Create a gist now

Instantly share code, notes, and snippets.

What would you like to do?
Краевая задача принципа максимума

Краевая задача принципа максимума


Краевая задача принципа максимума



3. Принцип максимума Понтрягина.
Вы точно человек?
Принцип Максимума Понтрягина


























В таком случае, пожалуйста, повторите заявку. Состояние объекта управления характеризуется n -мерной вектор функцией, например, функцией времени. Так, шестимерная вектор-функция времени полностью определяет положение самолета как твердого тела в пространстве. Три координаты определяют положение центра масс, а три - вращение вокруг центра масс. От управляющего органа к объекту управления поступает вектор-функция. Наиболее развитым в настоящее время является уравнение, в котором векторы связаны системой обыкновенных дифференциальных уравнений. На управление обычно накладывается условие. Будем называть далее управлением кусочно-непрерывную на отрезке т. Управление и называется допустимым, если оно удовлетворяет ограничению 1. Заметим, что ограничиться рассмотрением непрерывных управлений оказывается невозможным, так как с их помощью трудно моделировать моменты переключения управления такие, как, например, включение и отключение двигателей, отделение ступеней ракеты, поворот рулей и т. Иногда рассматривают и более широкие классы допустимых управлений, например, класс всех ограниченных измеримых управлений, удовлетворяющих условию 1. Поскольку при разрывных правых частях классическое понятие решения системы дифференциальных уравнений неприменимо, поясним, что понимается в данном случае под решением задачи 1. Для этого поступим следующим образом. Пусть функция и имеет скачки в точках причем. Предположим, что задача 1. Далее рассмотрим задачу Коши. Предполагая, что она имеет решение на отрезке [ ] и ,приходим к задаче. Если функцию х удалось определить указанным способом на всем отрезке [to. Т], то будем называть ее решением задачи 1. Отметим, что x - непрерывная по построению функция, удовлетворяющая на отрезке равенству. При выполнении определенных условий на f решение задачи 1. Таким образом, начальный и конечный моменты времени не обязательно фиксированы. Случаю фиксированных to, Т соответствуют множества , , состоящие из одной точки; при этом говорят, что рассматривается задача с закрепленным временем. Во всех остальных случаях левый конец называют подвижным. В аналогичных ситуациях говорят о закрепленном, свободном или подвижном правом конце траектории. Цель управления в задаче оптимального управления состоит в минимизации некоторого функционала на множестве допустимых наборов. Наиболее часто под задачами управления понимаются задачи, в которых роль функционала выполняет интегральный функционал. Эта задача называется задачей Больца. Ее частными случаями являются задача с интегральным функционалом, называемая задачей Лагранжа, и задача с терминальным функционалом, называемая задачей Майера. Набор to, Т, х , и, х , минимизирующий функционал 1. Часто решением задачи оптимального управления называют пару ц, х. Эффективным средством исследования задач оптимального управления является принцип максимума Понтрягина, представляющий собой необходимое условие оптимальности в таких задачах. Рассмотрим задачу оптимального управления, являющуюся частным случаем задачи, сформулированной выше. При этом предполагается, что моменты to, Т фиксированы, т. Функция Н называется функцией Гамильтона. Пусть функции и, Ф, g 1 , Предположим, что и, х -решение задачи 2. Центральным в теореме является условие максимума - 2. Если отказаться от предположения о том, что конечный момент времени Т фиксирован, то теорема останется справедливой за исключением условия трансверсальности на правом конце траектории. Требуется