Методика работы над текстовыми задачами в начальной школе методические рекомендации
Геометрический материал в начальном курсе математики (в помощь студенту)
Решение задач на построение — шаг к развитию логического мышления
Решение задач на построение в курсе геометрии основной школы как средство развития логического мышления школьников. Геометрические задачи на построение, возможно, самые древние математические задачи. Кому-то они сейчас могут показаться не очень интересными и нужными, какими-то надуманными. И в самом деле, где и зачем может понадобиться умение с помощью циркуля и линейки построить правильный семнадцатиугольник или треугольник по трем высотам, или даже просто сделать построение параллельной прямой. Современные технические устройства сделают все эти построения и быстрее, и точнее, чем любой человек, а заодно смогут выполнить и такие построения, которые просто невозможно выполнить при помощи циркуля и линейки. И все же без задач на построение геометрия перестала бы быть геометрией. Геометрические построения являются весьма существенным элементом изучения геометрии. Однако, анализ содержания школьного математического образования позволил выявить ряд недостатков в обучении школьников:. Наметилась четкая тенденция к сокращению количества задач на построение в школьном курсе математики. Это объясняется тем, что значительно сужена роль задач на построение, которая соответствует целям обучения, таким как развитие мышления и воспитание учащихся, и проявляется в виде воздействия на мышление учеников, в первую очередь на логическое. В большинстве случаев, считается, что главная и единственная цель обучения решению таких задач — это формирование практических умений и навыков построения основных геометрических фигур: Знания учащихся по данной теме нередко носят формальный характер, наблюдается отсутствие структурности. Так, при изучении задач на построение единственное, что требует учитель — это знание соответствующих алгоритмов построений. При этом не объясняется, как получен данный алгоритм. Поэтому ученик вынужден запоминать материал без понимания. В настоящий момент в школе недостаточно уделяется внимания рассмотрению таких основных методов решения задач на построение как метод преобразований, алгебраический метод, метод геометрического места точек. У учащихся нет четкого представления об этапах решения задач на построение: Практически не уделяется внимание одному из важных этапов — исследованию, в котором учащиеся зачастую не видят смысла, несмотря на то, что он, в свою очередь, является хорошим средством развития логического мышления. Проблема исследования заключается в рассмотрении на основе психологии, педагогики и методики преподавания математики возможности развития логического мышления учащихся при решении задач на построение в курсе основной школы. А также изучается сравнение отрезков с помощью циркуля. Далее идет изучение прямой и луча. Следующие построения рассматриваются в начале второй главы в пункте окружность и круг. А именно построение окружности с помощью циркуля. В конце курса школьники учатся обращаться с чертежным треугольником построения прямого угла. В конце курса учащиеся знакомятся с перпендикулярными и параллельными прямыми и строят их с помощью чертежного треугольника и линейки. Далее следует изучение луча и сравнения отрезков с помощью циркуля. В следующей главе рассматривается понятие угла и его построение, в том числе с помощью угольника. Третья глава посвящена изучению многоугольников, в частности прямоугольников и треугольников. Далее определяются касательная к окружности, концентрические окружности, и рассматриваются варианты взаимного расположения прямой и окружности, двух прямых на плоскости. Предлагаются различные задачи на построение касательной к окружности; окружности, касающейся двух параллельных прямых; двух окружностей. Одна из глав учебника посвящена изучению симметрии: Предлагаются задачи на построение симметричных фигур, а также на нахождение кратчайшего пути. Также имеется глава, посвященная фигурам на плоскости, в частности треугольникам и параллелограммам. В ней рассматривается построение треугольника по трем сторонам и предлагаются задачи на построение различных треугольников прямоугольных, равнобедренных, остроугольных, тупоугольных. Основываясь на том, что учащиеся умеют с 5 и 6 класса выполнять основные построения с помощью циркуля и линейки, в теме рассматриваются задачи на построение такие как: Схема, по которой решаются задачи на построение, не вводится. Основная цель главы 2 — отработать навыки решения простейших задач на построение с помощью циркуля и линейки см. Данная глава содержит целый блок задач на построение для самостоятельного решения, который состоит в основном из задач на построение различных треугольников по различным элементам. В конце 7 класса также имеется блок задач на построение, перед которым описывается схема, по которой решают задачи на построение: Перед этим еще раз идет повторение схемы решения задач на построение. В