запишем так:. Чтобы прибыль максимальной — денежных единиц, предприятие должно выпустить изделий товара B и изделий товара D. Линейное программирование — это раздел исследования операций, в котором изучаются линейные оптимизационные модели, то есть задачи поиска минимума затрат при условии выполнения необходимого объема работ или максимума прибыли при линейных ограничениях на ресурсы. Ценность решения задач линейного программирования объясняется возможностью на основании итогового отчёта принимать важные управленческие решения и моделировать реальную производственную ситуацию. Это особенно ценно сейчас, в век широкого применения информационных технологий при решении реальных задач. Математическая модель отражает проблему в абстрактной форме и позволяет учесть большое число разнообразных характеристик, от которых зависит эта проблема. Анализ и расчет математической модели позволяют выбрать оптимальные решения поставленной задачи и обосновать этот выбор. В ходе исследования вопроса о решении задачи максимизации методами линейного математического программирования, мною было установлено, что наилучшим алгоритмом решения подобного рода задач является симплекс-метод. Для убеждения в том, что решение выполнено правильно, поставленная задача была решена несколькими методами и проверена в MSExcel. Для наглядности в проекте приводятся скриншоты решения поставленной задачи в MSExcel и подробно расписано решение графического и симплекс-метода. Для максимизации прибыли, которая составляет денежных единиц, предприятие должно выпустить 0 изделий товара A, изделий товара B, 0 изделий товара C и изделий товара D. По моему мнению, наилучшим методом максимизации, то есть решения конкретной поставленной передо мной задачи, является симплекс метод решения задач линейного программирования, которого достаточно подробно освещается в основной части теоретического раздела. В ходе работы над данным курсовым проектом, были раскрыты методы линейного программирования с n- переменными, в частности, графический метод и симплекс-метод и построена экономико-математическая модель задачи линейного программирования с её подробным описанием, получен исчерпывающий отчёт о результатах решения задачи, а также получено графическое и симплекс-решение. Была решена конкретная поставленная передо мною практическая задача. Полученные решения различными методами совпали, что свидетельствует о правильном выполнении задания. Я получила оптимальное решение выпуска товара при максимальной прибыли в денежных единиц. Были выполнены все необходимые ограничения и выявлено в каком количестве стоит производить различные товары. Выполняя данный курсовой проект, я лучше усвоила знания, в особенности симплекс-метод. Выполняя практическое задание, была использована дополнительная литература, которую я брала в библиотеке и на сайтах. Таким образом, было наглядно представлено и прокомментированы полученные решения задач и нахождение оптимального плана выпуска товара, где достигалась максимальная прибыль и ресурсы использовались наиболее полно. Авиация и космонавтика Административное право Арбитражный процесс 23 Архитектура Астрология 4 Астрономия Банковское дело Безопасность жизнедеятельности Биографии Биология Биология и химия Биржевое дело 68 Ботаника и сельское хоз-во Бухгалтерский учет и аудит Валютные отношения 50 Ветеринария 50 Военная кафедра ГДЗ 2 География Геодезия 30 Геология Геополитика 43 Государство и право Гражданское право и процесс Делопроизводство 19 Деньги и кредит ЕГЭ Естествознание 96 Журналистика ЗНО 54 Зоология 34 Издательское дело и полиграфия Инвестиции Иностранный язык Информатика Информатика, программирование Исторические личности История История техники Кибернетика 64 Коммуникации и связь Компьютерные науки 60 Косметология 17 Краеведение и этнография Краткое содержание произведений Криминалистика Криминология 48 Криптология 3 Кулинария Культура и искусство Культурология Литература: Плохо Средне Хорошо Отлично. Банк рефератов содержит более тысяч рефератов , курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому. Методы решения задач линейного программирования с n-переменными Название: Методы решения задач линейного программирования с n-переменными Раздел: Рефераты по информатике, программированию Тип: ПО Талант Людмила Владимировна Руководитель: Стерлитамак Содержание Введение Постановка основной задачи линейного программирования с n-переменными Графический метод решения задач линейного программирования с n-переменными Симплекс-метод решения задач линейного программирования с n-переменными Математическая модель Решение задачи в MS Excel Решение задачи графическим методом Решение задачи симплекс-методом Аналитическая часть Заключение Список используемой литературы В ведение Цель курсового проектирования — закрепить, систематизировать и комплексно обобщить знания по методам решения задач линейного программирования с n-переменными и развить навыки самостоятельной творческой работы; научиться практически применять полученные теоретические знания при решении конкретных вопросов; научиться пользоваться справочной литературой, стандартами, другими нормативно-техническими документами и средствами вычислительной техники. Постановка основной задачи линейного программирования с n-переменными Линейное программирование — математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения экстремальных задач на множествах n-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств. В линейном программировании изучаются свойства решений линейных систем уравнений и неравенств с n-переменными следующего вида: Точка в n - мерном пространстве 1. Основной задачей линейного программирования ОЗЛП с n-переменными называется задача о нахождении такого допустимого плана, который доставляет максимум функции 1. Допустимый план, доставляющий максимум функции 1. Иногда в задачах линейного программирования вместо нахождения максимума функции прибыли Z требуется найти минимум функции затрат 1. Графический метод решения задач линейного программирования с n -переменными Задача линейного программирования для n-переменных Рассмотрим задачу формирования плана производства. Формализация n - число различных видов продукции. Ваш сайт очень полезный! Сделай паузу, студент, вот повеселись: На экзамене по физике профессор пытается вытянуть на положительную оценку нерадивого студента: Кстати, анекдот взят с chatanekdotov. Где скачать еще рефератов? Кто еще хочет зарабатывать от рублей в день "Чистых Денег"? Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?
Детство чика рассказы
Задачи на проценты гиа
Способ применения крем суфле для очищения лица
Место истории философии в системе философского знания
Проблемы и перспективы развития россии
Курское интернет телевидение официальный сайт