найти управление и, переводящее точку из начального положения в начало координат за минимальное время Т задача оптимального быстродействия. При этом скорость точки в конце траектории должна быть нулевой, а управление - удовлетворять условию. Применим к сформулированной задаче принцип максимума Понтрягина. Тогда движение управляемого объекта описывается системой двух дифференциальных уравнений первого порядка:. Очевидно, что максимум функции Н по и U достигается при. Используя граничные условия найдем С 2. Убедимся вначале, что необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума дают, вообще говоря, достаточную информацию для решения задачи оптимального управления 2. Как известно, общее решение системы 2. Для их определения мы имеем 2п условий 2. Еще одно условие определяется из следующих соображений. Легко понять, что, в силу линейности функции Н по переменным принцип максимума Понтрягина определяет вектор с точностью до положительного постоянного множителя. В противном случае накладывают какое-либо условие нормировки, например,. Изложенные соображения дают возможность в простейших случаях решить задачу оптимального управления в явном виде. Опишем численный метод, основанный на тех же соображениях. Для этого рассмотрим краевую задачу для системы дифференциальных уравнений 2. Вместе с оценкой стоимости вы получите бесплатно БОНУС: Даю согласие на обработку персональных данных и получить бонус. Спасибо, вам отправлено письмо. Если в течение 5 минут не придет письмо, возможно, допущена ошибка в адресе. Принцип Максимума Понтрягина Постановка задачи оптимального управления. Состояние объекта управления характеризуется n -мерной вектор функцией, например, функцией времени Так, шестимерная вектор-функция времени полностью определяет положение самолета как твердого тела в пространстве. И так, пусть движение управляемого объекта описывается системой дифференциальных уравнений 1. На управление обычно накладывается условие , 1. Рассмотрим задачу Коши 1. Предполагая, что она имеет решение на отрезке [ ] и ,приходим к задаче и т. Отметим, что x - непрерывная по построению функция, удовлетворяющая на отрезке равенству При выполнении определенных условий на f решение задачи 1. Помимо ограничения на управление могут существовать ограничения и на фазовые координаты 1. Наиболее часто под задачами управления понимаются задачи, в которых роль функционала выполняет интегральный функционал Мы будем рассматривать задачу с целевым функционалом 1. Рассмотрим задачу оптимального управления, являющуюся частным случаем задачи, сформулированной выше 2. Следующая теорема выражает необходимые условия оптимальности в задаче 2. Теорема принцип максимума Понтрягина. Примеры применения принципа максимума. Простейшая задача оптимального быстродействия. Пусть точка движется по прямой в соответствии с законом 3. Тогда движение управляемого объекта описывается системой двух дифференциальных уравнений первого порядка: Задав произвольные начальные условия и решив каким-либо численным методом задачу Коши для системы 2. Экзаменационные вопросы и билеты по линейной алгебре за весенний семестр года примерный перечень экзаменационных вопросов линейная алгебра Прямоугольная матрица, ее порядок, главная и побочная диагонали. Единичная, нулевая, треугольная, симметричная, транспонированная матрицы. Механизмы качающегося конвейера 1. Динамический синтез рычажного механизма Динамический синтез рычажного механизма по коэффициенту неравномерности движения сводится к определению момента инерции маховика, обеспечивающего приближенно равномерное движение звена приведения. Типовой расчет по теоретической механике Задание Д-1 Дано: Рассмотрим движение тела принимаемого за материальную точку на участке Покажем силы действующие на тело:. Применение метода частотных диаграмм к исследованиям устойчивости систем с логическими алгоритмами управления Московский Государственный Технический Университет им. Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости систем с логическими алгоритмами управления. Лабораторная работа В предыдущих лабораторных работах была изложена теория многочленной аппроксимации. Попробуем теперь изложить подобную теорию для аппроксимации периодических функций рядами Фурье. Ряд Фурье на интервале -N. Gran A Course in Ocean Engineering. Gran "A Course in Ocean Engineering" Article 4. Буду рад вашим замечаниям, пожеланиям и предложениям, которые можно послать по адресу:. Основы теории надежности Общие сведения о технической диагностике и надежности. Объект, состояние которого определено, называется объектом диагноза. Экзаменационные билеты по предмету: Уравнения математической физики за весенний семестр года 1. Какие функции называются ортогональными в интервале? Какая система функций называется ортогональной в интервале? Сформулируйте определение ряда Фурье по о. Определение, действия с векторами, свойства. Экзаменационные билеты с вопросами за весенний семестр года по: Экзаменационные билеты по численным методам за первый семестр года примерный перечень экзаменационных вопросов ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Математическая модель и ее погрешности. Представление чисел в ЭВМ. Работа компьютера с плавающей или фиксированной точкой. Методы решения логистических задач Современная теория логистики, ее сущность, методология, показатели и тенденции развития. Общая характеристика и особенности системного анализа, кибернетического подхода и исследования операций. Понятие, сущность, этапы, методы и принципы прогностики. Автоматические устройства Механика автоматических устройств Методические указания по выполнению курсовой работы Составитель: Дана методика кинематического и динамического анализа механизмов с двумя степенями свободы. На основе примеров представлена последовательность составления Численные методы и их реализация в Excel Кыргызский Государственный Национальный Университет Институт Интеграции Международных Образовательных Программ Кыргызско - Американский факультет Компьютерных технологий и ИНТЕРНЕТ. Экзаменационные билеты по аналитической геометрии за первый семестр года примерный перечень экзаменационных вопросов Аналитическая геометрия Линия на плоскости. Ее уравнение в декартовой системе координат. Текущие координаты произвольной точки линии. Системы и их типологические, генеалогические, стадиальные и ареальные классы с позиций системологии Уточнение понятия функции функционального объекта. Соотношение его структурных и качественных свойств. Отличия функции системы от математической функции. Текущая и предельная внутренняя детерминанта. Эволюция системы, исходная внутренняя детерминанта. Категории Авиация и космонавтика Административное право Арбитражный процесс 29 Архитектура Астрология 4 Астрономия Банковское дело Безопасность жизнедеятельности Биографии Биология Биология и химия Биржевое дело 79 Ботаника и сельское хоз-во Бухгалтерский учет и аудит Валютные отношения 70 Ветеринария 56 Военная кафедра География Геодезия 60 Геология Геополитика 49 Государство и право Гражданское право и процесс Делопроизводство 32 Деньги и кредит Естествознание Журналистика Зоология 40 Издательское дело и полиграфия Инвестиции Иностранный язык Информатика 74 Информатика, программирование Исторические личности История История техники Кибернетика 83 Коммуникации и связь Компьютерные науки 75 Косметология 20 Краеведение и этнография Краткое содержание произведений Криминалистика Криминология 53 Криптология 5 Кулинария Культура и искусство Культурология Литература:


3. Принцип максимума Понтрягина.


Рассмотрим исходную постановку задачи оптимального управления, заключающуюся в поиске такой управляющей функции и соответствующей траектории , удовлетворяющей системе 1. Функции в системе 1. Оптимальное управление отыскивается в классе кусочно-непрерывных функций с конечным числом точек разрыва, со значением из некоторой замкнутой или открытой выпуклой области — мерного пространства. При этом фазовые координаты в точках разрыва управления остаются непрерывными. В качестве критерия оптимальности рассматривается функционал Майера. В рассматриваемом случае начальное состояние считается заданным, а - свободным, то есть рассматривается задача со свободным правым концом. Если в вариационном исчислении минимум отыскивается среди близких кривых сравнения - малые по мере или , то в принципе максимума вариации управления могут быть конечными, но из заданной области. В водится понятие игольчатой вариации. Малым будет и приращение функционала. Использование игольчатых вариаций позволяет получить более сильные условия - необходимые условия абсолютного минимума максимума. В соответствие с 3. Будем говорить, что удовлетворяет условию максимума функции если при фиксированных для любого времени выполняется условие. Если управление доставляет минимум максимум функционалу 3. Из формулировки принципа максимума следует, что принцип максимума является необходимым условием абсолютного минимума. Принцип максимума сформулирован академиком Понтрягиным Л. Принцип максимума позволяет получить замкнутую систему уравнений 3. Следует отметить, что в соответствие с принципом максимума задача минимизации функционала сводится к задаче максимизации функции и решению краевой задачи. В том случае, когда время не фиксировано, полученная система соотношений принципа максимума должна быть дополнена условием трансверсальности, которое имеет вид. В общем случае принцип максимума дает необходимые условия абсолютного минимума максимума , можно доказать, что в случае линейных систем с линейным или квадратичным функционалом принцип максимума дает и достаточные условия оптимальности. В том случае, когда конечные значения заданы правый конец несвободен допустимыми являются не все возможные функции , а только те из них, которые приводят траекторию в заданное состояние. Поэтому из доказательства принципа максимума со свободным правым концом не следует его справедливость для систем с фиксированными концами. Тем не менее оказывается, что условия принципа максимума выполняются и в этом случае, за исключением граничных условий для множителей Лагранжа. Таким образом, решение сводится к краевой задаче 3. Окончательное суждение об оптимальности найденного управления можно сделать по знаку второй производной. Если , найденное управление доставляет минимум. Оптимальное управление находится из условия максимума функции по. Так как , то , а - находится из краевой задачи. Тогда из условия максимума функции по следует, что. Для определения имеем уравнение. Пусть —постоянная положительная величина. Из условия , следует. Так как отрицательна, то. Рассмотрим решение этой задачи на основе принципа максимума. В соответствии с принципом максимума функционал качества необходимо представить в форме Майера: Для этого введем переменную с помощью уравнения. Введем функцию , где множители Лагранжа удовлетворяют уравнению с неизвестными начальными и конечными значениями. Из структуры видно, что. Тогда дальнейшее исследование функции сводится к исследованию. И з условия максимума функции следует, что. Учитывая, что - линейная функция, меняющая знак не более одного раза, оптимальное управление может быть: Предположим, что , тогда. На фазовой плоскости получим уравнение. Различным значениям будут соответствовать различные фазовые траектории параболы. И только при фазовая траектория проходит через начало координат. Поэтому с управлением можно попасть в начало координат только, стартуя с фазовой траектории 0А. В идно, что с управлением можно попасть в начало координаты только стартуя с точек фазовой траектории B 0. Таким образом, фазовая плоскость делится линией A 0 B на 2 части области D и C. Есть старт с точек области D , то сначала , затем. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Казанский национальный исследовательский технический университет им. В качестве критерия оптимальности рассматривается функционал Майера , 3. В водится понятие игольчатой вариации здесь не малые, но влияние на управляемое движение малое, то есть , обусловленное воздействием мало в силу малости времени его воздействия. Вводится функция , 3. Будем говорить, что удовлетворяет условию максимума функции если при фиксированных для любого времени выполняется условие 3. В том случае, когда время не фиксировано, полученная система соотношений принципа максимума должна быть дополнена условием трансверсальности, которое имеет вид , которое используется для определения оптимального времени процесса. Пусть уравнение движения имеет вид 3. В данном случае , 3. Пусть уравнение движения имеет вид - задано. Вводя новую переменную перейдем от задачи Лагранжа к задаче Майера. В этом случае , где и удовлетворяют системе управлений с граничными условиями ;. Из условия находим Так как , то , а - находится из краевой задачи. При этом , значит найденное управление доставляет максимум функции и дает решение поставленной задачи. Пусть уравнение движения имеет вид - задано требуется найти управление , минимизирующее при условии, что - задано, а управление ограничено. Тогда из условия максимума функции по следует, что то есть. Так как отрицательна, то то есть не влияет на величину оптимального управления, а влияет только на знак его. Задача на максимальное быстродействие. Для этого введем переменную с помощью уравнения Тогда. Дальнейшее решение проведем для системы, описывающейся уравнением. В данном случае , где. Решая систему уравнений, найдем. Предположим, что , тогда - константы интегрирования. В этом случае и. Если же — c точек области C , то. Линия A 0 B — линия переключения. Так реализуется оптимальное управление в задаче быстродействия. Соседние файлы в папке МТОУ Дегтярев


Работа с таблицами excel видео
Акторы международных отношений
Таблица водогазопроводных стальных труб
Бланк распорядка дня
Тавен бахтале перевод с цыганского
Sign up for free to join this conversation on GitHub. Already have an account? Sign in to comment