этой же главе после изучения прямоугольника, ромба и квадрата предлагается решить задачи на их построение. Также приводится ряд задач на построение треугольников по данным отношениям для самостоятельного решения. Основная цель главы 7 — сформировать понятие подобных треугольников, выработать умение применять признаки подобия треугольников, сформировать аппарат решения прямоугольных треугольников см. Говорится о том, что решение подобных задач основано на теореме признаке касательной. Также в главе изучаются четыре замечательные точки треугольника. Задачи на построение касательной к окружности, серединного перпендикуляра к отрезку содержит каждый пункт главы. Основная цель главы 8 — дать учащимся систематизированные сведения об окружности и ее свойствах, вписанной и описанной окружностях см. В конце 8 класса в разделе задач повышенной трудности встречается задача на построение равнобедренной трапеции по основаниям и диагоналям. А также построения встречаются в задачах на повторение. Предлагается с помощью циркуля и линейки вписать в окружность различные правильные многоугольники. Также построения встречаются в задачах не повторение. Основная цель главы 12 — расширить и систематизировать знания учащихся об окружностях и многоугольниках см. В конце главы содержатся задачи на построение, решение которых основано на изученном материале. Основная цель главы 13 — познакомить с понятием движения на плоскости: Схема решения не вводится. В следующих пунктах рассматриваются задачи на построение треугольника с данными сторонами; угла, равного данному; биссектрисы угла; деление отрезка пополам; построение перпендикуляра к прямой. В конце параграфа приводится ряд задач на построение для самостоятельного решения. В основном это задачи на построение треугольника и окружности по данным элементам и задачи на ГМТ. Также содержится ряд задач на построение параллелограмма, ромба и трапеции по данным элементам. В конце параграфа приведены задачи на построение, решение которых основано на методах данных преобразований. В конце имеется пара задач: Тут же приводится задача на построение треугольника, стороны которого равны сторонам данного треугольника. Приводится построение, доказательство и исследование, но на общей схеме внимание не заостряется. Для самостоятельного решения задач нет. Основная цель главы 1 — рассказать о задачах систематического курса геометрии и заложить основу для его построения см. В конце параграфа содержится несколько задач на построение. Основная цель главы 2 — развить навыки решения задач на построение с помощью циркуля и линейки, начать знакомство с симметриями фигур см. Также приводятся примеры, каким ГМТ являются биссектриса и серединный перпендикуляр. Параграф содержит такие задачи как, например, найти ГМТ, равноудаленных от прямой на данное расстояние; найти ГМТ, равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых. Также в нем рассказывается о том, что циркулем и линейкой могут быть построены не все правильные n-угольники, а только те, у которых n имеет определенное разложение. Приводятся примеры задач на построение, решение которых основано на данных методах. В качестве примера приводится задача на построение четвертого пропорционального отрезка. Основная цель главы 8 — познакомить учащихся с методами, отсутствовавшими в классической элементарной геометрии, но играющими в современной геометрии ведущую роль: После рассмотренных задач приводится схема решения задач на построение: Также учащимся предлагается самостоятельно решить задачи на построение трапеций, четырехугольников и треугольников по различным данным элементам, основываясь на изученных методах. В конце главы 1 имеется ряд задач на нахождение ГМТ и блок задач на построение. В конце главы 3 содержится ряд задач на нахождение ГМТ и блок задач на построение. В конце главы 5 содержится блок задач на построение. В учебниках для классов задачи на построение практически не рассматриваются как самостоятельные. Чаще всего это задания на построение фигур по заданным размерам. Процент заданий на построение из всех геометрических заданий: В целом картина кажется достаточно отрадной. Во всех учебниках по геометрии для класса задачи на построение рассматриваются как самостоятельные в конце 7 класса. Осуществляются следующие элементарные построения: В качестве метода решения задач на построение в учебниках кроме учебника [7] рассматривается метод геометрического места точек. Схема решения приводится в учебниках [7], [8]. В учебнике [6] схема приводится без анализа. В учебнике [5] ее нет. В классах встречаются задания на построение фигур по некоторым заданным элементам. Произвольные треугольники и четырехугольники строятся по сторонам и углам. Четырехугольники особых видов ромбы, квадраты, прямоугольники — по сторонам и диагоналям. Рассматриваются приемы описывания и вписывания окружностей в треугольники и четырехугольники. Алгебраический метод решения задач на построение приводится только в учебнике [8]. В учебнике [6] рассказывается о трисекции угла, квадратуре круга, окружности Аполлония. Рассматривая учебники, можно отметить, что в них достаточно высок процент заданий на построение в 7 классе, причем рассматриваются стандартные и элементарные задачи на построение. Однако к 9 классу процент геометрических заданий на построение резко падает. Быть может ситуация обусловлена тем, что к 9 классу у всех школьников уже развито логическое и пространственное мышление, сформированы графические умения и навыки, они легко и верно читают любой чертеж, не затрудняются с его интерпретацией, легко строят любой нужный чертеж по тексту задачи? Увы, ситуация совсем не такова. Так как задания на построение составляют базу для работы, развивающей навыки построения фигур, способствующей формированию умения читать и понимать чертеж, устанавливать связи между его частями, то недостаточность этой системы обусловливает плохое развитие пространственного и логического мышления ученика, низкий уровень его графической культуры. Книга, состоящая из двух частей, включает более задач по планиметрии. Вторая часть содержит параграф, посвященный теме геометрических мест точек. Задач предлагается немного, они достаточно сложные, предназначенные по большей мере для специализированных классов, для студентов. Задачи сопровождаются указаниями и подробными решениями. В этот сборник включены нестандартные геометрические задачи несколько повышенного по сравнению со школьными знаниями уровня. Для всех задач прилагаются решения. Книга состоит из двух частей. Первая содержит классические темы планиметрии, вторая — геометрические преобразования и задачи на олимпиадную и кружковую тематику. За основу классификации задач приняты методы решения геометрических задач. Одна из глав посвящена методу ГМТ, которая содержит достаточное количество задач на построение разного уровня сложности, в которых применяется данный метод. Применяются как основные ГМТ, так и более сложные. Есть глава, посвященная геометрическим построениям треугольников, четырехугольников, окружностей с помощью различных методов, включает в себя разнообразный набор задач на построение. Кроме того, в этой главе рассматриваются построения с помощью одной линейки, одной двусторонней линейки, с помощью одного прямого угла. Также здесь приводятся необычные построения например, деление угла на n равных частей. Имеются отдельные главы, посвященные методам параллельного переноса, центральной симметрии, осевой симметрии, поворота, гомотетии, в которых также хорошо отражена суть методов и содержится хороший набор задач разного уровня на применение каждого метода. Даются основные понятия к каждой главе. Книга предназначена для более углубленного изучения элементарной геометрии. Для учащихся школ, лицеев, гимназий с математической специализацией и студентов. Первый том посвящен планиметрии и преобразованиям плоскости, второй — стереометрии и преобразованиям пространства. В данном пособии уделено много внимания методу геометрических преобразований, в связи с тем, что чисто геометрические методы в последнее время отходят на второй план и данный метод до сих пор не нашел своего места в школьном курсе геометрии. Как пишет автор, его пытались изучать с самого начала, растянув на всю восьмилетнюю школу. Теперь предполагается заняться им в конце изучения планиметрии. Но по-прежнему ученики не владеют им даже на начальном уровне. В книге расширен материал школьных учебников, добавлены многие геометрические факты. Теория геометрических построений вынесена за рамки пособия. В систематическом виде изложен теоретический и задачный материал по методу геометрических преобразований плоскости. Он позволяет оригинально и красиво решать многие геометрические задачи. Большую часть пособия составляют задачи различной степени трудности, к большинству из них даны ответы или краткие указания. Первый том содержит две части. Вторая часть посвящена преобразованиям плоскости. В частности две первые ее главы описывают движения плоскости и методы решения задач на построение центральная симметрия, осевая симметрия, параллельный перенос, поворот, подобие. Второй том также содержит две части. В первой части четвертая глава посвящена ГМТ. Здесь рассматриваются различные ГМТ плоскости, а также ГМТ пространства: Применение метода ГМТ для решения стереометрических задач. Вторая часть посвящена преобразованиям пространства аналогично второй части первого тома. Две первые ее главы описывают движения пространства и методы решения задач на построение центральная симметрия, осевая симметрия, параллельный перенос, поворот, подобие. В книге отдельно не выделяется применение метода ГМТ для планиметрических задач, а также не рассмотрен алгебраический метод. Книга насчитывает более задач на построение, что представляет учащимся и преподавателям огромный выбор. В основном книга посвящена решению задач на построение при помощи циркуля и линейки, но последний раздел посвящен решению задач одним циркулем, двусторонней линейкой, прямого или острого угла, односторонней линейкой с применением вспомогательной окружности Штейнера. Сборник можно разделить на три части, включающие: Представлен очень хороший набор задач различной степени сложности, на применение различных методов, и приведены решения. Каждый метод подробно описан, приведены примеры. Также в книге рассмотрена тема: Мышление — высшая форма активного отражения объективной реальности, состоящая в целенаправленном, опосредованном и обобщенном познании субъектом существующих связей и отношений предметов и явлений в творческом созидании новых идей, в прогнозировании событий и явлений [27]. Мышление — социально обусловленный, неразрывно связанный с речью психический процесс поисков и открытия существенно нового, процесс опосредованного и обобщенного отражения действительности в ходе ее анализа и синтеза. Мышление возникает на основе практической деятельности из чувственного познания и далеко выходит за его пределы [16]. Мышление — это обобщенное отражение объективной действительности в ее закономерных, наиболее существенных связях и отношениях. Оно характеризуется общностью и единством с речью. Другими словами, мышление есть психический процесс познания, связанный с открытием субъективно нового знания, с решением задач, с творческим преобразованием действительности. Мышление — психический процесс обобщенного и опосредованного отражения устойчивых, закономерных свойств и отношений действительности, существенных для решения познавательных проблем, схематической ориентации в конкретной ситуациях. Основная характеристика этого мышления: Функции образного мышления связаны с представлением ситуаций и изменений в них, которые человек хочет получить в результате своей деятельности, преобразующей ситуацию; с конкретизацией общих положений. С помощью образного мышления более полно воссоздается все многообразие различных фактических характеристик предмета. В образе может быть зафиксировано одновременное видение предмета с нескольких точек зрения. В отличие от наглядно-действенного мышления при наглядно-образном мышлении ситуация преобразуется лишь в плане образа. Это мышление характеризуется использованием понятий, логических конструкций, существующих, функционирующих на базе языка, языковых средств. Теоретическое мышление выявляет всеобщее отношение, исследует объект познания в системе его необходимых связей. Его результат — построение теоретических моделей, создание теорий, обобщение опыта, раскрытие закономерности развития различных явлений, знание которых обеспечивает преобразовательную деятельность человека. Теоретическое мышление неразрывно связано с практикой, но в своих конечных результатах имеет относительную самостоятельность. Описанная классификация тройка не является единственной. Теоретическое мышление — это познание законов, правил. Основная задача практического мышления — подготовка физического преобразования действительности: Одна из важных особенностей практического мышления заключается в том, что оно развертывается в условиях жесткого дефицита времени. В практическом мышлении очень ограниченные возможности для проверки гипотез. Все это делает практическое мышление подчас еще более сложным, чем мышление теоретическое. Теоретическое мышление иногда сравнивают с мышлением эмпирическим. Здесь в качестве критерия используется характер обобщений, с которыми имеет дело мышление: Обычно используются три признака: Аналитическое логическое мышление развернуто во времени, имеет четко выраженные этапы, в значительной степени представлено в сознании самого мыслящего человека. Интуитивное мышление характеризуется быстротой протекания, отсутствием четко выраженных этапов, является минимально осознанным. Реалистическое мышление направлено в основном на внешний мир, регулируется логическими законами. Артистическое мышление связано с реализацией желаний человека. Иногда используется термин эгоцентрическое мышление, оно характеризуется, прежде всего, невозможностью принять точку зрения другого человека. Различие основано на степени новизны получаемого в процессе мыслительной деятельности продукта по отношению к знаниям субъекта. В возрасте четырех — семи лет возникает наглядно-образное мышление в простейшей форме преимущественно у дошкольников. Дошкольники мыслят лишь наглядными образами и еще не владеют понятиями в строгом смысле [17]. В школьном возрасте в процессе систематического мышление ребенка начинает перестраиваться и развивается теоретическое мышление. По мере формирования теоретического мышления ребенок, подросток все больше учится осознавать обобщенные закономерности явлений. Ребенок не столько все глубже познает действительность, по мере того как развивается его мышление, сколько его мышление все более развивается, по мере того как углубляется его познавательное проникновение в действительность. С 11 до 14 лет резко возрастает значимость причинных связей в мышлении ребенка, причем сначала сильно преобладает интерес к причинам явлений. Вместе с тем от установления единичных причинно-следственных зависимостей в частных наглядных ситуациях оно поднимается к пониманию общих закономерностей. Новый уровень отвлеченной теоретической мысли сказывается также во взаимоотношениях мышления и речи, а также мышления и наглядно-образного содержания восприятия, представления. В отношении между мышлением и речью новый уровень мышления находит себе выражение в том, что: Развитие мышления ребенка происходит поэтапно, представляет собой некоторые ступени развития. При этом высшие ступени, развиваясь, не вытесняют низших, а преобразуют их. Когда развивается теоретическое мышление, то ни наглядно-действенное, ни наглядно-образное мышление, конечно, не исчезают, а преобразуются, совершенствуются, сами поднимаются на высшую ступень. Между ними создаются многообразнейшие, сложные, от случая к случаю индивидуально варьирующиеся взаимоотношения. На различных этапах развития мышления разные области знания являются той базой, на которых формируются более высокие формы мышления, на которых оно раньше всего переходит на высшую ступень. В раннем возрасте такой областью является арифметика. При переходе из начальной в среднюю школу такую же роль в развитии отвлеченного мышления может играть алгебра. В разные периоды разные науки вносят каждая свой специфический вклад в развитие мышления и могут явиться тем плацдармом, на котором раньше формируются те или иные стороны более высоких ступеней мышления [24]. Логическое мышление как феномен изучается различными науками: Каждая из них по-своему, что вполне справедливо, определяет его сущность. Так, например, в одних источниках логическим мышлением называют процесс мышления, в котором умозаключения строго основываются на правильных суждениях. При таком мышлении явление получает убедительное объяснение, безошибочно устанавливаются причины и следствия, выявляются связи и отношения между понятиями, которые выражаются в суждениях, верность которых нельзя опровергнуть. В других — определяют словесно-логическое мышление как один из видов мышления, характеризующийся использованием понятий, логических конструкций. В свою очередь, в словаре психологических понятий К. Но при этом все сходятся в том, что логическое мышление — есть абстрактное, аналитическое, синтетическое мышление, функционирующее на базе языковых средств, активно развивающееся у человека, начиная с определенного возраста — с началом его обучения. Цель развития логического мышления определенность, последовательность, доказательность мысли достигается решением следующих задач: Организация логической подготовки базируется на принципах преемственности, учета возрастных особенностей, раскрытия общезначимости логических форм и отношений и др. Развитие логического мышления осуществляется посредством изучения процесса мышления, активного использования речи, соединения и взаимообогащения всех видов мышления. Отметим, что развитие логического мышления непосредственно связано с процессом обучения математике. При этом многие исследователи отмечают, что одной из важнейших задач обучения, в том числе и математике, в школе является формирование у учащихся навыков осуществления логических операций, обучение их различным приемам логического мышления, вооружение знаниями логики и выработки у школьников умений и навыков использования этих знаний в учебной и практической деятельности. В результате правильно организованного обучения математике школьники весьма быстро приобретают навыки логического мышления, в частности, умение обобщать, классифицировать и аргументированно обосновывать свои выводы. Вместе с тем нет единого подхода к решению вопроса, как организовать такое обучение математике. Одни считают, что логические приемы являются неотъемлемой частью математики как науки, основы которой включены в содержание образования, поэтому у учащихся при изучении математики автоматически развивается логическое мышление на основе заданных образов В. Другой подход выражается во мнении части исследователей о том, что развитие логического мышления только через изучение учебных предметов, в том числе и математики, является малоэффективным, такой подход не обеспечивает полноценного усвоения приемов логического мышления и поэтому необходимы специальные учебные курсы по логике Ю. Еще одна группа ученых Д. Краевский считают, что развитие логического мышления учащихся должно осуществляться на конкретном предметном содержании учебных дисциплин через акцентуацию, выявление и разъяснение встречающихся в них логических операций. Но каков бы ни был подход к решению этого вопроса, большинство исследователей сходятся в том, что развивать логическое мышление в процессе обучения математике это значит: Решение задач на построение, несомненно, развивает логическое и активное мышление учащихся. Ни одни задачи не содействуют так развитию в учениках наблюдательности и правильности мышления, представляя в то же время для них и наибольшую привлекательность, как геометрические задачи на построение. Большое значение для развития логического мышления учащихся имеют и задачи на построение. Наличие анализа, доказательства и исследования при решении большинства таких задач показывает, что они представляют собой богатый материал для выработки у учащихся навыков правильно мыслить и логически рассуждать. При решении задач на построение они имеют дело не с конкретной, определенной фигурой, а должны создать необходимую фигуру, подвергающуюся различным изменениям в процессе решения. Вскрывая взаимосвязи между данными элементами, видим, как с изменением одних изменяются другие и даже вся фигура. Этим мы приучаем учащихся к диалектическому методу мышления и по возможности устраняем формализм в знаниях. Трудно переоценить роль задач на построение в математическом развитии школьников. Они по своей постановке и методам решения не только наилучшим образом стимулируют накопление конкретных геометрических представлений, но и развивают способность отчетливо представлять себе ту или иную геометрическую фигуру и, более того, уметь мысленно оперировать элементами этой фигуры. Задачи на построение могут способствовать пониманию учащимися происхождения различных геометрических фигур, возможности их преобразования — все это является важной предпосылкой развития пространственного мышления школьников. Они сильно развивают логическое мышление, геометрическую интуицию. Между тем заметим, что процесс формирования логического мышления, общелогических умений, как компонента общего образования, должен быть целенаправленным, непрерывным и связанным с процессом обучения математике на всех ее ступенях. Логическое мышление — есть абстрактное, аналитическое, синтетическое мышление, функционирующее на базе языковых средств, активно развивающееся у человека, начиная с определенного возраста — с началом его обучения. Развитие логического мышления — это формирование у учащихся навыков осуществления логических операций, обучение их различным приемам логического мышления, вооружение знаниями логики и выработка умений и навыков использования этих знаний в учебной и практической деятельности. Этот процесс непосредственно связан с процессом обучения математике, правильная организация которого обеспечивает наиболее эффективное развитие логического мышления, в том числе и при решении геометрических задач. При этом ни одни задачи не содействуют так развитию в учениках наблюдательности и логического мышления, представляя в то же время для них и наибольшую привлекательность, как задачи на построение. Суть решения задачи на построение состоит в том, что требуется построить наперед указанными инструментами некоторую фигуру, если дана некоторая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры. Найти решение задачи на построение — значит свести ее к конечному числу основных построений, то есть указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых, искомая фигура будет уже считаться построенной в силу принятых аксиом конструктивной геометрии. Одной из основных проблем методики обучения решению задач на построение является методика введения и изучения этапов решения конструктивных задач. Еще в IV в. Процесс решения задачи разбивают на 4 этапа: Рассмотрим каждый этап более подробно. Анализ — это важный этап решения задачи, который мы понимаем как поиск способа решения задачи на построение. На этом этапе должны быть подмечены такие зависимости между данными фигурами и искомой фигурой, которые позволили бы в дальнейшем построить эту искомую фигуру если мы знаем, как строить искомую фигуру, то никакой анализ уже не нужен. Чтобы облегчить себе поиск связей между искомой фигурой и данными фигурами, обычно оказывается выгодным иметь перед глазами вспомогательный чертеж, чертеж-набросок, изображающий данные и искомые фигуры примерно в том расположении, которое предусмотрено условием задачи. Чертеж можно выполнить от руки, на глаз — это проект чертежа, который должен образоваться, когда задача уже решена. На вспомогательном чертеже следует выделить данные элементы и важнейшие искомые элементы. Практически часто удобнее начинать построение вспомогательного чертежа не с данной фигуры, а с примерного изображения исходной фигуры, пристраивая к ней данные так, чтобы они находились в отношениях, указанны в условии задачи. Если вспомогательный чертеж не подсказывает способа построения искомой фигуры, то пытаются обнаружить какую-либо часть искомой фигуры или вообще некоторую фигуру, которая может быть построена, и которой затем можно воспользоваться для построения искомой фигуры. Иногда бывает полезно проводить параллели или перпендикуляры к уже имеющимся прямым;. В Приложении 3 приведен анализ задачи на построение: Из данного примера видно, что при отыскании решения задачи на построение, как и для арифметических задач, применяется аналитико-синтетический метод. Следуя от вопроса задачи, учитываем, какие элементы нам известны, и, наоборот, исходные данные комбинируем так, чтобы построить искомую фигуру. При разборе задачи, при отыскании путей ее решения анализ и синтез находятся в постоянном взаимодействии, дополняют и проверяют друг друга. Действительно, решить задачу с помощью тех или иных инструментов — значит указать конечную совокупность элементарных, допустимых для данных инструментов, построений, выполнение которых в определенной последовательности позволяет дать ответ на вопрос задачи. Данный этап вводится при решении самой первой задачи на построение, которой обычно является задача о построении отрезка, равного данному, на данном луче с концом в начале этого луча. В беседе, сопровождающей введение этапа, необходимо отметить, в чем состоит решение любой задачи на построение и указать, что осуществление этого этапа как раз и состоит в перечислении конечного числа операций построения искомой фигуры. Проведя диагональ А 1 С 1 рис. Треугольник А 1 В 1 С 1 можно строить различными способами. Проведя C 1 B 1 A 1 B 1 , получим треугольник А 1 В 1 С 1 , который дополняем до квадрата A 1 B 1 C 1 D 1 , что можно сделать различными способами. Соединив В 1 с А 1 и С 1 , получим треугольник A 1 B 1 C 1. Проведя B 1 D 1 A 1 C 1 , мы сразу можем получить точки B 1 и D 1 , как и в предыдущем случае. Очевидно, что построение треугольника A 1 B 1 C 1 возможно и другими способами [11]. Решение одной и той же задачи несколькими способами усиливает интерес учащихся к задачам на построение и сознательное отношение к решению таких задач. Если решать задачи на построение все время по заранее указанным методам, то этим самым сковывается изобретательность и инициатива учащихся в нахождении различных и оригинальных способов решения и им трудно научиться самостоятельно решать конструктивные задачи. Они применяют в первую очередь знания изучаемого материала и навыки, полученные при решении задач, предшествующих данной. Если решались задачи, требующие применения определенного метода, то и для предложенной задачи они изберут тот же знакомый им путь решения, даже если он нерационален. Указание учителя на существование более простого способа не дает должного эффекта, так как предложенное учителем решение кажется учащимся искусственным, которого они сами не смогли бы найти. Конечно, если это делать до того как ученики приобретут прочные навыки в отыскании решений различными способами, то результаты окажутся отрицательными. Внимание учащихся каждый раз будет распыляться между всеми способами, и они ни одного из них не усвоят основательно, чтобы применять его достаточно сознательно. Различными способами хорошо решать задачи в конце учебного года, при повторении курса геометрии, когда учащиеся уже имеют достаточные навыки в решении задач на построение. Задачу, допускающую различные способы решения, лучше задавать на дом, чтобы они не только решили, но и нашли наиболее простое решение. После того как фигура построена, необходимо установить, удовлетворяет ли она условиям задачи, то есть показать, что фигура, полученная из данных элементов определенным построением, удовлетворяет всем условиям задачи. Значит, доказательство существенно зависит от способа построения. Одну и ту же задачу можно решать различными способами, в зависимости от намеченного при анализе плана построения, а поэтому, и доказательство в каждом случае будет свое. Доказательство представляет собой часть решения задачи, по своему логическому содержанию обратную анализу. Если в анализе устанавливается, что всякая фигура, удовлетворяющая поставленным условиям, может быть найдена таким-то и таким-то путем, то в этой, третьей части решения доказывается обратное положение. Это обратное положение в общем виде может быть сформулировано так: В Приложении 3 приведено решение задачи: При решении простейших задач, когда все условия задачи находят непосредственное отражение в плане построения, нет необходимости доказывать, что фигура, полученная из данных элементов таким построением, является искомой. Здесь доказательство сводится к простой проверке, такие ли взяли стороны, как данные, и будет ли построенный угол равен данному. В подобных задачах доказательство является излишним, ибо правильность решения обеспечивается соответствием построения анализу и данным условия задачи. Доказательство не просто зависит от анализа и построения, между ними существует взаимосвязь и взаимообусловленность. Построение проводится по плану, составленному при анализе. Таких планов можно указать несколько. Построение и доказательство являются своеобразным критерием правильности и рациональности составленного плана. Если план не осуществим имеющимися инструментами или же построение оказывается нерациональным, мы вынуждены искать новый план решения. Аналогичным образом и доказательство, и исследование влияют на анализ, предопределяя нередко выбор плана решения. Хотя доказательство при решении задач на построение проводится аналогично доказательству теорем, с использованием аксиом, теорем и свойств геометрических фигур, между ними имеется и некоторое различие. При доказательстве теорем в большинстве случаев без труда выделяют условие и заключение. При решении задач на построение уже труднее найти данные, на основании которых можно доказать, что построенная фигура является искомой. Поэтому при решении конструктивных задач в классе целесообразно иногда специально выделять, что дано, и что требуется доказать. Например, при решении задачи: В свою очередь при решении задач дома и в контрольных работах можно не требовать оформления доказательства с выделением отдельно условия и заключения. Нет надобности требовать проведения особого доказательства в задачах, где правильность решения очевидна [11]. При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причем предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи нужно еще выяснить следующие вопросы: Рассмотрение всех этих вопросов и составляет содержание исследования [2]. Таким образом, исследование имеет целью установить условия разрешимости и определить число решений. Нередко школьники и даже учителя проводят исследование, произвольно выбирая те или иные случаи, причем неясно, почему рассматриваются именно такие, а не какие-либо иные случаи. Остается неясным также, все ли возможные случаи рассмотрены. Практически в большинстве случаев удается достигнуть необходимой полноты исследования, если проводить это исследование по ходу построения, что является наиболее доступным и целесообразным способом. Сущность этого приема состоит в том, чтобы перебрать последовательно все шаги, из которых слагается построение, и относительно каждого шага установить, всегда ли указанное на этом шаге построение выполнимо, а если выполнимо, то однозначно ли. Рассмотрим решение и исследование задачи: Решаем эту задачу методом геометрических мест. Проводим прямую ОА рис. В точке А строим касательную АВ к данной окружности, а затем — биссектрисы углов РВА и ABQ. Точки пересечения прямой ОА с прямыми ВМ и BN и будут центрами искомых окружностей. Проводя исследование по построению, легко обнаруживаем, что наше решение не применимо, если OA PQ. Для такого случая рассматриваем решение задачи отдельно. В результате получим, что если ОА не перпендикулярна PQ, то задача имеет два решения, за исключением случая, когда окружность О; ОА пересекает PQ в точке А, так как тогда прямые ВМ, ВN и ОА пересекутся в точке А, и окружности не получим. Если же OA PQ, но А не лежит на PQ, то получаем одну окружность с центром на ОА и радиусом, равным половине расстояния от точки А до данной прямой PQ. Если же при этом А лежит на PQ, то задача неопределенная. В итоге таких рассуждений решается вопрос о возможности и однозначности построения искомой фигуры данным способом. Но остается еще открытым вопрос: Иногда удается доказать, что всякое решение данной задачи совпадает с одним из уже полученных решений. Если же это не удается, то можно предположить, что задача имеет другие решения, которые могут быть найдены другими способами. В этих случаях надо тщательно проверить, нет ли каких-либо иных возможных случаев расположения данных или искомых фигур, которые не были предусмотрены ранее проведенным анализом. Существуют различные средства развития познавательного интереса: Наиболее подробно остановимся на исторических экскурсах. Знакомство с историей науки полезно для каждого человека, а для Можно выделить следующие цели изучения метода координат в школьном курсе геометрии: При изучении геометрии развитие логического мышления учащихся осуществляется в процессе формирования понятий, доказательства теорем, решения задач. При изучении геометрических построений, прежде всего, приходится преодолевать трудности логического порядка. В условиях школы для преодоления этих трудностей Таким образом, в современном мире необходимы информационно-коммуникационные технологии. Новости Рефераты Антиплагиат Заказать работу Добавить работу Статьи Вузы Поделиться. Войти на сайт Email. Новости Рефераты Смежные категории. Скачать работу Похожие Заказать работу. Решение задач на построение в курсе геометрии основной школы как средство развития логического мышления школьников Методические рекомендации по обучению решению задач на построение Анализ Метод геометрических преобразований Актуализация знаний. Методические рекомендации по обучению решению задач на построение. Педагогика Количество знаков с пробелами: Исторические экскурсы в курсе алгебры 7 класса как средство развития познавательного интереса. Изучение метода координат в курсе геометрии основной школы. Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение. Информационно-коммуникационные технологии как средство развития познавательного интереса у детей. Разделы Главная Новости Рефераты Статьи Вузы. Инфо О проекте Соглашение.
Хачапури из слоеного теста видео
Где жил путин на васильевском острове
Дайте письменную характеристику
Скачать образец служебной характеристики
История беларуси класс
Оформление права собственности на супруга
Эконика орел каталог
Каталог запчастей isuzu wizard
Статус хочу уехать далеко далеко
Ювелирный магазин стерлитамак каталог
Проблема глобального экономического кризиса
Как приготовить торт со сливочным кремом
Калькулятор uniel us 11 инструкция
G41 материнская плата характеристики
Ошибка при запуске приложения 0xc00000142